I. Definícia, základné vlastnosti a grafy hyperbolických funkcií. Referenčné údaje o hyperbolických funkciách - vlastnosti, grafy, vzorce Inverzné hyperbolické funkcie, ich vlastnosti a grafy

Tangenta, kotangensa

Definície hyperbolických funkcií, ich oblasti definícií a hodnôt

sh x- hyperbolický sínus
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- hyperbolický kosínus
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ r< +∞ .
Vďaka- hyperbolická dotyčnica
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- hyperbolický kotangens
, x ≠ 0; r< -1 или y > +1 .

Grafy hyperbolických funkcií

Graf hyperbolického sínusu y = sh x

Graf hyperbolického kosínusu y = ch x

Graf hyperbolickej dotyčnice y= Vďaka

Graf hyperbolického kotangens y= cth x

Vzorce s hyperbolickými funkciami

Vzťah s goniometrickými funkciami

sin iz = i sh z; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tgiz = i th z; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z; cth iz = - i ctg z
Tu je i imaginárna jednotka, i 2 = - 1 .

Aplikovaním týchto vzorcov na goniometrické funkcie získame vzorce týkajúce sa hyperbolických funkcií.

Parita

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = -th x; cth(-x) = - cth x.

Funkcia ch(x)- dokonca. Funkcie sh(x), Vďaka), cth(x)- zvláštny.

Rozdiel štvorcov

ch 2 x - sh 2 x = 1.

Vzorce pre súčet a rozdiel argumentov

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 kanály 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Vzorce pre produkty hyperbolického sínusu a kosínusu

,
,
,

,
,
.

Vzorce pre súčet a rozdiel hyperbolických funkcií

,
,
,
,
.

Vzťah hyperbolického sínusu a kosínusu s dotyčnicou a kotangensom

, ,
, .

Deriváty

,

Integrály sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Rozšírenia do sérií

Inverzné funkcie

Areasine

Pri - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Areakozín

O 1 ≤ x< ∞ a 0 ≤ r< ∞ existujú vzorce:
,
.

Druhá vetva areacosine sa nachádza na 1 ≤ x< ∞ a - ∞< y ≤ 0 :
.

Areatangent

o - 1 < x < 1 a - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

Iné označenia: sinh X, Sh X, cosh x, Ch X, tgh X, tanh X, Th X. Grafy pozri na obr. jeden.

Základné pomery:

Geometrické G. f. podobne ako pri interpretácii goniometrických funkcií (obr. 2). Parametrický rovnice hyperboly nám umožňujú interpretovať úsečku a ordinátu bodu rovnostrannej hyperboly ako hyperbolu. kosínus a sínus; hyperbolický dotyčnicový segment AB. Parameter t sa rovná dvojnásobku plochy sektora OAM, kde AM- oblúk hyperboly. Pre bod (v ) je parameter t záporný. Inverzné hyperbolické funkcie sú definované vzorcami:

Derivácie a základné integrály G. f.:

V celej rovine komplexnej premennej z je G. f. a môže byť definovaný radom:

teda

Existujú rozsiahle tabuľky pre G. f. Hodnoty G. f. možno získať aj z tabuliek pre e x a e-x.

Lit.: Yanke E., Emde F., Lesh F., Špeciálne funkcie. Vzorce, grafy, tabuľky, 2. vydanie, Per. z nemčiny, M., 1968; Tabuľky kruhových a hyperbolických sínusov a kosínusov v mieri žiarenia uhla, M., 1958; tabuľky e x a e-x, M., 1955. V. I. Bityutskov.

Matematická encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pozrite si, čo je „HYPERBOLICKÉ FUNKCIE“ v iných slovníkoch:

Funkcie definované vzorcami: (hyperbolický sínus), (hyperbolický kosínus). Niekedy sa uvažuje aj o hyperbolickom tangente: G.f.......

Funkcie definované vzorcami: (hyperbolický sínus), (hyperbolický kosínus), (hyperbolický tangens) ... Veľký encyklopedický slovník

Funkcie definované vzorcami: shx \u003d (ex e x) / 2 (hynerbolický sínus), chx (ex + e k) / 2 (hyperbolický kosínus), thx \u003d shx / chx (hyperbolický tangent). Grafy G. f. vidieť na obrázku...

Rodina elementárnych funkcií vyjadrených ako exponent a úzko súvisiacich s goniometrickými funkciami. Obsah 1 Definícia 1.1 Geometrická definícia ... Wikipedia

Funkcie definované vzorcami: shx = (ex - e x)/2 (hyperbolický sínus), chx = (ex + e x)/2 (hyperbolický kosínus), thx = shx/chx (hyperbolický tangens). Grafy hyperbolických funkcií, pozri obr. * * * HYPERBOLICKÉ FUNKCIE... ... encyklopedický slovník

Funkcie. definované príznakmi: (hyperbolický sínus), (hyperbolický kosínus), (vložiť obrázky!!!) Grafy hyperbolických funkcií ... Veľký encyklopedický polytechnický slovník

Analogicky s goniometrickými funkciami Sinx, cosx, o ktorých je známe, že sú definované pomocou Eulerových vzorcov sinx = (exi e xi)/2i, cosx = (exi + e xi)/2 (kde e je základ Napierových logaritmov , a i = √[ jedna]); niekedy sa to berie do úvahy ... ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

Funkcie inverzné k hyperbolickým funkciám (Pozri Hyperbolické funkcie) sh x, ch x, th x; vyjadrujú sa vzorcami (čítaj: hyperbolický arzín, hyperbolický plošný kosínus, aretangens ... ... Veľká sovietska encyklopédia

Funkcie inverzné k hyperbolickým. funkcie; vyjadrené vo vzorcoch... Prírodná veda. encyklopedický slovník

Inverzné hyperbolické funkcie sú definované ako inverzné funkcie hyperbolických funkcií. Tieto funkcie určujú plochu sektora jednotkovej hyperboly x2 − y2 = 1 rovnakým spôsobom, akým inverzné goniometrické funkcie určujú dĺžku ... ... Wikipedia

knihy

• Hyperbolické funkcie, Yanpolsky A.R. Kniha popisuje vlastnosti hyperbolických a inverzných hyperbolických funkcií a uvádza vzťah medzi nimi a inými elementárnymi funkciami. Aplikácia hyperbolických funkcií na…

Dá sa zapísať v parametrickej forme pomocou hyperbolických funkcií (to vysvetľuje ich názov).

Označme y= b·sht , potom x2 / a2=1+sh2t =ch2t . Odkiaľ x=± a·cht .

Dostávame sa teda k nasledujúcim parametrickým rovniciam hyperboly:

Y= v sht , –< t < . (6)

Ryža. jeden.

Znamienko "+" v hornom vzorci (6) zodpovedá pravej vetve hyperboly a znamienko ""– "" zodpovedá ľavej vetve (pozri obr. 1). Vrcholy hyperboly A(– a; 0) a B(a; 0) zodpovedajú hodnote parametra t=0.

Pre porovnanie môžeme dať parametrické rovnice elipsy pomocou goniometrických funkcií:

X = cena,

Y = v sint , 0 t 2p . (7)

3. Je zrejmé, že funkcia y=chx je párna a nadobúda iba kladné hodnoty. Funkcia y=shx je nepárna, pretože :

Funkcie y=thx a y=cthx sú nepárne ako podiely párnej a nepárnej funkcie. Všimnite si, že na rozdiel od goniometrických funkcií nie sú hyperbolické funkcie periodické.

4. Pozrime sa na správanie funkcie y= cthx v okolí bodu nespojitosti x=0:

Os y je teda zvislou asymptotou grafu funkcie y=cthx . Definujme šikmé (horizontálne) asymptoty:

Preto je priamka y=1 pravou horizontálnou asymptotou grafu funkcie y=cthx . Kvôli zvláštnosti tejto funkcie je jej ľavá horizontálna asymptota priamka y= –1. Je ľahké ukázať, že tieto riadky sú súčasne asymptotami pre funkciu y=thx. Funkcie shx a chx nemajú žiadne asymptoty.

2) (chx)"=shx (zobrazené podobne).

4)

Existuje aj určitá analógia s goniometrickými funkciami. Úplná tabuľka derivácií všetkých hyperbolických funkcií je uvedená v časti IV.

HYPERBOLICKÉ FUNKCIE- Hyperbolický sínus (sh x) a kosínus (ch x) sú definované nasledujúcimi rovnosťami:

Hyperbolický tangens a kotangens sú definované analogicky s trigonometrickým tangensom a kotangensom:

Hyperbolický sekans a kosekans sú definované podobne:

Existujú vzorce:

Vlastnosti hyperbolických funkcií sú v mnohých ohľadoch podobné vlastnostiam (pozri). Rovnice x=cos t, y=sin t určujú kružnicu x²+y² = 1; rovnice x=сh t, y=sh t definujú hyperbolu x² - y²=1. Tak ako sú goniometrické funkcie určené z kruhu s jednotkovým polomerom, tak aj hyperbolické funkcie sú určené z rovnoramennej hyperboly x² - y² = 1. Argument t je dvojitá plocha tieňovaného krivočiareho trojuholníka OME (obr. 48), podobne ako pre kruhové (trigonometrické) funkcie sa argument t číselne rovná dvojnásobku plochy krivočiareho trojuholníka OKE ( Obr. 49):

pre kruh

pre hyperbolu

Sčítacie vety pre hyperbolické funkcie sú podobné ako sčítacie vety pre goniometrické funkcie:

Tieto analógie sú ľahko viditeľné, ak sa ako argument x vezme komplexná premenná r. Hyperbolické funkcie súvisia s goniometrickými funkciami podľa nasledujúcich vzorcov: sh x \u003d - i sin ix, ch x \u003d cos ix, kde i je jedným z hodnoty koreňa √-1. Hyperbolické funkcie sh x, ako aj ch x: môžu nadobúdať akékoľvek veľké hodnoty (teda samozrejme veľké jednotky) na rozdiel od goniometrických funkcií sin x, cos x, ktoré pre reálne hodnoty nemôžu byť väčšia ako jedna v absolútnej hodnote.
Hyperbolické funkcie zohrávajú úlohu v Lobačevského geometrii (pozri), používajú sa pri štúdiu odolnosti materiálov, v elektrotechnike a iných oblastiach poznania. V literatúre sú aj označenia hyperbolických funkcií ako sinh x; cosh x; tghx.