Príklady koreňa n-tého stupňa pre sebarozhodovanie. Odmocnina. Vyčerpávajúci sprievodca (2019). Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Ak chcete úspešne použiť operáciu extrakcie koreňa v praxi, musíte sa oboznámiť s vlastnosťami tejto operácie.
Všetky vlastnosti sú formulované a preukázané len pre nezáporné hodnoty premenných obsiahnutých v koreňových znakoch.
Veta 1. Koreň n-tý stupeň (n=2, 3, 4,...) zo súčinu dvoch nezáporných čipsetov sa rovná súčinu korene n-tého stupňa z týchto čísel:
komentár:
1.
Veta 1 zostáva v platnosti pre prípad, keď je radikálový výraz súčinom viac ako dvoch nezáporných čísel.
Veta 2.Ak,
a n- prirodzené číslo väčšie ako 1, potom rovnosť
Stručný(hoci nepresná) formulácia, ktorá je v praxi vhodnejšia: koreň zlomku sa rovná zlomku koreňov.
Veta 1 nám umožňuje vynásobiť m len korene rovnakého stupňa
, t.j. iba korene s rovnakým exponentom.
Veta 3. Ak ,k je prirodzené číslo a n je prirodzené číslo väčšie ako 1, potom rovnosť
Inými slovami, na pozdvihnutie koreňa k prirodzenej sile stačí povýšiť koreňový výraz na túto silu.
Toto je dôsledok vety 1. Skutočne, napríklad pre k = 3 dostaneme prírodná hodnota ukazovateľ k.
Veta 4. Ak ,k, n sú prirodzené čísla väčšie ako 1, potom rovnosť
Inými slovami, na extrahovanie koreňa z koreňa stačí vynásobiť exponenty koreňov.
Napríklad,
Buď opatrný! Dozvedeli sme sa, že s koreňmi možno vykonať štyri operácie: násobenie, delenie, umocňovanie a extrakciu odmocniny (z koreňa). Ale čo sčítanie a odčítanie koreňov? V žiadnom prípade.
Napríklad nemôžete písať namiesto Skutočne, ale je zrejmé, že
Veta 5. Ak ukazovatele koreňa a koreňového výrazu sa vynásobia alebo vydelia rovnakým prirodzeným číslom, potom sa hodnota koreňa nezmení, t.j.
Príklady riešenia problémov
Príklad 1 Vypočítajte
Riešenie. Pomocou prvej vlastnosti koreňov (veta 1) dostaneme:
Príklad 2 Vypočítajte
Riešenie. Reverzibilné zmiešané číslo do nevhodnej frakcie.
Máme Použitie druhej vlastnosti koreňov ( veta 2
), dostaneme:
Príklad 3 Vypočítať: 
Riešenie. Akýkoľvek vzorec v algebre, ako dobre viete, sa používa nielen „zľava doprava“, ale aj „sprava doľava“. Takže prvá vlastnosť koreňov znamená, že môže byť reprezentovaná ako a naopak môže byť nahradená výrazom. To isté platí pre druhú vlastnosť koreňov. S ohľadom na to urobme výpočty.
TÉMA: Funkcia napájania. Root n-tý stupeň
CIEĽ:
Opakovanie preberanej látky počas hry, vedomá asimilácia týchto tém.
Výchova k zodpovednosti, pozornosti, tréning pamäti.
Rozvoj vynaliezavosti, vynaliezavosti. Podporovať rozvoj kognitívneho záujmu o matematiku.
ČAS ORGANIZÁCIE
Zazvonil zvonček. Deti si sadli na svoje miesta. Učiteľ kladie otázky študentom a tí na otázky odpovedajú zdvihnutím rúk:
Môžete nám povedať, čo sme sa učili v posledných lekciách? ( tému túto lekciu deti sa pomenúvajú)
Čo si myslíte, že je cieľom našej dnešnej lekcie? ( Cieľ hodiny sa deti snažia sformulovať samy, učiteľ ho iba opravuje)
Vitajte v krajine"Matematika "! Do krajiny logaritmov, jednoduchých výpočtov, koreňov, erekcií a rovníc! Cestovanie po celej krajineMatematici "Sú odoslané 2 príkazy:" ROOT "," DEGREE ", cesta bude prebiehať pod mottom (vopred napísané na tabuli ): „KNIHA JE KNIHA, A POHYB SVOJM MOZOM“ (V.V. Majakovskij). Členovia tímu budú za správne odpovede odmenení „červenými kartami“.
1. Budovanie tímu
Každý žiak pri vchode do kabinetu dostal kartičku, na ktorej je napísaný vzorec funkcie (každý má iný). Každý študent určí, ktorú funkciu má, párnu alebo nepárnu, ak párnu - príkaz „ROOT“, nepárne – „DEGREE“.
Možnosti funkcií:f(X)=
,
f(X)=
f(x)= 
, f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
, f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(X)=
f(X)=
f(X)=
f(X)=
2. Voľba veliteľa každého tímu
ÚLOHA: vyriešte a obhájte svoju odpoveď (veliteľ musí vedieť rýchlo premýšľať a byť zodpovedný za všetko); pre ktoré hodnoty premennej má výraz zmysel ( výrazy sú vopred napísané na tabuľu) :
|
Odpoveď: -8≤ x Odpoveď: -11≤ x
3. Zahrejte sa
Za každú správnu odpoveď - 1 karta ( tímy začínajú skórovať). Učiteľ prečíta úlohu, žiaci odpovedajú.
Aritmetika a podpíšem sa
V knihe problémov ma nájdete v mnohých riadkoch.
Iba "o" vložíte do slova, viete ako,
A ja som geografický bod. (+, pól)
Som číslo menšie ako desať
Je pre vás ľahké nájsť ma.
Ale ak prikážete, aby písmeno "I" stálo vedľa vás,
Som všetko - otec a ty, starý otec a matka. (sedem, rodina)
4. Pokračujeme v ceste a na našej ceste je obrovská stena, na ktorej je napísaná úloha (vopred pripravte plagát vo forme steny
): vypočítať: 
na prekonanie tejto steny je potrebné vyriešiť túto úlohu, ktorý tím rozhodne, že bude získavať body.(0,7+0,3=1)
1) vlastnosti mocninovej funkcie s n - párne;
2) vlastnosti mocninnej funkcie s n - nepárne.
6. Najbližším testom pre nás bude súťaž „UKÁŽ SA“. Podmienky súťaže: každý člen tímu ide postupne k hracej ploche a rieši ľubovoľnú úlohu podľa vlastného výberu, vyhráva tím, ktorý ako prvý splní úlohy.
7. Tímy si navzájom pripravia otázky. Za správnu odpoveď a originalitu získajte body.
8. VÝSLEDOK. CENA. Každý tím sa pripravuje záverečné slovo, ktorý odhaľuje otázky: čo bolo užitočné pre každý tím a jednotlivých zástupcov dnešná hodina, komentáre k hodine a učiteľovi. Známkovanie s komentármi (pre akú aktivitu a prečo).
Musíme sa oboznámiť s vlastnosťami tejto operácie, čo urobíme v tejto časti.
Všetky vlastnosti sú formulované a preukázané len pre nezáporné hodnoty premenných obsiahnutých v koreňových znakoch.
Dôkaz. Predstavme si nasledujúci zápis: 
Musíme dokázať, že pre nezáporné čísla x, y, z platí rovnosť x-yz.
Pretože
Takže, ak sú stupne dvoch nezáporných čísel rovnaké a exponenty sú rovnaké, potom sú rovnaké aj základy stupňa; teda z rovnosti x n \u003d (yz) p vyplýva, že x-yz, a to bolo potrebné dokázať.
Uvádzame stručný záznam dôkazu vety.
Poznámky:
1.
Veta 1 zostáva v platnosti pre prípad, keď je radikálový výraz súčinom viac ako dvoch nezáporných čísel.
2.
Veta 1 sa dá sformulovať pomocou konštrukcie „ak...tak“ (ako je zvykom pri vetách v matematike). Uveďme zodpovedajúcu formuláciu: ak a a b sú nezáporné čísla, potom platí rovnosť. nasledujúcu vetu presne týmto spôsobom.
Krátka (aj keď nepresná) formulácia, ktorá je v praxi vhodnejšia: koreň of zlomky sa rovná zlomku koreňov.
Dôkaz. Poskytujeme krátky záznam dôkazu vety 2 a vy sa pokúsite uviesť príslušné komentáre podobné tým, ktoré sú uvedené v dôkaze vety 1.
Vy ste, samozrejme, venovali pozornosť tomu, že osvedčené dve vlastnosti koreňov n-tý stupeň sú zovšeobecnením vlastností, ktoré poznáte z kurzu algebry 8. triedy odmocniny. A keby neexistovali žiadne iné vlastnosti n-tých koreňov, potom by bolo všetko jednoduché (a nie veľmi zaujímavé). V skutočnosti existuje niekoľko ďalších zaujímavých a dôležité vlastnosti o ktorých budeme diskutovať v tejto časti. Najprv sa však pozrime na niekoľko príkladov použitia viet 1 a 2.
Príklad 1 Vypočítajte
Riešenie. Pomocou prvej vlastnosti koreňov (veta 1) dostaneme:
Poznámka 3. Tento príklad môžete, samozrejme, vyriešiť aj inak, najmä ak máte po ruke mikrokalkulačku: vynásobte čísla 125, 64 a 27 a potom z výsledného produktu vytiahnite odmocninu. Ale vidíte, navrhované riešenie je „inteligentnejšie“.
Príklad 2 Vypočítajte
Riešenie. Preveďte zmiešané číslo na nesprávny zlomok.
Máme Pomocou druhej vlastnosti koreňov (Veta 2) dostaneme:
Príklad 3 Vypočítať: 
Riešenie. Akýkoľvek vzorec v algebre, ako dobre viete, sa používa nielen „zľava doprava“, ale aj „sprava doľava“. Takže prvá vlastnosť koreňov znamená, že môže byť reprezentovaná ako a naopak môže byť nahradená výrazom. To isté platí pre druhú vlastnosť koreňov. S ohľadom na to urobme výpočty:
Príklad 4 Spustiť akcie:
Riešenie, a) Máme:
b) Veta 1 nám umožňuje násobiť len korene rovnakého stupňa, t.j. iba korene s rovnakým exponentom. Tu sa tiež navrhuje vynásobiť koreň 2. stupňa z čísla a odmocninou 3. stupňa toho istého čísla. Ako to urobiť, zatiaľ nevieme. K tomuto problému sa vrátime neskôr.
Pokračujme v štúdiu vlastností radikálov.
Inými slovami, na pozdvihnutie koreňa k prirodzenej sile stačí povýšiť koreňový výraz na túto silu.
Toto je dôsledok vety 1. Skutočne napríklad pre k = 3 dostaneme
Inými slovami, na extrahovanie koreňa z koreňa stačí vynásobiť exponenty koreňov.
Napríklad,
Dôkaz. Rovnako ako vo vete 2 uvádzame stručný záznam dôkazu a môžete sa pokúsiť urobiť príslušné komentáre sami, podobné tým, ktoré sú uvedené v dôkaze vety 1.
Poznámka 4. Poďme sa nadýchnuť. Čo sme sa naučili z overených teorémov? Dozvedeli sme sa, že s koreňmi možno vykonať štyri operácie: násobenie, delenie, umocňovanie a extrakciu odmocniny (z koreňa). Ale čo sčítanie a odčítanie koreňov? V žiadnom prípade. Hovorili sme o tom ešte v 8. ročníku o operácii extrakcie druhej odmocniny.
Napríklad nemôžete písať namiesto Skutočne, ale je zrejmé, že Buďte opatrní!
Snáď najzaujímavejšia vlastnosť koreňov je tá, o ktorej bude reč v ďalšej vete. Vzhľadom na osobitný význam tejto vlastnosti si dovoľujeme porušiť určitý štýl formulácií a dôkazov vyvinutých v tejto časti, aby bola formulácia vety 5 trochu "mäkšia" a jej dôkaz bol zrozumiteľnejší.
Napríklad:
(ukazovatele výrazu koreňa a koreňa delené 4);
(ukazovatele výrazu koreňa a koreňa delené 3);
(ukazovatele koreňovej a radikálovej expresie boli vynásobené 2).
Dôkaz. Označme ľavú stranu rovnosti, ktorú treba dokázať písmenom Potom, definíciou koreňa, rovnosť
Označte pravú stranu preukazovanej totožnosti písmenom y:
Potom, podľa definície koreňa, rovnosť
Uveďme obe časti poslednej rovnosti na rovnakú mocninu p; dostaneme:
Takže (pozri rovnosť (1) a (2)),
Porovnaním týchto dvoch rovností dospejeme k záveru, že x np = y np, a teda x = y, čo sa malo dokázať.
Dokázaná veta nám umožní vyriešiť problém, s ktorým sme sa stretli vyššie pri riešení príkladu 5, kde bolo potrebné vykonať násobenie koreňov s rôznymi exponentmi:
Takto sa v takýchto prípadoch bežne argumentuje.
1) Podľa vety 5 vo výraze je možné vynásobiť aj koreňový index (t. j. číslo 2) aj index koreňového výrazu (t. j. číslo 1) rovnakým prirodzeným číslom. Pomocou toho vynásobíme oba ukazovatele 3; dostaneme:
2) Podľa vety 5 je možné vo výraze vynásobiť aj koreňový index (t. j. číslo 3) aj index koreňového výrazu (t. j. číslo 1) rovnakým prirodzeným číslom. Pomocou toho vynásobíme oba ukazovatele 2; dostaneme:
3) Keďže máme korene rovnakého 6. stupňa, môžeme ich vynásobiť:
Poznámka 5. Zabudli ste, že všetky vlastnosti koreňov, o ktorých sme hovorili v tomto odseku, zvažujeme iba pre prípad, keď premenné nadobúdajú iba nezáporné hodnoty? Prečo ste museli urobiť takéto obmedzenie? Pretože n-tý koreň stupeň od záporného čísla nie vždy dáva zmysel - je definovaný len pre nepárne hodnoty n. Pre takéto hodnoty koreňového exponentu platia uvažované vlastnosti koreňov aj v prípade záporných radikálových výrazov.
A.G. Mordkovičova algebra 10. ročník
Obsah lekcie zhrnutie lekcie podpora rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia samoskúšobné workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, schémy humor, anekdoty, vtipy, komiksové podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky čipy pre zvedavých cheat sheets učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici prvky inovácie v lekcii nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok usmernenia diskusné programy Integrované lekcie