Sfera inscritta in un cono e un cilindro. Sfera inscritta in un cilindro Una sfera si dice inscritta in un cilindro se ne tocca la base e la superficie laterale (tocca ciascuna generatrice). In

In questo articolo considereremo quattro problemi di stereometria. Data una combinazione di corpi: un cono e una palla. In tutti i compiti stiamo parlando di un cono, che. Noto che nella condizione la posizione relativa di questi corpi può essere espressa in diversi modi, ad esempio: "Un cono è inscritto in una palla" o "Una sfera è descritta vicino al cono".

L'essenza è la stessa: se diciamo in un linguaggio semplice (non matematico), allora il cono è "dentro" la sfera, contiene la circonferenza della sua base e della sua sommità. Guarda lo schizzo:

Quando si risolve, è necessario conoscere le formule per i volumi di una palla e di un cono.

Volume della palla:

Volume del cono:

*Queste formule devono essere conosciute!

L'area della base del cono è un cerchio, è uguale a:

Ritenere caso speciale! Se l'altezza del cono è uguale al raggio della sua base, la formula per il volume del cono sarà simile a:

Schizzo:

È chiaro che la sezione centrale di un tale cono sarà rettangolare triangolo isoscele, e l'altezza ricavata dall'angolo retto lo divide anche in due triangoli isoscele ad angolo retto:

Ricorda il concetto di generatrice, è spesso usato nei problemi con i coni e sarà nelle attività seguenti.

Formativo Un cono è un segmento di linea che collega il vertice del cono al punto della sua base. Nello schizzo precedente, è indicato dalla lettera l .

Si suggerisce una semplice conclusione: il cono ha un numero infinito di generatori e sono tutti uguali.

A proposito, il blog ha già un paio di articoli con palloncini, puoi vederli "" e "".

Ora diamo un'occhiata ai compiti:

245351. Un cono è inscritto in una palla. Il raggio della base del cono è uguale al raggio della palla. Il volume della sfera è 28. Trova il volume del cono.

Poiché si dice che il raggio della base del cono è uguale al raggio della palla, diventa chiaro che la base del cono coincide con il piano della sezione centrale della palla.

Costruiamo uno schizzo di questa combinazione per chiarezza (questa è una sezione assiale):

Si dice che l'altezza di un cono sia uguale al raggio della sua base (e, ovviamente, al raggio della palla). Scriviamo le formule per i volumi di una sfera e di un cono:

Poiché il volume della palla è noto (è 28), possiamo calcolare il raggio. Piuttosto, non abbiamo bisogno del raggio stesso, ma del suo cubo:

Pertanto, il volume del cono sarà uguale a:

*Era possibile fare a meno dei calcoli. Vedi se confronti le due formule:

si può notare che il volume della sfera è 4 volte il volume del cono.

Quindi il volume del cono sarà pari a 28/4 = 7.

Cioè, il problema è risolto praticamente oralmente.

Risposta: 7

245352. Un cono è inscritto in una sfera. Il raggio della base del cono è uguale al raggio della palla. Il volume del cono è 6. Trova il volume della sfera.

Il compito è l'inverso del precedente, la cifra è la stessa.

Formule:

Dalle formule risulta chiaro che il volume della pallina è 4 volte il volume del cono:

Pertanto, il volume desiderato è 24.

Risposta: 24

316555. Una sfera è descritta vicino al cono (la sfera contiene il cerchio della base del cono e la sua sommità). Il centro della sfera è al centro della base del cono. La generatrice del cono è uguale a. Trova il raggio della sfera.

Qui la condizione suona diversa, ma i corpi si trovano l'uno rispetto all'altro esattamente come nei problemi precedenti: il cono è inscritto nella sfera, la base del cono coincide con la sezione centrale della sfera.

Lo schizzo è lo stesso, notiamo il raggio, l'altezza uguale al raggio e la generatrice:

Sfera inscritta in un cilindro Una sfera si dice inscritta in un cilindro se ne tocca la base e la superficie laterale (tocca ciascuna generatrice). In questo caso il cilindro si dice circoscritto ad una sfera. Una sfera può essere inscritta in un cilindro se l'altezza del cilindro è uguale al diametro della sua base. Il suo centro sarà il punto O, che è il centro del segmento che collega i centri delle basi O 1 e O 2 del cilindro. Il raggio della sfera R sarà uguale al raggio della circonferenza della base del cilindro.

Sfera circoscritta ad un cilindro Un cilindro si dice inscritto in una sfera se i cerchi delle basi del cilindro giacciono sulla sfera. La sfera si dice circoscritta al cilindro. Una sfera può essere descritta attorno a qualsiasi cilindro. Il suo centro sarà il punto O, che è il centro del segmento che collega i centri delle basi O 1 e O 2 del cilindro. Il raggio della sfera R è calcolato dalla formula dove h è l'altezza del cilindro, r è il raggio del cerchio di base.

Un cilindro inscritto in un prisma Un cilindro si dice inscritto in un prisma se le sue basi sono incise nelle basi del cilindro. Allo stesso tempo, un prisma è chiamato inscritto vicino a un cilindro.Un cilindro può essere inscritto in un prisma se e solo se un cerchio può essere inscritto nella sua base. Il raggio della base del cilindro è uguale al raggio del cerchio inscritto nella base del prisma. L'altezza del cilindro è uguale all'altezza del prisma.

Cilindro circoscritto vicino a un prisma Un cilindro si dice circoscritto vicino a un prisma se le sue basi sono descritte vicino alle basi del cilindro. In questo caso, un prisma si dice inscritto in un cilindro.Un cilindro può essere circoscritto attorno ad un prisma se si possono circoscrivere dei cerchi vicino alle sue basi. L'altezza del cilindro è uguale all'altezza del prisma. il raggio di un cerchio circoscritto vicino alla base del prisma. Il raggio della base del cilindro è

Una piramide inscritta in un cono Una piramide si dice inscritta in un cono se la sua base è inscritta nella base del cono e il suo vertice coincide con l'apice del cono. In questo caso il cono è chiamato circoscritto vicino alla piramide. Piramide inscritta in un cono Un cono può essere circoscritto ad una piramide se e solo se un cerchio può essere circoscritto vicino alla sua base. Esercizio 1 Trova il lato di base di una piramide triangolare regolare inscritta in un cono il cui raggio di base è 1. Risposta: 3. Esercizio 2 Trova il lato di base di una piramide quadrangolare regolare inscritta in un cono il cui diametro di base è 1. Risposta: 2 2 . Esercizio 3 Trova il lato della base di una piramide esagonale regolare inscritta in un cono il cui raggio di base è uguale a 1. Risposta: 1. Piramide circoscritta vicino al cono Una piramide si dice circoscritta vicino al cono se la sua base è descritta vicino alla base del cono e la sommità coincide con la sommità del cono. Si dice che il cono sia inscritto nella piramide. Piramide circoscritta vicino a un cono Un cono può essere inscritto in una piramide se e solo se nella sua base può essere inscritto un cerchio. Esercizio 1 Trova il lato di base di una piramide triangolare regolare circoscritta ad un cono il cui raggio di base è 1. Risposta: 2 3. Esercizio 2 Trova il lato di base di una piramide quadrangolare regolare circoscritta ad un cono il cui raggio di base è 1. Risposta: 2 Esercizio 3 Trova il lato della base di una piramide esagonale regolare circoscritta ad un cono il cui raggio di base è 1. Risposta: 2 3 3 . Una sfera inscritta in un cono Una sfera si dice inscritta in un cono se ne tocca la base e la superficie laterale (tocca ciascuna generatrice). In questo caso, il cono si dice circoscritto vicino alla sfera. Una sfera inscritta in un cono Una sfera si dice inscritta in un cono se ne tocca la base e la superficie laterale (tocca ciascuna generatrice). In questo caso, il cono si dice circoscritto vicino alla sfera. Una sfera può essere inscritta in qualsiasi cono (diritto, circolare). Il suo centro è all'altezza del cono e il raggio è uguale al raggio del cerchio inscritto nel triangolo, che è la sezione assiale del cono. Ricordiamo che il raggio r di una circonferenza inscritta in un triangolo si trova S dalla formula r , p dove S è l'area, p è il semiperimetro del triangolo. Esercizio 1 Una sfera è inscritta in un cono con raggio alla base 1 e generatrice 2. Trova il suo raggio. Soluzione. Il triangolo SAB è equilatero. L'altezza di SH è 3 . L'area S è uguale a Il semiperimetro p è uguale a 3. Secondo la formula r = S/p, otteniamo r 3 3 . 3. Esercizio 2 Una sfera di raggio 1 è inscritta in un cono il cui raggio di base è 2. Trova l'altezza del cono. Soluzione. Indichiamo con h l'altezza SH del cono. Dalla formula r = S/p abbiamo: 2 rp h , a dove r = 1, a = FG = 4, p = 2 Risolvendo l'equazione troviamo h 8 3 2h 2 . 4h. 2 4 h , 2 Esercizio 3 Il raggio della base del cono è 1. La generatrice è inclinata rispetto al piano della base con un angolo di 45°. Trova il raggio della sfera inscritta. Soluzione. L'altezza SH del cono è 1. Generator.2 Il semiperimetro p è 1 Con la formula r \u003d S / p, abbiamo r 1 1 Risposta: r 2 1. 2 2 1. 2. Esercizio 4 L'altezza del cono cono è 8, generatrice 10. Trova il raggio delle sfere incise. Soluzione. Il raggio della base del cono è 6. L'area del triangolo SFG è 48, il semiperimetro è 16. Secondo la formula r = S/p, abbiamo r = 3. Risposta: r = 3 Esercizio 5 Si può inscrivere una sfera in un cono inclinato? Risposta: no. Sfera inscritta in un tronco di cono Una sfera si dice inscritta in un tronco di cono se ne tocca la base e la superficie laterale (tocca ciascuna generatrice). In questo caso un tronco di cono è detto circoscritto ad una sfera. Una sfera può essere inscritta in un tronco di cono se un cerchio può essere inscritto nella sua sezione assiale. Il raggio di questo cerchio sarà uguale al raggio della sfera inscritta. Esercizio 1 Una sfera è inscritta in un tronco di cono i cui raggi di base sono 2 e 1. Trova il raggio della sfera e l'altezza del tronco di cono. Soluzione. Abbiamo: A1B = A1O1= 2, A2B = A2O2= 1. Pertanto, A1A2 = 3, A1C = 1. O 1O 2 A 2 C A1 A 2 A1 C 2 Quindi, r 2, h 2 2. 2 2 2. Esercizio 2 Una sfera di raggio 1 è inscritta in un tronco di cono con raggio di una base uguale a 2. Trova il raggio della seconda base. Soluzione. Sia A1O1= 2. Indichiamo r = A2O2. Abbiamo: A1A2 = 2+r, A1C = 2 – r. Secondo il teorema di Pitagora si ha l'uguaglianza O 1 O 2 2 A1 A 2 2 A1 C 2, da cui segue che 2 2 4 (r 2) (2 r) è vero. Risolvendo l'uguaglianza dell'equazione risultante rispetto a r, troviamo 1 r . 2 Esercizio 3 In un tronco di cono il raggio della base maggiore è 2, la generatrice è inclinata rispetto al piano della base di un angolo di 60°. Trova il raggio della sfera inscritta. Soluzione. Si noti che la sezione assiale del cono da cui si ottiene il tronco di cono è un triangolo equilatero di lato 2. Il raggio r della sfera inscritta nel tronco di cono è uguale al raggio del cerchio inscritto in questo triangolo equilatero, cioè 3r. 3 Esercizio 4 La generatrice di un tronco di cono è 2, l'area della sezione assiale è 3. Trova il raggio della sfera inscritta. Soluzione. Usiamo la formula r = S/p, dove S è l'area della sezione assiale, p è il semiperimetro. Nel nostro caso, S = 3. Per trovare il semiperimetro ricordiamo che per un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza le somme dei lati opposti sono uguali. Quindi il semiperimetro è uguale alla doppia generatrice del cilindro, cioè p = 4. Pertanto, r = 2. Risposta: r 3 4 . Esercizio 5 E' possibile inscrivere una sfera in un tronco di cono inclinato. Risposta: no. Una sfera circoscritta ad un cono Una sfera si dice circoscritta ad un cono se il vertice e la circonferenza della base del cono giacciono sulla sfera. Si dice che il cono sia inscritto nella sfera. Sfera circoscritta ad un cono Una sfera può essere circoscritta ad un qualsiasi cono (diritta, circolare). Il suo centro è all'altezza del cono e il raggio è uguale al raggio del cerchio circoscritto attorno al triangolo, che è la sezione assiale del cono. Ricordiamo che il raggio R di una circonferenza circoscritta ad un triangolo si trova dalla formula R a b c , 4S dove S è l'area, a, b, c sono i lati del triangolo. Esercizio 1 Viene descritta una sfera in prossimità di un cono il cui raggio di base è 1 e la generatrice è 2. Trova il suo raggio. Soluzione. Il triangolo SAB è equilatero al lato 2. L'altezza SH è 3 . L'area S è 3 . Secondo la formula R = abc/4S otteniamo R 2 3 3 . Esercizio 2 Viene descritta una sfera di raggio 5 in prossimità di un cono il cui raggio di base è 4. Trova l'altezza h del cono. Soluzione. Abbiamo, OB = 5, HB = 4. Quindi, OH = 3. Dato che SO = OB = 5, otteniamo h = 8. Risposta: h = 8. Esercizio 3 Il raggio della base del cono è 1. La generatrice è inclinata rispetto al piano della base sotto l'angolo 45o. Trova il raggio della sfera circoscritta. Soluzione. Il triangolo SAB è un triangolo isoscele ad angolo retto. Pertanto, il raggio R della sfera circoscritta è uguale al raggio della base del cilindro, cioè R \u003d 1. Risposta: R \u003d 1. Esercizio 4 L'altezza del cono è 8, formando 10. Trova il raggio della sfera circoscritta. Soluzione. Nel triangolo SAB abbiamo: SA = SB = 10, SH = 8. Per il teorema di Pitagora, AH = 6 e quindi S = 48. Usando la formula R = abc/4S, otteniamo R 25 6 . Esercizio 5 Puoi descrivere una sfera attorno a un cono obliquo? Risposta: Sì. Una sfera circoscritta ad un tronco di cono Una sfera si dice circoscritta ad un tronco di cono se i cerchi delle basi del tronco di cono giacciono sulla sfera. In questo caso, un tronco di cono è detto inscritto in una sfera. Una sfera può essere descritta vicino a un tronco di cono se un cerchio può essere descritto vicino alla sua sezione assiale. Il raggio di questo cerchio sarà uguale al raggio della sfera circoscritta. Esercizio 1 In prossimità di un tronco di cono, i cui raggi delle basi sono uguali a 2 e 1, e la generatrice è uguale a 2, viene descritta una sfera. Trova il suo raggio. Soluzione. Si noti che A1O1B2O2 e O1B1B2A2 sono rombi. I triangoli A1O1A2, O1A2B2, O1B1B2 sono equilateri e, quindi, A1B1 è il diametro. Pertanto, R =2. Risposta: R \u003d 2, Esercizio 2 Il raggio della base più piccola del tronco di cono è 1, la generatrice è 2 e forma un angolo di 45o con il piano dell'altra base. Trova il raggio della sfera circoscritta. Soluzione. Abbiamo A2O2 = 1, A1A2 = 2, O1O2 = 2, OO1 = O1C = 1. Pertanto, OO2 = 1 + 2 e, quindi, R AO2 4 2 2. Esercizio 3 Il raggio di una base di un tronco di cono è 4 , l'altezza è 7, il raggio della sfera circoscritta 5. Trova il raggio della seconda base del tronco di cono. Soluzione. Abbiamo OO1 = 3, OO2 = 4 e quindi O2A2 = 3. Risposta: 3. Esercizio 4 Trova il raggio di una sfera circoscritta ad un tronco di cono i cui raggi di base sono 2 e 4 e la cui altezza è 5. Soluzione. Indichiamo con R il raggio della sfera circoscritta. Allora O O1 R 2 4 , OO2 R 2 1. Considerando che O1O2 = 6, abbiamo l'uguaglianza 5 R 2 4 R 2 1. Risolvendola rispetto a R, troviamo R 221 5 . Esercizio 5 E' possibile descrivere una sfera in prossimità di un tronco di cono inclinato. Risposta: no.

"Angolo inscritto" - Dato: __A. Ripetizione del materiale. Trova l'errore nella formulazione: sapere come è espresso. Il valore dell'angolo centrale. Il valore dell'angolo inscritto. Problema n. 1: confrontare l'angolo esterno e l'angolo di base. In che modo gli angoli AOB e DAB sono simili e in che cosa differiscono? Secondo la figura b). trova l'angolo esterno Costruzione di linee perpendicolari.

"Misurazione degli angoli" - Angoli acuti, diritti, ottusi, sviluppati. Misurazione dell'angolo. Un goniometro viene utilizzato per costruire angoli. Puoi collegare un goniometro in un altro modo. Angolo retto. Angolo ottuso. Un goniometro viene utilizzato per misurare gli angoli. Angolo acuto. Angolo allargato. Qual è l'angolo tra le lancette delle ore e dei minuti di un orologio?

"Teorema dell'angolo inscritto" - Qual è il nome dell'angolo con il vertice al centro del cerchio. Il concetto di angolo inscritto. Trova l'angolo tra le corde. Risposta. Soluzione. Teorema dell'angolo inscritto. Triangolo. Consolidamento del materiale studiato. Angolo acuto. Controllati. Trova l'angolo tra di loro. Risposta corretta. Aggiornare le conoscenze degli studenti. Raggio del cerchio.

"Angolo e sua misura" - Le lancette delle ore e dei minuti di un orologio formano un angolo ottuso a ore 5. Angoli di costruzione. Su carta a quadretti. Angolo allargato. Angolo ottuso. Angolo acuto. Un goniometro viene utilizzato per misurare gli angoli. Un angolo retto è mezzo angolo retto. Misurazione dell'angolo. Con l'aiuto di un trasportatore. Gli angoli sono misurati in gradi.

"Angolo inscritto in un cerchio" - Conseguenze. Indicare gli angoli inscritti mostrati in figura. Angolo inscritto. Qual è l'angolo centrale? Obiettivi della lezione. Un angolo il cui vertice giace su una circonferenza. Posizioni del raggio. Trova. Un angolo inscritto è misurato dalla metà dell'arco che intercetta. Quali degli angoli mostrati nella figura sono inscritti.

Considera alcune relazioni utili per risolvere i problemi su una palla inscritta in un cono.

Una sfera può essere inscritta in qualsiasi cono. Una palla inscritta in un cono (o una sfera inscritta in un cono) tocca la base del cono al suo centro e la superficie laterale lungo la circonferenza. Il centro della palla (sfera) giace sull'asse del cono.

Quando si risolvono problemi per una palla inscritta in un cono, è più conveniente considerare una sezione di una combinazione di corpi rispetto a un piano passante per l'asse del cono e il centro della palla.

Questa sezione è un triangolo isoscele, i cui lati sono generatrici del cono e la base è il diametro del cono. Il cerchio inscritto in questo triangolo è il cerchio massimo della palla (cioè il cerchio il cui raggio è uguale al raggio della palla).

Per questa figura, i generatori sono SA=SB=l, l'altezza del cono è SO=H, il raggio della sfera inscritta è OO1=O1F=R. Poiché il centro della circonferenza inscritta è il punto di intersezione delle bisettrici del triangolo, allora ∠OBO1=∠FBO1, OB=r è il raggio del cono.

Ritenere triangolo rettangolo SINGHIOZZARE. Secondo la proprietà della bisettrice di un triangolo:

Secondo il teorema di Pitagora

Considera un triangolo rettangolo OO1B.