Ģeometrija
Turpinājums frakcijas un to pielietojums elektrotehnikā. Turpinātā daļa. Turpināta frakciju paplašināšana

Turpinājums frakcijas un to pielietojums elektrotehnikā. Turpinātā daļa. Turpināta frakciju paplašināšana

Plāns:

1 Turpināta frakciju paplašināšana
2 Piemērotas frakcijas
3 Reālo skaitļu tuvināšana ar racionālajiem
- 3.1. Piemēri
4 Īpašības un piemēri
5 Turpināto frakciju pielietojumi
- 5.1 kalendāra teorija
- 5.2 Pirmās pakāpes salīdzinājumu risināšana
- 5.3 Citas lietojumprogrammas
  - 5.3.1 Zelta griezuma īpašības
6 Vēstures atsauce
7 Motivācija

Ievads

ķēdes šāviens(vai turpināta frakcija) ir formas matemātiska izteiksme

kur a 0 ir vesels skaitlis un viss pārējais a n veseli skaitļi(tas ir, nenegatīvi veseli skaitļi). Jebkuru reālu skaitli var attēlot kā nepārtrauktu daļu (galīgu vai bezgalīgu). Skaitlis tiek attēlots ar ierobežotu turpinātu daļskaitli tad un tikai tad, ja tas ir racionāls. Skaitlis tiek attēlots ar periodisku turpinātu daļskaitli tad un tikai tad, ja tā ir kvadrātiskā iracionalitāte.

1. Turpināta frakciju paplašināšana

Jebkurš reāls skaitlis x var attēlot ar (galīgu vai bezgalīgu) turpinātu daļu, kur

kur apzīmē skaitļa veselo daļu x .

Par racionālu skaitli xšī izplešanās beidzas, kad tā sasniedz nulli x n dažiem n. Šajā gadījumā x ko attēlo ierobežota turpināta daļa.

Iracionālajiem x visi daudzumi x n nebūs nulle, un paplašināšanas procesu var turpināt bezgalīgi. Šajā gadījumā x attēlots ar bezgalīgu nepārtrauktu daļu.

Racionāliem skaitļiem var izmantot Eiklida algoritmu, lai ātri iegūtu nepārtrauktu daļskaitļu paplašināšanu.

2. Piemērotas frakcijas

n- Ak piemērota frakcija turpinātai daļdaļai sauc par galīgo turpināto daļu, kuras vērtība ir vienāda ar kādu racionālu skaitli. Pāra skaitļu konverģenti veido pieaugošu secību, kuras robeža ir vienāda ar x. Līdzīgi nepāra skaitļu konverģenti veido dilstošu secību, kuras robeža arī ir vienāda ar x .

Eilera atvasinātās rekursīvās formulas konverģentu skaitītāju un saucēju aprēķināšanai:

Tādējādi daudzumi lpp n un q n tiek attēlotas ar nepārtrauktām vērtībām:

Secības un palielinās.

Blakus esošo piemēroto daļskaitļu skaitītāji un saucēji ir saistīti ar attiecību:

lpp n q n - 1 - q n lpp n - 1 = (- 1) n - 1 ,

(1)

ko var pārrakstīt kā

No kurienes tas izriet

3. Reālo skaitļu tuvināšana ar racionālajiem

Turpinātās daļas ļauj efektīvi atrast labus reālo skaitļu racionālos tuvinājumus. Proti, ja reāls skaitlis x izvērsts turpinātajā daļā, tad tās konverģenti apmierinās nevienlīdzību

No tā jo īpaši izriet:

3.1. Piemēri

Izvērsīsim skaitli π = 3,14159265… turpinātā daļā un aprēķināsim tā konverģences: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …

Otrā daļa (22/7) ir labi zināmā Arhimēda aproksimācija. Ceturtais (355/113) pirmo reizi tika iegūts senajā Ķīnā.

4. Īpašības un piemēri

Jebkuru racionālu skaitli var attēlot kā ierobežotu turpinātu daļskaitli divos veidos, piemēram:

Lagranža teorēma: skaitlis tiek attēlots kā bezgalīga periodiska turpināta daļa tad un tikai tad, ja tas ir iracionāls risinājums kvadrātvienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem.

Piemēram: zelta griezums e − 1 =

par numuru

Skaitlim pi nav vienkārša raksta:

π =

Gausa-Kuzmina teorēma: Gandrīz visiem (izņemot nulles mēru kopu) reālajiem skaitļiem ir to atbilstošo turpināto daļu koeficientu ģeometriskais vidējais, un tas ir vienāds ar Khinčina konstanti.
Māršala Hola teorēma. Ja numura paplašināšanā x turpinātajā daļā, sākot no otrā elementa, nav lielu skaitļu n, tad mēs sakām, ka skaitlis x pieder klasei F(n). Jebkuru reālu skaitli var attēlot kā divu klases skaitļu summu F(4) un kā divu skaitļu reizinājumu no klases F(4). Vēlāk tika parādīts, ka jebkuru reālu skaitli var attēlot kā 3 klases skaitļu summu F(3) un kā 4 skaitļu summu no klases F(2). Nepieciešamo terminu skaitu šajā teorēmā nevar samazināt - lai attēlotu dažus skaitļus norādītajā veidā, nepietiek ar mazāku terminu skaitu.

5. Turpināto frakciju pielietojumi

5.1. kalendāra teorija

Izstrādājot Saules kalendāru, ir jāatrod racionāls tuvinājums dienu skaitam gadā, kas ir 365,2421988 ... Aprēķināsim piemērotās daļas šī skaitļa daļējai daļai:

Pirmā daļa nozīmē, ka ik pēc 4 gadiem jums jāpievieno papildu diena; Šis princips veidoja Jūlija kalendāra pamatu. Šajā gadījumā 1 dienas kļūda uzkrājas 128 gadu laikā. Otrā vērtība (7/29) nekad netika izmantota. Trešā daļa (8/33), t.i., 8 garie gadi 33 gadu laikā ierosināja Omārs Khayyam 11. gadsimtā un lika pamatu persiešu kalendāram, kurā kļūda dienā uzkrājas 4500 gadu laikā (gregoriāniski - virs 3280 gadiem). Ļoti precīzu versiju ar ceturto daļu (31/128, kļūda dienā uzkrājas tikai 100 000 gadu laikā) popularizēja vācu astronoms Johans fon Medlers (1864), taču lielu interesi viņš neizraisīja.

5.2. Pirmās pakāpes salīdzinājumu risināšana

Apsveriet salīdzinājumu: , kur ir zināmi, un mēs to varam pieņemt a savstarpēji vienkārši ar m. Vajag atrast x .

Izvērsīsim to nepārtrauktā daļā. Tā būs galīgā un pēdējā piemērotā frakcija. Aizstāt formulā (1):

mq n − 1 − alpp n − 1 = (− 1) n − 1

No tā izriet:

, vai:

Secinājums: atlieku klase ir sākotnējā salīdzinājuma risinājums.

5.3. Citas lietojumprogrammas

5.3.1. Zelta griezuma īpašības

Interesants rezultāts, kas izriet no fakta, ka φ turpinātajā daļskaitļu izteiksmē netiek izmantoti veseli skaitļi, kas lielāki par 1, ir tas, ka φ ir viens no visgrūtākajiem reālajiem skaitļiem, ko tuvināt ar racionāliem skaitļiem. Viena teorēma (Hurvica teorēma) nosaka, ka jebkurš reāls skaitlis k var tuvināt ar daļu m/n ar palīdzību

Tad, kad gandrīz visi reālie skaitļi k ir bezgalīgi daudz tuvinājumu m/n, kas atrodas daudz mazākā attālumā no k pārsniedz šo robežu, φ tuvinājumi (t.i., skaitļi 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 utt.) secīgi "pieskaras robežai", saglabājot attālumu gandrīz precīzi tādā attālumā no φ , tādējādi nekad neradot tik iespaidīgas aproksimācijas kā, piemēram, 355/113 π. Var parādīt, ka jebkurš formas ( a + bφ)/( c + dφ) – kur a, b, c un d ir veseli skaitļi, piemēram reklāma − bc= ±1 - ir tāda pati īpašība kā zelta griezumam φ; un arī to, ka visus pārējos reālos skaitļus var tuvināt daudz labāk.

6. Vēsturiskais fons

Senie matemātiķi spēja attēlot nesamērojamu lielumu attiecības secīgu piemērotu attiecību ķēdes veidā, iegūstot šo ķēdi, izmantojot Eiklida algoritmu. Acīmredzot šādā veidā Arhimēds ieguva aproksimāciju - šī ir 12. piemērotā daļa vai no 4. piemērotās frakcijas .

5. gadsimtā Indijas matemātiķis Arjabhata izmantoja līdzīgu "rafinēšanas metodi", lai atrisinātu nenoteiktus pirmās un otrās pakāpes vienādojumus. Ar šīs pašas tehnikas palīdzību, iespējams, tika iegūts labi zināmais skaitļa π tuvinājums (355/113). 16. gadsimtā Rafaels Bombelli izmantoja turpinātās daļas, lai iegūtu kvadrātsaknes (sk. viņa algoritmu).

Sākt mūsdienu teorija turpinātās frakcijas 1613. gadā ievietoja Pjetro Antonio Kataldi. Viņš atzīmēja to galveno īpašību (pozīcija starp piemērotām frakcijām) un ieviesa apzīmējumu, kas atgādina mūsdienu. Vēlāk viņa teoriju paplašināja Džons Vallis, kurš ierosināja šo terminu "turpinātā daļa". Līdzvērtīgs termins ir " turpināja šāvienu parādījās 18. gadsimta beigās.

Šīs daļas galvenokārt tika izmantotas reālo skaitļu racionālai tuvināšanai; piemēram, Kristians Huigenss tos izmantoja sava planetārija zobratu projektēšanai. Huigenss jau zināja, ka konverģenti vienmēr ir nereducējami un ka tie ir vislabākā racionālā tuvināšana.

18. gadsimtā turpināto daļskaitļu teoriju vispārīgi pabeidza Leonhards Eilers un Džozefs Luiss Lagranžs.

7. Motivācija

Turpinātās frakcijas ir "matemātiskākie" reālo skaitļu attēlojumi.

Lielākā daļa cilvēku ir pazīstami ar reālu skaitļu decimālo attēlojumu, ko var definēt kā

kur a 0 var būt jebkurš vesels skaitlis un sekojošais a i ir viens no elementiem (0,1,2,…,9). Šajā attēlojumā, piemēram, skaitli π var attēlot kā veselu skaitļu secību.

Šim decimāldaļskaitļam ir vairākas problēmas. Viens no tiem, daudziem racionāliem skaitļiem šajā sistēmā nav galīga attēlojuma. Piemēram, skaitli 1/3 var attēlot ar bezgalīgu secību (0,3,3,3,3,…). Vēl viena problēma ir tā, ka konstante 10 būtībā ir patvaļīga izvēle, kas dod priekšroku skaitļiem, kas ir kaut kādā veidā saistīti ar veselu skaitli 10. Piemēram, 137/1600 ir ierobežots decimāldaļskaitlis, bet 1/3 nav, nevis tāpēc, ka 137/1600 ir. vienkāršāks par 1/3, bet tikai tāpēc, ka 1600 dala jaudu 10 (10 6 = 1600 × 625). Turpinātais daļskaitļu apzīmējums ir reālu skaitļu attēlojums, kam šīs problēmas nav.

Apskatīsim, kā mēs varam aprakstīt tādu skaitli kā 415/93, kas ir aptuveni vienāds ar 4,4624. Tas ir aptuveni 4. Patiesībā tas ir nedaudz vairāk par 4, apmēram 4 + 1/2. Bet 2 saucējā nav pilnīgi precīzs; jābūt skaitlim, kas ir nedaudz lielāks par 2, apmēram 2 + 1/6. Tātad 415/93 ir aptuveni vienāds ar 4 + 1/(2 + 1/6). Bet 6 saucējā ir nepareizs; reālā vērtība ir nedaudz virs 6, 6+1/7. Tātad 415/93 ir 4+1/(2+1/(6+1/7). Šī ir precīza vērtība.

Izlaižot dažas no nepieciešamajām daļām izteiksmē 4 + 1 / (2 + 1 / (6 + 1 / 7)), mēs iegūstam saīsinātu apzīmējumu. (Ņemiet vērā, ka parasti ar semikolu aizstāj tikai pirmo komatu).

Tādā veidā var definēt reāla skaitļa nepārtrauktu daļskaitļu attēlojumu. Tam ir vairākas vēlamas īpašības:

Nepārtrauktā daļskaitļu attēlošana ir ierobežota tad un tikai tad, ja skaitlis ir racionāls.

Katram racionālajam skaitlim būtībā ir unikāls attēlojums kā nepārtraukta daļa. Katru racionālo skaitli var attēlot tieši divos veidos, kopš [ a 0 ; a 1 , … a n − 1 , a n ] = [a 0 ; a 1 , … a n − 1 , a n− 1, 1]. Matemātiķi dod priekšroku racionālo skaitļu un turpināto daļskaitļu atbilstībai viens pret vienu; pirmais, īsākais apzīmējums ir izvēlēts kā kanoniskais attēlojums.

Attēlojums kā iracionāla skaitļa nepārtraukta daļa ir unikāls.

Turpināta daļa ir periodiska tad un tikai tad, ja skaitlis ir kvadrātiskā iracionalitāte, t.i. ir forma

veseliem skaitļiem a, b, c, d; kur b un d nav nulle un c>1 un c nav precīzs kvadrāts.

Piemēram, periodiskā turpinātā daļa ir zelta attiecība, un periodiskā turpinātā daļa ir kvadrātsakne no 2.

Agrīna x nepārtrauktās daļskaitļu attēlojuma saīsināšana noved pie x racionālas tuvināšanas, kas zināmā mērā ir "labākā" racionālā tuvināšana.

Pēdējais īpašums ir ārkārtīgi svarīgs. Skaitļa decimāldaļskaitļa attēlojums nav. Skaitļa decimāldaļskaitļa attēlojuma saīsināšana rada racionālu skaitļa tuvinājumu, bet parasti ne pārāk labu tuvinājumu. Piemēram, saīsinot 1/7 = 0,142857… dažādās vietās, tiek iegūti tuvinājumi, piemēram, 142/1000, 14/100 un 1/10. Bet acīmredzot labākais racionālais tuvinājums būtu pats skaitlis "1/7". Nogriežot π decimālo attēlojumu, mēs iegūstam tuvinājumus, piemēram, 31415/10000 un 314/100. Turpinātā daļa π sākas ar . Saīsinot šo attēlojumu, mēs iegūstam izcilas racionālas aproksimācijas 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …. 314/100 un 333/106 saucēji ir gandrīz vienādi, taču 314/100 tuvinājuma kļūda ir deviņpadsmit reizes lielāka nekā tuvinājumā 333/106. Kā π tuvinājums, vairāk nekā simts reižu precīzāks nekā tuvinājums 3,1416.

, Daļa , Daļa (matemātika) , Pareizā daļa .

Turpinātās daļas 1572. gadā ieviesa itāļu matemātiķis Bombelli. Mūsdienu apzīmējumu turpinātajām daļskaitļiem atrada itāļu matemātiķis Cataldi 1613. gadā. Lielākais 18. gadsimta matemātiķis Leonardo Eilers bija pirmais, kurš iezīmēja turpināto daļskaitliju teoriju, izvirzīja jautājumu par to izmantošanu diferenciālvienādojumu risināšanā, pielietoja tos funkciju paplašināšanai, bezgalīgu reizinājumu attēlošanai un sniedza svarīgs to vispārinājums.

Eilera darbu pie turpināto frakciju teorijas turpināja M. Sofronovs (1729-1760), akadēmiķis V.M. Viskovatym (1779-1819), D. Bernulli (1700-1782) un citi.Daudzi nozīmīgi šīs teorijas rezultāti pieder franču matemātiķim Lagrenam, kurš atrada aptuvenā risinājuma metodi, izmantojot diferenciālvienādojumu turpinātas daļas.

Eiklida algoritms ļauj atrast jebkura racionāla skaitļa attēlojumu (vai paplašinājumu) turpinātas daļskaitļa formā. Kā turpinātās daļas elementi tiek iegūti secīgo dalījumu nepilnie koeficienti vienādību sistēmā (1), tāpēc turpinātās daļas elementus sauc arī par nepilnajiem koeficientiem. Turklāt sistēmas (2) vienādības parāda, ka paplašināšanas process par nepārtrauktu daļskaitli sastāv no secīgas veselās skaitļa daļas atlases un daļdaļas inversijas.

Pēdējais viedoklis ir vispārīgāks nekā pirmais, jo tas ir piemērojams ne tikai racionālā, bet arī jebkura reālā skaitļa paplašināšanai par nepārtrauktu daļu.

Racionāla skaitļa dekompozīcijai acīmredzami ir ierobežots elementu skaits, jo Eiklida algoritms secīgai a dalīšanai ar b ir ierobežots.

Ir skaidrs, ka katra turpinātā daļa apzīmē noteiktu racionālu skaitli, tas ir, tas ir vienāds ar noteiktu racionālu skaitli. Bet rodas jautājums, vai ir dažādi viena un tā paša racionālā skaitļa attēlojumi ar nepārtrauktu daļskaitli? Izrādās, ka nav, ja pieprasi, lai būtu.

Turpinātās daļskaitļi - secība, kuras katrs loceklis ir parasta daļdaļa, ģenerē turpinātu (vai turpinātu) daļskaitli, ja tās otro daļu pievieno pirmajam, un katru daļu, sākot no trešās, pievieno iepriekšējās saucējam frakcija. Piemēram, secība 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... ģenerē turpinātu daļskaitli, kur beigās esošā elipsi norāda, ka process turpinās bezgalīgi. . Savukārt turpinātā daļa ģenerē citu frakciju secību, ko sauc par konverģentām. Mūsu piemērā pirmais, otrais, trešais un ceturtais konverģents ir vienāds, un tos var izveidot, izmantojot vienkāršs noteikums no daļējo koeficientu secības 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... Vispirms izrakstām pirmo un otro konverģenci 1/1 un 3/2. Trešais konverģents ir vienāds ar (2?1 + 3?3)/(2?1 + 3?2) vai 11/8, tā skaitītājs ir vienāds ar pirmā un otrā konverģenta skaitītāju reizinājumu summu, reizina attiecīgi ar trešā nepilnā koeficienta skaitītāju un saucēju, un saucējs ir vienāds ar pirmā un otrā nepilnā koeficienta saucēju reizinājumu summu, kas reizināta attiecīgi ar trešā daļējā koeficienta skaitītāju un saucēju. Ceturto konverģentu līdzīgi iegūst no ceturtās daļējās 3/4 un otrās un trešās konverģentes: (3?3 + 4?11)/(3?2 + 4?8) vai 53/38. Ievērojot šo noteikumu, mēs atrodam pirmās septiņas piemērotās frakcijas: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 un 16687/11986. Mēs tos ierakstām formā decimāldaļskaitļi(ar sešām zīmēm aiz komata): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1.392247 un 1.392208. Mūsu turpinātās daļas vērtība būs skaitlis x, kura pirmie cipari ir 1,3922. Atbilstošās frakcijas ir x labākā tuvinājuma vērtība. Turklāt tie pārmaiņus izrādās vai nu mazāki, vai lielāki par skaitli x (nepāra - vairāk par x un pat - mazāk). Lai attēlotu divu pozitīvu veselu skaitļu attiecību kā ierobežotu turpinātu daļskaitli, jums jāizmanto lielākās atrašanas metode kopīgs dalītājs. Piemēram, ņemiet attiecību 50/11. Tā kā 50 = 4?11 + 6 vai 11/50 = 1/(4 + 6/11) un līdzīgi, 6/11 = 1/(1 + 5/6) vai 5/6 = 1/(1 + 1 /5), mēs iegūstam: Turpinātās daļas tiek izmantotas, lai tuvinātu iracionālos skaitļus racionālajiem. Pieņemsim, ka x ir iracionāls skaitlis (tas ir, to nevar attēlot kā divu veselu skaitļu attiecību). Tad, ja n0 ir lielākais veselais skaitlis, kas ir mazāks par x, tad x = n0 + (x - n0), kur x - n0 ir pozitīvs skaitlis, kas mazāks par 1, tātad x1 apgrieztā vērtība ir lielāka par 1 un x = n0 + 1/ x1. Ja n1 ir lielākais veselais skaitlis, kas ir mazāks par x1, tad x1 = n1 + (x1 - n1), kur x1 - n1 ir pozitīvs skaitlis, kas ir mazāks par 1, tātad x2 apgrieztā vērtība ir lielāka par 1 un x1 = n1 + 1 /x2 . Ja n2 ir lielākais veselais skaitlis, kas ir mazāks par x2, tad x2 = n2 + 1/x3, kur x3 ir lielāks par 1 utt. Rezultātā mēs soli pa solim atrodam nepārtrauktās daļas daļējo koeficientu n0, 1/n1, 1/n2, ... secību, kas ir x tuvinājumi. Paskaidrosim teikto ar piemēru. Pieņemsim, ka pirmie 6 konverģenti ir 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Rakstot kā decimāldaļas, tās dod šādas aptuvenas vērtības: 1000; 1500; 1400; 1,417; 1,4137; 1.41428. Turpinātajai daļai ir parciālie koeficienti 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, .... Iracionāls skaitlis ir kvadrātvienādojuma sakne ar veselu skaitļu koeficientiem tad un tikai tad, ja daļēja tā daļēja izplešanās nepārtrauktās daļās ir periodiska. Turpinātās daļas ir cieši saistītas ar daudzām matemātikas jomām, piemēram, funkciju teoriju, atšķirīgām rindām, momentu problēmu, diferenciālvienādojumiem un bezgalīgām matricām. Ja x ir asa leņķa radiāna mērs, tad leņķa x tangensa ir vienāda ar turpinātās daļas vērtību ar daļējiem koeficientiem 0, x/1, ?x2/3, ?x2/7, ?x2/9 , ..., un ja x ir pozitīvs skaitlis , tad naturālais logaritms 1 + x ir vienāds ar turpinātās daļas vērtību ar parciālajiem koeficientiem 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4 , 22x/5, 32x/6, …. Diferenciālvienādojuma x2dy/dx + y = 1 + x formālais risinājums pakāpju sērijas formā ir diverģents jaudas sērijas 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... . Šo pakāpju sēriju var pārveidot par turpinātu daļu ar nepilnīgām proporcijām 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ..., un to savukārt var izmantot lai iegūtu atrisinājuma diferenciālvienādojumu x2dy/dx + y = 1 + x.

- 88,50 Kb

KRIEVIJAS FEDERĀCIJAS FEDERĀLĀ MEŽA AĢENTŪRA

FBOU SPO "DIVNOGORSKAS MEŽSAIMNIECĪBA - TEHNIKUMS"

MATEMĀTIKAS TELPA

ZIŅOT

PAR PĒTNIECĪBAS DARBU Nr.

PAR TĒMU "TURPINĀTĀS DAĻA"

Pabeigts:

1. kursa studente gr. 11B-L Kardapoltsevs A.O.

Pārbaudīts:

Skolotājs: Konovalova E.G.

Atzīme:

Ievads - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

Turpinājums daļskaitlis - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4

Turpināta frakciju paplašināšana - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Reālo skaitļu tuvināšana ar racionālajiem skaitļiem - - 6

Vēsturiskais fons - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

Secinājums - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Bibliogrāfiskais saraksts - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9

Ievads

Mans mērķis pētnieciskais darbs ir turpināto frakciju teorijas izpēte. Tajā es mēģināšu atklāt konverģentu īpašības, reālo skaitļu paplašināšanas nepareizās daļskaitļos iezīmes, kļūdas, kas rodas šīs paplašināšanas rezultātā, un turpināto daļskaitļu teorijas pielietojumu, lai atrisinātu vairākas problēmas. algebriskas problēmas.

Turpinātā daļa

ķēdes šāviens(vai turpināta frakcija) ir formas matemātiska izteiksme

kur a 0 ir vesels skaitlis un viss pārējais a n naturālie skaitļi (tas ir, nenegatīvi veseli skaitļi). Jebkuru reālu skaitli var attēlot kā nepārtrauktu daļu (galīgu vai bezgalīgu). Skaitlis tiek attēlots ar ierobežotu turpinātu daļskaitli tad un tikai tad, ja tas ir racionāls. Skaitlis tiek attēlots ar periodisku turpinātu daļskaitli tad un tikai tad, ja tā ir kvadrātiskā iracionalitāte.

Turpināta frakciju paplašināšana

Jebkurš reāls skaitlisx var attēlot ar (galīgu vai bezgalīgu) turpinātu daļu kur

kur apzīmē skaitļa veselo daļux .

Par racionālu skaitlix šī izplešanās beidzas, kad tā sasniedz nullix n dažiem n. Šajā gadījumā x attēlota ar nepārtrauktu daļskaitli

Iracionālajiemx visi daudzumi x n nebūs nulle, un paplašināšanas procesu var turpināt bezgalīgi. Šajā gadījumāx attēlots ar bezgalīgu nepārtrauktu daļu

Reālo skaitļu tuvināšana ar racionālajiem

Turpinātās daļas ļauj efektīvi atrast labus reālo skaitļu racionālos tuvinājumus. Proti, ja reāls skaitlisx izvērsties turpinātā daļā, tad tās konverģenti apmierinās nevienlīdzību:

No tā jo īpaši izriet:

1) piemērota frakcijair labākais tuvinājums

priekš x starp visām daļām, kuru saucējs nepārsniedzq n ;

2) jebkura iracionāla skaitļa iracionalitātes mērs nav mazāks par 2.

Piemēri

1) Paplašiniet numuruπ \u003d 3,14159265 ... turpinātā daļā un aprēķināt tās konverģences: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ...

Otrā daļa (22/7) ir slavenais Arhimēda tuvinājums. Ceturtais (355/113) pirmo reizi tika iegūts senajā Ķīnā.

2) Mūzikas teorijā ir jāatrod racionāls tuvinājums

Trešā piemērota daļa: 7/12 ļauj attaisnot klasisko oktāvas dalījumu 12 pustoņos.

Vēstures atsauce

Šī ir 12. parastā daļdaļa par

Vai no 4. piemērotas frakcijas.

5. gadsimtā Indijas matemātiķis Arjabhata izmantoja līdzīgu "rafinēšanas metodi", lai atrisinātu nenoteiktus pirmās un otrās pakāpes vienādojumus. Ar tās pašas tehnikas palīdzību labi zināmais skaitļa tuvinājumsπ (355/113). 16. gadsimtā Rafaels Bombelli izmantoja turpinātās daļas, lai iegūtu kvadrātsaknes (sk. viņa algoritmu).

Mūsdienu turpināto frakciju teorijas sākumu 1613. gadā lika Pjetro Antonio Kataldi. Viņš atzīmēja to galveno īpašību (pozīcija starp piemērotām frakcijām) un ieviesa apzīmējumu, kas atgādina mūsdienu. Vēlāk viņa teoriju paplašināja Džons Vallis, kurš ierosināja šo terminu "turpinātā daļa". Līdzvērtīgs termins ir " turpināja šāvienu parādījās 18. gadsimta beigās.

18. gadsimtā turpināto daļskaitļu teoriju vispārīgi pabeidza Leonhards Eilers un Džozefs Luiss Lagranžs.

Secinājums

Šis pētnieciskais raksts parāda nepārtrauktu daļskaitļu nozīmi matemātikā.

Tos var veiksmīgi pielietot formas nenoteiktu vienādojumu atrisināšanai

cirvis+by=c.

Galvenās grūtības šādu vienādojumu risināšanā ir atrast kādu konkrētu risinājumu. Tātad ar turpināto daļskaitļu palīdzību jūs varat norādīt algoritmu šāda konkrēta risinājuma atrašanai.

Turpinātās daļas var izmantot arī sarežģītākiem nenoteiktiem vienādojumiem, piemēram, tā sauktajam Pella vienādojumam:

().

Bezgalīgas turpinātās daļas var izmantot, lai atrisinātu algebriskos un transcendentālos vienādojumus, lai ātri aprēķinātu atsevišķu funkciju vērtības.

Pašlaik arvien vairāk tiek izmantotas turpinātās frakcijas datorzinātne, jo tie ļauj datorā izveidot efektīvus algoritmus vairāku problēmu risināšanai.

Bibliogrāfiskais saraksts:

http://en.wikipedia.org

Algebra un skaitļu teorija. Rediģēja N.Ya. Viļenkina, M, “Apgaismība”, 84.
VIŅI. Vinogradovs. Skaitļu teorijas pamati. M, "Zinātne", 72.
A.A. Kočevs. Uzdevumu grāmata-seminārs par algebru un skaitļu teoriju. M, "Apgaismība", 84.
L.Ya. Kuļikovs, A.I. Moskaļenko, A.A. Fomin. Algebras un skaitļu teorijas uzdevumu krājums. M, "Apgaismība", 93.

E.S. Ļapins, A.E. Evsejevs. Algebra un skaitļu teorija. M, "Apgaismība",

Darba Apraksts

Mana pētnieciskā darba mērķis ir izpētīt turpināto frakciju teoriju. Tajā es mēģināšu atklāt konverģentu īpašības, reālo skaitļu paplašināšanas nepareizās daļskaitļos iezīmes, kļūdas, kas rodas šīs paplašināšanas rezultātā, un turpināto daļskaitļu teorijas pielietojumu, lai atrisinātu vairākas problēmas. algebriskas problēmas.

Turpinājums daļskaitlis - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4

Turpināta frakciju paplašināšana - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Reālo skaitļu tuvināšana ar racionālajiem skaitļiem - - 6

Vēsturiskais fons - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

Secinājums - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Bibliogrāfiskais saraksts - - - - - - - - - - - - - - -

TURPINĀJUMS DAĻA. Secība, kuras katrs loceklis ir parasta daļa, ģenerē turpinātu (vai turpinātu) daļskaitli, ja tās otro daļu pievieno pirmajam, un katru daļskaitli, sākot ar trešo, pievieno iepriekšējās daļskaitļa saucējam.

Piemēram, secība 1, 1/2, 2/3, 3/4,..., n/(n+ 1),... ģenerē turpināto daļu

kur elipse beigās norāda, ka process turpinās bezgalīgi. Savukārt turpinātā daļa ģenerē citu frakciju secību, ko sauc par konverģentām. Mūsu piemērā pirmais, otrais, trešais un ceturtais konverģents ir

Tos var uzbūvēt pēc vienkārša likuma no daļējo koeficientu secības 1, 1/2, 2/3, 3/4,.... Pirmkārt, mēs izrakstām pirmo un otro konverģenci 1/1 un 3 /2. Trešā atbilstība ir vienāda ar (2P 1 + 3P 3) / (2P 1 + 3P 2) vai 11/8, tās skaitītājs ir vienāds ar pirmās un otrās atbilstības daļas skaitļu reizinājumu summu, kas reizināta attiecīgi ar trešā nepilnā koeficienta skaitītāju un saucēju, un saucējs ir vienāds ar pirmā un otrā nepilnā koeficienta saucēju summas reizinājumiem, kas reizināti attiecīgi ar trešā nepilnīgā koeficienta skaitītāju un saucēju. Ceturto piemēroto frakciju līdzīgi iegūst no ceturtās daļējās 3/4 un otrās un trešās piemērotās frakcijas: (3P 3 + 4P 11) / (3P 2 + 4P 8) vai 53/38. Ievērojot šo noteikumu, mēs atrodam pirmās septiņas piemērotās frakcijas: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 un 16687/11986. Pierakstīsim tos kā decimāldaļas (ar sešām zīmēm aiz komata): 1.000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1.392247 un 1.392208. Mūsu turpinātās daļas vērtība būs skaitlis x, kura galvenie cipari ir 1,3922. Piemērojamie daļskaitļi ir labākais skaitļa tuvinājums x. Turklāt tie pārmaiņus izrādās mazāk, pēc tam vairāk nekā skaits x(nepāra - vairāk x, un pāra skaitļi ir mazāki).

Lai attēlotu divu pozitīvu veselu skaitļu attiecību kā ierobežotu nepārtrauktu daļskaitli, jums jāizmanto lielākā kopējā dalītāja atrašanas metode. Piemēram, ņemiet attiecību 50/11. Tā kā 50 = 4 × 11 + 6 vai 11/50 = 1/(4 + 6/11) un līdzīgi, 6/11 = 1/(1 + 5/6) vai 5/6 = 1/(1 + 1 /5), mēs iegūstam:

Turpinātās daļas tiek izmantotas, lai tuvinātu neracionālos skaitļus ar racionālajiem skaitļiem. Izliksimies tā x- iracionāls skaitlis (t.i., to nevar attēlot kā divu veselu skaitļu attiecību). Tad ja n 0 ir lielākais veselais skaitlis, kas ir mazāks par x, tad x = n 0 + (x – n 0), kur x – n 0 ir pozitīvs skaitlis, kas ir mazāks par 1, tātad tā abpusēja x 1 ir lielāks par 1 un x = n 0 + 1/x viens . Ja n 1 ir lielākais veselais skaitlis, kas ir mazāks par x 1, tad x 1 = n 1 + (x 1 – n 1), kur x 1 – n 1 ir pozitīvs skaitlis, kas ir mazāks par 1, tātad tā apgrieztā vērtība ir x 2 ir lielāks par 1, un x 1 = n 1 + 1/x 2. Ja n 2 ir lielākais veselais skaitlis, kas ir mazāks par x 2, tad x 2 = n 2 + 1/x 3, kur x 3 ir lielāks par 1 utt. Rezultātā mēs soli pa solim atrodam nepilnīgu koeficientu secību n 0 , 1/n 1 , 1/n 2 ,... turpinājās daļskaitļi, kas ir tuvinājumi x.

Paskaidrosim teikto ar piemēru. Pieņemsim, ka tad

Pirmās 6 saplūstošās daļas ir 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Rakstot kā decimāldaļas, tās dod šādas aptuvenas vērtības: 1000; 1500; 1400; 1,417; 1,4137; 1.41428. Turpinātajai daļai ir parciālie koeficienti 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1,.... Iracionāls skaitlis ir kvadrātvienādojuma sakne ar veselu skaitļu koeficientiem tad un tikai tad, ja tā daļēja daļēja izplešanās nepārtrauktā daļā ir periodiska.

Turpinātās daļas ir cieši saistītas ar daudzām matemātikas jomām, piemēram, funkciju teoriju, atšķirīgām rindām, momentu problēmu, diferenciālvienādojumiem un bezgalīgām matricām. Ja x ir asa leņķa radiāna mērs, tad leņķa tangenss x x/1, - x 2 /3, - x 2 /7, - x 2 /9, ..., un ja x ir pozitīvs skaitlis, tad naturālais logaritms 1+ x ir vienāds ar turpinātas daļas vērtību ar daļējiem koeficientiem 0, x/1, 1 2 x/2, 1 2 x/3, 2 2 x/4, 2 2 x/5, 3 2 x/6,... . Diferenciālvienādojuma formālais risinājums x 2 dy/dx+y = 1 + x pakāpju rindas veidā ir diverģentā pakāpju rinda 1 + x – 1!x 2 + 2!x 3 – 3!x 4 + .... Šo pakāpju sēriju var pārveidot par turpinātu daļu ar daļējiem koeficientiem 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1,..., un izmantot to savukārt, lai iegūtu diferenciālvienādojuma atrisinājumu x 2 dy/dx + y = 1 + x.

Piemēram, secība 1, 1/2, 2/3, 3/4,..., n/(n+ 1),... ģenerē turpināto daļu

Paskaidrosim teikto ar piemēru. Pieņemsim, ka tad