Trinomio quadrato e suo grafico. Trinomi quadrati e parametri. Grafici di una funzione quadratica e coefficienti di un trinomio quadratico
Lezione: Come costruire una parabola o una funzione quadratica?
PARTE TEORICA
Una parabola è il grafico di una funzione descritta dalla formula ax 2 +bx+c=0.
Per costruire una parabola è necessario seguire un semplice algoritmo:
1) Formula della parabola y=ax 2 +bx+c,
Se a>0 quindi si orientano i rami della parabola su,
altrimenti i rami della parabola sono diretti giù.
Membro gratuito C questo punto interseca la parabola con l'asse OY;
2), si trova utilizzando la formula x=(-b)/2a, sostituiamo la x trovata nell'equazione della parabola e troviamo sì;
3)Zeri di funzione o, in altre parole, i punti di intersezione della parabola con l'asse OX, sono anche chiamati radici dell'equazione. Per trovare le radici uguagliamo l'equazione a 0 asse2+bx+c=0;
Tipi di equazioni:
a) L'equazione quadratica completa ha la forma asse2+bx+c=0 ed è risolto dal discriminante;
b) Equazione quadratica incompleta della forma asse2+bx=0. Per risolverlo, devi togliere x tra parentesi, quindi equiparare ciascun fattore a 0:
asse 2 +bx=0,
x(asse+b)=0,
x=0 e ax+b=0;
c) Equazione quadratica incompleta della forma asse 2 +c=0. Per risolverlo, è necessario spostare le incognite da una parte e le conoscenze dall'altra. x =±√(c/a);
4) Trova diversi punti aggiuntivi per costruire la funzione.
PARTE PRATICA
E quindi ora, utilizzando un esempio, analizzeremo tutto passo dopo passo:
Esempio 1:
y=x2+4x+3
c=3 significa che la parabola interseca OY nel punto x=0 y=3. I rami della parabola guardano verso l'alto poiché a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 vertice è nel punto (-2;-1)
Troviamo le radici dell'equazione x 2 +4x+3=0
Usando il discriminante troviamo le radici
a=1 b=4 c=3
D=b2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1 =(-4+2)/2=-1
x2 =(-4-2)/2=-3
Prendiamo diversi punti arbitrari che si trovano vicino al vertice x = -2
x -4 -3 -1 0
e 3 0 0 3
Sostituisci invece di x nell'equazione y=x 2 +4x+3 valori
y=(-4)2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)2+4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1)2+4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Dai valori della funzione si vede che la parabola è simmetrica rispetto alla retta x = -2
Esempio n.2:
y=-x2+4x
c=0 significa che la parabola interseca OY nel punto x=0 y=0. I rami della parabola guardano verso il basso poiché a=-1 -1 Troviamo le radici dell'equazione -x 2 +4x=0
Equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +bx=0. Per risolverlo, devi togliere x tra parentesi, quindi equiparare ciascun fattore a 0.
x(-x+4)=0, x=0 e x=4.
Prendiamo diversi punti arbitrari che si trovano vicino al vertice x=2
x0 1 3 4
e 0 3 3 0
Sostituisci invece di x nell'equazione y=-x 2 +4x valori
y=02+4*0=0
y=-(1)2 +4*1=-1+4=3
y=-(3)2+4*3=-9+13=3
y=-(4)2 +4*4=-16+16=0
Dai valori della funzione si vede che la parabola è simmetrica rispetto alla retta x = 2
Esempio n.3
y=x2 -4
c=4 significa che la parabola interseca OY nel punto x=0 y=4. I rami della parabola guardano verso l'alto poiché a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 il vertice è nel punto (0;- 4)
Troviamo le radici dell'equazione x 2 -4=0
Equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +c=0. Per risolverlo, è necessario spostare le incognite da una parte e le conoscenze dall'altra. x =±√(c/a)
x2 =4
x1 =2
x2 =-2
Prendiamo diversi punti arbitrari che si trovano vicino al vertice x=0
x -2 -1 1 2
e 0 -3 -3 0
Sostituisci invece di x nell'equazione y= x 2 -4 valori
y=(-2)2-4=4-4=0
y=(-1)2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Dai valori della funzione si vede che la parabola è simmetrica rispetto alla retta x = 0
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Grafico di un trinomio quadratico
2019-04-19
Abbiamo chiamato trinomio quadrato un'intera funzione razionale di secondo grado:
$y = ax^2 + bx + c$, (1)
dove $a \neq 0$. Dimostriamo che il grafico di un trinomio quadratico è una parabola ottenuta per spostamenti paralleli (nelle direzioni degli assi coordinati) dalla parabola $y = ax^2$. Per fare ciò, riduciamo l'espressione (1) mediante semplici trasformazioni identiche alla forma
$y = a(x + \alpha)^2 + \beta$. (2)
Le trasformazioni corrispondenti, scritte di seguito, sono note come "estrazione del quadrato esatto":
$y = x^2 + bx + c = a \left (x^2 + \frac(b)(a) x \right) + c = a \left (x^2 + \frac(b)(a) x + \frac (b^2)(4a^2) \right) - \frac (b^2)(4a) + c = a \left (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$. (2")
Abbiamo ridotto il trinomio quadratico alla forma (2); in cui
$\alpha = \frac(b)(2a), \beta = - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$
(queste espressioni non vanno memorizzate; è più conveniente trasformare ogni volta direttamente il trinomio (1) nella forma (2)).
Ora è chiaro che il grafico del trinomio (1) è una parabola uguale alla parabola $y = ax^2$ e ottenuta spostando la parabola $y = ax^2$ nelle direzioni degli assi coordinati di $\ alpha$ e $\beta$ (tenendo conto del segno $\alpha$ e $\beta$) rispettivamente. Il vertice di questa parabola si trova nel punto $(- \alpha, \beta)$, il suo asse è la retta $x = - \alpha$. Per $a > 0$, il vertice è il punto più basso della parabola, per $a
Effettuiamo ora uno studio del trinomio quadratico, ovvero scopriremo le sue proprietà in funzione dei valori numerici dei coefficienti $a, b, c$ nella sua espressione (1).
Nell'uguaglianza (2") indichiamo il valore $b^2- 4ac$ con $d$:
$y = a \left (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac(d)(4a)$; (4)
$d = b^2 - 4ac$ è detto discriminante di un trinomio quadratico. Le proprietà del trinomio (1) (e la posizione del suo grafico) sono determinate dai segni del discriminante $d$ e del coefficiente direttivo $a$.
1) $a > 0, d 0$; poiché $a > 0$, allora il grafico si trova sopra il vertice $O^( \prime)$; esso giace nel semipiano superiore ($y > 0$ - Fig. a.).
2) $a
3) $a > 0, d > 0$. Il vertice $O^( \prime)$ si trova sotto l'asse $Ox$, la parabola interseca l'asse $Ox$ in due punti $x_1, x_2$ (Fig. c.).
4) $a 0$. Il vertice $O^( \prime)$ si trova sopra l'asse $Ox$, la parabola interseca nuovamente l'asse $Ox$ in due punti $x_1, x_2$ (Fig. d).
5) $a > 0, d = 0$. Il vertice giace sull'asse $Ox$ stesso, la parabola si trova nel semipiano superiore (Fig. e).
6) $a
Conclusioni. Se $d 0$), o inferiore (se $a
Se $d > 0$, allora la funzione è alternata (il grafico si trova in parte sotto e in parte sopra l'asse $Ox$). Un trinomio quadrato con $d > 0$ ha due radici (zeri) $x_1, x_2$. Per $a > 0$ è negativo nell'intervallo tra le radici (Fig. c) e positivo al di fuori di questo intervallo. A $ a
Definito dalla formula $a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0).$ I numeri $a, b$ e $c$ sono i coefficienti di un trinomio quadratico, sono solitamente chiamato: a - quello principale, b - secondo o coefficiente medio, c - termine libero. Una funzione della forma y = ax 2 + bx + c è chiamata funzione quadratica.
Tutte queste parabole hanno il vertice nell'origine; per a > 0 questo è il punto più basso del grafico ( valore più piccolo funzioni) e per a< 0, наоборот, наивысшая точка (valore più alto funzioni). L'asse Oy è l'asse di simmetria di ciascuna di queste parabole.
Come si vede, per a > 0 la parabola è diretta verso l'alto, per a< 0 - вниз.
Esiste un metodo grafico semplice e comodo che permette di costruire un numero qualsiasi di punti della parabola y = ax 2 senza calcoli, se è noto un punto della parabola diverso dal vertice. Sia il punto M(x 0 , y 0) a giacere sulla parabola y = asse 2 (Fig. 2). Se vogliamo costruire n ulteriori n punti tra i punti O e M, allora dividiamo il segmento ON dell'asse delle ascisse per n + 1 parti uguali e nei punti di divisione tracciamo le perpendicolari all'asse del Bue. Dividiamo il segmento NM nello stesso numero di parti uguali e colleghiamo i punti di divisione con raggi all'origine delle coordinate. I punti richiesti della parabola si trovano all'intersezione di perpendicolari e raggi con gli stessi numeri (in Fig. 2 il numero di punti di divisione è 9).
Il grafico della funzione y = ax 2 + bx + c differisce dal grafico y = ax 2 solo per la posizione e si ottiene semplicemente spostando la curva sul disegno. Ciò deriva dalla rappresentazione del trinomio quadratico nella forma
da cui è facile concludere che il grafico della funzione y = ax 2 + bx + c è una parabola y = ax 2, il cui vertice viene spostato nel punto
e il suo asse di simmetria è rimasto parallelo all'asse Oy (Fig. 3). Dall'espressione risultante per un trinomio quadratico seguono facilmente tutte le sue proprietà di base. L’espressione D = b 2 − 4ac si dice discriminante del trinomio quadratico ax 2 + bx + c e discriminante del trinomio associato equazione quadrata ax 2 + bx + c = 0. Il segno del discriminante determina se il grafico di un trinomio quadratico interseca l'asse x o giace su un lato di esso. Vale a dire, se il D< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a >0, allora la parabola giace sopra l'asse del Bue, e se a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 il grafico di un trinomio quadratico interseca l'asse x in due punti x 1 e x 2, che sono le radici dell'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0 e sono rispettivamente uguali
In D = 0 la parabola tocca l'asse del bue nel punto
Le proprietà del trinomio quadratico costituiscono la base per risolvere le disuguaglianze quadratiche. Spieghiamolo con un esempio. Supponiamo di dover trovare tutte le soluzioni alla disuguaglianza 3x 2 - 2x - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, allora la corrispondente equazione quadratica 3x 2 − 2x − 1 = 0 ha due radici diverse, determinate dalle formule fornite in precedenza:
x 1 = −1/3 e x 2 = 1.
Nel trinomio quadratico in esame a = 3 > 0, il che significa che i rami del suo grafico sono diretti verso l'alto e i valori del trinomio quadratico sono negativi solo nell'intervallo tra le radici. Quindi tutte le soluzioni della disuguaglianza soddisfano la condizione
−1/3 < x < 1.
Varie disuguaglianze possono essere ridotte a disuguaglianze quadratiche mediante le stesse sostituzioni con cui varie equazioni vengono ridotte a disuguaglianze quadratiche.
Osservazioni introduttive e semplici esempi
Esempio 1. Per quali valori di a l'equazione ax 2 + 2x + 1 = 0 ha due radici diverse?
Soluzione.
Questa equazione è quadratica rispetto alla variabile x per a№ 0 e ha radici diverse quando è discriminante
cioè per a< 1.
Inoltre, quando a = 0, si ottiene l'equazione 2x + 1 = 0, che ha una radice.
Quindi, a O (– ′ ; 0) AND (0; 1).
Regola 1. Se il coefficiente di x 2 di un polinomio di secondo grado contiene un parametro, occorre analizzare il caso in cui esso si annulla.
Esempio 2. L'equazione ax 2 + 8x + c = 0 ha una radice singola uguale a 1. A cosa sono uguali a e c?
Soluzione. Iniziamo a risolvere il problema con il caso speciale a = 0, l'equazione ha la forma 8x + c = 0. Questa equazione lineare ha una soluzione x 0 = 1 per c = – 8.
Quando un no. 0 equazione quadratica ha una radice singola se 
Inoltre, sostituendo la radice x 0 = 1 nell'equazione, otteniamo a + 8 + c = 0.
Risoluzione del sistema di due equazioni lineari, troviamo a = c = – 4.
Teorema 1.
Per il trinomio quadratico ridotto y = x 2 + px + q (assumendo p 2і
4q)
somma delle radici x 1 + x 2 = – p, prodotto delle radici x 1 x 2 = q, differenza delle radici è 
e la somma dei quadrati delle radici x 1 2 + x 2 2 = p 2 – 2q.
Teorema 2.
Per un trinomio quadratico y = ax 2 + bx + c con due radici x 1 e x 2, abbiamo
espansione ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2), per un trinomio con una radice x 0 – espansione
ax 2 + bx + c = a(x – x 0) 2 .
Commento. Spesso, riguardo alle equazioni quadratiche con discriminante uguale a zero e aventi, di conseguenza, una radice, si dice che abbia due radici coincidenti (?). Ciò è legato alla fattorizzazione del polinomio data nel Teorema 2.(Il modo corretto di dire e capire in questo caso è “una radice di più due”. – NdR.)
Presteremo attenzione a questa sottigliezza ed evidenzieremo il caso di un'unica radice di molteplicità 2.
Esempio 3. Nell'equazione x 2 + ax + 12 = 0, determinare a in modo tale che la differenza tra le radici dell'equazione sia uguale a uno.
Soluzione. Differenza di radice 
da cui a = ± 7.
Esempio 4. Per cosa a la somma dei quadrati delle radici dell'equazione 2x 2 + 4x + a = 0 è uguale a 6?
Soluzione. Scriviamo l'equazione nella forma 
da cui x 1 2 + x 2 2 = 4 – a = 6 e a = – 2.
Esempio 5. Per ogni a, risolvi l'equazione ax 2 – 2x + 4 = 0.
Soluzione. Se a = 0, allora x = 2. Se a№
0, l'equazione diventa quadratica. È discriminante
pari a D = 4 – 16a. Se d< 0, т. е. a > ,
l'equazione non ha soluzioni. Se D = 0, cioè a = ,
x = 4. Se D > 0, cioè a< ,
l'equazione ha due radici
Posizione delle radici del trinomio quadratico
Il grafico di un'equazione quadratica è una parabola e le soluzioni di un'equazione quadratica sono le ascisse dei punti di intersezione di questa parabola con l'asse del bue. La base per risolvere tutti i problemi in questa sezione è studiare le caratteristiche della posizione delle parabole con determinate proprietà piano delle coordinate.
Esempio 6. Per cosa hanno le radici dell'equazione x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 segni diversi?
Soluzione (Fig. 1).
Un'equazione quadratica o non ha soluzioni (il grafico è una parabola di tipo D), oppure ha una o due radici positive (parabola C), oppure ha una o due radici negative (parabola A), oppure ha radici di segno diverso (parabola B).
È facile comprendere che l'ultimo tipo di parabole, a differenza degli altri, è caratterizzato dal fatto che f(0)< 0. Таким образом, f(0) = a 2 – a – 6 < 0, откуда 0 < a < .
Questa soluzione consente una generalizzazione, che formuleremo come la regola seguente.
Regola 2. Affinché l'equazione ax 2 + bx + c = 0
aveva due radici diverse x 1 e x 2 tali che x 1< M < x 2 , необходимо и достаточно, чтобы a f(M) < 0.
Esempio 7. Per cosa a l'equazione x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 ha due radici diverse dello stesso segno?
Soluzione. Siamo interessati alle parabole di tipo A e C (vedi Fig. 1). Sono caratterizzati dal fatto che
da cui a O (– 6; – 2) AND (3; + ′ ).
Esempio 8. Per cosa a l'equazione x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 ha due diverse radici positive?
Soluzione. Siamo interessati alle parabole di tipo C in Fig. 1.
Affinché l'equazione abbia radici, è necessario
Poiché entrambe le radici dell'equazione devono essere positive per condizione, l'ascissa del vertice della parabola compreso tra le radici è positiva: x 0 = a > 0.
Ordinata del vertice f(x 0)< 0 в силу того, что мы потребовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f(x 0) >0, allora, data la continuità della funzione studiata, esiste un punto x 1 DI (0; x 0) tale che f(x 1) = 0. Ovviamente, questa è una radice più piccola dell'equazione.
Quindi, f(0) = a 2 – a – 6 > 0, e, mettendo insieme tutte le condizioni, otteniamo il sistema
con la soluzione a O (3; + ̐ ).
Esempio 9. Per cosa a l'equazione x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 ha due diverse radici negative?
Soluzione. Dopo aver studiato le parabole di tipo A in Fig. 1, otteniamo il sistema
da qui una O (– 6; – 2).
Generalizziamo la soluzione ai problemi precedenti sotto forma della seguente regola.
Regola 3. Affinché l'equazione ax 2 + bx + c = 0 abbia due radici diverse x 1 e x 2, ciascuna delle quali è maggiore (minore di) M, è necessario e sufficiente che
Esempio 10. La funzione f(x) è data dalla formula
Trova tutti i valori del parametro a per i quali l'equazione f(x) = 0 ha almeno una soluzione.
Soluzione. Tutte le soluzioni possibili data equazione si ottengono come soluzioni dell'equazione quadratica
x 2 – (4a + 14)x + 4a 2 + 33a + 59 = 0
con la condizione aggiuntiva che almeno una radice (ovviamente più grande) x 2 io un.
Naturalmente, affinché l’equazione abbia radici, deve essere = – 5(a + 2) і
0,
da cui a Ј – 2.
Il grafico del membro sinistro dell'equazione selezionata è una parabola, la cui ascissa del vertice è x 0 = 2a + 7. La soluzione del problema è data da due tipi di parabole (Fig. 2).
A: x 0 i a, da dove a i – 7. In questo caso la radice maggiore del polinomio è x 2 io x 0 io a.
B:x0< a, f(a)
Ј
0, da dove 
.
Anche in questo caso la radice maggiore del polinomio è x 2 io un.
Finalmente 
.
Tre soluzioni ad una disuguaglianza
Esempio 11. Trova tutti i valori del parametro a per i quali la disuguaglianza x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 > 0
eseguita:
1) per tutti i valori di x;
2) per tutti i valori positivi di x;
3) per tutti i valori di x O [– 1; 1].
Soluzione.
Primo modo.
1) Ovviamente questa disuguaglianza vale per tutti gli x quando il discriminante è negativo, cioè
= a 2 – (a 2 + 2a – 3) = – 2a + 3< 0,
da cui un >.
2) Per comprendere meglio cosa viene richiesto nella formulazione del problema, utilizziamo una tecnica semplice: disegnare alcune parabole sul piano delle coordinate, quindi prendere e chiudere il semipiano sinistro relativo all'asse Oy. La parte della parabola che rimane visibile deve trovarsi al di sopra dell'asse del Bue.
La condizione del problema è soddisfatta in due casi (vedi Fig. 3):
< 0, откуда a > ;
B: entrambe le radici (magari una, ma doppia) dell'equazione x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 sono a sinistra dell'origine. Secondo la regola 3, questa condizione è equivalente al sistema di diseguaglianze Dî 0, x 0 à 0 e f(0) î 0.
Tuttavia, quando si risolve questo sistema, la prima disuguaglianza può essere omessa, poiché anche se un valore a non soddisfa la condizione Dі 0, allora cade automaticamente nella soluzione del punto A. Quindi, risolviamo il sistema
da cui a Ј – 3.
Combinando le soluzioni dei punti A e B, otteniamo
risposta: 
3) La condizione del problema è soddisfatta in tre casi (vedi Fig. 4):
A: il grafico della funzione y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 si trova sopra l’asse Ox, cioè D< 0, откуда a > ;
B: entrambe le radici (magari una di multipli 2) dell’equazione x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 sono a sinistra di – 1. Questa condizione equivale, come sappiamo dalla regola 3, al sistema delle disuguaglianze Dі 0,x0< – 1, f(– 1) > 0;
C: entrambe le radici dell'equazione x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 sono a destra di 1.
Questa condizione equivale al D io 0, x 0 > 1, f(1) > 0.
Tuttavia nei punti B e C, così come nella risoluzione del problema precedente, si può omettere la disuguaglianza associata al discriminante.
Di conseguenza, otteniamo due sistemi di disuguaglianze
Considerati tutti i casi, otteniamo il risultato: a >
nel punto
in C.
La risposta al problema è l’unione di questi tre insiemi.
Secondo modo. Affinché la condizione di ciascuno dei tre punti del problema sia soddisfatta, è necessario il valore più piccolo della funzione
y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 su ciascuno degli intervalli corrispondenti deve essere positivo.
1) Il vertice della parabola y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 è nel punto (a; 2a – 3), quindi il valore più piccolo della funzione sull'intera linea numerica è 2a – 3, e un > .
2) sul semiasse x i 0 il valore più piccolo della funzione è f(0) = a 2 + 2a – 3, se a< 0, и f(a) = 2a – 3, если a
і
0. Analizzando entrambi i casi, otteniamo 
3) Il più piccolo del segmento [– 1; 1] il valore della funzione è
Poiché il valore più piccolo deve essere positivo, otteniamo sistemi di diseguaglianze
La soluzione a questi tre sistemi è un insieme
Terza via. 1) Vertice della parabola y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3
si trova nel punto (a; 2a – 3). Disegniamo sul piano delle coordinate un insieme formato dai vertici di tutte le parabole per diversi a (Fig. 5).
Questa è la retta y = 2x – 3. Ricordiamo che ogni punto di questa retta ha un proprio valore di parametro, e da ogni punto di questa retta “esce una parabola”, corrispondente dato valore parametro. Le parabole che sono interamente al di sopra dell'asse del Bue sono caratterizzate dalla condizione 2a – 3 > 0.
2) Le soluzioni di questo punto sono tutte le soluzioni del primo punto, e, inoltre, le parabole per le quali a sono negative, e f(0) = a 2 + 2a – 3і 0.
3) Dalla fig. 5 è chiaro che a noi interessano parabole per le quali o a è negativo e f(– 1) = a 2 + 4a – 2 > 0,
oppure a è positivo e f(1) = a 2 – 2 > 0.
Equazioni e disequazioni che si riducono a quadratiche
Esempio 12. Per quali valori di a l'equazione 2x 4 – 2ax 2 + a 2 – 2 = 0 non ha soluzioni?
Soluzione. Effettuando la sostituzione y = x 2, otteniamo l'equazione quadratica f(y) = 2y 2 – 2ay + a 2 – 2 = 0.
L’equazione risultante non ha soluzione quando D< 0. Кроме того, первоначальное уравнение не имеет решений, когда корни уравнения f(y) = 0 отрицательны.
Queste condizioni possono essere scritte come un insieme
Dove 
Esempio 13. Per ogni valore del parametro a, risolvi l'equazione cos x sin 2x = asin 3x.
Soluzione. Poiché 2cos x sin 2x = sin x + sin 3x e sin 3x = 3sin x – 4sin 3 x,
quindi l'equazione verrà scritta come sin x (sin 2 x (4a – 2) – (3a – 2)) = 0.
Da qui otteniamo le soluzioni x = pn, nO Z per qualsiasi a. L'equazione 
ha soluzioni 
non coincidente con le soluzioni della prima equazione, solo sotto la condizione 
Queste ultime restrizioni sono equivalenti
Risposta: x = p n, n O Z per qualsiasi a; Oltretutto,
Esempio 14. Trova tutti i valori del parametro a, per ciascuno dei quali la disuguaglianza
a 2 + 2a – sin 2 x – 2acos x > 2 vale per qualsiasi numero x.
Soluzione. Trasformiamo la disuguaglianza nella forma cos 2 x – 2acos x + a 2 + 2a – 3 > 0
ed effettuare la sostituzione t = cos x. È importante notare che il parametro t varia da – 1 a 1, quindi il problema può essere riformulato come segue: trovare tutti a tali che
t 2 – 2at + a 2 + 2a – 3 > 0
vale per tutti i t DI [-1; 1]. Abbiamo già risolto questo problema in precedenza.
Esempio 15. Determina per quali valori di a l'equazione log 3 (9 x + 9a 3) = x ha soluzioni e trovale.
Soluzione. Trasformiamo l'equazione nella forma 9 x – 3 x + 9a 3 = 0
e, effettuando la sostituzione y = 3 x, otteniamo y 2 – y + 9a 3 = 0.
Se il discriminante è negativo l’equazione non ha soluzioni. Quando il discriminante
D = 1 – 36a 3 = 0, l'equazione ha una sola radice,
e x = – log 3 2. Infine, quando il discriminante è positivo, cioè,
l'equazione originale ha una radice 
,
e se, inoltre, l'espressione 1 è positiva,
allora l'equazione ha anche una seconda radice 
.
Quindi finalmente otteniamo 
,
non ci sono soluzioni per il resto a.
Esempio 16. Per ogni valore del parametro a, risolvi l'equazione sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + a = 0.
Soluzione. Perché
Riscriviamo l'equazione nella forma sin 2 x – 2sin x – 2a – 2 = 0.
Sia y = sin 2x, allora y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 (| y | J1).
Il grafico della funzione a sinistra dell'equazione è una parabola con un vertice la cui ascissa è y 0 = 1; il valore della funzione nel punto y = – 1 è 1 – 2a; il discriminante dell’equazione è 8a + 12. Ciò significa che la radice maggiore y 2 dell’equazione y 2 – 2y – 2a – 2 = 0, anche se esiste, è maggiore di 1, e la corrispondente equazione sin 2x = y 2 non ha soluzioni. 3. Per quali valori di a l'equazione 2x 2 + (3a + 1)x + a 2 + a + 2 = 0 ha almeno una radice?
4. L'equazione ax 2 + bx + 5 = 0 ha un'unica radice uguale a 1. A cosa sono uguali a e b?
5. Per quali valori del parametro a le radici dell'equazione quadratica 5x 2 – 7x + a = 0 sono correlate come 2 a 5?
6. Nell'equazione ax 2 + 8x + 3 = 0, determina a in modo che la differenza tra le radici dell'equazione sia uguale a uno.
7. Perché a la somma dei quadrati delle radici dell'equazione x 2 – 2ax + 2(a + 1) = 0 è uguale a 20?
8. Per quali b e c l'equazione c + bx – 2x 2 = 0 ha una radice positiva e una negativa?
9. Trova tutti i valori del parametro a per i quali una radice dell'equazione x 2 – (a + 1)x + 2 = 0 è maggiore di a e l'altra è minore di a.
10. Trova tutti i valori del parametro a per i quali l'equazione x 2 + (a + 1)x + 2 = 0 ha due radici diverse dello stesso segno.
11. Per quali valori di a sono positive tutte le radici risultanti dell'equazione (a – 3)x 2 – 2ax + 6a = 0?
12. Perché a sono tutte le radici risultanti dell'equazione (1 + a)x 2 – 3ax + 4a = 0 maggiori di 1?
13. Trova tutti i valori del parametro a per i quali entrambe le diverse radici dell'equazione x 2 + x + a = 0 sono maggiori di a.
14. Per quali valori di a sono entrambe le radici dell'equazione 4x 2 – 2x + a = 0 contenute tra – 1 e 1?
15. Per quali valori di a l'equazione x 2 + 2(a – 1)x + a + 5 = 0 ha almeno una radice positiva?
16. La funzione f(x) è data dalla formula
Trova tutti i valori del parametro a per i quali l'equazione f(x) = 0 ha almeno una soluzione.
17. Perché a è vera la disuguaglianza (a 2 – 1)x 2 + 2(a – 1)x + 2 > 0 per tutti gli x?
18. Per quali valori del parametro a vale la disuguaglianza ax 2 + 2x > 1 – 3a per tutti gli x positivi?
19. Per quali valori di a l’equazione x 4 + (1 – 2a)x 2 + a 2 – 1 = 0 non ha soluzioni?
20. Per quali valori del parametro a l’equazione 2x 4 – 2ax 2 + a2 – 2 = 0 ha una o due soluzioni?
21. Per ogni valore di a, risolvi l'equazione acos x cos 2x = cos 3x.
22. Trova tutti i valori del parametro a, per ciascuno dei quali la disuguaglianza cos 2 x + 2asin x – 2a< a 2
– 4 выполняется для любого числа x.
23. Per ogni a, risolvi l'equazione log 2 (4 x + a) = x.
24. Per ogni valore del parametro a, risolvi l'equazione sin 2 x + asin 2 2x = sin.