Nevienādību sistēmas: definīcijas, veidi, risinājumu piemēri. Lineāro nevienādību sistēmu grafiskā atrisināšana Nevienādību un nevienādību sistēmu piemēri

Nevienlīdzību sistēma Ir ierasts izsaukt jebkuru divu vai vairāku nevienādību kopu, kas satur nezināmu lielumu.

Šo formulējumu skaidri ilustrē, piemēram, šādi nevienlīdzības sistēmas:

Atrisiniet nevienādību sistēmu - nozīmē atrast visas nezināmā mainīgā vērtības, kurām tiek realizēta katra sistēmas nevienādība, vai pierādīt, ka tādas nav .

Tātad katram individuāli sistēmas nevienlīdzības aprēķināt nezināmo mainīgo. Turklāt no iegūtajām vērtībām atlasa tikai tās, kas ir patiesas gan pirmajai, gan otrajai nevienādībai. Tāpēc, aizstājot izvēlēto vērtību, abas sistēmas nevienādības kļūst pareizas.

Analizēsim vairāku nevienādību risinājumu:

Novietojiet vienu zem otra skaitļu līniju pāra; ievietojiet vērtību augšpusē x, saskaņā ar kuru pirmā nevienādība o ( x> 1) kļūst patiess, un apakšā - vērtība X, kas ir otrās nevienādības ( X> 4).

Salīdzinot datus par skaitļu līnijas, ņemiet vērā, ka risinājums abiem nevienlīdzības būs X> 4. Atbilde, X> 4.

2. piemērs

Aprēķinot pirmo nevienlīdzība mēs iegūstam -3 X< -6, или x> 2, otrais - X> -8 vai X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, saskaņā ar kuru pirmais sistēmas nevienlīdzība, un apakšējā skaitļa rindā visas šīs vērtības X, saskaņā ar kuru tiek realizēta otrā sistēmas nevienādība.

Salīdzinot datus, mēs atklājam, ka abi nevienlīdzības tiks ieviesta visām vērtībām X vieta no 2 līdz 8. Vērtību kopas X apzīmēt dubultā nevienlīdzība 2 < X< 8.

3. piemērs Atradīsim

Piemēram:

\(\begin(cases)5x+2≥0\\x<2x+1\\x-4>2\beigas(gadījumi)\)

\(\begin(cases)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\beigas(gadījumi)\)

\(\begin(cases)(x^2+1)(x^2+3)(x^2-1)≥0\\x<3\end{cases}\)

Nevienādību sistēmas atrisināšana

Uz atrisināt nevienlīdzību sistēmu jums jāatrod x vērtības, kas atbilst visām sistēmas nevienādībām - tas nozīmē, ka tās tiek veiktas vienlaikus.

Piemērs. Atrisiniet sistēmu \(\begin(cases)x>4\\x\leq7\end(cases)\)
Risinājums: Pirmā nevienādība kļūst patiesa, ja x ir lielāka par \(4\). Tas nozīmē, ka pirmās nevienādības risinājumi ir visas x vērtības no \((4;\infty)\) vai uz reālās ass:

Otrā nevienādība ir piemērota x vērtībām, kas ir mazākas par 7, tas ir, jebkuram x no intervāla \((-\infty;7]\) vai uz reālās ass:

Un kādas vērtības ir piemērotas abām nevienlīdzībām? Tie, kas pieder abām spraugām, t.i., kur spraugas krustojas.

Atbilde: \((4;7]\)

Kā jūs, iespējams, pamanījāt, ir ērti izmantot skaitliskās asis, lai krustotu sistēmas nevienādību risinājumus.

Vispārējs princips nevienlīdzību sistēmu risināšanai: jums ir jāatrod risinājums katrai nevienādībai un pēc tam krustojas šie risinājumi, izmantojot skaitļa līniju.

Piemērs:(Uzdevums no OGE) Atrisiniet sistēmu \(\begin(cases) 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)

Risinājums:

\(\begin(cases) 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)	Atrisināsim katru nevienlīdzību atsevišķi no otras.
	Apvērsīsim iegūto nevienlīdzību.
	Sadaliet visu nevienādību ar \(2\).
	Pierakstīsim atbildi uz pirmo nevienādību.
\(x∈(-∞;4)\)	Tagad atrisināsim otro nevienlīdzību.
2) \((x-5) (x+8)<0\)	Nevienlīdzība jau ir piemērotā formā.
	Pierakstīsim atbildi uz otro nevienādību.
	Apvienosim abus risinājumus ar skaitlisko asu palīdzību.
	Atbildot uz to, mēs uzrakstām intervālu, kurā ir risinājums abām nevienādībām - gan pirmajai, gan otrajai.

Atbilde: \((-8;4)\)

Piemērs:(Uzdevums no OGE) Atrisiniet sistēmu \(\begin(cases) \frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)≥0\\ 2-7x≤14-3x \end(cases)\)

Risinājums:

\(\begin(cases) \frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)≥0\\ 2-7x≤14-3x \end(cases)\)	Atkal mēs atrisināsim nevienlīdzības atsevišķi.
1)\(\frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)\)\(≥0\)	Ja saucējs jūs nobiedēja - nebaidieties, tagad mēs to noņemsim. Lieta tāda, ka \(3+(5-2x)^2\) vienmēr ir pozitīva izteiksme. Spriediet paši: \((5-2x)^2 \) kvadrāta dēļ ir vai nu pozitīvs, vai nulle. \((5-2x)^2+3\) ir precīzi pozitīvs. Tātad jūs varat droši reizināt nevienādību ar \(3+(5-2x)^2\)
	Pirms mums ir parastais - mēs izsakām \(x\). Lai to izdarītu, pārvietojiet \(10\) uz labo pusi.
	Sadaliet nevienādību ar \(-2\). Tā kā skaitlis ir negatīvs, mēs mainām nevienlīdzības zīmi.
	Atzīmējiet risinājumu reālajā rindā.
	Pierakstīsim atbildi uz pirmo nevienādību.
\(x∈(-∞;5]\)	Šajā posmā galvenais ir neaizmirst, ka pastāv otrā nevienlīdzība.
2) \(2-7x≤14-3x\)	Atkal lineārā nevienādība - atkal izsakām \(x\).
\(-7x+3x≤14-2\)	Mēs piedāvājam līdzīgus terminus.
	Sadaliet visu nevienādību ar \(-4\), vienlaikus apgriežot zīmi.
	Uzzīmēsim risinājumu uz skaitļu līnijas un uzrakstīsim atbildi uz šo nevienādību.
\(x∈[-3;∞)\)	Tagad apvienosim risinājumus.
	Pierakstīsim atbildi.

Atbilde: \([-3;5]\)

Piemērs: Atrisiniet sistēmu \(\begin(cases)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\beigas(gadījumi)\)

Risinājums:

\(\begin(cases)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\beigas(gadījumi)\)

Apskatīsim piemērus, kā atrisināt lineāro nevienādību sistēmu.

4x - 19 \end(masīvs) \right.\]" title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Lai atrisinātu sistēmu, ir nepieciešama katra tās sastāvdaļu nevienlīdzība. Tikai tiek pieņemts lēmums pierakstīt nevis atsevišķi, bet gan kopā, apvienojot tos ar cirtainu kronšteinu.

Katrā no sistēmas nevienādībām nezināmo pārnesam uz vienu pusi, zināmos uz otru ar pretēju zīmi:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Pēc vienkāršošanas abas nevienādības daļas jādala ar skaitli pirms x. Pirmo nevienādību dalām ar pozitīvu skaitli, tātad nevienādības zīme nemainās. Mēs dalām otro nevienlīdzību ar negatīvu skaitli, tāpēc nevienlīdzības zīme ir jāapgriež otrādi:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Mēs atzīmējam nevienādību risinājumu uz skaitļu taisnēm:

Atbildot uz to, mēs pierakstām risinājumu krustpunktu, tas ir, daļu, kur ēnojums atrodas abās līnijās.

Atbilde: x∈[-2;1).

Atbrīvosimies no frakcijas pirmajā nevienādībā. Lai to izdarītu, abas daļas vārdu pa vārdam reizinām ar mazāko kopsaucēju 2. Reizinot ar pozitīvu skaitli, nevienlīdzības zīme nemainās.

Atveriet iekavas otrajā nevienādībā. Divu izteiksmju summas un starpības reizinājums ir vienāds ar šo izteiksmju kvadrātu starpību. Labajā pusē ir kvadrāts no starpības starp abām izteiksmēm.

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Mēs nezināmo pārnesam uz vienu pusi, zināmos uz otru ar pretēju zīmi un vienkāršojam:

Sadaliet abas nevienādības puses ar skaitli pirms x. Pirmajā nevienādībā dalām ar negatīvu skaitli, tātad nevienlīdzības zīme ir apgriezta. Otrajā mēs dalām ar pozitīvu skaitli, nevienlīdzības zīme nemainās:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Abas nevienādības ir apzīmētas ar “mazāku par” (nav būtiski, lai viena zīme būtu stingri “mazāka par”, otra nav strikta, “mazāka vai vienāda ar”). Mēs nevaram atzīmēt abus risinājumus, bet izmantot noteikumu "". Mazākais ir 1, tāpēc sistēma reducē līdz nevienlīdzībai

Mēs atzīmējam tā risinājumu uz skaitļu līnijas:

Atbilde: x∈(-∞;1].

Mēs atveram iekavas. Pirmajā nevienlīdzībā - . Tas ir vienāds ar šo izteiksmju kubu summu.

Otrajā - divu izteiksmju summas un starpības reizinājums, kas ir vienāds ar kvadrātu starpību. Tā kā šeit iekavu priekšā ir mīnusa zīme, labāk tās atvērt divos posmos: vispirms izmantojiet formulu un tikai pēc tam atveriet iekavas, mainot katra vārda zīmi uz pretējo.

Nezināmos pārnesam uz vienu pusi, zināmos uz otru ar pretēju zīmi:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Abas ir lielākas par zīmēm. Izmantojot noteikumu “vairāk nekā vairāk”, mēs reducējam nevienlīdzību sistēmu līdz vienai nevienādībai. Lielākais no diviem skaitļiem ir 5, tātad

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Atzīmējam nevienādības atrisinājumu skaitļu rindā un pierakstām atbildi:

Atbilde: x∈(5;∞).

Tā kā lineāro nevienādību sistēmas algebrā rodas ne tikai kā patstāvīgi uzdevumi, bet arī dažāda veida vienādojumu, nevienādību u.c. risināšanas gaitā, ir svarīgi šo tēmu apgūt laikus.

Nākamreiz aplūkosim piemērus lineāro nevienādību sistēmu risināšanai īpašos gadījumos, kad vienai no nevienādībām nav atrisinājumu vai tās risinājums ir jebkurš skaitlis.

Rubrika: |

Raksts atklāj nevienlīdzību tēmu, izprot sistēmu definīcijas un to risinājumus. Tiks apskatīti skolā bieži sastopamie vienādojumu sistēmu risināšanas piemēri algebrā.

Nevienādību sistēmas definīcija

Nevienādību sistēmas nosaka vienādojumu sistēmu definīcijas, kas nozīmē, ka īpaša uzmanība tiek pievērsta paša vienādojuma ierakstiem un nozīmei.

1. definīcija

Nevienlīdzību sistēma izsaukt vienādojumu ierakstu, ko apvieno cirtaini iekava ar risinājumu kopu vienlaicīgi visām sistēmā iekļautajām nevienādībām.

Tālāk ir sniegti nevienlīdzības piemēri. Dotas divas nevienādības 2 · x − 3 > 0 un 5 − x ≥ 4 · x − 11 . Ir nepieciešams uzrakstīt vienu vienādojumu zem otra, pēc kura mēs apvienojam, izmantojot cirtainu iekava:

2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11

Tādā pašā veidā skolu mācību grāmatās ir sniegta nevienlīdzību sistēmu definīcija gan viena mainīgā, gan divu lieluma lietošanai.

Galvenie nevienlīdzību sistēmas veidi

Ir bezgalīgas nevienlīdzību sistēmu kopas kompilācija. Tie ir iedalīti grupās, kas atšķiras pēc noteiktām īpašībām. Nevienlīdzības tiek iedalītas pēc kritērijiem:

• sistēmas nevienādību skaits;
• ieraksta mainīgo skaits;
• sava veida nevienlīdzība.

Ievades nevienādību skaits var būt divas vai vairāk. Iepriekšējā rindkopā tika aplūkots piemērs sistēmas risināšanai ar divām nevienādībām.

2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11

Apsveriet risinājumu sistēmai ar četrām nevienādībām.

x ≥ - 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 - x 2 - 4 y 2

Nevienlīdzības risinājums atsevišķi nerunā par sistēmas risinājumu kopumā. Lai atrisinātu sistēmu, ir jāizmanto visas pieejamās nevienādības.

Šādām nevienlīdzību sistēmām var būt viens, divi, trīs vai vairāki mainīgie. Pēdējā attēlā tas ir skaidri redzams, tur mums ir trīs mainīgie: x, y, z. Vienādojumos var būt viens mainīgais, kā tas ir piemērā, vai vairāki. Pamatojoties uz piemēriem, nevienādība x + 0 y + 0 z ≥ − 2 un 0 x + y + 0 z ≤ 5 netiek uzskatīta par ekvivalentu. Skolu mācību programmās uzmanība tiek pievērsta nevienlīdzību risināšanai ar vienu mainīgo.

Rakstot sistēmu, var izmantot dažāda veida vienādojumus ar dažādu mainīgo skaitu. Visbiežāk sastopamās veselo skaitļu nevienādības dažādas pakāpes. Gatavojoties eksāmeniem, var būt sistēmas ar iracionāliem, logaritmiskiem, eksponenciālajiem vienādojumiem šādā formā:

544 - 4 - x 32 - 2 - x ≥ 17, log x 2 16 x + 20 16 ≤ 1

Šāda sistēma ietver eksponenciālo un logaritmisko vienādojumu.

Nevienādību sistēmas atrisināšana

2. definīcija

Apsveriet piemēru vienādojumu sistēmu risināšanai ar vienu mainīgo.

x > 7, 2–3 x ≤ 0

Ja vērtība x = 8, tad sistēmas risinājums ir acīmredzams, jo 8 > 7 un 2 − 3 · 8 ≤ 0 ir izpildīti. Ja x = 1, sistēma netiks atrisināta, jo pirmajai skaitliskajai nevienādībai aizvietošanas brīdī ir 1 > 7 . Tādā pašā veidā tiek atrisināta sistēma ar diviem vai vairākiem mainīgajiem.

3. definīcija

Nevienādību sistēmas atrisināšana ar diviem vai vairākiem mainīgajiem nosauciet vērtības, kas ir visu nevienādību atrisinājums, kad katra pārvēršas patiesā skaitliskā nevienādībā.

Ja x = 1 un y = 2, būs nevienādības x + y risinājums< 7 x - y < 0 , потому как выражения 1 + 2 < 7 и 1 − 2 < 0 верны. Если подставить числовую пару (3 , 5 , 3) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 < 0 .

Risinot nevienlīdzību sistēmas, tās var dot noteiktu skaitu atbilžu vai arī tās var būt bezgalīgas. Šādai sistēmai ir daudz risinājumu. Ja risinājumu nav, tad saka, ka ir tukša risinājumu kopa. Ja risinājumam ir noteikts skaits, tad risinājumu kopai ir ierobežots elementu skaits. Ja atrisinājumu ir daudz, tad risinājumu kopa satur bezgalīgu skaitu skaitļu.

Dažās mācību grāmatās ir definēts konkrēts risinājums nevienlīdzību sistēmai, kas tiek saprasts kā vienots risinājums. Un par nevienlīdzību sistēmas vispārējo risinājumu uzskata visus tās konkrētos risinājumus. Šo definīciju izmanto reti, tāpēc viņi saka: "nevienlīdzības sistēmas risinājums".

Šīs nevienādību un risinājumu sistēmu definīcijas tiek uzskatītas par visu sistēmas nevienādību risinājumu kopu krustpunktiem. Īpaša uzmanība jāpievērš sadaļai par līdzvērtīgām nevienlīdzībām.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Šajā rakstā ir apkopota sākotnējā informācija par nevienlīdzības sistēmām. Šeit mēs sniedzam nevienlīdzību sistēmas definīciju un nevienlīdzību sistēmas risinājuma definīciju. Tajā arī uzskaitīti galvenie sistēmu veidi, ar kuriem visbiežāk nākas strādāt algebras stundās skolā, un sniegti piemēri.

Lapas navigācija.

Kas ir nevienlīdzību sistēma?

Ir ērti definēt nevienādību sistēmas tādā pašā veidā, kā mēs ieviesām vienādojumu sistēmas definīciju, tas ir, atbilstoši ieraksta veidam un tajā ietvertajai nozīmei.

Definīcija.

Nevienlīdzību sistēma ir ieraksts, kas attēlo noteiktu skaitu nevienādību, kas ir uzrakstītas viena zem otras, apvienotas kreisajā pusē ar krokainu iekava, un apzīmē visu risinājumu kopu, kas vienlaikus ir katras sistēmas nevienādības risinājumi.

Sniegsim nevienlīdzību sistēmas piemēru. Ņemiet divus patvaļīgus, piemēram, 2 x−3>0 un 5−x≥4 x−11, ierakstiet tos vienu zem otra
2x−3>0,
5-x≥4 x-11
un apvienoties ar sistēmas zīmi - cirtainu iekava, kā rezultātā mēs iegūstam šādas formas nevienādību sistēmu:

Līdzīgi tiek sniegts priekšstats par nevienlīdzības sistēmām skolu mācību grāmatās. Ir vērts atzīmēt, ka definīcijas tajās ir sniegtas šaurāk: nevienādībām ar vienu mainīgo vai ar diviem mainīgajiem.

Galvenie nevienlīdzību sistēmu veidi

Ir skaidrs, ka pastāv bezgala daudz dažādu nevienlīdzību sistēmu. Lai nepazustu šajā daudzveidībā, ieteicams tos aplūkot grupās, kurām ir savas atšķirīgās iezīmes. Visas nevienlīdzību sistēmas var iedalīt grupās pēc šādiem kritērijiem:

• pēc nevienlīdzību skaita sistēmā;
• pēc ierakstā iesaistīto mainīgo lielumu skaita;
• pēc nevienlīdzības rakstura.

Atbilstoši ierakstā iekļauto nevienlīdzību skaitam tiek izdalītas divu, trīs, četru utt. sistēmas. nevienlīdzības. Iepriekšējā rindkopā mēs sniedzām sistēmas piemēru, kas ir divu nevienlīdzību sistēma. Parādīsim vēl vienu četru nevienādību sistēmas piemēru .

Atsevišķi mēs sakām, ka nav jēgas runāt par vienas nevienlīdzības sistēmu, šajā gadījumā faktiski mēs runājam par pašu nevienlīdzību, nevis par sistēmu.

Ja paskatās uz mainīgo skaitu, tad ir nevienādību sistēmas ar vienu, diviem, trīs utt. mainīgie (vai, kā saka, nezināmie). Apskatiet pēdējo nevienlīdzību sistēmu, kas uzrakstīta divas rindkopas augstāk. Šī ir sistēma ar trīs mainīgajiem x , y un z . Ņemiet vērā, ka viņas pirmās divas nevienādības nesatur visus trīs mainīgos, bet tikai vienu no tiem. Šīs sistēmas kontekstā tās jāsaprot kā nevienādības ar trīs mainīgajiem attiecīgi formā x+0 y+0 z≥−2 un 0 x+y+0 z≤5. Ņemiet vērā, ka skola koncentrējas uz nevienlīdzību ar vienu mainīgo.

Atliek apspriest, kāda veida nevienlīdzība ir saistīta ar rakstīšanas sistēmām. Skolā viņi galvenokārt uzskata divu nevienādību sistēmas (retāk - trīs, vēl retāk - četras vai vairāk) ar vienu vai diviem mainīgajiem, un pašas nevienlīdzības parasti ir veselu skaitļu nevienādības pirmā vai otrā pakāpe (retāk - augstākas pakāpes vai daļēji racionāla). Bet nebrīnieties, ja materiālos par sagatavošanos OGE jūs saskaraties ar nevienādību sistēmām, kas satur iracionālas, logaritmiskas, eksponenciālas un citas nevienādības. Kā piemēru mēs piedāvājam nevienlīdzību sistēmu , tas ir ņemts no .

Kāds ir nevienlīdzību sistēmas risinājums?

Mēs ieviešam citu definīciju, kas saistīta ar nevienlīdzību sistēmām - nevienlīdzību sistēmas risinājuma definīciju:

Definīcija.

Nevienādību sistēmas atrisināšana ar vienu mainīgo tiek saukta tāda mainīgā vērtība, kas katru sistēmas nevienādību pārvērš par patiesu, citiem vārdiem sakot, ir katras sistēmas nevienādības risinājums.

Paskaidrosim ar piemēru. Ņemsim divu nevienādību sistēmu ar vienu mainīgo . Ņemsim mainīgā x vērtību, kas vienāda ar 8 , tas ir mūsu nevienādību sistēmas risinājums pēc definīcijas, jo tā aizstāšana ar sistēmas nevienādībām dod divas pareizas skaitliskās nevienādības 8>7 un 2−3 8≤0 . Gluži pretēji, vienība nav sistēmas risinājums, jo, to aizstājot ar mainīgo x, pirmā nevienādība pārtaps par nepareizu skaitlisko nevienādību 1>7 .

Līdzīgi mēs varam ieviest risinājuma definīciju nevienādību sistēmai ar diviem, trim vai vairākiem mainīgajiem:

Definīcija.

Nevienādību sistēmas atrisināšana ar divi, trīs utt. mainīgie sauc par pāri, trīskāršiem utt. šo mainīgo lielumu vērtības, kas vienlaikus ir risinājums katrai sistēmas nevienādībai, tas ir, katru sistēmas nevienādību pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā.

Piemēram, vērtību pāris x=1 , y=2 vai citā apzīmējumā (1, 2) ir risinājums nevienādību sistēmai ar diviem mainīgajiem, jo ​​1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Nevienādību sistēmām var nebūt atrisinājumu, tām var būt ierobežots atrisinājumu skaits vai arī bezgalīgi daudz risinājumu. Bieži tiek runāts par risinājumu kopumu nevienlīdzību sistēmai. Ja sistēmai nav risinājumu, tad ir tukša tās risinājumu kopa. Ja ir galīgs atrisinājumu skaits, tad atrisinājumu kopa satur ierobežotu skaitu elementu, un, ja atrisinājumu ir bezgalīgi daudz, tad risinājumu kopa sastāv no bezgalīgi daudz elementu.

Daži avoti ievieš nevienlīdzības sistēmas konkrēta un vispārīga risinājuma definīcijas, kā, piemēram, Mordkoviča mācību grāmatās. Zem īpašs risinājums nevienlīdzību sistēmai saprast tā vienu vienīgo risinājumu. Savukārt nevienādību sistēmas vispārējs risinājums- tie visi ir viņas privātie lēmumi. Tomēr šiem terminiem ir jēga tikai tad, ja nepieciešams uzsvērt, kurš risinājums tiek apspriests, bet parasti tas jau ir skaidrs no konteksta, tāpēc daudz biežāk ir vienkārši teikt "nevienlīdzību sistēmas risinājums".

No šajā rakstā ieviestajām nevienādību sistēmas un tās risinājumu definīcijām izriet, ka nevienlīdzību sistēmas risinājums ir šīs sistēmas visu nevienādību risinājumu kopu krustpunkts.

Bibliogrāfija.

1. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M. : Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebra: 9. klase: mācību grāmata. vispārējai izglītībai iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M. : Izglītība, 2009. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovičs A.G. Algebra. 9. klase Plkst.14 1. daļa. Mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs, P. V. Semenovs. - 13. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovičs A.G. Algebra un matemātiskās analīzes sākums. 11. klase. Plkst.14 1. daļa. Mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem (profila līmenis) / A. G. Mordkovičs, P. V. Semenovs. - 2. izdevums, dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. IZMANTOT-2013. Matemātika: tipiskās eksāmenu iespējas: 30 varianti / red. A. L. Semenova, I. V. Jaščenko. - M .: Izdevniecība "Nacionālā izglītība", 2012. - 192 lpp. - (USE-2013. FIPI - skola).