Nel compito 13 del profilo USE livello in matematica, è necessario risolvere un'equazione, ma già di livello maggiore di complessità, poiché i compiti del precedente livello C iniziano dal compito 13 e questo compito può essere chiamato C1. Passiamo a considerare esempi di compiti tipici.

Analisi delle opzioni tipiche per gli incarichi n. 13 USO in matematica a livello di profilo

La prima versione dell'attività (versione demo 2018)

a) Risolvi l'equazione cos2x = 1-cos(p/2-x)

b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo [-5p/2;-p].

Algoritmo di soluzione:

1. t
2. Facciamo una sostituzione inversa e risolviamo le equazioni trigonometriche più semplici.

1. Costruiamo una linea numerica.
2. Ci mettiamo radici.
3. Segna le estremità del segmento.
4. Selezioniamo quei valori che si trovano all'interno dell'intervallo.
5. Scriviamo la risposta.

Soluzione:

1. Trasforma il lato destro dell'uguaglianza usando la formula di riduzione cos( π/ 2−X)=peccato X. Abbiamo:

cos2x = 1 - peccato X.

Trasformiamo il lato sinistro dell'equazione usando la formula del coseno a doppio argomento, usando il seno:

cos(2x)=1−2sin 2x

Otteniamo la seguente equazione: 1−peccato 2 X=1-peccato X

Ora ce n'è solo uno nell'equazione funzione trigonometrica peccato X.

2. Introduciamo un sostituto: t= peccato X. Risolviamo il risultato equazione quadrata:

1−2t 2 =1−t,

−2t 2 +t=0,

t(−2t+1)=0,

t = 0 o -2t + 1 = 0,

t 1 \u003d 0 t 2 \u003d 1/2.

3. Effettuare una sostituzione inversa:

peccato X= 0 o peccato X = ½

Risolviamo queste equazioni:

peccato X =0↔X=πn, nЄZ

peccato( X)=1/2↔X= (-1)n ∙( π/6)+πn, nЄZ.

Si ottengono quindi due famiglie di soluzioni.

1. Nel paragrafo precedente si sono ottenute due famiglie, ciascuna delle quali ha infinite soluzioni. È necessario scoprire quali di essi si trovano in un determinato intervallo. Per fare ciò, costruiamo una linea numerica.

2. Mettiamo su di essa le radici di entrambe le famiglie, segnandole in verde(primo) e blu (secondo).

3. Segna le estremità dello spazio vuoto in rosso.

4. Nell'intervallo indicato ci sono tre radici che sono tre radici: −2 π ;−11π/ 6 e -7 π/ 6.

un) πn, nЄZ;(-1)n ∙( π/6)+πn, nЄZ

b) -2 π ;−11π 6;−7π 6

La seconda versione del compito (da Yaschenko, n. 1)

Algoritmo di soluzione:

1. Sostituiamo questa funzione con una variabile t e risolvere l'equazione quadratica risultante.
2. Facciamo una sostituzione inversa e risolviamo le più semplici equazioni esponenziali, quindi trigonometriche.

1. Stiamo costruendo piano delle coordinate e un cerchio di raggio unitario su di esso.
2. Segnaliamo i punti che sono le estremità del segmento.
3. Selezioniamo quei valori che si trovano all'interno del segmento.
4. Scriviamo la risposta.

Soluzione:

1. Introduciamo la sostituzione t = 4 cos x. quindi l'equazione assumerà la forma:

Risolviamo l'equazione quadratica usando le formule discriminante e radice:

D \u003d b 2 - c \u003d 81 - 4 ∙ 4 ∙ 2 \u003d 49,

t 1 \u003d (9 - 7) / 8 \u003d ¼, t 2 \u003d (9 + 7) / 8 \u003d 2.

3. Torniamo alla variabile x:

1. Costruiamo un piano di coordinate e un cerchio di raggio unitario su di esso.

2. Segnaliamo i punti che sono le estremità del segmento.

3. Seleziona quei valori che si trovano all'interno del segmento..

Queste sono radici. Ce ne sono due.

un)

b)

La terza versione del compito (da Yaschenko, n. 6)

Algoritmo di soluzione:

1. Usando formule trigonometriche, riduciamo l'equazione a una forma contenente una sola funzione trigonometrica.
2. Sostituiamo questa funzione con una variabile t e risolvere l'equazione quadratica risultante.
3. Facciamo una sostituzione inversa e risolviamo le più semplici equazioni esponenziali e poi trigonometriche.

1. Risolviamo le disuguaglianze per ogni caso.
2. Scriviamo la risposta.

Soluzione:

1. Con formule di riduzione .

2. Allora data equazione assumerà la forma:

3. Introduciamo un sostituto . Noi abbiamo:

Risolviamo la solita equazione quadratica usando le formule discriminante e radice:

casa

Come risolvere il problema USE n. 13 per equazioni esponenziali e logaritmiche | 1C: Tutor

Cosa devi sapere sulle equazioni esponenziali e logaritmiche per risolvere i problemi USE in matematica?

Essere in grado di risolvere equazioni esponenziali e logaritmiche è molto importante per il successo della consegna di un unificato esame di stato matematica livello di profilo. Importante per due ragioni:

In primo luogo, compito n. 13 della variante KIM USE, anche se di rado, ma a volte è proprio un'equazione del genere che è necessario non solo risolvere, ma anche (simile al compito di trigonometria) scegliere le radici dell'equazione che soddisfano qualsiasi condizione.

Quindi, una delle opzioni per il 2017 includeva la seguente attività:

a) Risolvi l'equazione 8 X – 7 . 4 X – 2 X +4 + 112 = 0.

b) Indicare le radici di questa equazione che appartengono al segmento.

Risposta: a) 2; log 2 7 e b) log 2 7.

In un'altra versione, c'era un tale compito:

a) Risolvi l'equazione 6log 8 2 X– 5 registro 8 X + 1 = 0

b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento.

Risposta: a) 2 e 2√ 2 ; b) 2.

C'era anche questo:

a) Risolvi l'equazione 2log 3 2 (2cos X) – 5log 3 (2cos X) + 2 = 0.

b) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento [π; 5π/2].

Risposta: un) (π/6 + 2πk; -π/6 + 2πk, k∊Z) e b) 11π/6; 13π/6.

In secondo luogo, lo studio dei metodi per risolvere le equazioni esponenziali e logaritmiche è buono, poiché i metodi di base per risolvere sia le equazioni che le disuguaglianze utilizzano effettivamente le stesse idee matematiche.

I metodi principali per risolvere le equazioni esponenziali e logaritmiche sono facili da ricordare, ce ne sono solo cinque: la riduzione all'equazione più semplice, l'uso di transizioni equivalenti, l'introduzione di nuove incognite, il logaritmo e la fattorizzazione. Separatamente, esiste un metodo per utilizzare le proprietà delle funzioni esponenziali, logaritmiche e di altro tipo nella risoluzione di problemi: a volte la chiave per risolvere un'equazione è il dominio di definizione, l'intervallo di valori, la non negatività, il limite, l'uniformità delle funzioni incluse dentro.

Di norma, nel problema n. 13 ci sono equazioni che richiedono l'uso dei cinque metodi principali sopra elencati. Ognuno di questi metodi ha le sue caratteristiche che devi conoscere, poiché è la loro ignoranza che porta a errori nella risoluzione dei problemi.

Quali sono gli errori più comuni commessi dagli esaminatori?

Spesso, quando si risolvono equazioni contenenti una funzione di potenza esponenziale, gli studenti dimenticano di considerare uno dei casi in cui l'uguaglianza è soddisfatta. Come è noto, equazioni di questo tipo equivalgono a un insieme di due sistemi di condizioni (vedi sotto), noi stiamo parlando sul caso quando un( X) = 1

Questo errore è dovuto al fatto che nel risolvere l'equazione, il candidato utilizza formalmente la definizione della funzione esponenziale (y= ascia, a>0, a ≠ 1): a un ≤ 0 funzione esponenziale davvero non definito

Ma a un = 1 è definito, ma non è esponenziale, poiché l'unità in ogni potenza reale è identica a se stessa. Ciò significa che se nell'equazione considerata a un(X) = 1 c'è una vera uguaglianza numerica, quindi i valori corrispondenti della variabile saranno le radici dell'equazione.

Un altro errore è applicare le proprietà dei logaritmi senza tener conto dell'intervallo di valori accettabili. Ad esempio, la ben nota proprietà "il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi" risulta avere una generalizzazione:
log a( f(X)g(X)) = log a │ f(X)│ + log a │g( X)│, a f(X)g(X) > 0, un > 0, un ≠ 1

Infatti, per definire l'espressione alla sinistra di questa uguaglianza, è sufficiente che il prodotto delle funzioni f e g era positivo, ma le funzioni stesse possono essere sia maggiori che minori di zero allo stesso tempo, quindi, al momento dell'applicazione data proprietàè necessario utilizzare il concetto di modulo.

E ci sono molti esempi simili. Pertanto, per lo sviluppo efficace di metodi per la risoluzione di equazioni esponenziali e logaritmiche, è meglio utilizzare i servizi che saranno in grado di parlare di tali "insidie" utilizzando esempi di risoluzione dei corrispondenti problemi di esame.

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