Vēl viens veids, kā atrast centru (piemēram, virpoti izstrādājumi) - izmantojot īpašu instrumentu, "centra meklētāju" - ir balstīts uz tā saukto īpašībām. pieskares līnijas. Riņķa pieskare ir jebkura taisne, kas saskares punktā ar apli ir perpendikulāra šim punktam novilktajam rādiusam. Kā elle. 174 taisni AB, CD un EF- apļa pieskares ACE. punktus A, C, E tiek saukti par "kontaktpunktiem". Pieskares līnijas īpatnība ir tāda, ka tai ir tikai viena vispārīga punkta aplis. Patiešām, ja tangenss AB(175. att.) bija ar apli, papildus šim vēl vienam kopējam punktam, piemēram, NO, tad savienojot to ar centru, mēs iegūtu vienādsānu trīsstūri SOA ar diviem taisniem leņķiem SA, un tas, mēs zinām, nav iespējams (kāpēc?).

Ar līnijām, kas pieskaras aplim, mēs ļoti bieži sastopamies praktiskajā dzīvē. Virve, kas izmesta pāri blokam, tā izstieptajās daļās ieņem bloka apļa pieskares līniju pozīciju. Pacēlāja siksnas (vairāku bloku kombinācijas, 176. att.) atrodas gar riteņu apkārtmēra kopējo pieskares līniju. Skriemeļu transmisijas siksnas ieņem arī kopējo pieskares pozīciju "ārējo" pieskares skriemeļu apļiem t.s. atvērta transmisija un "iekšējā" - slēgtā.

Kā cauri dotais punktsārpus apļa, lai uzzīmētu tai pieskari? Citiem vārdiem sakot: kā caur punktu BET(dev. 177) novelciet taisnu līniju AB lai leņķi AVO vai tas bija taisni? Tas tiek darīts šādi. savienot BET centrēts O(178. zīmējums). Taisna līnija ir sadalīta uz pusēm un ap tās vidu AT, kā centru, aprakstiet apli ar rādiusu IN. Citiem vārdiem sakot, uz OA veidot apli, tāpat kā diametrā. Krustošanās punkti NO un D abi apļi ir savienoti ar BET taisnas līnijas: tās būs pieskares.

Lai to pārbaudītu, mēs zīmējam no centra uz punktiem NO un D palīglīnijas OS un OD. stūriem LAPSENE un ODA ir taisni, jo tie ir ierakstīti puslokā. Un tas nozīmē to OS un OD ir pieskares aplim.

Ņemot vērā mūsu konstrukciju, mēs, cita starpā, redzam, ka no katra punkta ārpus apļa tam var novilkt divas pieskares. Ir viegli pārbaudīt, vai abas šīs pieskares ir vienāda garuma, t.i., ka AC= AD. Patiešām, būtība O vienādā attālumā no stūra malām BET; nozīmē OA- ir vienāds dalījums un līdz ar to trīsstūri SLA un OAD ir vienādi ( SUS).

Pa ceļam mēs noskaidrojām, ka līnija, kas sadala leņķi starp abām pieskarēm, iet caur apļa centru. Tas ir pamats ierīces ierīcei virpotu izstrādājumu centra meklēšanai - centra meklētājam (179. att.). Tas sastāv no divām līnijām AB un AC, pastiprināta leņķī, un trešā līnija BD, kura mala BD sadala leņķi starp malām uz pusēm

pirmās divas rindas. Ierīce tiek uzklāta uz apaļa izstrādājuma tā, lai lineālu malas būtu blakus tai AB un Saule saskarē ar izstrādājuma apkārtmēru. Šajā gadījumā malām būs tikai viens kopīgs punkts ar apli, tāpēc lineāla malai saskaņā ar tagad norādīto pieskares īpašību ir jāiet cauri apļa centram. Uzzīmējot uz izstrādājuma apļa diametru gar lineālu, uzlieciet centra meklētāju izstrādājumam citā pozīcijā un uzzīmējiet citu diametru. Vēlamais centrs atradīsies abu diametru krustpunktā.

Ja jums ir jānozīmē kopēja pieskare diviem apļiem, tas ir, lai novilktu taisnu līniju, kas vienlaikus pieskartos diviem apļiem, rīkojieties šādi. Viena apļa centra tuvumā, piemēram, apm AT(180. att.), aprakstiet palīgloku, kura rādiuss ir vienāds ar abu apļu rādiusu starpību. Tad no punkta BET veikt pieskares AC un AD uz šo palīgapli. No punktiem BET un AT zīmējiet taisnas līnijas perpendikulāri AC un AD, līdz tas punktos krustojas ar dotajiem apļiem E, F, H un G. savienojošas taisnas līnijas E Ar F, G Ar H, dotajiem apļiem būs kopīgas pieskares, jo tās ir perpendikulāras rādiusiem AE, CF, AG un D.H..

Papildus tām divām pieskarēm, kuras tikko tika uzzīmētas un kuras sauc par ārējām, ir iespējams uzzīmēt arī divas citas pieskares, kas atrodas kā velnā. 181 (iekšējās pieskares). Lai veiktu šo konstrukciju, aprakstiet viena no šiem apļiem ap centru, piemēram, ap AT- palīgaplis, kura rādiuss ir vienāds ar abu apļu rādiusu summu. No punkta BET uzzīmējiet pieskares šim palīgaplim. Tālāko būvniecības gaitu lasītāji varēs atrast paši.

Atkārtojiet jautājumus

Kas ir tangenss? Cik kopīgu punktu ir pieskarei un riņķim? Kā uzzīmēt riņķa pieskari caur punktu ārpus apļa? – Cik šādas pieskares var novilkt? – Kas ir centrifūga? Uz kā balstās tā ierīce? Kā diviem apļiem uzzīmēt kopīgu pieskari? – Cik ir tādu pieskares?

Nodarbības par programmu KOMPAS.

Nodarbības numurs 12. Apļu konstruēšana programmā Compass 3D.
Apļi, kas pieskaras līknēm, aplis pa diviem punktiem.

Compass 3D ir vairāki veidi, kā zīmēt pieskares apļus:

• aplis, kas pieskaras 1. līknei;
• aplis pieskaras 2 līknēm;
• aplis pieskaras 3 līknēm;

Lai uzzīmētu apli, kas pieskaras līknei, nospiediet pogu "Apļa tangenss līknei 1" kompaktajā panelī vai augšējā izvēlnē secīgi nospiediet komandas "Rīki" - "Ģeometrija" - "Apļi" - "Apļa pieskares 1 līknei".

Izmantojot kursoru, vispirms norādām līkni, caur kuru izies aplis, pēc tam iestatām šī apļa 1. un 2. punktu (punktu koordinātas var ievadīt rekvizītu panelī).

Ekrānā tiks parādīti visu iespējamo apļu fantomi. Izmantojot kursoru, atlasiet tos, kas mums nepieciešami, un labojiet tos, nospiežot pogu "Izveidot objektu". Mēs pabeidzam būvniecību, nospiežot pogu "Pārtraukt komandu".

Pirms otrā punkta noteikšanas rekvizītu joslas attiecīgajā laukā varat ievadīt rādiusa vai diametra vērtību. Šāds aplis ne vienmēr tiks izveidots. Tas ir atkarīgs no dotā rādiusa vai diametra. Par būvniecības neiespējamību liecinās fantoma pazušana pēc rādiusa vērtības ievadīšanas.

Ja ir zināms apļa viduspunkts, to var iestatīt arī rekvizītu panelī.

Lai izveidotu riņķa līniju, kas pieskaras divām līknēm, nospiediet pogu "Apļa pieskares 2 līknēm" kompaktā panelī. Vai arī augšējā izvēlnē secīgi nospiediet komandas "Rīki" - "Ģeometrija" - "Apļi" - "Apļa pieskares 2 līknēm".

Ar kursora palīdzību mēs norādām objektus, kuriem aplim vajadzētu pieskarties. Ekrānā tiks parādīti visu iespējamo konstrukcijas variantu fantomi.

Ja ir zināma aplim piederošā punkta pozīcija, tad tā jāiestata ar kursoru vai jāievada koordinātas rekvizītu panelī. Rekvizītu joslā varat ievadīt arī rādiusa vai diametra vērtības. Lai pabeigtu konstrukciju, atlasiet vajadzīgo fantomu un secīgi nospiediet pogas "Izveidot objektu" un "Pārtraukt komandu".

Lai izveidotu riņķa līniju, kas pieskaras trim līknēm, nospiediet pogu "Apļa pieskares 3 līknēm" kompaktā panelī. Vai arī augšējā izvēlnē secīgi nospiediet komandas "Rīki" - "Ģeometrija" - "Apļi" - "Apļa pieskares 3 līknēm".

Konstrukcijas ir līdzīgas iepriekšējām, tāpēc dariet tās paši, rezultāts ir parādīts attēlā zemāk.

Tiešs ( MN), kam ir tikai viens kopīgs punkts ar apli ( A), tiek saukts pieskare uz apli.

Šajā gadījumā tiek saukts kopējais punkts pieskāriena punkts.

Esamības iespēja pieskare, un turklāt izvilkts caur jebkuru punktu aprindās, kā saskarsmes punktu, pierāda sekojošais teorēma.

Lai tas tiek prasīts aprindās centrēts O pieskare caur punktu A. Šim nolūkam no punkta A, kā no centra, aprakstiet loka rādiuss AO, un no punkta O, kā centrs, mēs krustojam šo loku punktos B un NO kompasa risinājums, kas vienāds ar dotā apļa diametru.

Pēc tērēšanas tad akordi OB un OS, savienojiet punktu A ar punktiem D un E kur šie akordi krustojas ar doto apli. Tieša AD un AE - pieskares aplim O. Patiešām, no konstrukcijas ir skaidrs, ka trijstūri AOB un AOC vienādsānu(AO = AB = AC) ar pamatnēm OB un OS, vienāds ar apļa diametru O.

Jo OD un OE tad ir rādiusi D - vidū OB, a E- vidus OS, nozīmē AD un AE - mediānas novilkta uz vienādsānu trīsstūru pamatiem un tāpēc perpendikulāra šīm pamatnēm. Ja tiešā veidā DA un EA perpendikulāri rādiusiem OD un OE, tad viņi ir pieskares.

Sekas.

Divas pieskares, kas novilktas no viena un tā paša punkta uz apli, ir vienādas un veido vienādus leņķus ar līniju, kas savieno šo punktu ar centru.

Tātad AD=AE un ∠ OAD = ∠OAE jo taisnie trīsstūri AOD un AOE kam ir kopīgs hipotenūza AO un vienāds kājas OD un OE(kā rādiusi) ir vienādi. Ņemiet vērā, ka šeit vārds "tangence" nozīmē faktisko " pieskares segments” no dotā punkta līdz saskares punktam.

Šajā nodaļā mēs atgriezīsimies pie viena no galvenajām ģeometriskās formas- uz apli. Tiks pierādītas dažādas ar riņķiem saistītas teorēmas, tostarp teorēmas par apļiem, kas ierakstīti trijstūrī, četrstūrī un apļiem, kas apzīmēti par šīm figūrām. Papildus tiks pierādīti trīs apgalvojumi par trijstūra ievērojamajiem punktiem - trijstūra bisektrišu krustpunkts, tā augstumu krustpunkts un perpendikulāro bisektoru krustpunkts ar trijstūra malām. Pirmie divi apgalvojumi tika formulēti vēl 7. klasē, un tagad mēs tos varēsim pierādīt.

Noskaidrosim, cik kopīgu punktu var būt taisnei un riņķim atkarībā no to relatīvās pozīcijas. Ir skaidrs, ka, ja līnija iet caur apļa centru, tad tā krusto apli divos punktos - diametra galos, kas atrodas uz šīs līnijas.

Lai taisne p neiet cauri apļa ar rādiusu r centru O. Novelkam taisnei p perpendikulu OH un ar burtu d apzīmēsim šī perpendikula garumu, tas ir, attālumu no šī riņķa centra. uz līniju (211. att.).

Rīsi. 211

Mēs pētām taisnes un apļa relatīvo stāvokli atkarībā no attiecības starp d un r. Ir iespējami trīs gadījumi.

1) d< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

Līdz ar to punkti A un B atrodas uz riņķa līnijas un tāpēc ir taisnes p un dotā riņķa kopējie punkti.

Pierādīsim, ka taisnei p un dotajam riņķim nav citu kopīgu punktu. Pieņemsim, ka tiem ir vēl viens kopīgs punkts C. Tad mediāna OD vienādsānu trīsstūris PAR maiņstrāvu, kas novilkta līdz maiņstrāvas pamatnei, ir šī trijstūra augstums, tāpēc OD ⊥ p. Nogriežņi OD un OH nesakrīt, jo maiņstrāvas segmenta viduspunkts D nesakrīt ar punktu H - segmenta AB viduspunktu. Esam panākuši, ka no punkta O uz taisni p ir novilkti divi perpendikuli (nogriežņi OH un OD), kas nav iespējams.

Tātad, ja attālums no apļa centra līdz taisnei ir mazāks par apļa rādiusu (d< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . Šajā gadījumā līniju sauc par sekantu attiecībā pret apli.

2) d = r. Šajā gadījumā OH \u003d r, t.i., punkts H atrodas uz apļa un tāpēc ir taisnes un apļa kopīgs punkts (211.6. att.). Taisnei p un riņķim nav citu kopīgu punktu, jo jebkuram taisnes p punktam M, kas atšķiras no punkta H, OM > OH = r (slīpā OM ir lielāka par perpendikulu OH), un tāpēc , punkts M neatrodas uz apļa.

Tātad, ja attālums no apļa centra līdz līnijai ir vienāds ar apļa rādiusu, tad līnijai un aplim ir tikai viens kopīgs punkts.

3) d > r. Šajā gadījumā OH > r, tāpēc jebkuram punktam M taisne p OM ≥ OH > r (211. att., c). Tāpēc punkts M neatrodas uz apļa.

Tātad, ja attālums no apļa centra līdz līnijai ir lielāks par apļa rādiusu, tad līnijai un aplim nav kopīgu punktu.

Pieskares aplim

Mēs esam pierādījuši, ka taisnei un aplim var būt viens vai divi kopīgi punkti un tiem var nebūt neviena kopīga punkta.

Taisni, kurai ir tikai viens kopīgs punkts ar apli, sauc par riņķa pieskari, un to kopīgo punktu sauc par taisnes un apļa pieskares punktu. 212. attēlā taisne p ir pieskare riņķim ar centru O, bet A ir saskares punkts.

Pierādīsim teorēmu par riņķa pieskares īpašību.

Teorēma

Pierādījums

Lai p ir pieskares riņķim ar centru O, bet A ir saskares punkts (sk. 212. att.). Pierādīsim, ka pieskare p ir perpendikulāra rādiusam OA.

Rīsi. 212

Pieņemsim, ka tā nav. Tad rādiuss OA ir slīps pret līniju p. Tā kā no punkta O līdz taisnei p novilktais perpendikuls ir mazāks par slīpo OA, attālums no apļa centra O līdz taisnei p ir mazāks par rādiusu. Tāpēc līnijai p un aplim ir divi kopīgi punkti. Bet tas ir pretrunā ar nosacījumu: līnija p ir pieskares.

Tādējādi līnija p ir perpendikulāra rādiusam OA. Teorēma ir pierādīta.

Aplūkosim divas pieskares riņķim ar centru O, kas iet caur punktu A un pieskaras aplim punktos B un C (213. att.). Segmenti AB un AC tiks izsaukti pieskares segmenti, kas novilkti no punkta A. Viņiem ir šāds īpašums:

Rīsi. 213

Lai pierādītu šo apgalvojumu, pievērsīsimies 213. attēlam. Saskaņā ar pieskares īpašību teorēmu leņķi 1 un 2 ir taisni, tātad trijstūri ABO un ACO ir taisnleņķi. Tie ir vienādi, jo tiem ir kopēja hipotenūza OA un vienādas kājas OB un OS. Tāpēc AB = AC un ∠3 = ∠4, kas bija jāpierāda.

Tagad pierādīsim teorēmu, kas ir pretēja teorēmai par tangentes īpašību (tangences kritēriju).

Teorēma

Pierādījums

No teorēmas nosacījumiem izriet, ka dotais rādiuss ir perpendikuls, kas novilkts no riņķa centra uz doto taisni. Tāpēc attālums no apļa centra līdz līnijai ir vienāds ar rādiusu, un tāpēc līnijai un aplim ir tikai viens kopīgs punkts. Bet tas arī nozīmē, ka dotā līnija ir pieskares riņķim. Teorēma ir pierādīta.

Šīs teorēmas pamatā ir pieskares konstruēšanas uzdevumu risinājums. Atrisināsim vienu no šīm problēmām.

Uzdevums

Caur doto punktu A riņķī ar centru O novelciet šī riņķa pieskari.

Risinājums

Nozīmēsim taisni O A un pēc tam izveidosim taisni p, kas iet caur punktu A perpendikulāri taisnei O A. Pēc pieskares kritērija taisne p ir vajadzīgā pieskare.

Uzdevumi

631. d ir attālums no apļa ar rādiusu r centra līdz taisnei p. Kāds ir taisnes p un apļa relatīvais novietojums, ja: a) r = 16 cm, d = 12 cm; b) r = 5 cm, d = 4,2 cm; c) r = 7,2 dm, (2 = 3,7 dm; d) r = 8 cm, d = 1,2 dm; e) r = 5 cm, d = 50 mm?

632. Attālums no punkta A līdz apļa centram ir mazāks par riņķa rādiusu. Pierādīt, ka jebkura taisne, kas iet caur punktu A, ir nogrieznis attiecībā pret doto riņķi.

633. Dots kvadrāts O ABC, kura mala ir 6 cm, un riņķis, kura centrs ir punktā O ar rādiusu 5 cm. Kuras no taisnēm OA, AB, BC un AC ir sekantes attiecībā pret šo apli?

634. Riņķa rādiuss OM ar centru O dala hordu AB uz pusēm. Pierādīt, ka pieskare caur punktu M ir paralēla hordai AB.

635. Caur riņķa punktu A novilkta pieskare un horda, kas vienāda ar riņķa rādiusu. Atrodiet leņķi starp tiem.

636. Caur hordas AB galiem, kas vienādi ar riņķa rādiusu, novilktas divas pieskares, kas krustojas punktā C. Atrodi leņķi AC B.

637. Leņķis starp diametru AB un horu AC ir 30°. Caur punktu C tiek novilkta tangense, kas krusto taisni AB punktā D. Pierādīt, ka trijstūris ACD ir vienādsānu.

638. Taisne AB pieskaras riņķim ar centru O, kura rādiuss ir r. Atrast AB, ja OA = 2 cm un r = 1,5 cm.

639. Taisne AB pieskaras riņķim ar centru O, kura rādiuss ir r. Atrast AB, ja ∠AOB = 60° un r = 12 cm.

640. Dots aplis ar centru O ar rādiusu 4,5 cm un punkts A. Caur punktu A novilktas divas riņķa pieskares. Atrodiet leņķi starp tiem, ja OA = 9 cm.

641. Nozares AB un AC ir no punkta A novilktas riņķa līnijas ar centru O pieskares segmenti. Atrodiet leņķi BAC, ja nogriežņa AO viduspunkts atrodas uz riņķa līnijas.

642. Attēlā 213 OB = 3 cm, CM. = 6 cm Atrodiet AB, AC, ∠3 un ∠4.

643. Taisnes AB un AC pieskaras aplim ar centru O punktos B un C. Atrodiet BC, ja ∠OAB = 30°, AB = 5 cm.

644. Taisnes MA un MB ir pieskares riņķim ar centru O punktos A un B. Punkts C ir simetrisks punktam O attiecībā pret punktu B. Pierādīt, ka ∠AMC = 3∠BMC.

645. No dotā riņķa diametra AB galiem pieskarei, kas nav perpendikulāra diametram AB, novilkti perpendikuli AA 1 un BB 1. Pierādīt, ka saskares punkts ir nogriežņa A 1 B 1 viduspunkts.

646. Trijstūrī ABC leņķis B ir taisns. Pierādīt, ka: a) taisne BC ir pieskares riņķim ar centru A ar rādiusu AB; b) taisne AB ir pieskares riņķim ar centru C ar rādiusu CB; c) taisne AC nav pieskares riņķiem ar centru B un rādiusiem B A un BC.

647. Nogrieznis AN ir perpendikuls, kas novilkts no punkta A uz taisni, kas iet caur 3 cm rādiusa riņķa centru O. Vai taisne AN ir riņķa pieskare, ja: a) CM. = 5 cm, AH = 4 cm; b) ∠HAO = 45°, CM = 4 cm; c) ∠HAO = 30°, O A = 6 cm?

648. Konstruē pieskares riņķa līnijai ar centru O: a) paralēli noteiktai taisnei; b) perpendikulāri dotajai taisnei.

Atbildes uz uzdevumiem