Atrodiet zaļās figūras perimetru. Vienkāršs uzdevums: kā atrast perimetru? Ko darīt, ja trijstūra vienas vai vairāku malu garums nav zināms
Protams, katrs no mums skolā apguva tik svarīgu ģeometrijas sastāvdaļu kā perimetrs. Perimetra atrašana ir vienkārši nepieciešama, lai atrisinātu daudzas problēmas. Mūsu raksts jums pateiks, kā atrast perimetru.
Ir vērts atcerēties, ka jebkuras figūras perimetrs gandrīz vienmēr ir tā malu summa. Apskatīsim dažas dažādas ģeometriskas formas.
- Taisnstūris ir četrstūris, kura paralēlās malas ir vienādas pa pāriem. Ja viena puse ir X, bet otra ir Y, tad šī attēla perimetra atrašanai mēs iegūstam šādu formulu:
P = 2(X+Y) = X+Y+X+Y = 2X+2Y.
Problēmas risināšanas piemērs:
Pieņemsim, ka mala X = 5 cm, mala Y = 10 cm. Tātad, aizstājot šīs vērtības mūsu formulā, mēs iegūstam - P = 2 * 5 cm + 2 * 10 cm = 30 cm.
- Trapece ir četrstūris, kura divas pretējās malas ir paralēlas, bet nav vienādas. Trapeces perimetrs ir visu četru tās malu summa:
P = X+Y+Z+W, kur X, Y, Z, W ir figūras malas.
Problēmas risināšanas piemērs:
Pieņemsim, ka mala X = 5 cm, mala Y = 10 cm, mala Z = 8 cm, mala W = 20 cm. Tātad, aizstājot šīs vērtības mūsu formulā, mēs iegūstam - P = 5 cm + 10 cm + 8 cm + 20 cm = 43 cm.
- Apļa perimetru (apkārtmēru) var aprēķināt, izmantojot formulu:
P = 2rπ = dπ, kur r ir apļa rādiuss, d ir apļa diametrs.
Problēmas risināšanas piemērs:
Pieņemsim, ka mūsu apļa rādiuss r ir 5 cm, tad diametrs d būs 2 * 5 cm = 10 cm. Ir zināms, ka π = 3,14. Tātad, aizstājot šīs vērtības mūsu formulā, mēs iegūstam - P = 2 * 5 cm * 3,14 = 31,4 cm.
- Ja jums ir jāatrod trijstūra perimetrs, to darot, var rasties vairākas problēmas, jo trijstūriem var būt ļoti dažādas formas. Piemēram, ir akūts, strups, vienādsānu, taisnstūrveida vai vienādmalu trijstūri. Lai gan visu veidu trīsstūru formula ir šāda:
P = X+Y+Z, kur X, Y, Z ir figūras malas.
Problēma ir tāda, ka, risinot daudzas šīs figūras perimetra atrašanas problēmas, jūs ne vienmēr zināt visu pušu garumus. Piemēram, informācijas par vienas malas garumu vietā varat norādīt konkrēta trīsstūra leņķa pakāpi vai augstuma garumu. Tas ievērojami sarežģīs uzdevumu, bet nepadarīs tā risinājumu nereālu. Kā atrast trijstūra perimetru neatkarīgi no tā, kāda tā forma ir, varat lasīt "".
- Šādas figūras kā romba perimetrs ir atrodams tāpat kā kvadrāta perimetrs, jo rombs ir paralelograms, kuram ir vienādas malas. Jūs varat uzzināt, kā atrast kvadrāta perimetru, izlasot rakstu mūsu vietnē "".
Tagad jūs zināt, kā atrast tā perimetra pusi ģeometriskā figūra ko vien vajag!
Zināšanas, kā atrast perimetru, studenti saņem pamatskola. Tad šī informācija tiek pastāvīgi izmantota visā matemātikas un ģeometrijas kursā.
Visām figūrām kopīga teorija
Puses parasti tiek apzīmētas ar latīņu burtiem. Turklāt tos var apzīmēt kā segmentus. Tad jums būs nepieciešami divi burti katrai pusei un rakstīti ar lieliem burtiem. Vai arī ievadiet apzīmējumu ar vienu burtu, kas noteikti būs mazs.
Burti vienmēr tiek izvēlēti alfabētiskā secībā. Trīsstūrim tie būs pirmie trīs. Sešstūrī būs 6 no tiem - no a līdz f. Tas ir noderīgi formulu ievadīšanai.
Tagad par to, kā atrast perimetru. Tā ir visu figūras malu garumu summa. Terminu skaits ir atkarīgs no tā veida. Perimetru apzīmē ar latīņu burtu P. Mērvienības ir tādas pašas kā malām.
Perimetra formulas dažādām formām
Trīsstūrim: P \u003d a + b + c. Ja tas ir vienādsānu, tad formula tiek pārveidota: P \u003d 2a + c. Kā atrast trijstūra perimetru, ja tas ir vienādmalu? Tas palīdzēs: P \u003d 3a.
Patvaļīgam četrstūrim: P=a+b+c+d. Tā īpašais gadījums ir kvadrāts, perimetra formula: P=4a. Ir arī taisnstūris, tad ir nepieciešama šāda vienādība: P \u003d 2 (a + b).
Ko darīt, ja nezināt vienas vai vairāku trīsstūra malu garumu?
Izmanto kosinusa teorēmu, ja starp datiem ir divas malas un leņķis starp tām, ko apzīmē ar burtu A. Tad pirms perimetra atrašanas būs jāaprēķina trešā mala. Šim nolūkam ir noderīga šāda formula: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).
Īpašs šīs teorēmas gadījums ir Pitagora formulētais taisnleņķa trīsstūrim. Tajā taisnā leņķa kosinusa vērtība kļūst vienāda ar nulli, kas nozīmē, ka pēdējais termins vienkārši pazūd.
Ir situācijas, kad var uzzināt, kā atrast trijstūra perimetru vienā pusē. Bet tajā pašā laikā ir zināmi arī figūras leņķi. Šeit palīgā nāk sinusa teorēma, kad malu garumu attiecības pret atbilstošo pretējo leņķu sinusiem ir vienādas.
Situācijā, kad figūras perimetrs jāatrod pa laukumiem, noderēs citas formulas. Piemēram, ja ir zināms ierakstītā apļa rādiuss, tad jautājumā par to, kā atrast trijstūra perimetru, ir noderīga šāda formula: S \u003d p * r, šeit p ir pusperimetrs. Tas ir jāatvasina no šīs formulas un jāreizina ar divi.
Uzdevumu piemēri
Pirmais nosacījums. Atrodiet trijstūra perimetru, kura malas ir 3, 4 un 5 cm.
Risinājums. Jums ir jāizmanto iepriekš norādītā vienādība un vienkārši jāaizstāj ar to vērtības uzdevuma dati. Aprēķini ir vienkārši, tie noved pie skaitļa 12 cm.
Atbilde. Trijstūra perimetrs ir 12 cm.
Otrais nosacījums. Viena trijstūra mala ir 10 cm Ir zināms, ka otrā ir par 2 cm lielāka nekā pirmā, bet trešā ir 1,5 reizes lielāka par pirmo. Ir nepieciešams aprēķināt tā perimetru.
Risinājums. Lai to noskaidrotu, jāsaskaita divas puses. Otrais ir definēts kā 10 un 2 summa, trešais ir vienāds ar 10 un 1,5 reizinājumu. Tad atliek tikai saskaitīt trīs vērtību summu: 10, 12 un 15. Rezultāts būs 37 cm.
Atbilde. Perimetrs ir 37 cm.
Trešais nosacījums. Ir taisnstūris un kvadrāts. Taisnstūra viena mala ir 4 cm gara, bet otra par 3 cm garāka. Ir nepieciešams aprēķināt kvadrāta malas vērtību, ja tās perimetrs ir par 6 cm mazāks nekā taisnstūra perimetrs.
Risinājums. Taisnstūra otrā mala ir 7. Zinot to, ir viegli aprēķināt tā perimetru. Aprēķins dod 22 cm.
Lai uzzinātu kvadrāta malu, vispirms no taisnstūra perimetra jāatņem 6 un pēc tam iegūtais skaitlis jāsadala ar 4. Rezultātā mums ir skaitlis 4.
Atbilde. Laukuma mala ir 4 cm.
Spēja atrast taisnstūra perimetru ir ļoti svarīga daudzu problēmu risināšanai. ģeometriskās problēmas. Tālāk ir sniegta detalizēta instrukcija dažādu taisnstūru perimetra atrašanai.
Kā atrast regulāra taisnstūra perimetru
Regulārs taisnstūris ir četrstūris, kura paralēlās malas ir vienādas un visi leņķi = 90º. Ir 2 veidi, kā atrast tā perimetru:
Saskaitiet visas puses.
Aprēķiniet taisnstūra perimetru, ja tā platums ir 3 cm un garums ir 6.
Risinājums (darbību secība un argumentācija):
- Tā kā mēs zinām taisnstūra platumu un garumu, tā perimetra atrašana nav grūta. Platums ir paralēls platumam, un garums ir garums. Tādējādi regulārā taisnstūrī ir 2 platumi un 2 garumi.
- Saskaitiet visas malas (3 + 3 + 6 + 6) = 18 cm.
Atbilde: P = 18 cm.
Otrais veids ir šāds:
Jums jāpievieno platums un garums un jāreizina ar 2. Šīs metodes formula ir šāda: 2 × (a + b), kur a ir platums, b ir garums.
Kā daļu no šī uzdevuma mēs iegūstam šādu risinājumu:
2x(3 + 6) = 2x9 = 18.
Atbilde: P = 18.
Kā atrast taisnstūra perimetru - kvadrātu
Kvadrāts ir regulārs četrstūris. Pareizi, jo visas tās malas un leņķi ir vienādi. Ir divi veidi, kā atrast tā perimetru:
- Saskaitiet visas tā malas.
- Reiziniet tā malu ar 4.
Piemērs: Atrodiet kvadrāta perimetru, ja tā mala = 5 cm.
Tā kā mēs zinām laukuma malu, mēs varam atrast tās perimetru.
Saskaitiet visas malas: 5 + 5 + 5 + 5 = 20.
Atbilde: P = 20 cm.
Reiziniet kvadrāta malu ar 4 (jo visi ir vienādi): 4x5 = 20.
Atbilde: P = 20 cm.
Kā atrast taisnstūra perimetru — tiešsaistes resursi
Lai gan iepriekš minētās darbības ir viegli saprotamas un apgūstamas, jums var būt noderīgi izmantot dažus tiešsaistes kalkulatorus, kas palīdzēs aprēķināt perimetrus (laukumu, tilpumu). dažādas figūras. Vienkārši ierakstiet vajadzīgās vērtības, un miniprogramma aprēķinās vajadzīgās formas perimetru. Zemāk ir īss saraksts.
Pietiek atrast visu tā malu garumu un atrast to summu. Perimetrs ir plakanas figūras robežu kopējais garums. Citiem vārdiem sakot, tā ir tā malu garumu summa. Perimetra mērvienībai jāatbilst tās malu mērvienībai. Daudzstūra perimetra formula ir P \u003d a + b + c ... + n, kur P ir perimetrs, bet a, b, c un n ir katras malas garums. Pretējā gadījumā tiek aprēķināts (vai apļa perimetrs): tiek izmantota formula p \u003d 2 * π * r, kur r ir rādiuss un π ir nemainīgs skaitlis, aptuveni vienāds ar 3,14. Apsveriet dažus vienkārši piemēri, parāda, kā atrast perimetru. Kā piemēru ņemam tādas figūras kā kvadrāts, paralelograms un aplis.
Kā atrast kvadrāta perimetru
Kvadrāts ir regulārs četrstūris, kura visas malas un leņķi ir vienādi. Tā kā kvadrāta visas malas ir vienādas, tā malu garumu summu var aprēķināt, izmantojot formulu P = 4 * a, kur a ir vienas malas garums. Tādējādi ar 16,5 cm malu tas ir vienāds ar P \u003d 4 * 16,5 \u003d 66 cm. Varat arī aprēķināt vienādmalu romba perimetru.
Kā atrast taisnstūra perimetru
Taisnstūris ir četrstūris, kura visi leņķi ir vienādi ar 90 grādiem. Ir zināms, ka tādā attēlā kā taisnstūris malu garumi ir vienādi pa pāriem. Ja taisnstūra platums un augstums ir vienāda garuma, tad to sauc par kvadrātu. Parasti taisnstūra garumu sauc par lielāko no malām, bet platumu - par mazāko. Tādējādi, lai iegūtu taisnstūra perimetru, jums ir jādubulto tā platuma un augstuma summa: P = 2 * (a + b), kur a ir augstums un b ir platums. Ņemot vērā taisnstūri, kura viena mala ir 15 cm gara un otra mala ir 5 cm plata, mēs iegūstam perimetru, kas vienāds ar P = 2 * (15 + 5) = 40 cm.
Kā atrast trijstūra perimetru
Trijstūri veido trīs līniju segmenti, kas savienojas punktos (trijstūra virsotnēs), kas neatrodas uz vienas taisnes. Trijstūri sauc par vienādmalu, ja tā visas trīs malas ir vienādas, un par vienādsānu, ja ir divas vienādas malas. Lai uzzinātu perimetru, tā malas garums jāreizina ar 3: P \u003d 3 * a, kur a ir viena no tā malām. Ja trijstūra malas nav vienādas viena ar otru, ir jāveic saskaitīšanas darbība: P \u003d a + b + c. Perimetrs vienādsānu trīsstūris ar attiecīgi 33, 33 un 44 malām būs vienādas ar: P \u003d 33 + 33 + 44 \u003d 110 cm.
Kā atrast paralelograma perimetru
Paralelograms ir četrstūris, kura pretējās malas ir paralēlas pa pāriem. Kvadrāts, rombs un taisnstūris ir īpaši figūras gadījumi. Jebkura paralelograma pretējās malas ir vienādas, tāpēc, lai aprēķinātu tā perimetru, mēs izmantojam formulu P \u003d 2 (a + b). Paralelogramā ar malām 16 cm un 17 cm malu summa jeb perimetrs ir vienāda ar P \u003d 2 * (16 + 17) \u003d 66 cm.
Kā atrast apļa apkārtmēru
Aplis ir slēgta taisne, kuras visi punkti atrodas vienādā attālumā no centra. Apļa apkārtmēram un tā diametram vienmēr ir vienāda attiecība. Šo attiecību izsaka kā konstanti, kas rakstīta ar burtu π, un ir aptuveni 3,14159. Apļa perimetru var atrast, reizinot rādiusu ar 2 reizēm π. Izrādās, ka apļa ar rādiusu 15 cm apkārtmērs būs vienāds ar P \u003d 2 * 3,14159 * 15 \u003d 94,2477
Nākamajā pārbaudes uzdevumi Atrodiet attēlā redzamās figūras perimetru.
Jūs varat atrast formas perimetru Dažādi ceļi. Varat pārveidot sākotnējo formu tā, lai jaunās formas perimetru varētu viegli aprēķināt (piemēram, mainīt uz taisnstūri).
Cits risinājums ir tieši meklēt figūras perimetru (kā visu tās malu garumu summu). Bet šajā gadījumā nevar paļauties tikai uz zīmējumu, bet pēc uzdevuma datiem var atrast segmentu garumus.
Es gribu jūs brīdināt: vienā no uzdevumiem starp piedāvātajām atbildēm es neatradu to, kas man izdevās.
c) .
Pārvietojiet mazo taisnstūru malas no iekšējais reģions uz ārpusi. Rezultātā lielais taisnstūris tiek aizvērts. Formula taisnstūra perimetra atrašanai
Šajā gadījumā a=9a, b=3a+a=4a. Tādējādi P=2(9a+4a)=26a. Lielā taisnstūra perimetram pievienojam četru segmentu garumu summu, no kuriem katrs ir vienāds ar 3a. Rezultātā P=26a+4∙3a= 38a .
c) .
Pēc mazo taisnstūru iekšējo malu pārvietošanas uz ārējā zona, iegūstam lielu taisnstūri, kura perimetrs ir vienāds ar P=2(10x+6x)=32x, un četrus segmentus, divi no x garuma, divi no 2x garuma.
Kopā, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .
?) .
Pārvietosim 6 horizontālus "soļus" no iekšpuses uz āru. Iegūtā lielā taisnstūra perimetrs ir P=2(6y+8y)=28y. Atliek atrast taisnstūra iekšpuses segmentu garumu summu 4y+6∙y=10y. Tādējādi figūras perimetrs ir P=28y+10y= 38 g .
D) .
Pārvietosim vertikālos segmentus no figūras iekšējās zonas pa kreisi, uz ārējo zonu. Lai iegūtu lielu taisnstūri, pārvietojiet vienu no 4x garumiem uz apakšējo kreiso stūri.
Mēs atrodam sākotnējās figūras perimetru kā šī lielā taisnstūra perimetra un atlikušo trīs segmentu garumu summu P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .
e) .
Pārvietojot mazo taisnstūru iekšējās malas uz ārējo laukumu, mēs iegūstam lielu kvadrātu. Tās perimetrs ir P=4∙10x=40x. Lai iegūtu sākotnējās figūras perimetru, kvadrāta perimetram jāpievieno astoņu segmentu garumu summa, katrs 3x garš. Kopā, P=40x+8∙3x= 64x .
b) .
Pārvietosim visus horizontālos "soļus" un vertikālos augšējos segmentus uz ārējo zonu. Iegūtā taisnstūra perimetrs ir P=2(7y+4y)=22y. Lai atrastu sākotnējās figūras perimetru, taisnstūra perimetram jāpievieno četru segmentu garumu summa, katra ar y garumu: P=22y+4∙y= 26 g .
D) .
Pārvietojiet visas horizontālās līnijas no iekšējā apgabala uz ārējo zonu un pārvietojiet divas vertikālās ārējās līnijas attiecīgi kreisajā un labajā stūrī z pa kreisi un pa labi. Rezultātā iegūstam lielu taisnstūri, kura perimetrs ir P=2(11z+3z)=28z.
Sākotnējās figūras perimetrs ir vienāds ar lielā taisnstūra perimetru un sešu segmentu garumu summu z: P=28z+6∙z= 34z .
b) .
Risinājums ir pilnīgi līdzīgs iepriekšējā piemēra risinājumam. Pēc figūras pārveidošanas mēs atrodam lielā taisnstūra perimetru:
P=2(5z+3z)=16z. Taisnstūra perimetram pievienojam atlikušo sešu segmentu garumu summu, no kuriem katrs ir vienāds ar z: P=16z+6∙z= 22z .