Nod polinomu piemēri. Lielākais polinomu kopīgais dalītājs. koprime polinomi. Kur tiešsaistē var atrisināt polinoma vienādojumu

5x5 +10x2 5x2 + 1

X3 + 7x2 + 14x + 8 1

– x2 – 3x – 2

X3 + 3x2 + 2x - x - 4

3x2 + 9x + 6

3x2 + 9x + 6

12y4 ± 18xy3 30x2y2 6y2 - 2xy - 9x2 =

- 4x3 - 12x2y2 - 11x3y + 3x4

± 4x3 6x2y2 ± 10x3y

- 18x2y2 - x3y + 3x4

± 18х2у2 27х3у ± 45х4

– 28x3y + 48x4 = font-size:14.0pt;line-height:150%"> Tāpēc ;

Atbilde: , .

Ņemiet vērā, ka, ja tiek atrasts šo polinomu lielākais kopējais dalītājs, tad reizinot to ar jebkuru skaitli, kas nav vienāds ar nulli, mēs arī iegūstam lielākais dalītājsšie polinomi. Šis apstāklis ​​ļauj vienkāršot aprēķinus Eiklida algoritmā. Proti, pirms nākamās dalīšanas dividendi jeb dalītāju var reizināt ar speciālā veidā izvēlētiem skaitļiem tā, lai koeficienta pirmā locekļa koeficients būtu vesels skaitlis. Kā parādīts iepriekš, dividendes un dalītāja reizināšana radīs atbilstošas ​​izmaiņas daļējā atlikumā, taču tā, ka rezultātā šo polinomu GCD tiks reizināts ar kādu skaitli, kas vienāds ar nulli, kas ir pieņemami.

3. piemērs

Samazināt frakciju .

Risinājums

Izmantojot Eiklida algoritmu, mēs iegūstam

X4 x3 ± 3x2 fonta izmērs: 14.0pt; līnijas augstums:150%> 4 1

2x3 + 6x2 + 3x - 2

fonta izmērs: 14.0pt; līnijas augstums:150%">2) 2 (x4 + x3 - 3x2 + 4) = 2x4 + 2x3 - 6x2 + 8 2x3 + 6x2 + 3x - 2

2x4 6x3 3x2 ± 2x x - 2

– 4x3 – 9x2 + 2x + 8

± 4x3 ± 12x2 ± 6x fonta izmērs: 14.0pt; līnijas augstums:150%">4

3x2 + 8x + 4

6x3 font-size:14.0pt">16x2 font-size:14.0pt">8x 2x +

Definīcija. Ja katrs no diviem polinomiem bez atlikuma dalās ar trešo, tad to sauc par pirmo divu kopējo dalītāju.

Lielākais kopīgais dalītājs (GCD) no diviem polinomiem ir to augstākās pakāpes kopējais dalītājs.

GCD var atrast, izmantojot nesamazināmu faktorizāciju vai izmantojot Eiklida algoritmu.

40. piemērs Atrodiet polinoma gcd
.

Risinājums. Faktorizēsim abus polinomus:

No paplašināšanas var redzēt, ka vēlamais gcd būs polinoms ( X– 1).

41. piemērs Atrodiet polinomu gcd
un
.

Risinājums. Faktorizēsim abus polinomus.

Polinomam
XX- 1) pēc Hornera shēmas.

Polinomam
iespējamās racionālās saknes ir 1, 2, 3 un 6. Aizstājot, mēs to pārbaudām X= 1 ir sakne. Sadaliet polinomu ar ( X- 1) pēc Hornera shēmas.

Tāpēc , kur kvadrāta trīsnoma paplašināšana
tika izgatavots pēc Vietas teorēmas.

Salīdzinot polinomu faktorizāciju, mēs atklājam, ka nepieciešamais gcd būs polinoms ( X– 1)(X– 2).

Līdzīgi var atrast GCD vairākiem polinomiem.

Tomēr GCD noteikšanas metode ar faktoringu ne vienmēr ir pieejama. Veidu, kā atrast GCD visiem gadījumiem, sauc par Eiklida algoritmu.

Eiklida algoritma shēma ir šāda. Viens no diviem polinomiem tiek dalīts ar otru, kura pakāpe nav augstāka par pirmā pakāpi. Turklāt katru reizi dividende tiek ņemta par polinomu, kas kalpoja kā dalītājs iepriekšējā operācijā, un atlikums, kas iegūts tās pašas darbības laikā, tiek ņemts par dalītāju. Šis process apstājas, tiklīdz atlikums ir nulle. Parādīsim šo algoritmu piemēros.

Apsveriet iepriekšējos divos piemēros izmantotos polinomus.

42. piemērs Atrodiet polinomu gcd
un
.

Risinājums. Sadalīsim
uz
"stūris":

x

Tagad sadalīsim dalītāju
par atlikušo daļu X– 1:

x+ 1

Tā kā pēdējā sadalīšana notika bez atlikuma, GCD būs X- 1, t.i., polinoms, ko šajā dalījumā izmanto kā dalītāju.

43. piemērs Atrodiet polinomu gcd
un
.

Risinājums. Lai atrastu GCD, mēs izmantojam Eiklida algoritmu. Sadalīsim
uz
"stūris":

1

Taisīsim otro dalīšanu. Lai to izdarītu, būtu jāsadala iepriekšējais dalītājs
par atlikušo daļu
, bet kopš
=
, ērtības labad sadalīsim polinomu
nav ieslēgts
, un tālāk
. No šādas aizstāšanas uzdevuma risinājums nemainīsies, jo polinomu pāra GCD tiek noteikts līdz nemainīgam koeficientam. Mums ir:

Atlikums izrādījās vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka pēdējais dalītājs, t.i., polinoms

un būs vēlamais GCD.

1. Daļējās racionālās funkcijas

2.5 definīcijas un apgalvojumus var atrast .

Daļēja racionāla funkcija ar reāliem koeficientiem ir formas izteiksme , kur
un
- polinomi.

Daļēji racionāla funkcija (turpmāk mēs to sauksim par "daļskaitli") tiek saukta pareizi, ja polinoma pakāpe skaitītājā ir stingri mazāka par polinoma pakāpi saucējā. Citādi to sauc nepareizi.

Algoritmu nepareizas daļskaitļa pārvēršanai par pareizu sauc par "veselā skaitļa daļas izvēli".

44. piemērs Atlasiet daļskaitļa veselo skaitļa daļu:
.

Risinājums. Lai izolētu daļskaitļa veselo skaitļu daļu, ir nepieciešams dalīt daļas skaitītāju ar tās saucēju. Mēs dalām šīs daļskaitļa skaitītāju ar tā saucēju ar “stūri”:

Tā kā iegūtā polinoma pakāpe ir mazāka par dalītāja pakāpi, dalīšanas process ir pabeigts. Galu galā:

=
. Iegūtā frakcija
ir pareizs.

formas daļa
sauc par vienkāršāko, ja φ( x ) ir nereducējams polinoms, un pakāpe
mazāka par jaudu φ( x ).

komentēt.Ņemiet vērā, ka tiek salīdzinātas skaitītāja un saucējā nereducējamā polinoma pakāpes (neņemot vērā α pakāpi).

Daļdaļām ar reāliem koeficientiem ir 4 vienkāršo daļu veidi:

Jebkura pareiza frakcija var attēlot kā vienkāršu daļskaitļu summu, kuru saucēji ir visi iespējamie dalītāji
.

Algoritms frakcijas sadalīšanai vienkāršākajās:

Ja frakcija ir nepareiza, mēs izvēlamies visu daļu, un iegūto pareizo daļu sadalām vienkāršās.

Izrēķiniet pareizas daļskaitļa saucēju.

Mēs rakstām pareizu daļskaitli kā vienkāršu daļskaitļu summu ar nenoteiktiem koeficientiem.

Mēs izveidojam kopsaucēju labās puses daļskaitļu summu.

Mēs atrodam nenoteiktus koeficientus:

Vai arī pielīdzinot koeficientus vienādām kreisā un labā reducētā skaitītāja pakāpēm;

Vai aizvietojot konkrētas (parasti to kopsaucēja saknes) vērtības x.

Mēs pierakstām atbildi, ņemot vērā visu frakcijas daļu.

45. piemērs Sadaliet to vienkāršā
.

Risinājums. Tā kā šī daļskaitļa-racionālā funkcija ir nepareiza, mēs izvēlamies veselo skaitļu daļu:

1

= 1 +
.

Sadalīsim iegūto daļu
uz visvienkāršāko. Pirmkārt, mēs izdalām saucēju. Lai to izdarītu, mēs atrodam tā saknes, izmantojot standarta formulu:

Daļēji racionālas funkcijas sadalīšanu vienkāršos, izmantojot nenoteiktus koeficientus:

Mēs apvienojam vienlīdzības labo pusi pie kopsaucēja:

Mēs veidojam sistēmu, vienādojot koeficientus ar vienādām pakāpēm kreisās un labās daļas skaitītājos:

Atbilde:
.

46. ​​piemērs Sadaliet to vienkāršā
.

Risinājums. Tā kā šī daļa ir pareiza (t.i., skaitītāja pakāpe ir mazāka par saucēja pakāpi), nav nepieciešams izvēlēties veselo skaitļa daļu. Faktorizēsim daļskaitļa saucēju:

Mēs rakstām šīs daļas paplašināšanu vienkāršos, izmantojot nenoteiktus koeficientus:

Saskaņā ar paziņojumu vienkāršāko daļskaitļu saucējiem jābūt visādi daļdaļas saucēja dalītāji:

. (2.2) Varētu sastādīt vienādojumu sistēmu, pielīdzinot kreisās un labās daļas skaitītājus, bet šis piemērs aprēķini būtu pārāk apgrūtinoši. Tos vienkāršot palīdzēs šāds triks: saucēja saknes pēc kārtas aizstājam ar skaitītājiem.

Plkst x = 1:

Plkst X= ‑1:

Tagad, lai noteiktu atlikušos koeficientus BET un NO pietiks pielīdzināt koeficientus augstākajā pakāpē un brīvajos terminos. Tos var atrast, neatverot iekavas:

Pirmā vienādojuma kreisā puse ir 0, jo (2.2) kreisās daļdaļas skaitītājā nav vārda ar , un vārda labajā daļā ar koeficients A + C. Otrā vienādojuma kreisajā pusē ir 0, jo (2.2) kreisās daļas skaitītājā brīvais vārds ir vienāds ar nulli, bet (2.2) labās daļas skaitītājā brīvais vārds ir (- A + B + C + D). Mums ir:

Atbilde:
.

1. Eiklida algoritms

Ja katrs no diviem polinomiem bez atlikuma dalās ar trešo, tad šo trešo polinomu sauc par pirmo divu kopējo dalītāju.

Divu polinomu lielākais kopīgais dalītājs (GCD) ir to lielākās pakāpes kopējais dalītājs.

Ņemiet vērā, ka jebkurš skaitlis, kas nav vienāds ar nulli, ir jebkuru divu polinomu kopīgs dalītājs. Tāpēc jebkuru skaitli, kas nav nulle, sauc par šo polinomu triviālu kopīgo dalītāju.

Eiklida algoritms piedāvā darbību secību, kas vai nu noved pie divu doto polinomu GCD atrašanas, vai arī parāda, ka šāds dalītājs pirmās vai lielākas pakāpes polinoma formā neeksistē.

Eiklida algoritms tiek realizēts kā iedalījumu secība. Pirmajā dalījumā lielākas pakāpes polinoms tiek uzskatīts par dividendi, bet mazākas pakāpes polinoms tiek uzskatīts par dalītāju. Ja polinomiem, kuriem ir atrasts GCD, ir vienāda pakāpe, tad dividende un dalītājs tiek izvēlēti patvaļīgi.

Ja nākamajā dalījumā polinoma atlikumā pakāpe ir lielāka vai vienāda ar 1, tad dalītājs kļūst dalāms, bet atlikums kļūst par dalītāju.

Ja nākamajā polinomu dalījumā iegūst atlikumu, kas vienāds ar nulli, tad tiek atrasts šo polinomu gcd. Tas ir dalītājs pēdējā sadalījumā.

Ja nākamajā polinomu dalījumā atlikums izrādās skaitlis, kas nav vienāds ar nulli, tad šiem polinomiem nav gcd, izņemot triviālos.

1. piemērs

Samazināt frakciju.

2. GCD aprēķinu vienkāršošanas iespējas Eiklida algoritmā

Reizinot dividendi ar skaitli, kas nav nulle, koeficients un atlikums tiek reizināti ar to pašu skaitli.

Pierādījums

Lai P ir dividende, F ir dalītājs, Q ir koeficients, R ir atlikums. Tad

Reizinot šo identitāti ar skaitli 0, mēs iegūstam

kur polinomu P var uzskatīt par dividendi, bet polinomus Q un R par koeficientu un atlikumu, kas iegūts, dalot polinomu P ar polinomu F. Tādējādi, reizinot dividendi ar skaitli 0, koeficients un atlikums tiek reizināti arī ar, h.t. d

Sekas

Dalītāja reizināšanu ar 0 var uzskatīt par dividendes reizināšanu ar skaitli.

Tāpēc, reizinot dalītāju ar skaitli, 0 ir koeficients, bet atlikums tiek reizināts ar.

2. piemērs

Atrodiet koeficientu Q un atlikumu R, dalot polinomus

dalīšanas polinoma algoritms eiklīds

Lai pārietu uz veselu skaitļu koeficientiem dividendē un dalītājā, reiziniet dividendi ar 6, kas reizinās vēlamo koeficientu Q un atlikušo R ar 6. Pēc tam reiziniet dalītāju ar 5, kas reizinās koeficientu 6Q un atlikušo daļu 6R. autors. Rezultātā koeficients un atlikums, kas iegūts, dalot polinomus ar veseliem skaitļiem, atšķirsies par koeficientu no vēlamajām koeficienta Q vērtībām un atlikuma R, kas iegūts, dalot šos polinomus.

Sekojoši, ;

Ņemiet vērā, ka, ja tiek atrasts šo polinomu lielākais kopīgais dalītājs, tad, reizinot to ar jebkuru skaitli, kas nav vienāds ar nulli, mēs iegūsim arī šo polinomu lielāko dalītāju. Šis apstāklis ​​ļauj vienkāršot aprēķinus Eiklida algoritmā. Proti, pirms nākamās dalīšanas dividendi jeb dalītāju var reizināt ar speciālā veidā izvēlētiem skaitļiem tā, lai koeficienta pirmā locekļa koeficients būtu vesels skaitlis. Kā parādīts iepriekš, dividendes un dalītāja reizināšana radīs atbilstošas ​​izmaiņas daļējā atlikumā, taču tā, ka rezultātā šo polinomu GCD tiks reizināts ar kādu skaitli, kas vienāds ar nulli, kas ir pieņemami.

Eiklida algoritms polinomiem. Eiklida algoritms ļauj atrast divu polinomu lielāko kopīgo dalītāju, t.i. lielākās pakāpes polinoms, ar kuru abi dotie polinomi dalās bez atlikuma.
Algoritms ir balstīts uz faktu, ka jebkuriem diviem polinomiem vienā un tajā pašā mainīgajā f(x) un g(x), ir šādi polinomi q(x) un r(x), ko attiecīgi sauc par koeficientu un atlikumu

f(x) = g(x)∙q(x) + r(x), (*)

atlikuma pakāpe ir mazāka par dalītāja, polinoma, pakāpi g(x), un turklāt atbilstoši dotajiem polinomiem f(x) un g(x) koeficients un atlikums ir unikāli atrasti. Ja vienādībā (*) atlikums r(x) ir vienāds ar nulles polinomu (nulle), tad mēs sakām, ka polinoms f(x) dalīts ar g(x) bez atlikuma.
Algoritms sastāv no secīgas dalīšanas ar pirmā polinoma atlikumu vispirms, f(x), otrkārt, g(x):

f(x) = g(x)∙q 1 (x) + r 1 (x), (1)

tad ja r 1 (x) ≠ 0, ir otrais dotais polinoms, g(x), uz pirmo atlikumu - uz polinomu r 1 (x):

g(x) = r 1 (x)∙q 2 (x) + r 2 (x), (2)

r 1 (x) = r 2 (x)∙q 3 (x) + r 3 (x), (3)

tad ja r 3 (x) ≠ 0, - otrais atlikums līdz trešajam:

r 2 (x) = r 3 (x)∙q 4 (x) + r 4 (x), (4)

utt. Tā kā katrā posmā nākamā atlikuma pakāpe samazinās, process nevar turpināties bezgalīgi, tāpēc kādā posmā mēs noteikti nonāksim pie situācijas, kad nākamā, n+ 1. atlikums r n+1 ir nulle:

Tad pēdējais atlikums, kas nav nulle r n un būs sākotnējā polinomu pāra lielākais kopīgais dalītājs f(x) un g(x).
Patiešām, ja vienlīdzības dēļ ( n+ 2) aizstāt 0 ar r n + 1 (x) vienlīdzībā ( n+ 1), tad iegūtā vienādība r n – 1 (x) = r n (x)∙q n + 1 (x) tā vietā r n – 1 (x) vienlīdzībā ( n), izrādās, ka r n – 2 (x) = r n (x)∙q n + 1 (x) q n (x) + r n (x), t.i. r n – 2 (x) = r n (x)(q n + 1 (x) q n (x) + 1) utt. Vienādībā (2) pēc aizstāšanas iegūstam to g(x) = r n (x)∙J(x), un, visbeidzot, no vienlīdzības (1), ka f(x) = r n (x)∙S(x), kur J un S ir daži polinomi. Pa šo ceļu, r n (x) ir divu sākotnējo polinomu kopējais dalītājs, un fakts, ka tas ir lielākais (tas ir, pēc iespējas lielākā mērā), izriet no algoritma procedūras.
Ja divu polinomu lielākais kopīgais dalītājs nesatur mainīgo (t.i., ir skaitlis), sākotnējie polinomi f(x) un g(x) tiek saukti koprime.