Darbības ar vektoriem telpā. I nodaļa. Vektoru algebra. Vektora saistība ar taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmu telpā
Standarta definīcija: "Vektors ir virzīts līnijas segments." Tas parasti ir absolventa vektoru zināšanu ierobežojums. Kam vajadzīgi kaut kādi "režisēti segmenti"?
Bet patiesībā, kas ir vektori un kāpēc tie ir?
Laika prognoze. "Ziemeļrietumu vējš, ātrums 18 metri sekundē." Piekrītu, nozīme ir arī vēja virzienam (no kurienes tas pūš) un tā ātruma modulim (tas ir, absolūtajai vērtībai).
Daudzumus, kuriem nav virziena, sauc par skalāriem. svars, darbs, elektriskais lādiņš nekur nav nosūtīts. Tos raksturo tikai skaitliska vērtība - “cik kilogramu” vai “cik džoulu”.
Fizikālos lielumus, kuriem ir ne tikai absolūtā vērtība, bet arī virziens, sauc par vektora lielumiem.
Ātrums, spēks, paātrinājums - vektori. Viņiem svarīgi ir "cik daudz" un svarīgi ir "kur". Piemēram, brīvā kritiena paātrinājums ir vērsts uz Zemes virsmu, un tā vērtība ir 9,8 m/s 2 . impulss, spriedze elektriskais lauks, indukcija magnētiskais lauks ir arī vektora lielumi.
Vai atceries to fizikālie lielumi apzīmē ar latīņu vai grieķu burtiem. Bultiņa virs burta norāda, ka daudzums ir vektors:
Šeit ir vēl viens piemērs.
Automašīna pārvietojas no A uz B. Gala rezultāts ir tā kustība no punkta A uz punktu B, t.i., kustība pa vektoru 
.
Tagad ir skaidrs, kāpēc vektors ir virzīts segments. Pievērsiet uzmanību, vektora beigas ir tur, kur atrodas bultiņa. Vektora garums sauc par šī segmenta garumu. Apzīmēts: vai
Līdz šim esam strādājuši ar skalārajiem lielumiem, pēc aritmētikas un elementārās algebras likumiem. Vektori ir jauns jēdziens. Šī ir vēl viena matemātisko objektu klase. Viņiem ir savi noteikumi.
Kādreiz mēs pat nezinājām par skaitļiem. Iepazīšanās ar viņiem sākās pamatklasēs. Izrādījās, ka skaitļus var salīdzināt savā starpā, saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt. Mēs uzzinājām, ka ir skaitlis viens un nulle.
Tagad mēs iepazīsim vektorus.
Vektoriem neeksistē jēdzieni "lielāks par" un "mazāks par" - galu galā to virzieni var būt dažādi. Jūs varat salīdzināt tikai vektoru garumus.
Bet vektoru vienlīdzības jēdziens ir.
Vienlīdzīgi ir vektori, kuriem ir vienāds garums un vienāds virziens. Tas nozīmē, ka vektoru var pārvietot paralēli sev uz jebkuru plaknes punktu.
viens sauc par vektoru, kura garums ir 1 . Nulle - vektors, kura garums ir vienāds ar nulli, tas ir, tā sākums sakrīt ar beigām.
Visērtāk ir strādāt ar vektoriem taisnstūra koordinātu sistēmā - tajā, kurā mēs zīmējam funkciju grafikus. Katrs punkts koordinātu sistēmā atbilst diviem skaitļiem - tā x un y koordinātām, abscisai un ordinātai.
Vektoru norāda arī divas koordinātas:
Šeit vektora koordinātas ir ierakstītas iekavās - x un y.
Tos ir viegli atrast: vektora beigu koordinātas mīnus tā sākuma koordinātas.
Ja ir dotas vektora koordinātas, tā garumu nosaka pēc formulas
Vektoru pievienošana
Ir divi veidi, kā pievienot vektorus.
viens . paralelograma noteikums. Lai pievienotu vektorus un , mēs novietojam abu izcelsmi vienā punktā. Pabeidzam paralelogramu un no tā paša punkta novelkam paralelograma diagonāli. Tā būs vektoru un .
Atcerieties fabulu par gulbi, vēzi un līdaku? Viņi ļoti centās, bet nekad nepārvietoja ratus. Galu galā to spēku vektora summa, ko viņi pieliek ratiem, bija vienāda ar nulli.
2. Otrs vektoru pievienošanas veids ir trīsstūra noteikums. Ņemsim tos pašus vektorus un . Mēs pievienojam otrā vektora sākumu pirmā vektora beigām. Tagad savienosim pirmās sākumu un otrās beigas. Šī ir vektoru un .
Saskaņā ar to pašu noteikumu jūs varat pievienot vairākus vektorus. Mēs pievienojam tos pa vienam un pēc tam savienojam pirmā sākumu līdz pēdējās beigām.
Iedomājieties, ka jūs dodaties no punkta A uz punktu B, no B uz C, no C uz D, tad uz E un tad uz F. Šo darbību gala rezultāts ir pāreja no A uz F.
Pievienojot vektorus, mēs iegūstam:
Vektoru atņemšana
Vektors ir vērsts pretēji vektoram. Vektoru un garumi ir vienādi.
Tagad ir skaidrs, kas ir vektoru atņemšana. Vektoru starpība un ir vektora un vektora summa.
Reiziniet vektoru ar skaitli
Reizinot vektoru ar skaitli k, tiek iegūts vektors, kura garums k reižu atšķiras no garuma . Tas ir vienā virzienā ar vektoru, ja k ir lielāks par nulli, un ir vērsts pretēji, ja k ir mazāks par nulli.
Vektoru punktu reizinājums
Vektorus var reizināt ne tikai ar skaitļiem, bet arī vienu ar otru.
Vektoru skalārā reizinājums ir vektoru garumu un starp tiem esošā leņķa kosinusa reizinājums.
Pievērsiet uzmanību - mēs sareizinājām divus vektorus, un mēs saņēmām skalāru, tas ir, skaitli. Piemēram, fizikā mehāniskais darbs ir vienāds ar divu vektoru - spēka un nobīdes - skalāro reizinājumu:
Ja vektori ir perpendikulāri, to punktu reizinājums ir nulle.
Un šādi skalārais reizinājums tiek izteikts vektoru koordinātu izteiksmē un:
No skalārās reizinājuma formulas var atrast leņķi starp vektoriem:
Šī formula ir īpaši ērta stereometrijā. Piemēram, 14. uzdevumā profila eksāmens matemātikā jāatrod leņķis starp krustojošām līnijām vai starp taisni un plakni. 14. uzdevums bieži tiek atrisināts vairākas reizes ātrāk nekā klasiskais.
AT skolas mācību programma matemātikā tiek pētīts tikai vektoru skalārais reizinājums.
Izrādās, ka papildus skalāram ir arī vektora reizinājums, kad divu vektoru reizināšanas rezultātā tiek iegūts vektors. Kas nokārto eksāmenu fizikā, zina, kas ir Lorenca spēks un Ampēra spēks. Šo spēku atrašanas formulas ietver tieši vektora reizinājumus.
Vektori ir ļoti noderīgs matemātisks rīks. Par to pārliecināsies jau pirmajā kursā.
Lekcija 3. Vektori. Lineāro vienādojumu sistēmas.
Vektori
Mērķis tēmas izpēte ir vektora jēdziena vispārināšana, ar kuru skolēni ir pazīstami no skolas mācību programmas, un tā sistemātiskā redzesloka paplašināšana.
Vektori plaknē un telpā.
Vektors- tas ir virzīts segments. Punkts BET ir vektora sākums, punkts AT– vektora beigas (3.1.1. att.). Varat izmantot apzīmējumu .
Garums (modulis) vektors ir skaitlis, kas vienāds ar vektora garumu. Vektora moduli apzīmē ar simbolu vai . Ja vektora modulis ir , vektoru sauc nulle; nulles vektora virziens ir patvaļīgs.
Abi vektori tiek saukti kolineārs, ja tie ir paralēli vienai un tai pašai līnijai (vai atrodas uz vienas līnijas), šajā gadījumā tie raksta . Nulles vektors ir kolineārs jebkuram vektoram.
Divi vektori vienāds, tas ir, ja ir izpildīti trīs nosacījumi: ; un un ir vienlīdz vērsti.
Vektora produkts ā uz skaitli (skalārs) λ sauc par vektoru, kas atbilst šādiem nosacījumiem: , vektori un ir kopīgi vērsti, ja un ir vērsti pretējos virzienos, ja . Ja , vektoru sauc pretī vektors .
Tādējādi nosacījums ir pietiekams vektora kolinearitātei un ;
Vektoru pievienošana. Divu vektoru summa un to sauc par vektoru, Sākt kas sakrīt ar vektora sākumu un beigas - ar vektora beigām, ja vektora sākums sakrīt ar vektora beigām (trīsstūra noteikums)(skat. 3.1.2. att.).
Tā kā vektors , tad lai iegūtu divu summu vektorus, varat izmantot kārtulu paralelograms: summa divi vektori ir paralelograma diagonālais vektors, kas veidots uz vektoriem un , kas stiepjas no tiem kopīgs sākums abi vektora termini.
Vairāku summa vektori tiek atrasti saskaņā ar likumu daudzstūris: lai atrastu vairāku vektoru summu , jums ir konsekventi jāapvieno nākamā vektortermiņa sākums ar iepriekšējā vektora beigām; tad vektoru, kas novilkts no pirmā vektora sākuma līdz pēdējā beigām, sauc par visu šo vektoru summu (3.1.3. att.).
atšķirība divus vektorus sauc par summu. Ja vektors , tad pēc analoģijas ar divu vektoru summu šis vektors ir paralēlskaldņa diagonāle, kas uzbūvēts uz trim vektoriem kā malām (3.1.4. att.).
Apsveriet vektoru plaknē. Pārejiet uz sistēmas izcelsmi čau.
Mēs iegūstam vektoru. Vektora koordinātas ir punkta koordinātas M(X;plkst). Ieviesīsim vektorus uz koordinātu asīm i un j– vienības garums (3.1.5. att.).
Acīmredzot vai nu vai. Ja vektoru aplūko trīsdimensiju telpā, kur punkts M ko raksturo trīs koordinātas, tas ir M(x, y, z) , tad vektoru var attēlot šādi:
x i y j z k , (3.1.1)
kur i, j, k ir vienību vektori, kas atrodas uz koordinātu asīm. Ļaujiet, . Atradīsim šo vektoru summu un starpību:
Vektoru pievienošana un vektora reizināšana ar skalāru atbilst šādām īpašībām:
Pierādījums izriet no (3.1.2).
Definīcija. Punktu produkts vektori un skaitli sauc par vienādu ar šo vektoru moduļu un leņķa kosinusa reizinājumu φ starp tām, t.i. (3.1.3)
No (3.1.3) sekojiet skalārā reizinājuma īpašībām:
4) ja , tad .
Izmantojot punktu reizinājuma īpašības, var atrast divu vektoru punktu reizinājumu koordinātu formā. Ja tad ; ja - vektoru perpendikulitātes nosacījums.
Ja vektori ir kolineāri, tas ir, tad ir nosacījums, lai vektori būtu kolineāri.
koncepcija n -dimensiju vektors. Vektora telpa. Lineārā kombinācija un vektoru lineārā atkarība.
Vektora jēdzienu var vispārināt.
Definīcija. n-dimensiju vektors sauc par pasūtītu kolekciju n reālie skaitļi, kas rakstīti kā X \u003d (x 1, x 2, ..., x n), x i ir vektora komponenti X.
koncepcija n -dimensiju vektors tiek plaši izmantots ekonomikā. Piemēram, noteiktu preču kopu var raksturot ar vektoru , bet atbilstošās cenas - ar vektoru .
Divas n -dimensiju vektori ir vienādi tad un tikai tad, ja to atbilstošās sastāvdaļas ir vienādas: , .
Pēc analoģijas ar ģeometriskajiem vektoriem tiek ieviesti: vektoru summa ar komponentiem , ; vektoru atšķirība ar komponentiem , , ar vienādām īpašībām.
Skalārais produkts n-dimensiju vektori:
Ja X - preču komplekts, un Y - atbilst katras preces vienības cenām, tad visu produktu izmaksām:
Definīcija. Tiek saukta vektoru kopa ar reāliem komponentiem, kas definē vektora saskaitīšanas (atņemšanas) un reizināšanas ar skalāru darbības, kas apmierina augstākminētās īpašības. vektora telpa.
Definīcija. Vektoru sauc vektoru lineāra kombinācija vektora telpa ja
, (3.1.4)
kur ir kādi reālie skaitļi.
Definīcija. Vektorus sauc par lineāri atkarīgiem, ja ir tādi skaitļi, kas vienlaikus nav vienādi ar nulli, tā ka lineāra kombinācija .
Pretējā gadījumā tiek izsaukti vektori (). lineāri neatkarīgs.
Ja vektori ir lineāri atkarīgi, tad vismaz viens no tiem ir lineāri izteikts pārējos. Parādīsim to. Ļaujiet vektoriem () būt lineāri atkarīgiem, t.i., n), tātad
Atrisinot sistēmu ar jebkuru metodi (piemēram, Krāmera metodi), iegūstam tās risinājumu: , , . Vektora paplašināšanai bāzes izteiksmē ir forma .
Vektors – tas ir virzīts taisnas līnijas segments, tas ir, segments ar noteiktu garumu un noteiktu virzienu. Ļaujiet punktu BET ir vektora sākums un punkts B ir tā beigas, tad vektoru apzīmē ar simbolu vai . Vektoru sauc pretī vektors un to var atzīmēt .
Formulēsim vairākas pamata definīcijas.
Garums vai modulis vektorssauc par segmenta garumu un tiek apzīmēts. Tiek izsaukts vektors ar nulles garumu (tā būtība ir punkts). nulle un tam nav virziena. Vektors vienības garumu saucviens . Vienības vektors, kura virziens ir tāds pats kā vektora virziens , tiek saukts vektora vektors .
Vektorus sauc kolineārs , ja tie atrodas uz vienas līnijas vai uz paralēlām līnijām, rakstiet. Kolineārajiem vektoriem var būt vienādi vai pretēji virzieni. Nulles vektors tiek uzskatīts par kolineāru jebkuram vektoram.
Vektorus sauc par vienādiemja tie ir kolineāri, tiem ir vienāds virziens un vienāds garums.
Tiek izsaukti trīs vektori telpā koplanārs ja tie atrodas vienā plaknē vai paralēlās plaknēs. Ja no trim vektoriem vismaz viens ir nulle vai jebkuri divi ir kolineāri, tad šādi vektori ir koplanāri.
Aplūkosim telpā taisnstūra koordinātu sistēmu 0 xyz. Uz koordinātu asīm atlasiet 0 x, 0y, 0z vienību vektori (orts) un apzīmē tos arattiecīgi. Mēs izvēlamies patvaļīgu telpas vektoru un saskaņojam tā izcelsmi ar izcelsmi. Mēs projicējam vektoru uz koordinātu asīm un apzīmējam projekcijas ar a x, a y, a z attiecīgi. Tad to ir viegli parādīt
.
(2.25)
Šī formula ir pamata vektora aprēķinos, un to sauc vektora paplašināšana koordinātu asu vienību vektoros . Skaitļi a x, a y, a z sauca vektora koordinātas . Tādējādi vektora koordinātas ir tā projekcijas uz koordinātu asīm. Vektoru vienādību (2.25) bieži raksta kā
Mēs izmantosim vektora apzīmējumu krokainajās iekavās, lai vizuāli atšķirtu vektora koordinātas un punktu koordinātas. Izmantojot no skolas ģeometrijas zināmo segmenta garuma formulu, jūs varat atrast izteiksmi vektora moduļa aprēķināšanai:
,
(2.26)
tas ir, vektora modulis ir vienāds ar kvadrātsakni no tā koordinātu kvadrātu summas.
Apzīmēsim leņķus starp vektoru un koordinātu asīm cauri α, β, γ attiecīgi. kosinusus šos leņķus sauc par vektoru ceļveži , un uz tiem attiecas šāda sakarība:Šīs vienādības pareizību var parādīt, izmantojot vektora projekcijas īpašību uz asi, kas tiks aplūkota nākamajā 4. punktā.
Ļaujiet vektoriem dot trīsdimensiju telpāar to koordinātām. Uz tiem notiek šādas darbības: lineāra (saskaitīšana, atņemšana, reizināšana ar skaitli un vektora projekcija uz asi vai citu vektoru); nelineārs - dažādi vektoru produkti (skalārs, vektors, jaukts).
1. Papildinājums divi vektori tiek ģenerēti koordinātiski, tas ir, ja
Šī formula attiecas uz patvaļīgu ierobežotu terminu skaitu.
Ģeometriski divi vektori tiek pievienoti saskaņā ar diviem noteikumiem:
a) noteikums trīsstūris - iegūtais divu vektoru summas vektors savieno pirmā no tiem sākumu ar otrā beigām, ja otrā sākums sakrīt ar pirmā vektora beigām; vektoru summai iegūtais summas vektors savieno pirmā no tiem sākumu ar pēdējā vektora termiņa beigām, ja nākamā termina sākums sakrīt ar iepriekšējā termiņa beigām;
b) noteikums paralelograms (diviem vektoriem) - paralelograms tiek veidots uz vektoriem-pievienojumiem kā uz malām, kas reducētas uz vienu sākumu; paralelograma diagonāle, kas nāk no to kopīgās sākuma, ir vektoru summa.
2. Atņemšana divi vektori tiek ģenerēti koordinātu veidā, līdzīgi kā saskaitīšana, tas ir, ja, tad
Ģeometriski tiek saskaitīti divi vektori pēc jau minētā paralelograma likuma, ņemot vērā to, ka vektoru starpība ir diagonāle, kas savieno vektoru galus, un iegūtais vektors tiek novirzīts no atņemamā vektora gala uz reducētā vektora beigas.
Svarīgas vektoru atņemšanas sekas ir fakts, ka, ja ir zināmas vektora sākuma un beigu koordinātas, tad lai aprēķinātu vektora koordinātas, ir jāatņem tā sākuma koordinātas no tā beigu koordinātām
. Patiešām, jebkurš telpas vektorsvar attēlot kā atšķirību starp diviem vektoriem, kas izriet no sākuma:
. Vektoru koordinātas un sakrīt ar punktu koordinātāmBET un AT, kopš izcelsmesO(0;0;0). Tādējādi saskaņā ar vektoru atņemšanas noteikumu ir jāatņem punkta koordinātasBETno punktu koordinātāmAT.
3.
Plkst
vektora reizināšana ar skaitli λ
koordināti:
.
Plkst λ> 0 - vektors līdzrežisors ; λ< 0 - vektors pretējs virziens ; | λ|> 1 - vektora garums palielinās λ vienreiz;| λ|< 1 - vektora garums samazinās λ vienreiz.
4. Telpā tiks dota virzīta līnija (ass l), vektorsnorādītas beigu un sākuma koordinātes. Apzīmē punktu projekcijas A un B uz asi l attiecīgi caur A’ un B’ .
projekcija vektors uz asi lsauc par vektora garumu, ņemts ar "+" zīmi, ja vektors un ass llīdzvirziena, un ar "-" zīmi, ja un lpretēji vērsta.
Ja kā asi lņem kādu citu vektoru, tad iegūstam vektora projekciju uz vektora r .
Apskatīsim dažas projekciju pamatīpašības:
1) vektoru projekcija uz asi lir vienāds ar vektora moduļa reizinājumuar kosinusu no leņķa starp vektoru un asi, tas ir
;
2.) vektora projekcija uz asi ir pozitīva (negatīva), ja vektors veido akūtu (strupu) leņķi ar asi, un ir vienāda ar nulli, ja šis leņķis ir taisns;
3) vairāku vektoru summas projekcija uz vienas ass ir vienāda ar projekciju summu uz šīs ass.
Formulēsim definīcijas un teorēmas par vektoru reizinājumiem, kas attēlo nelineāras darbības ar vektoriem.
5. Punktu produkts vektori unsauc par skaitli (skalāru), kas vienāds ar šo vektoru garumu un leņķa kosinusa reizinājumuφ starp viņiem, tas ir
.
(2.27)
Acīmredzot jebkura vektora, kas nav nulle, skalārais kvadrāts ir vienāds ar kvadrātu tā garums, jo šajā gadījumā leņķis , tāpēc tā kosinuss (2.27) ir 1.
Teorēma 2.2.Nepieciešams un pietiekams nosacījums divu vektoru perpendikularitātei ir to skalārās reizinājuma vienādība ar nulli
Sekas. Vienību vektoru pāru skalārie produkti ir vienādi ar nulli, tas ir,
Teorēma 2.3. Divu vektoru punktu reizinājums, kas norādīts ar to koordinātām, ir vienāds ar to tāda paša nosaukuma koordinātu reizinājumu summu, tas ir
(2.28)
Izmantojot vektoru skalāro reizinājumu, varat aprēķināt leņķistarp viņiem. Ja ir doti divi vektori, kas atšķiras no nulles, ar to koordinātām, tad leņķa kosinussφ starp viņiem:
(2.29)
Tas nozīmē nulles nevienmērīgu vektoru perpendikulitātes nosacījumu un :
(2.30)
Vektora projekcijas atrašanavektora norādītajā virzienā , var veikt pēc formulas
(2.31)
Izmantojot vektoru skalāro reizinājumu, tiek atrasts nemainīga spēka darbsuz taisna ceļa.
Mēs pieņemam, ka pastāvīgā spēka ietekmē materiālais punkts pārvietojas taisnā līnijā no pozīcijas BET pozīcijā b. Spēka vektors veido leņķi φ ar nobīdes vektoru (2.14. att.). Fizika saka, ka darbs, ko veic spēks pārvietojoties ir vienāds ar .
Piemērs 2.9.Izmantojot vektoru skalāro reizinājumu, atrodiet leņķi virsotnēAparalelogramsABCD, būvēt uz vektoriem
Risinājums. Aprēķināsim vektoru moduļus un to skalāro reizinājumu pēc teorēmas (2.3):
No šejienes saskaņā ar formulu (2.29) iegūstam vajadzīgā leņķa kosinusu
Piemērs 2.10.Vienas tonnas biezpiena ražošanai izmantoto izejvielu un materiālo resursu izmaksas ir norādītas 2.2. tabulā (rubļos).
Kāda ir šo resursu kopējā cena, kas iztērēta vienas tonnas biezpiena ražošanai?2.2. tabula
Tad 
.Kopējās resursu izmaksas
, kas ir vektoru skalārais reizinājums. Mēs to aprēķinām pēc formulas (2.28) saskaņā ar teorēmu 2.3:
Piezīme. 2.10. piemērā veiktās darbības ar vektoriem var veikt personālajā datorā. Lai atrastu vektoru skalāro reizinājumu programmā MS Excel, tiek izmantota funkcija SUMPRODUCT(), kur kā argumenti tiek norādītas matricas elementu diapazonu adreses, kuru reizinājumu summa ir jāatrod. Programmā MathCAD divu vektoru punktu reizinājums tiek veikts, izmantojot atbilstošo Matrix rīkjoslas operatoru
Piemērs 2.11. Aprēķiniet spēka veikto darbu
, ja tā pielietojuma punkts kustas taisni no pozīcijas A(2;4;6) uz pozīciju A(4;2;7). Kādā leņķī AB vērsts spēks ?Risinājums. Mēs atrodam pārvietojuma vektoru, atņemot no tā gala koordinātāmsākuma koordinātas
. Pēc formulas (2.28)(darba vienības).
Stūris φ starp un atrodam pēc formulas (2.29), t.i.
6. Trīs nekopplanāri vektori, ņemts šādā secībā, formālabi trīs, ja skatoties no trešā vektora beigāmīsākais pagrieziens no pirmā vektorauz otro vektoruveic pretēji pulksteņrādītāja virzienam, unpa kreisi ja pulksteņrādītāja virzienā.
vektormāksla vektors pret vektoru sauc par vektoru , kas atbilst šādiem nosacījumiem:
– perpendikulāri vektoriem un ;
- kura garums ir vienāds ar
, kur φ
ir vektoru veidotais leņķis un ;
- vektori veido labo trīskāršu (2.15. att.).
Teorēma 2.4.Nepieciešams un pietiekams nosacījums divu vektoru kolinearitātei ir to vektora reizinājuma vienādība ar nulli.
Teorēma 2.5. Vektoru krustreizinājums, ko nosaka to koordinātas, ir vienāds ar formas trešās kārtas determinantu
(2.32)
Piezīme. Noteicējs (2.25) izplešas atbilstoši 7 determinantu īpašībai
Sekas 1.Nepieciešams un pietiekams nosacījums divu vektoru kolinearitātei ir to attiecīgo koordinātu proporcionalitāte
Sekas 2. Vienības vektoru vektoru reizinājumi ir vienādi
Sekas 3.Jebkura vektora vektora kvadrāts ir nulle
Ģeometriskā interpretācija vektora produkts
ir tāds, ka iegūtā vektora garums ir skaitliski vienāds ar laukumu S paralelograms, kas veidots uz vektoriem-faktoriem, kā uz malām, kas reducētas uz vienu un to pašu sākumu. Patiešām, saskaņā ar definīciju vektoru šķērsreizinājuma modulis ir vienāds ar
.
No otras puses, uz vektoriem veidota paralelograma laukums un , ir arī vienāds ar 
. Sekojoši,
.
(2.33)
Tāpat, izmantojot krustojumu, jūs varat noteikt spēka momentu attiecībā uz punktu un lineāru rotācijas ātrums.
Ļaujiet pie punkta A pielietots spēksļaujiet tai iet O - kāds punkts telpā (2.16. att.). No fizikas kursa ir zināms, ka spēka moments attiecībā pret punktu Osauc par vektoru , kas iet caur punktuOun atbilst šādiem nosacījumiem:
Perpendikulāri plaknei, kas iet caur punktiem O, A, B;
Tā modulis ir skaitliski vienāds ar spēka un rokas reizinājumu.
- veido taisnu trīskāršu ar vektoriem un.
Tāpēc spēka moments attiecībā pret punktuOir vektora produkts
. (2.34)
ass punkts (2.17. att.).
Piemērs 2.12. Atrodiet trīsstūra laukumu, izmantojot krustojumu ABC, balstīta uz vektoriemsamazināts līdz tādai pašai izcelsmei.
Ir divi veidi, kā atrisināt stereometrijas problēmas
Pirmais - klasiskais - prasa izcilas zināšanas par stereometrijas aksiomām un teorēmām, loģiku, spēju izveidot zīmējumu un reducēt trīsdimensiju problēmu uz planimetrisku. Metode ir laba, jo attīsta smadzenes un telpisko iztēli.
Vēl viena metode ir vektoru un koordinātu izmantošana. Tās ir vienkāršas formulas, algoritmi un noteikumi. Tas ir ļoti ērti, it īpaši, ja līdz eksāmenam ir maz laika, bet vēlaties atrisināt problēmu.
Ja esi to apguvis, tad sapratīsi vektorus telpā. Daudzi jēdzieni būs pazīstami.
Koordinātu sistēma telpā
Izvēlēsimies koordinātu izcelsmi. Uzzīmēsim trīs savstarpēji perpendikulāras asis X, Y un Z. Uzliksim ērtu mērogu.
Tas izslēdzās koordinātu sistēma trīsdimensiju telpā. Tagad katru tā punktu raksturo trīs skaitļi - koordinātas X, Y un Z. Piemēram, ieraksts M(−1; 3; 2) nozīmē, ka punkta M koordināte X (abscisas) ir −1, koordināte Y (ordināta) ir vienāda ar 3 un Z (piemērotā) koordināte ir 2.
Vektori telpā tiek definēti tāpat kā plaknē. Tie ir virzīti segmenti, kuriem ir sākums un beigas. Tikai telpā vektoru uzrāda trīs koordinātas x, y un z:
Kā atrast vektora koordinātas? Tāpat kā plaknē, mēs atņemam sākuma koordinātu no beigu koordinātas.
Vektora garums telpā ir attālums starp punktiem A un B. To var atrast kā kvadrātsakni no vektora koordinātu kvadrātu summas.
Lai punkts M ir nogriežņa AB viduspunkts. Tās koordinātas var atrast pēc formulas:
Lai pievienotu vektorus, mēs izmantojam jau pazīstamo trīsstūra likumu un paralelograma likumu.
Vektoru summu, to starpību, vektora reizinājumu ar skaitli un vektoru skalāro reizinājumu nosaka tāpat kā plaknē. Tikai koordinātas ir nevis divas, bet trīs. Ņemsim vektorus un .
Vektoru summa:
Vektoru atšķirība:
Vektora reizinājums ar skaitli:
Vektoru punktu reizinājums:
Leņķa kosinuss starp vektoriem:
Pēdējā formula ir ērta, lai atrastu leņķi starp līnijām telpā. It īpaši, ja šīs līnijas krustojas. Atgādiniet, ka šādi sauc līnijas, kas nav paralēlas un nekrustojas. Tie atrodas paralēlās plaknēs.
1. Kubā ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 punkti E un K ir attiecīgi malu A 1 B 1 un B 1 C 1 viduspunkti. Atrodiet leņķa kosinusu starp taisnēm AE un BK.
Ja jums ir kubs, tad jums ir paveicies. Tas lieliski iekļaujas taisnstūra koordinātu sistēmā. Zīmējuma veidošana:
Kuba malas garums nav norādīts. Lai kāds tas būtu, leņķis starp AE un BK no tā nav atkarīgs. Tātad ņemsim vienības kubu, kura visas malas ir vienādas ar 1.
Tiešais AE un BK - krustojums. Atrodiet leņķi starp vektoriem un . Tam nepieciešamas viņu koordinātas.
Uzrakstīsim vektoru koordinātas:
un atrodiet kosinusu leņķim starp vektoriem un :
2. Pareizajā četrstūra piramīda SABCD, kura visas malas ir vienādas ar 1, punkti E, K ir attiecīgi malu SB un SC viduspunkti. Atrodiet leņķa kosinusu starp taisnēm AE un BK.
Vislabāk ir izvēlēties izcelsmi piramīdas pamatnes centrā un izveidot X un Y asis paralēli pamatnes malām.
Punktu A, B un C koordinātas ir viegli atrast:
No taisnleņķa trīsstūris AOS atradums
Piramīdas virsotņu koordinātas:
Punkts E ir SB viduspunkts un K ir SC viduspunkts. Izmantosim nogriežņa vidus koordināšu formulu un atradīsim punktu E un K koordinātas.
Atrodiet vektoru koordinātas un
un leņķis starp tiem:
Tagad parādīsim, kā ierakstīt koordinātu sistēmu trīsstūrveida prizmā:
3. Regulārā trīsstūra prizmā ABCA 1 B 1 C 1 , kuras visas malas ir vienādas ar 1, punkts D ir malas A 1 B 1 viduspunkts. Atrodiet kosinusu leņķim starp taisnēm AD un BC 1
Ļaujiet punktam A būt sākuma vietai. Ņemsim X asi paralēli malai BC, bet Y asi tai perpendikulāri. Citiem vārdiem sakot, segments AH atradīsies uz Y ass, kas ir trīsstūra ABC augstums. Atsevišķi uzzīmējiet prizmas apakšējo pamatni.
Uzrakstīsim punktu koordinātas:
Punkts D ir A 1 B 1 vidus. Tātad, mēs izmantojam formulas viduspunkta koordinātām
segmentu.
Atrodiet vektoru un koordinātas un pēc tam leņķi starp tiem:
Skatiet, cik viegli ir atrast leņķi starp līnijām, izmantojot vektorus un koordinātas. Un, ja vēlaties atrast leņķi starp plaknēm vai starp līniju un plakni? Lai atrisinātu šādas problēmas, mums ir nepieciešams vienādojums ar plakni telpā.
Plakni telpā nosaka vienādojums:
Šeit skaitļi A, B un C ir vektora koordinātas, kas ir perpendikulāras šai plaknei. To sauc par plaknes normālu.
X, y un z vietā vienādojumā var aizstāt jebkura punkta koordinātas, kas pieder šai plaknei. Iegūstiet pareizo līdzsvaru.
Plakni telpā var novilkt caur jebkuriem trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes. Tāpēc, lai uzrakstītu plaknes vienādojumu, mēs ņemam trīs tai piederošo punktu koordinātas. Mēs tos pēc kārtas aizstājam plaknes vienādojumā. Mēs atrisinām iegūto sistēmu.
Parādīsim, kā tas tiek darīts.
Uzrakstīsim vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) un K (4; 1; 2).
Plaknes vienādojums izskatās šādi:
Pēc kārtas nomainiet punktu M, N un K koordinātas.
M punktam:
Tas ir, A + C + D = 0.
Punktam N:
Līdzīgi attiecībā uz punktu K:
Mēs saņēmām trīs vienādojumu sistēmu:
Tajā ir četri nezināmie: A, B, C un D. Tāpēc vienu no tiem izvēlēsimies paši, bet pārējos izteiksim caur to. Noteikums ir vienkāršs – viena mainīgā vietā var ņemt jebkuru skaitli, kas nav vienāds ar nulli.
Pieņemsim, piemēram, D = −2. Pēc tam:
Izteikt C un B izteiksmē A un aizstāt to ar trešo vienādojumu:
Atrisinot sistēmu, mēs iegūstam:
MNK plaknes vienādojumam ir šāda forma:
Reiziniet abas vienādojuma puses ar –3. Tad koeficienti kļūst par veseliem skaitļiem:
Vektors ir normāls MNK plaknei.
Plaknes vienādojumam, kas iet caur noteiktu punktu, ir šāda forma:
Leņķis starp plaknēm vienāds ar leņķi starp normālajām vērtībām šīm plaknēm:
Vai tā nav pazīstama formula? Normālo vērtību skalārais reizinājums tika dalīts ar to garuma reizinājumu.
Ņemiet vērā, ka tad, kad krustojas divas plaknes, faktiski veidojas četri stūri.
Mēs ņemam mazāko. Tāpēc formula satur skalārā reizinājuma moduli - lai leņķa kosinuss nebūtu negatīvs.
4. Kubā ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 punkti E un F ir attiecīgi malu A 1 B 1 un A 1 D 1 viduspunkti. Atrodiet leņķa tangensu starp plaknēm AEF un BDD 1 .
Mēs veidojam zīmējumu. Var redzēt, ka plaknes AEF un BDD 1 krustojas kaut kur ārpus kuba. AT klasiskais risinājums būtu jāizbūvē to krustojuma līnija. Bet vektora koordinātu metode visu ievērojami vienkāršo. Nemokosimies par līniju, pa kuru plaknes krustojas. Vienkārši atzīmējiet mums vajadzīgo punktu koordinātas un atrodiet leņķi starp normāliem plaknēm AEF un BDD 1 .
Pirmkārt - normālais plaknei BDD 1 . Protams, mēs varam aizvietot punktu B, D un D 1 koordinātas plaknes vienādojumā un atrast koeficientus, kas būs normālā vektora koordinātas. Un mēs to varam izdarīt viltīgāk - skatīt vēlamo normālo tieši uz zīmējuma. Galu galā BDD 1 plakne ir kuba diagonāla daļa. Vektors ir perpendikulārs šai plaknei.
Tātad mums jau ir pirmais normālais vektors:
Uzrakstīsim plaknes AEF vienādojumu.
Mēs ņemam plaknes vienādojumu un, savukārt, tajā aizstājam x, y un z vietā atbilstošās punktu A, E un F koordinātas.
Vienkāršosim sistēmu:
Ļaujiet C = -1. Tad A = B = 2.
AEF plaknes vienādojums:
Parasta lidmašīnai AEF:
Atrodiet leņķi starp plaknēm:
5. Taisnstūra četrstūra prizmas BCDA 1 B 1 C 1 D 1 pamats ir taisnstūris ABCD, kurā AB = 5, AD = √33. Atrodiet pieskares leņķim starp plaknes AA 1 D 1 D plakni un plakni, kas iet caur malas CD viduspunktu, kas ir perpendikulāra taisnei B 1 D, ja attālums starp taisnēm A 1 C 1 un BD ir √3 .
Šis uzdevums skaidri parāda, cik daudz vienkāršāka ir vektora metode nekā klasiskā. Mēģiniet maiņai uzbūvēt vajadzīgās sadaļas un veikt visus pierādījumus - kā tas tiek darīts "klasikā" :-)
Mēs veidojam zīmējumu. Taisno četrstūra prizmu var saukt par "paralēlstūri" citā veidā.
Mēs pamanām, ka mums ir paralēlskaldņa garums un platums, bet šķiet, ka augstums nav norādīts. Kā viņu atrast?
"Attālums starp līnijām A 1 C 1 un BD ir √3". Taisnes A 1 C 1 un BD krustojas. Viens no tiem ir augšējās pamatnes diagonāle, otrs ir apakšējā diagonāle. Atgādiniet, ka attālums starp krustojošām līnijām ir vienāds ar to kopējā perpendikula garumu. Kopējais perpendikuls A 1 C 1 un BD acīmredzami ir OO 1 , kur O ir apakšējās pamatnes diagonāļu krustpunkts, O 1 ir augšējās diagonāļu krustpunkts. Un segments OO 1 ir vienāds ar paralēlskaldņa augstumu.
Tātad, AA 1 = √3
Plakne AA 1 D 1 D ir prizmas aizmugure mūsu zīmējumā. Normāls tam ir jebkurš vektors, kas ir perpendikulārs aizmugurei, piemēram, vektors vai, vienkāršāk sakot, vektors.
Paliek "plakne, kas iet caur malas CD vidu perpendikulāri taisnei B 1 D". Bet, ja plakne ir perpendikulāra taisnei B 1 D, tad B 1 D ir šīs plaknes normālā! Ir zināmas punktu B 1 un D koordinātas:
Vektoru koordinātas - arī.
Visas definīcijas un teorēmas, kas saistītas ar vektoriem plaknē, attiecas arī uz telpu. Mēs atgādinām galvenās definīcijas.
Lai definētu vektoru, mums ir nepieciešams
Definīcija
Virziena segments sauc par sakārtotu punktu pāri telpā. Tiek saukti virzīti segmenti vienāds ja tiem ir vienāds garums un virziens.
Definīcija
Vektors ir visu vienādu virzītu segmentu kopa.
Vektorus parasti apzīmē ar mazajiem latīņu burtiem ar bultiņu augšpusē: $\vec(a)$, $\vec(b)$, $\vec(c)$. Virzītie segmenti tiek apzīmēti, norādot sākumu un beigas, arī ar bultiņu no augšas: $\vec(AB)$.
Vektors ir kopa, kas sastāv no bezgala daudzu elementu. Bieži vien virzīts segments tiek saukts par "vektoru". Ja $\vec(AB) \in \vec(a)$, tad tiek uzskatīts, ka virzītais segments $\vec(AB)$ attēlo vektoru $\vec(a)$. Tajā pašā laikā uz zīmējuma tiek uzzīmēts virzīts segments, un viņi saka par to "vektors". Piemēram, kad mēs sakām "novietojiet vektoru $\vec(r)$ prom no punkta $O$, mēs domājam, ka mēs veidojam virzītu segmentu $\vec(OR)$, kas attēlo vektoru $\vec(r) $.
Definīcija
Vektorus sauc vienāds, ja virzītie segmenti, kas tos attēlo, ir vienādi.
Uz vektoriem var veikt saskaitīšanas un atņemšanas darbības, kā arī reizināt doto vektoru ar reālu skaitli.
Trīsstūra noteikums ir zināms no planimetrijas: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$,
paralelograma noteikums: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$
un vektoru daudzstūra pievienošanas likums plaknei, kas ir patiess arī telpā.
Daudzlīnijas noteikums vektoru pievienošanai
Ja $A_1, \, A_2, \, \dots, \, A_n$ ir patvaļīgi punkti telpā, tad
$ \vec(A_1A_2) + \ punkti + \vec(A_(n-1)A_n) = \vec(A_1A_n). $
Turklāt kosmosā tā ir taisnība
Kastes noteikums
Ja $\vec(OA) \in \vec(a)$, $\vec(OB) \in \vec(b)$, $\vec(OC) \in \vec(c)$, tad, konstruējot paralēlskaldņa $OAEBCFDG$ virzītajos segmentos var atrast virzītu segmentu $\vec(OD)$, kas attēlo vektoru $\vec(d)$, kas ir vektoru $\vec(a), \, summa. \vec(b), \, \vec(c).$
