Logaritmu īpašības un to atrisinājumu piemēri. Izsmeļošs ceļvedis (2020). Kas ir logaritms Paplašinājums pakāpju rindā
(no grieķu valodas λόγος — "vārds", "attiecība" un ἀριθμός - "skaitlis") b saprāta dēļ a(log α b) sauc par šādu skaitli c, un b= a c, tas ir, log α b=c un b=ac ir līdzvērtīgi. Logaritmam ir jēga, ja a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Citiem vārdiem sakot logaritms cipariem b saprāta dēļ a formulēts kā eksponents, līdz kuram jāpaaugstina skaitlis a lai iegūtu numuru b(logaritms pastāv tikai pozitīviem skaitļiem).
No šī formulējuma izriet, ka aprēķins x= log α b, ir ekvivalents vienādojuma a x =b atrisināšanai.
Piemēram:
log 2 8 = 3, jo 8 = 2 3 .
Mēs atzīmējam, ka norādītais logaritma formulējums ļauj nekavējoties noteikt logaritma vērtība kad skaitlis zem logaritma zīmes ir noteikta bāzes pakāpe. Patiešām, logaritma formulējums ļauj pamatot, ka, ja b=a c, tad skaitļa logaritms b saprāta dēļ a vienāds Ar. Ir arī skaidrs, ka logaritma tēma ir cieši saistīta ar tēmu skaitļa pakāpe.
Tiek minēts logaritma aprēķins logaritms. Logaritms ir logaritma ņemšanas matemātiska darbība. Ņemot logaritmu, faktoru produkti tiek pārveidoti par terminu summām.
Potenciācija ir matemātiska darbība, kas ir apgriezta logaritmam. Potencējot, dotā bāze tiek paaugstināta līdz izteiksmes pakāpēm, uz kuras tiek veikta potenciācija. Šajā gadījumā terminu summas tiek pārveidotas par faktoru reizinājumu.
Diezgan bieži tiek izmantoti reāli logaritmi ar bāzēm 2 (binārais), e Eilera skaitlis e ≈ 2,718 (dabiskais logaritms) un 10 (decimālskaitlis).
Šajā posmā ir vērts padomāt logaritmu paraugižurnāls 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.
Un ierakstiem lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nav jēgas, jo pirmajā no tiem zem logaritma zīmes ir ievietots negatīvs skaitlis, otrajā - negatīvs skaitlis bāze, bet trešajā - un negatīvs skaitlis zem logaritma zīmes un vienības bāzē.
Logaritma noteikšanas nosacījumi.
Ir vērts atsevišķi apsvērt nosacījumus a > 0, a ≠ 1, b > 0. logaritma definīcija. Padomāsim, kāpēc tiek pieņemti šie ierobežojumi. Tas mums palīdzēs ar vienādību formā x = log α b, ko sauc par pamata logaritmisko identitāti, kas tieši izriet no iepriekš dotās logaritma definīcijas.
Pieņem nosacījumu a≠1. Tā kā viens ir vienāds ar vienu jebkurai pakāpei, tad vienādība x=log α b var pastāvēt tikai tad, kad b=1, bet log 1 1 būs jebkurš reāls skaitlis. Lai novērstu šo neskaidrību, mēs ņemam a≠1.
Pierādīsim nosacījuma nepieciešamību a>0. Plkst a=0 saskaņā ar logaritma formulējumu var pastāvēt tikai tad, kad b=0. Un tad attiecīgi žurnāls 0 0 var būt jebkurš reāls skaitlis, kas nav nulle, jo no nulles līdz jebkurai nullei atšķirīgai pakāpei ir nulle. Lai novērstu šo neskaidrību, nosacījums a≠0. Un tad, kad a<0 mums būtu jānoraida logaritma racionālo un iracionālo vērtību analīze, jo eksponents ar racionālo un iracionālo eksponentu tiek definēts tikai nenegatīvām bāzēm. Šī iemesla dēļ nosacījums a>0.
Un pēdējais nosacījums b>0 izriet no nevienlīdzības a>0, jo x=log α b, un grāda vērtība ar pozitīvu bāzi a vienmēr pozitīvi.
Logaritmu iezīmes.
Logaritmi raksturīgs raksturīgs Iespējas, kas noveda pie to plašas izmantošanas, lai ievērojami atvieglotu rūpīgus aprēķinus. Pārejā "uz logaritmu pasauli" reizināšana tiek pārveidota par daudz vieglāku saskaitīšanu, dalīšana atņemšanā, bet paaugstināšana līdz pakāpei un saknes ņemšana tiek pārveidota attiecīgi par reizināšanu un dalīšanu ar eksponentu.
Logaritmu formulējums un to vērtību tabula (par trigonometriskās funkcijas) pirmo reizi 1614. gadā publicēja skotu matemātiķis Džons Napier. Logaritmiskās tabulas, ko citi zinātnieki palielināja un sīki izstrādāja, plaši izmantoja zinātniskajos un inženiertehniskajos aprēķinos, un tās bija aktuālas līdz brīdim, kad sāka izmantot elektroniskos kalkulatorus un datorus.
Logaritmus, tāpat kā jebkuru skaitli, var saskaitīt, atņemt un pārveidot visos iespējamos veidos. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc pamata īpašības.
Šie noteikumi ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienā dienā. Tātad sāksim.
Logaritmu saskaitīšana un atņemšana
Apsveriet divus logaritmus ar vienu un to pašu bāzi: log a x un žurnālu a y. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:
- žurnāls a x+baļķis a y= baļķis a (x · y);
- žurnāls a x−log a y= baļķis a (x : y).
Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un atšķirība ir koeficienta logaritms. Lūdzu, ņemiet vērā: galvenais šeit ir - tādi paši pamatojumi. Ja bāzes atšķiras, šie noteikumi nedarbojas!
Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību "Kas ir logaritms"). Apskatiet piemērus un skatiet:
baļķis 6 4 + baļķis 6 9.
Tā kā logaritmu bāzes ir vienādas, mēs izmantojam summas formulu:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 2 48 − log 2 3.
Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 3 135 − log 3 5.
Atkal, bāzes ir vienādas, tāpēc mums ir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no "sliktiem" logaritmiem, kas netiek apskatīti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām izrādās diezgan normāli skaitļi. Pamatojoties uz šo faktu, daudzi pārbaudes darbi. Jā, kontrole - līdzīgi izteicieni visā nopietnībā (dažkārt - praktiski bez izmaiņām) tiek piedāvāti eksāmenā.
Eksponenta noņemšana no logaritma
Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāzē vai argumentā ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:
Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko viņu pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties – dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.
Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots ODZ logaritms: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Un vēl: iemācīties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo, bet arī otrādi, t.i. jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā. Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 7 49 6 .
Atbrīvosimies no argumenta pakāpes pēc pirmās formulas:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:
[Attēla paraksts]
Ņemiet vērā, ka saucējs ir logaritms, kura bāze un arguments ir precīzas pakāpes: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mums ir:
[Attēla paraksts] Es domāju, ka pēdējais piemērs ir jāprecizē. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju. Viņi uzrādīja tur esošā logaritma bāzi un argumentu grādu veidā un izņēma rādītājus - viņi ieguva “trīsstāvu” daļu.
Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājam un saucējam ir vienāds skaitlis: log 2 7. Tā kā log 2 7 ≠ 0, mēs varam samazināt daļu - 2/4 paliks saucējā. Saskaņā ar aritmētikas likumiem četriniekus var pārnest uz skaitītāju, kas arī tika izdarīts. Rezultāts ir atbilde: 2.
Pāreja uz jaunu pamatu
Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja bāzes atšķiras? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?
Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu bāzi. Mēs tos formulējam teorēmas veidā:
Ļaujiet logaritmam reģistrēties a x. Tad jebkuram skaitlim c tāds, ka c> 0 un c≠ 1, vienādība ir patiesa:
[Attēla paraksts]
Jo īpaši, ja mēs ieliekam c = x, mēs iegūstam:
[Attēla paraksts]
No otrās formulas izriet, ka logaritma bāzi un argumentu var apmainīt, bet visa izteiksme ir “apgriezta”, t.i. logaritms ir saucējā.
Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. To, cik tie ir ērti, var novērtēt tikai izlemjot logaritmiskie vienādojumi un nevienlīdzības.
Tomēr ir uzdevumi, kurus nemaz nevar atrisināt, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 5 16 log 2 25.
Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti ir precīzi eksponenti. Izņemsim rādītājus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Tagad apgriezīsim otro logaritmu:
[Attēla paraksts]Tā kā reizinājums nemainās no faktoru permutācijas, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un pēc tam izdomājām logaritmus.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 9 100 lg 3.
Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no rādītājiem:
[Attēla paraksts]Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:
[Attēla paraksts]Pamatlogaritmiskā identitāte
Bieži vien risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā formulas mums palīdzēs:
Pirmajā gadījumā numurs n kļūst par argumenta eksponentu. Numurs n var būt pilnīgi jebkas, jo tā ir tikai logaritma vērtība.
Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. To sauc par pamata logaritmisko identitāti.
Patiešām, kas notiks, ja numurs b celt pie varas tā, ka bšajā mērā dod skaitli a? Tieši tā: tas ir tas pats numurs a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu - daudzi cilvēki tajā “karājas”.
Tāpat kā jaunās bāzes konvertēšanas formulas, arī pamata logaritmiskā identitāte dažreiz ir vienīgais iespējamais risinājums.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:
[Attēla paraksts]
Ņemiet vērā, ka log 25 64 = log 5 8 - tikko izņēma kvadrātu no bāzes un logaritma argumenta. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar to pašu bāzi, mēs iegūstam:
[Attēla paraksts]Ja kāds nezina, šis bija īsts eksāmena uzdevums :)
Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle
Noslēgumā es sniegšu divas identitātes, kuras ir grūti nosaukt par īpašībām - drīzāk tās ir sekas no logaritma definīcijas. Viņi pastāvīgi tiek atrasti problēmās un pārsteidzošā kārtā rada problēmas pat "progresīviem" studentiem.
- žurnāls a a= 1 ir logaritmiskā vienība. Vienreiz par visām reizēm atcerieties: logaritms uz jebkuru bāzi a no šīs bāzes pati par sevi ir vienāda ar vienu.
- žurnāls a 1 = 0 ir logaritmiskā nulle. Bāze a var būt jebkas, bet, ja arguments ir viens, logaritms ir nulle! jo a 0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.
Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.
Pieņemamais logaritma diapazons (ODZ).
Tagad parunāsim par ierobežojumiem (ODZ - mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību apgabals).
Mēs atceramies, ka, piemēram, Kvadrātsakne nevar iegūt no negatīviem skaitļiem; vai ja mums ir daļskaitlis, tad saucējs nevar būt vienāds ar nulli. Logaritmiem ir līdzīgi ierobežojumi:
Tas ir, gan argumentam, gan bāzei jābūt lielākai par nulli, un bāze nevar būt vienāda.
Kāpēc ir tā, ka?
Sāksim vienkārši: teiksim tā. Tad, piemēram, skaitlis neeksistē, jo neatkarīgi no tā, kādu grādu mēs celtu, tas vienmēr izrādās. Turklāt tas neeksistē nevienam. Bet tajā pašā laikā tas var būt vienāds ar jebko (tā paša iemesla dēļ - tas ir vienāds ar jebkuru grādu). Tāpēc objekts neinteresē, un tas tika vienkārši izmests no matemātikas.
Mums gadījumā ir līdzīga problēma: jebkurā pozitīvā pakāpē - tas, bet to vispār nevar pacelt negatīvā pakāpē, jo radīsies dalīšana ar nulli (to atgādinu).
Kad mēs saskaramies ar problēmu, kas saistīta ar paaugstināšanu līdz daļējai pakāpei (kas tiek attēlota kā sakne:. Piemēram, (tas ir), bet neeksistē.
Tāpēc negatīvus iemeslus ir vieglāk izmest, nekā ar tiem sajaukt.
Nu, tā kā bāze a mums ir tikai pozitīva, tad neatkarīgi no tā, kādā pakāpē mēs to pacelsim, mēs vienmēr saņemsim stingri pozitīvu skaitli. Tātad argumentam jābūt pozitīvam. Piemēram, tas neeksistē, jo tas nekādā mērā nebūs negatīvs skaitlis (un pat nulle, tāpēc tas arī neeksistē).
Problēmās ar logaritmiem pirmais solis ir pierakstīt ODZ. Es sniegšu piemēru:
Atrisināsim vienādojumu.
Atgādiniet definīciju: logaritms ir jauda, līdz kurai jāpaaugstina bāze, lai iegūtu argumentu. Un pēc nosacījuma šī pakāpe ir vienāda ar: .
Mēs iegūstam parasto kvadrātvienādojumu: . Mēs to atrisinām, izmantojot Vietas teorēmu: sakņu summa ir vienāda, un reizinājums. Viegli paņemt, tie ir cipari un.
Bet, ja uzreiz ņemat un atbildē pierakstāt abus šos skaitļus, par uzdevumu var iegūt 0 punktu. Kāpēc? Padomāsim par to, kas notiks, ja mēs šīs saknes aizstājam sākotnējā vienādojumā?
Tas ir acīmredzami nepatiess, jo bāze nevar būt negatīva, tas ir, sakne ir "trešā puse".
Lai izvairītos no šādiem nepatīkamiem trikiem, jums ir jāpieraksta ODZ pat pirms vienādojuma risināšanas:
Pēc tam, saņēmuši saknes un, mēs nekavējoties izmetam sakni un uzrakstām pareizo atbildi.
1. piemērs(mēģiniet to atrisināt pats) :
Atrodiet vienādojuma sakni. Ja saknes ir vairākas, atbildē norādiet mazāko.
Risinājums:
Vispirms uzrakstīsim ODZ:
Tagad mēs atceramies, kas ir logaritms: ar kādu spēku jums jāpaaugstina bāze, lai iegūtu argumentu? Otrajā. Tas ir:
Šķiet, ka mazākā sakne ir vienāda. Bet tas tā nav: saskaņā ar ODZ sakne ir trešā puse, tas ir, tā vispār nav sakne dots vienādojums. Tādējādi vienādojumam ir tikai viena sakne: .
Atbilde: .
Pamatlogaritmiskā identitāte
Atgādiniet logaritma definīciju vispārīgi:
Logaritma vietā aizstājiet otro vienādību:
Šo vienlīdzību sauc galvenais logaritmiskā identitāte . Lai gan pēc būtības šī vienlīdzība vienkārši ir rakstīta savādāk logaritma definīcija:
Tas ir spēks, kas jums jāpalielina, lai iegūtu.
Piemēram:
Atrisiniet šādus piemērus:
2. piemērs
Atrodiet izteiksmes vērtību.
Risinājums:
Atgādiniet noteikumu no sadaļas:, tas ir, paaugstinot pakāpi līdz jaudai, rādītāji tiek reizināti. Pielietosim to:
3. piemērs
Pierādiet to.
Risinājums:
Logaritmu īpašības
Diemžēl uzdevumi ne vienmēr ir tik vienkārši - bieži vien vispirms ir jāvienkāršo izteiksme, jāieved ierastajā formā, un tikai tad būs iespējams aprēķināt vērtību. Visvieglāk to izdarīt, zinot logaritmu īpašības. Tātad, apgūsim logaritmu pamatīpašības. Es pierādīšu katru no tiem, jo jebkuru noteikumu ir vieglāk atcerēties, ja zini, no kurienes tas nāk.
Visas šīs īpašības ir jāatceras, bez tām nevar atrisināt lielāko daļu logaritmu problēmu.
Un tagad par visām logaritmu īpašībām sīkāk.
1. īpašums:
Pierādījums:
Lai tad.
Mums ir: , h.t.d.
2. īpašība: logaritmu summa
Logaritmu summa ar tādu pašu bāzi ir vienāda ar reizinājuma logaritmu: .
Pierādījums:
Lai tad. Lai tad.
Piemērs: Atrodiet izteiksmes vērtību: .
Risinājums:.
Tikko apgūtā formula palīdz vienkāršot logaritmu summu, nevis atšķirību, lai šos logaritmus nevarētu uzreiz apvienot. Bet jūs varat rīkoties otrādi - "sadaliet" pirmo logaritmu divās daļās: Un šeit ir solītais vienkāršojums:
.
Kāpēc tas ir vajadzīgs? Nu, piemēram: kāda tam nozīme?
Tagad tas ir skaidrs.
Tagad padariet to viegli sev:
Uzdevumi:
Atbildes:
3. īpašums: logaritmu atšķirība:
Pierādījums:
Viss ir tieši tāpat kā 2. punktā:
Lai tad.
Lai tad. Mums ir:
Piemērs no pēdējā punkta tagad ir vēl vienkāršāks:
Sarežģītāks piemērs: . Uzminiet paši, kā izlemt?
Šeit jāatzīmē, ka mums nav vienas formulas par logaritmiem kvadrātā. Tas ir kaut kas līdzīgs izteicienam — to nevar uzreiz vienkāršot.
Tāpēc atkāpsimies no logaritmu formulām un padomāsim, kādas formulas mēs matemātikā parasti lietojam visbiežāk? Jau kopš 7. klases!
Tas -. Jāpierod, ka tās ir visur! Un eksponenciālajās, trigonometriskajās un iracionālajās problēmās tie ir atrodami. Tāpēc tie ir jāatceras.
Ja paskatās uzmanīgi uz pirmajiem diviem terminiem, kļūst skaidrs, ka tas tā ir kvadrātu atšķirība:
Atbilde, lai pārbaudītu:
Vienkāršojiet sevi.
Piemēri
Atbildes.
4. īpašība: eksponenta atvasināšana no logaritma argumenta:
Pierādījums: Un šeit mēs arī izmantojam logaritma definīciju: pieņemsim, tad. Mums ir: , h.t.d.
Šo noteikumu varat saprast šādi:
Tas nozīmē, ka argumenta pakāpe tiek virzīta uz priekšu no logaritma kā koeficients.
Piemērs: Atrodiet izteiksmes vērtību.
Risinājums: .
Izlemiet paši:
Piemēri:
Atbildes:
5. īpašums: eksponenta atvasināšana no logaritma bāzes:
Pierādījums: Lai tad.
Mums ir: , h.t.d.
Atcerieties: no pamatojums grāds tiek atveidots kā otrādi numuru, atšķirībā no iepriekšējā gadījuma!
6. īpašība: eksponenta atvasināšana no logaritma bāzes un argumenta:
Vai arī, ja grādi ir vienādi: .
7. īpašums: pāreja uz jaunu bāzi:
Pierādījums: Lai tad.
Mums ir: , h.t.d.
8. īpašums: logaritma bāzes un argumenta apmaiņa:
Pierādījums: to īpašs gadījums formula 7: ja mēs aizstājam, mēs iegūstam: , p.t.d.
Apskatīsim vēl dažus piemērus.
4. piemērs
Atrodiet izteiksmes vērtību.
Mēs izmantojam logaritmu Nr. 2 īpašību - logaritmu summa ar vienādu bāzi ir vienāda ar reizinājuma logaritmu:
5. piemērs
Atrodiet izteiksmes vērtību.
Risinājums:
Mēs izmantojam logaritmu Nr. 3 un Nr. 4 īpašību:
6. piemērs
Atrodiet izteiksmes vērtību.
Risinājums:
Izmantojot īpašuma numuru 7 — pārejiet uz 2. bāzi:
7. piemērs
Atrodiet izteiksmes vērtību.
Risinājums:
Kā jums patīk raksts?
Ja lasāt šīs rindas, tad esat izlasījis visu rakstu.
Un tas ir forši!
Tagad pastāstiet mums, kā jums patīk raksts?
Vai esat iemācījušies atrisināt logaritmus? Ja nē, kāda ir problēma?
Rakstiet mums zemāk esošajos komentāros.
Un jā, lai veicas eksāmenos.
Vienotajā valsts eksāmenā un OGE un vispār dzīvē
"Saīsinātās reizināšanas formulas" — reizinot divus polinomus, katrs pirmā polinoma vārds tiek reizināts ar katru otrā polinoma vārdu un tiek saskaitīti reizinājumi. Saīsinātās reizināšanas formulas. Saskaitot un atņemot polinomus, tiek izmantoti iekavu atvēršanas noteikumi. Monomi ir skaitļu, mainīgo lielumu un to dabisko spēku produkti.
"Vienādojumu sistēmas risinājums" - Grafiskā metode (algoritms). Vienādojums ir vienādojums, kas satur vienu vai vairākus mainīgos. Vienādojums un tā īpašības. Determinantu metode (algoritms). Vienādojumu sistēma un tās risinājums. Sistēmas risinājums ar salīdzināšanas metodi. Lineārais vienādojums ar diviem mainīgajiem. Sistēmas risinājums ar pievienošanas metodi.
"Nevienādību sistēmu risinājums" - Intervāli. Matemātiskais diktāts. Risināšanas sistēmu piemēri lineārās nevienādības. Nevienādību sistēmu risinājums. Lai atrisinātu lineāro nevienādību sistēmu, pietiek atrisināt katru no tajā iekļautajām nevienādībām un atrast to atrisinājumu kopu krustpunktu. Pierakstiet nevienādības, kuru atrisinājumu kopas ir intervāli.
"Indikatīvā nevienlīdzība" - nevienlīdzības zīme. Atrisiniet nevienlīdzību. Vienkāršāko eksponenciālo nevienādību risinājums. Eksponenciālo nevienādību risinājums. Kas jāņem vērā, risinot eksponenciālās nevienādības? Vienkāršāko eksponenciālo nevienādību risinājums. Nevienādību, kuras eksponents satur nezināmu, sauc par eksponenciālo nevienādību.
"Ciparu attiecības" - kas ir proporcija? Kādi ir skaitļu m un n nosaukumi proporcijā a: m = n: c? Divu skaitļu koeficientu sauc par divu skaitļu attiecību. Mārketinga lan. Pareizajā proporcijā galējo vārdu reizinājums ir vienāds ar vidējo vārdu reizinājumu un otrādi. Kas ir attieksme? Proporcijas. Attiecību var izteikt procentos.
"Kvadrātvienādojuma diskriminants" - Vietas teorēma. Kvadrātvienādojumi. Diskriminējošais. Kādus vienādojumus sauc par nepilnīgajiem kvadrātvienādojumiem? Cik sakņu ir vienādojumam, ja tā diskriminants ir nulle? Nepilnīgs risinājums kvadrātvienādojumi. Cik sakņu ir vienādojumam, ja tā diskriminants ir negatīvs skaitlis?
Kopumā tēmā ir 14 prezentācijas
Dotas galvenās logaritma īpašības, logaritma grafiks, definīcijas joma, vērtību kopa, pamatformulas, palielinājums un samazinājums. Tiek apsvērta logaritma atvasinājuma atrašana. Kā arī integrālis, pakāpju rindu paplašināšana un attēlošana ar komplekso skaitļu palīdzību.
SatursDomēns, vērtību kopa, augoša, dilstoša
Logaritms ir monotona funkcija, tāpēc tai nav ekstrēmu. Galvenās logaritma īpašības ir parādītas tabulā.
| Domēns | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Vērtību diapazons | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Monotons | palielinās monotoni | monotoni samazinās |
| Nulles, y= 0 | x= 1 | x= 1 |
| Krustošanās punkti ar y asi, x = 0 | Nē | Nē |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Privātās vērtības
Tiek izsaukts 10 bāzes logaritms decimāllogaritms un ir atzīmēts šādi:
bāzes logaritms e sauca naturālais logaritms:
Pamata logaritma formulas
Logaritma īpašības, kas izriet no apgrieztās funkcijas definīcijas:
Logaritmu galvenā īpašība un tās sekas
Bāzes nomaiņas formula
Logaritms ir logaritma ņemšanas matemātiska darbība. Ņemot logaritmu, faktoru produkti tiek pārvērsti terminu summās.
Potenciācija ir matemātiska darbība, kas ir apgriezta logaritmam. Potencējot, dotā bāze tiek paaugstināta līdz izteiksmes pakāpēm, uz kuras tiek veikta potenciācija. Šajā gadījumā terminu summas tiek pārveidotas par faktoru reizinājumiem.
Logaritmu pamatformulu pierādījums
Ar logaritmiem saistītās formulas izriet no eksponenciālo funkciju formulām un no apgrieztās funkcijas definīcijas.
Apsveriet eksponenciālās funkcijas īpašību
.
Tad
.
Lietojiet eksponenciālās funkcijas īpašību
:
.
Pierādīsim bāzes maiņas formulu.
;
.
Iestatījums c = b , mums ir:
Apgrieztā funkcija
Logaritma bāzes apgrieztā vērtība ir eksponenciālā funkcija ar eksponentu a.
Ja tad
Ja tad
Logaritma atvasinājums
Logaritma moduļa x atvasinājums:
.
N-tās kārtas atvasinājums:
.
Formulu atvasināšana >>>
Lai atrastu logaritma atvasinājumu, tas jāsamazina līdz bāzei e.
;
.
Integrāls
Logaritma integrāli aprēķina, integrējot pa daļām: .
Tātad,
Izteiksmes komplekso skaitļu izteiksmē
Apsveriet kompleksā skaitļa funkciju z:
.
Izteiksim kompleksu skaitli z caur moduli r un arguments φ
:
.
Tad, izmantojot logaritma īpašības, mums ir:
.
Or
Tomēr arguments φ
nav skaidri definēts. Ja liekam
, kur n ir vesels skaitlis,
tad tas būs vienāds numurs dažādiem n.
Tāpēc logaritms kā kompleksa mainīgā funkcija nav vienvērtības funkcija.
Jaudas sērijas paplašināšana
Attiecībā uz , paplašināšana notiek:
Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un augstskolu studentiem, Lan, 2009.