Datums: 10.05.2015

Kā atrast atvasinājumu?

Diferencēšanas noteikumi.

Lai atrastu jebkuras funkcijas atvasinājumu, jums jāapgūst tikai trīs jēdzieni:

2. Diferencēšanas noteikumi.

3. Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Tieši tādā secībā. Tas ir mājiens.)

Protams, būtu jauki, ja būtu priekšstats par atvasinājumiem kopumā). Kas ir atvasinājums un kā strādāt ar atvasinājumu tabulu, tas ir skaidri izskaidrots iepriekšējā nodarbībā. Šeit mēs aplūkosim diferenciācijas noteikumus.

Diferencēšana ir atvasinājuma atrašanas darbība. Aiz šī termina nekas vairāk neslēpjas. Tie. izteiksmes "atrast funkcijas atvasinājumu" Un "atšķirt funkciju"- Tas ir tas pats.

Izteiksme "diferencēšanas noteikumi" attiecas uz atvasinājuma atrašanu no aritmētiskām operācijām.Šī izpratne ļoti palīdz izvairīties no neskaidrībām galvā.

Koncentrēsimies un atcerēsimies visas, visas, visas aritmētiskās darbības. Tās ir četras). Saskaitīšana (summa), atņemšana (starpība), reizināšana (reizinājums) un dalīšana (daļņa). Šeit tie ir diferencēšanas noteikumi:

Plāksne parāda pieci noteikumi par četri aritmētiskās darbības. I don’t get shortchanged.) Tas ir tikai tas, ka 4. noteikums ir elementāras 3. noteikuma sekas. Taču tas ir tik populārs, ka ir jēga to uzrakstīt (un atcerēties!) kā neatkarīgu formulu.

Zem apzīmējumiem U Un V ir norādītas dažas (pilnīgi jebkuras!) funkcijas U(x) Un V(x).

Apskatīsim dažus piemērus. Pirmkārt - visvienkāršākie.

Atrodiet funkcijas y=sinx - x 2 atvasinājumu

Šeit mums ir atšķirība divas elementāras funkcijas. Mēs piemērojam 2. noteikumu. Pieņemsim, ka sinx ir funkcija U, un x 2 ir funkcija V. Mums ir visas tiesības rakstīt:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Tas ir labāk, vai ne?) Atliek tikai atrast x sinusa un kvadrāta atvasinājumus. Šim nolūkam ir atvasinājumu tabula. Mēs tikai meklējam vajadzīgās funkcijas tabulā ( sinx Un x 2), apskatiet, kādi atvasinājumi viņiem ir, un pierakstiet atbildi:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Tieši tā. Summu diferenciācijas 1. noteikums darbojas tieši tāpat.

Ko darīt, ja mums ir vairāki termini? Nav problēmu.) Mēs sadalām funkciju terminos un meklējam katra termina atvasinājumu neatkarīgi no citiem. Piemēram:

Atrodiet funkcijas y=sinx - x 2 +cosx - x +3 atvasinājumu

Mēs drosmīgi rakstām:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Nodarbības beigās sniegšu padomus, kā atšķirt dzīvi vieglāk.)

Praktiski padomi:

1. Pirms diferencēšanas pārbaudiet, vai ir iespējams vienkāršot sākotnējo funkciju.

2. Sarežģītos piemēros risinājumu aprakstam detalizēti, ar visām iekavām un defisēm.

3. Diferencējot daļskaitļus ar nemainīgu skaitli saucējā, dalīšanu pārvēršam reizināšanā un izmantojam 4. noteikumu.

Tiek saukts funkcijas atvasinājuma atrašanas process diferenciācija. Matemātiskās analīzes gaitā atvasinājums ir jāatrod vairākās problēmās. Piemēram, atrodot funkciju grafika ekstrēma punktus un lēciena punktus.

Kā atrast?

Lai atrastu funkcijas atvasinājumu, jums jāzina elementāro funkciju atvasinājumu tabula un jāpiemēro diferenciācijas pamatnoteikumi:

1. Konstantes pārvietošana ārpus atvasinājuma zīmes: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Funkciju summas/atšķirības atvasinājums: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Divu funkciju reizinājuma atvasinājums: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Daļas atvasinājums: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. Sarežģītas funkcijas atvasinājums: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Risinājumu piemēri

1. piemērs

Atrodiet funkcijas $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ atvasinājumu

Risinājums

Funkciju summas/starpības atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu/starpību: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Izmantojot pakāpju funkcijas $ (x^p)" = px^(p-1) $ atvasinājuma noteikumu, mēs iegūstam: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cpunkts 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Tika arī ņemts vērā, ka konstantes atvasinājums ir vienāds ar nulli. Ja nevarat atrisināt savu problēmu, nosūtiet to mums. Mēs nodrošināsim detalizētu risinājumu. Varēsiet apskatīt aprēķina gaitu un iegūt informāciju. Tas palīdzēs jums laikus saņemt atzīmi no skolotāja!

Atbilde

$$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

AR rediģējot materiālus par tēmu “atvasinājums”. Pamatskolas līmenis.
Teorētiskā informācija studentiem, skolotājiem un pasniedzējiem matemātikā. Lai palīdzētu vadīt nodarbības.

Definīcija: funkcijas atvasinājums punktā ir funkcijas pieauguma un mainīgā pieauguma attiecības robeža, tas ir

Matemātisko pamatfunkciju atvasinājumu tabula:

Atvasināto instrumentu aprēķināšanas noteikumi

Summas atvasinājums jebkuras divas izteiksmes ir vienādas ar šo izteiksmju atvasinājumu summu (summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu)

Starpības atvasinājums jebkuras divas izteiksmes ir vienādas ar šo terminu atvasinājumu starpību (starpības atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu starpību).

Produkta atvasinājums divi faktori ir vienādi ar pirmā faktora un otrā faktora atvasinājuma reizinājumu, pieskaitot pirmā faktora un otrā atvasinājuma reizinājumu (pēc kārtas ņemto faktoru atvasinājumu summa).
Matemātikas skolotāja komentārs: Kad es īsi atgādinu studentam par produkta atvasinājuma aprēķināšanas noteikumu, es saku: pirmā faktora atvasinājums ar otro plusu apmainieties ar sitieniem!

Koeficienta atvasinājums divas izteiksmes ir vienādas ar starpības koeficientu starp secīgi ņemto faktoru atvasinājumiem un saucēja kvadrātu.

Skaitļa un funkcijas reizinājuma atvasinājums. Lai atrastu skaitļa un burtiskas izteiksmes (funkcijas) reizinājuma atvasinājumu, šis skaitlis jāreizina ar šīs burtiskās izteiksmes atvasinājumu.

Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Lai aprēķinātu sarežģītas funkcijas atvasinājumu, jāatrod ārējās funkcijas atvasinājums un jāreizina ar iekšējās funkcijas atvasinājumu.

Jūsu komentāri un atsauksmes par atvasinājumu lapu:
Aleksandrs S.
Man ļoti vajadzēja galdu. Viens no visvairāk internetā. Liels paldies arī par skaidrojumiem un noteikumiem. Vismaz vēl viens piemērs viņiem būtu lieliski. Vēlreiz liels paldies.

Kolpakovs A.N., matemātikas pasniedzējs: labi, tuvākajā laikā mēģināšu atjaunināt lapu ar piemēriem.

Virtuālā matemātikas uzziņu grāmata.
Kolpakovs Aleksandrs Nikolajevičs, matemātikas pasniedzējs.

Atvasinājums

Matemātiskās funkcijas atvasinājuma (diferenciācijas) aprēķināšana ir ļoti izplatīta problēma, risinot augstāko matemātiku. Vienkāršām (elementārām) matemātiskām funkcijām tas ir diezgan vienkāršs jautājums, jo elementāru funkciju atvasinājumu tabulas jau sen ir apkopotas un ir viegli pieejamas. Tomēr sarežģītas matemātiskas funkcijas atvasinājuma atrašana nav triviāls uzdevums, un tas bieži prasa ievērojamas pūles un laiku.

Atrodiet atvasinājumu tiešsaistē

Mūsu tiešsaistes pakalpojums ļauj atbrīvoties no bezjēdzīgiem gariem aprēķiniem un atrast atvasinājumu tiešsaistē vienā mirklī. Turklāt, izmantojot mūsu pakalpojumu, kas atrodas vietnē www.vietne, jūs varat aprēķināt tiešsaistes atvasinājums gan no elementāras funkcijas, gan no ļoti sarežģītas funkcijas, kurām nav analītiska risinājuma. Mūsu vietnes galvenās priekšrocības salīdzinājumā ar citām ir: 1) nav stingru prasību matemātiskās funkcijas ievadīšanas metodei atvasinājuma aprēķināšanai (piemēram, ievadot sinusa x funkciju, varat to ievadīt kā sin x vai sin (x) vai sin[x] utt. d.); 2) tiešsaistes atvasinājumu aprēķins režīmā notiek uzreiz tiešsaistē un absolūti par brīvu; 3) ļaujam atrast funkcijas atvasinājumu jebkurš pasūtījums, mainīt atvasinājuma secību ir ļoti viegli un saprotami; 4) mēs ļaujam tiešsaistē atrast gandrīz jebkuras matemātiskas funkcijas atvasinājumu, pat ļoti sarežģītas funkcijas, kuras nevar atrisināt ar citiem pakalpojumiem. Sniegtā atbilde vienmēr ir precīza un tajā nedrīkst būt kļūdas.

Izmantojot mūsu serveri, varēsiet 1) aprēķināt atvasinājumu tiešsaistē jūsu vietā, novēršot laikietilpīgus un nogurdinošus aprēķinus, kuru laikā jūs varētu pieļaut kļūdu vai drukas kļūdu; 2) ja pats aprēķina matemātiskās funkcijas atvasinājumu, tad sniedzam iespēju iegūto rezultātu salīdzināt ar mūsu servisa aprēķiniem un pārliecināties par risinājuma pareizību vai atrast iezagušos kļūdu; 3) izmantojiet mūsu pakalpojumu, nevis izmantojiet vienkāršu funkciju atvasinājumu tabulas, kurās bieži vien ir nepieciešams laiks, lai atrastu vēlamo funkciju.

Viss, kas jums jādara, ir atrast atvasinājumu tiešsaistē- ir izmantot mūsu pakalpojumu

Atvasinot pirmo tabulas formulu, mēs pāriesim no atvasinātās funkcijas definīcijas punktā. Ņemsim kur x- jebkurš reāls skaitlis, tas ir, x– jebkurš skaitlis no funkcijas definīcijas apgabala. Pierakstīsim funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu:

Jāņem vērā, ka zem robežzīmes tiek iegūta izteiksme, kas nav nulles nenoteiktība, kas dalīta ar nulli, jo skaitītājs nesatur bezgalīgi mazu vērtību, bet gan precīzi nulle. Citiem vārdiem sakot, nemainīgas funkcijas pieaugums vienmēr ir nulle.

Tādējādi konstantas funkcijas atvasinājumsir vienāds ar nulli visā definīcijas jomā.

Jaudas funkcijas atvasinājums.

Jaudas funkcijas atvasinājuma formulai ir forma , kur eksponents lpp- jebkurš reāls skaitlis.

Vispirms pierādīsim naturālā eksponenta formulu, tas ir, for p = 1, 2, 3, …

Mēs izmantosim atvasinājuma definīciju. Pierakstīsim jaudas funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu:

Lai vienkāršotu izteiksmi skaitītājā, mēs pievēršamies Ņūtona binominālajai formulai:

Tāpēc

Tas pierāda formulu pakāpes funkcijas atvasināšanai naturālajam eksponentam.

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums.

Mēs piedāvājam atvasinātās formulas atvasinājumu, pamatojoties uz definīciju:

Mēs esam nonākuši pie nenoteiktības. Lai to paplašinātu, mēs ieviešam jaunu mainīgo un pie . Tad . Pēdējā pārejā mēs izmantojām formulu pārejai uz jaunu logaritmisko bāzi.

Aizstāsim ar sākotnējo ierobežojumu:

Ja atceramies otro ievērojamo robežu, mēs nonākam pie eksponenciālās funkcijas atvasinājuma formulas:

Logaritmiskās funkcijas atvasinājums.

Pierādīsim logaritmiskās funkcijas atvasinājuma formulu visiem x no definīcijas domēna un visām derīgajām bāzes vērtībām a logaritms Pēc atvasinājuma definīcijas mums ir:

Kā jūs pamanījāt, pierādīšanas laikā transformācijas tika veiktas, izmantojot logaritma īpašības. Vienlīdzība ir taisnība otrās ievērojamās robežas dēļ.

Trigonometrisko funkciju atvasinājumi.

Lai iegūtu formulas trigonometrisko funkciju atvasinājumiem, mums būs jāatgādina dažas trigonometrijas formulas, kā arī pirmā ievērojamā robeža.

Pēc sinusa funkcijas atvasinājuma definīcijas mums ir .

Izmantosim sinusu starpības formulu:

Atliek pievērsties pirmajam ievērojamajam ierobežojumam:

Tādējādi funkcijas atvasinājums grēks x Tur ir cos x.

Tieši tādā pašā veidā tiek pierādīta arī kosinusa atvasinājuma formula.

Tāpēc funkcijas atvasinājums cos x Tur ir – grēks x.

Izmantojot pārbaudītus diferenciācijas noteikumus (daļskaitļa atvasinājumu), mēs atvasināsim formulas tangensas un kotangensas atvasinājumu tabulai.

Hiperbolisko funkciju atvasinājumi.

Diferenciācijas noteikumi un eksponenciālās funkcijas atvasinājuma formula no atvasinājumu tabulas ļauj atvasināt formulas hiperboliskā sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa atvasinājumiem.

Apgrieztās funkcijas atvasinājums.

Lai izvairītos no neskaidrībām prezentācijas laikā, apakšindeksā apzīmēsim funkcijas argumentu, ar kuru tiek veikta diferencēšana, tas ir, tas ir funkcijas atvasinājums f(x) Autors x.

Tagad formulēsim noteikums apgrieztās funkcijas atvasinājuma atrašanai.

Ļaujiet funkcijām y = f(x) Un x = g(y) savstarpēji apgriezti, noteikti uz intervāliem un attiecīgi. Ja kādā punktā ir funkcijas galīgs nulles atvasinājums f(x), tad punktā ir apgrieztās funkcijas galīgs atvasinājums g(y), un . Citā ierakstā .

Šo noteikumu var pārformulēt jebkuram x no intervāla , tad mēs iegūstam .

Pārbaudīsim šo formulu derīgumu.

Atradīsim naturālā logaritma apgriezto funkciju (Šeit y ir funkcija un x- arguments). Atrisinot šo vienādojumu priekš x, mēs saņemam (šeit x ir funkcija un y– viņas arguments). Tas ir, un savstarpēji apgrieztas funkcijas.

No atvasinājumu tabulas mēs to redzam Un .

Pārliecināsimies, ka apgrieztās funkcijas atvasinājumu atrašanas formulas noved pie tādiem pašiem rezultātiem:

Kā redzat, mēs saņēmām tādus pašus rezultātus kā atvasinājumu tabulā.

Tagad mums ir zināšanas, lai pierādītu formulas apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinājumiem.

Sāksim ar arcsīna atvasinājumu.

. Tad, izmantojot apgrieztās funkcijas atvasinājuma formulu, mēs iegūstam

Atliek tikai veikt pārvērtības.

Tā kā arcsinusa diapazons ir intervāls , Tas (skat. sadaļu par pamatelementārajām funkcijām, to īpašībām un grafikiem). Tāpēc mēs to neapsveram.

Tāpēc . Arksīna atvasinājuma definīcijas domēns ir intervāls (-1; 1) .

Loka kosinusam viss tiek darīts tieši tādā pašā veidā:

Atradīsim arktangenta atvasinājumu.

Apgrieztā funkcija ir .

Izteiksim arktangensu arkozīniskā izteiksmē, lai vienkāršotu iegūto izteiksmi.

Ļaujiet arctgx = z, Tad

Tāpēc

Loka kotangensa atvasinājums tiek atrasts līdzīgā veidā: