Il trinomio quadrato e il suo grafico. Trinomi quadrati e parametri. Grafici di una funzione quadratica e coefficienti di un trinomio quadrato

Da corso scolastico I matematici sanno che un trinomio quadrato è inteso come espressione della forma

ax 2 + bx + c, dove a ≠ 0.

Le radici di questo trinomio sono calcolate dalla formula: X 1.2 = (-b ± √D) / (2a), dove D = b 2 - 4ac.

chiamata D discriminante. Lui ha essenziale per risolvere problemi su questo argomento, poiché determina il numero di radici del trinomio.

Ce ne sono due - se D > 0, uno - se D = 0(a volte dicono che due sono uguali, cioè x 1 \u003d x 2 \u003d -b / (2a)), e se D< 0, то действительных корней нет.

Una funzione della forma (*) y \u003d ax 2 + bx + c, dove a ≠ 0 è chiamato quadratico. Il suo grafico è una parabola i cui rami sono diretti verso l'alto se a > 0 e verso il basso se a< 0. Корни соответствующего квадратного трехчлена есть нули функции, т.е. точки пересечения параболы с осью ОХ. Il punto di intersezione della parabola con l'asse y - s. È facile determinare le coordinate del vertice della parabola (m ;n).

m = (x 1 + x 2)/2 o (**) m = -b/(2a).

n può essere calcolato sostituendo il valore di m invece di x nella formula

y \u003d ax 2 + bx + c, oppure usa la formula y \u003d -D / (4a).

Se individuiamo un quadrato intero in un trinomio quadrato, allora m e n saranno esplicitamente presenti nella notazione: (***) y = a(x - m) 2 + n.

Contiene quasi tutto il materiale di riferimento necessario per risolvere i problemi sull'argomento indicato. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di attività.

Esempio 1

Per quali valori di a si trova il vertice della parabola y = (x - 13a) 2 - a 2 + 6a + 16 nel secondo quarto del piano delle coordinate?

Soluzione.

La funzione quadratica è scritta sotto forma di un quadrato pieno distinto (***).

Allora è chiaro che m = 13a e n = -a 2 + 6a + 16. Perché il vertice di coordinate (m; n) si trovi nel secondo quarto, è necessario che m< 0, n >0. Le condizioni devono essere soddisfatte contemporaneamente. Pertanto, risolviamo il sistema delle disuguaglianze:

(13 bis< 0,
(-a 2 + 6a + 16 > 0

Dalla prima disuguaglianza abbiamo a< 0. Второе решаем методом интервалов или путем графического представления. Не зависимо от способа, получаем его решение: а Є (-2: 8). Решение системы неравенств есть пересечение (общая часть) полученных решений:а Є (-2: 0).

Risposta: per tutti un Є (-2: 0) o per -2< a < 0.

Esempio 2

A quali valori del parametro a valore più alto funzione y = ax 2 – 2x + 7a è uguale a 6?

Soluzione.

La funzione quadratica avrà il valore più grande solo se i rami della parabola sono diretti verso il basso (cioè a< 0) и достигнет его функция в вершине параболы. Иначе говоря, y max = n = 6 достигается при х = m. Исходя из формулы (**), имеем

m = 2/2 bis. D = 4 - 28a 2 .

Allora n = (28a 2 – 4)/4a = (7a 2 – 1)/a = 6; o 7a 2 - 1 = 6a.

Dopo aver risolto l'equazione risultante, abbiamo un \u003d 1 o un \u003d -1/7. Ma a = 1 non soddisfa la prima condizione.

Risposta: quando a = -1/7.

Esempio 3

Trova il numero di valori interi del parametro a per cui l'equazione
a) |x 2 - 8x + 7| = a 2 ; b) |x 2 – 6|x| – 16| = a 2 + 9 ha 4 radici.

Soluzione.

a) Qui il modo più breve per risolvere è grafico. Il piano è:

1. Costruiamo un grafico della funzione y \u003d x 2 - 8x + 7 (parabola).

2. Allora y = |x 2 - 8x + 7| (visualizziamo la parte inferiore del grafico relativa a OX).

L'ulteriore corso della soluzione è evidente dalla figura. La linea attraverserà il grafico in quattro punti se 0< a 2 < 9 или a = ±1; a = ±2.

Risposta: 4.

b) La soluzione di questo esempio viene eseguita secondo lo stesso schema. L'unica differenza è che quando si traccia la funzione y = |x 2 – 6|x| – 16| dovrai fare due mappature: relativa all'OX della parte inferiore del grafico e relativa all'OC - a destra. Se tracciate correttamente il grafico, troverete facilmente 7 soluzioni:
a = 0; a = ±1; a = ±2; a = ±4;

Esempio 4

A quali valori di un grafico trinomio quadrato y \u003d ax 2 + (a - 3) x + a si trova sopra l'asse x?

Soluzione.

Facciamo i seguenti argomenti. Il grafico di un trinomio quadrato giace al di sopra dell'asse OX solo se i rami della parabola sono diretti verso l'alto, cioè

a > 0 (*), e la parabola non interseca l'asse OX, cioè D< 0 или

(à – 3) 2 – 4à 2< 0 → (-a – 3)(3a – 3) < 0 → (a + 3)(3a – 3) >0 → un Є (-∞; -3) o (1; ∞). Tenendo conto della condizione (*), otteniamo una Є (1; ∞).

Risposta: una Є (1; ∞).

Esempio 5

Per quali valori di a il grafico di un trinomio quadrato y \u003d ax 2 + (a - 3)x + a ha due punti in comune con la parte positiva dell'asse OX?

Soluzione.

Trattiamo le condizioni per i coefficienti: (vedi figura sotto)

1. Otteniamo due punti di intersezione con l'asse OX se
Re > 0 → (la – 3)2 – 4a2 > 0

2. I punti saranno sullo stesso lato dello zero se i rami sono in alto e f(0) = a > 0 o se i rami sono in basso e f(0) = a< 0

3. Entrambe le radici saranno positive se la coordinata x del vertice è positiva, cioè m = -(a - 3)/(2a) > 0.

Sulla base di quanto sopra, le nostre condizioni saranno ridotte alla risoluzione di due sistemi:

Primo sistema:

((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(a > 0,
(-(a - 3)/(2a) > 0

Semplificando, otteniamo:

((3a - 3)(a + 3)< 0,
(a > 0,
((a - 3)< 0

(un Є (-3; 1),
(а Є (0; ∞),
(un Є (-∞; 3)

e decisione comune sistemi a Є(0; 1).

Secondo sistema:

((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(un< 0,
(-(a - 3)/(2a) > 0

Semplificando, otteniamo:

((3a - 3)(a + 3)< 0,
(un< 0,
((a - 3) > 0

Soluzioni a ciascuna delle disuguaglianze:

(un Є (-3; 1)
(un Є (-∞; 0)
(un Є (3; ∞)

e il sistema non ha soluzioni

Così il nostro la parabola ha due punti in comune con la direzione positiva dell'asse OX se il parametro a è Є (0; 1).

Esempio 6

A quali valori di a sono le radici dell'equazione 4a 2 x 2 - 8ax + 4 - 9a 2 \u003d 0 maggiore di 3?

Consideriamo il grafico di un trinomio quadrato y \u003d 4a 2 x 2 - 8ax + 4 - 9a 2.

Costruiamo un piano per risolvere questo compito secondo il modello dell'esempio precedente.

1. Otteniamo due punti di intersezione con l'asse OX se D > 0 e a ≠ 0.

2. I rami qui sono sempre diretti solo verso l'alto.
(quando a ≠ 0; 4a 2 > 0).

3. I punti saranno sullo stesso lato di 3 se f(3) > 0.
(36à 2 – 24à + 4 – 9à 2 > 0).

4. Entrambe le radici saranno maggiori di (a destra di) tre se la coordinata x del vertice è maggiore di (a destra di) tre, cioè m \u003d 8a / (8a 2)\u003e 3.

Se usi correttamente questi termini, allora Rispondere prendi questo: a Є(0;2/9). Dai un'occhiata.

Spero che ora diventi chiaro al lettore quanto sia importante poter vedere bene le proprietà di una parabola quando si risolvono problemi di questo tipo.

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