Proprietà dell'area del poligono I poligoni congruenti hanno aree uguali. Se un poligono è composto da più poligoni, allora la sua area. 1 tutti i quadrati hanno la stessa area

VIII classe: Argomento 3. Aree di figure. Teorema di Pitagora.

1. Il concetto di area. Uguali cifre.

Se la lunghezza è una caratteristica numerica di una linea, l'area è una caratteristica numerica di una figura chiusa. Anche se abbiamo familiarità con il concetto di area da Vita di ogni giorno Non è facile dare una definizione rigorosa di questo concetto. Si scopre che l'area di una figura chiusa può essere chiamata qualsiasi quantità non negativa che abbia quanto segue proprietà per misurare le aree delle figure:

Figure uguali hanno aree uguali. Se questa figura chiusa è divisa in più figure chiuse, l'area della figura è uguale alla somma delle aree delle sue figure costituenti (la figura nella Figura 1 è divisa in n figure; in questo caso, l'area della figura, dove si- quadrato io esima cifra).

In linea di principio, si potrebbe inventare un insieme di quantità che hanno le proprietà formulate e quindi caratterizzano l'area della figura. Ma il più familiare e conveniente è il valore che caratterizza l'area di una piazza come la piazza del suo lato. Chiamiamo questa "disposizione" la terza proprietà della misurazione delle aree delle figure:

L'area di un quadrato è uguale al quadrato del suo lato (Figura 2).

Con questa definizione, l'area delle figure si misura in unità quadrate ( centimetro 2, km 2, ah=100m 2).

figure aventi aree uguali sono chiamati di uguale dimensione .

Commento: Figure uguali hanno aree uguali, cioè figure uguali hanno dimensioni uguali. Ma le figure di dimensioni uguali sono tutt'altro che sempre uguali (ad esempio, la Figura 3 mostra un quadrato e triangolo isoscele, composto da triangoli rettangoli uguali (a proposito, tale figure chiamato ugualmente composto ); è chiaro che il quadrato e il triangolo sono di dimensioni uguali, ma non uguali, poiché non sono sovrapposti).

Successivamente, deriviamo formule per calcolare le aree di tutti i principali tipi di poligoni (compresa la nota formula per trovare l'area di un rettangolo), in base alle proprietà formulate per misurare le aree delle figure.

2. Area di un rettangolo. L'area di un parallelogramma.

Formula per calcolare l'area di un rettangolo: L'area di un rettangolo è uguale al prodotto dei suoi due lati adiacenti (Figura 4).

Dato:

ABCD- rettangolo;

ANNO DOMINI=un, AB=b.

Dimostra: SABCD=un× b.

Prova:

1. Allunga il lato AB per un segmento BP=un, e il lato ANNO DOMINI- per un segmento DV=b. Costruiamo un parallelogramma APRV(Figura 4). Dal momento che r UN=90°, APRV- rettangolo. in cui AP=un+b=AV, Þ APRVè un quadrato con un lato ( un+b).

2. Denota AVANTI CRISTOÇ RV=T, CDÇ PR=Q. Quindi BCQP- un quadrato con un lato un, CDV- un quadrato con un lato b, CQRT- un rettangolo con i lati un e b.

Formula per calcolare l'area di un parallelogramma: L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto della sua altezza e base (Figura 5).

Commento: La base di un parallelogramma è chiamata lato a cui è disegnata l'altezza; è chiaro che qualsiasi lato del parallelogramma può fungere da base.

Dato:

ABCD– p/g;

BH^ANNO DOMINI, HÎ ANNO DOMINI.

Dimostra: SABCD=ANNO DOMINI× BH.

Prova:

1. Conduci alla base ANNO DOMINI altezza CF(Figura 5).

2. AVANTI CRISTOïê HF, BHïê CF, Þ BCFH- p / g per definizione. R H=90°, Þ BCFH- rettangolo.

3. BCFH– p/g, Þ per proprietà p/g BH=CF, Þ D BAH=D CDF lungo l'ipotenusa e la gamba ( AB=CD secondo St. p / g, BH=CF).

4. SABCD=SABCF+S D CDF=SABCF+S D BAH=SBCFH=BH× AVANTI CRISTO=BH× ANNO DOMINI. #

3. Area di un triangolo.

Formula per calcolare l'area di un triangolo: L'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto della sua altezza e base (Figura 6).

Commento: La base del triangolo in questo caso è chiamata il lato su cui viene disegnata l'altezza. Uno qualsiasi dei tre lati di un triangolo può fungere da base.

Dato:

BD^corrente alternata, DÎ corrente alternata.

Dimostra: .

Prova:

1. Completa D ABC prima di p/a ABKC passando per la cima B dritto BKïê corrente alternata, e attraverso la parte superiore C- dritto CKïê AB(Figura 6).

2. D ABC=D KCB su tre lati ( AVANTI CRISTO- generale, AB=KC e corrente alternata=KB secondo St. p/g), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

Corollario 2: Se consideriamo p / y D ABC con altezza AH attratto dall'ipotenusa AVANTI CRISTO, poi . In questo modo, in p / a D-ke l'altezza disegnata per l'ipotenusa è uguale al rapporto tra il prodotto delle sue gambe per l'ipotenusa . Questo rapporto è spesso usato per risolvere i problemi.

4. Conseguenze dalla formula per trovare l'area di un triangolo: il rapporto tra le aree dei triangoli con altezze o basi uguali; triangoli uguali in figure; proprietà delle aree dei triangoli formati dalle diagonali di un quadrilatero convesso.

Dalla formula per calcolare l'area di un triangolo, seguono in modo elementare due corollari:

1. Il rapporto tra le aree di triangoli di uguale altezza è uguale al rapporto tra le loro basi (in Figura 8 ).

2. Il rapporto tra le aree dei triangoli con pari basi è uguale al rapporto tra le loro altezze (in Figura 9 ).

Commento: Quando si risolvono i problemi, i triangoli con un'altezza comune sono molto comuni. In questo caso, di norma, le loro basi giacciono sulla stessa retta e il vertice opposto alle basi è comune (ad esempio, in Figura 10 S 1:S 2:S 3=un:b:c). Dovresti imparare a vedere l'altezza totale di tali triangoli.

Inoltre, dalla formula per calcolare l'area di un triangolo seguono fatti utili, che ti consentono di trovare triangoli di area uguale nelle figure:

1. La mediana di un triangolo arbitrario lo divide in due triangoli di uguale area (nella figura 11 di D ABM e d ACM altezza AH- generale, e le basi BM e CENTIMETRO uguale per definizione della mediana; ne consegue che il d ABM e d ACM sono uguali).

2. Le diagonali di un parallelogramma lo dividono in quattro triangoli di uguale area. (nella figura 12 AOè la mediana del triangolo ABD per la proprietà delle diagonali p/g, z dovute ai precedenti triangoli di St ABO e ADO sono uguali; perché BOè la mediana del triangolo ABC, triangoli ABO e BCO sono uguali; perché COè la mediana del triangolo BCD, triangoli BCO e DCO sono uguali; così, S D ADO=S D ABO=S D BCO=S D DCO).

3. Le diagonali di un trapezio lo dividono in quattro triangoli; due di loro, adiacenti ai lati, sono uguali (Figura 13).

Dato:

ABCD- trapezio;

AVANTI CRISTOïê ANNO DOMINI; corrente alternataÇ BD=o.

Dimostra: S D ABO=S D DCO.

Prova:

1. Disegniamo le altezze bf e CH(Figura 13). Poi d ABD e d ACD base ANNO DOMINI- generale e altezze bf e CH sono uguali; Þ S D ABD=S D ACD.

2. S D ABO=S D ABD ‑ S D AOD=S D ACD ‑ S D AOD=S D DCO. #

Se disegni le diagonali di un quadrilatero convesso (Figura 14), si formano quattro triangoli, le cui aree sono collegate da un rapporto molto facile da ricordare. La derivazione di questa relazione si basa esclusivamente sulla formula per calcolare l'area di un triangolo; tuttavia, si trova raramente in letteratura. Essendo utile nella risoluzione dei problemi, merita molta attenzione la relazione che verrà formulata e dimostrata di seguito:

La proprietà delle aree dei triangoli formati dalle diagonali di un quadrilatero convesso: Se le diagonali di un quadrilatero convesso ABCD si intersecano in un punto o, quindi (Figura 14).

ABCD- quadrilatero convesso;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.

Prova:

1. bf– altezza fuori tutto D AOB e d BOC; Þ S D AOB:S D BOC=AO:CO.

2. D.H.– altezza fuori tutto D AOD e d MERLUZZO; Þ S D AOD:S D MERLUZZO=AO:CO.

5. Il rapporto tra le aree dei triangoli con angolo uguale.

Il teorema sul rapporto delle aree di triangoli di angolo uguale: Le aree dei triangoli aventi un angolo uguale sono correlate come i prodotti dei lati che racchiudono questi angoli (Figura 15).

Dato:

D ABC, D UN 1B 1C 1;

Ð BAC=Ð B 1UN 1C 1.

Dimostra:

.

Prova:

1. Mettere da parte sulla trave AB segmento AB 2=UN 1B 1, e sulla trave corrente alternata- segmento corrente alternata 2=UN 1C 1 (figura 15). Poi d AB 2C 2=D UN 1B 1C 1 su due lati e l'angolo tra loro ( AB 2=UN 1B 1 e corrente alternata 2=UN 1C 1 per costruzione, e Р B 2corrente alternata 2=R B 1UN 1C 1 per condizione). Significa, .

2. Unisci i punti C e B 2.

3. CH– altezza fuori tutto D AB 2C e d ABC, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. Proprietà della bisettrice di un triangolo.

Utilizzando i teoremi sul rapporto delle aree di triangoli con angoli uguali, e sul rapporto tra le aree di triangoli di uguale altezza, dimostriamo semplicemente un fatto estremamente utile per risolvere problemi che non sono direttamente correlati alle aree delle figure:

Proprietà della bisettrice di un triangolo: La bisettrice di un triangolo divide il lato a cui è disegnato in segmenti proporzionali ai lati ad essi adiacenti.

Dato:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

Prova:

1..gif" width="72 height=40" height="40">.

3. Dai punti 1 e 2 otteniamo: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #

Commento: Poiché i membri estremi o medi possono essere scambiati nella giusta proporzione, è più conveniente ricordare la proprietà della bisettrice di un triangolo nella forma seguente (Figura 16):.

7. Area di un trapezio.

La formula per calcolare l'area di un trapezio: L'area di un trapezio è uguale al prodotto della sua altezza e metà della somma delle basi.

Dato:

ABCD- trapezio;

AVANTI CRISTOïê ANNO DOMINI;

BH- altezza.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.

Prova:

1. Disegna una diagonale BD e altezza D.F.(Figura 17). BHDF– rettangolo, Þ BH = D.F..

Conseguenza: Il rapporto tra le aree dei trapezi di uguale altezza è uguale al rapporto delle loro linee mediane (o al rapporto delle somme delle basi).

8. Area di un quadrilatero con diagonali reciprocamente perpendicolari.

La formula per calcolare l'area di un quadrilatero con diagonali reciprocamente perpendicolari: L'area di un quadrilatero con diagonali reciprocamente perpendicolari è uguale alla metà del prodotto delle sue diagonali.

ABCD- quadrilatero;

corrente alternata^BD.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

Prova:

1. Denota corrente alternataÇ BD=o. Perché il corrente alternata^BD, AO– altezza D ABD, un CO– altezza D CBD(Figure 18a e 18b rispettivamente per i casi di quadrilateri convessi e non convessi).

2.
(i segni "+" o "-" corrispondono rispettivamente ai casi di quadrilateri convessi e non convessi). #

Il teorema di Pitagora gioca un ruolo estremamente importante nella risoluzione di un'ampia varietà di problemi; ti permette di trovare il lato sconosciuto triangolo rettangolo su due lati noti. Ci sono molte dimostrazioni del teorema di Pitagora. Ecco il più semplice, basato su formule per calcolare le aree di un quadrato e di un triangolo:

Teorema di Pitagora: In un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe.

Dato:

D ABC- p / a;

Ð UN=90°.

Dimostra:

AVANTI CRISTO 2=AB 2+corrente alternata 2.

Prova:

1. Denota corrente alternata=un, AB=b. Mettiamolo sulla trave AB segmento BP=un, e sulla trave corrente alternata- segmento CV=b(Figura 19). Passiamo per il punto P diretto PRïê AV, e attraverso il punto V- diretto VRïê AP. Quindi APRV- p / g per definizione. Allo stesso tempo, dal momento che Р UN=90°, APRV- rettangolo. E da allora AV=un+b=AP, APRV- un quadrato con un lato un+b, e SAPRV=(un+b)2. Dividiamo il lato PR punto Q in segmenti PQ=b e QR=un, e il lato RV- punto T in segmenti RT=b e tv=un.

2.D ABC=D PQB=D RTQ=D VCT su due gambe, Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, AVANTI CRISTO=QB=TQ=CT e https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. Perché AVANTI CRISTO=QB=TQ=CT, CBQT- rombo. Allo stesso tempo, R QBC\u003d 180 ° - (Р ABC+Ð PBQ)=180°-(Р ABC+Ð ACB)=Ð BAC=90°; Þ CBQTè un quadrato, e SCBQT=AVANTI CRISTO 2.

quattro. . Così, AVANTI CRISTO 2=AB 2+corrente alternata 2. #

Il teorema di Pitagora inverso è un segno di un triangolo rettangolo, cioè ti consente di verificare se il triangolo è rettangolo da tre lati noti del triangolo.

Teorema di Pitagora inverso: Se il quadrato di un lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati dei suoi altri due lati, allora questo triangolo è rettangolo e il suo lato più lungo è l'ipotenusa.

Dato:

AVANTI CRISTO 2=AB 2+corrente alternata 2.

Dimostra: D ABC- p / a;

Ð UN=90°.

Prova:

1. Costruiamo un angolo retto UN 1 e mettere da parte gli spicchi sui lati UN 1B 1=AB e UN 1C 1=corrente alternata(Figura 20). Nel p / y D ricevuto UN 1B 1C 1 dal teorema di Pitagora B 1C 12=UN 1B 12+UN 1C 12=AB 2+corrente alternata 2; ma per condizione AB 2+corrente alternata 2=AVANTI CRISTO 2; Þ B 1C 12=AVANTI CRISTO 2, Y B 1C 1=AVANTI CRISTO.

2.D ABC=D UN 1B 1C 1 su tre lati ( UN 1B 1=AB e UN 1C 1=corrente alternata per costruzione, B 1C 1=AVANTI CRISTO dal punto 1), Þ Ð UN=Ð UN 1=90°, Þ D ABC- papà. #

Si chiamano triangoli rettangoli i cui lati sono interi Triangoli pitagorici , e le terzine del corrispondente numeri naturali – terzine pitagoriche . È utile ricordare le triple pitagoriche (il maggiore di questi numeri è uguale alla somma dei quadrati degli altri due). Ecco alcune triple pitagoriche:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Un triangolo rettangolo di lati 3, 4, 5 veniva usato in Egitto per costruire angoli retti, e quindi simili triangolo chiamato egiziano .

10. La formula di Airone.

La formula di Heron ti consente di trovare l'area di un triangolo arbitrario dai suoi tre lati noti ed è indispensabile per risolvere molti problemi.

Formula dell'airone: Area di un triangolo con i lati un, b e cè calcolato con la seguente formula: , dove è il semiperimetro del triangolo.

Dato:

AVANTI CRISTO=un; corrente alternata=b; AB=c.). Quindi .

4. Sostituisci l'espressione risultante per l'altezza nella formula per calcolare l'area di un triangolo: . #

Fonte della missione: Decisione 2746.-13. OGE 2017 Matematica, I.V. Yashchenko. 36 opzioni.

Compito 11. Il lato del rombo è 12 e la distanza dal punto di intersezione delle diagonali del rombo ad esso è 1. Trova l'area di questo rombo.

Soluzione.

L'area di un rombo può essere calcolata allo stesso modo dell'area di un parallelogramma, cioè come prodotto dell'altezza h del rombo e della lunghezza del lato a a cui è disegnato:

Nella figura, la linea rossa insieme alla linea nera mostra l'altezza h del rombo, che è uguale (poiché le lunghezze della linea nera e rossa sono uguali). Anche la lunghezza del lato a=12 dipende dalla condizione del problema. Otteniamo l'area del rombo:

Risposta: 24.

Compito 12. Un rombo è raffigurato su carta a scacchi con una dimensione della cella di 1x1. Trova la lunghezza della sua diagonale più lunga.

Soluzione.

Nella figura, le linee blu mostrano le diagonali del rombo. Si può vedere che la diagonale grande è di 12 celle.

Risposta: 12.

Compito 13. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?

1) Esiste un rettangolo le cui diagonali sono reciprocamente perpendicolari.

2) Tutti i quadrati hanno le stesse aree.

3) Uno degli angoli di un triangolo non supera mai i 60 gradi.

In risposta, annota i numeri delle istruzioni selezionate senza spazi, virgole o altri caratteri aggiuntivi.

Soluzione.

1) Vero. Questo è un rettangolo che si trasforma in un quadrato.

Proprietà delle aree 10. Poligoni uguali hanno aree uguali. D B A C N ABC = NFD F

Proprietà delle aree 20. Se un poligono è composto da più poligoni, la sua area è uguale alla somma delle aree di questi poligoni. C B D A F

Proprietà delle aree 30. L'area di un quadrato è uguale al quadrato del suo lato. 3 cm S \u003d 9 cm 2 Usando le proprietà delle aree, trova le aree delle figure

Unità di superficie 1 m 2 \u003d 100 dm 2 1 dm 2 \u003d 100 cm 2

Unità di superficie 1 km 2 1 ha 1 a 1 m 2 1 dm 2 1 cm 2 1 mm 2: 100: 100

Area del rettangolo b S Dimostriamo che S = ab a a QUADRATO DI LATO a 2 a+b = S + a 2 + b 2 a 2 +2 ab + b 2 = 2 S + a 2 + b 2 S (a +b) 2 S 2 ab = 2 S S = ab b 2 b: 2

Il pavimento della stanza, avente la forma di un rettangolo con lati di 5, 5 me 6 m, deve essere rivestito con parquet rettangolare. Ogni tavola di parquet è lunga 30 cm e larga 5 cm Quante di queste tavole saranno necessarie per rivestire il pavimento? 6 m 5,5 m 5 cm 30 cm

Le aree dei quadrati costruiti ai lati del rettangolo sono 64 cm 2 e 121 cm 2. Trova l'area del rettangolo. 121 cm 2 S-? 64 cm2

I lati di ciascuno dei rettangoli ABCD e ARMK sono uguali a 6 cm e 10 cm Trova l'area della figura composta da tutti i punti che appartengono ad almeno uno di questi rettangoli. A 10 cm P B 6 cm 10 cm D K C 6 cm M

ABCD è un rettangolo, AC è una diagonale. Trova l'area del triangolo ABC. A a D ABC = ADC b SABC = B C

ABCD è un rettangolo. Trova: SABF. B CE = DE, C F E AD SABCD = Q

AB = BC = 3, AF = 5, Trova: SABCDEF. B EF = 2. C 3 D E 3 A 2 5 F

S=102 C I punti K, M, T ed E sono posti rispettivamente 5 sui lati AD, AB, BC e DC del quadrato E ABCD in modo che KD=7, AK=3, AM=5, BT=8, CE=5 . Trova l'area del quadrilatero KMTE. D T B 2 8 M 5 7 K 3 A

L'area del pentagono ABCD è 48 cm2 Trova l'area e il perimetro del quadrato ABCD. C IN O A 1) 48: 3 * 4 \u003d 64 (cm 2) SABCD 2) AB \u003d 8 (cm), PABCD \u003d 8 * 4 \u003d 32 (cm) D

ABCD e MDKP sono quadrati uguali. AB \u003d 8 cm Trova l'area del quadrilatero ASKM. H C 64 cm 2 8 cm 32 cm 2 D A 32 cm 2 M K 32 cm 2 R

ABCD e DSMK sono quadrati. AB \u003d 6 cm Trova l'area del quadrilatero OCPD. C H 6 cm A O M R D K

ABCD è un rettangolo; M, K, P, T sono i punti medi dei suoi lati, AB = 6 cm, AD = 12 cm Trova l'area del quadrilatero MKRT. H K 6 cm M A C R T 12 cm D

ABCD è un rettangolo; M, K, P, T sono i punti medi dei suoi lati, AB = 16 cm, BC = 10 cm Trova l'area dell'esagono AMKSRT. C P 10 cm K B D T M 16 cm A