Tecnica
Come trovare il valore più grande di una funzione. Il valore più grande e più piccolo della funzione. La funzione quadratica è scritta in forma standard

Come trovare il valore più grande di una funzione. Il valore più grande e più piccolo della funzione. La funzione quadratica è scritta in forma standard

In pratica, è abbastanza comune utilizzare la derivata per calcolare il valore più grande e più piccolo di una funzione. Eseguiamo questa azione quando scopriamo come ridurre al minimo i costi, aumentare i profitti, calcolare il carico ottimale sulla produzione, ecc., cioè in quei casi in cui è necessario determinare il valore ottimale di un parametro. Per risolvere correttamente tali problemi, è necessario avere una buona comprensione di quali siano il valore più grande e quello più piccolo di una funzione.

Di solito definiamo questi valori all'interno di un intervallo x , che a sua volta può corrispondere all'intero ambito della funzione o parte di essa. Può essere un segmento [ a ; b ] , e intervallo aperto (a ; b ) , (a ; b ] , [a ; b) , intervallo infinito (a ; b) , (a ; b ] , [a ; b) o intervallo infinito - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

In questo articolo, descriveremo come viene calcolato il valore più grande e più piccolo di una funzione data in modo esplicito con una variabile y=f(x) y = f (x).

Definizioni di base

Cominciamo, come sempre, con la formulazione delle principali definizioni.

Definizione 1

Il valore più grande della funzione y = f (x) su un intervallo x è il valore m a x y = f (x 0) x ∈ X , che, per qualsiasi valore x x ∈ X , x ≠ x 0, rende la disuguaglianza f (x ) ≤ f (x 0) .

Definizione 2

Il valore più piccolo della funzione y = f (x) su un intervallo x è il valore m i n x ∈ X y = f (x 0) , che, per qualsiasi valore x ∈ X , x ≠ x 0, rende la disuguaglianza f(X f (x) ≥ f(x0) .

Queste definizioni sono abbastanza ovvie. Può essere ancora più semplice dire questo: il valore più grande di una funzione è il suo valore più grande in un intervallo noto all'ascissa x 0, e il più piccolo è il valore più piccolo accettato nello stesso intervallo a x 0.

Definizione 3

I punti stazionari sono tali valori dell'argomento della funzione in cui la sua derivata diventa 0.

Perché abbiamo bisogno di sapere cosa sono i punti stazionari? Per rispondere a questa domanda, dobbiamo ricordare il teorema di Fermat. Ne consegue che un punto stazionario è un punto in cui si trova l'estremo di una funzione differenziabile (cioè il suo minimo o massimo locale). Di conseguenza, la funzione assumerà il valore più piccolo o più grande in un determinato intervallo esattamente in uno dei punti stazionari.

Un'altra funzione può assumere il valore più grande o più piccolo in quei punti in cui la funzione stessa è definita e la sua derivata prima non esiste.

La prima domanda che sorge quando si studia questo argomento è: in tutti i casi, possiamo determinare il valore massimo o minimo di una funzione su un dato intervallo? No, non possiamo farlo quando i confini dell'intervallo dato coincideranno con i confini del dominio di definizione, o se si tratta di un intervallo infinito. Succede anche che una funzione in un dato intervallo o all'infinito assume valori infinitamente piccoli o infinitamente grandi. In questi casi non è possibile determinare il valore maggiore e/o minore.

Questi momenti diventeranno più comprensibili dopo l'immagine sui grafici:

La prima figura ci mostra una funzione che assume i valori maggiore e minore (m a x y e m i n y) in punti stazionari posti sull'intervallo [-6; 6].

Esaminiamo in dettaglio il caso indicato nel secondo grafico. Cambiamo il valore del segmento in [ 1 ; 6] e otteniamo che il valore più grande della funzione sarà raggiunto nel punto con l'ascissa nel limite destro dell'intervallo, e il più piccolo - nel punto stazionario.

Nella terza figura, le ascisse dei punti rappresentano i punti limite del segmento [-3; 2]. Corrispondono al valore più grande e più piccolo della funzione data.

Ora diamo un'occhiata alla quarta immagine. In esso, la funzione prende m a x y (il valore più grande) e m i n y (il valore più piccolo) in punti stazionari nell'intervallo aperto (- 6 ; 6) .

Se prendiamo l'intervallo [ 1 ; 6) , allora possiamo dire che il valore più piccolo della funzione su di esso sarà raggiunto in un punto stazionario. Non conosceremo il valore massimo. La funzione potrebbe assumere il valore più grande a x uguale a 6 se x = 6 appartenesse all'intervallo. È questo il caso che è mostrato nella Figura 5.

Sul grafico 6, questa funzione acquisisce il valore più piccolo nel bordo destro dell'intervallo (- 3 ; 2 ] , e non possiamo trarre conclusioni definitive sul valore più grande.

In figura 7, vediamo che la funzione avrà m a x y nel punto stazionario, con un'ascissa uguale a 1 . La funzione raggiunge il suo valore minimo al limite dell'intervallo sul lato destro. A meno infinito, i valori della funzione si avvicineranno asintoticamente a y = 3 .

Se prendiamo un intervallo x ∈ 2 ; + ∞ , allora vedremo che la funzione data non assumerà né il valore più piccolo né quello più grande. Se x tende a 2, i valori della funzione tenderanno a meno infinito, poiché la retta x = 2 è un asintoto verticale. Se l'ascissa tende a più infinito, i valori della funzione si avvicineranno asintoticamente a y = 3. Questo è il caso mostrato in Figura 8.

In questo paragrafo forniremo una sequenza di azioni che devono essere eseguite per trovare il valore più grande o più piccolo di una funzione in un determinato intervallo.

Per prima cosa, troviamo il dominio della funzione. Verifichiamo se il segmento specificato nella condizione è incluso in essa.
Ora calcoliamo i punti contenuti in questo segmento in cui la derivata prima non esiste. Molto spesso, possono essere trovati in funzioni il cui argomento è scritto sotto il segno del modulo, o in funzioni di potenza, il cui esponente è un numero frazionario razionale.
Successivamente, scopriamo quali punti stazionari cadono in un dato segmento. Per fare ciò, è necessario calcolare la derivata della funzione, quindi associarla a 0 e risolvere l'equazione risultante, quindi scegliere le radici appropriate. Se non otteniamo un singolo punto stazionario o non cadono in un determinato segmento, procediamo al passaggio successivo.
Determiniamo quali valori assumerà la funzione nei punti stazionari dati (se presenti), o in quei punti in cui la derivata prima non esiste (se presente), oppure calcoliamo i valori per x = a e x = b.
5. Abbiamo una serie di valori di funzione, da cui ora dobbiamo scegliere il più grande e il più piccolo. Questo sarà il valore più grande e più piccolo della funzione che dobbiamo trovare.

Vediamo come applicare correttamente questo algoritmo durante la risoluzione dei problemi.

Esempio 1

Condizione:è data la funzione y = x 3 + 4 x 2. Determinare il suo valore più grande e più piccolo sui segmenti [ 1 ; 4] e [-4; - uno ] .

Soluzione:

Iniziamo trovando il dominio di questa funzione. In questo caso, sarà l'insieme di tutti i numeri reali tranne 0 . In altre parole, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Entrambi i segmenti specificati nella condizione saranno all'interno dell'area di definizione.

Ora calcoliamo la derivata della funzione secondo la regola di differenziazione di una frazione:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Abbiamo appreso che la derivata della funzione esisterà in tutti i punti dei segmenti [ 1 ; 4] e [-4; - uno ] .

Ora dobbiamo determinare i punti stazionari della funzione. Facciamolo con l'equazione x 3 - 8 x 3 = 0. Ha solo una vera radice, che è 2. Sarà un punto stazionario della funzione e cadrà nel primo segmento [ 1 ; quattro ] .

Calcoliamo i valori della funzione alle estremità del primo segmento e nel punto dato, cioè per x = 1 , x = 2 e x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Abbiamo ottenuto che il valore massimo della funzione m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 sarà ottenuto per x = 1 e il più piccolo m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – a x = 2 .

Il secondo segmento non include punti stazionari, quindi dobbiamo calcolare i valori della funzione solo alle estremità del segmento dato:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Quindi, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m io n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Risposta: Per il segmento [ 1 ; 4 ] - ma x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m io n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , per il segmento [-4; - 1 ] - ma x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m io n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Guarda l'immagine:

Prima di apprendere questo metodo, ti consigliamo di rivedere come calcolare correttamente il limite unilaterale e il limite all'infinito, oltre a imparare i metodi di base per trovarli. Per trovare il valore più grande e/o più piccolo di una funzione su un intervallo aperto o infinito, eseguiamo i seguenti passaggi in sequenza.

Innanzitutto è necessario verificare se l'intervallo specificato sarà un sottoinsieme del dominio della funzione data.
Determiniamo tutti i punti che sono contenuti nell'intervallo richiesto e nei quali la derivata prima non esiste. Di solito si verificano in funzioni in cui l'argomento è racchiuso nel segno del modulo e in funzioni di potenza con esponente frazionario razionale. Se mancano questi punti, puoi procedere al passaggio successivo.
Ora determiniamo quali punti stazionari cadono in un dato intervallo. Innanzitutto, uguagliamo la derivata a 0, risolviamo l'equazione e troviamo le radici adatte. Se non abbiamo un singolo punto stazionario o non rientrano nell'intervallo specificato, procediamo immediatamente a ulteriori azioni. Sono determinati dal tipo di intervallo.

Se l'intervallo è simile a [ a ; b) , allora dobbiamo calcolare il valore della funzione nel punto x = a e il limite unilaterale lim x → b - 0 f (x) .
Se l'intervallo ha la forma (a ; b ] , allora dobbiamo calcolare il valore della funzione nel punto x = b e il limite unilaterale lim x → a + 0 f (x) .
Se l'intervallo ha la forma (a ; b) , allora dobbiamo calcolare i limiti unilaterali lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
Se l'intervallo è simile a [ a ; + ∞) , allora è necessario calcolare il valore nel punto x = a e il limite a più infinito lim x → + ∞ f (x) .
Se l'intervallo è simile a (- ∞ ; b ] , calcoliamo il valore nel punto x = b e il limite a meno infinito lim x → - ∞ f (x) .
Se - ∞ ; b , allora consideriamo il limite unilaterale lim x → b - 0 f (x) e il limite a meno infinito lim x → - ∞ f (x)
Se - ∞ ; + ∞ , allora consideriamo i limiti a meno e più infinito lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

Alla fine, devi trarre una conclusione basata sui valori ottenuti dalla funzione e dai limiti. Ci sono molte opzioni qui. Quindi, se il limite unilaterale è uguale a meno infinito o più infinito, allora è immediatamente chiaro che non si può dire nulla sul valore più piccolo e più grande della funzione. Di seguito considereremo un tipico esempio. Descrizioni dettagliate ti aiuteranno a capire cosa è cosa. Se necessario, puoi tornare alle figure 4 - 8 nella prima parte del materiale.

Esempio 2

Condizione: data una funzione y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calcola il suo valore più grande e più piccolo negli intervalli - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Soluzione

Innanzitutto troviamo il dominio della funzione. Il denominatore della frazione è un trinomio quadrato, che non deve andare a 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Abbiamo ottenuto l'ambito della funzione, a cui appartengono tutti gli intervalli specificati nella condizione.

Ora differenziamo la funzione e otteniamo:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Di conseguenza, le derivate di una funzione esistono sull'intero dominio della sua definizione.

Passiamo alla ricerca di punti stazionari. La derivata della funzione diventa 0 in x = - 1 2 . Questo è un punto stazionario che si trova negli intervalli (- 3 ; 1 ] e (- 3 ; 2) .

Calcoliamo il valore della funzione in x = - 4 per l'intervallo (- ∞ ; - 4 ] , così come il limite a meno infinito:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Poiché 3 e 1 6 - 4 > - 1 , allora m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Questo non ci permette di determinare in modo univoco il valore più piccolo della funzione. Possiamo solo concludere che esiste un limite inferiore a -1, poiché è a questo valore che la funzione si avvicina asintoticamente a meno infinito.

Una caratteristica del secondo intervallo è che non ha un singolo punto stazionario e non un singolo confine rigoroso. Pertanto, non possiamo calcolare né il valore più grande né quello più piccolo della funzione. Definendo il limite a meno infinito e poiché l'argomento tende a -3 sul lato sinistro, otteniamo solo l'intervallo di valori:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Ciò significa che i valori della funzione si troveranno nell'intervallo -1; +∞

Per trovare il valore massimo della funzione nel terzo intervallo, determiniamo il suo valore nel punto stazionario x = - 1 2 se x = 1 . Dobbiamo anche conoscere il limite unilaterale per il caso in cui l'argomento tende a -3 sul lato destro:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Si è scoperto che la funzione assumerà il valore più grande in un punto stazionario m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Quanto al valore più piccolo, non possiamo determinarlo. sapere, è la presenza di un limite inferiore a -4.

Per l'intervallo (- 3 ; 2), prendiamo i risultati del calcolo precedente e calcoliamo ancora una volta a cosa è uguale il limite unilaterale tendendo a 2 dal lato sinistro:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Quindi, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 e il valore più piccolo non può essere determinato e i valori della funzione sono delimitati dal basso dal numero - 4 .

Sulla base di quanto fatto nei due calcoli precedenti, possiamo affermare che sull'intervallo [ 1 ; 2) la funzione assumerà il valore più grande in x = 1, ed è impossibile trovare il più piccolo.

Sull'intervallo (2 ; + ∞), la funzione non raggiungerà né il valore più grande né quello più piccolo, ad es. prenderà valori dall'intervallo -1; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Avendo calcolato a quale sarà uguale il valore della funzione in x = 4 , scopriamo che m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , e la funzione data a più infinito si avvicinerà asintoticamente alla retta y = - 1 .

Confrontiamo ciò che abbiamo ottenuto in ogni calcolo con il grafico della funzione data. Nella figura, gli asintoti sono rappresentati da linee tratteggiate.

Questo è tutto ciò di cui volevamo parlare sulla ricerca del valore più grande e più piccolo di una funzione. Quelle sequenze di azioni che abbiamo fornito ti aiuteranno a fare i calcoli necessari il più rapidamente e semplicemente possibile. Ma ricorda che spesso è utile scoprire prima su quali intervalli la funzione diminuirà e su quali aumenterà, dopodiché si possono trarre ulteriori conclusioni. In questo modo puoi determinare con maggiore precisione il valore più grande e più piccolo della funzione e giustificare i risultati.

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A volte nei problemi B15 ci sono funzioni "cattive" per le quali è difficile trovare la derivata. In precedenza, si trattava solo di sonde, ma ora queste attività sono così comuni che non possono più essere ignorate durante la preparazione per questo esame.

In questo caso, funzionano altri trucchi, uno dei quali è: monotono.

La funzione f (x) si dice crescente monotona sul segmento se per qualsiasi punto x 1 e x 2 di questo segmento vale quanto segue:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

La funzione f (x) si dice decrescente monotonicamente sul segmento se per qualsiasi punto x 1 e x 2 di questo segmento vale:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f( x2).

In altre parole, per una funzione crescente, maggiore è x, maggiore è f(x). Per una funzione decrescente, è vero il contrario: più x , il meno f(x).

Ad esempio, il logaritmo aumenta in modo monotono se la base a > 1 e diminuisce in modo monotono se 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

La radice aritmetica quadrata (e non solo quadrata) aumenta monotonicamente sull'intero dominio di definizione:

La funzione esponenziale si comporta in modo simile al logaritmo: aumenta per a > 1 e diminuisce per 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Infine, gradi con esponente negativo. Puoi scriverli come una frazione. Hanno un punto di rottura in cui la monotonia è rotta.

Tutte queste funzioni non si trovano mai nella loro forma pura. Ad essi vengono aggiunti polinomi, frazioni e altre sciocchezze, per cui diventa difficile calcolare la derivata. Cosa succede in questo caso - ora analizzeremo.

Coordinate del vertice della parabola

Molto spesso, l'argomento della funzione viene sostituito con trinomio quadrato della forma y = ax 2 + bx + c . Il suo grafico è una parabola standard, a cui siamo interessati:

Rami di parabola - possono salire (per a > 0) o scendere (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
Il vertice della parabola è il punto estremo di una funzione quadratica, in cui questa funzione prende il suo più piccolo (per a > 0) o il suo più grande (a< 0) значение.

Di grande interesse è cima di una parabola, la cui ascissa è calcolata con la formula:

Quindi, abbiamo trovato il punto estremo della funzione quadratica. Ma se la funzione originale è monotona, per essa anche il punto x 0 sarà un punto estremo. Pertanto, formuliamo la regola fondamentale:

I punti estremi del trinomio quadrato e la funzione complessa in cui esso entra coincidono. Pertanto, puoi cercare x 0 per un trinomio quadrato e dimenticare la funzione.

Dal ragionamento di cui sopra, non è chiaro che tipo di punto otteniamo: un massimo o un minimo. Tuttavia, le attività sono progettate specificamente in modo che non abbia importanza. Giudica tu stesso:

Non vi è alcun segmento nella condizione del problema. Pertanto, non è necessario calcolare f(a) e f(b). Resta da considerare solo i punti estremi;
Ma c'è solo uno di questi punti: questa è la parte superiore della parabola x 0, le cui coordinate sono calcolate letteralmente oralmente e senza derivate.

Pertanto, la soluzione del problema è notevolmente semplificata e ridotta a due soli passaggi:

Scrivi l'equazione della parabola y = ax 2 + bx + c e trova il suo vertice usando la formula: x 0 = −b /2a;
Trova il valore della funzione originale a questo punto: f (x 0). Se non ci sono condizioni aggiuntive, questa sarà la risposta.

A prima vista, questo algoritmo e la sua giustificazione possono sembrare complicati. Non pubblico deliberatamente uno schema di soluzione "nudo", poiché l'applicazione sconsiderata di tali regole è irta di errori.

Considera i compiti reali dell'esame di prova in matematica: è qui che questa tecnica è più comune. Allo stesso tempo, faremo in modo che in questo modo molti problemi di B15 diventino quasi verbali.

Sotto la radice c'è una funzione quadratica y \u003d x 2 + 6x + 13. Il grafico di questa funzione è una parabola con rami verso l'alto, poiché il coefficiente a \u003d 1\u003e 0.

Parte superiore della parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Poiché i rami della parabola sono diretti verso l'alto, nel punto x 0 \u003d −3, la funzione y \u003d x 2 + 6x + 13 assume il valore più piccolo.

La radice è monotonicamente crescente, quindi x 0 è il punto minimo dell'intera funzione. Abbiamo:

Un compito. Trova il valore più piccolo della funzione:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Sotto il logaritmo c'è di nuovo una funzione quadratica: y \u003d x 2 + 2x + 9. Il grafico è una parabola con rami verso l'alto, perché a = 1 > 0.

Parte superiore della parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Quindi, nel punto x 0 = −1, la funzione quadratica assume il valore più piccolo. Ma la funzione y = log 2 x è monotona, quindi:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

L'esponente è una funzione quadratica y = 1 − 4x − x 2 . Riscriviamolo in forma normale: y = −x 2 − 4x + 1.

Ovviamente il grafico di questa funzione è una parabola, diramata (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

La funzione originale è esponenziale, è monotona, quindi il valore più grande sarà nel punto trovato x 0 = −2:

Un lettore attento noterà sicuramente che non abbiamo scritto l'area dei valori consentiti della radice e del logaritmo. Ma questo non era richiesto: al suo interno ci sono funzioni i cui valori sono sempre positivi.

Conseguenze dall'ambito di una funzione

A volte, per risolvere il problema B15, non basta trovare il vertice della parabola. Il valore desiderato potrebbe mentire alla fine del segmento, ma non al punto estremo. Se l'attività non specifica affatto un segmento, guarda intervallo di tolleranza funzione originaria. Vale a dire:

Presta ancora attenzione: zero può benissimo essere sotto la radice, ma mai nel logaritmo o nel denominatore di una frazione. Vediamo come funziona con esempi specifici:

Un compito. Trova il valore più grande della funzione:

Sotto la radice c'è di nuovo una funzione quadratica: y \u003d 3 - 2x - x 2. Il suo grafico è una parabola, ma si dirama verso il basso poiché a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Scriviamo l'area dei valori ammessi (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; uno]

Trova ora il vertice della parabola:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Il punto x 0 = −1 appartiene al segmento ODZ - e questo è positivo. Consideriamo ora il valore della funzione nel punto x 0, nonché alle estremità della ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Quindi, abbiamo i numeri 2 e 0. Ci viene chiesto di trovare il più grande: questo è il numero 2.

Un compito. Trova il valore più piccolo della funzione:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

All'interno del logaritmo c'è una funzione quadratica y \u003d 6x - x 2 - 5. Questa è una parabola con rami verso il basso, ma non possono esserci numeri negativi nel logaritmo, quindi scriviamo ODZ:

6x - x 2 - 5 > 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Nota: la disuguaglianza è rigorosa, quindi le estremità non appartengono all'ODZ. In questo modo, il logaritmo differisce dalla radice, dove le estremità del segmento ci stanno abbastanza bene.

Cercando il vertice della parabola:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

La parte superiore della parabola si adatta lungo la ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ma poiché gli estremi del segmento non ci interessano, consideriamo il valore della funzione solo nel punto x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

E per risolverlo, è necessaria una conoscenza minima dell'argomento. Il prossimo anno accademico sta finendo, tutti vogliono andare in vacanza e per avvicinare questo momento mi metto subito al lavoro:

Cominciamo con la zona. L'area di cui alla condizione è limitato Chiuso insieme di punti nel piano. Ad esempio, un insieme di punti delimitati da un triangolo, incluso l'INTERO triangolo (se da frontiere"Spuntare" almeno un punto, poi l'area non sarà più chiusa). In pratica esistono anche zone dalle forme rettangolari, tonde e leggermente più complesse. Va notato che nella teoria dell'analisi matematica vengono fornite definizioni rigorose limitazioni, isolamento, confini, ecc., ma penso che tutti siano a conoscenza di questi concetti a livello intuitivo e ora non è necessario altro.

L'area piatta è normalmente indicata dalla lettera e, di regola, è data analiticamente - da diverse equazioni (non necessariamente lineare); meno spesso disuguaglianze. Un tipico ribaltamento verbale: "area chiusa delimitata da linee".

Parte integrante del compito in esame è la costruzione dell'area sul disegno. Come farlo? È necessario tracciare tutte le linee elencate (in questo caso 3 dritto) e analizzare cosa è successo. L'area desiderata è solitamente leggermente tratteggiata e il suo bordo è evidenziato con una linea in grassetto:

È possibile impostare la stessa area disuguaglianze lineari: , che per qualche ragione sono scritti più spesso come un elenco di enumerazione e non sistema.
Poiché il confine appartiene alla regione, tutte le disuguaglianze, ovviamente, non severo.

E ora il nocciolo della questione. Immagina che l'asse arrivi direttamente a te dall'origine delle coordinate. Considera una funzione che continuo in ciascun punto dell'area. Il grafico di questa funzione è superficie, e la piccola felicità è che per risolvere il problema di oggi, non abbiamo bisogno di sapere come appare questa superficie. Può essere posizionato sopra, sotto, attraversare l'aereo: tutto questo non è importante. E quanto segue è importante: secondo Teoremi di Weierstrass, continuo in chiuso limitato area, la funzione raggiunge il suo massimo (del "più alto") e meno (del "più basso") valori da trovare. Questi valori sono raggiunti o in punti stazionari, appartenente alla regioneD , o in punti che si trovano al confine di questa regione. Da cui segue un algoritmo di soluzione semplice e trasparente:

Esempio 1

In un'area circoscritta limitata

Soluzione: Prima di tutto, devi rappresentare l'area sul disegno. Purtroppo per me è tecnicamente difficile realizzare un modello interattivo del problema, e quindi darò subito l'illustrazione finale, che mostra tutti i punti "sospetti" riscontrati durante lo studio. Di solito vengono posati uno dopo l'altro man mano che si trovano:

Sulla base del preambolo, la decisione può essere convenientemente suddivisa in due punti:

I) Troviamo punti stazionari. Questa è un'azione standard che abbiamo eseguito ripetutamente nella lezione. circa estremi di diverse variabili:

Trovato punto fermo appartiene le zone: (segnalo sul disegno), il che significa che dovremmo calcolare il valore della funzione in un dato punto:

- come nell'art I valori più grande e più piccolo di una funzione su un segmento, evidenzierò i risultati importanti in grassetto. In un quaderno, è conveniente circondarli con una matita.

Presta attenzione alla nostra seconda felicità: non ha senso controllare condizione sufficiente per un estremo. Come mai? Anche se nel punto in cui la funzione raggiunge, ad esempio, minimo locale, allora questo NON SIGNIFICA che il valore risultante sarà minimo in tutta la regione (vedi inizio lezione sugli estremi incondizionati) .

E se il punto stazionario NON appartiene all'area? Quasi niente! Va notato che e vai al paragrafo successivo.

II) Indaghiamo il confine della regione.

Poiché il bordo è costituito dai lati di un triangolo, è conveniente dividere lo studio in 3 sottoparagrafi. Ma è meglio non farlo comunque. Dal mio punto di vista, all'inizio è più vantaggioso considerare i segmenti paralleli agli assi delle coordinate e, prima di tutto, quelli che giacciono sugli assi stessi. Per cogliere l'intera sequenza e la logica delle azioni, prova a studiare il finale "in un fiato":

1) Trattiamo il lato inferiore del triangolo. Per fare ciò, sostituiamo direttamente nella funzione:

In alternativa, puoi farlo in questo modo:

Geometricamente, questo significa che il piano delle coordinate (che è data anche dall'equazione)"tagliare" da superfici Parabola “spaziale”, la cui sommità cade subito in sospetto. Scopriamolo dov'è lei:

- il valore risultante "colpito" nell'area, e potrebbe essere quello al momento (segno sul disegno) la funzione raggiunge il valore più grande o più piccolo nell'intera area. Comunque facciamo i calcoli:

Altri "candidati" sono, ovviamente, gli estremi del segmento. Calcola i valori della funzione in punti (segno sul disegno):

Qui, tra l'altro, puoi effettuare un mini-check orale sulla versione "spogliata":

2) Per studiare il lato destro del triangolo, lo sostituiamo nella funzione e "mettiamo le cose in ordine lì":

Qui eseguiamo immediatamente un controllo di massima, "suonando" l'estremità già elaborata del segmento:
, Perfetto.

La situazione geometrica è correlata al punto precedente:

- il valore risultante è anche "entrato nell'ambito dei nostri interessi", il che significa che dobbiamo calcolare a cosa è uguale la funzione nel punto apparso:

Esaminiamo la seconda estremità del segmento:

Usando la funzione , controlliamo:

3) Probabilmente tutti sanno come esplorare il lato rimanente. Sostituiamo nella funzione ed eseguiamo semplificazioni:

La linea finisce sono già stati studiati, ma sulla bozza controlliamo ancora se abbiamo trovato la funzione correttamente :
– ha coinciso con il risultato del 1° comma;
– ha coinciso con il risultato del 2° comma.

Resta da scoprire se c'è qualcosa di interessante all'interno del segmento:

- c'è! Sostituendo una retta nell'equazione, otteniamo l'ordinata di questo "interesse":

Segniamo un punto sul disegno e troviamo il valore corrispondente della funzione:

Controlliamo i calcoli in base alla versione "budget". :
, ordine.

E il passo finale: Guarda ATTENTAMENTE tutti i numeri "grassi", consiglio anche ai principianti di fare un unico elenco:

da cui scegliamo i valori più grande e più piccolo. Risposta scrivere nello stile del problema di trovare i valori più grande e più piccolo della funzione sull'intervallo:

Per ogni evenienza, commenterò ancora una volta il significato geometrico del risultato:
– ecco il punto più alto della superficie della regione;
- ecco il punto più basso della superficie della zona.

Nel problema analizzato abbiamo trovato 7 punti “sospetti”, ma il loro numero varia da compito a compito. Per una regione triangolare, il "set di esplorazione" minimo è costituito da tre punti. Ciò accade quando la funzione, ad esempio, viene impostata aereo- è abbastanza chiaro che non ci sono punti stazionari e la funzione può raggiungere i valori massimo/minimo solo ai vertici del triangolo. Ma non ci sono esempi simili una, due volte - di solito devi affrontare una sorta di superficie del 2° ordine.

Se risolvi un po 'questi compiti, i triangoli possono farti girare la testa, e quindi ho preparato esempi insoliti per te per renderlo quadrato :))

Esempio 2

Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione in un'area chiusa delimitata da linee

Esempio 3

Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione in un'area chiusa delimitata.

Prestare particolare attenzione all'ordine razionale e alla tecnica di esplorazione del confine dell'area, nonché alla catena di controlli intermedi, che eviteranno quasi completamente errori di calcolo. In generale, puoi risolverlo come preferisci, ma in alcuni problemi, ad esempio, nello stesso Esempio 2, ci sono tutte le possibilità di complicarti notevolmente la vita. Un esempio approssimativo di completamento dei compiti alla fine della lezione.

Sistemiamo l'algoritmo della soluzione, altrimenti, con la mia diligenza di un ragno, in qualche modo si è perso in un lungo thread di commenti del 1 ° esempio:

- Nella prima fase, costruiamo un'area, è preferibile ombreggiarla ed evidenziare il bordo con una linea spessa. Durante la soluzione, appariranno i punti che devono essere inseriti nel disegno.

– Trova punti stazionari e calcola i valori della funzione solo in quelli, che appartengono alla zona. I valori ottenuti sono evidenziati nel testo (ad esempio cerchiati con una matita). Se il punto stazionario NON appartiene all'area, contrassegniamo questo fatto con un'icona o verbalmente. Se non ci sono punti stazionari, traiamo una conclusione scritta che sono assenti. In ogni caso, questo articolo non può essere saltato!

– Esplorare la zona di confine. In primo luogo, è vantaggioso trattare le rette parallele agli assi delle coordinate (Se ce ne sono). Vengono inoltre evidenziati i valori della funzione calcolati nei punti "sospetti". Molto è stato detto sulla tecnica di soluzione sopra e qualcos'altro sarà detto di seguito: leggi, rileggi, approfondisci!

- Dai numeri selezionati, seleziona il valore più grande e quello più piccolo e dai una risposta. A volte capita che la funzione raggiunga tali valori in più punti contemporaneamente: in questo caso, tutti questi punti dovrebbero riflettersi nella risposta. Lasciamo, per esempio, e si è scoperto che questo è il valore più piccolo. Allora lo scriviamo

Gli esempi finali sono dedicati ad altre idee utili che torneranno utili nella pratica:

Esempio 4

Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione in un'area chiusa .

Ho mantenuto la formulazione dell'autore, in cui l'area è data come una doppia disuguaglianza. Questa condizione può essere scritta in un sistema equivalente o in una forma più tradizionale per questo problema:

Te lo ricordo con non lineare abbiamo riscontrato disuguaglianze su , e se non capisci il significato geometrico della voce, per favore non ritardare e chiarire la situazione in questo momento ;-)

Soluzione, come sempre, inizia con la costruzione dell'area, che è una sorta di "sole":

Hmm, a volte devi rosicchiare non solo il granito della scienza ....

I) Trova i punti stazionari:

Il sistema dei sogni dell'idiota :)

Il punto stazionario appartiene alla regione, cioè giace al suo confine.

E quindi, non è niente ... è andata una lezione divertente: ecco cosa significa bere il tè giusto =)

II) Indaghiamo il confine della regione. Senza ulteriori indugi, iniziamo con l'asse x:

1) Se , allora

Trova dove si trova la parte superiore della parabola:
- Apprezzare questi momenti - "colpisci" fino al punto, da cui tutto è già chiaro. Ma non dimenticare di controllare:

Calcoliamo i valori della funzione alle estremità del segmento:

2) Tratteremo la parte inferiore della "suola" "in una sola seduta" - senza complessi la sostituiamo nella funzione, inoltre, saremo interessati solo al segmento:

Controllo:

Ora questo sta già portando un po' di rinascita alla monotona corsa su una pista zigrinata. Troviamo i punti critici:

Noi decidiamo equazione quadrata ti ricordi questo? ... Tuttavia, ricorda, ovviamente, altrimenti non avresti letto queste righe =) Se nei due esempi precedenti i calcoli in frazioni decimali fossero stati convenienti (cosa che, tra l'altro, è rara), allora qui stiamo aspettando il solite frazioni ordinarie. Troviamo le radici "x" e, usando l'equazione, determiniamo le corrispondenti coordinate di "gioco" dei punti "candidato":

Calcoliamo i valori della funzione nei punti trovati:

Controlla tu stesso la funzione.

Ora studiamo attentamente i trofei vinti e scriviamo Rispondere:

Ecco i "candidati", quindi i "candidati"!

Per una soluzione autonoma:

Esempio 5

Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione in una zona chiusa

Una voce tra parentesi graffe recita così: "un insieme di punti tale che".

A volte in tali esempi usano Metodo del moltiplicatore di Lagrange, ma è improbabile che si presenti la reale necessità di utilizzarlo. Quindi, ad esempio, se viene data una funzione con la stessa area "de", dopo la sostituzione in essa - con una derivata senza difficoltà; inoltre il tutto è redatto a “una riga” (con segni) senza la necessità di considerare separatamente i semicerchi superiore e inferiore. Ma, naturalmente, ci sono casi più complicati, dove senza la funzione di Lagrange (dove, ad esempio, è la stessa equazione del cerchio)è difficile cavarsela - quanto è difficile cavarsela senza un buon riposo!

Tutto il meglio per passare la sessione e ci vediamo presto alla prossima stagione!

Soluzioni e risposte:

Esempio 2: Soluzione: disegna l'area sul disegno:

Le figure seguenti mostrano dove la funzione può raggiungere il suo valore più piccolo e più grande. Nella figura a sinistra, i valori minimo e massimo sono fissati nei punti del minimo e del massimo locale della funzione. Nella figura a destra - alle estremità del segmento.

Se la funzione y = f(X) continuo sul segmento [ un, b] , quindi raggiunge questo segmento meno e valori più alti . Questo, come già accennato, può accadere sia in punti estremi o alle estremità del segmento. Pertanto, per trovare meno e i valori più grandi della funzione , continuo sull'intervallo [ un, b] , devi calcolarne i valori in tutto punti critici e alle estremità del segmento, quindi scegli il più piccolo e il più grande di essi.

Sia, ad esempio, necessario determinare il valore massimo della funzione f(X) sul segmento [ un, b] . Per fare ciò, trova tutti i suoi punti critici che giacciono su [ un, b] .

punto critico è chiamato il punto in cui funzione definita, e lei derivatoè zero o non esiste. Quindi dovresti calcolare i valori della funzione nei punti critici. E, infine, si dovrebbero confrontare i valori della funzione nei punti critici e alle estremità del segmento ( f(un) e f(b) ). Il più grande di questi numeri sarà il valore più grande della funzione sul segmento [un, b] .

Il problema del ritrovamento i valori più piccoli della funzione .

Cerchiamo insieme i valori più piccoli e più grandi della funzione

Esempio 1. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento [-1, 2] .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione. Uguaglia la derivata a zero () e ottieni due punti critici: e . Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, è sufficiente calcolarne i valori alle estremità del segmento e al punto , poiché il punto non appartiene al segmento [-1, 2] . Questi valori di funzione sono i seguenti: , , . Ne consegue che valore della funzione più piccolo(contrassegnato in rosso nel grafico sottostante), pari a -7, si raggiunge all'estremità destra del segmento - al punto , e più grande(rosso anche nel grafico), è pari a 9, - nel punto critico .

Se la funzione è continua in un certo intervallo e questo intervallo non è un segmento (ma è, ad esempio, un intervallo; la differenza tra un intervallo e un segmento: i punti limite dell'intervallo non sono inclusi nell'intervallo, ma il i punti limite del segmento sono inclusi nel segmento), quindi tra i valori della funzione potrebbe non esserci il più piccolo e il più grande. Quindi, ad esempio, la funzione rappresentata nella figura seguente è continua su ]-∞, +∞[ e non ha il valore più grande.

Tuttavia, per qualsiasi intervallo (chiuso, aperto o infinito), vale la seguente proprietà delle funzioni continue.

Per l'autocontrollo durante i calcoli, è possibile utilizzare calcolatore di derivati online .

Esempio 4. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento [-1, 3] .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione come derivata del quoziente:

Uguagliamo la derivata a zero, il che ci dà un punto critico: . Appartiene all'intervallo [-1, 3] . Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Confrontiamo questi valori. Conclusione: pari a -5/13, al punto e il valore più grande uguale a 1 nel punto.

Continuiamo a cercare insieme i valori più piccoli e più grandi della funzione

Ci sono docenti che, sul tema della ricerca dei valori più piccoli e più grandi di una funzione, non danno agli studenti esempi più complicati di quelli appena considerati, cioè quelli in cui la funzione è un polinomio o una frazione, il numeratore e denominatore di cui sono polinomi. Ma non ci limiteremo a tali esempi, poiché ci sono insegnanti tra gli insegnanti a cui piace far riflettere gli studenti per intero (tabella delle derivate). Pertanto, verranno utilizzati il logaritmo e la funzione trigonometrica.

Esempio 8. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione come derivato del prodotto :

Uguagliamo la derivata a zero, che fornisce un punto critico: . Appartiene al segmento. Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Il risultato di tutte le azioni: la funzione raggiunge il suo valore minimo, uguale a 0, in un punto e in un punto e il valore più grande uguale a e², al punto.

Per l'autocontrollo durante i calcoli, è possibile utilizzare calcolatore di derivati online .

Esempio 9. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione:

Uguaglia la derivata a zero:

L'unico punto critico appartiene al segmento. Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Conclusione: la funzione raggiunge il suo valore minimo, uguale a , al punto e il valore più grande, uguale a , al punto .

Nei problemi estremi applicati, trovare i valori più piccoli (massimi) di una funzione, di regola, si riduce a trovare il minimo (massimo). Ma non sono i minimi o i massimi stessi ad essere di maggiore interesse pratico, ma i valori dell'argomento a cui sono raggiunti. Quando si risolvono problemi applicati, sorge un'ulteriore difficoltà: la compilazione di funzioni che descrivono il fenomeno o il processo in esame.

Esempio 10 Occorre stagnare una vasca della capacità di 4, avente la forma di un parallelepipedo a base quadrata e aperta superiormente. Quali dovrebbero essere le dimensioni della vasca per poterla ricoprire con la minor quantità di materiale?

Soluzione. Permettere X- lato base h- altezza del serbatoio, S- la sua superficie senza copertura, V- il suo volume. La superficie del serbatoio è espressa dalla formula , cioè è una funzione di due variabili. Esprimere S in funzione di una variabile, utilizziamo il fatto che , donde . Sostituzione dell'espressione trovata h nella formula per S:

Esaminiamo questa funzione per un estremo. È definito e differenziabile ovunque in ]0, +∞[ , e

Uguagliamo la derivata a zero () e troviamo il punto critico. Inoltre, quando la derivata non esiste, ma questo valore non è compreso nel dominio di definizione e quindi non può essere un punto estremo. Quindi, - l'unico punto critico. Controlliamo la presenza di un estremo utilizzando il secondo criterio sufficiente. Troviamo la derivata seconda. Quando la derivata seconda è maggiore di zero (). Ciò significa che quando la funzione raggiunge il minimo . Perchè questo minimo - l'unico estremo di questa funzione, è il suo valore più piccolo. Quindi, il lato della base del serbatoio dovrebbe essere uguale a 2 m e la sua altezza.

Per l'autocontrollo durante i calcoli, è possibile utilizzare

Esempio 1

In un'area circoscritta limitata

Sulla base del preambolo, la decisione può essere convenientemente suddivisa in due punti:

I) Troviamo punti stazionari. Questa è un'azione standard che abbiamo eseguito ripetutamente nella lezione. circa estremi di diverse variabili:

Trovato punto fermo appartiene le zone: (segnalo sul disegno), il che significa che dovremmo calcolare il valore della funzione in un dato punto:

- come nell'art I valori più grande e più piccolo di una funzione su un segmento, evidenzierò i risultati importanti in grassetto. In un quaderno, è conveniente circondarli con una matita.

E se il punto stazionario NON appartiene all'area? Quasi niente! Va notato che e vai al paragrafo successivo.

II) Indaghiamo il confine della regione.

1) Trattiamo il lato inferiore del triangolo. Per fare ciò, sostituiamo direttamente nella funzione:

In alternativa, puoi farlo in questo modo:

Altri "candidati" sono, ovviamente, gli estremi del segmento. Calcola i valori della funzione in punti (segno sul disegno):

Qui, tra l'altro, puoi effettuare un mini-check orale sulla versione "spogliata":

2) Per studiare il lato destro del triangolo, lo sostituiamo nella funzione e "mettiamo le cose in ordine lì":

Qui eseguiamo immediatamente un controllo di massima, "suonando" l'estremità già elaborata del segmento:
, Perfetto.

Esaminiamo la seconda estremità del segmento:

Usando la funzione , controlliamo:

3) Probabilmente tutti sanno come esplorare il lato rimanente. Sostituiamo nella funzione ed eseguiamo semplificazioni:

Resta da scoprire se c'è qualcosa di interessante all'interno del segmento:

- c'è! Sostituendo una retta nell'equazione, otteniamo l'ordinata di questo "interesse":

Segniamo un punto sul disegno e troviamo il valore corrispondente della funzione:

Controlliamo i calcoli in base alla versione "budget". :
, ordine.

Se risolvi un po 'questi compiti, i triangoli possono farti girare la testa, e quindi ho preparato esempi insoliti per te per renderlo quadrato :))

Esempio 2

Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione in un'area chiusa delimitata da linee

Esempio 3

Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione in un'area chiusa delimitata.

Sistemiamo l'algoritmo della soluzione, altrimenti, con la mia diligenza di un ragno, in qualche modo si è perso in un lungo thread di commenti del 1 ° esempio:

- Nella prima fase, costruiamo un'area, è preferibile ombreggiarla ed evidenziare il bordo con una linea spessa. Durante la soluzione, appariranno i punti che devono essere inseriti nel disegno.

Gli esempi finali sono dedicati ad altre idee utili che torneranno utili nella pratica:

Esempio 4

Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione in un'area chiusa .

Te lo ricordo con non lineare abbiamo riscontrato disuguaglianze su , e se non capisci il significato geometrico della voce, per favore non ritardare e chiarire la situazione in questo momento ;-)

Soluzione, come sempre, inizia con la costruzione dell'area, che è una sorta di "sole":

Hmm, a volte devi rosicchiare non solo il granito della scienza ....

I) Trova i punti stazionari:

Il sistema dei sogni dell'idiota :)

Il punto stazionario appartiene alla regione, cioè giace al suo confine.

E quindi, non è niente ... è andata una lezione divertente: ecco cosa significa bere il tè giusto =)

II) Indaghiamo il confine della regione. Senza ulteriori indugi, iniziamo con l'asse x:

1) Se , allora

Trova dove si trova la parte superiore della parabola:
- Apprezzare questi momenti - "colpisci" fino al punto, da cui tutto è già chiaro. Ma non dimenticare di controllare:

Calcoliamo i valori della funzione alle estremità del segmento:

2) Tratteremo la parte inferiore della "suola" "in una sola seduta" - senza complessi la sostituiamo nella funzione, inoltre, saremo interessati solo al segmento:

Controllo:

Ora questo sta già portando un po' di rinascita alla monotona corsa su una pista zigrinata. Troviamo i punti critici:

Controlla tu stesso la funzione.

Ora studiamo attentamente i trofei vinti e scriviamo Rispondere:

Ecco i "candidati", quindi i "candidati"!

Per una soluzione autonoma:

Esempio 5

Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione in una zona chiusa

Una voce tra parentesi graffe recita così: "un insieme di punti tale che".

Tutto il meglio per passare la sessione e ci vediamo presto alla prossima stagione!

Soluzioni e risposte:

Esempio 2: Soluzione: disegna l'area sul disegno: