Štúdie
Aký je obvod definície trojuholníka. Obvod trojuholníka zisťujeme rôznymi spôsobmi. Výpočet obvodu trojuholníka pomocou polomeru kružnice, ktorá je do neho vpísaná

Aký je obvod definície trojuholníka. Obvod trojuholníka zisťujeme rôznymi spôsobmi. Výpočet obvodu trojuholníka pomocou polomeru kružnice, ktorá je do neho vpísaná

Obvod je veličina, ktorá vyjadruje dĺžku všetkých strán bytu (dvojrozmerný) geometrický obrazec. Pre rôzne geometrické tvary existujú rôzne spôsoby, ako nájsť obvod.

V tomto článku sa dozviete, ako nájsť obvod tvaru. rôzne cesty v závislosti od známych tvárí.

Možné metódy:

všetky tri strany rovnoramenného alebo akéhokoľvek iného trojuholníka sú známe;
ako nájsť obvod správny trojuholník s dvoma známymi tvárami;
sú známe dve plochy a uhol, ktorý sa medzi nimi nachádza (kosínusový vzorec). stredná čiara a výšky.

Prvá metóda: všetky strany obrázku sú známe

Ako nájsť obvod trojuholníka, keď sú známe všetky tri steny, musíte použiť nasledujúci vzorec: P = a + b + c, kde a,b,c sú známe dĺžky všetkých strán trojuholníka, P je obvod obrázku.

Známe sú napríklad tri strany obrazca: a = 24 cm, b = 24 cm, c = 24 cm Ide o pravidelný rovnoramenný obrazec, na výpočet obvodu použijeme vzorec: P = 24 + 24 + 24 = 72 cm.

Tento vzorec funguje pre akýkoľvek trojuholník, stačí poznať dĺžky všetkých jeho strán. Ak je aspoň jeden z nich neznámy, musíte použiť iné metódy, o ktorých budeme diskutovať nižšie.

Ďalší príklad: a = 15 cm, b = 13 cm, c = 17 cm Vypočítajte obvod: P = 15 + 13 + 17 = 45 cm.

V prijatej odpovedi je veľmi dôležité označiť mernú jednotku. V našich príkladoch sú dĺžky strán v centimetroch (cm), existujú však rôzne úlohy, v ktorých sú prítomné iné merné jednotky.

Druhá metóda: pravouhlý trojuholník a jeho dve známe strany

V prípade, že v úlohe, ktorá sa má vyriešiť, je zadaný obdĺžnikový obrazec, ktorého dĺžky dvoch stien sú známe, ale tretej nie, je potrebné použiť Pytagorovu vetu.

Popisuje vzťah medzi stenami pravouhlého trojuholníka. Vzorec opísaný touto vetou je jednou z najznámejších a najčastejšie používaných teorém v geometrii. Takže tu je samotná veta:

Strany akéhokoľvek pravouhlého trojuholníka sú opísané nasledujúcou rovnicou: a^2 + b^2 = c^2, kde a a b sú nohy obrázku a c je prepona.

Hypotenzia. Vždy sa nachádza oproti pravému uhlu (90 stupňov) a je tiež najdlhšou stranou trojuholníka. V matematike je zvykom označovať preponu písmenom c.
Nohy- sú to strany pravouhlého trojuholníka, ktoré patria do pravého uhla a označujú sa písmenami a a b. Jednou z nôh je aj výška postavy.

Ak teda podmienky úlohy špecifikujú dĺžky dvoch z troch stien takéhoto geometrického útvaru, pomocou Pytagorovej vety je potrebné nájsť rozmer tretej steny a potom použiť vzorec z prvej metódy.

Napríklad poznáme dĺžku 2 nôh: a = 3 cm, b = 5 cm. Dosaďte hodnoty do vety: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c ^2 => c = 5 cm. Prepona takéhoto trojuholníka je teda 5 cm. Mimochodom, uvedený príklad je najbežnejšia a je tzv. Inými slovami, ak sú dve nohy obrázku 3 cm a 4 cm, potom bude prepona 5 cm.

Ak dĺžka jednej z nôh nie je známa, je potrebné vzorec transformovať takto: c^2 - a^2 = b^2. A naopak pre druhú nohu.

Pokračujme v príklade. Teraz sa musíte obrátiť na štandardný vzorec na nájdenie obvodu obrázku: P = a + b + c. V našom prípade: P = 3 + 4 + 5 = 12 cm.

Tretia metóda: dvoma plochami a uhlom medzi nimi

V stredná škola, ako aj univerzitu, najčastejšie sa musíte obrátiť práve na tento spôsob hľadania perimetra. Ak podmienky úlohy špecifikujú dĺžky dvoch strán, ako aj rozmer uhla medzi nimi, potom použite zákon kosínov.

Táto veta sa vzťahuje na absolútne akýkoľvek trojuholník, čo z neho robí jeden z najužitočnejších v geometrii. Samotná veta vyzerá takto: c^2 = a^2 + b^2 - (2 * a * b * cos(C)), kde a, b, c sú štandardné dĺžky plôch a A, B a C sú uhly, ktoré ležia oproti zodpovedajúcim stranám trojuholníka. To znamená, že A je uhol opačnej strany a atď.

Predstavte si, že je opísaný trojuholník, ktorého strany a a b sú 100 cm a 120 cm a uhol medzi nimi je 97 stupňov. To znamená, že a = 100 cm, b = 120 cm, C = 97 stupňov.

Všetko, čo je v tomto prípade potrebné urobiť, je nahradiť všetko známe hodnoty na kosínusovú vetu. Dĺžky známych plôch sa umocnia na druhú, potom sa známe strany vynásobia medzi sebou a dvoma a vynásobia sa kosínusom uhla medzi nimi. Ďalej musíte pridať štvorce tvárí a odpočítať druhú hodnotu získanú z nich. Z výslednej hodnoty sa extrahuje Odmocnina- bude to tretia, predtým neznáma strana.

Po tom, čo sú známe všetky tri tváre postavy, ostáva použiť štandardný vzorec na zistenie obvodu popisovanej postavy z prvého spôsobu, ktorý sme si už zamilovali.

Predbežná informácia

Obvod každého plochého geometrického útvaru v rovine je definovaný ako súčet dĺžok všetkých jeho strán. Trojuholník nie je výnimkou. Najprv uvádzame koncept trojuholníka, ako aj typy trojuholníkov v závislosti od strán.

Definícia 1

Trojuholník nazveme geometrickým útvarom, ktorý je zložený z troch bodov spojených úsečkami (obr. 1).

Definícia 2

Body v rámci Definície 1 sa budú nazývať vrcholy trojuholníka.

Definícia 3

Segmenty v rámci definície 1 sa budú nazývať strany trojuholníka.

Je zrejmé, že každý trojuholník bude mať 3 vrcholy a 3 strany.

V závislosti od pomeru strán k sebe sa trojuholníky delia na skalnaté, rovnoramenné a rovnostranné.

Definícia 4

O trojuholníku sa hovorí, že je zmenšený, ak žiadna z jeho strán nie je rovná inej.

Definícia 5

Trojuholník budeme nazývať rovnoramenný, ak sú jeho dve strany rovnaké, ale nie sú rovné tretej strane.

Definícia 6

Trojuholník sa nazýva rovnostranný, ak sú všetky jeho strany rovnaké.

Všetky typy týchto trojuholníkov môžete vidieť na obrázku 2.

Ako nájsť obvod scalenového trojuholníka?

Dostaneme skalenový trojuholník s dĺžkami strán rovnými $α$, $β$ a $γ$.

záver: Ak chcete zistiť obvod skalnatého trojuholníka, spočítajte všetky dĺžky jeho strán.

Príklad 1

Nájdite obvod scalenového trojuholníka rovný $34$ cm, $12$ cm a $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Odpoveď: 57 dolárov viď.

Príklad 2

Nájdite obvod pravouhlého trojuholníka, ktorého nohy sú $ 6 $ a $ 8 $ cm.

Najprv zistíme dĺžku prepony tohto trojuholníka pomocou Pytagorovej vety. Označte ho teda $α$

$α=10$ Podľa pravidla pre výpočet obvodu scalenového trojuholníka dostaneme

$P=10+8+6=24$ cm

Odpoveď: 24 dolárov viď.

Ako nájsť obvod rovnoramenného trojuholníka?

Dostaneme rovnoramenný trojuholník, ktorého dĺžky strán budú rovné $α$ a dĺžka základne $β$.

Definíciou obvodu plochého geometrického útvaru dostaneme to

$P=α+α+β=2α+β$

záver: Ak chcete nájsť obvod rovnoramenný trojuholník pridajte dvojnásobok dĺžky jeho strán k dĺžke jeho základne.

Príklad 3

Nájdite obvod rovnoramenného trojuholníka, ak jeho strany sú $ 12 $ cm a jeho základňa je $ 11 $ cm.

Z vyššie uvedeného príkladu to vidíme

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Odpoveď: 35 dolárov viď.

Príklad 4

Nájdite obvod rovnoramenného trojuholníka, ak jeho výška prikreslená k základni je $8$ cm a základňa je $12$ cm.

Zvážte obrázok podľa stavu problému:

Keďže trojuholník je rovnoramenný, $BD$ je tiež medián, teda $AD=6$ cm.

Podľa Pytagorovej vety z trojuholníka $ADB$ nájdeme stranu. Označte ho teda $α$

Podľa pravidla pre výpočet obvodu rovnoramenného trojuholníka dostaneme

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Odpoveď: 32 dolárov viď.

Ako zistiť obvod rovnostranného trojuholníka?

Nech nám je dané rovnostranný trojuholník, pre ktoré budú dĺžky všetkých strán rovné $α$.

Definíciou obvodu plochého geometrického útvaru dostaneme to

$P=α+α+α=3α$

záver: Ak chcete zistiť obvod rovnostranného trojuholníka, vynásobte dĺžku strany trojuholníka 3 $.

Príklad 5

Nájdite obvod rovnostranného trojuholníka, ak jeho strana je $12$ cm.

Z vyššie uvedeného príkladu to vidíme

$P=3\cdot 12=36$ cm

Ako zistiť obvod trojuholníka? Túto otázku si položil každý z nás počas štúdia na škole. Pokúsme sa zapamätať si všetko, čo vieme o tejto úžasnej postave, ako aj odpovedať na položenú otázku.

Odpoveď na otázku, ako zistiť obvod trojuholníka, je zvyčajne pomerne jednoduchá - stačí vykonať postup sčítania dĺžok všetkých jeho strán. Existuje však niekoľko jednoduchších metód požadovanej hodnoty.

Poradenstvo

V prípade, že je známy polomer (r) kružnice vpísanej do trojuholníka a jeho obsah (S), potom je odpoveď na otázku, ako zistiť obvod trojuholníka, pomerne jednoduchá. Ak to chcete urobiť, musíte použiť obvyklý vzorec:

Ak sú známe dva uhly, povedzme, α a β, ktoré susedia so stranou, a dĺžka samotnej strany, potom možno obvod nájsť pomocou veľmi, veľmi obľúbeného vzorca, ktorý vyzerá takto:

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + a

Ak poznáte dĺžky susedných strán a uhol β medzi nimi, potom na nájdenie obvodu musíte použiť kosínusovú vetu. Obvod sa vypočíta podľa vzorca:

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),

kde b2 a a2 sú druhé mocniny dĺžok susedných strán. Radikálny výraz je dĺžka tretej strany, ktorá nie je známa, vyjadrená pomocou kosínusovej vety.

Ak neviete, ako nájsť obvod rovnoramenného trojuholníka, potom v skutočnosti nie je nič zložité. Vypočítajte to pomocou vzorca:

kde b je základňa trojuholníka a a sú jeho strany.

Ak chcete nájsť obvod pravidelného trojuholníka, použite najjednoduchší vzorec:

kde a je dĺžka strany.

Ako nájsť obvod trojuholníka, ak sú známe iba polomery kružníc, ktoré sú okolo neho popísané alebo do neho vpísané? Ak je trojuholník rovnostranný, mal by sa použiť vzorec:

P = 3R√3 = 6r√3,

kde R a r sú polomery opísanej a vpísanej kružnice.

Ak je trojuholník rovnoramenný, platí preň vzorec:

P=2R (sinβ + 2sinα),

kde α je uhol, ktorý leží pri základni a β je uhol, ktorý je oproti základni.

Často riešiť matematické problémy Vyžaduje sa hĺbková analýza a špecifická schopnosť nájsť a odvodiť požadované vzorce, a to, ako mnohí vedia, je dosť náročná práca. Aj keď niektoré problémy možno vyriešiť iba jedným jediným vzorcom.

Pozrime sa na vzorce, ktoré sú základom pre odpoveď na otázku, ako nájsť obvod trojuholníka, vo vzťahu k najrozmanitejším typom trojuholníkov.

Samozrejme, hlavným pravidlom na nájdenie obvodu trojuholníka je toto tvrdenie: ak chcete nájsť obvod trojuholníka, musíte pridať dĺžky všetkých jeho strán pomocou vhodného vzorca:

kde b, a a c sú dĺžky strán trojuholníka a P je obvod trojuholníka.

Existuje niekoľko špeciálnych prípadov tohto vzorca. Povedzme, že váš problém je formulovaný takto: "ako nájsť obvod pravouhlého trojuholníka?" V tomto prípade by ste mali použiť nasledujúci vzorec:

P = b + a + √(b2 + a2)

V tomto vzorci sú b a a priame dĺžky ramien pravouhlého trojuholníka. Je ľahké uhádnuť, že namiesto strany c (hypotenúza) sa používa výraz získaný vetou veľkého vedca staroveku Pytagorasa.

Ak chcete vyriešiť problém, kde sú trojuholníky podobné, potom by bolo logické použiť toto tvrdenie: pomer obvodov zodpovedá koeficientu podobnosti. Povedzme, že máte dva podobné trojuholníky – ∆ABC a ∆A1B1C1. Potom, aby sme našli koeficient podobnosti, je potrebné rozdeliť obvod ΔABC obvodom ΔA1B1C1.

Na záver možno poznamenať, že obvod trojuholníka možno nájsť pomocou rôznych metód v závislosti od počiatočných údajov, ktoré máte. Treba dodať, že pre pravouhlé trojuholníky existujú špeciálne prípady.

Poradenstvo

Ak sú známe dva uhly, povedzme, α a β, ktoré susedia so stranou, a dĺžka samotnej strany, potom možno obvod nájsť pomocou veľmi, veľmi obľúbeného vzorca, ktorý vyzerá takto:

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + a

Ak poznáte dĺžky susedných strán a uhol β medzi nimi, potom na nájdenie obvodu musíte použiť obvod vypočítaný podľa vzorca:

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),

kde b2 a a2 sú druhé mocniny dĺžok susedných strán. Radikálny výraz je dĺžka tretej strany, ktorá nie je známa, vyjadrená pomocou kosínusovej vety.

Ak neviete, ako nájsť obvod, potom v skutočnosti nie je nič ťažké. Vypočítajte to pomocou vzorca:

kde b je základňa trojuholníka a a sú jeho strany.

Ak chcete nájsť obvod pravidelného trojuholníka, použite najjednoduchší vzorec:

kde a je dĺžka strany.

Ako nájsť obvod trojuholníka, ak sú známe iba polomery kružníc, ktoré sú okolo neho popísané alebo do neho vpísané? Ak je trojuholník rovnostranný, mal by sa použiť vzorec:

P = 3R√3 = 6r√3,

kde R a r sú polomery opísanej a vpísanej kružnice.

Ak je trojuholník rovnoramenný, platí preň vzorec:

P=2R (sinβ + 2sinα),

kde α je uhol, ktorý leží pri základni a β je uhol, ktorý je oproti základni.

Na riešenie matematických problémov je často potrebná hĺbková analýza a špecifická schopnosť nájsť a odvodiť požadované vzorce, a to, ako mnohí vedia, je dosť náročná práca. Aj keď niektoré problémy možno vyriešiť iba jedným jediným vzorcom.

Pozrime sa na vzorce, ktoré sú základom pre odpoveď na otázku, ako nájsť obvod trojuholníka, vo vzťahu k najrozmanitejším typom trojuholníkov.

Samozrejme, hlavným pravidlom na nájdenie obvodu trojuholníka je toto tvrdenie: ak chcete nájsť obvod trojuholníka, musíte pridať dĺžky všetkých jeho strán pomocou vhodného vzorca:

kde b, a a c sú dĺžky strán trojuholníka a P je obvod trojuholníka.

P = b + a + √(b2 + a2)

Obsah:

Obvod je celková dĺžka hraníc 2D tvaru. Ak chcete nájsť obvod trojuholníka, musíte pridať dĺžky všetkých jeho strán; ak nepoznáte dĺžku aspoň jednej strany trojuholníka, musíte ju nájsť. Tento článok vám povie (a) ako nájsť obvod trojuholníka vzhľadom na tri známe strany; (b) ako nájsť obvod pravouhlého trojuholníka, keď sú známe len dve strany; (c) ako nájsť obvod ľubovoľného trojuholníka, keď sú dané dve strany a uhol medzi nimi (pomocou kosínusového zákona).

Kroky

1 Na troch daných stranách

1 Ak chcete zistiť obvod, použite vzorec: P \u003d a + b + c, kde a, b, c sú dĺžky troch strán, P je obvod.
2 Nájdite dĺžky všetkých troch strán. V našom príklade: a = 5, b = 5, c = 5.
- Je to rovnostranný trojuholník, pretože všetky tri strany majú rovnakú dĺžku. Ale vyššie uvedený vzorec platí pre akýkoľvek trojuholník.
3 Pridajte dĺžky všetkých troch strán, aby ste našli obvod. V našom príklade: 5 + 5 + 5 = 15, teda P = 15.
- Ďalší príklad: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
4 Vo svojej odpovedi nezabudnite uviesť mernú jednotku. V našom príklade sú strany merané v centimetroch, takže vaša konečná odpoveď musí obsahovať aj centimetre (alebo jednotky uvedené v probléme).
- V našom príklade má každá strana 5 cm, takže konečná odpoveď je P = 15 cm.

2 Sú dané dve strany pravouhlého trojuholníka

1 Pamätajte na Pytagorovu vetu. Táto veta popisuje vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka a je jednou z najznámejších a najpoužívanejších teorémov v matematike. Veta hovorí, že v akomkoľvek pravouhlom trojuholníku sú strany spojené nasledujúcim vzťahom: a 2 + b 2 \u003d c 2, kde a, b sú nohy, c je prepona.
2 Nakreslite trojuholník a označte strany ako a, b, c. Najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka je prepona. Leží oproti pravému uhlu. Označte preponu ako "c". Nohy (strany susediace s pravým uhlom) sú označené ako "a" a "b".
3 Dosaďte hodnoty známych strán do Pytagorovej vety (a 2 + b 2 = c 2). Namiesto písmen nahraďte čísla uvedené v podmienke problému.
- Napríklad a = 3 a b = 4. Dosaďte tieto hodnoty do Pytagorovej vety: 3 2 + 4 2 = c 2 .
- Ďalší príklad: a = 6 a c = 10. Potom: 6 2 + b 2 = 10 2
4 Vyriešte výslednú rovnicu a nájdite neznámu stranu. Aby ste to urobili, najprv odmocnite známe dĺžky strán (stačí vynásobiť číslo, ktoré vám bolo pridelené). Ak hľadáte preponu, pridajte druhé mocniny oboch strán a vezmite druhú odmocninu výsledného súčtu. Ak hľadáte nohu, odčítajte druhú mocninu známej nohy od druhej mocniny prepony a vezmite druhú odmocninu výsledného kvocientu.
- V prvom príklade: 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 \u003d c 2; 25=c2; √25 = s. Takže c = 25.
- V druhom príklade: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 \u003d 100. Preneste 36 na pravú stranu rovnice a získajte: b 2 \u003d 64; b = √64. Takže b = 8.
5
- V našom prvom príklade: P = 3 + 4 + 5 = 12.
- V našom druhom príklade: P = 6 + 8 + 10 = 24.

3 Podľa dvoch daných strán a uhla medzi nimi

1 Akákoľvek strana trojuholníka sa dá nájsť pomocou zákona kosínusov, ak dostanete dve strany a uhol medzi nimi. Táto veta platí pre všetky trojuholníky a je to veľmi užitočný vzorec. Kosínusová veta: c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2abcos (C), kde a, b, c sú strany trojuholníka, A, B, C sú uhly oproti zodpovedajúcim stranám trojuholníka.
2 Nakreslite trojuholník a označte strany ako a, b, c; označte uhly oproti zodpovedajúcim stranám ako A, B, C (to znamená uhol oproti strane „a“, označte ho ako „A“ atď.).
- Napríklad trojuholník so stranami 10 a 12 a uhlom medzi nimi 97°, teda a = 10, b = 12, C = 97°.
3 Nahraďte hodnoty, ktoré vám boli pridelené, do vzorca a nájdite neznámu stranu "c". Najprv utvorte štvorec dĺžok známych strán a pridajte výsledné hodnoty. Potom nájdite kosínus uhla C (pomocou kalkulačky alebo online kalkulačky). Vynásobte dĺžky známych strán kosínusom daného uhla a 2 (2abcos(C)). Odčítajte výslednú hodnotu od súčtu druhých mocnín oboch strán (a 2 + b 2) a dostanete c 2 . Zoberte druhú odmocninu tejto hodnoty a zistite dĺžku neznámej strany "c". V našom príklade:
- c 2 \u003d 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos (97)
- c 2 \u003d 100 + 144 - (240 × -0,12187)
- c 2 \u003d 244 - (-29,25)
- c2 = 244 + 29,25
- c2 = 273,25
- c = 16,53
4 Pridajte dĺžky troch strán, aby ste našli obvod. Pripomeňme, že obvod sa vypočíta podľa vzorca: P = a + b + c.
- V našom príklade: P = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.