Štúdie
V akej geometrii sa pretínajú rovnobežné čiary? Axiomatika Lobačevského geometrie Výrok o Lobačevského geometrii

V akej geometrii sa pretínajú rovnobežné čiary? Axiomatika Lobačevského geometrie Výrok o Lobačevského geometrii

Lobačevského lietadlo

Geometria Lobačevského (hyperbolická geometria počúvajte)) je jednou z neeuklidovských geometrií, geometrická teória založená na rovnakých základných premisách ako bežná euklidovská geometria, s výnimkou paralelnej axiómy, ktorá je nahradená Lobačevského paralelnou axiómou.

Euklidovská axióma paralel hovorí:

cez bod, ktorý neleží na danej priamke, existuje len jedna priamka, ktorá leží s danou priamkou v rovnakej rovine a nepretína ju.

V Lobačevského geometrii sa namiesto toho akceptuje nasledujúca axióma:

bodom, ktorý neleží na danej priamke, prechádzajú aspoň dve priamky, ktoré ležia s danou priamkou v rovnakej rovine a nepretínajú ju.

Lobačevského geometria má rozsiahle aplikácie v matematike aj fyzike. Jeho historický význam spočíva v tom, že Lobačevskij svojou konštrukciou ukázal možnosť geometrie odlišnej od euklidovskej, čo znamenalo novú éru vo vývoji geometrie a matematiky vôbec.

Príbeh

Pokusy dokázať piaty postulát

Východiskovým bodom Lobačevského geometrie bol Euklidov piaty postulát, axióma ekvivalentná paralelnej axióme. Bola zaradená do zoznamu postulátov v Euklidových Prvkoch). Relatívna zložitosť a neintuitívnosť jej formulácie vyvolávala pocit jej sekundárnej povahy a viedla k pokusom odvodiť ju od ostatných Euklidových postulátov.

Medzi tými, ktorí sa to snažili dokázať, boli títo vedci:

starogrécki matematici Ptolemaios (II. storočie), Proklus (V. storočie) (založené na predpoklade, že vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými je konečná),
Ibn al-Haytham z Iraku (koniec - začiatok storočia) (založené na predpoklade, že koniec pohybu kolmo na priamku opisuje priamku),
iránski matematici Omar Khayyam (2. polovica - začiatok 12. storočia) a Nasir ad-Din at-Tusi (XIII. storočie) (založené na predpoklade, že dve zbiehajúce sa línie sa nemôžu naďalej rozchádzať bez toho, aby sa prekrížili),
Nemecký matematik Clavius (),
talianski matematici
- Cataldi (prvýkrát v roku 1603 publikoval prácu úplne venovanú otázke paralel),
anglický matematik Wallis ( , publikovaný v ) (založený na predpoklade, že pre každý údaj existuje číslo podobné, ale nie rovnaké),
Francúzsky matematik Legendre () (založený na predpoklade, že cez každý bod vnútri ostrého uhla môžete nakresliť čiaru, ktorá pretína obe strany uhla; mal aj iné pokusy o dôkaz).

V týchto pokusoch dokázať piaty postulát zaviedli matematici nejaké nové tvrdenie, ktoré sa im zdalo zrejmejšie.

Boli urobené pokusy použiť dôkaz protirečenia:

taliansky matematik Saccheri () (keď sformuloval tvrdenie, ktoré je v rozpore s postulátom, vyvodil z toho množstvo dôsledkov a keďže niektoré z nich mylne uznal za protirečivé, považoval postulát za preukázaný),
Nemecký matematik Lambert (o, publikované v r) (po vykonaní výskumu priznal, že v systéme, ktorý vybudoval, nemôže nájsť rozpory).

Nakoniec sa začalo chápať, že je možné zostaviť teóriu založenú na opačnom postuláte:

Nemeckí matematici F. Schweikart () a Taurinus () (neuvedomili si však, že takáto teória bude rovnako logicky koherentná).

Vytvorenie neeuklidovskej geometrie

Lobačevskij vo svojej práci „O princípoch geometrie“ (), svojej prvej tlačenej práci o neeuklidovskej geometrii, jasne uviedol, že postulát V nemožno dokázať na základe iných predpokladov euklidovskej geometrie a že predpoklad postulátu opak Euklidovho postulátu umožňuje konštruovať geometriu rovnako zmysluplnú, ako je euklidovská, a bez rozporov.

Súčasne a nezávisle k podobným záverom dospel aj Janos Bolyai a Carl Friedrich Gauss k takýmto záverom dospel ešte skôr. Bolyaiove spisy však neupútali pozornosť a túto tému čoskoro opustil, zatiaľ čo Gauss sa zdržal vôbec publikovania a jeho názory možno posúdiť len z niekoľkých listov a denníkových záznamov. Napríklad v liste astronómovi G. H. Schumacherovi z roku 1846 hovorí Gauss o Lobačevského práci takto:

Toto dielo obsahuje základy geometrie, ktorá by sa musela uskutočniť a navyše by tvorila prísne konzistentný celok, keby euklidovská geometria nebola pravdivá... Lobačevskij to nazýva „imaginárna geometria“; Viete, že už 54 rokov (od roku 1792) zdieľam tie isté názory s nejakým ich vývojom, ktorý tu nechcem spomínať; v diele Lobačevského som teda nenašiel pre seba vlastne nič nové. Ale vo vývoji námetu autor nešiel cestou, ktorou som išiel ja sám; je to majstrovsky urobené Lobačevským v naozaj geometrickom duchu. Považujem za povinnosť upozorniť vás na toto dielo, ktoré vám určite urobí celkom výnimočné potešenie.

V dôsledku toho sa Lobačevskij správal ako prvý najbystrejší a najdôslednejší propagátor tejto teórie.

Lobačevského geometria sa síce vyvinula ako špekulatívna teória a sám Lobačevskij ju nazval „imaginárnou geometriou“, no práve Lobačevskij ju považoval nie za hru mysle, ale za možnú teóriu priestorových vzťahov. Dôkaz o jeho konzistentnosti však bol podaný až neskôr, keď boli naznačené jeho interpretácie a tým bola úplne vyriešená otázka jeho skutočného významu, logickej konzistentnosti.

Výrok Lobačevského geometrie

roh je ešte náročnejší.

Poincaré model

Obsah Lobačevského geometrie

Ceruzka rovnobežných čiar v geometrii Lobačevského

Lobačevskij postavil svoju geometriu, vychádzajúc zo základných geometrických pojmov a svojej axiómy, a dokázal vety geometrickou metódou, podobne ako sa to robí v Euklidovej geometrii. Ako základ poslúžila teória rovnobežných línií, pretože tu začína rozdiel medzi Lobačevského geometriou a Euklidovou geometriou. Všetky vety, ktoré nezávisia od axiómy rovnobežiek, sú spoločné pre obe geometrie a tvoria takzvanú absolútnu geometriu, kam patria napríklad vety o rovnosti trojuholníkov. V nadväznosti na teóriu rovnobežiek boli postavené ďalšie sekcie, vrátane trigonometrie a princípov analytickej a diferenciálnej geometrie.

Uveďme (v modernej notácii) niekoľko faktov Lobačevského geometrie, ktoré ju odlišujú od Euklidovej geometrie a ktoré založil sám Lobačevskij.

Cez bodku P neleží na danej linke. R(pozri obrázok), rovných čiar, ktoré sa nepretínajú, je nekonečne veľa R a nachádza sa s ním v rovnakej rovine; medzi nimi sú dva extrémy X, r, ktoré sa nazývajú rovnobežné čiary R v zmysle Lobačevského. V Kleinových (Poincareových) modeloch sú zastúpené akordmi (oblúky kruhov) majúce s akordom (oblúkom) R spoločný koniec (ktorý je podľa definície modelu vylúčený, takže tieto čiary nemajú žiadne spoločné body).

Uhol medzi kolmicou PB od P na R a každý z paralelných (tzv uhol rovnobežnosti), keď je bod odstránený P klesá od priamky z 90° na 0° (v Poincarého modeli sa uhly v obvyklom zmysle zhodujú s uhlami v zmysle Lobačevského, a preto je na nej priamo vidieť túto skutočnosť). Paralelné X na jednej strane (a r opačne) sa približuje asymptoticky a, a na druhej strane sa od neho nekonečne vzďaľuje (v modeloch sa vzdialenosti ťažko určujú, a preto tento fakt nie je priamo viditeľný).

Pre bod nachádzajúci sa od danej priamky vo vzdialenosti PB = a(pozri obrázok), Lobačevskij dal vzorec pre uhol rovnobežnosti P(a) :

Tu q je nejaká konštanta súvisiaca so zakrivením Lobačevského priestoru. Môže slúžiť ako absolútna jednotka dĺžky rovnakým spôsobom, ako v guľovej geometrii polomer gule zaujíma špeciálnu pozíciu.

Ak majú čiary spoločnú kolmicu, potom sa nekonečne rozchádzajú na oboch jej stranách. Do ktorejkoľvek z nich je možné obnoviť kolmice, ktoré nedosahujú druhú čiaru.

V Lobačevského geometrii neexistujú podobné, ale nerovnaké trojuholníky; trojuholníky sú zhodné, ak sú ich uhly rovnaké.

Súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je menší ako π a môže byť ľubovoľne blízky nule. To je priamo viditeľné na modeli Poincaré. Rozdiel δ \u003d π - (α + β + γ), kde α, β, γ sú uhly trojuholníka, je úmerný jeho ploche:

Zo vzorca je zrejmé, že existuje maximálna plocha trojuholníka a toto je konečné číslo: π q 2 .

Čiara rovnakých vzdialeností od priamky nie je priamka, ale špeciálna krivka nazývaná ekvidistantou, resp. hypercyklus.

Hranicou kružníc s nekonečne sa zväčšujúcim polomerom nie je priamka, ale špeciálna krivka tzv limitný kruh alebo horocyklus.

Limitom sfér s nekonečne sa zväčšujúcim polomerom nie je rovina, ale špeciálny povrch – limitná guľa, alebo horosféra; je pozoruhodné, že sa na ňom drží euklidovská geometria. To slúžilo Lobačevskému ako základ pre odvodenie trigonometrických vzorcov.

Obvod nie je úmerný polomeru, ale rastie rýchlejšie. Najmä v geometrii Lobačevského nemožno číslo π definovať ako pomer obvodu kruhu k jeho priemeru.

Čím menšia je oblasť v priestore alebo na Lobačevského rovine, tým menej sa geometrické vzťahy v tejto oblasti líšia od vzťahov euklidovskej geometrie. Môžeme povedať, že v nekonečne malej oblasti sa euklidovská geometria odohráva. Napríklad, čím menší je trojuholník, tým menej sa súčet jeho uhlov líši od π; čím menší je kruh, tým menej sa pomer jeho dĺžky k polomeru líši od 2π atď. Zmenšenie plochy je formálne ekvivalentné zväčšeniu jednotkovej dĺžky, preto sa s nekonečným nárastom jednotkovej dĺžky menia vzorce Lobačevského geometrie na vzorce euklidovskej geometrie. Euklidovská geometria je v tomto zmysle „obmedzujúcim“ prípadom Lobačevského geometrie.

Aplikácie

Sám Lobačevskij aplikoval svoju geometriu na výpočet určitých integrálov.
V teórii funkcií komplexnej premennej pomohla Lobačevského geometria vybudovať teóriu automorfných funkcií. Spojenie s Lobačevského geometriou tu bolo východiskom Poincarého výskumu, ktorý napísal, že „neeuklidovská geometria je kľúčom k vyriešeniu celého problému“.
Lobačevského geometria nachádza uplatnenie aj v teórii čísel, v jej geometrických metódach, zjednotených pod názvom „geometria čísel“.
Medzi Lobačevského geometriou a kinematikou špeciálnej (súkromnej) teórie relativity sa vytvorilo úzke spojenie. Toto spojenie je založené na skutočnosti, že rovnosť vyjadruje zákon šírenia svetla

pri delení podľa t 2, teda pre rýchlosť svetla, dáva

- rovnica gule v priestore so súradnicami v X , v r , v z- zložky rýchlosti pozdĺž osí X, pri, z(v "rýchlostnom priestore"). Lorentzove transformácie zachovávajú túto sféru a keďže sú lineárne, transformujú priame rýchlostné priestory na priame čiary. Preto podľa Kleinovho modelu v priestore rýchlostí vo vnútri gule s polomerom s, teda pre rýchlosti menšie ako je rýchlosť svetla prebieha Lobačevského geometria.

Lobačevského geometria našla pozoruhodné uplatnenie vo všeobecnej teórii relativity. Ak považujeme rozloženie hmotností hmoty vo vesmíre za rovnomerné (táto aproximácia je prijateľná v kozmickom meradle), potom sa ukazuje, že za určitých podmienok má priestor Lobačevského geometriu. Lobačevského predpoklad jeho geometrie ako možnej teórie reálneho priestoru bol teda opodstatnený.
Pomocou modelu Klein je podaný veľmi jednoduchý a krátky dôkaz

Geometria Lobačevského

Úvod

Kapitola I. História vzniku neeuklidovskej geometrie

Kapitola II. Geometria Lobačevského

2.1 Základné pojmy

2.2 Konzistencia Lobačevského geometrie

2.3 Modely Lobačevského geometrie

2.4 Chyba trojuholníka a mnohouholníka

2.5 Absolútna jednotka dĺžky v Lobačevského geometrii

2.6 Definícia rovnobežky. Funkcia P(x)

2.7 Poincare model

Praktická časť

1. Súčet uhlov trojuholníka

2. Otázka existencie takýchto čísel

3. Hlavná vlastnosť paralelizmu

4. Vlastnosti funkcie P(x)

Záver. závery

Aplikácie

Zoznam použitej literatúry

Úvod

Táto práca ukazuje podobnosti a rozdiely oboch geometrií na príklade dôkazu jedného z Euklidových postulátov a pokračovania týchto pojmov v Lobačevského geometrii s prihliadnutím na vtedajšie výdobytky vedy.

Akákoľvek teória modernej vedy sa považuje za správnu, kým sa nevytvorí ďalšia. Toto je druh axiómy rozvoja vedy. Táto skutočnosť sa už mnohokrát potvrdila.

Newtonova fyzika prerástla do relativistickej a to - do kvantovej. Z flogistónovej teórie sa stala chémia. Taký je osud všetkých vied. Tento osud neobišiel ani geometriu. Tradičná geometria Euklida prerástla do geometrie. Lobačevského. Táto práca je venovaná tomuto vednému odboru.

Účel tejto práce: zvážiť rozdiel medzi Lobačevského geometriou a Euklidovou geometriou.

Ciele tejto práce: porovnať teorémy Euklidovej geometrie s podobnými teorémami Lobačevského geometrie;

riešením úloh odvodiť polohy Lobačevského geometrie.

Závery: 1. Lobačevského geometria je postavená na odmietnutí piateho Euklidovho postulátu.

2. V Lobačevského geometrii:

neexistujú žiadne podobné trojuholníky, ktoré nie sú rovnaké;

dva trojuholníky sú rovnaké, ak sú ich uhly rovnaké;

súčet uhlov trojuholníka sa nerovná 180 0, ale je menší (súčet uhlov trojuholníka závisí od jeho veľkosti: čím väčšia je plocha, tým viac sa súčet líši od 180 0; a naopak, čím je plocha menšia, tým je súčet jej uhlov bližšie k 180 0);

cez bod mimo priamky možno nakresliť viac ako jednu priamku rovnobežnú s danou priamkou.

Kapitola 1. História vzniku neeuklidovskej geometrie

1.1 V postulát Euklida, pokusy to dokázať

Euclid je autorom prvej rigoróznej logickej konštrukcie geometrie, ktorá sa k nám dostala. Jeho expozícia je na svoju dobu taká dokonalá, že dvetisíc rokov od objavenia sa jeho diela „Prvky“ bola jedinou príručkou pre študentov geometrie.

„Začiatky“ pozostáva z 13 kníh venovaných geometrii a aritmetike v geometrickom podaní.

Každá kniha Živlov začína definíciou pojmov, s ktorými sa stretávame prvýkrát. Podľa definícií Euclid dáva postuláty a axiómy, to znamená tvrdenia prijaté bez dôkazu.

Postulát V Euklida hovorí: a že vždy, keď sa priamka pretína s dvoma ďalšími priamkami, zviera s nimi jednostranné vnútorné uhly, ktorých súčet je menší ako dve priamky, tieto priamky sa pretínajú na strane, na ktorej je tento súčet menší ako dva riadky.

Najdôležitejšou nevýhodou systému euklidovských axióm, vrátane ich postulátov, je jeho neúplnosť, teda ich nedostatočnosť pre striktne logickú konštrukciu geometrie, v ktorej každá veta, ak sa nenachádza v zozname axióm, musí byť logicky odvodené z ich posledných. Preto Euklides pri dokazovaní teorémov nevychádzal vždy z axióm, ale uchýlil sa k intuícii, vizualizácii a „zmyslovým“ vnemom. Napríklad konceptu „medzi“ prisúdil čisto vizuálny charakter; mlčky predpokladal, že priamka prechádzajúca vnútorným bodom kruhu ho určite musí pretínať v dvoch paličkách. Zároveň vychádzal len z viditeľnosti, a nie z logiky; nikde neuviedol dôkaz o tejto skutočnosti a ani nemohol, keďže mu chýbali axiómy kontinuity. Chýbajú mu aj niektoré ďalšie axiómy, bez ktorých nie je možný striktne logický dôkaz teorémov.

Ale nikto nepochyboval o pravdivosti Euklidových postulátov, pokiaľ ide o piaty postulát. Medzitým, už v staroveku, to bol práve postulát rovnobežiek, ktorý vzbudil mimoriadnu pozornosť viacerých geometrov, ktorí považovali za neprirodzené zaraďovať ho medzi postuláty. Bolo to pravdepodobne spôsobené relatívne menšou zrejmosťou a viditeľnosťou postulátu V: implicitne predpokladá dosiahnuteľnosť ľubovoľných, ľubovoľne vzdialených častí roviny, vyjadrujúcich vlastnosť, ktorá sa nachádza len s nekonečným predĺžením priamych čiar.

Sám Euclid a mnohí vedci sa pokúsili dokázať postulát paralel. Niektorí sa pokúsili dokázať postulát paralel, pričom použili iba iné postuláty a tie vety, ktoré možno z nich odvodiť, bez použitia samotného postulátu V. Všetky takéto pokusy boli neúspešné. Ich spoločným nedostatkom je, že pri dokazovaní bol implicitne aplikovaný nejaký predpoklad, ekvivalentný dokazovanému postulátu. Iní navrhli predefinovať paralelné čiary alebo nahradiť postulát V niečím, čo považovali za očividnejšie.

Ale stáročné pokusy dokázať piaty Euklidov postulát nakoniec viedli k vzniku novej geometrie, ktorá sa líši tým, že piaty postulát v nej nie je splnený. Táto geometria sa dnes nazýva neeuklidovská a v Rusku nesie meno Lobačevskij, ktorý ako prvý publikoval prácu s jej prezentáciou.

A jedným z predpokladov geometrických objavov N.I.Lobačevského (1792-1856) bol práve jeho materialistický prístup k problémom poznania. Lobačevského, bol pevne presvedčený o objektívnej existencii hmotného sveta a možnosti jeho poznania, nezávisle od ľudského vedomia. Lobačevskij vo svojom prejave „O najdôležitejších predmetoch výchovy“ (Kazaň, 1828) súcitne cituje slová F. Bacona: „Nechajte ich nadarmo sa namáhať a snažiť sa z nich vydolovať všetku múdrosť; spýtajte sa prírody, ona zachováva všetky pravdy a odpovie na všetky vaše otázky bezchybne a uspokojivo. Vo svojej eseji „O princípoch geometrie“, ktorá je prvou publikáciou geometrie, ktorú objavil, Lobačevskij napísal: „Prvé koncepty, z ktorých vychádza akákoľvek veda, musia byť jasné a zredukované na najmenšie číslo. Len potom môžu slúžiť ako pevný a dostatočný základ pre doktrínu. Takéto pojmy sa získavajú zmyslami; vrodený – netreba veriť.

Lobačevského prvé pokusy dokázať piaty postulát sa datujú do roku 1823. V roku 1826 dospel k záveru, že piaty postulát nezávisí od ostatných axióm Euklidovej geometrie a 11. februára (23) 1826 na stretnutí fakulty Kazanskej univerzity vypracoval správu „ Stručná prezentácia princípov geometrie s dôsledným dôkazom paralelnej vety, v ktorej boli načrtnuté začiatky ním objavenej „imaginárnej geometrie“, ako nazval systém, ktorý sa neskôr stal známym ako neeuklidovská geometria. . Správa z roku 1826 bola zahrnutá do prvej Lobačevského publikácie o neeuklidovskej geometrii - článku "O princípoch geometrie", publikovaného v časopise Kazanskej univerzity "Kazan Vestnik" v rokoch 1829-1830. ďalšiemu vývoju a aplikáciám ním objavenej geometrie sa venovali memoáre „Imaginárna geometria“, „Aplikácia imaginárnej geometrie na niektoré integrály“ a „Nové začiatky geometrie s úplnou teóriou paralel“, publikované vo „Vedeckých poznámkach“ v rokoch 1835, 1836 a 1835-1838. Upravený text „Imaginárnej geometrie“ sa objavil vo francúzskom preklade v Berlíne, tamže v roku 1840. vyšli ako samostatná kniha v nemčine „Geometrické štúdie o teórii rovnobežných čiar“ od Lobačevského. Nakoniec v rokoch 1855 a 1856. publikoval v Kazani v ruskom a francúzskom jazyku „Pangeometria“. Vysoko ocenil Gaussove „Geometrické štúdie“, ktorý urobil z Lobačevského (1842) člena korešpondenta Göttingenskej vedeckej spoločnosti, čo bola v podstate Akadémia vied Hannoverského kráľovstva. Gauss však hodnotenie nového geometrického systému nezverejnil.

1.2 Postuláty paralelizmu Euklida a Lobačevského

Hlavným bodom, od ktorého sa začína rozdelenie geometrie na obyčajnú euklidovskú (bežnú) a neeuklidovskú (imaginárna geometria alebo "pangeometria"), ako viete, je postulát rovnobežných čiar.

Obyčajná geometria je založená na predpoklade, že cez bod, ktorý neleží na danej priamke, možno v rovine definovanej týmto bodom a priamkou viesť najviac jednu priamku, ktorá danú priamku nepretína. To, že bodom neležiacim na danej priamke prechádza aspoň jedna priamka, ktorá túto priamku nepretína, sa vzťahuje na "absolútnu geometriu", t.j. možno dokázať bez pomoci postulátu rovnobežných línií.

Priamka BB prechádzajúca cez P v pravom uhle k kolmici PQ poklesnutá o AA 1 nepretína priamku AA 1 ; táto čiara v euklidovskej geometrii sa nazýva rovnobežná s AA 1 .

Na rozdiel od Euklidovho postulátu Lobačevskij berie nasledujúcu axiómu ako základ pre konštrukciu teórie paralelných línií:

Cez bod, ktorý neleží na danej priamke, v rovine definovanej týmto bodom a priamkou možno viesť viac ako jednu priamku, ktorá danú priamku nepretína.

Z toho priamo vyplýva existencia nekonečného počtu priamok prechádzajúcich tým istým bodom a nepretínajúcich danú priamku. Nech priamka СС 1 nepretína AA 1; potom sa všetky priamky prechádzajúce vo vnútri dvoch vertikálnych uhlov VRS a B 1 PC 1 tiež nepretínajú s priamkou AA 1 .

Kapitola 2. Geometria Lobačevského.

2.1 Základné pojmy

Vo svojich memoároch O princípoch geometrie (1829) Lobačevskij najprv reprodukoval svoju správu z roku 1826.

Geometria Lobačevského

(1) euklidovská geometria; (2) Riemannova geometria; (3) Lobačevského geometria

Euklidovská axióma o paralelách (presnejšie jedno z jej ekvivalentných tvrdení) hovorí:

Bodom, ktorý neleží na danej priamke, prechádza najviac jedna priamka, ktorá leží s danou priamkou v rovnakej rovine a nepretína ju.

V Lobačevského geometrii sa namiesto toho akceptuje nasledujúca axióma:

Bodom, ktorý neleží na danej priamke, prechádzajú aspoň dve priamky, ktoré ležia s danou priamkou v rovnakej rovine a nepretínajú ju.

Je rozšírenou mylnou predstavou, že v Lobačevského geometrii sa pretínajú rovnobežné čiary. Lobačevského geometria má rozsiahle aplikácie v matematike aj fyzike. Jeho historický a filozofický význam spočíva v tom, že Lobačevskij svojou konštrukciou ukázal možnosť geometrie odlišnej od euklidovskej, čo znamenalo novú éru vo vývoji geometrie, matematiky a vedy vôbec.

Príbeh

Pokusy dokázať piaty postulát

Východiskovým bodom Lobačevského geometrie bol Euklidov piaty postulát, axióma ekvivalentná paralelnej axióme. Bol na zozname postulátov v Euklidových Prvkoch. Relatívna zložitosť a neintuitívnosť jej formulácie vyvolala pocit jej sekundárnej povahy a podnietila pokusy odvodiť ju ako teorém zo zvyšku Euklidových postulátov.

Medzi mnohými, ktorí sa pokúsili dokázať piaty postulát, boli najmä nasledujúci významní vedci.

V týchto pokusoch dokázať piaty postulát zaviedli matematici (explicitne alebo implicitne) nejaké nové tvrdenie, ktoré sa im zdalo zrejmejšie.

Boli urobené pokusy použiť dôkaz protirečenia:

taliansky matematik Saccheri () (keď sformuloval tvrdenie, ktoré je v rozpore s postulátom, vyvodil z toho množstvo dôsledkov a keďže niektoré z nich mylne uznal za protirečivé, považoval postulát za preukázaný),
Nemecký matematik Lambert (o, publikované v r) (po vykonaní výskumu priznal, že v systéme, ktorý vybudoval, nemôže nájsť rozpory).

Nakoniec sa začalo chápať, že je možné zostaviť teóriu založenú na opačnom postuláte:

Nemeckí matematici Schweikart () a Taurinus () (neuvedomili si však, že takáto teória bude logicky rovnako koherentná).

Vytvorenie neeuklidovskej geometrie

Toto dielo obsahuje základy geometrie, ktorá by sa musela uskutočniť a navyše by tvorila prísne konzistentný celok, keby euklidovská geometria nebola pravdivá... Lobačevskij to nazýva „imaginárna geometria“; Viete, že už 54 rokov (od roku 1792) zdieľam tie isté názory s nejakým ich vývojom, ktorý tu nechcem spomínať; v diele Lobačevského som teda nenašiel pre seba vlastne nič nové. Ale vo vývoji námetu autor nešiel cestou, ktorou som išiel ja sám; je to majstrovsky urobené Lobačevským v naozaj geometrickom duchu. Považujem za povinnosť upozorniť vás na toto dielo, ktoré vám určite urobí celkom výnimočné potešenie.

Výsledkom bolo, že Lobačevskij pôsobil ako prvý najbystrejší a najdôslednejší propagátor novej geometrie. Hoci sa Lobačevského geometria vyvinula ako špekulatívna teória a sám Lobačevskij ju nazval „imaginárnou geometriou“, bol to práve on, kto ju prvý otvorene navrhol nie ako hru mysle, ale ako možnú a užitočnú teóriu priestorových vzťahov. Dôkaz o jej konzistentnosti bol však podaný neskôr, keď boli naznačené jej interpretácie (modely).

Výrok Lobačevského geometrie

Poincaré model

Obsah Lobačevského geometrie

Lobačevskij postavil svoju geometriu, vychádzajúc zo základných geometrických pojmov a svojej axiómy, a dokázal vety geometrickou metódou, podobne ako sa to robí v Euklidovej geometrii. Ako základ poslúžila teória rovnobežných línií, pretože tu začína rozdiel medzi Lobačevského geometriou a Euklidovou geometriou. Všetky vety, ktoré nezávisia od rovnobežnej axiómy, sú spoločné pre obe geometrie; tvoria takzvanú absolútnu geometriu, do ktorej patria napríklad vety o rovnosti trojuholníkov. V nadväznosti na teóriu rovnobežiek boli postavené ďalšie sekcie, vrátane trigonometrie a princípov analytickej a diferenciálnej geometrie.

Uveďme (v modernej notácii) niekoľko faktov Lobačevského geometrie, ktoré ju odlišujú od Euklidovej geometrie a ktoré založil sám Lobačevskij.

Pre bod nachádzajúci sa od danej priamky vo vzdialenosti PB = a(pozri obrázok), Lobačevskij dal vzorec pre uhol rovnobežnosti P(a) :

Ak majú čiary spoločnú kolmicu, potom sa nekonečne rozchádzajú na oboch jej stranách. Do ktorejkoľvek z nich je možné obnoviť kolmice, ktoré nedosahujú druhú čiaru.

V Lobačevského geometrii neexistujú podobné, ale nerovnaké trojuholníky; trojuholníky sú zhodné, ak sú ich uhly rovnaké.

Súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je menší a môže byť ľubovoľne blízky nule. To je priamo viditeľné na modeli Poincaré. Rozdiel , kde , , sú uhly trojuholníka, je úmerný jeho ploche:

Zo vzorca je zrejmé, že existuje maximálna plocha trojuholníka a toto je konečné číslo: .

Čiara rovnakých vzdialeností od priamky nie je priamka, ale špeciálna krivka nazývaná ekvidistantou, resp. hypercyklus.

Hranicou kružníc s nekonečne sa zväčšujúcim polomerom nie je priamka, ale špeciálna krivka tzv limitný kruh alebo horocyklus.

Obvod nie je úmerný polomeru, ale rastie rýchlejšie. Najmä v geometrii Lobačevského nemožno číslo definovať ako pomer obvodu kruhu k jeho priemeru.

Čím menšia je oblasť v priestore alebo na Lobačevského rovine, tým menej sa geometrické vzťahy v tejto oblasti líšia od vzťahov euklidovskej geometrie. Môžeme povedať, že v nekonečne malej oblasti sa euklidovská geometria odohráva. Napríklad, čím menší je trojuholník, tým menej sa súčet jeho uhlov líši od ; čím menší je kruh, tým menej sa pomer jeho dĺžky k polomeru líši od atď. Zníženie plochy je formálne ekvivalentné nárastu jednotky dĺžky, preto s nekonečným nárastom jednotky dĺžky Lobačevského geometrické vzorce prechádzajú do vzorcov euklidovskej geometrie. Euklidovská geometria je v tomto zmysle „obmedzujúcim“ prípadom Lobačevského geometrie.

Vyplnenie roviny a priestoru pravidelnými polytopmi

Teselácia Lobačevského roviny s pravidelnými trojuholníkmi ((3;7))

Lobačevského rovinu je možné vyskladať nielen pravidelnými trojuholníkmi, štvorcami a šesťuholníkmi, ale aj akýmikoľvek inými pravidelnými mnohouholníkmi. Zároveň sa v jednom parketovom vrchole musí zbiehať aspoň 7 trojuholníkov, 5 štvorcov, 4 päťuholníky a šesťuholníky a 3 mnohouholníky s viac ako 6 stranami.Každý obklad (M N-uholníkov sa zbieha v jednom vrchole) vyžaduje presne definovanú veľkosť jednotky N-uholníka, najmä jeho plocha by sa mala rovnať:

Vyplnenie Lobačevského priestoru pravidelnými dvanásťstenmi ((5,3,4))

Na rozdiel od bežného priestoru, ktorý môže byť vyplnený pravidelnými mnohostenmi iba jedným spôsobom (8 kociek na vrchol), Lobačevského trojrozmerný priestor môže byť vyplnený pravidelnými mnohostenmi štyrmi spôsobmi:

(3,5,3) (12 ikosaedrov na vrchol)
(4,3,5) (20 kociek na vrch)
(5,3,4) (8 dvanásťstenov na vrchol)
(3,5,3) (20 dvanásťstenov na vrchol)

Okrem toho existuje 11 spôsobov, ako vyplniť Lobačevského priestor pravidelnými mozaikovými horosférami.

Aplikácie

Sám Lobačevskij aplikoval svoju geometriu na výpočet určitých integrálov.
V teórii funkcií komplexnej premennej pomohla Lobačevského geometria vybudovať teóriu automorfných funkcií. Spojenie s Lobačevského geometriou tu bolo východiskom Poincarého výskumu, ktorý napísal, že „neeuklidovská geometria je kľúčom k vyriešeniu celého problému“.
Lobačevského geometria nachádza uplatnenie aj v teórii čísel, v jej geometrických metódach, zjednotených pod názvom „geometria čísel“.
Medzi Lobačevského geometriou a kinematikou špeciálnej (súkromnej) teórie relativity sa vytvorilo úzke spojenie. Toto spojenie je založené na skutočnosti, že rovnosť vyjadruje zákon šírenia svetla

pri delení , teda pre rýchlosť svetla, dáva - rovnicu gule v priestore so súradnicami , , - zložky rýchlosti pozdĺž osí X, pri, z(v "rýchlostnom priestore"). Lorentzove transformácie zachovávajú túto sféru a keďže sú lineárne, transformujú priame rýchlostné priestory na priame čiary. Preto podľa Kleinovho modelu v priestore rýchlostí vo vnútri gule s polomerom s, teda pre rýchlosti menšie ako je rýchlosť svetla prebieha Lobačevského geometria.

Lobačevského geometria našla pozoruhodné uplatnenie vo všeobecnej teórii relativity. Ak považujeme rozloženie hmotností hmoty vo vesmíre za rovnomerné (táto aproximácia je prijateľná v kozmickom meradle), potom sa ukazuje, že za určitých podmienok má priestor Lobačevského geometriu. Lobačevského predpoklad jeho geometrie ako možnej teórie reálneho priestoru bol teda opodstatnený.
Pomocou Kleinovho modelu je podaný veľmi jednoduchý a krátky dôkaz motýľovej vety v euklidovskej geometrii.

pozri tiež

Poznámky

Diela zakladateľov

N. I. Lobačevskij"Geometrické výskumy teórie rovnobežných čiar". - 1941.
Na základoch geometrie. Zbierka klasických diel o Lobačevského geometrii a vývoji jej myšlienok. Moskva: Gostechizdat, 1956.

Literatúra

Aleksandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometria, - Nauka, Moskva, 1990.
Aleksandrov P.S.Čo je neeuklidovská geometria, - URSS, Moskva, 2007.
Delaunay B. N. Základný dôkaz konzistentnosti Lobačevského planimetrie, Gostekhizdat, Moskva, 1956.
Iovlev N. N.„Úvod do elementárnej geometrie a Lobačevského trigonometrie“. - M.-L.: Giz., 1930. - S. 67.
Klein F."Neeuklidovská geometria". - M.-L.: ONTI, 1936. - S. 356.
Popov A.G.

7. februára 1832 predstavil Nikolaj Lobačevskij svoju prvú prácu o neeuklidovskej geometrii na posúdenie svojich kolegov. Ten deň bol začiatkom revolúcie v matematike a Lobačevského práca bola prvým krokom k Einsteinovej teórii relativity. Dnes „RG“ zhromaždil päť najbežnejších mylných predstáv o Lobačevského teórii, ktoré existujú medzi ľuďmi ďaleko od matematickej vedy.

Mýtus prvý. Lobačevského geometria nemá nič spoločné s euklidovskou.

V skutočnosti sa Lobačevského geometria príliš nelíši od euklidovskej geometrie, na ktorú sme zvyknutí. Faktom je, že z piatich Euklidovych postulátov nechal Lobačevskij prvé štyri bez zmeny. To znamená, že súhlasí s Euklidom, že medzi ľubovoľnými dvoma bodmi možno nakresliť priamu čiaru, že ju možno vždy predĺžiť do nekonečna, že kruh s akýmkoľvek polomerom možno nakresliť z akéhokoľvek stredu a že všetky pravé uhly sú rovnaké. iné. Lobačevskij nesúhlasil len s piatym postulátom, z jeho pohľadu najpochybnejším, Euklidovým. Jeho formulácia znie mimoriadne ošemetne, no ak ju preložíme do jazyka zrozumiteľného bežnému človeku, ukáže sa, že podľa Euklida sa dve neparalelné línie určite pretnú. Lobačevskému sa podarilo dokázať nepravdivosť tejto správy.

Mýtus druhý. V Lobačevského teórii sa paralelné čiary pretínajú

To nie je pravda. V skutočnosti piaty Lobačevského postulát znie takto: "Na rovine bodom, ktorý neleží na danej priamke, prechádza viac ako jedna priamka, ktorá danú nepretína." Inými slovami, pre jednu priamku je možné cez jeden bod nakresliť aspoň dve priamky, ktoré ju nebudú pretínať. To znamená, že v tomto Lobačevskom postuláte sa vôbec nehovorí o paralelných líniách! Hovoríme len o existencii niekoľkých nepretínajúcich sa čiar v tej istej rovine. Predpoklad o priesečníku rovnobežných čiar sa teda zrodil z banálnej neznalosti podstaty teórie veľkého ruského matematika.

Mýtus tri. Lobačevského geometria je jediná neeuklidovská geometria

Neeuklidovské geometrie sú celou vrstvou teórií v matematike, kde základom je piaty postulát odlišný od euklidovského. Lobačevskij, na rozdiel napríklad od Euklida, opisuje hyperbolický priestor. Existuje ďalšia teória popisujúca sférický priestor – ide o Riemannovu geometriu. Tu sa pretínajú rovnobežné čiary. Klasickým príkladom zo školských osnov sú poludníky na zemeguli. Ak sa pozriete na vzor zemegule, ukáže sa, že všetky poludníky sú rovnobežné. Medzitým sa oplatí umiestniť vzor na guľu, pretože vidíme, že všetky predtým rovnobežné poludníky sa zbiehajú v dvoch bodoch - na póloch. Spoločne sa teórie Euklida, Lobačevského a Riemanna nazývajú „tri veľké geometrie“.

Mýtus štvrtý. Lobačevského geometria nie je použiteľná v reálnom živote

Naopak, moderná veda prichádza k pochopeniu, že euklidovská geometria je len špeciálnym prípadom Lobačevského geometrie a že reálny svet je presnejšie opísaný pomocou vzorcov ruského vedca. Najsilnejším impulzom pre ďalší rozvoj Lobačevského geometrie bola teória relativity Alberta Einsteina, ktorá ukázala, že samotný priestor nášho Vesmíru nie je lineárny, ale je hyperbolickou guľou. Medzitým sám Lobačevskij, napriek tomu, že celý život pracoval na vývoji svojej teórie, ju nazval „imaginárnou geometriou“.

Mýtus piaty. Lobačevskij ako prvý vytvoril neeuklidovskú geometriu

Nie je to celkom pravda. Paralelne s ním a nezávisle od neho dospeli k podobným záverom aj maďarský matematik Janos Bolyai a slávny nemecký vedec Carl Friedrich Gauss. Janosove diela si však široká verejnosť nevšimla a Karl Gauss radšej nevyšiel vôbec. Preto je práve náš vedec považovaný za priekopníka tejto teórie. Existuje však trochu paradoxný názor, že Euklides sám bol prvým, kto vynašiel neeuklidovskú geometriu. Faktom je, že sebakriticky považoval svoj piaty postulát za nezrejmý, takže väčšinu svojich teorémov dokázal bez toho, aby sa k tomu uchýlil.