Akcie s vektormi v priestore. Kapitola I. Vektorová algebra. Vzťah vektora s pravouhlým karteziánskym súradnicovým systémom v priestore
Štandardná definícia: "Vektor je riadený úsečka." To je zvyčajne hranica vedomostí absolventa o vektoroch. Kto potrebuje nejaké „riadené segmenty“?
Ale v skutočnosti, čo sú vektory a prečo sú?
Predpoveď počasia. "Vietor severozápadný, rýchlosť 18 metrov za sekundu." Súhlas, záleží aj na smere vetra (odkiaľ fúka) a na module (teda na absolútnej hodnote) jeho rýchlosti.
Veličiny, ktoré nemajú smer, sa nazývajú skaláre. hmotnosť, práca, nabíjačka nikam neposlané. Sú charakterizované iba číselnou hodnotou - „koľko kilogramov“ alebo „koľko joulov“.
Fyzikálne veličiny, ktoré majú nielen absolútnu hodnotu, ale aj smer, sa nazývajú vektorové veličiny.
Rýchlosť, sila, zrýchlenie - vektory. Pre nich je dôležité „koľko“ a dôležité „kde“. Napríklad zrýchlenie voľného pádu smeruje k povrchu Zeme a jeho hodnota je 9,8 m/s 2 . hybnosť, napätie elektrické pole, indukcia magnetické pole sú tiež vektorové veličiny.
Pamätáš si, že fyzikálnych veličín označované písmenami, latinkou alebo gréčtinou. Šípka nad písmenom označuje, že množstvo je vektor:
Tu je ďalší príklad.
Auto sa pohybuje z bodu A do bodu B. Konečným výsledkom je jeho pohyb z bodu A do bodu B, teda pohyb vektorom 
.
Teraz je jasné, prečo je vektor smerovaný segment. Venujte pozornosť, koniec vektora je tam, kde je šípka. Dĺžka vektora sa nazýva dĺžka tohto segmentu. Určené: alebo
Doteraz sme pracovali so skalárnymi veličinami podľa pravidiel aritmetiky a elementárnej algebry. Vektory sú novým pojmom. Toto je ďalšia trieda matematických objektov. Majú svoje pravidlá.
Kedysi sme ani nepoznali čísla. Zoznámenie sa s nimi začalo už v základných ročníkoch. Ukázalo sa, že čísla sa dajú medzi sebou porovnávať, sčítať, odčítať, násobiť a deliť. Dozvedeli sme sa, že existuje číslo jeden a číslo nula.
Teraz sa zoznámime s vektormi.
Pojmy „väčšie ako“ a „menej ako“ pre vektory neexistujú – koniec koncov, ich smery môžu byť rôzne. Môžete porovnávať iba dĺžky vektorov.
Ale koncept rovnosti pre vektory je.
Rovnaký sú vektory, ktoré majú rovnakú dĺžku a rovnaký smer. To znamená, že vektor sa môže pohybovať rovnobežne s ktorýmkoľvek bodom v rovine.
slobodný sa nazýva vektor, ktorého dĺžka je 1 . Nula - vektor, ktorého dĺžka sa rovná nule, to znamená, že jeho začiatok sa zhoduje s koncom.
Najpohodlnejšie je pracovať s vektormi v pravouhlej súradnicovej sústave – tej, v ktorej kreslíme grafy funkcií. Každý bod v súradnicovom systéme zodpovedá dvom číslam - jeho súradniciam x a y, úsečke a ordináde.
Vektor je tiež daný dvoma súradnicami:
Tu sú súradnice vektora zapísané v zátvorkách - v x a v y.
Dajú sa ľahko nájsť: súradnica konca vektora mínus súradnica jeho začiatku.
Ak sú zadané súradnice vektora, jeho dĺžka sa zistí podľa vzorca
Vektorové pridanie
Existujú dva spôsoby pridávania vektorov.
jeden . paralelogramové pravidlo. Ak chcete pridať vektory a , umiestnime počiatky oboch do rovnakého bodu. Doplníme rovnobežník a z rovnakého bodu nakreslíme uhlopriečku rovnobežníka. Toto bude súčet vektorov a .
Pamätáte si rozprávku o labuti, rakovine a šťuke? Veľmi sa snažili, ale vozík nikdy nepohli. Veď vektorový súčet síl, ktorými pôsobili na vozík, sa rovnal nule.
2. Druhým spôsobom sčítania vektorov je pravidlo trojuholníka. Zoberme si rovnaké vektory a . Začiatok druhého pridáme na koniec prvého vektora. Teraz spojme začiatok prvého a koniec druhého. Toto je súčet vektorov a .
Podľa rovnakého pravidla môžete pridať niekoľko vektorov. Pripojíme ich jeden po druhom a potom spojíme začiatok prvého s koncom posledného.
Predstavte si, že idete z bodu A do bodu B, z B do C, z C do D, potom do E a potom do F. Konečným výsledkom týchto akcií je presun z A do F.
Pri pridávaní vektorov dostaneme:
Vektorové odčítanie
Vektor smeruje opačne k vektoru. Dĺžky vektorov a sú rovnaké.
Teraz je jasné, čo je odčítanie vektorov. Rozdiel vektorov a je súčtom vektora a vektora.
Vynásobte vektor číslom
Vynásobením vektora číslom k vznikne vektor, ktorého dĺžka je k krát odlišná od dĺžky . Je kosmerný s vektorom, ak je k väčšie ako nula, a smeruje opačne, ak je k menšie ako nula.
Bodový súčin vektorov
Vektory sa dajú násobiť nielen číslami, ale aj navzájom.
Skalárny súčin vektorov je súčinom dĺžok vektorov a kosínusu uhla medzi nimi.
Venujte pozornosť - vynásobili sme dva vektory a dostali sme skalár, teda číslo. Napríklad vo fyzike sa mechanická práca rovná skalárnemu súčinu dvoch vektorov - sily a posunutia:
Ak sú vektory kolmé, ich bodový súčin je nula.
A takto je skalárny súčin vyjadrený v súradniciach vektorov a:
Zo vzorca pre skalárny súčin môžete nájsť uhol medzi vektormi:
Tento vzorec je obzvlášť vhodný v stereometrii. Napríklad v probléme 14 profilová skúška v matematike musíte nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami alebo medzi čiarou a rovinou. Úloha 14 sa často rieši niekoľkonásobne rýchlejšie ako klasická.
AT školské osnovy v matematike sa študuje iba skalárny súčin vektorov.
Ukazuje sa, že okrem skalárneho existuje aj vektorový súčin, keď sa vektor získa ako výsledok vynásobenia dvoch vektorov. Kto zloží skúšku z fyziky, vie, čo je Lorentzova sila a Ampérova sila. Vzorce na nájdenie týchto síl zahŕňajú presne vektorové súčiny.
Vektory sú veľmi užitočným matematickým nástrojom. Presvedčíte sa o tom v prvom kurze.
Prednáška 3. Vektory. Sústavy lineárnych rovníc.
vektory
Cieľštúdium témy spočíva v zovšeobecnení pojmu vektor, ktorý žiaci poznajú zo školských osnov, a v rozšírení jeho systematických obzorov.
Vektory v lietadle a vo vesmíre.
Vektor- toto je riadený segment. Bodka ALE je začiatok vektora, bod AT– koniec vektora (obr. 3.1.1). Môžete použiť notáciu .
Dĺžka (modul) vektor je číslo rovné dĺžke vektora. Modul vektora je označený symbolom alebo . Ak je modul vektora , vektor sa nazýva nula; smer nulového vektora je ľubovoľný.
Tieto dva vektory sa nazývajú kolineárne, ak sú rovnobežné s tou istou čiarou (alebo ležia na tej istej čiare), v tomto prípade píšu . Nulový vektor je kolineárny s ľubovoľným vektorom.
Dva vektory rovný, teda ak sú splnené tri podmienky: ; a sú rovnako smerované.
Vektorový produkt ā na číslo (skalárny) λ sa nazýva vektor, ktorý spĺňa nasledujúce podmienky: , vektory a sú spolusmerované, ak a smerujú v opačných smeroch, ak . Ak , volá sa vektor opak vektor .
Podmienka je teda dostatočná pre kolinearitu vektora a ;
Sčítanie vektorov. Súčet dvoch vektorov a nazýva sa vektor, Štart ktorý sa zhoduje so začiatkom vektora a koniec - s koncom vektora za predpokladu, že začiatok vektora sa zhoduje s koncom vektora (pravidlo trojuholníka)(pozri obr. 3.1.2).
Vzhľadom k tomu, vektor , Potom získať súčet dvoch vektorov, môžete použiť pravidlo rovnobežník: súčet dva vectors je diagonálny vektor rovnobežníka postaveného na vektoroch a , ktorý z nich vychádza spoločný začiatok oba vektorové výrazy.
Súčet niekoľkých vektorov sa nachádza podľa pravidla mnohouholník: nájsť súčet viacerých vektorov , musíte dôsledne kombinovať začiatok nasledujúceho vektorového členu s koncom predchádzajúceho; potom vektor nakreslený od začiatku prvého vektora po koniec posledného sa nazýva súčet všetkých týchto vektorov (obr. 3.1.3).
rozdiel dva vektory sa nazývajú súčet. Ak je vektor , potom analogicky so súčtom dvoch vektorov je tento vektor uhlopriečkou kvádra postaveného na troch vektoroch ako stranách (obr. 3.1.4).
Uvažujme vektor v rovine. Presuňte sa na pôvod systému ahoj.
Dostaneme vektor. Súradnice vektora sú súradnice bodu M(X;pri). Zavedme vektory na súradnicových osiach i a j– jednotková dĺžka (obr. 3.1.5).
Očividne buď alebo. Ak sa vektor uvažuje v trojrozmernom priestore, kde je bod M charakterizované tromi súradnicami, tj M(x,y,z) , potom môže byť vektor reprezentovaný ako:
X i r j z k , (3.1.1)
kde i, j, k sú jednotkové vektory ležiace na súradnicových osiach. Nechajte,. Nájdite súčet a rozdiel týchto vektorov:
Pridávanie vektorov a násobenie vektora skalárom sa riadi nasledujúcimi vlastnosťami:
Dôkaz vyplýva z (3.1.2).
Definícia. Skalárny súčin vektory a číslo sa nazýva rovné súčinu modulov týchto vektorov a kosínusu uhla φ medzi nimi, t.j. (3.1.3)
Z (3.1.3) vyplývajú vlastnosti skalárneho súčinu:
4) ak , tak .
Pomocou vlastností bodového súčinu je možné nájsť bodový súčin dvoch vektorov v súradnicovom tvare. Ak potom ; if - podmienka kolmosti vektorov.
Ak sú vektory kolineárne, to znamená, že je podmienkou, aby vektory boli kolineárne.
koncepcia n -rozmerný vektor. Vektorový priestor. Lineárna kombinácia a lineárna závislosť vektorov.
Pojem vektor sa dá zovšeobecniť.
Definícia. n-rozmerný vektor sa nazýva objednaný odber n reálne čísla písané ako X \u003d (x 1, x 2, ..., x n), x i sú vektorové komponenty X.
koncepcia n -rozmerný vektor je široko používaný v ekonómii. Napríklad určitý súbor tovarov môže byť charakterizovaný vektorom a zodpovedajúce ceny - vektorom.
Dva n -rozmerné vektory sú rovnaké práve vtedy, ak sa ich zodpovedajúce zložky rovnajú: , .
Analogicky s geometrickými vektormi sa zavádzajú: súčet vektorov so zložkami , ; rozdiel vektorov so zložkami , , s rovnakými vlastnosťami.
Skalárny súčin n-rozmerné vektory:
Ak X - súbor tovaru, a Y - zodpovedá jednotkovým cenám každého produktu, potom nákladom všetkých produktov:
Definícia. Množina vektorov s reálnymi zložkami, ktorá definuje operácie sčítania (odčítania) a násobenia vektora skalárom, ktorý spĺňa uvedené vlastnosti, sa nazýva tzv. vektorový priestor.
Definícia. Vektor sa nazýva lineárna kombinácia vektorov vektorový priestor ak
, (3.1.4)
kde sú nejaké reálne čísla.
Definícia. Vektory sa nazývajú lineárne závislé, ak existujú také čísla, ktoré sa súčasne nerovnajú nule, napríklad lineárna kombinácia .
Inak sa volajú vektory (). lineárne nezávislé.
Ak sú vektory lineárne závislé, potom aspoň jeden z nich je lineárne vyjadrený v podmienkach ostatných. Ukážme to. Nech sú vektory () lineárne závislé, t.j. n), preto
Po vyriešení sústavy akoukoľvek metódou (napríklad Cramerovou metódou) dostaneme jej riešenie: , , . Rozšírenie vektora z hľadiska bázy má tvar .
Vektor – ide o smerovanú priamku, teda úsečku s určitou dĺžkou a určitým smerom. Nechajte bod ALE je začiatok vektora a bod B je jeho koniec, potom sa vektor označí symbolom alebo . Vektor sa nazýva opak vektor a môžu byť označené .
Sformulujme niekoľko základných definícií.
Dĺžka alebo modul vektorsa nazýva dĺžka segmentu a označuje sa. Volá sa vektor nulovej dĺžky (jeho podstatou je bod). nula a nemá smer. Vektor dĺžka jednotky sa nazývaslobodný . Jednotkový vektor, ktorého smer je rovnaký ako smer vektora , sa volá vektorový vektor .
Vektory sa nazývajú kolineárne , ak ležia na rovnakej čiare alebo na rovnobežných čiarach, napíšte. Kolineárne vektory môžu mať rovnaký alebo opačný smer. Nulový vektor sa považuje za kolineárny s akýmkoľvek vektorom.
Vektory sa nazývajú rovnakéak sú kolineárne, majú rovnaký smer a rovnakú dĺžku.
V priestore sa nazývajú tri vektory koplanárny ak ležia v rovnakej rovine alebo na rovnobežných rovinách. Ak z troch vektorov je aspoň jeden nula alebo ktorékoľvek dva sú kolineárne, potom sú takéto vektory koplanárne.
Uvažujme v priestore pravouhlý súradnicový systém 0 xyz. Vyberte na súradnicových osiach 0 X, 0r, 0z jednotkové vektory (orts) a označujú ichresp. Vyberieme ľubovoľný priestorový vektor a priradíme jeho počiatok k počiatku. Vektor premietneme na súradnicové osi a označíme projekcie o a x, a y, a z resp. Potom je ľahké to ukázať
.
(2.25)
Tento vzorec je základný vo vektorovom počte a nazýva sa expanzia vektora v jednotkových vektoroch súradnicových osí . čísla a x, a y, a z volal vektorové súradnice . Súradnice vektora sú teda jeho projekcie na súradnicové osi. Vektorová rovnosť (2.25) sa často píše ako
Na vizuálne rozlíšenie medzi vektorovými súradnicami a bodovými súradnicami použijeme vektorovú notáciu v zložených zátvorkách. Pomocou vzorca pre dĺžku segmentu, známeho zo školskej geometrie, môžete nájsť výraz pre výpočet modulu vektora:
,
(2.26)
to znamená, že modul vektora sa rovná druhej odmocnine súčtu druhých mocnín jeho súradníc.
Označme uhly medzi vektorovou a súradnicovou osou α, β, γ resp. kosínusy tieto uhly sa nazývajú vektor sprievodcov a platí pre ne nasledujúci vzťah:Správnosť tejto rovnosti je možné ukázať pomocou vlastnosti premietania vektora na os, o ktorej budeme uvažovať v nasledujúcom odseku 4.
Nech sú vektory dané v trojrozmernom priestores ich súradnicami. Prebiehajú na nich tieto operácie: lineárne (sčítanie, odčítanie, násobenie číslom a premietanie vektora na os alebo iný vektor); nelineárne - rôzne produkty vektorov (skalárne, vektorové, zmiešané).
1. Doplnenie dva vektory sú produkované súradnicovo, teda ak
Tento vzorec platí pre ľubovoľný konečný počet členov.
Geometricky sa dva vektory pridávajú podľa dvoch pravidiel:
a) pravidlo trojuholník - výsledný vektor súčtu dvoch vektorov spája začiatok prvého z nich s koncom druhého za predpokladu, že začiatok druhého sa zhoduje s koncom prvého vektora; pre súčet vektorov výsledný vektor súčtu spája začiatok prvého z nich s koncom posledného vektorového členu za predpokladu, že začiatok nasledujúceho členu sa zhoduje s koncom predchádzajúceho;
b) pravidlo rovnobežník (pre dva vektory) - rovnobežník je postavený na vektoroch-sčítancoch ako na stranách zmenšených na jeden začiatok; uhlopriečka rovnobežníka vychádzajúca z ich spoločného počiatku je súčtom vektorov.
2. Odčítanie dva vektory sú produkované súradnicovo, podobne ako pri sčítaní, teda ak, potom
Geometricky sa dva vektory sčítajú podľa už spomínaného pravidla rovnobežníka, pričom sa berie do úvahy skutočnosť, že rozdielom vektorov je uhlopriečka spájajúca konce vektorov a výsledný vektor smeruje od konca odčítaného vektora k koniec redukovaného vektora.
Dôležitým dôsledkom odčítania vektorov je skutočnosť, že ak sú známe súradnice začiatku a konca vektora, potom na výpočet súradníc vektora je potrebné odpočítať súradnice jeho začiatku od súradníc jeho konca
. V skutočnosti akýkoľvek priestorový vektormožno znázorniť ako rozdiel dvoch vektorov vychádzajúcich z počiatku:
. Vektorové súradnice a sa zhodujú so súradnicami bodovALE a AT, od vznikuO(0;0;0). Podľa pravidla odčítania vektora by sa teda súradnice bodu mali odčítaťALEzo súradníc boduAT.
3.
o
násobenie vektora číslom λ
súradnicovo:
.
o λ> 0 - vektor spolurežírovaný ; λ< 0 - vektor opačný smer ; | λ|> 1 - dĺžka vektora zvyšuje sa v λ raz;| λ|< 1 - dĺžka vektora klesá v λ raz.
4. Nech je v priestore daná nasmerovaná čiara (os l), vektordané koncovými a začiatočnými súradnicami. Označte projekcie bodov A a B na nápravu l respektíve cez A’ a B’ .
projekcia vektor na nápravu lsa nazýva dĺžka vektora, brané so znamienkom "+", ak je vektor a os lko-smerný a so znamienkom "-", ak a lopačne smerované.
Ak ako os l vziať nejaký iný vektor, potom dostaneme projekciu vektora na vektore r .
Pozrime sa na niektoré základné vlastnosti projekcií:
1) vektorová projekcia na nápravu lsa rovná súčinu modulu vektorao kosínus uhla medzi vektorom a osou, tzn
;
2.) projekcia vektora na os je kladná (záporná), ak vektor zviera s osou ostrý (tupý) uhol, a rovná sa nule, ak je tento uhol pravý;
3) priemet súčtu niekoľkých vektorov na rovnakú os sa rovná súčtu priemetov na tejto osi.
Formulujme definície a vety o súčinoch vektorov reprezentujúcich nelineárne operácie s vektormi.
5. Skalárny súčin vektory anazývané číslo (skalár), ktoré sa rovná súčinu dĺžok týchto vektorov a kosínusu uhlaφ medzi nimi, tzn
.
(2.27)
Je zrejmé, že skalárny štvorec akéhokoľvek nenulového vektora sa rovná štvorcu jeho dĺžka, keďže v tomto prípade uhol , takže jeho kosínus (v 2.27) je 1.
Veta 2.2.Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou kolmosti dvoch vektorov je nulová rovnosť ich skalárneho súčinu.
Dôsledok. Párové skalárne produkty jednotkových vektorov sa rovnajú nule, tj.
Veta 2.3. Bodový súčin dvoch vektorov, daný ich súradnicami, sa rovná súčtu súčinov ich rovnomenných súradníc, tzn
(2.28)
Pomocou skalárneho súčinu vektorov môžete vypočítať uholmedzi nimi. Ak sú uvedené dva nenulové vektory s ich súradnicami, potom kosínus uhlaφ medzi nimi:
(2.29)
Z toho vyplýva podmienka kolmosti nenulových vektorov a:
(2.30)
Nájdenie projekcie vektorado smeru daného vektorom sa môže uskutočniť podľa vzorca
(2.31)
Pomocou skalárneho súčinu vektorov sa zistí práca konštantnej silyna rovnej trati.
Predpokladáme, že pri pôsobení konštantnej sily hmotný bod sa z pozície pohybuje po priamke ALE do pozície b. Vektor sily tvorí uhol φ s vektorom posunutia (obr. 2.14). Fyzika hovorí, že práca vykonaná silou pri pohybe rovná sa .
Príklad 2.9.Pomocou skalárneho súčinu vektorov nájdite uhol vo vrcholeArovnobežníkA B C D, stavať na vektoroch
Riešenie. Vypočítajme moduly vektorov a ich skalárny súčin podľa vety (2.3):
Odtiaľ podľa vzorca (2.29) získame kosínus požadovaného uhla
Príklad 2.10.Náklady na suroviny a materiálne zdroje použité na výrobu jednej tony tvarohu sú uvedené v tabuľke 2.2 (v rubľoch).
Aká je celková cena týchto zdrojov vynaložených na výrobu jednej tony tvarohu?Tabuľka 2.2
Potom 
.Celkové náklady na zdroje
, čo je skalárny súčin vektorov. Vypočítame to podľa vzorca (2.28) podľa vety 2.3:
Poznámka. Akcie s vektormi vykonané v príklade 2.10 možno vykonať na osobnom počítači. Na nájdenie skalárneho súčinu vektorov v MS Excel slúži funkcia SUMPRODUCT(), kde sa ako argumenty uvádzajú adresy rozsahov maticových prvkov, ktorých súčet súčinov treba nájsť. V MathCAD sa bodový súčin dvoch vektorov vykonáva pomocou zodpovedajúceho operátora panela nástrojov Matrix
Príklad 2.11. Vypočítajte prácu vykonanú silou
, ak sa bod jeho aplikácie pohybuje priamočiaro z polohy A(2;4;6) do polohy A(4;2;7). Pod akým uhlom AB riadená sila ?Riešenie. Vektor posunutia nájdeme odčítaním od súradníc jeho koncaštartovacie súradnice
. Podľa vzorca (2.28)(jednotky práce).
Rohový φ medzi a zistíme podľa vzorca (2.29), t.j.
6. Tri nekoplanárne vektory, prijaté v tomto poradí, formesprávne tri, ak pri pohľade od konca tretieho vektoranajkratšia zákruta od prvého vektorado druhého vektoravykonávané proti smeru hodinových ručičiek avľavo ak v smere hodinových ručičiek.
vektorové umenie vektor na vektor nazývaný vektor , ktorý spĺňa nasledujúce podmienky:
– kolmo na vektory a ;
- má dĺžku rovnajúcu sa
, kde φ
je uhol tvorený vektormi a ;
– vektory tvoria pravú trojicu (obr. 2.15).
Veta 2.4.Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou kolinearity dvoch vektorov je nulová rovnosť ich vektorového súčinu
Veta 2.5. Krížový súčin vektorov, daný ich súradnicami, sa rovná determinantu tretieho rádu formulára
(2.32)
Poznámka. Determinant (2.25) expanduje podľa vlastnosti 7 determinantov
Dôsledok 1.Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou kolinearity dvoch vektorov je úmernosť ich príslušných súradníc
Dôsledok 2. Vektorové produkty jednotkových vektorov sú rovnaké
Dôsledok 3.Vektorový štvorec ľubovoľného vektora je nula
Geometrická interpretácia vektorový produkt
je, že dĺžka výsledného vektora sa číselne rovná ploche S rovnobežník postavený na vektoroch-faktoroch ako na stranách zredukovaných na rovnaký pôvod. V skutočnosti sa podľa definície modul krížového súčinu vektorov rovná
.
Na druhej strane oblasť rovnobežníka postavená na vektoroch a , sa tiež rovná 
. v dôsledku toho
.
(2.33)
Tiež pomocou krížového súčinu môžete určiť moment sily okolo bodu a lineárne rýchlosť otáčania.
Nech v bode A aplikovaná sila nechaj to tak O - nejaký bod v priestore (obr. 2.16). Z priebehu fyziky je známe, že moment sily vzhľadom na bod Onazývaný vektor , ktorý prechádza bodomOa spĺňa nasledujúce podmienky:
Kolmo na rovinu prechádzajúcu bodmi O, A, B;
Jeho modul sa číselne rovná súčinu sily a ramena.
- tvorí pravú trojicu s vektormi a.
Preto ten moment sily vzhľadom na bodOje vektorový produkt
. (2.34)
bod osi (obr. 2.17).
Príklad 2.12. Nájdite oblasť trojuholníka pomocou krížového produktu ABC, postavené na vektorochzredukované na rovnaký pôvod.
Existujú dva spôsoby riešenia problémov so stereometriou
Prvá – klasická – vyžaduje výborné znalosti axióm a teorémov stereometrie, logiky, schopnosť postaviť kresbu a zredukovať trojrozmerný problém na planimetrický. Metóda je dobrá, pretože rozvíja mozog a priestorovú predstavivosť.
Ďalšou metódou je použitie vektorov a súradníc. Sú to jednoduché vzorce, algoritmy a pravidlá. Je to veľmi pohodlné, najmä keď je pred skúškou málo času, ale chcete problém vyriešiť.
Ak ste to zvládli, potom pochopíte vektory v priestore. Mnohé pojmy budú známe.
Súradnicový systém v priestore
Vyberme si pôvod súradníc. Narysujme si tri na seba kolmé osi X, Y a Z. Nastavme si vhodnú mierku.
Ukázalo sa súradnicový systém v trojrozmernom priestore. Teraz je každý jeho bod charakterizovaný tromi číslami - súradnicami v X, Y a Z. Napríklad záznam M(−1; 3; 2) znamená, že súradnica bodu M v X (abscisa) je −1, súradnica v Y (ordináta) sa rovná 3 a súradnica Z (aplikácia) je 2.
Vektory v priestore sú definované rovnakým spôsobom ako v rovine. Sú to riadené segmenty, ktoré majú začiatok a koniec. Len v priestore je vektor daný tromi súradnicami x, y a z:
Ako nájsť súradnice vektora? Rovnako ako v rovine, odčítame počiatočnú súradnicu od koncovej súradnice.
Dĺžka vektora v priestore je vzdialenosť medzi bodmi A a B. Zisťujeme ju ako druhú odmocninu súčtu druhých mocnín súradníc vektora.
Nech bod M je stredom segmentu AB. Jeho súradnice nájdeme podľa vzorca:
Na sčítanie vektorov používame už známe pravidlo trojuholníka a pravidlo rovnobežníka.
Súčet vektorov, ich rozdiel, súčin vektora číslom a skalárny súčin vektorov sú definované rovnakým spôsobom ako v rovine. Len súradnice nie sú dve, ale tri. Zoberme si vektory a .
Súčet vektorov:
Vektorový rozdiel:
Súčin vektora číslom:
Bodový súčin vektorov:
Kosínus uhla medzi vektormi:
Posledný vzorec je vhodný na nájdenie uhla medzi čiarami v priestore. Najmä ak sa tieto čiary pretínajú. Pripomeňme, že takto sa označujú čiary, ktoré nie sú rovnobežné a nepretínajú sa. Ležia v rovnobežných rovinách.
1. V kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sú body E a K stredy hrán A 1 B 1 a B 1 C 1 v tomto poradí. Nájdite kosínus uhla medzi priamkami AE a BK.
Ak máte kocku, máte šťastie. Dokonale zapadá do pravouhlého súradnicového systému. Vytvorenie výkresu:
Dĺžka hrany kocky nie je daná. Nech je to čokoľvek, uhol medzi AE a BK na tom nezávisí. Vezmime si teda jednotkovú kocku, ktorej všetky hrany sú rovné 1.
Priamy AE a BK - kríž. Nájdite uhol medzi vektormi a . Vyžaduje si to ich súradnice.
Napíšme súradnice vektorov:
a nájdite kosínus uhla medzi vektormi a :
2. V správnom štvorhranná pyramída SABCD, ktorého všetky hrany sú rovné 1, body E, K sú stredy hrán SB a SC. Nájdite kosínus uhla medzi priamkami AE a BK.
Najlepšie je vybrať počiatok v strede základne pyramídy a osi X a Y urobiť rovnobežnými so stranami základne.
Súradnice bodov A, B a C sa dajú ľahko nájsť:
Od správny trojuholník AOS nájsť
Súradnice vrcholov pyramídy:
Bod E je stredom SB a K je stredom SC. Použime vzorec pre súradnice stredu segmentu a nájdime súradnice bodov E a K.
Nájdite súradnice vektorov a
a uhol medzi nimi:
Ukážme si teraz, ako vpísať súradnicový systém do trojuholníkového hranola:
3. V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, je bod D stredom hrany A 1 B 1 . Nájdite kosínus uhla medzi priamkami AD a BC 1
Nech je bod A východiskom. Zoberme si os X rovnobežnú so stranou BC a os Y kolmú na ňu. Inými slovami, segment AH bude ležať na osi Y, čo je výška trojuholníka ABC. Samostatne nakreslite spodnú základňu hranola.
Napíšme súradnice bodov:
Bod D je stredom A 1 B 1 . Takže používame vzorce pre súradnice stredu
segment.
Nájdite súradnice vektorov a a potom uhol medzi nimi:
Pozrite sa, aké ľahké je nájsť uhol medzi čiarami pomocou vektorov a súradníc. A ak chcete nájsť uhol medzi rovinami alebo medzi čiarou a rovinou? Na vyriešenie takýchto problémov potrebujeme rovnicu roviny v priestore.
Rovina v priestore je daná rovnicou:
Čísla A, B a C sú súradnice vektora kolmého na túto rovinu. Nazýva sa normálna k rovine.
Namiesto x, y a z môžete do rovnice dosadiť súradnice ľubovoľného bodu patriaceho do tejto roviny. Získajte správnu rovnováhu.
Rovina v priestore môže byť nakreslená cez ľubovoľné tri body, ktoré neležia na rovnakej priamke. Preto, aby sme napísali rovnicu roviny, vezmeme súradnice troch bodov, ktoré k nej patria. Postupne ich dosadíme do rovnice roviny. Riešime výsledný systém.
Poďme si ukázať, ako sa to robí.
Napíšme rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) a K (4; 1; 2).
Rovnica roviny vyzerá takto:
Postupne dosaďte súradnice bodov M, N a K.
Pre bod M:
To znamená, že A + C + D = 0.
Pre bod N:
Podobne pre bod K:
Dostali sme systém troch rovníc:
Sú v nej štyri neznáme: A, B, C a D. Jednu z nich si preto sami vyberieme, ostatné prostredníctvom nej vyjadríme. Pravidlo je jednoduché - namiesto jednej z premenných môžete vziať akékoľvek číslo, ktoré sa nerovná nule.
Nech je napríklad D = −2. potom:
Vyjadrite C a B ako A a dosaďte do tretej rovnice:
Vyriešením systému dostaneme:
Rovnica roviny MNK má tvar:
Vynásobte obe strany rovnice −3. Potom sa koeficienty stanú celými číslami:
Vektor je normála k rovine MNK.
Rovnica roviny prechádzajúcej daným bodom má tvar:
Uhol medzi rovinami rovný uhlu medzi normálami k týmto rovinám:
Nie je to známy vzorec? Skalárny súčin normál sa vydelil súčinom ich dĺžok.
Všimnite si, že keď sa pretínajú dve roviny, v skutočnosti sa vytvoria štyri rohy.
Berieme ten menší. Preto vzorec obsahuje modul skalárneho súčinu - takže kosínus uhla je nezáporný.
4. V kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sú body E a F stredy hrán A 1 B 1 a A 1 D 1 v tomto poradí. Nájdite dotyčnicu uhla medzi rovinami AEF a BDD 1 .
Vytvárame výkres. Je vidieť, že roviny AEF a BDD 1 sa pretínajú niekde mimo kocky. AT klasické riešenie by museli vybudovať líniu ich križovatky. Ale metóda vektorových súradníc všetko výrazne zjednodušuje. Nelámme si hlavu nad čiarou, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú. Stačí označiť súradnice bodov, ktoré potrebujeme a nájsť uhol medzi normálami k rovinám AEF a BDD 1 .
Prvá - normála k rovine BDD 1 . Samozrejme do rovnice roviny môžeme dosadiť súradnice bodov B, D a D 1 a nájsť koeficienty, ktoré budú súradnicami normálového vektora. A môžeme to urobiť prefíkanejšie - viď požadovaný normál priamo na výkrese. Koniec koncov, rovina BDD 1 je diagonálny rez kocky. Vektor je kolmý na túto rovinu.
Takže už máme prvý normálny vektor:
Napíšme rovnicu roviny AEF.
Zoberieme rovnicu roviny a namiesto x, y a z do nej dosadíme zodpovedajúce súradnice bodov A, E a F.
Zjednodušme systém:
Nech C = -1. Potom A = B = 2.
Rovnica roviny AEF:
Normálne do roviny AEF:
Nájdite uhol medzi rovinami:
5. Podstava pravého štvorbokého hranola BCDA 1 B 1 C 1 D 1 je obdĺžnik ABCD, v ktorom AB = 5, AD = √33. Nájdite dotyčnicu uhla medzi rovinou čela AA 1 D 1 D a rovinou prechádzajúcou stredom hrany CD kolmou na priamku B 1 D, ak vzdialenosť medzi priamkami A 1 C 1 a BD je √3. .
Táto úloha jasne ukazuje, o koľko je vektorová metóda jednoduchšia ako klasická. Skúste si pre zmenu postaviť potrebné úseky a vykonajte všetky dôkazy - ako sa to robí v "klasike" :-)
Vytvárame výkres. Pravý štvoruholníkový hranol možno nazvať „rovnobežník“ aj iným spôsobom.
Všimli sme si, že máme dĺžku a šírku rovnobežnostena, ale zdá sa, že výška nie je daná. Ako ju nájsť?
"Vzdialenosť medzi čiarami A 1 C 1 a BD je √3". Línie A 1 C 1 a BD sa pretínajú. Jedna z nich je uhlopriečka hornej základne, druhá je uhlopriečka spodnej. Pripomeňme, že vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami sa rovná dĺžke ich spoločnej kolmice. Spoločná kolmica k A 1 C 1 a BD je zjavne OO 1 , kde O je priesečník uhlopriečok spodnej základne, O 1 je priesečník uhlopriečok hornej. A segment OO 1 sa rovná výške rovnobežnostena.
Takže AA 1 = √3
Rovina AA 1 D 1 D je na našom výkrese zadná strana hranola. Normál k nej je akýkoľvek vektor, ktorý je kolmý na zadnú stranu, ako napríklad vektor alebo jednoduchšie vektor.
Zostáva „rovina prechádzajúca stredom okraja CD kolmá na priamku B 1 D“. Ale ak je rovina kolmá na priamku B 1 D, potom B 1 D je normála k tejto rovine! Súradnice bodov B1 a D sú známe:
Vektorové súradnice - tiež.
Všetky definície a vety týkajúce sa vektorov v rovine platia aj pre priestor. Pripomíname hlavné definície.
Na definovanie vektora potrebujeme
Definícia
Smerový segment sa nazýva usporiadaná dvojica bodov v priestore. Riadené segmenty sú tzv rovný ak majú rovnakú dĺžku a smer.
Definícia
Vektor je množina všetkých rovnako orientovaných segmentov.
Vektory sa zvyčajne označujú malými písmenami latinky so šípkou nad nimi: $\vec(a)$, $\vec(b)$, $\vec(c)$. Smerované segmenty sú označené označením začiatku a konca, tiež šípkou zhora: $\vec(AB)$.
Vektor je množina pozostávajúca z nekonečného počtu prvkov. Často sa riadený segment označuje ako "vektor". Ak $\vec(AB) \in \vec(a)$, potom nasmerovaný segment $\vec(AB)$ predstavuje vektor $\vec(a)$. Zároveň je na výkrese nakreslený smerovaný segment a hovoria o ňom "vektor". Napríklad, keď povieme „umiestnite vektor $\vec(r)$ preč od bodu $O$, myslíme tým, že vytvárame smerovaný segment $\vec(OR)$ predstavujúci vektor $\vec(r) $.
Definícia
Vektory sa nazývajú rovný, ak sú orientované segmenty, ktoré ich zobrazujú, rovnaké.
Na vektoroch môžete vykonávať operácie sčítania a odčítania, ako aj vynásobiť daný vektor skutočným číslom.
Pravidlo trojuholníka je známe z planimetrie: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$,
pravidlo rovnobežníka: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$
a pravidlo polygonálneho sčítania vektorov pre rovinu, ktoré platia aj v priestore.
Pravidlo lomenej čiary pre sčítanie vektorov
Ak $A_1, \, A_2, \, \dots, \, A_n$ sú ľubovoľné body v priestore, potom
$ \vec(A_1A_2) + \bodky + \vec(A_(n-1)A_n) = \vec(A_1A_n). $
Navyše vo vesmíre to platí
Krabicové pravidlo
Ak $\vec(OA) \in \vec(a)$, $\vec(OB) \in \vec(b)$, $\vec(OC) \in \vec(c)$, potom zostrojením na smerovaných segmentoch rovnobežnostena $OAEBCFDG$ je možné nájsť smerovaný segment $\vec(OD)$ reprezentujúci vektor $\vec(d)$, ktorý je súčtom vektorov $\vec(a), \, \vec(b), \, \vec(c).$
