Un altro modo per trovare il centro (ad esempio, prodotti torniti) - utilizzando uno strumento speciale, il "cerca centro" - si basa sulle proprietà del cosiddetto. linee tangenti. Una tangente a una circonferenza è qualsiasi retta che, nel punto di incontro con la circonferenza, è perpendicolare al raggio tracciato fino a questo punto. Come l'inferno. 174 dritto AB, CD e EF- tangenti al cerchio ASSO. punti A, C, E sono chiamati "punti di contatto". La particolarità di una retta tangente è che ha una circonferenza di un solo punto generale. Infatti, se la tangente AB(Fig. 175) era con un cerchio, oltre a questo punto più comune, ad esempio, DA, quindi collegandolo al centro, otterremmo un triangolo isoscele SOA con due angoli retti SA, e questo, lo sappiamo, è impossibile (perché?).

Con linee tangenti a un cerchio, ci incontriamo molto spesso nella vita pratica. Una fune lanciata su un blocco assume la posizione di linee tangenti al cerchio del blocco nelle sue parti tese. Le cinghie di sollevamento (combinazioni di più blocchi, Fig. 176) si trovano lungo la linea delle tangenti comuni alla circonferenza delle ruote. Le cinghie di trasmissione delle pulegge occupano anche la posizione di tangenti comuni ai cerchi delle pulegge delle tangenti "esterne" nelle cosiddette. trasmissione aperta e "interna" - in una chiusa.

Come attraverso dato punto fuori dal cerchio per tracciare una tangente ad esso? In altre parole: come attraverso un punto MA(dev. 177) traccia una linea retta AB ad angolo AVO era dritto? Questo viene fatto come segue. Collegare MA centrato o(disegno 178). Una linea retta è divisa a metà e attorno al centro di essa A, come centro, descrivi un cerchio con un raggio IN. In altre parole, su OA costruire un cerchio, come di diametro. Punti di intersezione DA e D entrambi i cerchi sono collegati MA rette: queste saranno le tangenti.

Per verificarlo, disegniamo dal centro ai punti DA e D linee ausiliarie Sistema operativo e OD. angoli VESPA e ODA sono diritti perché sono inscritti a semicerchio. E questo significa questo Sistema operativo e OD sono tangenti al cerchio.

Considerando la nostra costruzione, vediamo, tra l'altro, che da ogni punto esterno al cerchio si possono disegnare due tangenti ad esso. È facile verificare che entrambe queste tangenti abbiano la stessa lunghezza, cioè quella corrente alternata= ANNO DOMINI. Infatti, il punto o equidistante dai lati dell'angolo MA; significa OA- è la divisione uguale e, quindi, i triangoli SLA e OAD sono uguali ( SUS).

Lungo il percorso, abbiamo stabilito che la linea che divide in due l'angolo tra le due tangenti passa per il centro della circonferenza. Questa è la base per il dispositivo dispositivo per la ricerca del centro dei prodotti torniti: il cercatore centrale (Fig. 179). Si compone di due linee AB e corrente alternata, rinforzato ad angolo, e la terza linea BD, il cui bordo BD divide in due l'angolo tra i bordi

le prime due righe. Il dispositivo viene applicato su un prodotto rotondo in modo che i bordi dei righelli siano adiacenti ad esso AB e sole a contatto con la circonferenza del prodotto. In questo caso, i bordi avranno un solo punto in comune con il cerchio, quindi il bordo del righello deve, secondo la proprietà delle tangenti ora indicata, passare per il centro del cerchio. Dopo aver disegnato il diametro del cerchio sul prodotto lungo il righello, applicare il cercatore centrale al prodotto in una posizione diversa e disegnare un diametro diverso. Il centro desiderato sarà all'intersezione di entrambi i diametri.

Se devi tracciare una tangente comune a due cerchi, cioè tracciare una linea retta che tocchi due cerchi contemporaneamente, procedi come segue. Vicino al centro di un cerchio, ad esempio, circa A(Fig. 180), descrivi un cerchio ausiliario con raggio uguale alla differenza tra i raggi di entrambi i cerchi. Poi dal punto MA eseguire le tangenti corrente alternata e ANNO DOMINI a questo cerchio ausiliario. Dai punti MA e A tracciare linee rette perpendicolari a corrente alternata e ANNO DOMINI, finché non si interseca con i cerchi dati nei punti E, F, H e G. rette di collegamento e Insieme a F, G Insieme a H, ci saranno tangenti comuni ai cerchi dati, poiché sono perpendicolari ai raggi AE, CF, AG e D.H..

Oltre a quelle due tangenti che sono state appena disegnate e che vengono dette esterne, è possibile tracciare anche altre due tangenti, poste come nel diavolo. 181 (tangenti interne). Per eseguire questa costruzione, descrivi intorno al centro di uno di questi cerchi, ad esempio intorno A- un cerchio ausiliario di raggio uguale alla somma dei raggi di entrambi i cerchi. Da un punto MA disegna le tangenti a questo cerchio ausiliario. I lettori saranno in grado di trovare da soli l'ulteriore corso di costruzione.

Ripeti le domande

Cos'è una tangente? Quanti punti hanno in comune una tangente e un cerchio? Come disegnare una tangente a una circonferenza passante per un punto esterno alla circonferenza? – Quante tangenti possono essere disegnate? – Cos'è una centrifuga? Su cosa si basa il suo dispositivo? Come disegnare una tangente comune a due cerchi? – Quante tangenti di questo tipo?

Lezioni sul programma KOMPAS.

Lezione numero 12. Costruzione di cerchi in Compass 3D.
Cerchi tangenti alle curve, cerchio di due punti.

Compass 3D ha diversi modi per disegnare cerchi tangenti:

• cerchio tangente alla 1a curva;
• cerchio tangente a 2 curve;
• cerchio tangente a 3 curve;

Per disegnare un cerchio tangente alla curva, premere il pulsante "Cerchio tangente alla curva 1" nel pannello compatto, o nel menu in alto, premere in sequenza i comandi "Strumenti" - "Geometria" - "Cerchi" - "Cerchio tangente a 1 curva".

Usando il cursore, indichiamo prima la curva attraverso la quale passerà il cerchio, quindi impostiamo il 1° e il 2° punto di questo cerchio (le coordinate dei punti possono essere inserite nel pannello delle proprietà).

I fantasmi di tutti i possibili cerchi verranno visualizzati sullo schermo. Usando il cursore, seleziona quelli di cui abbiamo bisogno e correggili premendo il pulsante "Crea oggetto". Completiamo la costruzione premendo il pulsante "Abort command".

Prima di specificare il secondo punto, è possibile inserire un valore di raggio o diametro nel campo corrispondente della barra delle proprietà. Un tale cerchio non sarà sempre costruito. Dipende dal raggio o diametro dato. L'impossibilità di costruzione sarà indicata dalla scomparsa del fantasma dopo aver inserito il valore del raggio.

Se il punto centrale del cerchio è noto, può essere impostato anche nel pannello delle proprietà.

Per costruire un cerchio tangente a due curve, premere il pulsante "Cerchio tangente a 2 curve" in un pannello compatto. Oppure nel menu in alto, premi in sequenza i comandi "Strumenti" - "Geometria" - "Cerchi" - "Cerchio tangente a 2 curve".

Con l'aiuto del cursore indichiamo gli oggetti che il cerchio dovrebbe toccare. I fantasmi di tutte le possibili opzioni di costruzione verranno visualizzati sullo schermo.

Se si conosce la posizione di un punto appartenente alla circonferenza, è necessario impostarla tramite il cursore, oppure inserire le coordinate nel pannello delle proprietà. Puoi anche inserire valori di raggio o diametro nella barra delle proprietà. Per completare la costruzione, selezionare il fantasma desiderato e premere in sequenza i pulsanti "Crea oggetto" e "Interrompi comando".

Per costruire un cerchio tangente a tre curve, premere il pulsante "Cerchio tangente a 3 curve" in un pannello compatto. Oppure nel menu in alto, premi in sequenza i comandi "Strumenti" - "Geometria" - "Cerchi" - "Cerchio tangente a 3 curve".

Le costruzioni sono simili alle precedenti, quindi fatele voi stessi, il risultato è mostrato nella figura sottostante.

diretto ( MN) che ha un solo punto in comune con il cerchio ( UN), è chiamato tangente al cerchio.

In questo caso viene chiamato il punto comune punto di contatto.

Possibilità di esistenza tangente, e, inoltre, disegnato attraverso qualsiasi punto cerchi, come punto di contatto, è dimostrato da quanto segue teorema.

Lascia che sia richiesto cerchi centrato o tangente attraverso un punto UN. Per questo, dal punto UN, come dal centro, descrivere arco raggio AO, e dal punto o, come centro, intersechiamo questo arco in punti B e DA soluzione bussola uguale al diametro del cerchio dato.

Dopo aver speso poi accordi OB e Sistema operativo, unisci il punto UN con punti D e e dove queste corde intersecano il cerchio dato. Diretto ANNO DOMINI e AE - tangente al cerchio o. In effetti, è chiaro dalla costruzione che triangoli AOB e AOC isoscele(AO = AB = AC) con basi OB e Sistema operativo, uguale al diametro del cerchio o.

Perché OD e OE sono i raggi, allora D - mezzo OB, un e- mezzo Sistema operativo, significa ANNO DOMINI e AE - mediani attratto alle basi dei triangoli isoscele, e quindi perpendicolare a queste basi. Se diretto DA e EA perpendicolare ai raggi OD e OE, allora lo sono tangenti.

Conseguenza.

Due tangenti disegnate dallo stesso punto al cerchio sono uguali e formano angoli uguali con la linea che collega questo punto con il centro.

Così AD=AE e ∠ OAD = ∠OAE perché triangoli rettangoli AOD e AOE avere un comune ipotenusa AO e uguale gambe OD e OE(come raggi) sono uguali. Si noti che qui la parola "tangente" significa l'effettivo " segmento tangente” dal punto indicato al punto di contatto.

In questo capitolo, torneremo su uno dei principali forme geometriche- al cerchio. Verranno dimostrati vari teoremi relativi ai cerchi, inclusi teoremi sui cerchi inscritti in un triangolo, un quadrilatero e cerchi circoscritti attorno a queste figure. Inoltre, verranno dimostrate tre affermazioni sui punti notevoli di un triangolo: il punto di intersezione delle bisettrici del triangolo, il punto di intersezione delle sue altezze e il punto di intersezione delle bisettrici perpendicolari ai lati del triangolo. Le prime due affermazioni sono state formulate in seconda media e ora saremo in grado di dimostrarle.

Scopriamo quanti punti comuni possono avere una retta e un cerchio, a seconda della loro posizione relativa. È chiaro che se una linea passa per il centro di un cerchio, allora interseca il cerchio in due punti: le estremità del diametro che si trovano su questa linea.

Lascia che la retta p non passi per il centro O di una circonferenza di raggio r. Tracciamo una perpendicolare OH alla retta p e indichiamo con la lettera d la lunghezza di questa perpendicolare, cioè la distanza dal centro di questa circonferenza alla linea (Fig. 211).

Riso. 211

Indaghiamo la posizione relativa della retta e del cerchio, a seconda del rapporto tra d e r. Sono possibili tre casi.

1) d< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

Di conseguenza, i punti A e B giacciono sulla circonferenza e, quindi, sono punti comuni della retta p e della circonferenza data.

Dimostriamo che la retta p e la circonferenza data non hanno altri punti in comune. Supponiamo che abbiano un altro punto in comune C. Quindi la mediana OD triangolo isoscele ABOUT AC, disegnata alla base di AC, è l'altezza di questo triangolo, quindi OD ⊥ p. I segmenti OD e OH non coincidono, poiché il punto medio D del segmento AC non coincide con il punto H - il punto medio del segmento AB. Abbiamo ottenuto che due perpendicolari (segmenti OH e OD) siano tracciate dal punto O alla retta p, cosa impossibile.

Così, se la distanza dal centro del cerchio alla retta è minore del raggio del cerchio (d< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . In questo caso, la retta è detta secante rispetto alla circonferenza.

2) d = r. In questo caso, OH \u003d r, ovvero il punto H giace sul cerchio e, quindi, è un punto comune della linea e del cerchio (Fig. 211.6). La retta p e la circonferenza non hanno altri punti in comune, poiché per ogni punto M della retta p diverso dal punto H, OM > OH = r (l'obliquo OM è maggiore della perpendicolare OH), e quindi , il punto M non giace sulla circonferenza.

Quindi, se la distanza dal centro del cerchio alla linea è uguale al raggio del cerchio, allora la linea e il cerchio hanno un solo punto in comune.

3) d > r. In questo caso, OH > r, quindi, per ogni punto M, la retta p OM ≥ OH > r (Fig. 211, c). Pertanto, il punto M non giace sulla circonferenza.

Quindi, se la distanza dal centro del cerchio alla linea è maggiore del raggio del cerchio, allora la linea e il cerchio non hanno punti in comune.

Tangente al cerchio

Abbiamo dimostrato che una linea e un cerchio possono avere uno o due punti comuni e possono non avere alcun punto comune.

Una retta che ha un solo punto in comune con una circonferenza è detta tangente alla circonferenza e il loro punto comune è detto punto tangente della retta e della circonferenza. Nella figura 212, la retta p è tangente ad una circonferenza di centro O, A è il punto di contatto.

Dimostriamo un teorema sulla proprietà di una tangente ad una circonferenza.

Teorema

Prova

Sia p una tangente a una circonferenza di centro O, e A sia un punto di contatto (vedi Fig. 212). Dimostriamo che la tangente p è perpendicolare al raggio OA.

Riso. 212

Supponiamo che non lo sia. Allora il raggio OA è obliquo rispetto alla linea p. Poiché la perpendicolare tracciata dal punto O alla retta p è minore dell'obliquo OA, la distanza dal centro O del cerchio alla retta p è minore del raggio. Pertanto, la retta p e la circonferenza hanno due punti in comune. Ma questo contraddice la condizione: la retta p è tangente.

Pertanto, la retta p è perpendicolare al raggio OA. Il teorema è stato dimostrato.

Si considerino due tangenti ad una circonferenza di centro O passanti per il punto A e toccanti la circonferenza nei punti B e C (Fig. 213). Verranno chiamati i segmenti AB e AC segmenti di tangenti tracciati da un punto R. Hanno la seguente proprietà:

Riso. 213

Per dimostrare questa affermazione, passiamo alla Figura 213. Secondo il teorema della proprietà della tangente, gli angoli 1 e 2 sono retti, quindi i triangoli ABO e ACO sono rettangoli. Sono uguali, poiché hanno un'ipotenusa OA comune e OB e OS di gambe uguali. Pertanto, AB = AC e ∠3 = ∠4, che doveva essere dimostrato.

Dimostriamo ora un teorema opposto al teorema sulla proprietà tangente (criterio tangente).

Teorema

Prova

Dalle condizioni del teorema segue che il raggio dato è una perpendicolare tracciata dal centro della circonferenza alla retta data. Pertanto, la distanza dal centro del cerchio alla retta è uguale al raggio e, quindi, la retta e il cerchio hanno un solo punto in comune. Ma questo significa anche che la retta data è tangente alla circonferenza. Il teorema è stato dimostrato.

Questo teorema si basa sulla soluzione di problemi sulla costruzione di una tangente. Risolviamo uno di questi problemi.

Un compito

Per un dato punto A di una circonferenza di centro O, traccia una tangente a questa circonferenza.

Soluzione

Tracciamo una retta O A e poi costruiamo una retta p passante per il punto A perpendicolare alla retta O A. In base al criterio di una tangente, la retta p è la tangente richiesta.

Compiti

631. Sia d la distanza dal centro di una circonferenza di raggio r alla retta p. Qual è la posizione relativa della linea p e del cerchio se: a) r = 16 cm, d = 12 cm; b) r = 5 cm, d = 4,2 cm; c) r = 7,2 dm, (2 = 3,7 dm; d) r = 8 cm, d = 1,2 dm; e) r = 5 cm, d = 50 mm?

632. La distanza dal punto A al centro del cerchio è minore del raggio del cerchio. Dimostra che ogni retta passante per il punto A è una secante rispetto alla circonferenza data.

633. Dato un quadrato O ABC, di lato 6 cm, ed una circonferenza centrata nel punto O di raggio 5 cm, quale delle rette OA, AB, BC e AC è secante rispetto a questa circonferenza?

634. Il raggio OM di una circonferenza di centro O divide a metà la corda AB. Dimostrare che la tangente per il punto M è parallela alla corda AB.

635. Per il punto A della circonferenza si tracciano una tangente e una corda uguale al raggio della circonferenza. Trova l'angolo tra di loro.

636. Per le estremità della corda AB, uguali al raggio della circonferenza, si disegnano due tangenti che si intersecano nel punto C. Trovare l'angolo AC B.

637. L'angolo tra il diametro AB e la corda AC è di 30°. Si traccia una tangente per il punto C e interseca la retta AB nel punto D. Dimostrare che il triangolo ACD è isoscele.

638. La retta AB tocca una circonferenza di centro O di raggio r nel punto B. Trova AB se OA = 2 cm e r = 1,5 cm.

639. La retta AB tocca una circonferenza di centro O di raggio r nel punto B. Trova AB se ∠AOB = 60° e r = 12 cm.

640. Si dà una circonferenza di centro O di raggio 4,5 cm e punto A. Si tracciano due tangenti alla circonferenza per il punto A. Trova l'angolo tra di loro se OA = 9 cm.

641. I segmenti AB e AC sono segmenti di tangenti a una circonferenza di centro O tratto dal punto A. Trova l'angolo BAC se il punto medio del segmento AO giace sulla circonferenza.

642. Nella figura 213 OB = 3 cm, CM. = 6 cm Trova AB, AC, ∠3 e ∠4.

643. Le linee AB e AC toccano una circonferenza di centro O nei punti B e C. Trova BC se ∠OAB = 30°, AB = 5 cm.

644. Le rette MA e MB sono tangenti ad una circonferenza di centro O nei punti A e B. Il punto C è simmetrico al punto O rispetto al punto B. Dimostrare che ∠AMC = 3∠BMC.

645. Dalle estremità del diametro AB di una data circonferenza si tirano le perpendicolari AA 1 e BB 1 alla tangente, che non è perpendicolare al diametro AB. Dimostrare che il punto di contatto è il punto medio del segmento A 1 B 1 .

646. Nel triangolo ABC, l'angolo B è retto. Dimostrare che: a) la retta BC è tangente ad una circonferenza di centro A di raggio AB; b) la retta AB è tangente ad una circonferenza di centro C di raggio CB; c) la retta AC non è tangente alle circonferenze di centro B e raggi B A e BC.

647. Il segmento AN è una perpendicolare tracciata dal punto A ad una retta passante per il centro O di una circonferenza di raggio 3 cm La retta AN è tangente alla circonferenza se: a) CM. = 5 cm, AN = 4 cm; b) ∠HAO = 45°, CM = 4 cm; c) ∠HAO = 30°, O A = 6 cm?

648. Costruisci una tangente ad una circonferenza di centro O: a) parallela ad una retta data; b) perpendicolare alla retta data.

Risposte ai compiti