Preparazione all'esame di matematica (B4). Risoluzione di problemi combinatori
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Didascalie delle diapositive:
Risolvere compiti USE Elementi di combinatoria, statistica e teoria delle probabilità
Aishaev Mukhadin Muratovich
Aishaev Mukhadin Muratovich insegnante di matematica MKOU "Secondario scuola comprensiva s.p. Kara-Suu "e insegnante del Lyceum for Gifted Children, Nalchik Aishaev Kyazim Mukhadinovich" Risolvere compiti USE sul tema "Elementi di combinatoria, statistica e teoria della probabilità" Introduzione
- Compiti della banca aperta dei compiti dell'Esame di Stato unificato. La presentazione include il necessario materiale teorico e soluzioni di esempio per attività (pratica), nonché attività per soluzione indipendente (compiti a casa) e le risposte. Può essere utile per gli studenti autodidatta all'esame.
- Essere in grado di costruire ed esplorare i modelli matematici più semplici
- Modella situazioni reali nel linguaggio dell'algebra, crea equazioni e disuguaglianze in base alla condizione del problema; esplorare i modelli costruiti utilizzando l'apparato dell'algebra
- Modella situazioni reali nel linguaggio della geometria, esplora i modelli costruiti utilizzando concetti e teoremi geometrici, l'apparato dell'algebra; risolvere problemi pratici relativi alla ricerca di grandezze geometriche
- Condurre ragionamenti basati sull'evidenza quando si risolvono problemi, valutare la correttezza logica del ragionamento, riconoscere ragionamenti logicamente scorretti
- Elementi di combinatoria
- Selezione sequenziale e simultanea
- Formule per il numero di combinazioni e permutazioni. Teorema binomiale
- Elementi di statistica
- Presentazione tabulare e grafica dei dati
- Caratteristiche numeriche delle serie di dati
- Elementi di teoria della probabilità
- Probabilità di eventi
- Esempi di utilizzo delle probabilità e della statistica nella risoluzione di problemi applicati
- Probabilità R verificarsi di un evento casuale MA si chiama rapporto m a n, dove nè il numero di tutti i possibili risultati dell'esperimento, e mè il numero di tutti gli esiti favorevoli.
- La formula è la cosiddetta definizione classica probabilità secondo Laplace, che provenivano dal campo del gioco d'azzardo, dove la teoria della probabilità veniva utilizzata per determinare la prospettiva di vincita.
Numero di esiti favorevoli
Numero di tutti gli esiti ugualmente probabili
Probabilità di evento =
La probabilità di un evento è decimale, non un numero intero!
Permutazioni
- Una permutazione di un insieme di n elementi è la disposizione degli elementi in un certo ordine.
Il numero di permutazioni può essere calcolato usando la formula Pn=n!
Alloggi
- Posizionamenti set di n vari elementi secondo m (m≤n) gli elementi sono detti combinazioni costituite da dati n elementi di m elementi e differiscono negli elementi stessi o nell'ordine degli elementi.
- Combinazioni da n vari elementi secondo K gli elementi sono chiamati combinazioni che sono costituite da dati n elementi di K elementi e differiscono di almeno un elemento (in altre parole, K-elementi sottoinsiemi dell'insieme dato da n elementi).
- Soluzione: Totale delle combinazioni possibili quando si lanciano due dadi: 6 * 6 = 36. Di questi, si possono elencare i risultati favorevoli: 2 + 6, 6 + 2; 3+5;5+3; 4+4.
- Quindi, ci sono 5 esiti favorevoli in totale Troveremo la probabilità come rapporto tra il numero di 5 esiti favorevoli e il numero di tutte le possibili combinazioni 36. = 0,13888 ... Arrotonda al centesimo più vicino. Risposta: 0,14.
- Compito 2: In un esperimento casuale, una moneta simmetrica viene lanciata quattro volte. Trova la probabilità che non esca mai testa.
- Soluzione: La condizione può essere interpretata come segue: qual è la probabilità che tutte e 4 le croci cadano. Probabilità che si alzi una coda
- 1 volte è uguale,
- 2 volte uguale a =(Teorema della moltiplicazione delle probabilità),
- 3 volte uguale =,
- e 4 volte è uguale a ()4==0,0625.
- Risposta: 0,0625
- Soluzione: Totale delle combinazioni possibili: 6 * 6 = 36. Di questi, si possono elencare i risultati favorevoli: 1° dado 2° dado 1 punto 2, 3, 4, 5 o 6 punti. Esiti favorevoli 5. 2 punti 1, 3, 4, 5 o 6 punti. Esiti favorevoli 5. 3 punti 1, 2, 4, 5 o 6 punti. Esiti favorevoli 5. 4 punti 1, 2, 3, 5 o 6 punti. Esiti favorevoli 5. 5 punti 1, 2, 3, 4 o 6 punti. Esiti favorevoli 5. 6 punti 1, 2, 3, 4 o 5 punti. Esiti favorevoli 5. Anche se per noi sarebbe più facile calcolare il numero di esiti sfavorevoli. Quando lo stesso numero di punti cade 1 e 1, 2 e 2, 3 e 3, 4 e 4, 5 e 5, 6 e 6. Ci sono 6 risultati di questo tipo. Ci sono 36 risultati in totale risultati 30. Trova il rapporto 30/36 = 0,83333…
- Risposta. 0,83
- In un esperimento casuale, vengono lanciati due dadi. Trova la probabilità di ottenere 5 punti in totale. Arrotonda il risultato ai centesimi .(risposta: 0.11)
- In un esperimento casuale, vengono lanciati due dadi. Trova la probabilità di ottenere 6 in totale. Arrotonda il risultato ai centesimi .(risposta: 0,14)
- In un esperimento casuale, vengono lanciati due dadi. Trova la probabilità di ottenere 7 in totale. Arrotonda il risultato ai centesimi .(risposta: 0,17)
- In un esperimento casuale, vengono lanciati tre dadi. Trova la probabilità di ottenere 4 in totale. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino. (risposta: 0,01)
- In un esperimento casuale, vengono lanciati tre dadi. Trova la probabilità di ottenere 7 in totale. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino. (risposta: 0,07)
- Soluzione: A condizione, l'indice può essere al primo o al secondo posto:
- H2NO HNO2
- H3NO HNO3
- 2 + 2 = 4
- Risposta: 4
- a, b, c- segni
- 1 caso - il gamete non ha nessuna di queste caratteristiche - solo tipo 1
- Caso 2 - uno di questi segni: un; in; Insieme a– 3 tipi
- 3 caso - due dei tre segni: av, asso, sole– 3 tipi
- Caso 4 - tutti e tre i segni: ABC– 1 tipo
- 1+3+3+1=8 tipi di gameti
- Risposta: 8
- 111 centinaia di decine di unità
- 112 a c
- 121 1 1 1
- 122 8 2 2 2
- 211 222=8
- A B C
- (AB) 3 opzioni di visita
- Combinazione da 3 a 2
- С3==3
- Risposta: 3
- A G S F - il numero di combinazioni da 4 a 2
- AF С4==6
- Risposta: 6
- A B C
- Numero di combinazioni da 3 a 2: 3 vie
- Numero di permutazioni: P2=2!=2
- o piazzamento A
- A3==6
- 12 21 23 32 13 31
- Risposta: 6
- Compito 12: 20 atleti partecipano al campionato di ginnastica: 8 dalla Russia, 7 dagli Stati Uniti, il resto dalla Cina. L'ordine in cui si esibiscono le ginnaste è determinato a sorte. Trova la probabilità che il primo atleta a gareggiare provenga dalla Cina.
- Soluzione: partecipano in totale 20 atleti, di cui 20-(8+7)=5 atleti provenienti dalla Cina.
- La probabilità che l'atleta che gareggia per primo sia cinese sarà
- Risposta: 0,25
- n=25
- m=23 biglietti senza domande sui funghi
- P(A)===0,92
- Risposta: 0,92
- Problema 14: in media, su 1.000 pompe da giardino vendute, 5 perdono. Trova la probabilità che una pompa scelta a caso non perda.
- A = (La pompa non perde)
- n=1000
- m\u003d 1000-5 \u003d 995 pompe non perdono
- P(A)===0,995
- Risposta: 0,995
- Compito 15: La fabbrica produce borse. In media, ogni 100 buste di qualità, ci sono otto buste con difetti nascosti. Trova la probabilità che la borsa acquistata sia di alta qualità. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino.
- A = (Borsa di qualità)
- n=100
- m=100-8 nessun difetto nascosto
- P(A)===0,92
- Risposta: 0,92
- Soluzione: 50-7=43 - batterie buone
- Probabilità: acquisto di una batteria funzionante 43 - Numero di esiti favorevoli 50 - Numero di tutti gli esiti ugualmente possibili P = Risposta: 0,86
- La fabbrica produce borse. In media, ogni 180 buste di qualità, ci sono otto buste con difetti nascosti. Trova la probabilità che la borsa acquistata sia di alta qualità. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino. (Risposta: 0,96)
- La fabbrica produce borse. In media, ogni 170 buste di qualità, ci sono sei buste con difetti nascosti. Trova la probabilità che la borsa acquistata sia di alta qualità. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino. (Risposta: 0,96)
- In media, su 1.400 pompe da giardino vendute, 7 perdono. Trova la probabilità che una pompa scelta a caso non perda. (0,995)
- In media, su 500 pompe da giardino vendute, 4 perdono. Trova la probabilità che una pompa selezionata casualmente per il controllo non perda (0,992)
- Lyuba accende la TV. La TV si accende su un canale casuale. In questo momento, sei canali su quarantotto mostrano documentari. Trova la probabilità che Lyuba arrivi su un canale in cui i documentari non vengono trasmessi. (0,875)
- La compagnia di taxi ha attualmente 20 auto libere: 10 nere, 2 gialle e 8 verdi. Durante una chiamata, una delle auto se ne andò, che era la più vicina al cliente. Trova la probabilità che arrivi un taxi verde. (0.4)
- Il prodotto degli eventi A e B è un evento AB che si verifica se e solo se entrambi gli eventi A e B si verificano contemporaneamente.
- Teorema sulla moltiplicazione delle probabilità. La probabilità del prodotto di eventi indipendenti A e B è calcolata dalla formula:
- La somma degli eventi A e B è l'evento A + B, che si verifica se e solo se si verifica almeno uno degli eventi: A o B.
- Teorema sull'addizione delle probabilità. La probabilità di accadimento di uno dei due eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi.
- AL. Semenov, IV Yashchenko "L'edizione più completa opzioni standard compiti dell'Esame di Stato Unificato 2015. Matematica”;
- http://mathege.ru/- banca aperta di compiti in matematica.
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Didascalie delle diapositive:
Combinatoria e probabilità all'esame di stato unificato MOU n. 12 Zhukovsky Insegnante di matematica Chernobay N.V.
Epigrafe della lezione:. . "Numero, luogo e combinazione sono tre regni del pensiero che si intersecano ma distinti a cui possono essere attribuite tutte le idee matematiche". J. Silvestro
La definizione classica di probabilità Un'esperienza si dice stocastica se i suoi risultati non possono essere previsti in anticipo. I risultati (risultati) di tale esperienza sono chiamati eventi. Esempio: viene lanciato un dado (esperienza); a deuce (evento) cade. Un evento che sicuramente accadrà come risultato del test si dice certo, e un evento che non può accadere si dice impossibile. Esempio: ci sono tre patate in un sacchetto. Esperienza: rimuovere una verdura da un sacchetto. Un certo evento è la rimozione di una patata. Un evento impossibile è la rimozione di una zucchina.
Definizione classica di probabilità Gli eventi sono detti ugualmente probabili se, per esperienza, nessuno di essi ha una probabilità di accadimento maggiore di altri. Esempi: 1) Esperienza - viene lanciata una moneta. La caduta della testa e la caduta della croce sono eventi ugualmente probabili. 2) Ci sono tre palline nell'urna. Due bianco e blu. Esperienza - estrazione della palla. Gli eventi - la pallina blu viene estratta e la palla bianca viene estratta - non sono ugualmente probabili. L'aspetto di una palla bianca ha più possibilità..
La definizione classica di probabilità Gli eventi incompatibili (incompatibili) sono chiamati se il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi di altri. Esempio: 1) Come risultato di un tiro, testa (evento A) o croce (evento B) cadono. Gli eventi A e B sono incompatibili. 2) Due tiri danno testa (evento A) o croce (evento B). Gli eventi A e B sono congiunti. Ottenere testa la prima volta non esclude di ricevere croce la seconda volta.
Definizione classica di probabilità Un gruppo completo di eventi è l'insieme di tutti gli eventi dell'esperienza in esame, uno dei quali si verificherà definitivamente e altri due eventuali sono incompatibili. Esempio: 1) Esperienza - una moneta viene lanciata una volta. Eventi elementari: testa e croce formano un gruppo completo. Gli eventi che formano un gruppo completo sono chiamati elementari.
La probabilità di un evento casuale A è il rapporto tra il numero di eventi elementari che favoriscono questo evento e il numero totale di tutti gli eventi elementari inclusi in questo gruppo. P(A) = m/n Definizione classica di probabilità
Per insiemi finiti di eventi, quando si trovano m e n, le regole della combinatoria sono ampiamente utilizzate. Compito numero 1: quanti numeri a due cifre possono essere creati utilizzando i numeri 7; otto; 9 (le cifre possono essere ripetute) ? In questo caso, è facile enumerare tutte le combinazioni. 77 78 79 88 87 89 99 97 98 9 opzioni
Compito numero 2: quanti numeri a cinque cifre possono essere creati utilizzando i numeri 7; otto; 9 (le cifre possono essere ripetute) ? Come puoi vedere, in questo problema l'enumerazione è piuttosto difficile. Risolviamo il problema in modo diverso. Uno qualsiasi dei tre numeri può essere in primo luogo - 3 opzioni. Il secondo posto può essere uno qualsiasi dei tre numeri - 3 opzioni. Al terzo posto può esserci uno qualsiasi dei tre numeri - 3 opzioni. Il quarto posto può essere uno qualsiasi dei tre numeri - 3 opzioni. Il quinto posto può essere uno qualsiasi dei tre numeri - 3 opzioni. Regola di moltiplicazione combinatoria
Compiti della banca aperta
№ 283479 50 atleti partecipano al campionato di ginnastica: 24 dagli USA, 13 dal Messico, il resto dal Canada. L'ordine in cui si esibiscono le ginnaste è determinato a sorte. Trova la probabilità che il primo atleta a gareggiare provenga dal Canada. 28/04/17 Evento di buon auspicio A: Primo esecutore dal Canada Numero di eventi di buon auspicio: m = ? Numero di tutti gli eventi di gruppo: n=? Corrisponde al numero di ginnaste canadesi. m =50-(24+13)=13 Corrisponde al numero di tutte le ginnaste. n=50
No. 283479 In media, su 1400 pompe da giardino vendute, 14 perdite. Trova la probabilità che una pompa scelta a caso non perda. 28/04/17 Evento favorevole A: La pompa selezionata non perde. Numero di eventi favorevoli: m = ? Numero di tutti gli eventi di gruppo: n=? Corrisponde al numero di pompe utilizzabili m =1400-14=1386 Corrisponde al numero di tutte le pompe. n= 1400
No. 283639 La fabbrica produce borse. In media, ogni 190 buste di qualità, ci sono otto buste con difetti nascosti. Trova la probabilità che la borsa acquistata sia di alta qualità. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino. 28/04/17 Evento favorevole A: la borsa acquistata si è rivelata di alta qualità. Numero di eventi favorevoli: m = ? Numero di tutti gli eventi di gruppo: n=? Corrisponde al numero di borse di qualità. m =190 Corrisponde al numero di tutti i bagagli. n= 190+8
№ 283445 Tre dadi vengono lanciati in un esperimento casuale. Trova la probabilità di ottenere 7 in totale. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino. 28/04/17 Esperienza: cadono tre dadi. Evento di buon auspicio A: Un totale di 7 punti ottenuti. Numero di eventi favorevoli m = ? 331 313 133 223 232 322 511 151 115 412 421 124 142 214 241 Numero di tutti gli eventi di gruppo n=? 1° osso - 6 varianti 2° osso - 6 varianti 3° osso - 6 varianti
28.04.17 № 283471 In un esperimento casuale, una moneta simmetrica viene lanciata quattro volte. Trova la probabilità che non esca mai testa. La condizione può essere interpretata come segue: qual è la probabilità che tutte e quattro le croci cadano? Numero di eventi favorevoli m = ? Numero di tutti gli eventi di gruppo n=? m= 1 È uscito croce quattro volte. 1a volta - 2 opzioni 2a volta - 2 opzioni 3a volta - 2 opzioni 4a volta - 2 opzioni
Probabilità e regola del prodotto. Soluzione: solo 6 monete. Sono possibili opzioni di spostamento: 1 tasca 2 tasca 5 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 5 1 5 1 1 5 1 à = (2/6 * 4/5 * 3/4) * 3 = 3/5 = 0 , 6 "5" "1" "1" Petya aveva in tasca monete da 4 rubli e 2 monete da 5 rubli. Petya, senza guardare, spostò tre monete in un'altra tasca. Trova la probabilità che monete da cinque rubli siano in tasche diverse.
Probabilità e regola del prodotto. Combinazioni Soluzione: Totale 6 monete. Sono possibili opzioni di spostamento: 1 tasca 2 tasca 5 5 1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 O viceversa 1 5 5 1 1 1 Р = (2/6 * 1/5 * 4/4) * 2 = 2/ 5 = 0,4 "5" "5" "1" Petya aveva in tasca 4 monete da rubli e 2 monete da 5 rubli. Petya, senza guardare, spostò tre monete in un'altra tasca. Trova la probabilità che entrambe le monete da cinque rubli siano nella stessa tasca.
Lavoro di gruppo Gruppo 1 1. In un esperimento casuale, vengono lanciati due dadi. Trova la probabilità di ottenere 5 punti in totale. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino. 2. In media, su 1.400 pompe da giardino vendute, 14 perdono. Trova la probabilità che una pompa scelta a caso non perda. Gruppo 2 1. In un esperimento casuale vengono lanciati due dadi. Trova la probabilità di ottenere 6 in totale. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino 2. In media, su 1.300 pompe da giardino vendute, 13 perdono. Trova la probabilità che una pompa scelta a caso non perda.
Compiti a casa 1) Componi e risolvi 3 problemi su questo argomento. 2) n. 282854, 282856, 285926 dalla banca aperta dei problemi di matematica.
Quando risolviamo problemi nella teoria della probabilità, utilizziamo costantemente la stessa formula, che è anche la definizione classica di probabilità:
dove k è il numero di esiti favorevoli, n è il numero totale di esiti (vedi "Probability Test").
E questa formula funziona alla grande finché i compiti erano facili e i numeri nel numeratore e nel denominatore erano ovvi.
Tuttavia, gli ultimi esami di prova hanno dimostrato che nel vero USE in matematica può esserci molto di più strutture complesse. Trovare i valori di n e k diventa problematico. In questo caso, la combinatoria viene in soccorso. Le sue leggi funzionano laddove i valori desiderati non derivano direttamente dal testo del problema.
Nella lezione di oggi non ci saranno formulazioni rigide e teoremi lunghi: sono troppo complicati e, inoltre, completamente inutili per risolvere i veri problemi di B6. Invece, considereremo regole semplici e analizzeremo i compiti specifici che si verificano davvero durante l'esame. Quindi andiamo!
Numero di combinazioni e fattoriali
Lascia che ci siano n oggetti (matite, caramelle, bottiglie di vodka - qualsiasi cosa) da cui devono essere scelti esattamente k oggetti diversi. Quindi il numero di opzioni per tale scelta è chiamato numero di combinazioni di n elementi per k. Questo numero è indicato con C n k e viene calcolato utilizzando una formula speciale.
Designazione:
Espressione n! legge "en-fattoriale" e denota il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a n inclusi: n! = 1 2 3 ... n.
Inoltre, in matematica, per definizione, si considera che 0! = 1 - tali assurdità sono rare, ma si verificano ancora nei problemi di teoria della probabilità.
Cosa ci offre questa formula? In effetti, quasi nessun compito serio può essere risolto senza di essa.
Sfortunatamente, a scuola non sanno affatto come lavorare con i fattoriali. Inoltre, è molto facile confondersi nella formula per il numero di combinazioni: dov'è e cosa significa il numero n, e dove - k. Quindi, per cominciare, ricorda: il numero più basso è sempre in cima, proprio come nella formula della probabilità (la probabilità non è mai maggiore di uno).
Per una migliore comprensione, diamo un'occhiata ad alcuni semplici problemi combinatori:
Un compito. Il barista ha 6 varietà di tè verde. Per la cerimonia del tè sono necessarie esattamente 3 diverse varietà di tè verde. In quanti modi un barista può completare un ordine?
Qui tutto è semplice: ci sono n = 6 varietà, da cui devi scegliere k = 3 varietà. Il numero di combinazioni può essere trovato dalla formula:
Un compito. In un gruppo di 20 studenti, devono essere selezionati 2 rappresentanti per parlare alla conferenza. In quanti modi si può fare?
Anche in questo caso, abbiamo n = 20 studenti in totale e dobbiamo scegliere k = 2 studenti. Trovare il numero di combinazioni:
Si noti che i fattori inclusi nei diversi fattoriali sono contrassegnati in rosso. Questi moltiplicatori possono essere ridotti in modo indolore e quindi ridurre notevolmente la quantità totale di calcoli.
Un compito. Al magazzino sono stati portati 17 server con vari difetti, che costano 2 volte in meno rispetto ai normali server. Il direttore ha acquistato 14 di questi server per la scuola, ha rubato i soldi risparmiati e ha comprato a sua figlia una pelliccia di zibellino per 200.000 rubli. In quanti modi un regista può scegliere server difettosi?
Ci sono molti dati extra nell'attività, che possono creare confusione. I fatti più importanti: ci sono n = 17 server in totale e il direttore ha bisogno di k = 14 server. Contiamo il numero di combinazioni:
Il colore rosso indica di nuovo i moltiplicatori che vengono ridotti. In totale, sono risultate 680 combinazioni. In generale, il regista ha molto da scegliere.
Come puoi vedere, il numero di combinazioni da n a k è considerato abbastanza semplice. Il problema è che molti studenti non hanno mai lavorato con i fattoriali. Per loro, questo è un oggetto matematico nuovo e sconosciuto, e ci vuole un po' di allenamento per padroneggiarlo.
La buona notizia è che in molti problemi la formula C n k è abbastanza per trovare la risposta. Ma ci sono anche cattive notizie: in quei rari casi in cui regole aggiuntive, la soluzione del problema diventa molto più complicata. Consideriamo ora queste regole.
legge della moltiplicazione
La legge della moltiplicazione in combinatoria: si moltiplica il numero di combinazioni (vie, combinazioni) in insiemi indipendenti.
In altre parole, ci siano A modi per fare una cosa e B modi per farne un'altra. Il percorso anche queste azioni sono indipendenti, cioè non correlato in alcun modo. Quindi puoi trovare il numero di modi per eseguire la prima e la seconda azione dalla formula: C = A · B .
Un compito. Petya ha 4 monete da 1 rublo ciascuna e 2 monete da 10 rubli ciascuna. Petya, senza guardare, tirò fuori dalla tasca 1 moneta del valore nominale di 1 rublo e un'altra moneta 1 del valore nominale di 10 rubli per comprare una sigaretta per 11 rubli da una nonna nel sottopassaggio. In quanti modi può scegliere queste monete?
Quindi, prima Petya tira fuori k = 1 moneta da n = 4 monete disponibili con un valore nominale di 1 rublo. Il numero di modi per farlo è C 4 1 = ... = 4.
Quindi Petya fruga di nuovo nella sua tasca ed estrae k = 1 moneta da n = 2 monete disponibili con un valore nominale di 10 rubli. Qui il numero di combinazioni è uguale a C 2 1 = ... = 2.
Poiché queste azioni sono indipendenti, il numero totale di opzioni è C = 4 2 = 8.
Un compito. Ci sono 8 palline bianche e 12 nere in un canestro. In quanti modi puoi ottenere 2 palline bianche e 2 palline nere da questo canestro?
In totale, ci sono n = 8 palline bianche nel cestino, da cui devi scegliere k = 2 palline. Questo può essere fatto C 8 2 = ... = 28 in vari modi.
Inoltre, nel canestro ci sono n = 12 palline nere, dalle quali devono essere scelte ancora k = 2 palline. Il numero di modi per farlo è C 12 2 = ... = 66.
Poiché la scelta della pallina bianca e la scelta di quella nera sono eventi indipendenti, il numero totale di combinazioni viene calcolato secondo la legge della moltiplicazione: C = 28 66 = 1848. Come puoi vedere, possono essere molte opzioni.
La legge della moltiplicazione mostra in quanti modi è possibile eseguire un'azione complessa composta da due o più semplici, a condizione che siano tutti indipendenti.
Era questa formula che non era sufficiente per molti per risolvere il problema B6 esame di prova matematica. Naturalmente, ci sono altri metodi di risoluzione che non utilizzano la combinatoria - e li considereremo sicuramente più vicini al vero esame. Tuttavia, nessuno di essi può essere paragonato in affidabilità e concisione con le tecniche che stiamo attualmente studiando.
Legge sulle addizioni
Se la legge di moltiplicazione opera su eventi "isolati" che non dipendono l'uno dall'altro, allora nella legge di addizione è vero il contrario. Si occupa di eventi che si escludono a vicenda che non accadono mai contemporaneamente.
Ad esempio, "Pietro tirò fuori 1 moneta dalla tasca" e "Pietro non tirò fuori una sola moneta dalla tasca" sono eventi che si escludono a vicenda, poiché è impossibile estrarre una moneta senza estrarne una.
Allo stesso modo, anche gli eventi "Palla selezionata a caso - bianca" e "Palla selezionata a caso - nera" si escludono a vicenda.
La legge dell'addizione in combinatoria: se due azioni che si escludono a vicenda possono essere eseguite rispettivamente nei modi A e B, allora questi eventi possono essere combinati. In questo caso, si verificherà un nuovo evento, che può essere eseguito nei modi X = A + B.
In altre parole, quando si combinano azioni che si escludono a vicenda (eventi, opzioni), viene sommato il numero delle loro combinazioni.
Possiamo dire che la legge dell'addizione è un "OR" logico in combinatoria, quando una qualsiasi delle opzioni che si escludono a vicenda ci si addice. Al contrario, la legge della moltiplicazione è un "AND" logico, in cui ci interessa l'esecuzione simultanea sia della prima che della seconda azione.
Un compito. Ci sono 9 palline nere e 7 palline rosse in un canestro. Il ragazzo tira fuori 2 palline dello stesso colore. In quanti modi può farlo?
Se le palline sono dello stesso colore, ci sono poche opzioni: entrambe sono nere o rosse. Ovviamente, queste opzioni si escludono a vicenda.
Nel primo caso, il ragazzo deve scegliere k = 2 palline nere su n = 9 disponibili. Il numero di modi per farlo è C 9 2 = ... = 36.
Allo stesso modo, nel secondo caso scegliamo k = 2 palline rosse da n = 7 possibili. Il numero di vie è C 7 2 = ... = 21.
Resta da trovare il numero totale di modi. Poiché le opzioni con palline nere e rosse si escludono a vicenda, secondo la legge di addizione abbiamo: X = 36 + 21 = 57.
Un compito. La bancarella vende 15 rose e 18 tulipani. Uno studente di prima media vuole comprare 3 fiori per il suo compagno di classe e tutti i fiori devono essere uguali. In quanti modi può realizzare un tale bouquet?
A seconda della condizione, tutti i fiori devono essere uguali. Quindi, compreremo 3 rose o 3 tulipani. In ogni caso, k = 3.
Nel caso delle rose, devi scegliere tra n = 15 opzioni, quindi il numero di combinazioni è C 15 3 = ... = 455. Per i tulipani, n = 18, e il numero di combinazioni è C 18 3 = . .. = 816.
Poiché rose e tulipani sono opzioni che si escludono a vicenda, lavoriamo secondo la legge dell'addizione. Otteniamo il numero totale di opzioni X = 455 + 816 = 1271. Questa è la risposta.
Termini e restrizioni aggiuntivi
Molto spesso nel testo del problema ci sono condizioni aggiuntive che impongono restrizioni significative alle combinazioni che ci interessano. Confronta due frasi:
- C'è un set di 5 penne in diversi colori. In quanti modi è possibile selezionare le maniglie a 3 tempi?
- C'è un set di 5 penne in diversi colori. In quanti modi si possono scegliere le maniglie a 3 tratti se una di esse deve essere rossa?
Senti la differenza? Nel primo caso, abbiamo il diritto di prendere tutti i colori che ci piacciono - non ci sono restrizioni aggiuntive. Nel secondo caso, tutto è più complicato, poiché dobbiamo scegliere una maniglia rossa (si presume che sia nel set originale).
Ovviamente, qualsiasi restrizione riduce drasticamente il numero totale di opzioni. Quindi, come trovi il numero di combinazioni in questo caso? Ricorda solo la seguente regola:
Sia un insieme di n elementi, tra i quali devono essere scelti k elementi. Con l'introduzione di ulteriori restrizioni, i numeri n e k diminuiscono dello stesso importo.
In altre parole, se devi scegliere 3 maniglie su 5 e una di esse dovrebbe essere rossa, dovrai scegliere tra n = 5 − 1 = 4 elementi per k = 3 − 1 = 2 elementi. Quindi, invece di C 5 3, si dovrebbe considerare C 4 2 .
Ora vediamo come funziona questa regola su esempi specifici:
Un compito. In un gruppo di 20 studenti, di cui 2 eccellenti studenti, devi scegliere 4 persone per partecipare alla conferenza. In quanti modi possono essere scelti questi quattro se gli studenti eccellenti devono arrivare alla conferenza?
Quindi, c'è un gruppo di n = 20 studenti. Ma devi scegliere solo k = 4 di loro. Se non c'erano restrizioni aggiuntive, il numero di opzioni era uguale al numero di combinazioni di C 20 4 .
Tuttavia, ci è stato dato condizione aggiuntiva: 2 lodi devono essere tra questi quattro. Quindi, secondo la regola precedente, decrementiamo i numeri n e k di 2. Abbiamo:
Un compito. Petya ha 8 monete in tasca, di cui 6 rubli e 2 rubli. Petya sposta tre monete in un'altra tasca. In quanti modi Petya può farlo se è noto che entrambe le monete da 10 rubli sono finite in un'altra tasca?
Quindi ci sono n = 8 monete. Petya sposta k = 3 monete, di cui 2 da dieci rubli. Si scopre che su 3 monete che verranno trasferite, 2 sono già state riparate, quindi i numeri n e k devono essere ridotti di 2. Abbiamo:
In entrambi gli esempi, ho deliberatamente tralasciato i dettagli del lavoro con i fattoriali: prova a fare tutti i calcoli da solo. Naturalmente, ci sono altri modi per risolvere questi problemi. Ad esempio, usando la legge della moltiplicazione. In ogni caso, la risposta sarà la stessa.
In conclusione, noto che nel primo problema abbiamo ottenuto 153 opzioni - questo è molto meno dell'originale C 20 4 = ... = 4845 opzioni. Allo stesso modo, 3 monete su 8 possono essere spostate in C 8 3 = ... = 56 modi, che è molto più dei 6 modi che abbiamo ottenuto nell'ultimo problema.
Questi esempi dimostrano chiaramente che l'introduzione di eventuali restrizioni riduce significativamente la nostra “libertà di scelta”.
Preparazione all'esame di matematica (B4) Risoluzione di problemi combinatori
Zaryantseva VP
Combinatoria
lavori
Alloggi
Regola somma
- Se elemento X puoi scegliere modi n X e se l'elemento y poter scegliere n y modi, quindi la scelta "o X , o y » può essere fatto in modi n X +n y .
Qualsiasi colore
Scegli una palla
Nx +N y =4+5=9 modi
N X =4
N y =5
- La confezione contiene 10 quaderni quadrati e 5 quaderni a righe. In quanti modi si può scegliere un taccuino?
- Soluzione: oppure - somma logica
- 10+5=15 (la scelta non è importante)
- Quanti modi ci sono per scegliere un multiplo di due o tre dall'insieme dei numeri: 2,3,4,15,16,20,21, 75,28?
- Soluzione:
- k1=5 – multiplo di 2 (2,4,16,20,28),
k2=4 - multiplo di 3 (3.15.21.75)
- k1+k2 = 5+4 = 9
regola del prodotto
- Se elemento X poter scegliere n X modi e se dopo la sua selezione l'elemento y poter scegliere n y modi, quindi la scelta di una coppia ordinata (x, y) può essere fatto n X n y modi.
Blu e rosso
La scelta di un paio di palline
Nx ∙N y =4∙5=20 modi
N X =4
N y =5
- Ci sono 5 diverse tazze e 3 diversi piattini nel negozio All for Tea. In quanti modi è possibile acquistare una tazza e un piattino?
- 5*3=15
Esempio 2. a) Quanti diversi numeri a due cifre possono essere formati dai numeri 1,3,5,7,9?
Soluzione: N= 5x5 \u003d 25 (Se non è detto che l'elemento non viene ripetuto, allora un campione con ripetizioni)
b) Quanti di loro sono multipli di 5?
Soluzione: Un numero è multiplo di 5 se termina con 5 o 0. Nel nostro caso, 5.
Nella prima posizione fissiamo una delle cinque cifre, nella seconda - 5.
N= 5x1 =5
- . Diversi paesi hanno deciso di utilizzare la bandiera come simbolo del loro stato sotto forma di quattro strisce orizzontali, la stessa larghezza, ma di colore diverso: bianco, blu, rosso, verde. Ogni paese ha la sua bandiera, diversa dagli altri.
- un ) Quanti paesi possono utilizzare tali simboli in totale?
- Soluzione : Il colore della fascia superiore può essere selezionato in uno dei 4 modi, la seconda fascia in uno dei restanti 3, il colore della 3a fascia in uno dei 2 rimanenti e 4 in un modo. Secondo la regola del prodotto N= 4х3х2х1=24
- b ) Quanti paesi possono usare questo simbolismo con strisce blu e rosse affiancate?
- Soluzione : Due strisce, sempre affiancate, possono essere considerate come una sola striscia, poi ci saranno 3 strisce, dalle quali puoi fare 3x2x1=6 bandiere diverse. Ma due strisce (blu e rossa) possono essere "incollate" in diversi modi: blu, e sotto c'è il rosso, o rosso, e sotto c'è il blu. Pertanto, il numero totale di opzioni secondo la regola della somma è 6+6=12
- . In quanti modi sei scolari possono essere seduti su una panchina in modo che Kolya e Olya siano uno accanto all'altro?
- Soluzione : Assumiamo che ci siano 6 posti vuoti in panchina. Kolya può essere piantato in sei modi, dopo di che Olya può essere piantato accanto a lui in uno o due modi. Dipende da dove mettiamo Kolya - nel punto estremo o meno.
- Lascia che Kolya si sieda sul bordo. Un posto sul bordo può essere scelto in 2 modi, dopo di che Olya può essere messo in un modo, dopodiché i restanti 4 posti possono essere presi in 4x3x2x1 modi, il che significa un totale di 2x1x4x3x2x2 = 48 modi
Kolya si trova da qualche parte nel mezzo. Puoi scegliere un posto per Kolya in 4 modi, Olya può essere piantato in 2 modi, il che significa che in totale
4x2x4x3x2x1 = 192 vie.
- Secondo la regola dell'addizione 48+192= 240 modi
Determina n (numero totale di oggetti) e m (quanti oggetti selezionare)
L'ORDINE È IMPORTANTE?
SELEZIONA TUTTI n ARTICOLI
RIPETIZIONI?
COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI
COMBINAZIONI
Ci sono ripetizioni
Ci sono ripetizioni
Alloggi
Permutazioni senza ripetizione
- Permutazioni senza ripetizioni da n elementi diversi sono chiamati tutte le possibili sequenze di questi n elementi. Il numero di permutazioni senza ripetizioni da n elementi uguali
per definizione
Permutazioni senza ripetizione
6 diverse permutazioni
Problema 19 . Numeri dati: 1,2,3,4,5,6,7. Quanti numeri diversi si possono ricavare da questi numeri? Ogni numero è una permutazione di 7 elementi.
Esempi: 1234567, 2354167, 7546321 .
Una permutazione è un insieme ordinato.
Numero di permutazioni da n gli elementi sono calcolati dalla formula P n =n! .
Per condizione n=7
Quindi su 7 cifre puoi avere 7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 numeri diversi.
- Permutazioni con ripetizione da n elementi K tipi
- numero di elementi del 1° tipo n 1 ; numero di elementi del 2° tipo n 2 ; …; numero di elementi K tipo n K ,
- tutte le possibili sequenze di iniziali n elementi. Viene indicato il numero di permutazioni con ripetizioni
- conta così:
n=n 1 +n 2 = 2+1 = 3
n 2 = 1
n 1 = 2
3 diverse permutazioni
- La squadra di football del cantiere sceglie un capitano e il suo vice. In quanti modi è possibile farlo se ci sono 11 persone nella squadra?
- Quante ghirlande diverse si possono realizzare se abbiamo 5 LED rossi, 7 blu e 4 gialli?
Numeri dati: 1,2,2,3,3,3,4,. Quanti numeri diversi si possono ricavare da questi numeri? Ogni numero è una permutazione di 7 elementi.
Esempi: 1223334, 4232331, 2233314.
Alcuni numeri non cambiano quando le stesse cifre vengono riorganizzate.
Per condizione n = 7, n1=2 , n2 =3
Alloggi
(campioni)
- Posizionamenti senza ripetizione da n vari elementi secondo m m n , che differiscono tra loro sia per l'ordine degli elementi, sia per la composizione degli elementi.
- Numero di posizionamenti senza ripetizioni da n elementi di m indicato dal simbolo
Scegli due palline
L'ordine di selezione è importante!
6 diversi campioni
- Da un gruppo di 15 persone vengono selezionati 4 partecipanti alla staffetta 800 + 400 + 200 + 100. In quanti modi si possono piazzare gli atleti nelle fasi della staffetta?
- dagli elementi K tipi secondo m elementi ( K e m m elementi di appartenenza tipi originali, che differiscono tra loro sia per l'ordine degli elementi, sia per la composizione degli elementi.
8 opzioni di esempio
- Chiamiamo numero naturale"carino" se contiene solo cifre dispari. Quanti numeri "carini" a quattro cifre ci sono?
- k=5 l'ordine è importante
- Combinazioni senza ripetizione da n vari elementi secondo m gli elementi sono tutte tali sequenze m vari elementi selezionati dall'originale n , che differiscono tra loro per la composizione degli elementi.
Scegli due palline
L'ordine di selezione non è importante!
3 combinazioni
- In quanti modi si possono scegliere tre assistenti da un gruppo di 20 persone?
- Combinazioni con ripetizioni dagli elementi K tipi secondo m elementi ( m e K può essere in qualsiasi rapporto) vengono chiamate tutte queste sequenze m elementi appartenenti ai tipi originari, che differiscono tra loro per la composizione degli elementi.
4 opzioni di combinazione
Ci sono 10 garofani rossi e 4 rosa in un vaso. Tutti i fiori addosso aspetto esteriore sono gli stessi. In quanti modi si possono scegliere 3 fiori da un vaso?
Soluzione Poiché, in base alla condizione del problema, tutti i fiori hanno lo stesso aspetto, otteniamo una formula senza ripetizioni. Scegli i fiori in un bouquet, l'ordine di scelta non è importante, quindi otteniamo una formula di combinazione senza ripetizioni: due tipi di fiori, scegli tre fiori.
- Una selezione (analisi) di elementi o più? Se uno, quindi vedere l'elemento 3
- A quale unione sono collegate le opzioni di scelta (analisi)? "E" è la regola del prodotto, "o" è la regola della somma.
Per ogni scelta vengono poste le seguenti domande:
- Vengono utilizzati tutti gli elementi? Se "sì", allora queste sono permutazioni. Passiamo al punto 5.
- L'ordine in cui vengono selezionati gli elementi è importante? Se "sì", allora questi sono posizionamenti, "no" - combinazioni.
- Ci sono elementi identici? Se "sì" - allora la formula con ripetizioni, "no" - senza ripetizioni.
Quante ghirlande diverse possono essere realizzate da 10 LED di diversi colori?
Quando la linea è chiusa in un anello, le permutazioni, che sono spostamenti ciclici l'una rispetto all'altra, diventano le stesse. Take, for example, the following permutation and see how many other permutations are its cyclic shift: 1. kkkkssssssszhzhzhzh 2.ssssssssssss...ss16 Quindi, il numero di ghirlande ad anelli sarà
- La lavagna luminosa è composta da lampadine. Ciascuna luce può trovarsi in uno dei tre stati ("acceso", "spento" o "lampeggiante"). Qual è il numero minimo di lampadine che devono essere presenti sul tabellone in modo che possa trasmettere 18 segnali diversi?
- Il cannibale ha 25 prigionieri che languiscono nel seminterrato.
- a) In quanti modi può sceglierne tre a colazione, pranzo e cena?
- b) Quanti modi ci sono per scegliere tre persone da liberare?
Soluzione 25*24*23 = 13800 vie.
Nota che nel paragrafo precedente, abbiamo contato ogni tripla di prigionieri 3 2 1 = 6 volte. Dato che ora il loro ordine non è importante per noi, la risposta sarà il numero 13800: 6 = 2300.
I volontari sono stati divisi in due gruppi uguali per cercare un bambino smarrito. Tra questi, solo 4 hanno familiarità con la zona. In quanti modi si possono dividere in modo che ogni gruppo comprenda 2 persone che conoscono la zona, se in totale sono 16 persone?
Soluzione Dividiamo tutti i volontari in due gruppi uguali, ovvero scegliamo i partecipanti del primo gruppo e tutti gli altri andiamo in un altro gruppo. Una scelta. Consideriamo ora questa scelta del primo gruppo. La selezione consiste in una selezione di volontari che conoscono il territorio, e selezione di volontari che non conoscono la zona. Pertanto, collegheremo questi due numeri regola del prodotto. Trova il numero di scelte di volontari che conoscono la zona. Ci sono 4 volontari in totale. Abbiamo bisogno di 2. L'ordine di selezione non è importante. Combinazioni senza ripetizione.
Trova il numero di scelte di volontari che non conoscono la zona. Sono 16-4=12 in totale, scegliamo sei persone (esattamente la metà). Numero totale di elezioni:
Soluzione Traduciamo dato numero da decimale a binario. 256 10 =100000000 2 Pertanto, i numeri inferiori al numero dato sono costituiti da otto, sette, sei, cinque, quattro, tre, due e una cifra.
1) Considera i numeri a otto cifre. 1XXXXXXXXX. Poiché sappiamo esattamente quanti zeri e uno, utilizziamo la formula di permutazione con ripetizioni.
2) Considera i numeri a sette cifre. Ovviamente, tali numeri non soddisfano la condizione del problema, poiché non possono essere costituiti dallo stesso numero di uno e di zeri. Una conclusione simile si può trarre sui numeri a cinque cifre, tre cifre e una cifra.
3) Considera i numeri a sei cifre. Argomentando in modo simile al punto 1, otteniamo:
4) Numeri a quattro cifre.
5) Numero a due cifre solo uno 10 2
Quindi potremmo averlo o numero di otto cifre o numero a sei cifre o numero a quattro cifre o numero a due cifre. Regola somma.
- Ci sono 16 palline in una scatola: 4 rosse, 4 blu e 8 nere. Due palline vengono estratte a caso dalla scatola. Quale dei seguenti messaggi contiene la maggior parte delle informazioni?
- Una delle palline estratte è rossa e l'altra è blu;
- Una delle palle estratte di colore blu, e l'altro è nero;
- Entrambe le palline estratte sono rosse;
- Entrambe le palline estratte sono nere;
- I colori delle palline estratte sono diversi tra loro;
- Le palline dello stesso colore vengono estratte.
Dai numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vengono compilati tutti i tipi di numeri a cinque cifre che non contengono gli stessi numeri. Determina il numero di numeri in cui ci sono i numeri 2, 4 e 5 contemporaneamente.
Soluzione
In questo problema, dobbiamo assolutamente usare i numeri 2, 4 e 5. Ma possono trovarsi in luoghi diversi e in un ordine diverso. Abbiamo tre cifre "importanti" e due "non importanti" nel numero - due tipi di cifre. esso permutazioni con ripetizioni.
Ora contiamo quante diverse permutazioni dei numeri "importanti" tra loro. esso permutazioni senza ripetizione
Quindi abbiamo 60 diverse permutazioni. Ora calcoliamo quante diverse cifre "non importanti" possono essere in ciascuna di queste permutazioni. Scegliamo due cifre "non importanti" su sei. L'ordine di selezione è importante . esso posizionamento senza ripetizione .
- Soluzione:
- Ogni compagnia aerea collega due città. Come prima città, puoi prendere una qualsiasi delle 20 città (città A) e, come seconda, qualsiasi delle restanti 19 (città B). Moltiplicando questi numeri, otteniamo 20 19 = 380.
- Tuttavia, in questo calcolo, ogni compagnia aerea viene conteggiata due volte (la prima volta quando la città A è stata scelta come prima città e la città B come seconda e viceversa la seconda volta). Quindi il numero di compagnie aeree è 380:2 = 190.