Ja divu taisnu krustpunktā trešā. Divu taisnes paralēlisma pazīmes. Paralēlu līniju īpašības Praktiski paralēlu līniju konstruēšanas veidi

Divus leņķus sauc par vertikāliem, ja viena leņķa malas ir otra leņķa malu paplašinājums.

Attēlā parādīti stūri 1 un 3 , kā arī leņķi 2 un 4 - vertikāli. Stūris 2 atrodas blakus abiem leņķiem 1 , un ar leņķi 3. Atbilstoši blakus esošo leņķu īpašībām 1 +2 =180 0 un 3 +2 = 1800. No šejienes mēs iegūstam: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Tādējādi leņķu pakāpes mēri 1 un 3 ir vienādi. No tā izriet, ka paši leņķi ir vienādi. Tātad, vertikālie leņķi ir vienādi.

2. Trijstūru vienādības zīmes.

Ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām ir attiecīgi vienāds ar cita trijstūra divām malām un leņķi starp tām, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

Ja viena trijstūra mala un divi blakus leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem blakus leņķiem, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

3. Ja viena trijstūra trīs malas ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra trim malām, tad šādi trīsstūri ir vienādi.

1 trīsstūru vienādības zīme:

Apsveriet trīsstūrus ABC un A 1 B 1 C 1, kuros AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, leņķi A un A 1 ir vienādi. Pierādīsim, ka ABC=A 1 B 1 C 1 .
Tā kā (y) A \u003d (y) A 1, tad trijstūri ABC var uzklāt uz trijstūra A 1 B 1 C 1 tā, lai virsotne A būtu saskaņota ar virsotni A1 un malas AB un AC būtu uzliktas virsū, attiecīgi uz stariem A 1 B 1 un A 1 C 1 . Tā kā AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, tad puse AB tiks apvienota ar malu A 1 B 1, bet puse AC - ar malu A 1 C 1; jo īpaši punkti B un B 1 , C un C 1 sakritīs. Tāpēc malas BC un B 1 C 1 tiks izlīdzinātas. Tātad trīsstūri ABC un A 1 B 1 C 1 ir pilnībā saderīgi, kas nozīmē, ka tie ir vienādi. CTD

3. Teorēma par vienādsānu trijstūra bisektrisi.

Vienādsānu trijstūrī bisektrise, kas novilkta uz pamatni, ir mediāna un augstums.

Pievērsīsimies attēlam, kurā ABC - vienādsānu trīsstūris ar bāzi BC, AD ir tās bisektrise.

No trijstūru ABD un ACD vienādības (pēc trijstūra vienādības 2. kritērija: AD ir kopīgs; leņķi 1 un 2 ir vienādi, jo AD bisektrise; AB=AC, jo trīsstūris ir vienādsānu) izriet, ka BD = DC un 3 = 4. Vienādība BD = DC nozīmē, ka punkts D ir malas BC viduspunkts un tāpēc AD ir trijstūra ABC mediāna. Tā kā leņķi 3 un 4 atrodas blakus un ir vienādi viens ar otru, tie ir taisni leņķi. Tāpēc segments AO ir arī trijstūra ABC augstums. CHTD.

4. Ja taisnes ir paralēlas -> leņķis…. (neobligāti)

5. Ja leņķis ... ..-> līnijas ir paralēlas (pēc izvēles)

Ja sekanta divu taisnu krustpunktā attiecīgie leņķi ir vienādi, tad taisnes ir paralēlas.

Sekanta taisnes a un b krustpunktā ar atbilstošajiem leņķiem ir vienādi, piemēram, 1=2.

Tā kā leņķi 2 un 3 ir vertikāli, tad 2=3. No šīm divām vienādībām izriet, ka 1=3. Bet leņķi 1 un 3 ir šķērsām, tātad taisnes a un b ir paralēlas. CHTD.

6. Teorēma par trijstūra leņķu summu.

Trijstūra leņķu summa ir 180 0.

Aplūkosim patvaļīgu trīsstūri ABC un pierādiet, ka A+B+C=180 0 .

Novelkam taisni a caur virsotni B, paralēli malai AC. 1. un 4. leņķi ir šķērsvirziena guļus leņķi paralēlu līniju a un AC krustpunktā ar nogriezni AB, un leņķi 3 un 5 ir šķērsvirziena guļus leņķi to pašu paralēlo līniju krustpunktā ar nogriezni BC. Tāpēc (1)4=1; 5=3.

Acīmredzot leņķu 4, 2 un 5 summa ir vienāda ar taisnleņķi ar virsotni B, t.i. 4+2+5=1800 . Tādējādi, ņemot vērā vienādības (1), iegūstam: 1+2+3=180 0 vai A+B+C=180 0 .

7. Taisnleņķa trīsstūru vienādības zīme.

Šī nodaļa ir veltīta paralēlu līniju izpētei. Tas ir nosaukums, kas dots divām taisnēm plaknē, kas nekrustojas. Mēs redzam vidē paralēlu līniju segmentus - tās ir divas taisnstūra galda malas, divas grāmatas vāka malas, divi trolejbusa stieņi utt.. Paralēlām līnijām ir ļoti liela nozīme ģeometrijā. Šajā nodaļā jūs uzzināsiet par to, kas ir ģeometrijas aksiomas un no kā sastāv paralēlo līniju aksioma - viena no slavenākajām ģeometrijas aksiomām.

1. sadaļā mēs atzīmējām, ka divām taisnēm vai nu ir viens kopīgs punkts, tas ir, tās krustojas, vai arī tām nav viena kopīga punkta, tas ir, tās nekrustojas.

Definīcija

Līniju a un b paralēlismu apzīmē šādi: a || b.

98. attēlā redzamas līnijas a un b, kas ir perpendikulāras taisnei c. 12. sadaļā konstatējām, ka šādas taisnes a un b nekrustojas, tas ir, tās ir paralēlas.

Rīsi. 98

Kopā ar paralēlām līnijām bieži tiek apsvērti paralēli segmenti. Abi segmenti tiek saukti paralēli ja tie atrodas uz paralēlām līnijām. 99. attēlā segmenti AB un CD ir paralēli (AB || CD), un segmenti MN un CD nav paralēli. Līdzīgi tiek noteikts nogriežņa un taisnes (99. att., b), stara un taisnes, segmenta un stara, divu staru paralēlisms (99. att., c).

Rīsi. 99 Divu taisnes paralēlisma pazīmes

Tiešais ar tiek saukts sekants attiecībā pret taisnēm a un b, ja tā krusto tās divos punktos (100. att.). Līniju a un b krustpunktā sekants c veido astoņus leņķus, kurus 100. attēlā norāda ar cipariem. Dažiem šo leņķu pāriem ir īpaši nosaukumi:

krusteniski stūri: 3 un 5, 4 un 6;
vienpusēji stūri: 4 un 5, 3 un 6;
atbilstošie leņķi: 1 un 5, 4 un 8, 2 un 6, 3 un 7.

Rīsi. 100

Apsveriet trīs paralēlisma pazīmes divām līnijām, kas saistītas ar šiem leņķu pāriem.

Teorēma

Pierādījums

Pieņemsim, ka taisnes a un b krustpunktā ar sekantu AB guļus leņķi ir vienādi: ∠1 = ∠2 (101. att., a).

Pierādīsim, ka a || b. Ja leņķi 1 un 2 ir taisni (101. att., b), tad taisnes a un b ir perpendikulāras taisnei AB un līdz ar to paralēlas.

Rīsi. 101

Apsveriet gadījumu, kad leņķi 1 un 2 nav pareizi.

No nogriežņa AB vidus O novelkam perpendikulāru OH taisnei a (101. att., c). Uz taisnes b no punkta B mēs atceļam nogriezni VH 1, kas vienāds ar segmentu AH, kā parādīts 101. attēlā, c, un uzzīmējam segmentu OH 1. Trijstūri ONA un OH 1 V ir vienādi divās malās un leņķis starp tiem (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), tāpēc ∠3 = ∠4 un ∠5 = ∠6. No vienādības ∠3 = ∠4 izriet, ka punkts H 1 atrodas uz stara OH turpinājuma, t.i., punkti H, O un H 1 atrodas uz vienas taisnes, un no vienādības ∠5 = ∠6 tas. no tā izriet, ka leņķis 6 ir taisna līnija (jo leņķis 5 ir taisns leņķis). Tātad taisnes a un b ir perpendikulāras taisnei HH 1, tātad tās ir paralēlas. Teorēma ir pierādīta.

Teorēma

Pierādījums

Pieņemsim, ka taisnes a un b krustpunktā sekants ar atbilstošajiem leņķiem ir vienāds, piemēram, ∠1 = ∠2 (102. att.).

Rīsi. 102

Tā kā leņķi 2 un 3 ir vertikāli, tad ∠2 = ∠3. Šīs divas vienādības nozīmē, ka ∠1 = ∠3. Bet leņķi 1 un 3 ir šķērsām, tātad taisnes a un b ir paralēlas. Teorēma ir pierādīta.

Teorēma

Pierādījums

Pieņemsim, ka taisnes a un b krustpunktā nogrieznis ar vienpusējo leņķu summu ir 180°, piemēram, ∠1 + ∠4 = 180° (sk. 102. att.).

Tā kā leņķi 3 un 4 atrodas blakus, tad ∠3 + ∠4 = 180°. No šīm divām vienādībām izriet, ka šķērsgriezuma leņķi 1 un 3 ir vienādi, tātad taisnes a un b ir paralēlas. Teorēma ir pierādīta.

Praktiski veidi, kā zīmēt paralēlas līnijas

Paralēlu līniju zīmes ir pamatā paralēlu līniju konstruēšanas paņēmieniem ar dažādu praksē pielietotu rīku palīdzību. Apsveriet, piemēram, metodi paralēlu līniju konstruēšanai, izmantojot zīmēšanas kvadrātu un lineālu. Lai izveidotu taisni, kas iet caur punktu M un paralēli dotajai taisnei a, uz taisnes a pieliekam zīmēšanas kvadrātu, bet tai lineālu, kā parādīts 103. attēlā. Pēc tam, pārvietojot kvadrātu pa lineālu, mēs nodrošinās, ka punkts M atrodas kvadrāta malā, un novelk līniju b. Taisnes a un b ir paralēlas, jo attiecīgie leņķi, kas 103. attēlā apzīmēti ar burtiem α un β, ir vienādi.

Rīsi. 103 104. attēlā parādīta metode paralēlu līniju konstruēšanai, izmantojot T veida kvadrātu. Šo metodi izmanto zīmēšanas praksē.

Rīsi. 104 Līdzīga metode tiek izmantota, veicot galdniecības darbus, kur paralēlu līniju iezīmēšanai izmanto slīpumu (divi koka dēļi, kas piestiprināti ar viru, 105. att.).

Rīsi. 105

Uzdevumi

186. 106. attēlā taisnes a un b ir krustotas ar taisni c. Pierādīt, ka a || b ja:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, un leņķis 7 ir trīs reizes lielāks par leņķi 3.

Rīsi. 106

187. Saskaņā ar 107. attēlu pierādiet, ka AB || D.E.

Rīsi. 107

188. Segmenti AB un CD krustojas to kopējā vidū. Pierādīt, ka taisnes AC un BD ir paralēlas.

189. Izmantojot 108. attēla datus, pierādiet, ka BC || AD.

Rīsi. 108

190. 109. attēlā AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Pierādiet, ka DE || AS.

Rīsi. 109

191. Nogrieznis VK ir trijstūra ABC bisektrise. Caur punktu K tiek novilkta taisne, kas krusto malu BC punktā M tā, lai BM = MK. Pierādīt, ka taisnes KM un AB ir paralēlas.

192. Trijstūrī ABC leņķis A ir 40°, un leņķim ALL blakus leņķim ACB ir 80°. Pierādīt, ka leņķa ALL bisektrise ir paralēla taisnei AB.

193. Trijstūrī ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Taisne BD tiek novilkta caur virsotni B tā, lai stars BC būtu leņķa ABD bisektrise. Pierādīt, ka taisnes AC un BD ir paralēlas.

194. Uzzīmē trijstūri. Caur katru šī trīsstūra virsotni, izmantojot zīmēšanas kvadrātu un lineālu, novelciet taisnu līniju, kas ir paralēla pretējai malai.

195. Uzzīmējiet trijstūri ABC un atzīmējiet punktu D uz malas AC. Caur punktu D, izmantojot zīmēšanas kvadrātu un lineālu, novelciet taisnas līnijas, kas ir paralēlas pārējām divām trijstūra malām.

Divu taisnes paralēlisma pazīmes

1. teorēma. Ja sekanta divu līniju krustpunktā:

diagonāli guļus leņķi ir vienādi, vai

attiecīgie leņķi ir vienādi, vai

vienpusējo leņķu summa ir 180°, tad

līnijas ir paralēlas(1. att.).

Pierādījums. Mēs aprobežojamies ar 1. gadījuma pierādījumu.

Pieņemsim, ka taisnes a un b krustpunktā ar sekantu AB pāri guļus leņķi ir vienādi. Piemēram, ∠ 4 = ∠ 6. Pierādīsim, ka a || b.

Pieņemsim, ka taisnes a un b nav paralēlas. Tad tie krustojas kādā punktā M un līdz ar to viens no leņķiem 4 vai 6 būs trijstūra ABM ārējais leņķis. Noteiktības labad pieņemsim, ka ∠ 4 ir trijstūra ABM ārējais stūris, bet ∠ 6 ir iekšējais stūris. No teorēmas par trijstūra ārējo leņķi izriet, ka ∠ 4 ir lielāks par ∠ 6, un tas ir pretrunā ar nosacījumu, kas nozīmē, ka taisnes a un 6 nevar krustoties, tāpēc tās ir paralēlas.

Secinājums 1. Divas atšķirīgas līnijas plaknē, kas ir perpendikulāra vienai un tai pašai taisnei, ir paralēlas(2. att.).

komentēt. Veids, kā mēs tikko pierādījām 1. teorēmas 1. gadījumu, tiek saukts par pierādīšanas metodi ar pretrunu vai redukciju līdz absurdam. Šī metode ieguva savu pirmo nosaukumu, jo spriešanas sākumā tiek izdarīts pieņēmums, kas ir pretējs (pretējs) tam, kas ir jāpierāda. To sauc par samazināšanu līdz absurdam tāpēc, ka, argumentējot, pamatojoties uz izdarīto pieņēmumu, mēs nonākam pie absurda secinājuma (absurds). Šāda secinājuma saņemšana liek noraidīt sākumā izteikto pieņēmumu un pieņemt to, kas bija jāpierāda.

1. uzdevums. Izveidojiet līniju cauri dots punkts M un paralēli noteiktai taisnei a, kas neiet caur punktu M.

Risinājums. Caur punktu M velkam taisni p, kas ir perpendikulāra taisnei a (3. att.).

Tad caur punktu M novelkam taisni b, kas ir perpendikulāra taisnei p. Taisne b ir paralēla taisnei a saskaņā ar 1. teorēmas secinājumu.

No aplūkotās problēmas izriet svarīgs secinājums:
Caur punktu, kas neatrodas noteiktā taisnē, vienmēr var novilkt līniju, kas ir paralēla dotajai taisnei..

Paralēlo līniju galvenā īpašība ir šāda.

Paralēlu līniju aksioma. Caur doto punktu, kas nav dotajā taisnē, ir tikai viena taisne, kas ir paralēla dotajai taisnei.

Apsveriet dažas paralēlo līniju īpašības, kas izriet no šīs aksiomas.

1) Ja taisne krusto vienu no abām paralēlajām taisnēm, tad tā krusto otru (4. att.).

2) Ja divas dažādas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas (5. att.).

Pareiza ir arī sekojošā teorēma.

2. teorēma. Ja divas paralēlas taisnes šķērso sekants, tad:

guļus leņķi ir vienādi;

attiecīgie leņķi ir vienādi;

vienpusējo leņķu summa ir 180°.

Sekas 2. Ja taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai.(skat. 2. att.).

komentēt. 2. teorēmu sauc par 1. teorēmas apgriezto. 1. teorēmas secinājums ir 2. teorēmas nosacījums. Un 1. teorēmas nosacījums ir 2. teorēmas secinājums. Ne katrai teorēmai ir inverss, t.i., ja dotā teorēma ir patiesa, tad apgrieztā teorēma var būt nepatiesa.

Paskaidrosim to ar teorēmas piemēru par vertikālajiem leņķiem. Šo teorēmu var formulēt šādi: ja divi leņķi ir vertikāli, tad tie ir vienādi. Apgrieztā teorēma būtu šāda: ja divi leņķi ir vienādi, tad tie ir vertikāli. Un tas, protams, nav taisnība. Diviem vienādiem leņķiem vispār nav jābūt vertikāliem.

1. piemērs Divas paralēlas līnijas šķērso trešā. Ir zināms, ka starpība starp diviem iekšējiem vienpusējiem leņķiem ir 30°. Atrodiet šos leņķus.

Risinājums. Ļaujiet 6. skaitlim atbilst nosacījumam.

1. Pirmā paralēlisma pazīme.

Ja divu līniju krustpunktā ar trešo iekšējie leņķi, kas atrodas šķērsām, ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas.

Lai taisnes AB un CD krustojas ar taisni EF un ∠1 = ∠2. Ņemsim punktu O - sekanta EF segmenta KL vidu (Zīm.).

Nometīsim perpendikulu OM no punkta O uz taisni AB un turpināsim to līdz krustojas ar taisni CD, AB ⊥ MN. Pierādīsim, ka arī CD ⊥ MN.

Lai to izdarītu, apsveriet divus trīsstūrus: MOE un NOK. Šie trīsstūri ir vienādi viens ar otru. Patiešām: ∠1 = ∠2 pēc teorēmas hipotēzes; OK = OL - pēc konstrukcijas;

∠MOL = ∠NOK kā vertikālie leņķi. Tādējādi viena trijstūra mala un divi tam blakus esošie leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem tam blakus esošajiem leņķiem; tāpēc ΔMOL = ΔNOK, un līdz ar to ∠LMO = ∠KNO,
bet ∠LMO ir tiešs, līdz ar to ∠KNO arī ir tiešs. Tādējādi taisnes AB un CD ir perpendikulāras vienai un tai pašai taisnei MN, līdz ar to tās ir paralēlas, kas bija jāpierāda.

Piezīme. Līniju MO un CD krustpunktu var noteikt, pagriežot trīsstūri MOL ap punktu O par 180°.

2. Otrā paralēlisma pazīme.

Apskatīsim, vai taisnes AB un CD ir paralēlas, ja to trešās taisnes EF krustpunktā attiecīgie leņķi ir vienādi.

Lai daži atbilstošie leņķi ir vienādi, piemēram, ∠ 3 = ∠2 (Zīm.);

∠3 = ∠1 kā vertikālie leņķi; tātad ∠2 būs vienāds ar ∠1. Bet leņķi 2 un 1 ir iekšējie šķērsleņķi, un mēs jau zinām, ka, ja divu taisnu krustpunktā ar trešdaļu iekšējie šķērsvirziena guļus leņķi ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas. Tāpēc AB || CD.

Ja trešās divu taisnes krustpunktā attiecīgie leņķi ir vienādi, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

Uz šīs īpašības balstās paralēlu līniju konstruēšana ar lineāla un zīmēšanas trīsstūra palīdzību. Tas tiek darīts šādi.

Pievienosim lineālam trīsstūri, kā parādīts attēlā. Mēs pārvietosim trīsstūri tā, lai viena tā mala slīdētu gar lineālu, un novelkam vairākas taisnas līnijas pa jebkuru citu trijstūra malu. Šīs līnijas būs paralēlas.

3. Trešā paralēlisma pazīme.

Ļaujiet mums zināt, ka divu līniju AB un CD krustpunktā ar trešo līniju jebkuru iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d(vai 180°). Vai šajā gadījumā taisnes AB un CD būs paralēlas (att.).

Ļaujiet ∠1 un ∠2 būt vienpusējiem iekšējiem leņķiem un summējiet tos līdz 2 d.

Bet ∠3 + ∠2 = 2 d kā blakus leņķi. Tāpēc ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Tādējādi ∠1 = ∠3, un šie iekšējie leņķi ir šķērsām. Tāpēc AB || CD.

Ja divu līniju krustpunktā ar trešdaļu, iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d (vai 180°), tad abas līnijas ir paralēlas.

Paralēlu līniju zīmes:

1. Ja divu taisnu līniju krustpunktā ar trešdaļu iekšējie šķērsguluma leņķi ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas.

2. Ja trešās divu taisnes krustpunktā attiecīgie leņķi ir vienādi, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

3. Ja trešās divu līniju krustpunktā iekšējo vienpusējo leņķu summa ir 180 °, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

4. Ja divas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas viena otrai.

5. Ja divas taisnes ir perpendikulāras trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas viena otrai.

Eiklida paralēlisma aksioma

Uzdevums. Caur punktu M, kas ņemts ārpus taisnes AB, novelciet līniju, kas ir paralēla taisnei AB.

Izmantojot pārbaudītās teorēmas par paralēlu taisnju kritērijiem, šo problēmu var atrisināt Dažādi ceļi,

Risinājums. 1. s o s o b (199. att.).

Uzzīmējam MN⊥AB un caur punktu M zīmējam CD⊥MN;

mēs iegūstam CD⊥MN un AB⊥MN.

Pamatojoties uz teorēmu ("Ja divas taisnes ir perpendikulāras vienai taisnei, tad tās ir paralēlas.") secinām, ka СD || AB.

2. s p o s o b (200. att.).

Novelkam MK, kas krustojas AB jebkurā leņķī α, un caur punktu M novelkam taisni EF, veidojot leņķi EMK ar taisni MK, vienāds ar leņķi a. Pamatojoties uz teorēmu () secinām, ka EF || AB.

Atrisinot šo uzdevumu, varam uzskatīt, ka ir pierādīts, ka caur jebkuru punktu M, kas ņemts ārpus taisnes AB, ir iespējams novilkt tai paralēlu taisni. Rodas jautājums, cik taisnes var pastāvēt, kas ir paralēlas noteiktai taisnei un iet caur noteiktu punktu?

Konstrukciju prakse ļauj pieņemt, ka ir tikai viena šāda līnija, jo ar rūpīgi izpildītu zīmējumu līnijas, kas dažādos veidos novilktas caur vienu un to pašu punktu paralēli vienai līnijai, saplūst.

Teorētiski atbildi uz šo jautājumu sniedz tā sauktā Eiklida paralēlisma aksioma; tas ir formulēts šādi:

Caur punktu, kas ņemts ārpus dotās taisnes, šai taisnei paralēli var novilkt tikai vienu taisni.

201. zīmējumā caur punktu O ir novilkta taisne SK, kas ir paralēla taisnei AB.

Jebkura cita taisne, kas iet caur punktu O, vairs nebūs paralēla taisnei AB, bet gan to krustos.

Aksiomu, ko Eiklīds pieņēma savos elementos, kas nosaka, ka plaknē caur punktu, kas ņemts ārpus noteiktas taisnes, paralēli šai taisnei var novilkt tikai vienu taisni, tiek saukta. Eiklida paralēlisma aksioma.

Vairāk nekā divus tūkstošus gadu pēc Eiklida daudzi matemātiķi mēģināja pierādīt šo matemātisko apgalvojumu, taču viņu mēģinājumi vienmēr bija nesekmīgi. Tikai 1826. gadā izcilais krievu zinātnieks, Kazaņas universitātes profesors Nikolajs Ivanovičs Lobačevskis pierādīja, ka, izmantojot visas pārējās Eiklida aksiomas, šo matemātisko apgalvojumu nevar pierādīt, ka tas tiešām ir jāuztver kā aksioma. N. I. Lobačevskis radīja jaunu ģeometriju, kuru atšķirībā no Eiklida ģeometrijas sauca par Lobačevska ģeometriju.

Ģeometrija. Nosauciet 3 paralēlu līniju zīmes un iegūstiet labāko atbildi

Atbilde no saimnieka Garenova [iesācējs]
Ja 2 taisnu līniju krustpunktā par trešdaļu iekšējo vienpusējo leņķu summa ir 180 grādi, tad šādas līnijas ir paralēlas.
Ja 2 taisnes krustpunktā par trešdaļu iekšējie šķērsguluma leņķi ir vienādi, tad šādas taisnes ir paralēlas.
Ja divas taisnes ir perpendikulāras trešajai, tad tās ir paralēlas.

Atbilde no Pazitea[guru]
1. Pirmā paralēlisma pazīme.
Ja divu līniju krustpunktā ar trešo iekšējie leņķi, kas atrodas šķērsām, ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas.
2. Otrā paralēlisma pazīme.
Ja trešās divu taisnes krustpunktā attiecīgie leņķi ir vienādi, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.
3. Trešā paralēlisma pazīme.
Ļaujiet mums zināt, ka divu līniju AB un CD krustpunktā ar trešo līniju jebkuru iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2d (vai 180°). Vai taisnes AB un CD šajā gadījumā būs paralēlas (192. att.).
Ļaujiet / 1 un / 2 būt iekšējiem vienpusējiem leņķiem un saskaitiet līdz 2d.
Bet / 3 + / 2 = 2d, jo leņķi atrodas blakus. Tāpēc / 1 + / 2 = / 3+ / 2.
Tādējādi / 1 = / 3, un šie leņķi ir iekšējie šķērsām. Tāpēc AB || CD.
Ja trešās divu taisnes krustpunktā iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2d, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

Atbilde no 3 atbildes[guru]

Sveiki! Šeit ir tēmu izlase ar atbildēm uz jūsu jautājumu: Ģeometrija. Nosauciet 3 paralēlu līniju zīmes

Atbilde no 3 atbildes[guru]