Come viene calcolato l'errore di misura? La teoria degli errori Stima dell'errore casuale

Lascia che gli errori sistematici nelle misurazioni siano trascurabilmente piccoli. Si consideri il caso in cui la misura viene eseguita un numero elevato di volte (n→∞).

Come mostra l'esperienza, la deviazione dei risultati della misurazione dal loro valore medio verso l'alto o verso il basso è la stessa. I risultati di misurazione con una piccola deviazione dal valore medio vengono osservati molto più spesso di quelli con grandi deviazioni.

Disponiamo tutti i valori numerici dei risultati della misurazione in una serie in ordine crescente e dividiamo questa serie in intervalli uguali
. Permettere è il numero di misurazioni con risultati che rientrano nell'intervallo [
]. Valore
esiste una probabilità ΔP i (x) di ottenere un risultato con un valore nell'intervallo [
].

Rappresentare graficamente
corrispondente a ciascun intervallo [
] (Fig. 1). La curva a gradini mostrata in Fig. 1 è chiamata istogramma. Assumiamo che lo strumento di misura abbia una sensibilità estremamente elevata. Quindi la larghezza dell'intervallo può essere resa infinitamente piccola da dx. La curva a gradini in questo caso è sostituita dalla curva rappresentata dalla funzione φ(x) (Fig. 2). La funzione φ(x) è comunemente chiamata funzione di densità di distribuzione. Il suo significato è che il prodotto φ(x)dx è la probabilità dP(x) di ottenere risultati con un valore compreso tra x e x + dx. Graficamente, il valore di probabilità è rappresentato come l'area di un rettangolo ombreggiato. Analiticamente, la funzione di densità di distribuzione è scritta come segue:

. (5)

La funzione φ(x) presentata nella forma (5) è chiamata funzione gaussiana e la distribuzione corrispondente dei risultati della misurazione è gaussiana o normale.

Opzioni
e σ hanno il seguente significato (Fig. 2).

è il valore medio dei risultati della misurazione. In
=
la funzione gaussiana raggiunge il suo valore massimo. Se il numero di dimensioni è infinito, allora
è uguale al valore reale della grandezza misurata.

σ - caratterizza il grado di diffusione dei risultati di misurazione dal loro valore medio. Il parametro σ si calcola con la formula:

. (6)

Questo parametro rappresenta l'errore quadratico medio della radice. Il valore σ 2 nella teoria della probabilità è chiamato dispersione della funzione φ(x).

Maggiore è l'accuratezza della misurazione, più i risultati della misurazione sono vicini al valore reale della quantità misurata e, di conseguenza, minore σ.

La forma della funzione φ(x) ovviamente non dipende dal numero di misure.

La teoria della probabilità mostra che il 68% di tutte le misurazioni darà un risultato nell'intervallo, il 95% nell'intervallo e il 99,7% nell'intervallo.

Pertanto, con una probabilità (affidabilità) del 68%, la deviazione del risultato della misurazione dal valore medio si trova nell'intervallo [
], con una probabilità (affidabilità) del 95% - nell'intervallo [
] e con una probabilità (affidabilità) del 99,7% - nell'intervallo [
].

L'intervallo corrispondente all'una o all'altra probabilità di deviazione dal valore medio è chiamato intervallo di confidenza.

Negli esperimenti reali, il numero di misurazioni ovviamente non può essere infinitamente grande, quindi è improbabile che ciò accada
coincideva con il valore reale del valore misurato
. A questo proposito, è importante stimare, sulla base della teoria della probabilità, l'entità della possibile deviazione
da
.

I calcoli mostrano che quando il numero di misurazioni è superiore a 20, con una probabilità del 68%
rientra nell'intervallo di confidenza [
], con una probabilità del 95% - nell'intervallo[
], con una probabilità del 99,7% - nell'intervallo [
].

Valore , che definisce i limiti dell'intervallo di confidenza, è chiamato deviazione standard o semplicemente standard.

Standard calcolato con la formula:

. (7)

Tenendo conto della formula (6), l'espressione (7) assume la forma seguente:

. (8)

Maggiore è il numero di dimensioni n, più X è vicino a
. Se il numero di misurazioni non è inferiore a 15, al posto della distribuzione gaussiana viene utilizzata la distribuzione di Student, che porta ad un aumento della larghezza dell'intervallo di confidenza di una possibile deviazione di X da
вt n, p volte.

Il fattore t n , p è chiamato coefficiente di Student. Gli indici P e n indicano con quale affidabilità ea quale numero di misurazioni corrisponde il coefficiente di Student. Il valore del coefficiente di Student per dato numero le misurazioni e l'affidabilità specificata sono determinate dalla tabella 1.

Tabella 1

Coefficiente di studente.

Ad esempio, con una data affidabilità del 95% e il numero di misurazioni n=20 Coefficiente di Student t 20,95 = 2,1 (intervallo di confidenza
) con il numero di misurazioni n=4, t 4,95 =3,2 (intervallo di confidenza
). Cioè, con un aumento del numero di misurazioni da 4 a 20, la possibile deviazione
da X diminuisce di 1.524 volte.

Di seguito è riportato un esempio di calcolo dell'errore casuale assoluto

		io -	(Io - ) 2

Secondo la formula (2), troviamo il valore medio del valore misurato
(senza indicare la dimensione di una grandezza fisica)

.

Usando la formula (8), calcoliamo il valore della deviazione standard

.

Coefficiente di Student determinato per n=6 e P=95%, t 6,95=2,6 risultato finale:

X=20,1±2,6·0,121=20,1±0,315 (con P=95%).

Calcoliamo l'errore relativo:

.

Quando si registra il risultato finale della misurazione, è necessario tenere presente che l'errore deve contenere solo una cifra significativa (diversa da zero). Due cifre significative nell'errore vengono registrate solo se la penultima cifra è 1. È inutile annotare un numero maggiore di cifre significative, poiché non saranno affidabili. Nella registrazione del valore medio del valore misurato, l'ultima cifra deve appartenere alla stessa categoria dell'ultima cifra nella registrazione dell'errore.

X=(243±5) 10 2 ;

X=232,567±0,003.

Misurazioni multiple possono portare allo stesso risultato. Ciò è possibile se la sensibilità del dispositivo di misurazione è bassa. Quando la misura viene effettuata con un dispositivo a bassa sensibilità, è sufficiente una singola misura. Non ha senso, ad esempio, misurare ripetutamente la lunghezza del tavolo con un metro con divisioni centimetriche. Il risultato della misurazione in questo caso sarà lo stesso. L'errore durante una singola misurazione è determinato dal prezzo della divisione più piccola del dispositivo. Si chiama errore strumentale. Il suo significato
si calcola con la seguente formula:

, (10)

dove γ è il valore di divisione dello strumento;

t ∞, p è il coefficiente di Student corrispondente a infinitamente un largo numero misurazioni.

Tenendo conto dell'errore strumentale, l'errore assoluto con una data affidabilità è determinato dalla formula:

, (11)

dove
.

Tenendo conto delle formule (8) e (10), (11), si scrive come segue:

. (12)

In letteratura, per brevità, l'entità dell'errore a volte non è indicata. Si presume che l'errore sia la metà dell'unità dell'ultima cifra significativa. Quindi, ad esempio, il valore del raggio della Terra è scritto come
M. Ciò significa che il valore è uguale a ±
m.

La fisica è una scienza sperimentale, il che significa che le leggi fisiche sono stabilite e verificate accumulando e confrontando dati sperimentali. L'obiettivo del laboratorio fisico è che gli studenti sperimentino i fenomeni fisici di base, imparino a misurare correttamente i valori numerici delle grandezze fisiche e li confrontino con formule teoriche.

Tutte le misurazioni possono essere divise in due tipi - dritto e indiretto.

In diretto Nelle misurazioni, il valore della grandezza desiderata è ricavato direttamente dalle letture dello strumento di misura. Quindi, ad esempio, la lunghezza viene misurata con un righello, il tempo in base all'orologio, ecc.

Se la grandezza fisica desiderata non può essere misurata direttamente dal dispositivo, ma è espressa attraverso la formula attraverso le grandezze misurate, allora tali misure sono chiamate indiretto.

La misurazione di qualsiasi quantità non fornisce un valore assolutamente accurato di questa quantità. Ogni misura contiene sempre qualche errore (errore). L'errore è la differenza tra il valore misurato e il valore reale.

Gli errori sono suddivisi in sistematico e a caso.

Sistematicoè chiamato l'errore che rimane costante per tutta la serie di misurazioni. Tali errori sono dovuti all'imperfezione dello strumento di misura (ad esempio, l'azzeramento del dispositivo) o del metodo di misura e possono, in linea di principio, essere esclusi dal risultato finale introducendo un'opportuna correzione.

Gli errori sistematici includono anche l'errore degli strumenti di misura. La precisione di qualsiasi dispositivo è limitata ed è caratterizzata dalla sua classe di precisione, che di solito è indicata sulla scala di misurazione.

A caso chiamato errore, che varia in diversi esperimenti e può essere sia positivo che negativo. Gli errori casuali sono dovuti a cause che dipendono sia dal dispositivo di misura (attrito, gap, ecc.) sia da condizioni esterne (vibrazioni, sbalzi di tensione nella rete, ecc.).

Errori casuali non possono essere esclusi empiricamente, ma la loro influenza sul risultato può essere ridotta mediante misurazioni ripetute.

Calcolo dell'errore nelle misure dirette, del valore medio e dell'errore medio assoluto.

Supponiamo di fare una serie di misurazioni di X. A causa della presenza di errori casuali, otteniamo n significati diversi:

X 1, X 2, X 3 ... X n

Come risultato della misurazione, di solito viene preso il valore medio

Differenza tra media e risultato io- La misura è chiamata errore assoluto di questa misura

Come misura dell'errore del valore medio, si può prendere il valore medio dell'errore assoluto di una singola misura

(2)

Valore
è chiamato errore medio aritmetico (o medio assoluto).

Quindi il risultato della misurazione dovrebbe essere scritto nel modulo

(3)

Per caratterizzare l'accuratezza delle misurazioni, viene utilizzato l'errore relativo, che di solito è espresso in percentuale

(4)

Diciamo che eseguiamo una serie di n misure della stessa quantità X. A causa della presenza di errori casuali, valori individuali X 1 ,X 2 ,X 3, X n non sono uguali e la media aritmetica viene scelta come miglior valore del valore desiderato, pari alla somma aritmetica di tutti i valori misurati divisa per il numero di misurazioni:

dove å è il segno della somma, io- numero di misura, n- numero di misurazioni.

Quindi, - il valore più vicino al vero. Nessuno conosce il vero significato. Possiamo solo calcolare l'intervallo D X near , in cui il valore vero può essere individuato con un certo grado di probabilità R. Questo intervallo è chiamato intervallo di confidenza. Viene chiamata la probabilità con cui cade il valore vero livello di confidenza o fattore di affidabilità(perché la conoscenza del livello di confidenza permette di stimare il grado di affidabilità del risultato ottenuto). Quando si calcola l'intervallo di confidenza, il grado di affidabilità richiesto viene specificato in anticipo. È determinato da esigenze pratiche (ad esempio, requisiti più severi sono imposti alle parti del motore di un aeroplano rispetto a un motore di una barca). Ovviamente, per ottenere una maggiore affidabilità, è necessario un aumento del numero delle misurazioni e della loro accuratezza.

Poiché gli errori casuali delle singole misurazioni sono soggetti a leggi probabilistiche, i metodi della statistica matematica e della teoria della probabilità consentono di calcolare l'errore quadratico medio della media aritmetica Dx sl. Scriviamo senza dimostrazione la formula per il calcolo Dx cl per un numero ridotto di misurazioni ( n < 30).

La formula si chiama Formula di Student:

dove t n, p - Coefficiente di Student, a seconda del numero di misurazioni n e livello di confidenza R.

Il coefficiente di Studente si trova nella tabella sottostante, avendo preventivamente determinato, in base alle esigenze pratiche (come sopra menzionate), i valori n e R.

Durante l'elaborazione dei risultati lavoro di laboratorioè sufficiente effettuare 3-5 misurazioni, e prendere la probabilità di confidenza pari a 0,68.

Ma succede che con misurazioni ripetute si ottengono gli stessi valori della quantità X. Ad esempio, il diametro del filo è stato misurato 5 volte e lo stesso valore è stato ottenuto 5 volte. Quindi, questo non significa affatto che non ci siano errori. Significa solo che l'errore casuale di ciascuna misurazione è inferiore precisione dispositivo d, che è anche chiamato strumentazione,o strumentale, errore. L'errore strumentale del dispositivo d è determinato dalla classe di precisione del dispositivo indicata nel suo passaporto, oppure è indicato sul dispositivo stesso. E a volte viene preso uguale al prezzo di divisione del dispositivo (il prezzo di divisione del dispositivo è il valore della sua divisione più piccola) o metà del prezzo di divisione (se metà del prezzo di divisione del dispositivo può essere determinato approssimativamente a occhio).

Poiché ciascuno dei valori X ho ottenuto con l'errore d, quindi l'intero intervallo di confidenza Dx, o errore di misura assoluto, è calcolato dalla formula:

Si noti che se nella formula (A.3) una delle quantità è almeno 3 volte maggiore dell'altra, allora quella minore viene trascurata.

L'errore assoluto di per sé non riflette la qualità delle misurazioni. Ad esempio, solo in base alle informazioni, l'errore assoluto è 0,002 m², è impossibile valutare quanto bene sia stata eseguita questa misurazione. Un'idea della qualità delle misurazioni effettuate è data da errore relativo e, uguale al rapporto tra l'errore assoluto e il valore medio del valore misurato. L'errore relativo mostra la proporzione dell'errore assoluto rispetto al valore misurato. Di norma, l'errore relativo è espresso in percentuale:

Considera un esempio. Si misura il diametro della sfera con un micrometro, il cui errore strumentale è d = 0,01 mm. Come risultato di tre misurazioni, sono stati ottenuti i seguenti valori di diametro:

d 1 = 2,42 mm, d 2 = 2,44 mm, d 3 = 2,48 mm.

Secondo la formula (A.1) si determina il valore medio aritmetico del diametro della sfera

Quindi, secondo la tabella dei coefficienti di Student, si trova che per una probabilità di confidenza di 0,68 con tre misurazioni t n, p = 1,3. Successivamente, secondo la formula (A.2), viene calcolato un errore di misurazione casuale dd sl

Poiché l'errore casuale risultante è solo il doppio dell'errore strumentale, quando si trova l'errore di misurazione assoluto dd secondo (A.3), devono essere presi in considerazione sia l'errore casuale che l'errore dello strumento, ad es.

mm » ±0,03 mm.

L'errore è stato arrotondato ai centesimi di millimetro, poiché la precisione del risultato non può superare la precisione del dispositivo di misurazione, che in questo caso è di 0,01 mm.

Quindi il diametro del filo è

Questa voce indica che il valore reale del diametro della sfera con una probabilità del 68% si trova nell'intervallo (2,42 ¸ 2,48) mm.

L'errore relativo e del valore ottenuto secondo (A.4) è

1. Introduzione

Il lavoro di chimici, fisici e rappresentanti di altre professioni di scienze naturali è spesso associato all'esecuzione di misurazioni quantitative di varie quantità. Ciò solleva la questione dell'analisi dell'affidabilità dei valori ottenuti, dell'elaborazione dei risultati delle misurazioni dirette e della stima degli errori dei calcoli che utilizzano i valori delle caratteristiche misurate direttamente (quest'ultimo processo è anche chiamato elaborazione dei risultati indiretto misure). Per una serie di ragioni oggettive, la conoscenza dei laureati della Facoltà di Chimica dell'Università statale di Mosca sul calcolo degli errori non è sempre sufficiente per la corretta elaborazione dei dati ottenuti. Uno di questi motivi è la mancanza di curriculum facoltà del corso sull'elaborazione statistica dei risultati di misura.

Ormai, la questione del calcolo degli errori, ovviamente, è stata approfonditamente studiata. C'è un gran numero sviluppi metodologici, libri di testo, ecc., in cui è possibile ottenere informazioni sul calcolo degli errori. Sfortunatamente, la maggior parte di questi lavori è sovraccarica di informazioni aggiuntive e non sempre necessarie. In particolare, la maggior parte del lavoro dei laboratori studenteschi non richiede azioni come il confronto di campioni, la valutazione della convergenza, ecc. Pertanto, sembra opportuno creare breve sviluppo, che delinea gli algoritmi per i calcoli più comunemente usati, a cui è dedicato questo sviluppo.

2. Notazione adottata in questo lavoro

Valore misurato, - valore medio del valore misurato, - errore assoluto del valore medio del valore misurato, - errore relativo del valore medio del valore misurato.

3. Calcolo degli errori di misurazioni dirette

Quindi supponiamo che ci fossero n misurazioni della stessa quantità nelle stesse condizioni. In questo caso, puoi calcolare il valore medio di questa quantità nelle misurazioni:

(1)

Come calcolare l'errore? Secondo la seguente formula:

(2)

Questa formula utilizza il coefficiente di Student. I suoi valori per diverse probabilità e valori di confidenza sono indicati in .

3.1. Un esempio di calcolo degli errori delle misurazioni dirette:

Un compito.

È stata misurata la lunghezza della barra di metallo. Sono state effettuate 10 misurazioni e sono stati ottenuti i seguenti valori: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. È necessario trovare il valore medio del valore misurato (la lunghezza della barra) e il suo errore.

Soluzione.

Usando la formula (1) troviamo:

mm

Ora, usando la formula (2), troviamo l'errore assoluto del valore medio con una probabilità di confidenza e il numero di gradi di libertà (usiamo il valore \u003d 2.262, tratto da):

Scriviamo il risultato:

10,8±0,7 0,95 mm

4. Calcolo degli errori di misure indirette

Assumiamo che nel corso dell'esperimento i valori vengano misurati , poi c utilizzando i valori ottenuti, il valore viene calcolato dalla formula . In questo caso, gli errori dei valori misurati direttamente vengono calcolati come descritto al paragrafo 3.

Il calcolo del valore medio della quantità viene eseguito in base alla dipendenza utilizzando i valori medi degli argomenti.

L'errore di magnitudine viene calcolato utilizzando la seguente formula:

,(3)

dove è il numero di argomenti, sono le derivate parziali della funzione rispetto agli argomenti, è l'errore assoluto del valore medio dell'argomento.

L'errore assoluto, come nel caso delle misure dirette, si calcola con la formula .

4.1. Un esempio di calcolo degli errori delle misurazioni dirette:

Un compito.

Cinque misurazioni dirette di e sono state effettuate. Per il valore ottenuto valori: 50, 51, 52, 50, 47; valori ottenuti per il valore: 500, 510, 476, 354, 520. È necessario calcolare il valore del valore determinato dalla formula e trovare l'errore del valore ottenuto.

Nella nostra epoca, l'uomo ha inventato e utilizza un'enorme varietà di vari strumenti di misura. Ma non importa quanto sia perfetta la tecnologia della loro fabbricazione, hanno tutti un errore maggiore o minore. Questo parametro, di regola, è indicato sullo strumento stesso, e per valutare l'accuratezza del valore che si sta determinando, bisogna essere in grado di capire cosa significano i numeri indicati sulla marcatura. Inoltre, in complessi calcoli matematici sorgono inevitabilmente errori relativi e assoluti. È ampiamente utilizzato nelle statistiche, nell'industria (controllo della qualità) e in numerosi altri settori. Come viene calcolato questo valore e come interpretarne il valore: questo è esattamente ciò che verrà discusso in questo articolo.

Errore assoluto

Indichiamo con x il valore approssimativo di una grandezza, ottenuta, ad esempio, mediante una singola misura, e con x 0 il suo valore esatto. Ora calcoliamo il modulo della differenza tra questi due numeri. L'errore assoluto è esattamente il valore che abbiamo ottenuto come risultato di questa semplice operazione. Nel linguaggio delle formule, questa definizione può essere scritto in questa forma: Δ x = | x - x0 |.

Errore relativo

La deviazione assoluta ha un importante inconveniente: non ci consente di valutare il grado di importanza dell'errore. Ad esempio, acquistiamo 5 kg di patate al mercato e un venditore senza scrupoli, misurando il peso, ha commesso un errore di 50 grammi a suo favore. Cioè, l'errore assoluto era di 50 grammi. Per noi, una tale svista sarà una sciocchezza e non ci presteremo nemmeno attenzione. Immagina cosa accadrebbe se si verificasse un errore simile nella preparazione di un medicinale? Qui tutto sarà molto più serio. E quando si carica un vagone merci, è probabile che le deviazioni siano molto maggiori dato valore. Pertanto, l'errore assoluto stesso non è molto informativo. Oltre a ciò, molto spesso viene calcolata anche la deviazione relativa, uguale al rapporto errore assoluto al valore esatto del numero. Questo è scritto nella seguente formula: δ = Δ x / x 0 .

Proprietà di errore

Supponiamo di avere due quantità indipendenti: x e y. Dobbiamo calcolare la deviazione del valore approssimativo della loro somma. In questo caso, possiamo calcolare l'errore assoluto come somma delle deviazioni assolute precalcolate di ciascuna di esse. In alcune misurazioni, può accadere che gli errori nella determinazione dei valori xey si annullino a vicenda. E può anche succedere che, a seguito dell'addizione, le deviazioni aumenteranno il più possibile. Pertanto, quando si calcola l'errore assoluto totale, dovrebbe essere preso in considerazione il caso peggiore. Lo stesso vale per la differenza di errore di più valori. Questa proprietà è caratteristica solo per l'errore assoluto e non può essere applicata alla deviazione relativa, poiché ciò porterà inevitabilmente a un risultato errato. Consideriamo questa situazione nell'esempio seguente.

Supponiamo che le misurazioni all'interno del cilindro mostrino che il raggio interno (R 1) è 97 mm e quello esterno (R 2) è 100 mm. È necessario determinare lo spessore del suo muro. Innanzitutto, trova la differenza: h \u003d R 2 - R 1 \u003d 3 mm. Se l'attività non indica a cosa corrisponde l'errore assoluto, viene presa come metà della divisione della scala dello strumento di misura. Pertanto, Δ (R 2) \u003d Δ (R 1) \u003d 0,5 mm. L'errore assoluto totale è: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Ora calcoliamo la deviazione relativa di tutte le quantità:

δ(R 1) \u003d 0,5 / 100 \u003d 0,005,

δ(R 1) \u003d 0,5 / 97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Come puoi vedere, l'errore nella misurazione di entrambi i raggi non supera il 5,2% e l'errore nel calcolare la loro differenza - lo spessore della parete del cilindro - è stato del 33.(3)%!

La seguente proprietà dice: la deviazione relativa del prodotto di più numeri è approssimativamente uguale alla somma delle deviazioni relative dei singoli fattori:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Inoltre, questa regola è vera indipendentemente dal numero di valori stimati. La terza e ultima proprietà dell'errore relativo è la stima relativa numeri k-esimo laurea approssimativamente in | k | volte maggiore dell'errore relativo del numero originale.