Čo znamená matematický model situácie. Matematické modely úloh lineárneho programovania. Redukcia všeobecného problému lineárneho programovania na kanonickú formu

V článku, ktorý sme vám dali do pozornosti, ponúkame príklady matematických modelov. Okrem toho budeme venovať pozornosť fázam vytvárania modelov a analyzovať niektoré problémy spojené s matematickým modelovaním.

Ďalšou našou otázkou sú matematické modely v ekonómii, ktorých príklady budeme uvažovať o definícii o niečo neskôr. Navrhujeme začať náš rozhovor samotným pojmom „model“, stručne zvážiť ich klasifikáciu a prejsť k našim hlavným otázkam.

pojem "model"

Často počujeme slovo „modelka“. Čo je to? Tento pojem má veľa definícií, tu sú len tri z nich:

  • špecifický objekt, ktorý je vytvorený na prijímanie a uchovávanie informácií, odrážajúcich niektoré vlastnosti alebo charakteristiky, a tak ďalej, originálu tohto objektu (tento špecifický objekt môže byť vyjadrený v rôznych formách: mentálna, popis pomocou znakov atď.);
  • model znamená aj zobrazenie akejkoľvek konkrétnej situácie, života alebo riadenia;
  • malá kópia objektu môže slúžiť ako model (sú vytvorené na podrobnejšie štúdium a analýzu, pretože model odráža štruktúru a vzťahy).

Na základe všetkého, čo bolo povedané skôr, môžeme vyvodiť malý záver: model vám umožňuje podrobne študovať zložitý systém alebo objekt.

Všetky modely možno klasifikovať podľa niekoľkých funkcií:

  • podľa oblasti použitia (vzdelávacie, experimentálne, vedecko-technické, herné, simulačné);
  • podľa dynamiky (statickej a dynamickej);
  • podľa odvetvia vedomostí (fyzikálne, chemické, geografické, historické, sociologické, ekonomické, matematické);
  • podľa spôsobu prezentácie (vecného a informačného).

Informačné modely sa zas delia na znakové a verbálne. A ikonické – na počítači aj mimo počítača. Teraz prejdime k podrobnému zváženiu príkladov matematického modelu.

Matematický model

Ako asi tušíte, matematický model odráža niektoré vlastnosti objektu alebo javu pomocou špeciálnych matematických symbolov. Matematika je potrebná na modelovanie zákonov sveta v jeho vlastnom špecifickom jazyku.

Metóda matematického modelovania vznikla pomerne dávno, pred tisíckami rokov, spolu s príchodom tejto vedy. Impulz k rozvoju tejto metódy modelovania však dal vzhľad počítačov (elektronických počítačov).

Teraz prejdime ku klasifikácii. Môže sa vykonávať aj podľa niektorých znakov. Sú uvedené v tabuľke nižšie.

Navrhujeme zastaviť sa a pozrieť sa bližšie na poslednú klasifikáciu, pretože odráža všeobecné vzorce modelovania a ciele vytváraných modelov.

Opisné modely

V tejto kapitole sa navrhujeme podrobnejšie venovať deskriptívnym matematickým modelom. Aby bolo všetko veľmi jasné, uvedieme príklad.

Na začiatok možno tento pohľad nazvať deskriptívnym. Je to spôsobené tým, že jednoducho robíme výpočty a prognózy, no výsledok akcie nemôžeme nijako ovplyvniť.

Pozoruhodným príkladom popisného matematického modelu je výpočet dráhy letu, rýchlosti a vzdialenosti od Zeme kométy, ktorá vtrhla do priestorov našej slnečnej sústavy. Tento model je popisný, keďže všetky získané výsledky nás môžu len varovať pred nejakým druhom nebezpečenstva. Výsledok akcie bohužiaľ nevieme ovplyvniť. Na základe získaných výpočtov je však možné prijať akékoľvek opatrenia na zachovanie života na Zemi.

Optimalizačné modely

Teraz si povieme niečo o ekonomických a matematických modeloch, ktorých príkladmi môžu byť rôzne situácie. V tomto prípade rozprávame sa o modeloch, ktoré pomáhajú nájsť správnu odpoveď v určitých podmienkach. Musia mať nejaké parametre. Aby to bolo úplne jasné, zvážte príklad z agrárnej časti.

Máme sýpku, ale obilie sa veľmi rýchlo kazí. V tomto prípade si musíme vybrať správne teplotný režim a optimalizovať proces skladovania.

Môžeme teda definovať pojem „model optimalizácie“. V matematickom zmysle ide o sústavu rovníc (lineárnych aj nelineárnych), ktorých riešenie pomáha nájsť optimálne riešenie v konkrétnej ekonomickej situácii. Uvažovali sme o príklade matematického modelu (optimalizácie), ale rád by som dodal ešte jednu vec: tento typ patrí do triedy extrémnych problémov, pomáhajú opísať fungovanie ekonomického systému.

Všimli sme si ešte jednu nuanciu: modely môžu mať inú povahu (pozri tabuľku nižšie).

Multikriteriálne modely

Teraz vás pozývame, aby ste sa trochu porozprávali o matematickom modeli viaccieľovej optimalizácie. Predtým sme uviedli príklad matematického modelu na optimalizáciu procesu podľa ktoréhokoľvek kritéria, ale čo ak ich je veľa?

Pozoruhodným príkladom multikriteriálnej úlohy je organizácia správnej, zdravej a zároveň ekonomickej výživy veľkých skupín ľudí. S takýmito úlohami sa často stretávame v armáde, školských jedálňach, letných táboroch, nemocniciach a pod.

Aké kritériá máme v tejto úlohe?

  1. Jedlo by malo byť zdravé.
  2. Výdavky na jedlo by mali byť minimálne.

Ako vidíte, tieto ciele sa vôbec nezhodujú. To znamená, že pri riešení problému je potrebné hľadať optimálne riešenie, rovnováhu medzi týmito dvoma kritériami.

Herné modely

Keď už hovoríme o herných modeloch, je potrebné pochopiť pojem „teória hier“. Jednoducho povedané, tieto modely odrážajú matematické modely skutočných konfliktov. Stojí za to pochopiť, že na rozdiel od skutočného konfliktu má herný matematický model svoje špecifické pravidlá.

Teraz uvediem minimum informácií z teórie hier, ktoré vám pomôžu pochopiť, čo je herný model. A tak sú v modeli nevyhnutne strany (dve alebo viac), ktoré sa zvyčajne nazývajú hráči.

Všetky modely majú určité vlastnosti.

Herný model môže byť párový alebo viacnásobný. Ak máme dva subjekty, konflikt je spárovaný, ak je viac - viacnásobný. Dá sa rozlíšiť aj antagonistická hra, nazýva sa aj hra s nulovým súčtom. Ide o model, v ktorom sa zisk jedného z účastníkov rovná strate druhého.

simulačné modely

V tejto časti sa zameriame na simulačné matematické modely. Príklady úloh sú:

  • model dynamiky počtu mikroorganizmov;
  • model molekulárneho pohybu a pod.

V tomto prípade hovoríme o modeloch, ktoré sú čo najbližšie k reálnym procesom. Vo všeobecnosti napodobňujú akýkoľvek prejav v prírode. V prvom prípade môžeme napríklad modelovať dynamiku počtu mravcov v jednej kolónii. V tomto prípade môžete sledovať osud každého jednotlivca. V tomto prípade sa matematický popis používa zriedka, častejšie existujú písomné podmienky:

  • po piatich dňoch samica znáša vajíčka;
  • po dvadsiatich dňoch mravec uhynie atď.

Tak sa používa na opis veľký systém. Matematickým záverom je spracovanie získaných štatistických údajov.

Požiadavky

Je veľmi dôležité vedieť čo tento druh modely majú určité požiadavky, medzi ktoré patria tie, ktoré sú uvedené v tabuľke nižšie.

Všestrannosť

Táto vlastnosť vám umožňuje použiť rovnaký model pri popise skupín objektov rovnakého typu. Je dôležité poznamenať, že univerzálne matematické modely sú úplne nezávislé fyzickej povahy skúmaný objekt

Primeranosť

Tu je dôležité pochopiť, že táto vlastnosť umožňuje čo najsprávnejšiu reprodukciu reálnych procesov. V prevádzkových úlohách je táto vlastnosť matematického modelovania veľmi dôležitá. Príkladom modelu je proces optimalizácie využitia plynového systému. V tomto prípade sa porovnávajú vypočítané a skutočné ukazovatele, v dôsledku čoho sa skontroluje správnosť zostaveného modelu.

Presnosť

Táto požiadavka implikuje zhodu hodnôt, ktoré získame pri výpočte matematického modelu a vstupných parametrov nášho reálneho objektu.

hospodárstva

Požiadavka hospodárnosti každého matematického modelu je charakterizovaná nákladmi na implementáciu. Ak sa práca s modelom vykonáva ručne, potom je potrebné vypočítať, koľko času zaberie vyriešenie jedného problému pomocou tohto matematického modelu. Ak hovoríme o počítačom podporovanom dizajne, vypočítajú sa ukazovatele času a pamäte počítača

Kroky modelovania

Celkovo je v matematickom modelovaní zvykom rozlišovať štyri stupne.

  1. Formulácia zákonov spájajúcich časti modelu.
  2. Štúdium matematických problémov.
  3. Zistenie zhody praktických a teoretických výsledkov.
  4. Analýza a modernizácia modelu.

Ekonomický a matematický model

V tejto časti stručne upozorníme na problém. Príklady úloh môžu byť:

  • tvorba výrobného programu na výrobu mäsových výrobkov, zabezpečenie maximálneho zisku výroby;
  • maximalizácia zisku organizácie výpočtom optimálneho počtu stolov a stoličiek, ktoré sa majú vyrobiť v továrni na nábytok atď.

Ekonomicko-matematický model zobrazuje ekonomickú abstrakciu, ktorá je vyjadrená pomocou matematických pojmov a znakov.

Počítačový matematický model

Príklady počítačového matematického modelu sú:

  • úlohy hydrauliky pomocou vývojových diagramov, diagramov, tabuliek atď.;
  • problémy s pevnou mechanikou atď.

Počítačový model je obraz objektu alebo systému, prezentovaný ako:

  • tabuľky;
  • blokové schémy;
  • diagramy;
  • grafika a pod.

Tento model zároveň odráža štruktúru a prepojenia systému.

Budovanie ekonomického a matematického modelu

O tom, čo je ekonomicko-matematický model, sme už hovorili. Práve teraz sa zváži príklad riešenia problému. Musíme analyzovať výrobný program, aby sme identifikovali rezervu na zvýšenie zisku s posunom v sortimente.

Nebudeme sa plne zaoberať problémom, ale iba zostavíme ekonomický a matematický model. Kritériom našej úlohy je maximalizácia zisku. Potom má funkcia tvar: Л=р1*х1+р2*х2… smerujúce k maximu. V tomto modeli p je zisk na jednotku, x je počet vyrobených jednotiek. Ďalej, na základe skonštruovaného modelu, je potrebné vykonať výpočty a zhrnúť.

Príklad zostavenia jednoduchého matematického modelu

Úloha. Rybár sa vrátil s týmto úlovkom:

  • 8 rýb - obyvateľov severných morí;
  • 20% úlovku - obyvatelia južných morí;
  • z miestnej rieky sa nenašla ani jedna ryba.

Koľko rýb kúpil v obchode?

Takže príklad konštrukcie matematického modelu tohto problému je nasledujúci. Celkový počet rýb označíme ako x. Podľa podmienky 0,2x je počet rýb žijúcich v južných zemepisných šírkach. Teraz skombinujeme všetky dostupné informácie a dostaneme matematický model úlohy: x=0,2x+8. Vyriešime rovnicu a dostaneme odpoveď na hlavnú otázku: kúpil 10 rýb v obchode.

Matematické modely

Matematický model - približné opipopis objektu modelovania, vyjadrený pomocouschyu matematická symbolika.

Matematické modely sa objavili spolu s matematikou pred mnohými storočiami. Obrovský impulz pre rozvoj matematického modelovania dal vzhľad počítačov. Použitie počítačov umožnilo analyzovať a uviesť do praxe mnohé matematické modely, ktoré predtým neboli prístupné analytickému výskumu. Počítačom implementovaná matematikamodel oblohy volal počítačový matematický model, a vykonávanie cielených výpočtov pomocou počítačového modelu volal výpočtový experiment.

Etapy počítačovej matematickej movymazanie znázornené na obrázku. najprvetapa - definovanie cieľov modelovania. Tieto ciele môžu byť rôzne:

  1. model je potrebný na pochopenie toho, ako konkrétny objekt funguje, aká je jeho štruktúra, základné vlastnosti, zákonitosti vývoja a interakcie
    s vonkajším svetom (porozumenie);
  2. model je potrebný na to, aby sme sa naučili riadiť objekt (alebo proces) a určili najlepšie spôsoby riadenia pre dané ciele a kritériá (manažment);
  3. model je potrebný na predpovedanie priamych a nepriamych dôsledkov implementácie špecifikovaných metód a foriem vplyvu na objekt (prognózovanie).
Vysvetlíme na príkladoch. Nech je predmetom skúmania interakcia prúdu kvapaliny alebo plynu s telesom, ktoré je prekážkou tohto prúdenia. Skúsenosti ukazujú, že sila odporu voči prúdeniu zo strany telesa sa zvyšuje so zvyšujúcou sa rýchlosťou prúdenia, ale pri určitej dostatočne vysokej rýchlosti táto sila prudko klesá, aby sa opäť zvýšila s ďalším zvýšením rýchlosti. Čo spôsobilo zníženie odporovej sily? Matematické modelovanie nám umožňuje získať jasnú odpoveď: v momente prudkého poklesu odporu sa od neho začnú odtrhávať víry vznikajúce v prúdení kvapaliny alebo plynu za prúdnicovým telesom a sú prúdením unášané preč.

Príklad z úplne inej oblasti: pokojne spolunažívajúce so stabilnými počtami populácií dvoch druhov jedincov so spoločnou potravnou základňou, začnú „zrazu“ dramaticky meniť svoje počty. A tu matematické modelovanie umožňuje (s istou mierou istoty) stanoviť príčinu (alebo aspoň vyvrátiť určitú hypotézu).

Rozvoj koncepcie riadenia objektov je ďalším možným cieľom modelovania. Aký režim letu lietadla zvoliť, aby bol let bezpečný a ekonomicky najvýhodnejší? Ako naplánovať stovky druhov prác na výstavbe veľkého zariadenia tak, aby sa čo najskôr skončilo? Mnoho takýchto problémov systematicky vyvstáva pred ekonómami, dizajnérmi a vedcami.

Napokon, predpovedanie dôsledkov určitých dopadov na objekt môže byť tak relatívne jednoduchou záležitosťou v jednoduchých fyzikálnych systémoch, ako aj extrémne zložitou – na hranici realizovateľnosti – v biologických, ekonomických, sociálnych systémoch. Ak je pomerne ľahké odpovedať na otázku o zmene spôsobu šírenia tepla v tenkej tyči so zmenami v jej zliatine, potom je neporovnateľne ťažšie vysledovať (predpovedať) environmentálne a klimatické dôsledky konštrukcie tyče. veľká vodná elektráreň či sociálne dôsledky zmien v daňovej legislatíve. Možno aj tu budú v budúcnosti výraznejšie pomáhať metódy matematického modelovania.

Druhá fáza: definícia vstupných a výstupných parametrov modelu; rozdelenie vstupných parametrov podľa miery dôležitosti vplyvu ich zmien na výstup. Tento proces sa nazýva hodnotenie alebo rozdelenie podľa hodnotenia (pozri nižšie). „Formalisatvorba a modelovanie").

Tretia etapa: konštrukcia matematického modelu. V tejto fáze dochádza k prechodu od abstraktnej formulácie modelu k formulácii, ktorá má špecifické matematická reprezentácia. Matematickým modelom sú rovnice, sústavy rovníc, sústavy nerovníc, diferenciálne rovnice alebo sústavy takýchto rovníc atď.

Štvrtá etapa: výber metódy na štúdium matematického modelu. Najčastejšie sa tu používajú numerické metódy, ktoré sa hodia na programovanie. Na riešenie toho istého problému je spravidla vhodných niekoľko metód, ktoré sa líšia presnosťou, stabilitou atď. Úspešnosť celého procesu modelovania často závisí od správneho výberu metódy.

Piata etapa: vývoj algoritmu, kompilácia a ladenie počítačového programu je proces, ktorý sa ťažko formalizuje. Z programovacích jazykov mnohí profesionáli v oblasti matematického modelovania uprednostňujú FORTRAN: tak kvôli tradícii, ako aj kvôli neprekonateľnej efektivite kompilátorov (pre výpočtovú prácu) a prítomnosti obrovských, starostlivo odladených a optimalizovaných knižníc štandardných programov napísaných v ňom matematické metódy. Používajú sa aj jazyky ako PASCAL, BASIC, C, v závislosti od povahy úlohy a sklonov programátora.

Šiesta etapa: testovanie programu. Fungovanie programu je testované na testovacom probléme so známou odpoveďou. Toto je len začiatok testovacieho postupu, ktorý je ťažké opísať formálne vyčerpávajúcim spôsobom. Zvyčajne sa testovanie končí, keď používateľ podľa svojich profesionálnych vlastností považuje program za správny.

Siedma etapa: skutočný výpočtový experiment, počas ktorého sa ukáže, či model zodpovedá reálnemu objektu (procesu). Model je dostatočne adekvátny skutočnému procesu, ak sa niektoré charakteristiky procesu získané na počítači zhodujú s experimentálne získanými charakteristikami s daným stupňom presnosti. Ak model nezodpovedá skutočnému procesu, vrátime sa k jednej z predchádzajúcich fáz.

Klasifikácia matematických modelov

Klasifikácia matematických modelov môže byť založená na rôznych princípoch. Modely je možné klasifikovať podľa vedných odborov (matematické modely vo fyzike, biológii, sociológii atď.). Možno ho klasifikovať podľa aplikovaného matematického aparátu (modely založené na použití obyčajných diferenciálnych rovníc, parciálnych diferenciálnych rovníc, stochastických metód, diskrétnych algebraických transformácií atď.). Napokon, ak vychádzame zo všeobecných úloh modelovania v rôznych vedách, bez ohľadu na matematický aparát, najprirodzenejšia je nasledujúca klasifikácia:

  • deskriptívne (opisné) modely;
  • optimalizačné modely;
  • multikriteriálne modely;
  • herné modely.

Vysvetlime si to na príkladoch.

Deskriptívne (deskriptívne) modely. Napríklad modelovanie pohybu kométy, ktorá vtrhla slnečná sústava, sa robí s cieľom predpovedať trajektóriu svojho letu, vzdialenosť, v ktorej preletí od Zeme atď. V tomto prípade sú ciele modelovania popisné, keďže neexistuje spôsob, ako ovplyvniť pohyb kométy, niečo v nej zmeniť.

Optimalizačné modely sa používajú na opis procesov, ktoré je možné ovplyvniť v snahe dosiahnuť daný cieľ. V tomto prípade model obsahuje jeden alebo viac parametrov, ktoré je možné ovplyvniť. Napríklad zmenou tepelného režimu v sýpke si možno stanoviť za cieľ zvoliť taký režim, aby sa dosiahlo maximálne zachovanie zrna, t.j. optimalizovať proces skladovania.

Multikriteriálne modely. Často je potrebné optimalizovať proces vo viacerých parametroch súčasne a ciele môžu byť veľmi protichodné. Napríklad pri znalosti cien potravín a potravinovej potreby človeka je potrebné organizovať stravovanie pre veľké skupiny ľudí (v armáde, detskom letnom tábore a pod.) fyziologicky správne a zároveň čo najlacnejšie. Je jasné, že tieto ciele sa vôbec nezhodujú; pri modelovaní sa použije viacero kritérií, medzi ktorými treba hľadať rovnováhu.

Herné modely môže súvisieť nielen s počítačovými hrami, ale aj s veľmi vážnymi vecami. Napríklad, ak sú pred bitkou neúplné informácie o nepriateľskej armáde, veliteľ musí vypracovať plán: v akom poradí priviesť určité jednotky do boja atď., berúc do úvahy možnú reakciu nepriateľa. Existuje špeciálna sekcia modernej matematiky - teória hier - ktorá študuje metódy rozhodovania v podmienkach neúplných informácií.

V školský kurz Informatiky, študenti získajú počiatočné pochopenie počítačového matematického modelovania v rámci základný kurz. Na strednej škole je možné matematické modelovanie do hĺbky študovať vo všeobecnom vzdelávacom kurze pre hodiny fyziky a matematiky, ako aj v rámci špecializovaného voliteľného kurzu.

Hlavnými formami výučby počítačového matematického modelovania na strednej škole sú prednášky, laboratórne a zápočtové hodiny. Zvyčajne práca na tvorbe a príprave na štúdium každého nového modelu trvá 3-4 lekcie. V priebehu prezentácie materiálu sú stanovené úlohy, ktoré by v budúcnosti mali študenti riešiť samostatne, vo všeobecnosti sú načrtnuté spôsoby ich riešenia. Formulujú sa otázky, na ktoré je potrebné získať odpovede pri plnení úloh. Je uvedená ďalšia literatúra, ktorá umožňuje získať pomocné informácie pre úspešnejšie splnenie úloh.

Formou organizovania tried pri štúdiu nového materiálu je zvyčajne prednáška. Po ukončení diskusie o ďalšom modeli študentov mať k dispozícii potrebné teoretické informácie a súbor úloh pre ďalšiu prácu. Žiaci si pri príprave na úlohu zvolia vhodný spôsob riešenia, pomocou nejakého známeho súkromného riešenia otestujú vyvinutý program. V prípade celkom možných ťažkostí pri plnení úloh sa poskytuje konzultácia, navrhuje sa podrobnejšie rozpracovať tieto časti v literatúre.

Najrelevantnejšie pre praktickú časť školenia počítačová simulácia je projektová metóda. Úloha je formulovaná pre študenta vo forme vzdelávacieho projektu a prebieha počas niekoľkých vyučovacích hodín, pričom hlavnou organizačnou formou je v tomto prípade práca v laboratóriu na počítači. Tréning modelovania pomocou metódy vzdelávacieho projektu je možné realizovať na rôzne úrovne. Prvým je problémové vyjadrenie procesu realizácie projektu, ktorý vedie učiteľ. Druhým je realizácia projektu žiakmi pod vedením pedagóga. Treťou je samostatná realizácia projektu pedagogického výskumu študentmi.

Výsledky práce by mali byť prezentované v číselnej forme, vo forme grafov, diagramov. Ak je to možné, proces je prezentovaný na obrazovke počítača v dynamike. Na konci výpočtov a získaných výsledkov sa analyzujú a porovnávajú známe fakty z teórie sa potvrdí spoľahlivosť a vykoná sa zmysluplná interpretácia, ktorá sa následne premietne do písomnej správy.

Ak výsledky uspokoja žiaka a učiteľa, tak prácu počíta a jeho poslednou fázou je príprava správy. Správa obsahuje stručné teoretické informácie o skúmanej téme, matematickú formuláciu problému, algoritmus riešenia a jeho zdôvodnenie, počítačový program, výsledky programu, analýzu výsledkov a záverov, zoznam literatúry.

Keď sú všetky správy zostavené, na testovacej hodine študenti hovoria s krátke správy o vykonanej práci, obhájiť svoj projekt. Ide o efektívnu formu hlásenia projektového tímu triede, vrátane stanovenia problému, zostavenia formálneho modelu, výberu metód práce s modelom, implementácie modelu na počítači, práce s hotovým modelom, interpretácie výsledkov, predpovedanie. Výsledkom je, že študenti môžu získať dva stupne: prvý - za vypracovanie projektu a úspešnosť jeho obhajoby, druhý - za program, optimálnosť jeho algoritmu, rozhrania atď. Študenti získavajú známky aj v rámci teoretických prieskumov.

Podstatnou otázkou je, aké nástroje použiť v školskom kurze informatiky na matematické modelovanie? Počítačová implementácia modelov môže byť vykonaná:

  • pomocou tabuľky (zvyčajne MS Excel);
  • vytváraním programov v tradičných programovacích jazykoch (Pascal, BASIC atď.), ako aj v ich moderných verziách (Delphi, Visual
    Základné pre aplikáciu atď.);
  • pomocou špeciálnych softvérových balíkov na riešenie matematických úloh (MathCAD a pod.).

Na úrovni základnej školy sa javí ako preferovaný prvý liek. Avšak v stredná škola Keď je programovanie spolu s modelovaním kľúčovou témou informatiky, je žiaduce zapojiť ho ako modelovací nástroj. V procese programovania sa študentom sprístupnia detaily matematických postupov; navyše sú jednoducho nútení ich ovládať a aj to prispieva k matematickému vzdelaniu. Pokiaľ ide o použitie špeciálnych softvérových balíkov, je to vhodné v profilovom kurze informatiky ako doplnok k iným nástrojom.

Cvičenie :

  • Načrtnite kľúčové pojmy.

Predstavte si lietadlo: krídla, trup, chvost, to všetko dohromady - skutočné obrovské, obrovské, celé lietadlo. A môžete si vyrobiť model lietadla, malý, ale všetko je skutočné, rovnaké krídla atď., Ale kompaktné. Rovnako aj matematický model. existuje textová úloha, ťažkopádne, dá sa na to pozerať, čítať, ale nie celkom rozumieť, ba čo viac, nie je jasné, ako to vyriešiť. Čo ak však z veľkého slovného problému urobíme jeho malý model, matematický model? Čo znamená matematický? Takže pomocou pravidiel a zákonov matematického zápisu prerobte text do logicky správnej reprezentácie pomocou čísel a aritmetických znamienok. takze Matematický model je reprezentácia reálnej situácie pomocou matematického jazyka.

Začnime jednoducho: Číslo je väčšie ako číslo o. Musíme si to zapísať bez použitia slov, len jazykom matematiky. Ak viac o, potom sa ukáže, že ak odpočítame, potom samotný rozdiel týchto čísel zostane rovnaký. Tie. alebo. Chápeš podstatu?

Teraz je to zložitejšie, teraz bude text, ktorý by ste sa mali pokúsiť prezentovať vo forme matematického modelu, kým si neprečítate, ako to urobím, skúste to sami! Existujú štyri čísla: , a. Produkt a viac produktov a dvakrát.

Čo sa stalo?

Vo forme matematického modelu to bude vyzerať takto:

Tie. produkt je príbuzný ako dva ku jednej, ale to možno ďalej zjednodušiť:

Dobre, tak ďalej jednoduché príklady asi chápeš podstatu. Prejdime k plnohodnotným úlohám, v ktorých je potrebné vyriešiť aj tieto matematické modely! Tu je úloha.

Matematický model v praxi

Úloha 1

Po daždi môže hladina vody v studni stúpnuť. Chlapec meria čas pádu malých kamienkov do studne a vypočíta vzdialenosť od vody pomocou vzorca, kde je vzdialenosť v metroch a čas pádu v sekundách. Pred dažďom bol čas pádu kamienkov s. O koľko musí stúpnuť hladina vody po daždi, aby sa nameraný čas zmenil na s? Vyjadrite svoju odpoveď v metroch.

Ó Bože! Aké vzorce, aký druh studne, čo sa deje, čo robiť? Čítal som ti myšlienky? Uvoľnite sa, pri úlohách tohto typu sú podmienky ešte hroznejšie, treba si hlavne zapamätať, že pri tejto úlohe vás zaujímajú vzorce a vzťahy medzi premennými a čo to všetko vo väčšine prípadov znamená, nie je veľmi dôležité. Čo tu považujete za užitočné? osobne vidim. Princíp riešenia týchto problémov je nasledovný: vezmete všetky známe množstvá a nahradíte ich.Ale niekedy sa treba zamyslieť!

Podľa mojej prvej rady a dosadením všetkých známych do rovnice dostaneme:

Bol som to ja, kto nahradil čas sekundy a našiel výšku, v ktorej kameň letel pred dažďom. A teraz musíme počítať po daždi a nájsť rozdiel!

Teraz si vypočujte druhú radu a zamyslite sa, otázka upresňuje „o koľko musí stúpnuť hladina vody po daždi, aby sa nameraný čas zmenil o s“. Treba na to prísť hneď, taaaak, po daždi hladina vody stúpne, čiže čas, kedy kameň klesne na hladinu vody, je kratší a tu zaberá ozdobná fráza „aby sa zmenil nameraný čas“. v konkrétnom význame: čas pádu sa nezvýši, ale zníži sa o určené sekundy. To znamená, že v prípade hodu po daždi stačí odrátať c od počiatočného času c a dostaneme rovnicu pre výšku, ktorú kameň po daždi vyletí:

A nakoniec, aby ste zistili, o koľko by sa mala hladina vody po daždi zdvihnúť, aby sa nameraný čas zmenil o s, stačí od prvej výšky pádu odpočítať druhý!

Dostávame odpoveď: na meter.

Ako vidíte, nie je nič zložité, čo je najdôležitejšie, netrápte sa príliš tým, kde je také nepochopiteľné a niekedy komplexná rovnica v podmienkach z akych to vzislo a co vsetko v nom znamena, vezmite za slovo, vacsina tych rovnic je prevzatych z fyziky a tam su horsie divociny ako v algebre. Niekedy sa mi zdá, že tieto úlohy boli vymyslené preto, aby študenta na skúške zastrašili množstvom zložitých vzorcov a pojmov a vo väčšine prípadov nevyžadujú takmer žiadne znalosti. Stačí si pozorne prečítať podmienku a nahradiť známe hodnoty vo vzorci!

Tu je ďalší problém, už nie vo fyzike, ale zo sveta ekonomickej teórie, aj keď znalosť iných vied ako matematiky sa tu opäť nevyžaduje.

Úloha 2

Závislosť objemu dopytu (jednotky za mesiac) po výrobkoch monopolného podniku od ceny (tisíc rubľov) je daná vzorcom

Mesačný príjem spoločnosti (v tisícoch rubľov) sa vypočíta podľa vzorca. Určte najvyššiu cenu, za ktorú bude mesačný príjem najmenej tisíc rubľov. Uveďte odpoveď v tisícoch rubľov.

Hádajte, čo budem teraz robiť? Áno, začnem nahrádzať to, čo vieme, ale opäť musíte trochu premýšľať. Poďme od konca, musíme nájsť na ktorom. Takže, tam je, rovná sa nejaké, nájdeme, čomu sa ešte rovná, a to sa rovná, a zapíšeme to. Ako vidíte, nijako zvlášť sa nezaoberám významom všetkých týchto veličín, len sa pozerám z podmienok, čo sa rovná čomu, to je to, čo musíte urobiť. Vráťme sa k úlohe, už ju máte, ale ako si pamätáte, z jednej rovnice s dvoma premennými sa žiadna z nich nedá nájsť, čo robiť? Áno, stále máme nepoužitú časticu v stave. Tu už existujú dve rovnice a dve premenné, čo znamená, že teraz je možné nájsť obe premenné - skvelé!

Viete vyriešiť takýto systém?

Riešime substitúciou, už sme to vyjadrili, čiže dosadíme do prvej rovnice a zjednodušíme.

Ukazuje sa tu taká kvadratická rovnica: , riešime, korene sú takéto, . V úlohe je potrebné nájsť najvyššiu cenu, pri ktorej budú splnené všetky podmienky, s ktorými sme pri zostavovaní systému počítali. Oh, ukázalo sa, že to bola cena. Super, tak sme našli ceny: a. Najvyššia cena, hovoríte? Dobre, najväčší z nich, samozrejme, píšeme ako odpoveď. No, je to ťažké? Myslím, že nie a nemusíte sa do toho príliš ponoriť!

A tu je pre vás desivá fyzika, alebo skôr ďalší problém:

Úloha 3

Na určenie efektívnej teploty hviezd sa používa Stefan-Boltzmannov zákon, podľa ktorého, kde je žiarivý výkon hviezdy, je konštanta, je plocha povrchu hviezdy a je teplota. Je známe, že povrch určitej hviezdy je rovnaký a sila jej žiarenia sa rovná W. Nájdite teplotu tejto hviezdy v stupňoch Kelvina.

Kde je to jasné? Áno, podmienka hovorí, čo sa rovná čomu. Predtým som odporúčal okamžite nahradiť všetky neznáme, ale tu je lepšie najprv vyjadriť hľadanú neznámu. Pozrite sa, aké je všetko jednoduché: existuje vzorec a sú v ňom známe a (toto je grécke písmeno „sigma“. Fyzici vo všeobecnosti milujú grécke písmená, zvyknite si na to). Teplota je neznáma. Vyjadrime to vo forme vzorca. Ako to urobiť, dúfam, že viete? Takéto úlohy pre GIA v 9. ročníku zvyčajne dávajú:

Teraz zostáva nahradiť čísla namiesto písmen na pravej strane a zjednodušiť:

Tu je odpoveď: stupne Kelvina! A aká hrozná úloha to bola!

Pokračujeme v trápení problémov vo fyzike.

Úloha 4

Výška nad zemou hodenej lopty sa mení podľa zákona, kde výška v metroch je čas v sekundách, ktorý uplynul od hodu. Koľko sekúnd bude lopta vo výške aspoň tri metre?

To boli všetky rovnice, ale tu je potrebné určiť, koľko bola lopta vo výške najmenej tri metre, čo znamená vo výške. čo budeme robiť? Nerovnosť, áno! Máme funkciu, ktorá popisuje, ako lopta letí, kde je presne rovnaká výška v metroch, potrebujeme výšku. Prostriedky

A teraz už len vyriešte nerovnosť, hlavne nezabudnite zmeniť znamienko nerovnosti z väčšieho alebo rovného na menšie alebo rovné, keď vynásobíte oboma časťami nerovnosti, aby ste sa zbavili mínusu vpredu.

Tu sú korene, vytvárame intervaly pre nerovnosť:

Zaujíma nás interval, v ktorom je znamienko mínus, pretože tam nerovnosť nadobúda záporné hodnoty, je to od do oboch vrátane. A teraz zapneme mozog a dobre premýšľame: pre nerovnosť sme použili rovnicu, ktorá opisuje let lopty, tá nejako letí po parabole, t.j. vzlietne, dosiahne vrchol a padne, ako pochopiť, ako dlho bude vo výške najmenej metrov? Našli sme 2 zlomové body, t.j. okamih, keď vyletí nad metre a okamih, keď pri páde dosiahne rovnakú značku, sú tieto dva body vyjadrené v našom tvare v tvare času, t.j. vieme, v ktorej sekunde letu vstúpila do pre nás zaujímavej zóny (nad metrov) a do ktorej ju opustila (spadla pod značku metra). Koľko sekúnd bol v tejto zóne? Je logické, že zoberieme čas výstupu zo zóny a odpočítame od neho čas vstupu do tejto zóny. Podľa toho: - toľko bol v pásme nad metrov, toto je odpoveď.

Máte také šťastie, že väčšina príkladov na túto tému môže byť prevzatá z kategórie problémov vo fyzike, takže si chyťte ešte jeden, je to záverečný, tak sa tlačte, zostáva už veľmi málo!

Úloha 5

Pre vykurovací článok určitého zariadenia bola experimentálne získaná teplotná závislosť od doby prevádzky:

Kde je čas v minútach. Je známe, že pri teplote vykurovacieho telesa nad zariadením sa môže zhoršiť, preto ho treba vypnúť. Nájdite cez ktoré najdlhší čas po začatí práce vypnite zariadenie. Vyjadrite svoju odpoveď v priebehu niekoľkých minút.

Konáme podľa dobre zavedenej schémy, všetko, čo je dané, najprv zapíšeme:

Teraz vezmeme vzorec a prirovnáme ho k teplotnej hodnote, na ktorú sa môže zariadenie čo najviac zahriať, kým nevyhorí, to znamená:

Teraz nahrádzame čísla namiesto písmen, ak sú známe:

Ako vidíte, je opísaná teplota počas prevádzky zariadenia kvadratická rovnica, čo znamená, že je distribuovaný pozdĺž paraboly, t.j. zariadenie sa zahreje na určitú teplotu a potom sa ochladí. Dostali sme odpovede, a preto počas a počas minút zahrievania je teplota kritická, ale medzi minútami a minútami je dokonca vyššia ako limit!

Takže po minúte musíte zariadenie vypnúť.

MATEMATICKÉ MODELY. STRUČNE O HLAVNOM

Vo fyzike sa najčastejšie používajú matematické modely: napokon ste si zrejme museli zapamätať desiatky fyzikálnych vzorcov. A vzorec je matematickým vyjadrením situácie.

V OGE a Jednotnej štátnej skúške sú úlohy práve na túto tému. V USE (profile) je to úloha číslo 11 (predtým B12). V OGE - úloha číslo 20.

Schéma riešenia je jasná:

1) Z textu podmienky je potrebné „izolovať“ užitočné informácie – to, čo píšeme vo fyzikálnych úlohách pod slovom „dané“. Tieto užitočné informácie sú:

  • Vzorec
  • Známe fyzikálne veličiny.

To znamená, že každému písmenu zo vzorca musí byť priradené určité číslo.

2) Vezmite všetky známe množstvá a dosaďte ich do vzorca. Neznáma hodnota zostáva ako písmeno. Teraz stačí vyriešiť rovnicu (zvyčajne celkom jednoduché) a odpoveď je hotová.

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Pre úspešné absolvovanie skúšky, za prijatie do ústavu na rozpočet a HLAVNE na doživotie.

Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí dostali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nedostali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? Neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a v konečnom dôsledku ... šťastnejší?

VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.

Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy včas.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.

Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.

Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nevyhnutne s riešeniami podrobná analýza a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (nie je potrebné) a určite ich odporúčame.

Aby ste s pomocou našich úloh mohli pomôcť, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

ako? Sú dve možnosti:

  1. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku -
  2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch tutoriálu - Kúpte si učebnicu - 899 rubľov

Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný počas celej životnosti stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestávajte s teóriou.

„Rozumiem“ a „Viem, ako vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Poučenie

Metóda štatistického modelovania (štatistické testy) je bežne známa ako metóda „Monte Carlo“. Táto metóda je špeciálnym prípadom matematického modelovania a je založená na tvorbe pravdepodobnostných modelov náhodných javov. Základom každej náhody je náhodná premenná alebo náhodný proces. V tomto prípade je náhodný proces z pravdepodobnostného hľadiska opísaný ako n-rozmerná náhodná premenná. Celková pravdepodobnosť náhodnej premennej udáva jej hustotu pravdepodobnosti. Znalosť tohto distribučného zákona umožňuje získať digitálne modely náhodných procesov na počítači, nie plnohodnotné experimenty s nimi. To všetko je možné len v diskrétnej forme a v diskrétnom čase, s čím je potrebné počítať pri tvorbe statických modelov.

Pri statickom modelovaní by sme sa mali vzdialiť od uvažovania o konkrétnom jave a zamerať sa len na jeho pravdepodobnostné charakteristiky. To umožňuje použiť na modelovanie najjednoduchších javov, ktoré majú pravdepodobnostné ukazovatele so simulovaným javom. Napríklad každá udalosť, ktorá nastane s pravdepodobnosťou 0,5, môže byť simulovaná jednoduchým hodením symetrickej mince. Každá jednotlivá fáza štatistického modelovania sa nazýva tombola. Takže na určenie odhadu matematického očakávania bude potrebných N žrebovaní náhodnej premennej (CV) X.

Hlavným nástrojom na modelovanie na počítači sú snímače náhodných čísel rovnomerných na intervale (0, 1). Takže v prostredí Pascal sa takéto náhodné číslo volá pomocou príkazu Random. Na kalkulačkách je pre tento prípad k dispozícii tlačidlo RND. Existujú aj tabuľky takýchto náhodných čísel (veľkosti až 1 000 000). Hodnota uniformy na (0, 1) SW Z sa označí z.

Uvažujme o technike modelovania ľubovoľnej náhodnej premennej pomocou nelineárnej transformácie distribučnej funkcie. Táto metóda nemá metodologické chyby. Nech je zákon rozdelenia spojitého SW X daný hustotou pravdepodobnosti W(x). Odtiaľ sa začnite pripravovať na simuláciu a jej implementáciu.

Nájdite distribučnú funkciu X - F(x). F(x)=∫(-∞,x)W(s)ds. Vezmite Z=z a vyriešte rovnicu z=F(x) vzhľadom na x (to je vždy možné, pretože Z aj F(x) sú v rozsahu od nuly do jedna). Napíšte riešenie x=F^(-1) (z). Toto je modelovací algoritmus. F^(-1) je inverzia k F. Zostáva len konzistentne získať hodnoty xi digitálneho modelu X* CD X pomocou tohto algoritmu.

Príklad. SW je daná hustotou pravdepodobnosti W(x)=λexp(-λx), x≥0 (exponenciálne rozdelenie). Nájdite digitálny model.Riešenie.1.. F(x)=∫(0,x)λ∙exp(-λs)ds=1- exp(-λx).2. z=1-exp(-λx), x=(-1/λ)∙ln(1-z). Keďže z aj 1-z majú hodnoty v intervale (0, 1) a sú jednotné, potom (1-z) možno nahradiť z. 3. Postup pri modelovaní exponenciálneho SW sa vykonáva podľa vzorca x=(-1/λ)∙lnz. Presnejšie, xi=(-1/λ)ln(zi).

Podľa učebnice Sovetova a Jakovleva: "model (lat. modul - miera) je objekt-náhrada pôvodného objektu, ktorý poskytuje štúdium niektorých vlastností originálu." (s. 6) „Nahradenie jedného objektu iným s cieľom získať informácie o najdôležitejších vlastnostiach pôvodného objektu pomocou objektu modelu sa nazýva modelovanie.“ (s. 6) „Pod matematickým modelovaním budeme chápať proces stanovenia zhody s daným reálnym objektom nejakého matematického objektu, nazývaného matematický model, a štúdium tohto modelu, ktoré umožňuje získať charakteristiky reálneho uvažovaného objektu. . Typ matematického modelu závisí tak od povahy skutočného objektu, ako aj od úloh štúdia objektu a od požadovanej spoľahlivosti a presnosti riešenia tohto problému.

Nakoniec najvýstižnejšia definícia matematického modelu: „Rovnica vyjadrujúca myšlienku».

Klasifikácia modelu

Formálna klasifikácia modelov

Formálna klasifikácia modelov je založená na klasifikácii použitých matematických nástrojov. Často budované vo forme dichotómií. Napríklad jedna z populárnych skupín dichotómií je:

atď. Každý skonštruovaný model je lineárny alebo nelineárny, deterministický alebo stochastický, ... Prirodzene sú možné aj zmiešané typy: koncentrované v jednom ohľade (z hľadiska parametrov), distribuované modely v inom, atď.

Klasifikácia podľa spôsobu znázornenia objektu

Spolu s formálnou klasifikáciou sa modely líšia v spôsobe, akým predstavujú objekt:

  • Štrukturálne alebo funkčné modely

Štrukturálne modely predstavujú objekt ako systém s vlastným zariadením a mechanizmom fungovania. funkčné modely nepoužívať takéto reprezentácie a reflektovať len navonok vnímané správanie (fungovanie) objektu. Vo svojom extrémnom prejave sa im hovorí aj „black box“ modely. Možné sú aj kombinované typy modelov, ktoré sa niekedy označujú ako „modelky“ šedá krabica».

Obsahové a formálne modely

Takmer všetci autori popisujúci proces matematického modelovania uvádzajú, že najskôr sa postaví špeciálna ideálna konštrukcia, obsahový model. Neexistuje tu ustálená terminológia a iní autori to nazývajú ideálnym objektom Koncepčný model , špekulatívny model alebo predmodelka. V tomto prípade je výsledná matematická konštrukcia tzv formálny model alebo len matematický model získaný ako výsledok formalizácie tohto obsahového modelu (predmodel). Konštrukcia zmysluplného modelu môže byť uskutočnená pomocou sady hotových idealizácií, ako v mechanike, kde ideálne pružiny, tuhé telesá, ideálne kyvadla, elastické médiá atď. konštrukčné prvky pre zmysluplné modelovanie. Avšak v oblastiach poznania, kde neexistujú úplne dokončené formalizované teórie (špičková fyzika, biológia, ekonómia, sociológia, psychológia a väčšina ďalších oblastí), je vytváranie zmysluplných modelov dramaticky komplikovanejšie.

Zmysluplná klasifikácia modelov

Žiadnu vedeckú hypotézu nemožno raz a navždy dokázať. Richard Feynman to vyjadril veľmi jasne:

"Vždy máme schopnosť vyvrátiť teóriu, ale uvedomte si, že nikdy nemôžeme dokázať, že je správna." Predpokladajme, že predložíte úspešnú hypotézu, vypočítate, kam vedie, a zistíte, že všetky jej dôsledky sú experimentálne potvrdené. Znamená to, že vaša teória je správna? Nie, znamená to jednoducho, že ste to nedokázali vyvrátiť.

Ak sa vytvorí model prvého typu, znamená to, že je dočasne uznaný za pravdivý a človek sa môže sústrediť na iné problémy. To však nemôže byť bod vo výskume, ale len dočasná pauza: status modelu prvého typu môže byť len dočasný.

Typ 2: Fenomenologický model (správať sa ako keby…)

Fenomenologický model obsahuje mechanizmus na popis javu. Tento mechanizmus však nie je dostatočne presvedčivý, nedá sa dostatočne potvrdiť dostupnými údajmi alebo sa dobre nezhoduje s dostupnými teóriami a nahromadenými poznatkami o objekte. Preto majú fenomenologické modely status dočasných riešení. Verí sa, že odpoveď je stále neznáma a je potrebné pokračovať v hľadaní „skutočných mechanizmov“. K druhému typu odkazuje Peierls napríklad kalorický model a kvarkový model elementárnych častíc.

Úloha modelu vo výskume sa môže časom meniť, môže sa stať, že nové dáta a teórie potvrdia fenomenologické modely a tie sa povýšia do stavu hypotézy. Rovnako sa nové poznatky môžu postupne dostať do konfliktu s modelmi-hypotézami prvého typu a môžu sa preniesť do druhého. Model kvarku sa teda postupne presúva do kategórie hypotéz; atomizmus vo fyzike vznikol ako dočasné riešenie, ale postupom dejín prešiel do prvého typu. Ale éterové modely prešli z typu 1 na typ 2 a teraz sú mimo vedu.

Myšlienka zjednodušenia je pri zostavovaní modelov veľmi populárna. Zjednodušenie je však iné. Peierls rozlišuje tri typy zjednodušení v modelovaní.

Typ 3: Aproximácia (niečo sa považuje za veľmi veľké alebo veľmi malé)

Ak je možné zostrojiť rovnice popisujúce skúmaný systém, neznamená to, že sa dajú vyriešiť aj pomocou počítača. Bežnou technikou je v tomto prípade použitie aproximácií (modely typu 3). Medzi nimi modely lineárnej odozvy. Rovnice sú nahradené lineárnymi. Štandardným príkladom je Ohmov zákon.

A tu je typ 8, ktorý je široko používaný v matematických modeloch biologických systémov.

Typ 8: Ukážka možnosti (hlavná vec je ukázať vnútornú konzistenciu možnosti)

To sú také myšlienkové experimenty. s imaginárnymi entitami, ktoré to dokazujú domnelý jav v súlade so základnými princípmi a vnútorne v súlade. To je hlavný rozdiel od modelov typu 7, ktoré odhaľujú skryté rozpory.

Jedným z najznámejších z týchto experimentov je Lobačevského geometria (Lobačevskij ju nazval „imaginárna geometria“). Ďalším príkladom je masová výroba formálne kinetických modelov chemických a biologických oscilácií, autovĺn atď. Einsteinov-Podolského-Rosenov paradox bol koncipovaný ako model 7. typu, aby demonštroval nekonzistentnosť kvantovej mechaniky. Úplne neplánovane sa z toho nakoniec stal model 8. typu – ukážka možnosti kvantovej teleportácie informácií.

Príklad

Uvažujme mechanický systém pozostávajúci z pružiny upevnenej na jednom konci a záťaže hmoty pripevnenej na voľný koniec pružiny. Budeme predpokladať, že bremeno sa môže pohybovať iba v smere osi pružiny (napríklad pohyb nastáva pozdĺž tyče). Zostavme matematický model tohto systému. Stav sústavy popíšeme vzdialenosťou od stredu zaťaženia k jeho rovnovážnej polohe. Popíšme interakciu pružiny a zaťaženia pomocou Hookov zákon() potom použijeme druhý Newtonov zákon na vyjadrenie vo forme diferenciálnej rovnice:

kde znamená druhú deriváciu s ohľadom na čas: .

Výsledná rovnica popisuje matematický model uvažovaného fyzikálneho systému. Tento vzor sa nazýva "harmonický oscilátor".

Podľa formálnej klasifikácie je tento model lineárny, deterministický, dynamický, koncentrovaný, spojitý. Pri jeho konštrukcii sme vychádzali z mnohých predpokladov (o absencii vonkajších síl, absencii trenia, malých výchylkách a pod.), ktoré v skutočnosti nemusia byť splnené.

Vo vzťahu k realite ide najčastejšie o model 4. typu. zjednodušenie(„pre prehľadnosť vynechávame niektoré detaily“), keďže niektoré základné univerzálne vlastnosti (napríklad rozptyl) sú vynechané. V určitej aproximácii (povedzme, pokiaľ je odchýlka zaťaženia od rovnováhy malá, s malým trením, nie príliš dlhý čas a za určitých iných podmienok), takýto model celkom dobre opisuje skutočný mechanický systém, pretože vyradené faktory majú na jeho správanie zanedbateľný vplyv . Model však možno spresniť zohľadnením niektorých z týchto faktorov. To povedie k novému modelu so širším (aj keď opäť obmedzeným) záberom.

Keď sa však model spresní, zložitosť jeho matematického štúdia sa môže výrazne zvýšiť a model sa stane prakticky zbytočným. Jednoduchší model vám často umožňuje lepšie a hlbšie preskúmať skutočný systém ako zložitejší (a formálne „správnejší“).

Ak použijeme model harmonického oscilátora na objekty, ktoré sú ďaleko od fyziky, jeho zmysluplný stav môže byť odlišný. Napríklad pri aplikácii tohto modelu na biologické populácie by sa mal s najväčšou pravdepodobnosťou pripísať typu 6 analógia(„Vezmime do úvahy len niektoré funkcie“).

Tvrdé a mäkké modely

Harmonický oscilátor je príkladom takzvaného "tvrdého" modelu. Získava sa ako výsledok silnej idealizácie skutočného fyzického systému. Na vyriešenie otázky jej použiteľnosti je potrebné pochopiť, aké významné sú faktory, ktoré sme zanedbali. Inými slovami, je potrebné preskúmať „mäkký“ model, ktorý sa získa malou odchýlkou ​​„tvrdého“ modelu. Môže to byť dané napríklad nasledujúcou rovnicou:

Tu - nejaká funkcia, ktorá môže brať do úvahy treciu silu alebo závislosť koeficientu tuhosti pružiny od stupňa jej natiahnutia - nejaký malý parameter. Explicitná forma funkcie nás momentálne nezaujíma. Ak dokážeme, že správanie mäkkého modelu sa zásadne nelíši od tvrdého modelu (bez ohľadu na explicitnú formu rušivých faktorov, ak sú dostatočne malé), problém sa zredukuje na štúdium tvrdého modelu. V opačnom prípade bude aplikácia výsledkov získaných pri štúdiu rigidného modelu vyžadovať ďalší výskum. Napríklad riešením rovnice harmonického oscilátora sú funkcie tvaru , teda kmity s konštantnou amplitúdou. Vyplýva z toho, že skutočný oscilátor bude oscilovať donekonečna s konštantnou amplitúdou? Nie, pretože ak vezmeme do úvahy systém s ľubovoľne malým trením (v reálnom systéme vždy prítomný), dostaneme tlmené kmity. Správanie systému sa kvalitatívne zmenilo.

Ak si systém zachová svoje kvalitatívne správanie pri malej poruche, hovorí sa, že je štrukturálne stabilný. Harmonický oscilátor je príkladom štrukturálne nestabilného (nerovného) systému. Tento model však možno použiť na štúdium procesov v obmedzených časových intervaloch.

Univerzálnosť modelov

Najdôležitejšie matematické modely zvyčajne majú dôležitý majetok univerzálnosť: Zásadne odlišné reálne javy možno opísať rovnakým matematickým modelom. Napríklad harmonický oscilátor popisuje nielen správanie sa záťaže na pružine, ale aj iné oscilačné procesy, často úplne iného charakteru: malé kmity kyvadla, kolísanie hladiny kvapaliny v nádobe tvaru, resp. zmena sily prúdu v oscilačnom obvode. Keď teda študujeme jeden matematický model, študujeme naraz celú triedu javov, ktoré opisuje. Je to izomorfizmus zákonov vyjadrený matematickými modelmi v rôznych segmentoch vedecké poznatky, dielo Ludwiga von Bertalanffyho pri vytvorení „Všeobecnej teórie systémov“.

Priame a inverzné úlohy matematického modelovania

S matematickým modelovaním je spojených veľa problémov. Najprv je potrebné vymyslieť základnú schému modelovaného objektu, reprodukovať ju v rámci idealizácií tejto vedy. Takže vagón sa mení na systém dosiek a zložitejších karosérií vyrobených z rôznych materiálov, pričom každý materiál je daný ako jeho štandardná mechanická idealizácia (hustota, moduly pružnosti, štandardné pevnostné charakteristiky), po ktorej sa pozdĺž cesty zostavujú rovnice. niektoré detaily sú vyradené ako nepodstatné, vykonajú sa výpočty, porovnajú sa s meraniami, model sa spresní atď. Pre vývoj technológií matematického modelovania je však užitočné rozložiť tento proces na jeho hlavné základné prvky.

Tradične existujú dve hlavné triedy problémov spojených s matematickými modelmi: priame a inverzné.

Priamy problém: štruktúra modelu a všetky jeho parametre sa považujú za známe, hlavnou úlohou je študovať model, aby sa získali užitočné poznatky o objekte. Aké statické zaťaženie most vydrží? Ako bude reagovať na dynamickú záťaž (napríklad na pochod roty vojakov, alebo na prechod vlaku rôznou rýchlosťou), ako lietadlo prekoná zvukovú bariéru, či sa rozpadne od trepotania - toto sú typické príklady priamej úlohy. Nastavenie správneho priameho problému (položenie správnej otázky) si vyžaduje špeciálnu zručnosť. Ak sa nepoloží správne otázky, most sa môže zrútiť, aj keď bol pre jeho správanie vytvorený dobrý model. V roku 1879 sa teda vo Veľkej Británii zrútil kovový most cez rieku Tey, ktorého konštruktéri postavili model mosta, vypočítali ho s 20-násobnou mierou bezpečnosti pre užitočné zaťaženie, ale zabudli na vietor, ktorý v týchto miestach neustále fúka. . A po roku a pol sa to zrútilo.

V najjednoduchšom prípade (napríklad rovnica jedného oscilátora) je priamy problém veľmi jednoduchý a redukuje sa na explicitné riešenie tejto rovnice.

Inverzný problém: je známych veľa možných modelov, je potrebné vybrať konkrétny model na základe doplňujúcich údajov o objekte. Najčastejšie je známa štruktúra modelu a je potrebné určiť niektoré neznáme parametre. Ďalšie informácie môže spočívať v dodatočných empirických údajoch alebo v požiadavkách na objekt ( dizajnová úloha). Ďalšie údaje môžu prísť bez ohľadu na proces riešenia inverzného problému ( pasívne pozorovanie) alebo je výsledkom experimentu špeciálne naplánovaného počas riešenia ( aktívny dohľad).

Jedným z prvých príkladov virtuózneho riešenia inverznej úlohy s čo najplnším využitím dostupných dát bola metóda skonštruovaná I. Newtonom na rekonštrukciu trecích síl z pozorovaných tlmených kmitov.

Ďalším príkladom je matematická štatistika. Úlohou tejto vedy je vývoj metód na zaznamenávanie, popis a analýzu pozorovacích a experimentálnych údajov s cieľom zostaviť pravdepodobnostné modely hromadných náhodných javov. Tie. množina možných modelov je obmedzená pravdepodobnostnými modelmi. V špecifických problémoch je množina modelov obmedzenejšia.

Počítačové simulačné systémy

Na podporu matematického modelovania boli vyvinuté počítačové matematické systémy, napr. Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim atď. Umožňujú vytvárať formálne a blokové modely jednoduchých aj zložitých procesov a zariadení a jednoducho meniť parametre modelu počas simulácia. Blokové modely sú reprezentované blokmi (najčastejšie grafickými), ktorých množinu a zapojenie špecifikuje modelová schéma.

Ďalšie príklady

Malthusov model

Tempo rastu je úmerné aktuálnej veľkosti populácie. Je opísaná diferenciálnou rovnicou

kde je určitý parameter určený rozdielom medzi pôrodnosťou a úmrtnosťou. Riešením tejto rovnice je exponenciálna funkcia. Ak pôrodnosť prevyšuje úmrtnosť (), veľkosť populácie sa neobmedzene a veľmi rýchlo zvyšuje. Je jasné, že v skutočnosti sa to kvôli obmedzeným zdrojom nemôže stať. Keď sa dosiahne určitá kritická veľkosť populácie, model prestáva byť adekvátny, pretože neberie do úvahy obmedzené zdroje. Spresnením Malthusovho modelu môže byť logistický model, ktorý je opísaný Verhulstovou diferenciálnou rovnicou

kde je "rovnovážna" veľkosť populácie, pri ktorej je pôrodnosť presne kompenzovaná úmrtnosťou. Veľkosť populácie v takomto modeli smeruje k rovnovážnej hodnote a toto správanie je štrukturálne stabilné.

systém predátor-korisť

Povedzme, že na určitom území žijú dva druhy zvierat: králiky (jedia rastliny) a líšky (jedia králiky). Nech je počet králikov, počet líšok. Pomocou Malthusovho modelu s potrebnými korekciami, berúc do úvahy požieranie králikov líškami, sa dostávame k nasledujúcemu systému, ktorý nesie názov modely podnosov - Volterra:

Tento systém má rovnovážny stav, kedy je počet králikov a líšok konštantný. Odchýlka od tohto stavu vedie k kolísaniu počtu králikov a líšok, podobne ako kolísanie harmonického oscilátora. Rovnako ako v prípade harmonického oscilátora, toto správanie nie je štrukturálne stabilné: malá zmena v modeli (napríklad berúc do úvahy obmedzené zdroje potrebné pre králiky) môže viesť ku kvalitatívnej zmene správania. Napríklad, rovnovážny stav sa môže stať stabilným a fluktuácie populácie sa stratia. Možný je aj opačný stav, kedy každá malá odchýlka od rovnovážnej polohy povedie ku katastrofálnym následkom, až k úplnému vyhynutiu niektorého z druhov. Na otázku, ktorý z týchto scenárov sa realizuje, model Volterra-Lotka nedáva odpoveď: je tu potrebný ďalší výskum.

Poznámky

  1. "Matematické znázornenie reality" (Encyclopaedia Britanica)
  2. Novik I. B., K filozofickým otázkam kybernetického modelovania. M., Vedomosti, 1964.
  3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelovanie systémov: Proc. pre vysoké školy - 3. vyd., prepracované. a dodatočné - M.: Vyššie. škola, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
  4. Samarsky A. A., Michajlov A. P. Matematické modelovanie. Nápady. Metódy. Príklady. - 2. vyd., opravené. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
  5. Myshkis A.D., Prvky teórie matematických modelov. - 3. vydanie, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
  6. Sevostyanov, A.G. Modelovanie technologických procesov: učebnica / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. - M .: Ľahko a potravinársky priemysel, 1984. - 344 s.
  7. Wikislovník: matematické modely
  8. CliffsNotes.com. Slovník vedy o Zemi. 20. septembra 2010
  9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4
  10. „Teória sa považuje za lineárnu alebo nelineárnu v závislosti od toho, aký - lineárny alebo nelineárny - matematický aparát, aké - lineárne alebo nelineárne - matematické modely používa. ... bez popierania toho druhého. Moderný fyzik, ak by náhodou predefinoval takú dôležitú entitu ako nelinearitu, by s najväčšou pravdepodobnosťou konal inak a preferoval by nelinearitu ako dôležitejší a spoločný z dvoch protikladov, definoval by linearitu ako „ne- linearita“. Danilov Yu. A., Prednášky o nelineárnej dynamike. Elementárny úvod. Synergetika: séria od minulosti k budúcnosti. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
  11. „Dynamické systémy modelované konečným počtom obyčajných diferenciálnych rovníc sa nazývajú sústredené alebo bodové systémy. Sú opísané pomocou konečnej dimenzie fázového priestoru a sú charakterizované konečným počtom stupňov voľnosti. Jeden a ten istý systém za rôznych podmienok možno považovať za koncentrovaný alebo distribuovaný. Matematické modely distribuovaných systémov sú parciálne diferenciálne rovnice, integrálne rovnice alebo obyčajné rovnice oneskorenia. Počet stupňov voľnosti distribuovaného systému je nekonečný a na určenie jeho stavu je potrebné nekonečné množstvo údajov. Aniščenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, č. 11, s. 77-84.
  12. „Podľa charakteru skúmaných procesov v systéme S možno všetky typy modelovania rozdeliť na deterministické a stochastické, statické a dynamické, diskrétne, spojité a diskrétne-spojité. Deterministické modelovanie zobrazuje deterministické procesy, teda procesy, v ktorých sa predpokladá absencia akýchkoľvek náhodných vplyvov; stochastické modelovanie zobrazuje pravdepodobnostné procesy a udalosti. … Statické modelovanie sa používa na opis správania objektu v akomkoľvek časovom bode, zatiaľ čo dynamické modelovanie odráža správanie objektu v priebehu času. Diskrétne modelovanie slúži na popis procesov, o ktorých sa predpokladá, že sú diskrétne, respektíve kontinuálne modelovanie umožňuje reflektovať spojité procesy v systémoch a diskrétne spojité modelovanie sa používa v prípadoch, keď chcete zdôrazniť prítomnosť diskrétnych aj spojitých procesov. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
  13. Obvykle matematický model odráža štruktúru (usporiadanie) modelovaného objektu, vlastnosti a prepojenia komponentov tohto objektu, ktoré sú podstatné pre účely štúdie; takýto model sa nazýva štrukturálny. Ak model odráža len to, ako objekt funguje – napríklad ako reaguje na vonkajšie vplyvy – potom sa nazýva funkčná alebo obrazne čierna skrinka. Možné sú aj kombinované modely. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
  14. „Samozrejmou, ale najdôležitejšou počiatočnou fázou konštrukcie alebo výberu matematického modelu je získať čo najjasnejšie informácie o modelovanom objekte a vylepšiť jeho obsahový model na základe neformálnych diskusií. V tejto fáze by sa nemalo šetriť časom a úsilím, od toho do značnej miery závisí úspech celej štúdie. Neraz sa stalo, že pri riešení sa vynaložilo značné množstvo práce matematický problém, sa pre nedostatočnú pozornosť venovanú tejto stránke veci ukázala ako neefektívna alebo dokonca zbytočná. Myshkis A.D., Prvky teórie matematických modelov. - 3. vydanie, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
  15. « Popis koncepčného modelu systému. V tejto čiastkovej fáze budovania modelu systému: a) konceptuálny model M je opísaný v abstraktných termínoch a konceptoch; b) popis modelu je uvedený pomocou typických matematických schém; c) hypotézy a predpoklady sú nakoniec prijaté; d) je opodstatnená voľba postupu aproximácie reálnych procesov pri budovaní modelu. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelovanie systémov: Proc. pre vysoké školy - 3. vyd., prepracované. a dodatočné - M.: Vyššie. škola, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.
  16. Blekhman I. I., Myshkis A. D.,