Tehnika
Kā atrast funkcijas lielāko vērtību. Funkcijas lielākā un mazākā vērtība. Kvadrātiskā funkcija ir uzrakstīta standarta formā

Kā atrast funkcijas lielāko vērtību. Funkcijas lielākā un mazākā vērtība. Kvadrātiskā funkcija ir uzrakstīta standarta formā

Praksē ir diezgan bieži izmantot atvasinājumu, lai aprēķinātu funkcijas lielāko un mazāko vērtību. Šo darbību veicam tad, kad izdomājam, kā minimizēt izmaksas, palielināt peļņu, aprēķināt optimālo ražošanas slodzi utt., tas ir, gadījumos, kad nepieciešams noteikt parametra optimālo vērtību. Lai pareizi atrisinātu šādas problēmas, ir labi jāsaprot, kāda ir funkcijas lielākā un mazākā vērtība.

Parasti šīs vērtības mēs definējam kādā intervālā x , kas savukārt var atbilst visai funkcijas vai tās daļai. Tas var būt vai nu segments [ a ; b ] , un atvērts intervāls (a ; b) , (a ; b ] , [a ; b) , bezgalīgs intervāls (a ; b) , (a ; b ] , [a ; b) vai bezgalīgs intervāls - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Šajā rakstā mēs aprakstīsim, kā tiek aprēķināta nepārprotami dotas funkcijas lielākā un mazākā vērtība ar vienu mainīgo y=f(x) y = f (x).

Pamatdefinīcijas

Mēs sākam, kā vienmēr, ar galveno definīciju formulēšanu.

1. definīcija

Funkcijas y = f (x) lielākā vērtība kādā intervālā x ir vērtība m a x y = f (x 0) x ∈ X , kas jebkurai vērtībai x x ∈ X , x ≠ x 0 veido nevienādību f (x ) ≤ f (x 0) .

2. definīcija

Funkcijas y = f (x) mazākā vērtība kādā intervālā x ir vērtība m i n x ∈ X y = f (x 0) , kas jebkurai vērtībai x ∈ X , x ≠ x 0 veido nevienādību f(X f (x) ≥ f(x0) .

Šīs definīcijas ir diezgan acīmredzamas. Var būt vēl vienkāršāk pateikt: lielākā funkcijas vērtība ir tās lielākā vērtība zināmā intervālā pie abscises x 0, un mazākā ir mazākā pieņemtā vērtība tajā pašā intervālā pie x 0.

3. definīcija

Stacionārie punkti ir tādas funkcijas argumenta vērtības, pie kurām tā atvasinājums kļūst par 0.

Kāpēc mums jāzina, kas ir stacionārie punkti? Lai atbildētu uz šo jautājumu, mums jāatceras Fermā teorēma. No tā izriet, ka stacionārs punkts ir punkts, kurā atrodas diferencējamas funkcijas gals (t.i., tās lokālais minimums vai maksimums). Līdz ar to funkcija noteiktā intervālā ieņems mazāko vai lielāko vērtību tieši vienā no stacionārajiem punktiem.

Cita funkcija var iegūt lielāko vai mazāko vērtību tajos punktos, kuros pati funkcija ir noteikta un tās pirmais atvasinājums neeksistē.

Pirmais jautājums, kas rodas, pētot šo tēmu, ir: vai visos gadījumos mēs varam noteikt funkcijas maksimālo vai minimālo vērtību noteiktā intervālā? Nē, mēs to nevaram izdarīt, ja dotā intervāla robežas sakritīs ar definīcijas apgabala robežām vai ja mums ir darīšana ar bezgalīgu intervālu. Gadās arī, ka funkcija noteiktā intervālā vai bezgalībā pieņems bezgalīgi mazas vai bezgala lielas vērtības. Šajos gadījumos nav iespējams noteikt lielāko un/vai mazāko vērtību.

Šie mirkļi kļūs saprotamāki pēc attēla grafikos:

Pirmajā attēlā parādīta funkcija, kas iegūst lielākās un mazākās vērtības (m a x y un m i n y) stacionārajos punktos, kas atrodas intervālā [ - 6 ; 6].

Sīkāk apskatīsim otrajā grafikā norādīto gadījumu. Mainīsim segmenta vērtību uz [ 1 ; 6] un iegūstam, ka lielākā funkcijas vērtība tiks sasniegta punktā ar abscisu intervāla labajā malā, bet mazākā - stacionārajā punktā.

Trešajā attēlā punktu abscises attēlo nogriežņa robežpunktus [ - 3 ; 2]. Tie atbilst dotās funkcijas lielākajai un mazākajai vērtībai.

Tagad apskatīsim ceturto attēlu. Tajā funkcija ņem m a x y (lielākā vērtība) un m i n y (mazākā vērtība) stacionārajos punktos atvērtajā intervālā (- 6 ; 6) .

Ja ņemam intervālu [ 1 ; 6) , tad varam teikt, ka tajā esošās funkcijas mazākā vērtība tiks sasniegta stacionārā punktā. Mēs neuzzināsim maksimālo vērtību. Funkcija varētu iegūt lielāko vērtību pie x, kas vienāda ar 6, ja x = 6 piederētu intervālam. Tieši šis gadījums ir parādīts 5. attēlā.

6. grafikā šī funkcija iegūst mazāko vērtību intervāla labajā malā (- 3 ; 2 ] ), un mēs nevaram izdarīt konkrētus secinājumus par lielāko vērtību.

7. attēlā redzams, ka funkcijai būs m a x y stacionārajā punktā ar abscisu, kas vienāda ar 1 . Funkcija sasniedz savu minimālo vērtību pie intervāla robežas labajā pusē. Pie mīnus bezgalības funkcijas vērtības asimptotiski tuvosies y = 3 .

Ja ņemam intervālu x ∈ 2 ; + ∞ , tad redzēsim, ka dotā funkcija neuzņems tai ne mazāko, ne lielāko vērtību. Ja x tiecas uz 2, tad funkcijas vērtībām ir tendence mīnus bezgalība, jo taisne x = 2 ir vertikāla asimptote. Ja abscisai ir tendence uz plus bezgalību, tad funkcijas vērtības asimptotiski tuvosies y = 3. Šis ir gadījums, kas parādīts 8. attēlā.

Šajā rindkopā mēs sniegsim darbību secību, kas jāveic, lai noteiktā intervālā atrastu funkcijas lielāko vai mazāko vērtību.

Vispirms atradīsim funkcijas domēnu. Pārbaudīsim, vai nosacījumā norādītais segments tajā ir iekļauts.
Tagad aprēķināsim šajā segmentā ietvertos punktus, kuros pirmais atvasinājums nepastāv. Visbiežāk tos var atrast funkcijās, kuru arguments ir rakstīts zem moduļa zīmes, vai pakāpju funkcijās, kuru eksponents ir daļēji racionāls skaitlis.
Tālāk mēs noskaidrojam, kuri stacionārie punkti ietilpst noteiktā segmentā. Lai to izdarītu, jums jāaprēķina funkcijas atvasinājums, pēc tam jāpielīdzina 0 un jāatrisina iegūtais vienādojums un pēc tam jāizvēlas atbilstošās saknes. Ja mēs nesaņemam nevienu stacionāru punktu vai tie neietilpst noteiktā segmentā, mēs pārejam pie nākamās darbības.
Noskaidrosim, kādas vērtības funkcija iegūs dotajos stacionārajos punktos (ja tādi ir) vai tajos punktos, kur pirmā atvasinājuma nav (ja tāds ir), vai arī aprēķināsim vērtības x = a un x = b .
5. Mums ir virkne funkciju vērtību, no kurām tagad jāizvēlas lielākā un mazākā. Šīs būs lielākās un mazākās funkcijas vērtības, kas mums jāatrod.

Apskatīsim, kā pareizi pielietot šo algoritmu, risinot problēmas.

1. piemērs

Stāvoklis: ir dota funkcija y = x 3 + 4 x 2. Nosakiet tā lielāko un mazāko vērtību segmentos [1; 4 ] un [ - 4 ; - viens].

Risinājums:

Sāksim ar šīs funkcijas domēna atrašanu. Šajā gadījumā tā būs visu reālo skaitļu kopa, izņemot 0 . Citiem vārdiem sakot, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Abi nosacījumā norādītie segmenti atradīsies definīcijas apgabalā.

Tagad mēs aprēķinām funkcijas atvasinājumu saskaņā ar daļskaitļa diferenciācijas likumu:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Mēs uzzinājām, ka funkcijas atvasinājums pastāvēs visos segmentu punktos [1; 4 ] un [ - 4 ; - viens].

Tagad mums ir jānosaka funkcijas stacionārie punkti. Darīsim to ar vienādojumu x 3 - 8 x 3 = 0. Tam ir tikai viena reāla sakne, kas ir 2. Tas būs stacionārs funkcijas punkts un iekritīs pirmajā segmentā [1; četri ] .

Aprēķināsim funkcijas vērtības pirmā segmenta galos un dotajā punktā, t.i. ja x = 1 , x = 2 un x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Esam ieguvuši, ka funkcijas m a x y x ∈ lielākā vērtība [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 tiks sasniegts pie x = 1 , un mazākais m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pie x = 2 .

Otrais segments neietver stacionārus punktus, tāpēc mums ir jāaprēķina funkciju vērtības tikai konkrētā segmenta galos:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Tādējādi m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Atbilde: Segmentam [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 segmentam [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Skatīt attēlu:

Pirms šīs metodes apguves iesakām pārskatīt, kā pareizi aprēķināt vienpusējo robežu un robežu bezgalībā, kā arī apgūt pamatmetodes to atrašanai. Lai atklātā vai bezgalīgā intervālā atrastu funkcijas lielāko un/vai mazāko vērtību, secīgi veicam šādas darbības.

Vispirms ir jāpārbauda, vai dotais intervāls būs dotās funkcijas domēna apakškopa.
Noteiksim visus punktus, kas ir ietverti vajadzīgajā intervālā un kuros pirmais atvasinājums nepastāv. Parasti tie rodas funkcijās, kur arguments ir ietverts moduļa zīmē, un jaudas funkcijās ar daļēji racionālu eksponentu. Ja šo punktu trūkst, varat pāriet uz nākamo darbību.
Tagad mēs nosakām, kuri stacionārie punkti ietilpst noteiktā intervālā. Pirmkārt, mēs pielīdzinām atvasinājumu 0, atrisinām vienādojumu un atrodam piemērotas saknes. Ja mums nav neviena stacionāra punkta vai tie neietilpst norādītajā intervālā, mēs nekavējoties pārejam pie turpmākajām darbībām. Tos nosaka intervāla veids.

Ja intervāls izskatās kā [ a ; b) , tad jāaprēķina funkcijas vērtība punktā x = a un vienpusējā robeža lim x → b - 0 f (x) .
Ja intervālam ir forma (a ; b ] , tad jāaprēķina funkcijas vērtība punktā x = b un vienpusējā robeža lim x → a + 0 f (x) .
Ja intervālam ir forma (a ; b) , tad jāaprēķina vienpusējās robežas lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
Ja intervāls izskatās kā [ a ; + ∞) , tad jāaprēķina vērtība punktā x = a un plus bezgalības robeža lim x → + ∞ f (x) .
Ja intervāls izskatās kā (- ∞ ; b ] , mēs aprēķinām vērtību punktā x = b un robežu mīnus bezgalībā lim x → - ∞ f (x) .
Ja - ∞ ; b , tad mēs uzskatām vienpusējo robežu lim x → b - 0 f (x) un robežu mīnus bezgalībā lim x → - ∞ f (x)
Ja - ∞ ; + ∞ , tad ņemam vērā mīnus un plus bezgalības robežas lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

Beigās ir jāizdara secinājums, pamatojoties uz iegūtajām funkcijas un robežvērtībām. Šeit ir daudz iespēju. Tātad, ja vienpusējā robeža ir vienāda ar mīnus bezgalību vai plus bezgalību, tad uzreiz ir skaidrs, ka par funkcijas mazāko un lielāko vērtību neko nevar teikt. Tālāk mēs aplūkosim vienu tipisku piemēru. Detalizēti apraksti palīdzēs jums saprast, kas ir kas. Ja nepieciešams, varat atgriezties pie 4. - 8. attēla materiāla pirmajā daļā.

2. piemērs

Nosacījums: dota funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Aprēķināt tā lielāko un mazāko vērtību intervālos - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ), [ 1 ; 2 ), 2 ; +∞, [4; +∞) .

Risinājums

Pirmkārt, mēs atrodam funkcijas domēnu. Daļas saucējs ir kvadrātveida trijstūris, kuram nevajadzētu būt līdz 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Esam ieguvuši funkcijas apjomu, kuram pieder visi nosacījumā norādītie intervāli.

Tagad atšķirsim funkciju un iegūsim:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Līdz ar to funkcijas atvasinājumi pastāv visā tās definīcijas jomā.

Pāriesim pie stacionāro punktu atrašanas. Funkcijas atvasinājums kļūst par 0 pie x = - 1 2 . Šis ir stacionārs punkts, kas atrodas intervālos (- 3 ; 1 ] un (- 3 ; 2).

Aprēķināsim funkcijas vērtību pie x = - 4 intervālam (- ∞ ; - 4 ] , kā arī robežu pie mīnus bezgalības:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tā kā 3 e 1 6 - 4 > - 1, tad m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Tas neļauj unikāli noteikt funkcijas mazāko vērtību. Var tikai secināt, ka ir robeža zem -1, jo tieši šai vērtībai funkcija tuvojas asimptotiski pie mīnus bezgalības.

Otrā intervāla iezīme ir tāda, ka tam nav neviena stacionāra punkta un nevienas stingras robežas. Tāpēc mēs nevaram aprēķināt ne lielāko, ne mazāko funkcijas vērtību. Definējot robežu pie mīnus bezgalības un kā argumentam ir tendence uz -3 kreisajā pusē, mēs iegūstam tikai vērtību diapazonu:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tas nozīmē, ka funkciju vērtības atradīsies intervālā -1; +∞

Lai atrastu funkcijas maksimālo vērtību trešajā intervālā, nosakām tās vērtību stacionārajā punktā x = - 1 2, ja x = 1 . Mums jāzina arī vienpusējā robeža gadījumam, kad arguments tiecas uz - 3 labajā pusē:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 g (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Izrādījās, ka funkcijai būs vislielākā vērtība stacionārā punktā m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Kas attiecas uz mazāko vērtību, tad to nevaram noteikt. Viss, ko mēs zināt , ir zemākās robežas klātbūtne līdz - 4 .

Intervālam (- 3 ; 2) ņemsim iepriekšējā aprēķina rezultātus un vēlreiz aprēķināsim, ar ko vienāda vienpusējā robeža, tiecoties uz 2 no kreisās puses:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Tādējādi m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , un mazāko vērtību nevar noteikt, un funkcijas vērtības no apakšas ierobežo skaitlis - 4 .

Pamatojoties uz to, ko mēs darījām divos iepriekšējos aprēķinos, mēs varam apgalvot, ka intervālā [1; 2) funkcijai būs vislielākā vērtība pie x = 1, un nav iespējams atrast mazāko.

Intervālā (2 ; + ∞) funkcija nesasniegs ne lielāko, ne mazāko vērtību, t.i. tas ņems vērtības no intervāla - 1; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Aprēķinot, ar ko būs vienāda funkcijas vērtība pie x = 4, mēs uzzinām, ka m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , un dotā funkcija plus bezgalībā asimptotiski tuvosies taisnei y = - 1 .

Salīdzināsim katrā aprēķinā iegūto ar dotās funkcijas grafiku. Attēlā asimptoti ir parādīti ar punktētām līnijām.

Tas ir viss, ko mēs gribējām runāt par funkcijas lielākās un mazākās vērtības atrašanu. Mūsu sniegtās darbību secības palīdzēs jums veikt nepieciešamos aprēķinus pēc iespējas ātrāk un vienkāršāk. Taču atcerieties, ka bieži vien ir lietderīgi vispirms noskaidrot, kādos intervālos funkcija samazināsies un kādos palielināsies, pēc tam var izdarīt turpmākus secinājumus. Tātad jūs varat precīzāk noteikt funkcijas lielāko un mazāko vērtību un pamatot rezultātus.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Dažreiz uzdevumos B15 ir "sliktas" funkcijas, kurām ir grūti atrast atvasinājumu. Iepriekš tas bija tikai zondēs, bet tagad šie uzdevumi ir tik izplatīti, ka, gatavojoties šim eksāmenam, tos vairs nevar ignorēt.

Šajā gadījumā darbojas citi triki, no kuriem viens ir - monotons.

Funkciju f (x) sauc par monotoni pieaugošu segmentā, ja jebkuram šī segmenta punktam x 1 un x 2 ir taisnība:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Funkciju f (x) sauc par monotoni samazinošu segmentā, ja jebkuram šī segmenta punktam x 1 un x 2 ir taisnība:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

Citiem vārdiem sakot, pieaugošai funkcijai, jo lielāks ir x, jo lielāks ir f(x). Samazinošai funkcijai ir otrādi: jo vairāk x , jo mazāk f(x).

Piemēram, logaritms palielinās monotoni, ja bāze a > 1 un monotoni samazinās, ja 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmētiskā kvadrātsakne (un ne tikai kvadrātsakne) monotoni palielinās visā definīcijas jomā:

Eksponenciālā funkcija darbojas līdzīgi kā logaritms: tā palielinās, ja a > 1 un samazinās, ja 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Visbeidzot, grādi ar negatīvu eksponentu. Jūs varat tos rakstīt kā daļu. Viņiem ir pārtraukuma punkts, kurā tiek pārtraukta monotonija.

Visas šīs funkcijas nekad nav atrodamas tīrā veidā. Tiem tiek pievienoti polinomi, daļskaitļi un citas muļķības, kuru dēļ ir grūti aprēķināt atvasinājumu. Kas notiek šajā gadījumā - tagad mēs analizēsim.

Parabolas virsotņu koordinātas

Visbiežāk funkcijas arguments tiek aizstāts ar kvadrātveida trinomāls formas y = ax 2 + bx + c . Tās grafiks ir standarta parabola, kas mūs interesē:

Parabolas zari — var iet uz augšu (> 0) vai uz leju (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
Parabolas virsotne ir kvadrātiskās funkcijas galējais punkts, kurā šī funkcija iegūst mazāko (ja > 0) vai lielāko (a< 0) значение.

Vislielākā interese ir parabolas augšdaļa, kuras abscisu aprēķina pēc formulas:

Tātad, mēs esam atraduši kvadrātiskās funkcijas galējo punktu. Bet, ja sākotnējā funkcija ir monotona, tai punkts x 0 būs arī galējais punkts. Tādējādi mēs formulējam galveno noteikumu:

Kvadrātveida trinoma un kompleksās funkcijas ekstrēmi punkti sakrīt. Tāpēc kvadrātveida trinomālam varat meklēt x 0 un aizmirst par funkciju.

No iepriekš minētā sprieduma paliek neskaidrs, kādu punktu mēs iegūstam: maksimumu vai minimumu. Taču uzdevumi ir īpaši izstrādāti, lai tam nebūtu nozīmes. Spriediet paši:

Problēmas stāvoklī nav segmenta. Tāpēc nav jāaprēķina f(a) un f(b). Atliek ņemt vērā tikai galējos punktus;
Bet tāds punkts ir tikai viens - tā ir parabolas x 0 virsotne, kuras koordinātas tiek aprēķinātas burtiski mutiski un bez jebkādiem atvasinājumiem.

Tādējādi problēmas risinājums ir ievērojami vienkāršots un samazināts līdz diviem soļiem:

Uzrakstiet parabolas vienādojumu y = ax 2 + bx + c un atrodiet tā virsotni, izmantojot formulu: x 0 = −b /2a;
Atrodiet sākotnējās funkcijas vērtību šajā punktā: f (x 0). Ja nav papildu nosacījumu, šī būs atbilde.

No pirmā acu uzmetiena šis algoritms un tā pamatojums var šķist sarežģīts. Es apzināti nepublicēju "pliku" risinājuma shēmu, jo šādu noteikumu nepārdomāta piemērošana ir pilna ar kļūdām.

Apsveriet matemātikas izmēģinājuma eksāmena reālos uzdevumus - šeit šī metode ir visizplatītākā. Tajā pašā laikā mēs parūpēsimies, lai šādā veidā daudzas B15 problēmas kļūtu gandrīz verbālas.

Zem saknes ir kvadrātiskā funkcija y \u003d x 2 + 6x + 13. Šīs funkcijas grafiks ir parabola ar zariem uz augšu, jo koeficients a \u003d 1\u003e 0.

Parabolas augšdaļa:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6/2 \u003d -3

Tā kā parabolas zari ir vērsti uz augšu, punktā x 0 \u003d −3, funkcija y \u003d x 2 + 6x + 13 iegūst mazāko vērtību.

Sakne monotoni pieaug, tāpēc x 0 ir visas funkcijas minimālais punkts. Mums ir:

Uzdevums. Atrodiet funkcijas mazāko vērtību:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Zem logaritma atkal ir kvadrātfunkcija: y \u003d x 2 + 2x + 9. Grafiks ir parabola ar zariem uz augšu, jo a = 1 > 0.

Parabolas augšdaļa:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Tātad punktā x 0 = −1 kvadrātiskā funkcija iegūst mazāko vērtību. Bet funkcija y = log 2 x ir monotona, tāpēc:

y min = y (-1) = log 2 ((-1) 2 + 2 (-1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponents ir kvadrātfunkcija y = 1 − 4x − x 2 . Pārrakstīsim to normālā formā: y = −x 2 − 4x + 1.

Acīmredzot šīs funkcijas grafiks ir parabola, kas sazarojas uz leju (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Sākotnējā funkcija ir eksponenciāla, tā ir monotona, tāpēc lielākā vērtība būs atrastajā punktā x 0 = −2:

Uzmanīgs lasītājs noteikti pamanīs, ka mēs neesam izrakstījuši saknes un logaritma pieļaujamo vērtību apgabalu. Bet tas nebija vajadzīgs: iekšpusē ir funkcijas, kuru vērtības vienmēr ir pozitīvas.

Sekas no funkcijas darbības jomas

Dažreiz, lai atrisinātu uzdevumu B15, nepietiek tikai ar parabolas virsotnes atrašanu. Vēlamā vērtība var būt segmenta beigās, bet ne galējā punktā. Ja uzdevumā segments vispār nav norādīts, skatiet pielaides diapazons oriģinālā funkcija. Proti:

Vēlreiz pievērsiet uzmanību: nulle var būt zem saknes, bet nekad nav logaritmā vai daļskaitļa saucējā. Apskatīsim, kā tas darbojas, izmantojot konkrētus piemērus:

Uzdevums. Atrodiet funkcijas lielāko vērtību:

Zem saknes atkal ir kvadrātfunkcija: y \u003d 3 - 2x - x 2. Tās grafiks ir parabola, bet sazarojas uz leju, jo a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Mēs izrakstām pieļaujamo vērtību apgabalu (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; viens]

Tagad atrodiet parabolas virsotni:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Punkts x 0 = −1 pieder ODZ segmentam - un tas ir labi. Tagad mēs ņemam vērā funkcijas vērtību punktā x 0, kā arī ODZ galos:

y(−3) = y(1) = 0

Tātad, mēs saņēmām skaitļus 2 un 0. Mums tiek lūgts atrast lielāko - tas ir skaitlis 2.

Uzdevums. Atrodiet funkcijas mazāko vērtību:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Logaritma iekšpusē ir kvadrātiskā funkcija y \u003d 6x - x 2 - 5. Šī ir parabola ar zariem uz leju, bet logaritmā nevar būt negatīvi skaitļi, tāpēc mēs izrakstām ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Lūdzu, ņemiet vērā: nevienlīdzība ir stingra, tāpēc gali nepieder ODZ. Tādā veidā logaritms atšķiras no saknes, kur segmenta gali mums piestāv diezgan labi.

Meklē parabolas virsotni:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Parabolas augšdaļa iederas gar ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Bet, tā kā segmenta gali mūs neinteresē, mēs ņemam vērā funkcijas vērtību tikai punktā x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2

Un, lai to atrisinātu, jums ir nepieciešamas minimālas zināšanas par tēmu. Nākamais mācību gads beidzas, visi vēlas doties atvaļinājumā, un, lai tuvinātu šo brīdi, es nekavējoties ķeros pie lietas:

Sāksim ar apgabalu. Nosacījumā minētā teritorija ir ierobežots slēgts punktu kopums plaknē. Piemēram, punktu kopa, ko ierobežo trīsstūris, ieskaitot VISU trīsstūri (ja no robežas“Izbāzt” vismaz vienu punktu, tad zona vairs netiks slēgta). Praksē ir arī taisnstūra, apaļu un nedaudz sarežģītāku formu apgabali. Jāatzīmē, ka matemātiskās analīzes teorijā ir dotas stingras definīcijas ierobežojumi, izolācija, robežas utt., bet es domāju, ka visi ir informēti par šiem jēdzieniem intuitīvā līmenī, un vairāk tagad nav vajadzīgs.

Plakano laukumu parasti apzīmē ar burtu , un, kā likums, to nosaka analītiski - ar vairākiem vienādojumiem (nav obligāti lineāra); retāk nevienlīdzības. Tipisks verbāls apgrozījums: "slēgta zona, ko ierobežo līnijas".

Apskatāmā uzdevuma neatņemama sastāvdaļa ir laukuma konstrukcija uz zīmējuma. Kā to izdarīt? Ir jānozīmē visas uzskaitītās līnijas (šajā gadījumā 3 taisni) un analizēt notikušo. Vēlamais laukums parasti ir viegli izsvītrots, un tā robeža tiek iezīmēta ar treknu līniju:

Var iestatīt to pašu laukumu lineārās nevienādības: , kas nez kāpēc biežāk tiek rakstīti kā uzskaitījumu saraksts, nevis sistēma.
Tā kā robeža pieder reģionam, tad visas nevienlīdzības, protams, nav stingri.

Un tagad lietas būtība. Iedomājieties, ka ass iet tieši uz jums no koordinātu sākuma. Apsveriet funkciju, kas nepārtraukts katrā apgabala punkts. Šīs funkcijas grafiks ir virsmas, un mazā laime ir tā, ka, lai atrisinātu šodienas problēmu, mums vispār nav jāzina, kā šī virsma izskatās. Tas var atrasties virs, zemāk, šķērsot plakni - tas viss nav svarīgi. Un svarīgi ir sekojošais: saskaņā ar Veierštrāsa teorēmas, nepārtraukts iekšā ierobežots slēgts zonā, funkcija sasniedz maksimumu (no "augstākajiem") un vismazāk (no "zemākā") vērtības, kas jāatrod. Šīs vērtības tiek sasniegtas vai iekšā stacionāri punkti, kas pieder reģionamD , vai punktos, kas atrodas uz šī reģiona robežas. No tā izriet vienkāršs un pārskatāms risinājuma algoritms:

1. piemērs

Ierobežotā, slēgtā teritorijā

Risinājums: Pirmkārt, zīmējumā ir jāattēlo laukums. Diemžēl man ir tehniski sarežģīti izveidot problēmas interaktīvu modeli, tāpēc uzreiz došu beigu ilustrāciju, kurā redzami visi pētījuma laikā atrastie "aizdomīgie" punkti. Parasti tos noliek vienu pēc otra, kad tie tiek atrasti:

Pamatojoties uz preambulu, lēmumu var ērti sadalīt divos punktos:

I) Atradīsim stacionārus punktus. Šī ir standarta darbība, ko esam vairākkārt veikuši nodarbībā. par vairāku mainīgo galējībām:

Atrasts stacionārs punkts pieder apgabali: (atzīmējiet to zīmējumā), kas nozīmē, ka mums jāaprēķina funkcijas vērtība noteiktā punktā:

- kā rakstā Segmenta funkcijas lielākās un mazākās vērtības, svarīgos rezultātus izcelšu treknrakstā. Piezīmju grāmatiņā ir ērti tos apvilkt ar zīmuli.

Pievērsiet uzmanību mūsu otrajai laimei - nav jēgas pārbaudīt pietiekams nosacījums ekstremitātei. Kāpēc? Pat tad, ja funkcija sasniedz, piemēram, vietējais minimums, tad tas NENOZĪMĒ, ka iegūtā vērtība būs minimāls visā reģionā (skat. nodarbības sākumu par beznosacījuma galējībām) .

Ko darīt, ja stacionārais punkts NAV pieder apgabalam? Gandrīz nekā! Jāatzīmē, ka un pārejiet uz nākamo punktu.

II) Mēs pētām reģiona robežu.

Tā kā apmale sastāv no trijstūra malām, pētījumu ir ērti sadalīt 3 apakšpunktos. Bet labāk to nedarīt jebkurā gadījumā. Manā skatījumā sākumā izdevīgāk ir aplūkot koordinātu asīm paralēlos posmus un pirmām kārtām tos, kas atrodas uz pašām asīm. Lai uztvertu visu darbību secību un loģiku, mēģiniet izpētīt beigas "vienā elpas vilcienā":

1) Tiksim galā ar trijstūra apakšējo malu. Lai to izdarītu, mēs tieši aizstājam funkciju:

Alternatīvi varat to izdarīt šādi:

Ģeometriski tas nozīmē, ka koordinātu plakne (ko arī dod vienādojums)"izgriezt" no virsmas"telpiskā" parabola, kuras virsotne uzreiz nonāk aizdomās. Noskaidrosim kur viņa ir:

- iegūtā vērtība "trāpīja" apgabalā, un tas var būt, ka punktā (atzīmē zīmējumā) funkcija sasniedz lielāko vai mazāko vērtību visā apgabalā. Jebkurā gadījumā veiksim aprēķinus:

Citi "kandidāti", protams, ir segmenta gali. Aprēķiniet funkcijas vērtības punktos (atzīmē zīmējumā):

Šeit, starp citu, varat veikt mutisku mini-pārbaudi "noņemtajai" versijai:

2) Lai izpētītu trijstūra labo pusi, mēs to aizstājam funkcijā un “sakārtojam tur lietas”:

Šeit mēs nekavējoties veicam aptuvenu pārbaudi, “iezvanot” jau apstrādāto segmenta galu:
, ideāls.

Ģeometriskā situācija ir saistīta ar iepriekšējo punktu:

- iegūtā vērtība arī “iekļuva mūsu interešu lokā”, kas nozīmē, ka mums ir jāaprēķina, ar ko funkcija ir vienāda parādītajā punktā:

Apskatīsim segmenta otro galu:

Izmantojot funkciju , pārbaudīsim:

3) Ikviens droši vien zina, kā izpētīt atlikušo pusi. Mēs aizstājam funkciju un veicam vienkāršojumus:

Līnija beidzas jau ir izmeklēti, bet uz melnraksta vēl pārbaudām, vai funkciju atradām pareizi :
– sakrita ar 1. apakšpunkta rezultātu;
– sakrita ar 2.apakšpunkta rezultātu.

Atliek noskaidrot, vai segmentā ir kaut kas interesants:

- tur ir! Aizvietojot vienādojumā taisnu līniju, mēs iegūstam šīs “interesantās” ordinātas:

Mēs atzīmējam punktu zīmējumā un atrodam atbilstošo funkcijas vērtību:

Kontrolēsim aprēķinus pēc "budžeta" varianta :
, pasūtījums.

Un pēdējais solis: UZMANĪGI apskatiet visus "resnos" skaitļus, pat iesācējiem iesaku izveidot vienu sarakstu:

no kuriem izvēlamies lielāko un mazāko vērtību. Atbilde rakstiet atrašanas problēmas stilā segmenta funkcijas lielākās un mazākās vērtības:

Katram gadījumam vēlreiz komentēšu rezultāta ģeometrisko nozīmi:
– šeit ir reģiona augstākais virsmas punkts;
- šeit ir virsmas zemākais punkts apgabalā.

Analizētajā uzdevumā mēs atradām 7 “aizdomīgus” punktus, taču to skaits atšķiras atkarībā no uzdevuma. Trīsstūrveida reģionam minimālā "izpētes kopa" sastāv no trim punktiem. Tas notiek, piemēram, kad funkcija tiek iestatīta lidmašīna- ir pilnīgi skaidrs, ka nav stacionāru punktu, un funkcija var sasniegt maksimālās / minimālās vērtības tikai trīsstūra virsotnēs. Bet vienreiz, otrreiz tādu piemēru nav - parasti ar kaut kādām jātiek galā 2. kārtas virsma.

Ja šādus uzdevumus risina nedaudz, tad trijstūri var likt galvai griezties, un tāpēc esmu sagatavojis jums neparastus piemērus, lai tas būtu kvadrātveida :))

2. piemērs

Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību slēgtā zonā, ko ierobežo līnijas

3. piemērs

Atrodiet lielākās un mazākās funkcijas vērtības ierobežotā slēgtā apgabalā.

Pievērsiet īpašu uzmanību apgabala robežu izpētes racionālajai kārtībai un tehnikai, kā arī starppārbaužu ķēdei, kas gandrīz pilnībā ļaus izvairīties no skaitļošanas kļūdām. Vispārīgi runājot, jūs varat to atrisināt, kā jums patīk, bet dažās problēmās, piemēram, tajā pašā 2. piemērā, ir visas iespējas ievērojami sarežģīt jūsu dzīvi. Aptuvens piemērs uzdevumu pabeigšanai nodarbības beigās.

Atrisinājuma algoritmu sistematizējam, citādi ar manu zirnekļa centību tas kaut kā pazuda garā 1.piemēra komentāru pavedienā:

- Pirmajā solī mēs izveidojam laukumu, vēlams to noēnot un izcelt apmali ar biezu līniju. Risinājuma laikā parādīsies punkti, kas jāuzliek uz zīmējuma.

– Atrodiet stacionārus punktus un aprēķiniet funkcijas vērtības tikai tajos, kas pieder apgabalam . Iegūtās vērtības tekstā tiek izceltas (piemēram, apvilktas ar zīmuli). Ja stacionārais punkts NAV pieder apgabalam, tad atzīmējam šo faktu ar ikonu vai mutiski. Ja stacionāru punktu vispār nav, tad izdarām rakstisku secinājumu, ka to nav. Jebkurā gadījumā šo vienumu nevar izlaist!

– Pierobežas zonas izpēte. Pirmkārt, ir izdevīgi rīkoties ar taisnēm, kas ir paralēlas koordinātu asīm (ja tādas ir). Tiek izceltas arī funkciju vērtības, kas aprēķinātas "aizdomīgos" punktos. Par risinājuma tehniku augstāk ir runāts daudz un tālāk tiks teikts kas cits - lasiet, pārlasiet, iedziļinieties!

- No atlasītajiem skaitļiem atlasiet lielāko un mazāko vērtību un sniedziet atbildi. Dažreiz gadās, ka funkcija sasniedz šādas vērtības vairākos punktos vienlaikus - šajā gadījumā atbildē ir jāatspoguļo visi šie punkti. Ļaujiet, piemēram, un izrādījās, ka šī ir mazākā vērtība. Tad mēs to rakstām

Pēdējie piemēri ir veltīti citām noderīgām idejām, kas noderēs praksē:

4. piemērs

Atrodiet lielākās un mazākās funkcijas vērtības slēgtā apgabalā .

Esmu saglabājis autora formulējumu, kurā laukums dots kā dubultnevienādība. Šo nosacījumu šai problēmai var uzrakstīt līdzvērtīgā sistēmā vai tradicionālākā formā:

Es jums atgādinu, ka ar nelineārs mēs saskārāmies ar nevienlīdzību, un, ja jūs nesaprotat ieraksta ģeometrisko nozīmi, lūdzu, nekavējieties un noskaidrojiet situāciju jau tagad ;-)

Risinājums, kā vienmēr, sākas ar teritorijas apbūvi, kas ir sava veida "zole":

Hmm, reizēm jāgrauž ne tikai zinātnes granīts...

I) Atrodiet stacionāros punktus:

Idiotu sapņu sistēma :)

Stacionārais punkts pieder reģionam, proti, atrodas uz tā robežas.

Un tā, tas nekas... jautra nodarbība pagāja – lūk, ko nozīmē dzert pareizo tēju =)

II) Mēs pētām reģiona robežu. Sāksim ar x asi:

1) Ja , tad

Atrodiet, kur atrodas parabolas augšdaļa:
- Novērtējiet šādus momentus - "sitiet" tieši uz punktu, no kura viss jau ir skaidrs. Bet neaizmirstiet pārbaudīt:

Aprēķināsim funkcijas vērtības segmenta galos:

2) Ar “zoles” apakšējo daļu tiksim galā “vienā sēdē” - bez jebkādiem kompleksiem to aizstājam funkcijā, turklāt mūs interesēs tikai segments:

Kontrole:

Tagad tas jau atdzīvina monotonu braucienu pa rievotu trasi. Atradīsim kritiskos punktus:

Mēs izlemjam kvadrātvienādojums vai tu atceries šo? ... Tomēr atcerieties, protams, pretējā gadījumā jūs nelasītu šīs rindas =) Ja divos iepriekšējos piemēros aprēķini decimāldaļdaļās bija ērti (kas, starp citu, ir reti), tad šeit mēs gaidām parasto parastās frakcijas. Mēs atrodam “x” saknes un, izmantojot vienādojumu, nosakām atbilstošās “kandidāta” punktu “spēles” koordinātas:

Aprēķināsim funkcijas vērtības atrastajos punktos:

Pārbaudiet funkciju pats.

Tagad rūpīgi izpētām izcīnītās trofejas un pierakstām atbildi:

Šeit ir "kandidāti", tātad "kandidāti"!

Atsevišķam risinājumam:

5. piemērs

Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību slēgtā zonā

Ieraksts ar cirtainiem lencēm skan šādi: “punktu kopums tāds, ka”.

Dažreiz šādos piemēros viņi izmanto Lagranža reizinātāja metode, taču reāla vajadzība to izmantot diez vai radīsies. Tā, piemēram, ja ir dota funkcija ar tādu pašu apgabalu "de", tad pēc aizstāšanas tajā - ar atvasinājumu bez grūtībām; turklāt viss ir sastādīts “vienā rindā” (ar zīmēm) bez nepieciešamības atsevišķi aplūkot augšējo un apakšējo pusloku. Bet, protams, ir sarežģītāki gadījumi, kur bez Lagrange funkcijas (kur, piemēram, ir tas pats riņķa vienādojums) grūti iztikt - cik grūti iztikt bez kārtīgas atpūtas!

Visu to labāko, lai izturētu sesiju un uz drīzu tikšanos nākamajā sezonā!

Risinājumi un atbildes:

2. piemērs: Risinājums: uzzīmējiet laukumu uz zīmējuma:

Zemāk esošie skaitļi parāda, kur funkcija var sasniegt savu mazāko un lielāko vērtību. Kreisajā attēlā mazākās un lielākās vērtības ir fiksētas funkcijas vietējā minimuma un maksimuma punktos. Labajā attēlā - segmenta galos.

Ja funkcija y = f(x) nepārtraukts segmentā [ a, b] , tad tas sasniedz šo segmentu vismazāk un augstākās vērtības . Tas, kā jau minēts, var notikt vai nu ekstremālie punkti vai segmenta galos. Tāpēc, lai atrastu vismazāk un funkcijas lielākās vērtības , nepārtraukts intervālā [ a, b], jums ir jāaprēķina tās vērtības kopumā kritiskie punkti un segmenta galos, un pēc tam izvēlieties mazāko un lielāko no tiem.

Ļaujiet, piemēram, noteikt funkcijas maksimālo vērtību f(x) segmentā [ a, b] . Lai to izdarītu, atrodiet visus tā kritiskos punktus, kas atrodas [ a, b] .

kritiskais punkts sauc par punktu, kurā definēta funkcija, un viņa atvasinājums ir nulle vai neeksistē. Tad jums vajadzētu aprēķināt funkcijas vērtības kritiskajos punktos. Un, visbeidzot, ir jāsalīdzina funkcijas vērtības kritiskajos punktos un segmenta galos ( f(a) un f(b) ). Lielākais no šiem skaitļiem būs lielākā funkcijas vērtība intervālā [a, b] .

Problēma atrast funkcijas mazākās vērtības .

Mēs kopā meklējam mazākās un lielākās funkcijas vērtības

Piemērs 1. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā [-1, 2] .

Risinājums. Mēs atrodam šīs funkcijas atvasinājumu. Pielīdziniet atvasinājumu nullei () un iegūstiet divus kritiskos punktus: un . Lai atrastu mazākās un lielākās funkcijas vērtības noteiktā segmentā, pietiek ar to vērtību aprēķināšanu segmenta galos un punktā , jo punkts nepieder segmentam [-1, 2] . Šīs funkciju vērtības ir šādas: , , . No tā izriet, ka mazākā funkcijas vērtība(atzīmēts ar sarkanu grafikā zemāk), kas vienāds ar -7, tiek sasniegts segmenta labajā galā - punktā , un lielākais(arī sarkans grafikā), ir vienāds ar 9, - kritiskajā punktā .

Ja funkcija ir nepārtraukta noteiktā intervālā un šis intervāls nav segments (bet ir, piemēram, intervāls; starpība starp intervālu un segmentu: intervāla robežpunkti netiek iekļauti intervālā, bet gan segmenta robežpunkti ir iekļauti segmentā), tad starp funkcijas vērtībām var nebūt mazākās un lielākās. Piemēram, attēlā redzamā funkcija ir nepārtraukta uz ]-∞, +∞[, un tai nav lielākās vērtības.

Tomēr jebkuram intervālam (slēgtam, atvērtam vai bezgalīgam) pastāv šāda nepārtraukto funkciju īpašība.

Pašpārbaudei aprēķinu laikā varat izmantot tiešsaistes atvasinājumu kalkulators .

4. piemērs. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā [-1, 3] .

Risinājums. Šīs funkcijas atvasinājumu mēs atrodam kā koeficienta atvasinājumu:

Mēs pielīdzinām atvasinājumu nullei, kas dod mums vienu kritisko punktu: . Tas pieder pie intervāla [-1, 3] . Lai atrastu mazākās un lielākās funkcijas vērtības noteiktā segmentā, mēs atrodam tās vērtības segmenta galos un atrastajā kritiskajā punktā:

Salīdzināsim šīs vērtības. Secinājums: vienāds ar -5/13, punktā un vislielākā vērtība vienāds ar 1 punktā .

Mēs turpinām kopā meklēt mazākās un lielākās funkcijas vērtības

Ir skolotāji, kuri, runājot par funkcijas mazāko un lielāko vērtību atrašanu, nesniedz skolēniem sarežģītākus piemērus par tikko apskatītajiem, tas ir, tos, kuros funkcija ir polinoms vai daļskaitlis, skaitītājs. un kuru saucējs ir polinomi. Bet mēs neaprobežosimies ar šādiem piemēriem, jo skolotāju vidū ir mīļotāji, kas liek studentiem domāt pilnībā (atvasinājumu tabula). Tāpēc tiks izmantots logaritms un trigonometriskā funkcija.

8. piemērs. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā .

Risinājums. Mēs atrodam šīs funkcijas atvasinājumu kā produkta atvasinājums :

Atvasinājumu pielīdzinām nullei, kas dod vienu kritisko punktu: . Tas pieder segmentam. Lai atrastu mazākās un lielākās funkcijas vērtības noteiktā segmentā, mēs atrodam tās vērtības segmenta galos un atrastajā kritiskajā punktā:

Visu darbību rezultāts: funkcija sasniedz savu minimālo vērtību, vienāds ar 0, punktā un punktā un vislielākā vērtība vienāds ar e² , punktā .

Pašpārbaudei aprēķinu laikā varat izmantot tiešsaistes atvasinājumu kalkulators .

9. piemērs. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā .

Risinājums. Mēs atrodam šīs funkcijas atvasinājumu:

Pielīdziniet atvasinājumu nullei:

Vienīgais kritiskais punkts pieder segmentam. Lai atrastu mazākās un lielākās funkcijas vērtības noteiktā segmentā, mēs atrodam tās vērtības segmenta galos un atrastajā kritiskajā punktā:

Secinājums: funkcija sasniedz savu minimālo vērtību, vienāds ar , punktā un vislielākā vērtība, vienāds ar , punktā .

Lietišķajās ekstrēmajās problēmās funkcijas mazāko (lielāko) vērtību atrašana, kā likums, ir minimālā (maksimālā) atrašana. Bet ne paši minimumi vai maksimumi rada lielāku praktisko interesi, bet gan argumenta vērtības, ar kurām tie tiek sasniegti. Risinot lietišķās problēmas, rodas papildu grūtības - funkciju apkopošana, kas apraksta aplūkojamo parādību vai procesu.

10. piemērs Tvertnei ar ietilpību 4, kam ir paralēlskaldņa forma ar kvadrātveida pamatni un augšpusē atvērta, jābūt alvotai. Kādiem jābūt tvertnes izmēriem, lai to pārklātu ar vismazāko materiāla daudzumu?

Risinājums. Ļaujiet x- pamatnes puse h- tvertnes augstums, S- tās virsmas laukums bez seguma, V- tā apjoms. Tvertnes virsmas laukumu izsaka ar formulu, t.i. ir divu mainīgo funkcija. Izteikt S kā viena mainīgā funkcija mēs izmantojam faktu, ka , no kurienes . Atrastās izteiksmes aizstāšana h formulā S:

Apskatīsim šo funkciju ekstrēmam. Tas ir definēts un diferencējams visur ]0, +∞[ un

Mēs pielīdzinām atvasinājumu nullei () un atrodam kritisko punktu. Turklāt pie , atvasinājums neeksistē, bet šī vērtība nav iekļauta definīcijas jomā un tāpēc nevar būt galējības punkts. Tātad, - vienīgais kritiskais punkts. Pārbaudīsim, vai tajā nav ekstrēma, izmantojot otro pietiekamo zīmi. Atradīsim otro atvasinājumu. Kad otrais atvasinājums ir lielāks par nulli (). Tas nozīmē, ka tad, kad funkcija sasniedz minimumu . Jo šis minimums - vienīgais šīs funkcijas galējais rādītājs, tā ir tās mazākā vērtība. Tātad tvertnes pamatnes malai jābūt vienādai ar 2 m un tās augstumam.

Pašpārbaudei aprēķinu laikā varat izmantot

1. piemērs

Ierobežotā, slēgtā teritorijā

Pamatojoties uz preambulu, lēmumu var ērti sadalīt divos punktos:

I) Atradīsim stacionārus punktus. Šī ir standarta darbība, ko esam vairākkārt veikuši nodarbībā. par vairāku mainīgo galējībām:

Atrasts stacionārs punkts pieder apgabali: (atzīmējiet to zīmējumā), kas nozīmē, ka mums jāaprēķina funkcijas vērtība noteiktā punktā:

- kā rakstā Segmenta funkcijas lielākās un mazākās vērtības, svarīgos rezultātus izcelšu treknrakstā. Piezīmju grāmatiņā ir ērti tos apvilkt ar zīmuli.

Ko darīt, ja stacionārais punkts NAV pieder apgabalam? Gandrīz nekā! Jāatzīmē, ka un pārejiet uz nākamo punktu.

II) Mēs pētām reģiona robežu.

1) Tiksim galā ar trijstūra apakšējo malu. Lai to izdarītu, mēs tieši aizstājam funkciju:

Alternatīvi varat to izdarīt šādi:

Citi "kandidāti", protams, ir segmenta gali. Aprēķiniet funkcijas vērtības punktos (atzīmē zīmējumā):

Šeit, starp citu, varat veikt mutisku mini-pārbaudi "noņemtajai" versijai:

2) Lai izpētītu trijstūra labo pusi, mēs to aizstājam funkcijā un “sakārtojam tur lietas”:

Šeit mēs nekavējoties veicam aptuvenu pārbaudi, “iezvanot” jau apstrādāto segmenta galu:
, ideāls.

Apskatīsim segmenta otro galu:

Izmantojot funkciju , pārbaudīsim:

3) Ikviens droši vien zina, kā izpētīt atlikušo pusi. Mēs aizstājam funkciju un veicam vienkāršojumus:

Līnija beidzas jau ir izmeklēti, bet uz melnraksta vēl pārbaudām, vai funkciju atradām pareizi :
– sakrita ar 1. apakšpunkta rezultātu;
– sakrita ar 2.apakšpunkta rezultātu.

Atliek noskaidrot, vai segmentā ir kaut kas interesants:

- tur ir! Aizvietojot vienādojumā taisnu līniju, mēs iegūstam šīs “interesantās” ordinātas:

Mēs atzīmējam punktu zīmējumā un atrodam atbilstošo funkcijas vērtību:

Kontrolēsim aprēķinus pēc "budžeta" varianta :
, pasūtījums.

Katram gadījumam vēlreiz komentēšu rezultāta ģeometrisko nozīmi:
– šeit ir reģiona augstākais virsmas punkts;
- šeit ir virsmas zemākais punkts apgabalā.

Ja šādus uzdevumus risina nedaudz, tad trijstūri var likt galvai griezties, un tāpēc esmu sagatavojis jums neparastus piemērus, lai tas būtu kvadrātveida :))

2. piemērs

Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību slēgtā zonā, ko ierobežo līnijas

3. piemērs

Atrodiet lielākās un mazākās funkcijas vērtības ierobežotā slēgtā apgabalā.

Atrisinājuma algoritmu sistematizējam, citādi ar manu zirnekļa centību tas kaut kā pazuda garā 1.piemēra komentāru pavedienā:

- Pirmajā solī mēs izveidojam laukumu, vēlams to noēnot un izcelt apmali ar biezu līniju. Risinājuma laikā parādīsies punkti, kas jāuzliek uz zīmējuma.

Pēdējie piemēri ir veltīti citām noderīgām idejām, kas noderēs praksē:

4. piemērs

Atrodiet lielākās un mazākās funkcijas vērtības slēgtā apgabalā .

Esmu saglabājis autora formulējumu, kurā laukums dots kā dubultnevienādība. Šo nosacījumu šai problēmai var uzrakstīt līdzvērtīgā sistēmā vai tradicionālākā formā:

Es jums atgādinu, ka ar nelineārs mēs saskārāmies ar nevienlīdzību, un, ja jūs nesaprotat ieraksta ģeometrisko nozīmi, lūdzu, nekavējieties un noskaidrojiet situāciju jau tagad ;-)

Risinājums, kā vienmēr, sākas ar teritorijas apbūvi, kas ir sava veida "zole":

Hmm, reizēm jāgrauž ne tikai zinātnes granīts...

I) Atrodiet stacionāros punktus:

Idiotu sapņu sistēma :)

Stacionārais punkts pieder reģionam, proti, atrodas uz tā robežas.

Un tā, tas nekas... jautra nodarbība pagāja – lūk, ko nozīmē dzert pareizo tēju =)

II) Mēs pētām reģiona robežu. Sāksim ar x asi:

1) Ja , tad

Atrodiet, kur atrodas parabolas augšdaļa:
- Novērtējiet šādus momentus - "sitiet" tieši uz punktu, no kura viss jau ir skaidrs. Bet neaizmirstiet pārbaudīt: