Vlastnosti oblasti polygónu Zhodné polygóny majú rovnaké plochy. Ak sa polygón skladá z niekoľkých polygónov, tak jeho plocha. 1 majú všetky štvorce rovnakú plochu

VIII trieda: Téma 3. Plochy figúr. Pytagorova veta.

1. Pojem oblasti. Rovnaké čísla.

Ak je dĺžka číselnou charakteristikou čiary, potom plocha je číselnou charakteristikou uzavretého útvaru. Hoci je nám pojem oblasť známy z r Každodenný život Nie je ľahké presne definovať tento pojem. Ukazuje sa, že oblasť uzavretého útvaru možno nazvať akoukoľvek nezápornou veličinou, ktorá má nasledovné vlastnosti na meranie plôch obrázkov:

Rovnaké čísla majú rovnaké oblasti. Ak je tento uzavretý obrázok rozdelený na niekoľko uzavretých obrázkov, potom sa plocha obrázku rovná súčtu plôch jeho základných útvarov (obrázok na obrázku 1 je rozdelený na n figúrky; v tomto prípade oblasť obrázku, kde Si- námestie i obrázok).

V zásade by sa dalo prísť so súborom veličín, ktoré majú formulované vlastnosti, a preto charakterizujú oblasť obrázku. Najznámejšia a najpohodlnejšia je však hodnota, ktorá charakterizuje plochu štvorca ako štvorec jeho strany. Nazvime toto „usporiadanie“ treťou vlastnosťou merania plôch obrázkov:

Plocha štvorca sa rovná štvorcu jeho strany (obrázok 2).

S touto definíciou sa plocha číslic meria v štvorcových jednotkách ( cm 2, km 2, ha=100m 2).

postavy majúce rovnaké plochy sa nazývajú veľkosťou rovnaké .

komentár: Rovnaké postavy majú rovnaké plochy, to znamená, že rovnaké postavy majú rovnakú veľkosť. Ale rovnako veľké čísla nie sú ani zďaleka vždy rovnaké (napríklad obrázok 3 zobrazuje štvorec a rovnoramenný trojuholník, ktorý sa skladá z rovnakých pravouhlých trojuholníkov (mimochodom, napr postavy volal rovnako zložené ); je jasné, že štvorec a trojuholník majú rovnakú veľkosť, ale nie rovnaké, pretože nie sú prekryté).

Ďalej odvodíme vzorce na výpočet plôch všetkých hlavných typov polygónov (vrátane známeho vzorca na nájdenie plochy obdĺžnika) na základe formulovaných vlastností na meranie plôch obrázkov.

2. Oblasť obdĺžnika. Oblasť rovnobežníka.

Vzorec na výpočet plochy obdĺžnika: Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho dvoch susedných strán (obrázok 4).

Vzhľadom na to:

A B C D- obdĺžnik;

AD=a, AB=b.

dokázať: SABCD=a× b.

dôkaz:

1. Predĺžte stranu AB pre segment BP=a a bočné AD- pre segment DV=b. Zostavme rovnobežník APRV(Obrázok 4). Keďže R A= 90°, APRV- obdĺžnik. V čom AP=a+b=AV, Þ APRV je štvorec so stranou ( a+b).

2. Označte pred KrÇ R.V.=T, CDÇ PR=Q. Potom BCQP- štvorec so stranou a, CDVT- štvorec so stranou b, CQRT- obdĺžnik so stranami a a b.

Vzorec na výpočet plochy rovnobežníka: Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu jeho výšky a základne (obrázok 5).

komentár: Základňa rovnobežníka sa nazýva strana, na ktorú sa kreslí výška; je jasné, že ako základňa môže slúžiť ktorákoľvek strana rovnobežníka.

Vzhľadom na to:

A B C D- p/g;

BH^AD, HÎ AD.

dokázať: SABCD=AD× BH.

dôkaz:

1. Viesť k základni AD výška CF(Obrázok 5).

2. pred Krïê HF, BHïê CF, Þ BCFH- p / g podľa definície. R H= 90°, Þ BCFH- obdĺžnik.

3. BCFH– p/g, Þ podľa vlastnosti p/g BH=CF, Þ D BAH=D CDF pozdĺž prepony a nohy ( AB=CD podľa sv. p / g, BH=CF).

4. SABCD=SABCF+S D CDF=SABCF+S D BAH=SBCFH=BH× pred Kr=BH× AD. #

3. Oblasť trojuholníka.

Vzorec na výpočet plochy trojuholníka: Plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho výšky a základne (obrázok 6).

komentár: Základňa trojuholníka sa v tomto prípade nazýva strana, na ktorú je nakreslená výška. Ktorákoľvek z troch strán trojuholníka môže slúžiť ako jeho základňa.

Vzhľadom na to:

BD^AC, DÎ AC.

dokázať: .

dôkaz:

1. Vyplňte D ABC pred p/r ABKC prechodom cez vrchol B rovno BKïê AC a cez vrch C- rovný CKïê AB(Obrázok 6).

2. D ABC=D KCB na troch stranách ( pred Kr- všeobecný, AB=KC a AC=KB podľa sv. p/g), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

Dôsledok 2: Ak vezmeme do úvahy p / y D ABC s výškou AHťahaný do prepony pred Kr, potom . teda v p / r D-ke výška ťahaná k prepone sa rovná pomeru súčinu jeho nôh k prepone . Tento pomer sa často používa pri riešení problémov.

4. Dôsledky zo vzorca na nájdenie plochy trojuholníka: pomer plôch trojuholníkov s rovnakými výškami alebo základňami; rovnaké trojuholníky v číslach; vlastnosť plôch trojuholníkov tvorených uhlopriečkami konvexného štvoruholníka.

Zo vzorca na výpočet plochy trojuholníka elementárne vyplývajú dva dôsledky:

1. Pomer plôch trojuholníkov s rovnakou výškou sa rovná pomeru ich základov (na obrázku 8 ).

2. Pomer plôch trojuholníkov s rovnaké dôvody sa rovná pomeru ich výšok (na obrázku 9 ).

komentár: Pri riešení úloh sú veľmi časté trojuholníky so spoločnou výškou. V tomto prípade spravidla ich základne ležia na rovnakej priamke a vrchol oproti základniam je spoločný (napríklad na obrázku 10 S 1:S 2:S 3=a:b:c). Mali by ste sa naučiť vidieť celkovú výšku takýchto trojuholníkov.

Užitočné fakty vyplývajú aj zo vzorca na výpočet plochy trojuholníka, ktorý vám umožní nájsť trojuholníky s rovnakou plochou na obrázkoch:

1. Medián ľubovoľného trojuholníka ho rozdeľuje na dva trojuholníky rovnakej plochy (na obrázku 11 v D ABM a D ACM výška AH- všeobecné a základy BM a CM rovná sa podľa definície mediánu; z toho vyplýva, že D ABM a D ACM sú si rovné).

2. Uhlopriečky rovnobežníka ho rozdeľujú na štyri trojuholníky rovnakej plochy. (na obrázku 12 AO je stredná hodnota trojuholníka ABD vlastnosťou uhlopriečok p/g, z v dôsledku predchádzajúcich trojuholníkov sv ABO a ADO sú si rovní; pretože BO je stredná hodnota trojuholníka ABC, trojuholníky ABO a BCO sú si rovní; pretože CO je stredná hodnota trojuholníka BCD, trojuholníky BCO a DCO sú si rovní; teda S D ADO=S D ABO=S D BCO=S D DCO).

3. Uhlopriečky lichobežníka ho rozdeľujú na štyri trojuholníky; dve z nich susediace so stranami sú rovnaké (Obrázok 13).

Vzhľadom na to:

A B C D- lichobežník;

pred Krïê AD; ACÇ BD=O.

dokázať: S D ABO=S D DCO.

dôkaz:

1. Nakreslíme výšky bf a CH(Obrázok 13). Potom D ABD a D ACD základňu AD- všeobecný a výšky bf a CH sú si rovní; Þ S D ABD=S D ACD.

2. S D ABO=S D ABD ‑ S D AOD=S D ACD ‑ S D AOD=S D DCO. #

Ak nakreslíte uhlopriečky konvexného štvoruholníka (obrázok 14), vytvoria sa štyri trojuholníky, ktorých plochy sú spojené veľmi ľahko zapamätateľným pomerom. Odvodenie tohto vzťahu sa spolieha výlučne na vzorec na výpočet plochy trojuholníka; v literatúre sa však vyskytuje len zriedka. Vzťah, ktorý bude formulovaný a preukázaný nižšie, je užitočný pri riešení problémov a zaslúži si veľkú pozornosť:

Vlastnosť plôch trojuholníkov tvorených uhlopriečkami konvexného štvoruholníka: Ak sú uhlopriečky konvexného štvoruholníka A B C D pretínajú v bode O, potom (obrázok 14).

A B C D- konvexný štvoruholník;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.

dôkaz:

1. bf- celková výška D AOB a D BOC; Þ S D AOB:S D BOC=AO:CO.

2. D.H.- celková výška D AOD a D TRESKA; Þ S D AOD:S D TRESKA=AO:CO.

5. Pomer plôch trojuholníkov s rovnaký uhol.

Veta o pomere plôch trojuholníkov s rovnakým uhlom: Plochy trojuholníkov s rovnakým uhlom súvisia ako súčin strán zvierajúcich tieto uhly (obrázok 15).

Dané:

D ABC, D A 1B 1C 1;

Ð BAC=Ð B 1A 1C 1.

dokázať:

.

dôkaz:

1. Odložte na trám ABúsečka AB 2=A 1B 1 a na nosníku AC- úsečka AC 2=A 1C 1 (obrázok 15). Potom D AB 2C 2 = D A 1B 1C 1 na dvoch stranách a uhol medzi nimi ( AB 2=A 1B 1 a AC 2=A 1C 1 podľa konštrukcie a Р B 2AC 2=Р B 1A 1C 1 podľa podmienky). Znamená, .

2. Spojte bodky C a B 2.

3. CH- celková výška D AB 2C a D ABC, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. Vlastnosť osi trojuholníka.

Pomocou teorémov o pomere plôch trojuholníkov s rovnakými uhlami a o pomere plôch trojuholníkov s rovnakými výškami jednoducho dokážeme mimoriadne užitočnú skutočnosť pri riešení problémov, ktoré priamo nesúvisia s plochami obrázkov:

Vlastnosť osi trojuholníka: Osa trojuholníka rozdeľuje stranu, na ktorú je nakreslený, na segmenty úmerné susedným stranám.

Vzhľadom na to:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

dôkaz:

1..gif" width="72 height=40" height="40">.

3. Z bodov 1 a 2 dostaneme: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #

komentár: Keďže krajné členy alebo stredné členy je možné zamieňať v správnom pomere, je vhodnejšie zapamätať si vlastnosť osi trojuholníka v nasledujúcom tvare (obrázok 16):.

7. Oblasť lichobežníka.

Vzorec na výpočet plochy lichobežníka: Plocha lichobežníka sa rovná súčinu jeho výšky a polovice súčtu základov.

Vzhľadom na to:

A B C D- lichobežník;

pred Krïê AD;

BH- výška.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.

dôkaz:

1. Nakreslite uhlopriečku BD a výška D.F.(Obrázok 17). BHDF– obdĺžnik, Þ BH = D.F..

Dôsledok: Pomer plôch lichobežníkov s rovnakými výškami sa rovná pomeru ich stredových čiar (alebo pomeru súčtu základov).

8. Plocha štvoruholníka so vzájomne kolmými uhlopriečkami.

Vzorec na výpočet plochy štvoruholníka so vzájomne kolmými uhlopriečkami: Plocha štvoruholníka so vzájomne kolmými uhlopriečkami sa rovná polovici súčinu jeho uhlopriečok.

A B C D- štvoruholník;

AC^BD.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

dôkaz:

1. Označte ACÇ BD=O. Pokiaľ ide o AC^BD, AO- výška D ABD, a CO- výška D CBD(Obrázky 18a a 18b pre prípady konvexných a nekonvexných štvoruholníkov).

2.
(znamienka „+“ alebo „-“ zodpovedajú prípadom konvexných a nekonvexných štvoruholníkov). #

Pytagorova veta hrá mimoriadne dôležitú úlohu pri riešení širokej škály problémov; umožňuje vám nájsť neznámu stranu správny trojuholník na dvoch známych stranách. Existuje mnoho dôkazov Pytagorovej vety. Tu je najjednoduchší z nich založený na vzorcoch na výpočet plôch štvorca a trojuholníka:

Pytagorova veta: V pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh.

Vzhľadom na to:

D ABC- p / y;

Ð A= 90°.

dokázať:

pred Kr 2=AB 2+AC 2.

dôkaz:

1. Označte AC=a, AB=b. Položíme to na trám ABúsečka BP=a a na nosníku AC- úsečka životopis=b(Obrázok 19). Prejdime cez bod P priamy PRïê AV a cez bod V- priamy VRïê AP. Potom APRV- p / g podľa definície. Zároveň, keďže Р A= 90°, APRV- obdĺžnik. A odvtedy AV=a+b=AP, APRV- štvorec so stranou a+b a SAPRV=(a+b)2. Rozdelíme stranu PR bodka Q do segmentov PQ=b a QR=a a bočné R.V.- bodka T do segmentov RT=b a TV=a.

2.D ABC=D PQB=D RTQ=D VCT na dvoch nohách, Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, pred Kr=QB=TQ=CT a https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. Pretože pred Kr=QB=TQ=CT, CBQT- kosoštvorec. Zároveň R QBC\u003d 180 ° - (Р ABC+Ð PBQ)=180°-(Р ABC+Ð ACB)=Ð BAC= 90°; Þ CBQT je štvorec a SCBQT=pred Kr 2.

4. takze pred Kr 2=AB 2+AC 2. #

Inverzná Pytagorova veta je znakom pravouhlého trojuholníka, to znamená, že umožňuje skontrolovať, či je trojuholník pravouhlý o tri známe strany trojuholníka.

Inverzná Pytagorova veta: Ak sa štvorec strany trojuholníka rovná súčtu štvorcov jeho ďalších dvoch strán, potom je tento trojuholník pravouhlý a jeho najdlhšia strana je prepona.

Vzhľadom na to:

pred Kr 2=AB 2+AC 2.

dokázať: D ABC- p / y;

Ð A= 90°.

dôkaz:

1. Zostrojme pravý uhol A 1 a odložte segmenty na jeho stranách A 1B 1=AB a A 1C 1=AC(Obrázok 20). V prijatých p / y D A 1B 1C 1 podľa Pytagorovej vety B 1C 12=A 1B 12+A 1C 12=AB 2+AC 2; ale podľa podmienok AB 2+AC 2=pred Kr 2; Þ B 1C 12=pred Kr 2, Y B 1C 1=pred Kr.

2.D ABC=D A 1B 1C 1 na troch stranách ( A 1B 1=AB a A 1C 1=AC podľa konštrukcie, B 1C 1=pred Kr z bodu 1), Þ Ð A=Ð A 1 = 90°, Þ D ABC- p / a. #

Pravouhlé trojuholníky, ktorých dĺžka strán sú celé čísla, sa nazývajú Pytagorove trojuholníky a triplety zodpovedajúcich prirodzené čísla – Pytagorove trojičky . Pytagorejské trojky sú užitočné na zapamätanie (väčšie z týchto čísel sa rovná súčtu druhých mocnín). Tu sú niektoré pythagorejské trojky:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Pravouhlý trojuholník so stranami 3, 4, 5 sa v Egypte používal na zostrojenie pravých uhlov, a teda napr trojuholník volal egyptský .

10. Heronova formula.

Heronov vzorec vám umožňuje nájsť oblasť ľubovoľného trojuholníka podľa jeho troch známych strán a je nevyhnutný na riešenie mnohých problémov.

Heron vzorec: Plocha trojuholníka so stranami a, b a c sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca: , kde je polovica obvodu trojuholníka.

Dané:

pred Kr=a; AC=b; AB=c.). Potom .

4. Dosaďte výsledný výraz pre výšku do vzorca na výpočet plochy trojuholníka: . #

Zdroj hľadania: Rozhodnutie 2746.-13. OGE 2017 Matematika, I.V. Jaščenko. 36 možností.

Úloha 11. Strana kosoštvorca je 12 a vzdialenosť od priesečníka uhlopriečok kosoštvorca k nemu je 1. Nájdite oblasť tohto kosoštvorca.

rozhodnutie.

Plochu kosoštvorca možno vypočítať rovnakým spôsobom ako plochu rovnobežníka, to znamená ako súčin výšky h kosoštvorca a dĺžky strany a, na ktorú je nakreslený:

Na obrázku ukazuje červená čiara spolu s čiernou čiarou výšku h kosoštvorca, ktorá je rovnaká (keďže dĺžky čiernej a červenej čiary sú rovnaké). Dĺžka strany a=12 je tiež podľa stavu problému. Dostaneme oblasť kosoštvorca:

odpoveď: 24.

Úloha 12. Na kockovanom papieri je zobrazený kosoštvorec s veľkosťou bunky 1x1. Nájdite dĺžku jeho najdlhšej uhlopriečky.

rozhodnutie.

Na obrázku modré čiary znázorňujú uhlopriečky kosoštvorca. Je vidieť, že veľká uhlopriečka je 12 článkov.

odpoveď: 12.

Úloha 13. Ktoré z nasledujúcich tvrdení sú správne?

1) Existuje obdĺžnik, ktorého uhlopriečky sú navzájom kolmé.

2) Všetky štvorce majú rovnakú plochu.

3) Jeden z uhlov trojuholníka nikdy nepresiahne 60 stupňov.

V odpovedi si zapíšte čísla vybraných výrokov bez medzier, čiarok alebo iných dodatočných znakov.

rozhodnutie.

1) Pravda. Toto je obdĺžnik, ktorý sa zmení na štvorec.

Vlastnosti plôch 10. Rovnaké polygóny majú rovnaké plochy. D B A C N ABC = NFD F

Vlastnosti plôch 20. Ak je polygón zložený z viacerých polygónov, potom sa jeho plocha rovná súčtu plôch týchto polygónov. C B D A F

Vlastnosti oblastí 30. Plocha štvorca sa rovná štvorcu jeho strany. 3 cm S \u003d 9 cm 2 Pomocou vlastností oblastí nájdite oblasti obrázkov

Plošné jednotky 1 m 2 \u003d 100 dm 2 1 dm 2 \u003d 100 cm 2

Plošné jednotky 1 km 2 1 ha 1 a 1 m 2 1 dm 2 1 cm 2 1 mm 2: 100: 100

Plocha obdĺžnika b S Dokážeme, že S = ab a a ŠTVOREC SO STRANOU a 2 a+b = S + a 2 + b 2 a 2 +2 ab + b 2 = 2 S + a 2 + b 2 S (a +b) 2 S 2 ab = 2 S S = ab b 2 b: 2

Podlaha miestnosti, ktorá má tvar obdĺžnika so stranami 5, 5 ma 6 m, musí byť pokrytá obdĺžnikovými parketami. Každá parketová doska má dĺžku 30 cm a šírku 5 cm Koľko týchto dosiek bude potrebných na pokrytie podlahy? 6m 5,5m 5cm 30cm

Plochy štvorcov postavených na stranách obdĺžnika sú 64 cm 2 a 121 cm 2. Nájdite plochu obdĺžnika. 121 cm 2 S-? 64 cm2

Strany každého z obdĺžnikov ABCD a ARMK sú 6 cm a 10 cm. Nájdite oblasť obrázku pozostávajúcu zo všetkých bodov, ktoré patria aspoň jednému z týchto obdĺžnikov. A 10 cm P B 6 cm 10 cm D K C 6 cm M

ABCD je obdĺžnik, AC je uhlopriečka. Nájdite oblasť trojuholníka ABC. A a D ABC = ADC b SABC = B C

ABCD je obdĺžnik. Nájsť: SABF. B CE = DE, C F E A D SABCD = Q

AB = BC = 3, AF = 5, Nájdite: SABCDEF. B EF = 2. C 3 D E 3 A 2 5 F

S=102 C Body K, M, T a E sú umiestnené po 5 na stranách AD, AB, BC a DC štvorca E ABCD tak, že KD=7, AK=3, AM=5, BT=8, CE=5 . Nájdite oblasť štvoruholníka KMTE. D T B 2 8 M 5 7 K 3 A

Plocha päťuholníka ABCD je 48 cm2. Nájdite plochu a obvod štvorca ABCD. C IN O A 1) 48: 3 * 4 \u003d 64 (cm 2) SABCD 2) AB \u003d 8 (cm), PABCD \u003d \u003d 8 * 4 \u003d 32 (cm) D

ABCD a MDKP sú rovnaké štvorce. AB \u003d 8 cm. Nájdite oblasť štvoruholníka ASKM. V C 64 cm 2 8 cm 32 cm 2 D A 32 cm 2 M K 32 cm 2 R

ABCD a DSMK sú štvorce. AB \u003d 6 cm. Nájdite oblasť štvoruholníka OCPD. C H 6 cm A O M R D K

ABCD je obdĺžnik; M, K, P, T sú stredy jeho strán, AB = 6 cm, AD = 12 cm. Nájdite plochu štvoruholníka MKRT. V K 6 cm M A C R T 12 cm H

ABCD je obdĺžnik; M, K, P, T sú stredy jeho strán, AB = 16 cm, BC = 10 cm. Nájdite plochu šesťuholníka AMKSRT. C P 10 cm K B D T M 16 cm A