Najmenšia a najväčšia hodnota derivátu. Derivácia funkcie. Geometrický význam derivácie. Úlohy na určenie charakteristík funkcie z grafu jej derivácie
V úlohe B9 je uvedený graf funkcie alebo derivácie, z ktorého je potrebné určiť jednu z nasledujúcich veličín:
- Hodnota derivátu v určitom bode x 0,
- Vysoké alebo nízke body (extrémne body),
- Intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií (intervaly monotónnosti).
Funkcie a derivácie uvedené v tejto úlohe sú vždy spojité, čo značne zjednodušuje riešenie. Napriek tomu, že úloha patrí do oddielu matematická analýza, je to celkom v silách aj tých najslabších študentov, keďže tu nie sú potrebné žiadne hlboké teoretické znalosti.
Na nájdenie hodnoty derivácie, extrémnych bodov a intervalov monotónnosti existujú jednoduché a univerzálne algoritmy – o všetkých sa bude diskutovať nižšie.
Pozorne si prečítajte stav problému B9, aby ste neurobili hlúpe chyby: niekedy sa vyskytujú pomerne objemné texty, ale existuje len málo dôležitých podmienok, ktoré ovplyvňujú priebeh riešenia.
Výpočet hodnoty derivátu. Dvojbodová metóda
Ak je problému daný graf funkcie f(x), dotyčnica k tomuto grafu v určitom bode x 0 , a je potrebné nájsť hodnotu derivácie v tomto bode, použije sa nasledujúci algoritmus:
- Nájdite dva „adekvátne“ body na grafe dotyčníc: ich súradnice musia byť celé číslo. Označme tieto body ako A (x 1 ; y 1) a B (x 2 ; y 2). Zapíšte si súradnice správne – to je kľúčový bod riešenia a akákoľvek chyba tu vedie k nesprávnej odpovedi.
- Keď poznáme súradnice, je ľahké vypočítať prírastok argumentu Δx = x 2 − x 1 a prírastok funkcie Δy = y 2 − y 1 .
- Nakoniec nájdeme hodnotu derivácie D = Δy/Δx. Inými slovami, musíte vydeliť prírastok funkcie prírastkom argumentu - a toto bude odpoveď.
Ešte raz poznamenávame: body A a B treba hľadať presne na dotyčnici, a nie na grafe funkcie f(x), ako sa to často stáva. Dotyčnica bude nevyhnutne obsahovať aspoň dva takéto body, inak je problém formulovaný nesprávne.
Zvážte body A (−3; 2) a B (−1; 6) a nájdite prírastky:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.
Zistime hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Úloha. Obrázok ukazuje graf funkcie y \u003d f (x) a dotyčnicu k nej v bode s os x 0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x 0 .
Zvážte body A (0; 3) a B (3; 0), nájdite prírastky:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.
Teraz nájdeme hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Úloha. Obrázok ukazuje graf funkcie y \u003d f (x) a dotyčnicu k nej v bode s os x 0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x 0 .
Zvážte body A (0; 2) a B (5; 2) a nájdite prírastky:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Ay = y2 - y1 = 2 - 2 = 0.
Zostáva nájsť hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Z posledného príkladu môžeme sformulovať pravidlo: ak je dotyčnica rovnobežná s osou OX, derivácia funkcie v bode dotyku sa rovná nule. V tomto prípade ani nemusíte nič počítať - stačí sa pozrieť na graf.
Výpočet vysokých a nízkych bodov
Niekedy sa namiesto grafu funkcie v úlohe B9 uvádza derivačný graf a je potrebné nájsť maximálny alebo minimálny bod funkcie. V tomto scenári je dvojbodová metóda zbytočná, ale existuje iný, ešte jednoduchší algoritmus. Najprv si definujme terminológiu:
- Bod x 0 sa nazýva maximálny bod funkcie f(x), ak v niektorom okolí tohto bodu platí nerovnosť: f(x 0) ≥ f(x).
- Bod x 0 sa nazýva minimálny bod funkcie f(x), ak v niektorom okolí tohto bodu platí nerovnosť: f(x 0) ≤ f(x).
Aby ste našli maximum a minimum bodov na grafe derivácie, stačí vykonať nasledujúce kroky:
- Prekreslite graf derivácie a odstráňte všetky nepotrebné informácie. Ako ukazuje prax, dodatočné údaje len narúšajú riešenie. Na súradnicovej osi preto označíme nuly derivácie – a je to.
- Zistite znamienka derivácie na intervaloch medzi nulami. Ak je pre nejaký bod x 0 známe, že f'(x 0) ≠ 0, potom sú možné len dve možnosti: f'(x 0) ≥ 0 alebo f'(x 0) ≤ 0. Znamienko derivácie je ľahko určiť z pôvodného nákresu: ak derivačný graf leží nad osou OX, potom f'(x) ≥ 0. Naopak, ak derivačný graf leží pod osou OX, potom f'(x) ≤ 0.
- Opäť skontrolujeme nuly a znamienka derivácie. Tam, kde sa znamienko zmení z mínus na plus, je minimálny bod. Naopak, ak sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus, ide o maximálny bod. Počítanie sa vždy vykonáva zľava doprava.
Táto schéma funguje len pre spojité funkcie - v probléme B9 nie sú žiadne iné.
Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na segmente [−5; 5]. Nájdite minimálny bod funkcie f(x) na tomto segmente.
Zbavme sa nepotrebných informácií – ponecháme len hranice [−5; 5] a nuly derivácie x = −3 a x = 2,5. Všimnite si tiež znaky:
Je zrejmé, že v bode x = −3 sa znamienko derivácie zmení z mínus na plus. Toto je minimálny bod.
Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−3; 7]. Nájdite maximálny bod funkcie f(x) na tomto segmente.
Prekreslíme graf a ponecháme len hranice [−3; 7] a nuly derivácie x = −1,7 a x = 5. Všimnite si znamienka derivácie na výslednom grafe. Máme:
Je zrejmé, že v bode x = 5 sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus - to je maximálny bod.
Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−6; štyri]. Nájdite maximálny počet bodov funkcie f(x), ktoré patria do intervalu [−4; 3].
Z podmienok úlohy vyplýva, že stačí uvažovať len časť grafu ohraničenú úsečkou [−4; 3]. Preto staviame nový rozvrh, na ktorom vyznačíme len hranice [−4; 3] a nuly derivácie v ňom. Konkrétne body x = −3,5 a x = 2. Dostaneme:
Na tomto grafe je len jeden maximálny bod x = 2. Práve v ňom sa mení znamienko derivácie z plusu na mínus.
Malá poznámka o bodoch s neceločíselnými súradnicami. Napríklad v poslednej úlohe bol uvažovaný bod x = −3,5, ale s rovnakým úspechom môžeme vziať x = −3,4. Ak je problém formulovaný správne, takéto zmeny by nemali ovplyvniť odpoveď, keďže body „bez trvalého bydliska“ nie sú priamo zahrnuté do riešenia problému. Samozrejme, s celočíselnými bodmi takýto trik nebude fungovať.
Hľadanie intervalov nárastu a poklesu funkcie
V takom probléme, ako sú body maxima a minima, sa navrhuje nájsť oblasti, v ktorých samotná funkcia rastie alebo klesá z grafu derivácie. Najprv definujme, čo sú vzostupné a zostupné:
- Funkcia f(x) sa nazýva rastúca na segmente, ak pre ľubovoľné dva body x 1 a x 2 z tohto segmentu platí tvrdenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Inými slovami, čím väčšia je hodnota argumentu, tým väčšia je hodnota funkcie.
- Funkciu f(x) na úsečke nazývame klesajúcou, ak pre ľubovoľné dva body x 1 a x 2 z tejto úsečky platí: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tie. väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.
Formulujeme dostatočné podmienky na zvýšenie a zníženie:
- Aby sa spojitá funkcia f(x) na segmente zväčšila, stačí, aby jej derivácia vo vnútri segmentu bola kladná, t.j. f'(x) ≥ 0.
- Aby sa spojitá funkcia f(x) znížila na segmente , stačí, aby jej derivácia v segmente bola záporná, t.j. f'(x) ≤ 0.
Tieto tvrdenia prijímame bez dôkazov. Získame tak schému na nájdenie intervalov nárastu a poklesu, ktorá je v mnohom podobná algoritmu na výpočet extrémnych bodov:
- Odstráňte všetky nadbytočné informácie. Na pôvodnom grafe derivácie nás primárne zaujímajú nuly funkcie, preto necháme len tie.
- Označte znamienka derivácie v intervaloch medzi nulami. Kde f'(x) ≥ 0, funkcia rastie, a kde f'(x) ≤ 0, klesá. Ak má problém obmedzenia na premennú x, dodatočne ich označíme na novom grafe.
- Teraz, keď poznáme správanie funkcie a obmedzenie, zostáva vypočítať požadovanú hodnotu v úlohe.
Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−3; 7,5]. Nájdite intervaly klesajúcej funkcie f(x). Vo svojej odpovedi napíšte súčet celých čísel zahrnutých v týchto intervaloch.
Ako obvykle prekreslíme graf a označíme hranice [−3; 7,5], ako aj nuly derivácie x = −1,5 a x = 5,3. Potom označíme znamienka derivácie. Máme:
Keďže derivácia je záporná na intervale (− 1,5), ide o interval klesajúcej funkcie. Zostáva sčítať všetky celé čísla, ktoré sú v tomto intervale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na segmente [−10; štyri]. Nájdite intervaly rastúcej funkcie f(x). Vo svojej odpovedi napíšte dĺžku najväčšieho z nich.
Zbavme sa nadbytočných informácií. Necháme len hranice [−10; 4] a nuly derivácie, ktoré sa tentokrát ukázali ako štyri: x = −8, x = −6, x = −3 a x = 2. Všimnite si znamienka derivácie a získajte nasledujúci obrázok:
Zaujímajú nás intervaly rastúcej funkcie, t.j. kde f'(x) ≥ 0. Na grafe sú dva takéto intervaly: (−8; −6) a (−3; 2). Vypočítajme ich dĺžku:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l2 = 2 − (−3) = 5.
Keďže je potrebné nájsť dĺžku najväčšieho z intervalov, zapíšeme ako odpoveď hodnotu l 2 = 5.
Sergej Nikiforov
Ak má derivácia funkcie na intervale konštantné znamienko a samotná funkcia je na svojich hraniciach spojitá, potom sú hraničné body spojené s rastúcimi aj klesajúcimi intervalmi, čo plne zodpovedá definícii rastúcich a klesajúcich funkcií.
Farit Jamajev 26.10.2016 18:50
Ahoj. Ako (na akom základe) možno tvrdiť, že v bode, kde sa derivácia rovná nule, funkcia rastie. Dať dôvody. Inak je to len niekoho rozmar. Podľa akej vety? A tiež dôkaz. Ďakujem.
podpora
Hodnota derivácie v bode priamo nesúvisí s nárastom funkcie na intervale. Zoberme si napríklad funkcie – všetky na segmente pribúdajú
Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21
Ak je funkcia rastúca na intervale (a;b) a je definovaná a spojitá v bodoch a a b, potom je rastúca na segmente . Tie. bod x=2 je zaradený do daného intervalu.
Aj keď sa zvýšenie a zníženie spravidla nezohľadňuje v segmente, ale v intervale.
Ale práve v bode x=2 má funkcia lokálne minimum. A ako vysvetliť deťom, že keď hľadajú body nárastu (poklesu), tak nepočítame body lokálneho extrému, ale vstupujú do intervalov nárastu (poklesu).
Vzhľadom na to, že prvý časť skúšky pre " stredná skupina MATERSKÁ ŠKOLA“, potom sú možno také nuansy príliš veľa.
Samostatne veľká vďaka za "skúšku vyriešim" všetkým zamestnancom - výborný sprievodca.
Sergej Nikiforov
Jednoduché vysvetlenie možno získať, ak vychádzame z definície rastúcej / klesajúcej funkcie. Dovoľte mi pripomenúť, že to znie takto: funkcia sa nazýva rastúca/klesajúca na intervale, ak väčší argument funkcie zodpovedá väčšej/menšej hodnote funkcie. Takáto definícia v žiadnom prípade nepoužíva pojem derivát, takže nemôžu vzniknúť otázky o bodoch, v ktorých derivát zaniká.
Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46
Dobrý deň. Tu v komentároch vidím presvedčenie, že hranice by mali byť zahrnuté. Povedzme, že s tým súhlasím. Ale pozrite sa, prosím, na svoje riešenie problému 7089. Tam, keď špecifikujete intervaly nárastu, hranice nie sú zahrnuté. A to ovplyvňuje odozvu. Tie. riešenia úloh 6429 a 7089 si navzájom odporujú. Prosím o objasnenie tejto situácie.
Alexander Ivanov
Úlohy 6429 a 7089 majú úplne iné otázky.
V jednej sú intervaly nárastu a v druhej sú intervaly s kladnou deriváciou.
Neexistuje žiadny rozpor.
Extrémy sú zahrnuté v intervaloch nárastu a poklesu, ale body, v ktorých sa derivácia rovná nule, nevstupujú do intervalov, v ktorých je derivácia kladná.
A Z 28.01.2019 19:09
Kolegovia, existuje koncept zvyšovania v určitom bode
(pozri napríklad Fichtenholtz)
a tvoje chápanie nárastu v bode x=2 je v rozpore s klasickou definíciou.
Zvyšovanie a znižovanie je proces a rád by som sa tohto princípu držal.
V žiadnom intervale, ktorý obsahuje bod x=2, funkcia nie je rastúca. Preto to začlenenie daný bod x=2 je špeciálny proces.
Zvyčajne, aby sa predišlo zmätku, zahrnutie koncov intervalov sa hovorí oddelene.
Alexander Ivanov
Funkcia y=f(x) sa nazýva rastúca na nejakom intervale, ak väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.
V bode x = 2 je funkcia diferencovateľná a na intervale (2; 6) je derivácia kladná, čo znamená, že na intervale )