Quali eventi in cento sono considerati simultanei. A. La teoria della relatività speciale di Einstein. Le principali conseguenze derivanti dai postulati della teoria della relatività
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Fino all'inizio del 20° secolo. nessuno dubitava che il tempo fosse assoluto.
Due eventi, simultanei per gli abitanti della Terra, sono simultanei per gli abitanti di qualsiasi civiltà spaziale.
La creazione della teoria della relatività ha portato alla conclusione che non è così.
La ragione del fallimento delle idee classiche sullo spazio e sul tempo è l'assunzione errata della possibilità di trasmissione istantanea di interazioni e segnali da un punto all'altro dello spazio.
L'esistenza di una velocità finale limitante di trasmissione delle interazioni richiede un profondo cambiamento nelle idee abituali sullo spazio e sul tempo, basate sull'esperienza quotidiana.
L'idea del tempo assoluto, che scorre una volta per tutte ad un dato ritmo, del tutto indipendente dalla materia e dal suo movimento, si rivela errata.
Se ammettiamo la possibilità di una propagazione istantanea dei segnali, allora l'affermazione che gli eventi in due punti A e B spazialmente separati si sono verificati simultaneamente avrà un significato assoluto.
È possibile posizionare gli orologi nei punti A e B e sincronizzarli utilizzando segnali istantanei.
Se un tale segnale è stato inviato dal punto A, ad esempio, a 0 h 45 min, e allo stesso tempo è arrivato al punto B in base all'orologio B, gli orologi mostrano la stessa ora, cioè funzionano in modo sincrono.
Se non esiste tale corrispondenza, è possibile sincronizzare gli orologi spostando in avanti quegli orologi che mostrano meno tempo al momento dell'invio del segnale.
Eventuali eventi, come due fulmini, sono simultanei se si verificano alle stesse letture dell'orologio sincronizzate.
Solo posizionando orologi sincronizzati ai punti A e B, si può giudicare se due eventi si sono verificati in questi punti contemporaneamente o meno.
Ma come sincronizzare gli orologi che sono a una certa distanza l'uno dall'altro, se la velocità di propagazione del segnale non è infinitamente alta?
Per sincronizzare gli orologi, è naturale utilizzare segnali luminosi o elettromagnetici in genere, vista la velocità onde elettromagnetiche nel vuoto è un valore costante e rigorosamente definito.
È questo metodo che viene utilizzato per controllare l'orologio via radio.
I segnali temporali consentono di sincronizzare l'orologio con un orologio di riferimento accurato.
Conoscendo la distanza dalla stazione radio alla casa, puoi calcolare la correzione per il ritardo del segnale.
Questa correzione è, ovviamente, molto piccola. A Vita di ogni giorno lei non gioca alcun ruolo significativo.
Ma a enormi distanze cosmiche, può essere molto significativo.
Diamo un'occhiata più da vicino a un semplice metodo di sincronizzazione dell'orologio che non richiede calcoli.
Supponiamo che un astronauta voglia sapere se gli orologi A e B che corrono alle estremità opposte funzionano allo stesso modo. navicella spaziale.
Per fare ciò, con l'aiuto di una sorgente fissa rispetto alla nave e situata al centro, l'astronauta produce un lampo di luce.
La luce raggiunge contemporaneamente entrambe le ore. Se le letture dell'orologio sono le stesse in questo momento, gli orologi funzionano in modo sincrono.
Ma sarà così solo nel quadro di riferimento K1 associato alla nave.
Nel sistema di riferimento Per, rispetto al quale si sta muovendo la nave, la situazione è diversa.
L'orologio a prua della nave si allontana dal luogo in cui è avvenuto il lampo della sorgente luminosa (il punto con la coordinata OC), e per raggiungere l'orologio A, il faro deve coprire una distanza maggiore della metà della lunghezza della nave.
Al contrario, l'orologio B a poppa si sta avvicinando al punto di infiammabilità e il percorso del segnale luminoso è inferiore alla metà della lunghezza della nave.
Nella figura, le coordinate X e x 1 coincidono al momento del lampo.
La figura seguente mostra la posizione dei quadri di riferimento nel momento in cui la luce raggiunge le ore B. 
Pertanto, un osservatore nel sistema Per, conclude che i segnali non raggiungono entrambi gli orologi contemporaneamente.
Due eventi qualsiasi nei punti A e B, simultanei nel sistema di riferimento K 1, non sono simultanei nel sistema Per.
Ma secondo il principio della relatività del sistema K 1 e Per completamente uguale.
Nessuno di questi quadri di riferimento può essere preferito, quindi siamo costretti a concludere:
la simultaneità di eventi spazialmente separati è relativa.
La ragione della relatività della simultaneità è, come vediamo, la finitezza della velocità di propagazione del segnale.
È nella relatività della simultaneità che risiede la soluzione del paradosso dei segnali luminosi sferici, di cui si è parlato nell'argomento precedente.
La luce raggiunge contemporaneamente punti su una superficie sferica centrata nel punto O solo dal punto di vista di un osservatore che è fermo rispetto al fotogramma K.
Dal punto di vista di un osservatore associato al sistema K 1 la luce raggiunge questi punti in tempi diversi.
Ovviamente vale anche il contrario:
dal punto di vista dell'osservatore nel quadro di riferimento Per la luce raggiunge punti sulla superficie di una sfera centrata in un punto Circa 1 in momenti diversi, e non simultaneamente, come appare all'osservatore nel quadro di riferimento K 1.
Conclusione: non esiste un vero paradosso.
Così,
la simultaneità degli eventi è relativa.
È impossibile visualizzarlo perché la velocità della luce è molto più alta delle velocità con cui siamo abituati a muoverci.
La relatività della simultaneità degli eventi
Nella meccanica newtoniana, la simultaneità di due eventi è assoluta e non dipende dal sistema di riferimento. Ciò significa che se si verificano due eventi nel sistema K ai tempi t e t 1 , e nel sistema K', rispettivamente, ai tempi t' e t' 1 , allora poiché t=t', l'intervallo di tempo tra due eventi è lo stesso in entrambi i quadri di riferimento
A differenza della meccanica classica, nella teoria della relatività speciale, la simultaneità di due eventi che si verificano in punti diversi dello spazio è relativa: eventi che sono simultanei in un sistema di riferimento inerziale non sono simultanei in altri sistemi inerziali che si muovono rispetto al primo.
Il concetto di simultaneità di eventi spazialmente separati è relativo. Dai postulati della teoria della relatività e dell'esistenza di una velocità finita di propagazione del segnale, ne consegue che in diversi sistemi di riferimento inerziali, il tempo scorre in modo diverso.
I postulati di Einstein
(principio di relatività)
1° postulato . Tutte le leggi di natura sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali (le equazioni che esprimono le leggi di natura sono invarianti rispetto alla trasformazione delle coordinate e del tempo da un sistema di riferimento all'altro)
(generalizzazione della meccanica della relatività di Galileo all'insieme della natura)
2° postulato . La luce viaggia a velocità c = const, non dipende dallo stato di moto del corpo radiante.
La velocità della luce in tutti i sistemi di riferimento è costante.
Secondo Galileo:
x / = x + vt ; y = y / ; z = z / . t = t / .
Il conto alla rovescia in entrambi i sistemi dal momento in cui gli inizi dei sistemi O e O / hanno coinciso. Lascia che al momento t = t / =0 venga inviato un segnale luminoso dagli inizi coincidenti in tutte le direzioni. Per il tempo t, il segnale in K raggiungerà punti che sono a una distanza ct da O.
Coordinate raggio-vettore nel sistema di coordinate 3D
r 2 \u003d x 2 + y 2 + z 2
Se a t = 0 iniziamo un segnale luminoso con la velocità della luce c; ct è la distanza che la luce percorrerà nel fotogramma k e finirà in punti con coordinate r.
Il quadrato del raggio sarà simile
r 2 \u003d x 2 + y 2 + z 2 \u003d c 2 t 2; le coordinate dei punti soddisfano l'equazione
Allo stesso modo, nel sistema k / :
(x /) 2 + (y /) 2 + (z /) 2 = c 2 (t /) 2
Le equazioni hanno la stessa forma in entrambi i sistemi di riferimento
c 2 t 2 - x 2 + y 2 + z 2 = 0
c 2 (t /) 2 - (x /) 2 + (y /) 2 + (z /) 2 \u003d 0
se in queste equazioni sostituiamo le trasformazioni di Galileo, allora siamo convinti che queste trasformazioni non sono compatibili con il principio di costanza della velocità della luce.
Le equazioni di Newton soddisfano le trasformazioni galileiane (invariante)
Le equazioni di Maxwell non soddisfano le trasformazioni di Galileo. Einstein ha determinato le trasformazioni della meccanica relativistica sulla base dei postulati.
Intervallo
L'evento è determinato dal luogo (coordinate e ora)
Se si entra in uno spazio immaginario quadridimensionale (quattro spazi) con gli assi ct, x, y, z, l'evento è caratterizzato da - punto mondiale
E la linea che descrive la posizione del punto è la linea del mondo.
x 0 2 - x 1 2 - x 2 2 - x 3 2 = 0 - quattro dimensioni.
cono di luce futuro
la regione degli eventi assolutamente lontana da A
(fuori dal cono
passato cono di luce
Nella figura puoi segnare il cono del futuro (sopra) e il cono del passato
La linea che la particella descrive è chiamata linea del mondo.
A è un evento accaduto prima di B. L'evento A è la causa dello stato B e lo stato B è una conseguenza dello stato A. tra questi eventi c'è una relazione causale.
Un evento - una conseguenza - è la via per il futuro
Evento - causa - è la via per il passato
Lo spazio-tempo è lo spazio di Minkowski.
Il cono superiore è chiamato cono del futuro, il cono inferiore è chiamato passato.
Sia l'evento - Se la luce al momento t 1 da un punto con coordinate (x 1, y 1, z 1), e al momento t 2 la particella ha coordinate (x 2, y 2, z 2), allora nel sistema tra coordinate e tempo abbiamo la relazione
c 2 (t 2 - t 1) 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2
distanza (intervallo) tra i punti
l 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2.
per analogia, possiamo parlare di un intervallo in un 4-spazio
(s 12) 2 \u003d c 2 (t 2 - t 1) 2 - (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 - 4-intervallo - quattro - intervallo
quadrato dell'intervallo
dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 - inv (invariante).
Un intervallo in qualsiasi SO è un invariante.
Per eventi di emissione di luce dal punto 1 e arrivo al punto 2, l'intervallo è zero
ds 2 \u003d c 2 d t 2 - dx 2 - dy 2 - dz 2 \u003d c 2 d t 2 - dl 2 \u003d 0
A causa di c \u003d const in qualsiasi quadro di riferimento, l'intervallo è valido per entrambi i "frame di riferimento" K e K. Se ds \u003d 0, allora ds" \u003d 0. Pertanto, esiste una connessione tra intervalli in frame diversi di riferimento
Nei sistemi k e k / gli intervalli sono collegati da una relazione lineare.
O vice versa
Moltiplicando
dsds / = ds / ds; dove
Poiché il segno dell'intervallo in tutti i sistemi di riferimento deve essere lo stesso, quindi
sono invarianti, come deve essere dimostrato.
Per tutti i sistemi di riferimento - per analogia con le distanze tra punti nello spazio ordinario. Questa è una logica conseguenza dei postulati di Einstein.
Usando l'invarianza di intervallo, scriviamo
ds 2 \u003d c 2 d t 2 - dl 2 \u003d c 2 d (t /) 2 - d (l /) 2
Sia ds 2 > 0, cioè l'intervallo è reale. Troviamo il sistema K" dove dl / = 0. In questo sistema, gli eventi separati da un intervallo ds si verificheranno in un punto. L'intervallo di tempo nel sistema K" è dt / = ds/c.
Intervalli reali--simile al tempo
ds 2 > 0 - intervallo di tipo temporale.
Se ds 2< 0, т.е. интервал мнимый, тогда можно найти систему К" , в которой d t / = 0, т.е. события происходят одновременно.Расстояние между точками, в которых произошли события в системе К"
dl" = is - distanza tra eventi.
Intervalli immaginari chiamato simile allo spazio.
ds 2< 0 – пространственноподобный интервал.S 2 < 0
Gli eventi che si verificano con una particella sono separati solo da un intervallo simile al tempo.
Perché il
parte V< C
e la distanza percorsa l< ct, отсюда ds 2 > 0.
Gli intervalli simili allo spazio possono separare eventi causalmente non correlati.
La particella si muove uniformemente con velocità v rispetto al sistema K (sistema di laboratorio). Sia 2 eventi che si verificano con questa particella separati dal tempo nel sistema K dt. Introduciamo il sistema K" rispetto al quale la particella è a riposo. In questo sistema l'intervallo di tempo tra gli eventi considerati sarà
Dove dt" è misurato dall'orologio nel frame K" che si muove a una velocità v relativa a K insieme alla particella. Il tempo secondo l'orologio che si muove insieme al corpo è il tempo proprio –τ. Per questa volta puoi scrivere
Poiché ds è un invariante e с=const, allora d è un invariante.
Sostituendo nell'espressione il tempo proprio ds, espresso in termini di coordinate e tempo del sistema K
d c 2 d t 2 - dl 2 / c 2 = (c 2 - dl 2 / d t 2) d t / c 2
Poiché la derivata del percorso rispetto al tempo è la velocità
Otteniamo per il quadrato del tempo
d = (1- V 2 /c 2)dt 2
d= dt √(1- V 2 /c 2)
Il tempo proprio di una particella è sempre inferiore all'intervallo di tempo in un frame stazionario (di laboratorio) (gli orologi funzionano più lentamente in un frame in movimento).
Per il moto non uniforme, gli intervalli di tempo sono ottenuti per integrazione.
La connessione dei tempi nei quadri di riferimento può essere stimata da un esperimento mentale. Immagina che un segnale venga inviato in uno dei sistemi di riferimento mobili. Relativamente a questo sistema, il segnale si muove come se fosse fermo. Allo stesso tempo, un osservatore situato nel sistema di riferimento originale osserverà questo segnale muoversi alla velocità della luce e raggiungere il bersaglio nel tempo T. Secondo il teorema di Pitagora, a condizione che il segnale sia fissato contemporaneamente nel punto di destinazione, si avere una relazione tra i tempi.
c 2 T 2 \u003d V 2 T 2 + c 2
Donde a tempo debito abbiamo una connessione simile a quella sopra considerata. In un sistema in movimento, il tempo scorre più lentamente.
c 2 T 2 - V 2 T 2 / c 2 = T 2 (1 - V 2 / c 2)
Se la velocità cambia (V = var):
t 1 ∫ t 2 (1 - V 2 /c 2) 1/2 dt
Vettori e tensori quadridimensionali nello spazio pseudo-euclideo
2. Vettore multidimensionale
Il vettore raggio quadrato è definito come
x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = x io 2 (1)
Se introduciamo un tensore della forma
g ij = ik = - tensore metrico. (2)
quindi (1) è scritto nella forma
per io , k = 1, n
g ik x i x k (3)
Nella teoria della relatività speciale e dell'elettrodinamica, le equazioni assumono una forma semplice se sono rappresentate come relazioni tra vettori e tensori in uno spazio quadridimensionale, la cui metrica è determinata dal tensore
Lezione #8
pseudo-euclidea
Gli indici variano sui valori μ, ν = 0,1,2,3
Indici latini ijk - Latino per vettori nel solito spazio tridimensionale (in uno spazio con una metrica euclidea)
(x o ,x 1, x 2 ,x 3) – 4 spazi
Notazione
x o = ct ; x 1 = x; x 2 = y; x 3 = z
l'azione dell'operatore matrice sul vettore - di conseguenza, il vettore
- vettore di spazio quadridimensionale
L'espressione per il vettore risultante ha la forma
r = ct - x - y - z
notazione algebrica dell'azione di un operatore matriciale
x= 
/ = ct / - x 1 / - x 2 / - x 3 /
Qualsiasi vettore può essere trasformato scrivendo una matrice di trasformazione.
Determinazione del vettore raggio quadrato in 4-spazio
- invariante
- matrice di trasformazione diretta (matrice inversa con barra)
- conversione diretta (8)
- trasformazione inversa
Usando proprietà di invarianza quadrata del vettore a 4 raggi(intervallo) scrivere
sostituto 
da(8)
(11)
(12)
dopo le trasformazioni si ottiene la condizione per la trasformazione lineare
(13)
Considerando che solo i termini diagonali in sono diversi da zero
(13) scriviamo in forma semplificata
,1,2,3 (14)
ad esempio con , 1- con , con =1, =2
(15)
1,2 - conseguenze della condizione di non invarianza
Relazione tra trasformazione diretta e inversa:
; - conversione diretta (17)
- trasformazione inversa
dove 
=1 coefficiente - simbolo di Kronecker - matrice di identità
Il componente può essere rappresentato come
Allora si può scrivere
,1,2,3 (20)
Il sistema è equo (soddisfatto) se lo mettiamo
per esempio, quando = l'equazione (20) appare come
(22)
Soggetto (21)
a 00 a 00 -∑ 1 3 a io 0 a io 0 =1 (23)
che è simile a (15)
Con =1, 2
∑ 1 3 a 1ρ a ρ 2 =0 (24)
Da dove dato (21)
A 10 a 02 +∑ 1 3 a i 1 a i 2 =0 - che è simile a (16)
La condizione (21) può essere scritta come
A =0, 0
a" 00 \u003d a 00 (g 00 \u003d g 00 \u003d 1)
A =0, i ≠0 così come a =i≠0, 0
sarà effettuato
g μμ =-g νν , cioè -uno
E quando = i ≠ 0, ≠ 0
Entrambi i moltiplicatori sono -1
g μμ = g νν = -1
(che è in (21))
Nella teoria della relatività, le trasformazioni vengono considerate quando le coordinate x 2 \u003d y, x 3 \u003d z rimangono invariate (selezione di coordinate specifiche per il movimento lungo l'asse x, quando il tempo t e x rimangono variabili)
Ovviamente, la matrice di trasformazione ha la forma
La trasformazione inversa ha una forma simile a
Nei sistemi di riferimento K e K" le matrici differiscono per alcuni parametri p (ad esempio, rotazione o velocità relativa V). Nel limite a p->0, le matrici coincideranno
lim p->0 a 00 =lim p->0 a 11 =1
lim p->0 a 01 =lim p->0 a 10 =0
Scrivendo (14) per =0, 0
a 2 00 - a 2 10 =1 (28)
Per la conversione inversa
a" 2 00 - a" 2 10 =1
Tenendo conto della relazione tra trasformazione diretta e inversa (21)
a 2 00 - a 2 01 =1 (30)
Da (28) e (30) segue
a 2 10 = a 2 01
ed estraendo la radice
Ora (14) con =0, 1 otteniamo
a 00 a 01 - a 10 a 11 =0,
da dove a
2. a 00 = -a 11 se a 01 = a 10
un 00 = un 11
un 10 = - un 01
Tenendo conto che le relazioni
lim p ->0 a 00 =lim p ->0 a 11 =1
allora la prima opzione è corretta. Allora uno dovrebbe considerare
a 00 = a 11 = γ 0
a 01 = a 10 = γ 1
Quindi riscriviamo (26) nella forma
Ciò implica:
,
Perché il
,
un solo coefficiente è indipendente.
I coefficienti di trasformata inversa sono correlati da (21)
a" 00 \u003d a 00 \u003d γ 0
a" 01 \u003d -a 10 \u003d γ 1
Cioè, la coordinata x cambia; y,z - cost
Quindi la matrice di trasformazione inversa può essere rappresentata come
Pertanto, vengono considerate le principali proprietà delle trasformazioni dei 4 vettori, che vengono utilizzate nella formazione dell'apparato matematico per le trasformazioni dei principali indicatori (equazioni del movimento) per i sistemi in movimento: la trasformazione di Lorentz
Trasformazioni di Lorentz
L'intervallo è invariante rispetto alle trasformazioni geometriche in 4-spazio, cioè è simile al modulo di un vettore nello spazio euclideo
x o = ct ; x 1 = x; x 2 = y; x 3 = z
quadrato dell'intervallo
ds 2 \u003d c 2 d t 2 - dx 2 - dy 2 - dz 2 \u003d c 2 d t 2 - dl 2
dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 – inv (invariante nello spazio euclideo) – modulo di differenza dei vettori puntiformi.
x o ; x1; x2; x 3 –coordinate –componenti del vettore a 4 raggi del punto mondiale.
lo spazio dove gli eventi sono rappresentati da un punto del mondo con tali coordinate ha una metrica pseudo-euclidea definita dal tensore
Viene chiamato lo spazio le cui proprietà sono determinate dal tensore(4). pseudo-euclidea
- metrica dello spazio "pseudo-euclideo" (4)
La trasformazione delle componenti del vettore a 4 raggi viene eseguita secondo la formula
dove è la matrice di trasformazione
,
e 
Perché il 
, un solo coefficiente è indipendente.
Considera i sistemi di riferimento di entrambi i sistemi di riferimento K e K" che si muovono l'uno rispetto all'altro con una velocità v.
Trasformazione vettoriale zero
Per i valori trasformati, otteniamo
per la coordinata zero x" =0, x=vt:
da 
lo capiamo
;
;
;
- Coefficiente di trasformazione di Lorentz
;
;
La sostituzione nella formula per trasformare le coordinate di un vettore a 4 dà
;
; dove 
Le formule per la trasformazione inversa si ottengono in modo simile, tenendo conto del fatto che il coefficiente è preceduto da un segno più.
Passando alla consueta notazione per la trasformazione diretta
;
; y/=y; z/=z;
Trasformazioni inverse di coordinate reali
;
;
Le trasformazioni di Lorentz lasciano l'intervallo invariante (verifica!!!) Riduzione dimensionale e variazione di volume
;
Tutte queste trasformazioni vengono eseguite modificando una coordinata x.
Conversione di velocità
differenziando la formula della trasformazione diretta
;
- conversione della velocità
;
Le trasformazioni inverse si ottengono in modo simile
Il significato geometrico della trasformazione di Lorentz
Questa trasformazione lineare assomiglia a una trasformazione di rotazione nello spazio euclideo 3D. Sembra questa trasformazione che caratterizza la rotazione del piano xy di un angolo φ nello spazio ordinario
Con questo confronto, lo otteniamo
Ovviamente non esiste valido
angle , che soddisferebbe queste relazioni. Tuttavia, come è facile vedere, c'è un prettamente immaginario
angolo 
, per cui saranno soddisfatte le relazioni di cui sopra. Veramente,
Pertanto, come conseguenza delle relazioni di cui sopra, otteniamo le formule
Queste relazioni sono risolvibili, poiché, secondo loro,
Come puoi vedere, il valore dell'angolo immaginario 
, è determinato dal valore del rapporto tra le velocità 
. Presentiamo ora valido
coordinata temporale 
, per cui 
, o 
Quindi le formule di trasformazione di Lorentz prendono la forma
Queste sono le formule del cosiddetto iperbolico girando
Trasformazione della dinamica (equazioni di Newton) per lo spazio quadridimensionale:
; i = 1,2,3 - per lo spazio euclideo
Nel caso della meccanica relativistica, le equazioni del moto sono scritte per il vettore velocità ottenuto dopo le trasformazioni tenendo conto dell'invarianza
La generalizzazione quadridimensionale ha la forma
dove = 0,1,2,3 – dinamica relativistica
Qui il tempo è il tempo dell'osservatore. Una quantità invariante di massa che caratterizza le proprietà inerti di una particella. L'analogo della forza di Minkowski deve essere definito in modo tale che alle basse velocità si trasformi nella consueta equazione del moto.
Nella meccanica non relativistica dl, dt sono inv quindi v=dr/dt è velocità e accelerazione è a=dv/dt
Relativistica dl e dt ≠ inv
inv è l'intervallo ds associato a dl e dt. in cui
ds 2 \u003d c 2 dt 2 -dl 2
Il compito principale è trovare gli analoghi quadridimensionali del vettore tridimensionale: la velocità della particella quadridimensionale v e l'accelerazione a.
Relativo dt - tempo proprio dτ =ds/c→ inv
; -proprietà del 4-vettore per la velocità delle particelle 4D
Per l'accelerazione abbiamo la formula
Componente di velocità zero
;
Altri componenti della velocità
La notazione vettoriale ha la forma
A velocità molto inferiori a quella della luce, otteniamo la velocità normale.
La legge di Newton per la componente zero, scriviamo
Per altri componenti
, dove i = 1,2,3 è la forza di Minkowski
La forza di Minkowski è correlata alla forza newtoniana dalla relazione
Altrimenti si può scrivere la legge del moto
Il quadrato di un vettore a 4 soddisfa la relazione
Per determinare la componente temporale della forza di Minkowski, moltiplichiamo l'equazione del moto per la velocità.
Moltiplicando l'equazione del moto per il vettore velocità
Riassumiamo
, ovvero il vettore velocità è perpendicolare alla direzione. Qui viene preso in considerazione
,
Sostituiamo l'espressione per la velocità e la forza di Minkowski e, dipingendo la somma, otteniamo
Quindi il vettore forza di Minkowski sarà rappresentato dalle componenti
Il prodotto scalare di forza e velocità è il lavoro svolto dalla particella per unità di tempo, pari alla variazione dell'energia della particella
Integrando questa equazione, otteniamo
, dove cost = 0;
La costante è stata determinata da Einstein e confermata sperimentalmente
Per un corpo immobile vale l'espressione di energia
E=mc 2 - Equazione di Einstein.
Questa equazione esprime l'energia a riposo della particella.
Un elettrone fermo e un positrone emettono due γ-quanti con un'energia totale pari alla somma delle energie di riposo dell'elettrone e del positrone.
Momento ed energia di una particella
Rappresentazione di 4 impulsi:
;
Sostituisci l'espressione con la velocità
;
;
Confrontiamo le espressioni per l'energia e per la componente di momento zero e possiamo scrivere
;
Quindi la rappresentazione dei componenti del vettore a 4 momenti avrà la forma
Se definiamo il quadrato della quantità di moto, allora
D'altro canto,
Qui il quadrato del 4-momentum, come il quadrato di qualsiasi vettore, è un invariante
La differenza tra l'energia totale e l'energia a riposo è uguale all'energia cinetica della particella
al piccolo 
Espansione in serie di Taylor
Quindi scriviamo l'espressione approssimativa dell'energia cinetica
Ciò che coincide con la teoria classica senza relativismo
L'energia totale è espressa in termini di quantità di moto dalla funzione di Hamilton
Hamiltoniana per una particella libera
H=√E 2 = E=c√(p 2 + m 2 c 2)
Per una particella in un campo esterno, l'Hamiltoniana ha la forma
H=c√(p 2 + m 2 c 2) + U
dove U è l'energia potenziale di una particella nel campo
Relatività della simultaneità
Lo scopo della lezione: formare nuove idee sullo spazio e sul tempo; La teoria della relatività ha dimostrato che gli eventi che sono simultanei per gli abitanti della Terra possono non essere simultanei per gli abitanti di un'altra civiltà spaziale.
Durante le lezioni
1. Controllo dei compiti tramite sondaggio frontale
A) Per quale scopo molti scienziati hanno cercato di rilevare il movimento della Terra rispetto all'etere?
B) Come ha affrontato A. Einstein il problema di “trovare la differenza tra i sistemi inerziali”?
C) Formulare il postulato principale della teoria della relatività.
D) Formulare il secondo postulato della teoria della relatività.
E) Perché la pubblicazione dei postulati della teoria della relatività ha richiesto un certo coraggio scientifico?
E) Si consideri un esempio in cui gli osservatori vedono il centro di una sfera in diversi punti dello spazio.
G) Qual è l'essenza della contraddizione con l'ultimo esempio?
2. Studiare nuovo materiale
R) Si credeva tradizionalmente che il tempo fosse un valore assoluto, e scorresse una volta per tutte ad un dato ritmo. Ma la creazione della teoria della relatività ha mostrato che non è così.
B) Il fatto è che le idee classiche su tempo e spazio procedevano dall'assunto della possibilità di trasmissione istantanea di segnali e interazioni da un luogo all'altro dello spazio. Il secondo postulato sulla velocità della luce richiede un cambiamento nelle idee ordinarie sullo spazio e sul tempo.
Il tempo non passa una volta per tutte a un dato ritmo. Se il segnale fosse trasmesso istantaneamente, allora si potrebbe parlare della simultaneità di eventi che si sono verificati in luoghi spazialmente separati. Anche gli orologi possono essere sincronizzati in modo assolutamente accurato con la trasmissione istantanea del segnale. Lascia che il segnale istantaneo parta dal punto A alle 12:10 e arrivi contemporaneamente al punto B, quindi gli orologi posti in questi punti sono sincroni.
Gli eventi si verificano contemporaneamente se gli orologi sincroni mostrano la stessa ora.
I segnali elettromagnetici aiutano a sincronizzare l'orologio, poiché la loro velocità è rigorosamente definita e costante. Quando si controllano gli orologi via radio, viene utilizzata la sincronizzazione di un numero enorme di orologi con orologi di riferimento accurati. Puoi calcolare una correzione per il ritardo del segnale se sai quanto è lontano da te l'orologio di riferimento. Questo emendamento nella vita di tutti i giorni non ha importanza. Può essere significativo solo a grandi distanze cosmiche.
Considera uno dei metodi di sincronizzazione dell'orologio.
Sulla navicella, gli orologi A e B sono posizionati alle estremità opposte.L'astronauta vuole verificare se funzionano in sincronia. Nel mezzo della nave c'è una fonte di luce, con l'aiuto della quale l'astronauta fa un lampo. Se la luce raggiunge l'orologio contemporaneamente, l'orologio funziona in sincronia. Quindi sarà solo nel sistema di riferimento K 1
Se consideriamo il movimento della nave rispetto al sistema di riferimento K, tutto sarà diverso.
Dal luogo in cui si è verificato lo scoppio (il punto con la coordinata OS), viene rimosso l'orologio situato a prua della nave. Un'onda luminosa deve percorrere più della metà della lunghezza della nave per raggiungere l'orologio. L'orologio B, situato a poppa della nave, si sta avvicinando al luogo del lampo, il che significa che in questo caso l'onda luminosa percorrerà una distanza inferiore alla metà della lunghezza della nave.
Nella figura a), le coordinate x 1 e x al momento del lampo coincidono.
La figura b) mostra come l'onda luminosa raggiunge l'orologio situato a poppa.
Un altro cosmonauta del fotogramma K vede che i segnali luminosi non raggiungono l'orologio contemporaneamente.
Ciò significa che tutti gli eventi che sono simultanei nel sistema K 1 non sono simultanei nel sistema K.
L'uguaglianza dei sistemi K 1 e K deriva dal principio di relatività, cioè questi sistemi sono completamente uguali. Sulla base di ciò, concludiamo: la simultaneità di eventi separati spazialmente è relativa.
Viviamo in un mondo di velocità molto inferiori alla velocità delle onde luminose, quindi è molto difficile visualizzare la relatività della simultaneità degli eventi. Tuttavia, la simultaneità degli eventi è relativa.
3. Consolidamento del materiale studiato
A) Perché le idee classiche secondo cui il tempo è assoluto si sono rivelate insostenibili?
b) Come viene sincronizzato l'orologio?
C) Dimostrazione che la simultaneità degli eventi è relativa.
Riassumiamo la lezione.
RELATIVITÀ DELLA SIMULTANEA
Fino all'inizio del 20° secolo, nessuno dubitava che il tempo fosse assoluto. Due eventi, simultanei per gli abitanti della Terra, sono simultanei per gli abitanti di qualsiasi civiltà spaziale. La creazione della teoria della relatività ha dimostrato che non è così.
La ragione del fallimento delle idee classiche sullo spazio e sul tempo è l'assunzione errata della possibilità di trasmissione istantanea di interazioni e segnali da un punto all'altro dello spazio. L'esistenza di una velocità finale limitante di trasmissione delle interazioni richiede un profondo cambiamento nelle idee abituali sullo spazio e sul tempo, basate sull'esperienza quotidiana. L'idea del tempo assoluto, che scorre una volta per tutte ad un dato ritmo, del tutto indipendente dalla materia e dal suo movimento, si rivela errata.
Se assumiamo la propagazione istantanea dei segnali, allora l'affermazione che eventi in due punti spazialmente separatiMA eA accaduto allo stesso tempo avrebbe un significato assoluto. Può essere posizionato in puntiMA eA orologio e sincronizzarli con sveglie istantanee. Se un tale segnale viene inviato daMA , ad esempio, in0 h45 min e lui allo stesso tempo sull'orologioA venuto al puntoA , quindi, significa che l'orologio mostra la stessa ora, cioè vanno in sincronia. Se non esiste tale corrispondenza, è possibile sincronizzare gli orologi spostando in avanti quegli orologi che mostrano meno tempo al momento dell'invio del segnale.
Eventuali eventi, come due fulmini, sono simultanei se si verificano alle stesse letture dell'orologio sincronizzate.
Solo mettendo in puntiMA eA orologi sincronizzati, si può giudicare se due eventi si sono verificati in questi punti contemporaneamente o meno. Ma come sincronizzare gli orologi che sono a una certa distanza l'uno dall'altro, se la velocità di propagazione del segnale non è infinitamente alta?
Per sincronizzare gli orologi è naturale ricorrere a segnali luminosi o elettromagnetici in genere, poiché la velocità delle onde elettromagnetiche nel vuoto è un valore rigorosamente definito e costante.
È questo metodo che viene utilizzato per controllare l'orologio via radio. I segnali temporali consentono di sincronizzare l'orologio con un orologio di riferimento accurato. Conoscendo la distanza dalla stazione radio alla casa, puoi calcolare la correzione per il ritardo del segnale. Questa correzione è, ovviamente, molto piccola. Nella vita di tutti i giorni, non gioca alcun ruolo evidente. Ma a enormi distanze cosmiche, può essere molto significativo.
Diamo un'occhiata più da vicino a un semplice metodo di sincronizzazione dell'orologio che non richiede calcoli. Diciamo che l'astronauta vuole sapere se gli orologi funzionano allo stesso modo. MA e A installato alle estremità opposte del veicolo spaziale (Fig. 40). Per fare ciò, con l'aiuto di una sorgente fissa rispetto alla nave e situata al centro, l'astronauta produce un lampo di luce. La luce raggiunge entrambi gli orologi contemporaneamente. Se le letture dell'orologio sono le stesse in questo momento, gli orologi funzionano in modo sincrono.
Riso. 40
Ma sarà così solo rispetto al sistema di riferimento Per 1 associato alla nave. Nel sistema di riferimento Per, rispetto al quale si sta muovendo la nave, la situazione è diversa. L'orologio a prua della nave si sta allontanando dal luogo in cui si è verificato il lampo della sorgente luminosa (il punto con la coordinata Sistema operativo), e per raggiungere le ore MA, la luce deve coprire una distanza maggiore della metà della lunghezza della nave (Fig. 41, a, 6). Al contrario, l'orologio A a poppa si stanno avvicinando al luogo del lampo, e il percorso del segnale luminoso è meno della metà della lunghezza della nave. (In Fig. 41, e le coordinate X e X 1 coincidere al momento dello scoppio; in fig. 41, b mostra la posizione dei sistemi di riferimento quando la luce raggiunge l'orologio A.) Pertanto, l'osservatore nel sistema Per arriverà alla conclusione che i segnali non raggiungono entrambi gli orologi contemporaneamente.
Riso. 41
Qualsiasi due eventi ai puntiMA eA , simultaneo nel sistemaPer 1 non simultanea nel sistemaPer . Ma per il principio di relatività del sistemaPer 1 ePer completamente uguale. Nessuno di questi sistemi può essere preferito. Pertanto, siamo costretti a concludere che la simultaneità di eventi spazialmente separati è relativa. La ragione della relatività della simultaneità è, come vediamo, la finitezza della velocità di propagazione del segnale.
È nella relatività della simultaneità che sta la soluzione del paradosso dei segnali luminosi sferici. La luce raggiunge contemporaneamente punti su una superficie sferica centrata in un puntoo solo dal punto di vista di un osservatore fermo rispetto al sistemaPer . Dal punto di vista di un osservatore associato al sistemaK 1 , la luce raggiunge questi punti in momenti diversi.
Certo, vale anche il contrario: nel sistemaPer la luce raggiunge punti sulla superficie di una sfera centratao 1 in momenti diversi e non simultaneamente, come appare all'osservatore nel sistemaPer 1 .
Ne consegue che non esiste un vero paradosso.
La simultaneità degli eventi è relativa. Immagina questo visivamente, "sentire", non siamo in grado di farlo a causa del fatto che la velocità della luce è molto maggiore della velocità con cui ci muoviamo.
PRINCIPALI CONSEGUENZE DEI POSTULATI DELLA TEORIA DELLA RELATIVITÀ
Dai postulati della teoria della relatività sulle proprietà dello spazio e del tempo derivano alcune importanti conseguenze. Non ci soffermeremo sulla dimostrazione relativamente complicata di queste conseguenze. Ci limitiamo a un loro breve elenco.
Relatività delle distanze
La distanza non è un valore assoluto, ma dipende dalla velocità del corpo rispetto a un dato sistema di riferimento.
Indica con l 0 la lunghezza dell'asta nel sistema di riferimento K, rispetto alla quale l'asta è a riposo. Poi la lunghezza l questa asta nel sistema di riferimento Per 1 , rispetto alla quale l'asta si muove con velocità , è determinato dalla formula
(2.1)
Come si può vedere da questa formula, l > l 0 .Questa è la contrazione relativistica delle dimensioni corporee nei sistemi di riferimento in movimento (gli effetti relativistici sono quelli osservati a velocità prossime a quella della luce).
Relatività degli intervalli di tempo
Sia l'intervallo di tempo tra due eventi che si verificano nello stesso punto del sistema inerzialePer , è uguale a 0 . Questi eventi, ad esempio, possono essere due battiti di un metronomo che contano i secondi.
Poi l'intervallo tra gli stessi eventi nel quadro di riferimento K 1 in movimento rispetto al sistema Per con velocità è espresso come segue:
(2.2)
È ovvio che > 0 . Questo è l'effetto relativistico della dilatazione del tempo nei sistemi di riferimento in movimento.
Se una <<с, то в формулах (2.1) и (2.2) можно пренебречь величиной . Тогда l l 0 e 0 , vale a dire, la riduzione relativistica delle dimensioni dei corpi e il rallentamento del tempo in un sistema di riferimento in movimento possono essere ignorati.
Legge relativistica dell'addizione delle velocità
Nuovi concetti relativistici di spazio e tempo corrispondono a una nuova legge di addizione di velocità. Ovviamente, la legge classica dell'addizione di velocità non può essere valida, poiché contraddice l'affermazione sulla costanza della velocità della luce nel vuoto.
Se il treno si muove a una certa velocità e un'onda luminosa si propaga nell'auto in direzione del treno, quindi la sua velocità rispetto alla Terra dovrebbe essere di nuovo uguale a , ma no . La nuova legge dell'addizione delle velocità dovrebbe portare al risultato richiesto.
Scriveremo la legge di addizione delle velocità per il caso particolare in cui il corpo si muove lungo l'asse X 1 sistemi di riferimento Per 1 , che a sua volta si muove ad una velocità relativa al sistema di riferimento Per. Inoltre, nel processo di spostamento, gli assi coordinati X e X 1 coincidono sempre e gli assi delle coordinate Y e Y 1 , Z e Z 1 rimanere paralleli (Fig. 42).
Riso. 42
Indichiamo la velocità del corpo rispetto a Per 1 attraverso 1 , e la velocità dello stesso corpo rispetto a Per attraverso 2 . Allora la legge relativistica dell'addizione di velocità avrà la forma
(2.3)
Se una <<с e 1 <<с , quindi un membro al denominatore può essere trascurato, e al posto della (2.3) otteniamo la classica legge di addizione delle velocità: 2 = 1 + .
In 1 = con velocità 2 è anche uguale a Insieme a, come richiesto dal secondo postulato della teoria della relatività. Veramente,
Una proprietà notevole della legge relativistica dell'addizione delle velocità è quella a qualsiasi velocità 1 e (ovviamente, non grande c) la velocità risultante 2 meno di Insieme a.
La legge relativistica dell'addizione di velocità è valida, ma non chiara. Immagina un grande razzo spaziale che si muova rispetto alla Terra a una velocità prossima a quella della luce c. Da esso parte un piccolo razzo che acquisisce una velocità vicina a quella di un razzo relativamente grande. Tuttavia, la velocità di un piccolo razzo rispetto alla Terra sarà quasi la stessa di un grande razzo.
? 1 . A quali velocità la legge relativistica dell'addizione delle velocità si trasforma nella legge classica (legge di Galileo)? 2 . Qual è la differenza fondamentale tra la velocità della luce e le velocità di tutti i corpi?
? Quali eventi sono chiamati simultanei?
22.01.2015
Lezione 36 (Classe 10)
Argomento. La relatività della simultaneità degli eventi
L'articolo di Albert Einstein "Electrodynamics of Moving Bodies", dedicato all'SRT, fu scritto nel 1905 e nel 1907 l'autore lo presentò a un concorso all'Università di Berna. Uno dei professori ha restituito il lavoro di Einstein con le parole: "Quello che hai scritto qui, non lo capisco affatto". Nel 1916 fu scritto un lavoro sulla teoria generale della relatività. È improbabile che ci fosse un altro scienziato del genere, la cui personalità sarebbe così popolare tra la popolazione dell'intero pianeta e susciterebbe interesse generale.
Dal punto di vista di SRT, la durata degli eventi, la quantità di movimento, la massa del corpo non sono valori assoluti, dipendono dalla velocità di movimento degli oggetti osservati rispetto all'osservatore. Gli effetti della relatività speciale iniziano a manifestarsi a velocità prossime a quella della luce e, alle normali velocità terrestri, il movimento e le caratteristiche degli oggetti possono essere calcolati utilizzando formule classiche ben note. La teoria della relatività è un'ulteriore generalizzazione, sviluppo delle leggi fisiche del moto. Non annulla, ma include come componente necessaria tutta la meccanica classica.
Consideriamo alcune conseguenze che seguono da SRT:
Legge relativistica dell'addizione delle velocità.
Se un corpo si muove con una velocità v in un sistema di riferimento, quindi in un altro sistema di riferimento, rispetto al quale il primo sistema di riferimento si muove con una velocità v1 nella stessa direzione, la velocità del corpo è determinata dall'espressione:
Da questa formula:
- al v<
La relatività della simultaneità degli eventi
Nella meccanica newtoniana, la simultaneità di due eventi è assoluta e non dipende dal sistema di riferimento. Ciò significa che se si verificano due eventi nel sistema K ai tempi t e t 1 , e nel sistema K', rispettivamente, ai tempi t' e t' 1 , allora poiché t=t', l'intervallo di tempo tra due eventi è lo stesso in entrambi i sistemi di riferimento
A differenza della meccanica classica, nella teoria della relatività speciale, la simultaneità di due eventi che si verificano in punti diversi dello spazio è relativa: eventi che sono simultanei in un sistema di riferimento inerziale non sono simultanei in altri sistemi inerziali che si muovono rispetto al primo. La figura è un diagramma
esperimento che lo illustra. Il sistema di riferimento K è connesso con la Terra, il sistema K' - con l'auto che si muove rispetto alla Terra in linea retta e uniformemente con una velocità v. I punti A, M, B e, rispettivamente, A', M' e B' sono segnati sulla Terra e nell'auto, con AM=MB e A'M'=M'B'. Nel momento in cui i punti indicati coincidono, si verificano eventi nei punti A e B - colpiscono due fulmini. Nel sistema K, i segnali di entrambi i flash arriveranno al punto M contemporaneamente, poiché AM = MB, e la velocità della luce
lo stesso in tutte le direzioni. Nel sistema K' associato all'auto, il segnale dal punto B' arriverà al punto M' prima rispetto al punto A', perché la velocità della luce
è lo stesso in tutte le direzioni, ma M' si avvicina al segnale emesso dal punto B' e si allontana dal segnale emesso dal punto A'. Ciò significa che gli eventi ai punti A' e B' non sono simultanei: gli eventi al punto B' sono avvenuti prima rispetto al punto A'. Se l'auto si muovesse nella direzione opposta, si otterrebbe il risultato opposto.
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Il concetto di simultaneità di eventi spazialmente separati è relativo. Dai postulati della teoria della relatività e dell'esistenza di una velocità finita di propagazione dei segnali, ne consegue che il tempo scorre in modo diverso in differenti sistemi di riferimento inerziali.
Trasformazioni di Lorentz
Secondo i due postulati della teoria della relatività speciale, esistono relazioni tra le coordinate e il tempo in due sistemi inerziali K e K", che sono chiamati Trasformazioni di Lorentz. Nel caso più semplice, quando il frame K' si muove rispetto al frame K con una velocità v come mostrato nella figura (vedi sotto), le trasformazioni di Lorentz per coordinate e tempo hanno la forma seguente:
, , , ,
, , , .
Le trasformazioni di Lorentz implicano una stretta relazione tra coordinate spaziali e temporali nella teoria della relatività; non solo le coordinate spaziali dipendono dal tempo (come nella cinematica), ma anche il tempo in entrambi i sistemi di riferimento dipende dalle coordinate spaziali, nonché dalla velocità del sistema di riferimento K'.
Le formule per le trasformazioni di Lorentz si trasformano nelle formule cinematiche per v/c<<1.
In questo caso
Il passaggio delle formule della teoria della relatività nelle formule della cinematica alla condizione v/c<<1 является проверкой справедливости этих формул.
Compiti a casa:
1. EV Korshak, AI Lyashenko, VF Savchenko. Fisica. Grado 10, "Geneza", 2010. Ripetere §37 (p.127-129).
2. Impara il materiale della lezione.
3. Rispondi oralmente alle domande 1-3 p.129.
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| Dalla storia della teoria della relatività | | |
Questo mondo era avvolto da una profonda oscurità.
Sia la luce! Ed ecco che arriva Newton.
Epigramma del XVIII secolo
Ma Satana non aspettò molto per vendicarsi.
Einstein venne - e tutto tornò come prima.
Epigramma del XX secolo
Postulati della teoria della relatività
Postulato (assioma)- un'affermazione fondamentale alla base della teoria e accettata senza prove.
Primo postulato: tutte le leggi della fisica che descrivono qualsiasi fenomeno fisico devono avere la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
Lo stesso postulato può essere formulato in modo diverso: in qualsiasi sistema di riferimento inerziale, tutti i fenomeni fisici nelle stesse condizioni iniziali procedono allo stesso modo.
Secondo postulato: in tutti i sistemi di riferimento inerziali, la velocità della luce nel vuoto è la stessa e non dipende dalla velocità di movimento sia della sorgente che del ricevitore di luce. Questa velocità è la velocità limite di tutti i processi e movimenti accompagnati dal trasferimento di energia.
La legge del rapporto tra massa ed energia
Meccanica relativistica- una branca della meccanica che studia le leggi del moto di corpi con velocità prossime a quella della luce.
Qualsiasi corpo, per il fatto della sua esistenza, ha un'energia proporzionale alla massa a riposo.
Qual è la teoria della relatività (video)
Conseguenze della teoria della relatività
La relatività della simultaneità. La simultaneità di due eventi è relativa. Se gli eventi che si sono verificati in punti diversi sono simultanei in un sistema di riferimento inerziale, allora potrebbero non essere simultanei in altri sistemi di riferimento inerziali.
Riduzione della lunghezza. La lunghezza del corpo, misurata nel sistema di riferimento K", in cui è a riposo, è maggiore della lunghezza nel sistema di riferimento K, rispetto alla quale K" si muove ad una velocità v lungo l'asse Ox:
Rallentamento del tempo. L'intervallo di tempo misurato dall'orologio, fermo nel quadro di riferimento inerziale K", è minore dell'intervallo di tempo misurato nel quadro di riferimento inerziale K, rispetto al quale K" si muove con la velocità v:
Teoria della relatività
materiale dal libro "The Shortest History of Time" di Stephen Hawking e Leonard Mlodinov
Relatività
Il postulato fondamentale di Einstein, chiamato principio di relatività, afferma che tutte le leggi della fisica devono essere le stesse per tutti gli osservatori che si muovono liberamente, indipendentemente dalla loro velocità. Se la velocità della luce è un valore costante, qualsiasi osservatore che si muova liberamente dovrebbe fissare lo stesso valore indipendentemente dalla velocità con cui si avvicina alla sorgente di luce o si allontana da essa.
Il requisito che tutti gli osservatori siano d'accordo sulla velocità della luce impone un cambiamento nel concetto di tempo. Secondo la teoria della relatività, un osservatore in treno e uno in piedi su una piattaforma non saranno d'accordo sulla distanza percorsa dalla luce. E poiché la velocità è la distanza divisa per il tempo, l'unico modo per gli osservatori di concordare sulla velocità della luce è di non essere d'accordo anche sul tempo. In altre parole, la relatività ha messo fine all'idea del tempo assoluto! Si è scoperto che ogni osservatore doveva avere la propria misura del tempo e che orologi identici per osservatori diversi non avrebbero necessariamente mostrato lo stesso tempo.
Dicendo che lo spazio ha tre dimensioni, intendiamo che la posizione di un punto in esso può essere convogliata usando tre numeri - coordinate. Se introduciamo il tempo nella nostra descrizione, otteniamo uno spazio-tempo quadridimensionale.
Un'altra ben nota conseguenza della teoria della relatività è l'equivalenza di massa ed energia, espressa dalla famosa equazione di Einstein E = mc2 (dove E è l'energia, m è la massa del corpo, c è la velocità della luce). In vista dell'equivalenza di energia e massa, l'energia cinetica che un oggetto materiale possiede in virtù del suo moto aumenta la sua massa. In altre parole, l'oggetto diventa più difficile da overcloccare.
Questo effetto è significativo solo per i corpi che si muovono a una velocità prossima a quella della luce. Ad esempio, ad una velocità pari al 10% della velocità della luce, la massa del corpo sarà solo dello 0,5% in più rispetto a quella a riposo, ma ad una velocità del 90% della velocità della luce, la massa sarà già maggiore del doppio del normale. Man mano che ci avviciniamo alla velocità della luce, la massa del corpo aumenta sempre più rapidamente, per cui è necessaria sempre più energia per accelerarla. Secondo la teoria della relatività, un oggetto non può mai raggiungere la velocità della luce, poiché in questo caso la sua massa diventerebbe infinita e, per l'equivalenza di massa ed energia, ciò richiederebbe un'energia infinita. Ecco perché la teoria della relatività condanna per sempre qualsiasi corpo ordinario a muoversi a una velocità inferiore a quella della luce. Solo la luce o altre onde che non hanno massa propria possono muoversi alla velocità della luce.
spazio curvo
La teoria della relatività generale di Einstein si basa sull'assunto rivoluzionario che la gravità non sia una forza ordinaria, ma una conseguenza del fatto che lo spazio-tempo non è piatto, come si pensava una volta. Nella relatività generale, lo spaziotempo è piegato o deformato dalla massa e dall'energia poste in esso. I corpi come la Terra si muovono in orbite curve non sotto l'influenza di una forza chiamata gravità.
Poiché la linea geodetica è la linea più breve tra due aeroporti, i navigatori pilotano aerei lungo queste rotte. Ad esempio, potresti seguire una bussola per volare per 5.966 chilometri da New York a Madrid quasi a est lungo il parallelo geografico. Ma devi coprire solo 5802 chilometri se voli in un grande cerchio, prima a nord-est e poi girando gradualmente a est e poi a sud-est. L'aspetto di questi due percorsi sulla mappa, dove la superficie terrestre è distorta (rappresentata come piatta), è ingannevole. Quando ti muovi "dritto" verso est da un punto all'altro sulla superficie del globo, non ti stai davvero muovendo lungo una linea retta, o meglio, non lungo la linea geodetica più corta.
Se la traiettoria di un veicolo spaziale che si muove nello spazio in linea retta viene proiettata sulla superficie bidimensionale della Terra, risulta che è curva.
Secondo la relatività generale, i campi gravitazionali dovrebbero piegare la luce. Ad esempio, la teoria prevede che vicino al Sole i raggi di luce dovrebbero essere leggermente piegati nella sua direzione sotto l'influenza della massa della stella. Ciò significa che la luce di una stella lontana, se capita di passare vicino al Sole, devierà di un piccolo angolo, per cui un osservatore sulla Terra vedrà la stella non esattamente dove si trova effettivamente.
Ricordiamo che secondo il postulato fondamentale della teoria della relatività speciale, tutte le leggi fisiche sono le stesse per tutti gli osservatori che si muovono liberamente, indipendentemente dalla loro velocità. In parole povere, il principio di equivalenza estende questa regola a quegli osservatori che non si muovono liberamente, ma sotto l'influenza di un campo gravitazionale.
In regioni di spazio sufficientemente piccole, è impossibile giudicare se ci si trova a riposo in un campo gravitazionale o se ci si muove con accelerazione costante nello spazio vuoto.
Immagina di essere in un ascensore nel mezzo di uno spazio vuoto. Non c'è gravità, non c'è su e giù. Galleggi liberamente. Quindi l'ascensore inizia a muoversi con accelerazione costante. All'improvviso senti peso. Cioè, vieni premuto contro una delle pareti dell'ascensore, che ora è percepito come un pavimento. Se prendi una mela e la lasci andare, cadrà a terra. Infatti, ora che ti muovi con accelerazione, all'interno dell'ascensore tutto accadrà esattamente come se l'ascensore non si muovesse affatto, ma riposasse in un campo gravitazionale uniforme. Einstein si rese conto che, proprio come non puoi dire quando sei in un vagone del treno se è fermo o in movimento uniforme, così quando sei all'interno di un ascensore, non sei in grado di determinare se si sta muovendo con accelerazione costante o se è in uniforme campo gravitazionale. . Il risultato di questa comprensione fu il principio di equivalenza.
Il principio di equivalenza e l'esempio dato della sua manifestazione saranno validi solo se la massa inerziale (inclusa nella seconda legge di Newton, che determina quale accelerazione è data al corpo dalla forza applicata ad esso) e la massa gravitazionale (inclusa nella legge di gravitazione di Newton , che determina l'entità dell'attrazione gravitazionale) sono la stessa cosa.
L'uso da parte di Einstein dell'equivalenza delle masse inerziali e gravitazionali per derivare il principio di equivalenza e, in definitiva, l'intera teoria della relatività generale è un esempio dello sviluppo persistente e coerente di conclusioni logiche, senza precedenti nella storia del pensiero umano.
Rallentamento del tempo
Un'altra previsione della relatività generale è che intorno a corpi enormi come la Terra, il tempo dovrebbe rallentare.
Ora che abbiamo familiarità con il principio di equivalenza, possiamo seguire il ragionamento di Einstein facendo un altro esperimento mentale che mostra perché la gravità influisce sul tempo. Immagina un razzo che vola nello spazio. Per comodità, assumiamo che il suo corpo sia così grande che ci vuole un secondo intero perché la luce lo percorri dall'alto verso il basso. Infine, supponiamo che ci siano due osservatori nel razzo, uno in alto, vicino al soffitto, l'altro al piano di sotto, ed entrambi siano dotati dello stesso orologio che conta i secondi.
Assumiamo che l'osservatore superiore, dopo aver atteso il conto alla rovescia del suo orologio, invii immediatamente un segnale luminoso a quello inferiore. Al conteggio successivo, invia un secondo segnale. Secondo le nostre condizioni, ci vorrà un secondo perché ogni segnale raggiunga l'osservatore inferiore. Poiché l'osservatore superiore invia due segnali luminosi con un intervallo di un secondo, anche l'osservatore inferiore li registrerà con lo stesso intervallo.
Cosa cambierà se, in questo esperimento, invece di fluttuare liberamente nello spazio, il razzo starà sulla Terra, sperimentando l'azione della gravità? Secondo la teoria di Newton, la gravità non influenzerà in alcun modo la situazione: se l'osservatore in alto trasmette segnali a intervalli di un secondo, l'osservatore in basso li riceverà allo stesso intervallo. Ma il principio di equivalenza prevede un diverso sviluppo degli eventi. Quale, possiamo capire se, secondo il principio di equivalenza, sostituiamo mentalmente l'azione di gravità con un'accelerazione costante. Questo è un esempio di come Einstein abbia utilizzato il principio di equivalenza per creare la sua nuova teoria della gravità.
Quindi, supponiamo che il nostro razzo stia accelerando. (Assumeremo che stia accelerando lentamente, in modo che la sua velocità non si avvicini alla velocità della luce.) Poiché il corpo del razzo si sta muovendo verso l'alto, il primo segnale dovrà percorrere una distanza inferiore rispetto a prima (prima che inizi l'accelerazione), e arriverà all'osservatore inferiore prima di darmi un secondo. Se il razzo si muovesse a velocità costante, il secondo segnale sarebbe arrivato esattamente la stessa quantità prima, in modo che l'intervallo tra i due segnali rimarrebbe uguale a un secondo. Ma al momento dell'invio del secondo segnale, a causa dell'accelerazione, il razzo si muove più velocemente rispetto al momento dell'invio del primo, quindi il secondo segnale percorrerà una distanza inferiore rispetto al primo e impiegherà ancora meno tempo. L'osservatore in basso, controllando l'orologio, noterà che l'intervallo tra i segnali è inferiore a un secondo e non sarà d'accordo con l'osservatore in alto, il quale afferma di aver inviato segnali esattamente un secondo dopo.
Nel caso di un razzo in accelerazione, questo effetto non dovrebbe probabilmente essere particolarmente sorprendente. Dopotutto, l'abbiamo appena spiegato! Ma ricorda: il principio di equivalenza dice che la stessa cosa accade quando il razzo è fermo in un campo gravitazionale. Pertanto, anche se il razzo non sta accelerando, ma, ad esempio, si trova sulla rampa di lancio sulla superficie terrestre, i segnali inviati dall'osservatore superiore a intervalli di un secondo (secondo il suo orologio) arriveranno a quello inferiore osservatore a un intervallo più breve (secondo il suo orologio) . Questo è davvero incredibile!
La gravità cambia il corso del tempo. Proprio come la relatività speciale ci dice che il tempo passa in modo diverso per gli osservatori che si muovono l'uno rispetto all'altro, la relatività generale ci dice che il tempo passa in modo diverso per gli osservatori in diversi campi gravitazionali. Secondo la teoria della relatività generale, l'osservatore inferiore registra un intervallo più breve tra i segnali, perché il tempo scorre più lentamente vicino alla superficie della Terra, poiché qui la gravità è più forte. Più forte è il campo gravitazionale, maggiore è questo effetto.
Il nostro orologio biologico risponde anche ai cambiamenti nel passare del tempo. Se uno dei gemelli vive in cima a una montagna e l'altro vive in riva al mare, il primo invecchierà più velocemente del secondo. In questo caso, la differenza di età sarà trascurabile, ma aumenterà notevolmente non appena uno dei gemelli intraprenderà un lungo viaggio in un'astronave che accelera a una velocità prossima a quella della luce. Quando il vagabondo tornerà, sarà molto più giovane di suo fratello, che è rimasto sulla Terra. Questo caso è noto come il paradosso gemello, ma è solo un paradosso per coloro che si aggrappano all'idea del tempo assoluto. Nella teoria della relatività non esiste un tempo assoluto univoco: ogni individuo ha la propria misura del tempo, che dipende da dove si trova e da come si muove.
Con l'avvento di sistemi di navigazione ultra precisi che ricevono segnali dai satelliti, la differenza nelle frequenze di clock a diverse altitudini è diventata di importanza pratica. Se l'apparecchiatura ignorasse le previsioni della relatività generale, l'errore nel determinare la posizione potrebbe raggiungere diversi chilometri!
L'avvento della teoria della relatività generale ha cambiato radicalmente la situazione. Lo spazio e il tempo hanno acquisito lo status di entità dinamiche. Quando i corpi si muovono o agiscono le forze, provocano la curvatura dello spazio e del tempo, e la struttura dello spazio-tempo, a sua volta, influenza il movimento dei corpi e l'azione delle forze. Lo spazio e il tempo non solo influenzano tutto ciò che accade nell'universo, ma dipendono essi stessi da tutto ciò.
Tempo intorno a un buco nero
Immagina un intrepido astronauta che rimane sulla superficie di una stella che crolla durante un cataclisma. Ad un certo punto della sua sorveglianza, diciamo alle 11:00, la stella si ridurrà a un raggio critico, oltre il quale il campo gravitazionale diventa così forte che è impossibile sfuggirvi. Supponiamo ora che all'astronauta venga richiesto di inviare un segnale ogni secondo sul suo orologio a un veicolo spaziale in orbita a una certa distanza dal centro della stella. Inizia a trasmettere i segnali alle 10:59:58, cioè due secondi prima delle 11:00. Cosa registrerà l'equipaggio a bordo della navicella?
In precedenza, dopo aver fatto un esperimento mentale con la trasmissione di segnali luminosi all'interno di un razzo, eravamo convinti che la gravità rallenti il tempo e più è forte, più significativo è l'effetto. Un astronauta sulla superficie di una stella si trova in un campo gravitazionale più forte rispetto alle sue controparti in orbita, quindi un secondo sul suo orologio durerà più di un secondo sull'orologio della nave. Man mano che l'astronauta si muove con la superficie verso il centro della stella, il campo che agisce su di lui diventa sempre più forte, così che gli intervalli tra i suoi segnali ricevuti a bordo della navicella si allungano costantemente. Questa dilatazione del tempo sarà molto piccola fino alle 10:59:59, quindi per gli astronauti in orbita l'intervallo tra i segnali trasmessi alle 10:59:58 e alle 10:59:59 sarà di poco più di un secondo. Ma il segnale inviato alle 11:00 non è previsto sulla nave.
Tutto ciò che accade sulla superficie di una stella tra le 10:59:59 e le 11:00 secondo l'orologio dell'astronauta sarà disteso sull'orologio della navicella per un periodo di tempo infinito. Man mano che ci avviciniamo alle 11:00, gli intervalli tra l'arrivo di creste e depressioni successive di onde luminose emesse dalla stella diventeranno sempre più lunghi; lo stesso accadrà con gli intervalli di tempo tra i segnali dell'astronauta. Poiché la frequenza della radiazione è determinata dal numero di creste (o depressioni) che arrivano al secondo, il veicolo spaziale registrerà una frequenza sempre più bassa della radiazione della stella. La luce della stella diventerà sempre più rossa e sbiadita allo stesso tempo. Alla fine la stella si oscurerà così tanto da diventare invisibile agli osservatori dei veicoli spaziali; tutto ciò che resta è un buco nero nello spazio. Tuttavia, l'effetto della gravità della stella sulla navicella spaziale continuerà e continuerà a orbitare.