Problemi ed esempi per tutte le operazioni con decimali. Esempi e problemi per tutte le operazioni con frazioni decimali Esempi frazionari con operazioni decimali

In questo tutorial esamineremo ciascuna di queste operazioni separatamente.

Contenuto della lezione

Aggiunta di decimali

Come sappiamo, una frazione decimale è composta da un numero intero e da una parte frazionaria. Quando si aggiungono i decimali, le parti intere e frazionarie vengono aggiunte separatamente.

Ad esempio, aggiungiamo le frazioni decimali 3.2 e 5.3. È più conveniente aggiungere le frazioni decimali in una colonna.

Scriviamo prima queste due frazioni in una colonna, con le parti intere necessariamente sotto gli interi e le parti frazionarie sotto quelle frazionarie. A scuola questo requisito si chiama "virgola sotto virgola" .

Scriviamo le frazioni in una colonna in modo che la virgola sia sotto la virgola:

Aggiungiamo le parti frazionarie: 2 + 3 = 5. Scriviamo il cinque nella parte frazionaria della nostra risposta:

Ora sommiamo le parti intere: 3 + 5 = 8. Scriviamo un otto nella parte intera della nostra risposta:

Adesso separiamo la parte intera dalla parte frazionaria con una virgola. Per fare ciò, seguiamo nuovamente la regola "virgola sotto virgola" :

Abbiamo ricevuto una risposta di 8.5. Ciò significa che l'espressione 3,2 + 5,3 è uguale a 8,5

3,2 + 5,3 = 8,5

In realtà, non tutto è così semplice come sembra a prima vista. Ci sono anche delle insidie ​​​​qui, di cui parleremo ora.

Posti in decimali

Le frazioni decimali, come i numeri ordinari, hanno le proprie cifre. Questi sono luoghi di decimi, luoghi di centesimi, luoghi di millesimi. In questo caso le cifre iniziano dopo la virgola decimale.

La prima cifra dopo la virgola è responsabile per i decimi, la seconda cifra dopo la virgola per i centesimi e la terza cifra dopo la virgola per i millesimi.

Le cifre decimali contengono alcune informazioni utili. Nello specifico, ti dicono quanti decimi, centesimi e millesimi ci sono in un decimale.

Consideriamo ad esempio la frazione decimale 0,345

Viene chiamata la posizione in cui si trovano i tre decimo posto

Viene chiamata la posizione in cui si trova il quattro centesimi di posto

Viene chiamata la posizione in cui si trova il cinque millesimo posto

Diamo un'occhiata a questo disegno. Vediamo che al decimo posto c'è un tre. Ciò significa che ci sono tre decimi nella frazione decimale 0,345.

Se sommiamo le frazioni, otteniamo la frazione decimale originale 0,345

All'inizio abbiamo ottenuto la risposta, ma l'abbiamo convertita in una frazione decimale e abbiamo ottenuto 0,345.

Quando si sommano le frazioni decimali, si applicano le stesse regole di quando si sommano i numeri ordinari. L'addizione delle frazioni decimali avviene in cifre: i decimi si sommano ai decimi, i centesimi ai centesimi, i millesimi ai millesimi.

Pertanto, quando si aggiungono frazioni decimali, è necessario seguire la regola "virgola sotto virgola". La virgola sotto la virgola fornisce l'ordine stesso in cui i decimi vengono aggiunti ai decimi, i centesimi ai centesimi, i millesimi ai millesimi.

Esempio 1. Trova il valore dell'espressione 1,5 + 3,4

Prima di tutto sommiamo le parti frazionarie 5 + 4 = 9. Scriviamo nove nella parte frazionaria della nostra risposta:

Ora aggiungiamo le parti intere 1 + 3 = 4. Scriviamo il quattro nella parte intera della nostra risposta:

Ora separiamo la parte intera dalla parte frazionaria con una virgola. Per fare ciò, seguiamo ancora una volta la regola della “virgola sotto virgola”:

Abbiamo ricevuto una risposta di 4.9. Ciò significa che il valore dell'espressione 1,5 + 3,4 è 4,9

Esempio 2. Trova il valore dell'espressione: 3,51 + 1,22

Scriviamo questa espressione in colonna, rispettando la regola della “virgola sotto virgola”.

Innanzitutto sommiamo la parte frazionaria, cioè i centesimi di 1+2=3. Scriviamo una tripla nella centesima parte della nostra risposta:

Ora aggiungi i decimi 5+2=7. Scriviamo un sette nella decima parte della nostra risposta:

Ora aggiungiamo le parti intere 3+1=4. Scriviamo i quattro nella parte intera della nostra risposta:

Separiamo la parte intera dalla parte frazionaria con una virgola, rispettando la regola della “virgola sotto virgola”:

La risposta che abbiamo ricevuto è stata 4.73. Ciò significa che il valore dell'espressione 3,51 + 1,22 è uguale a 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Come con i numeri normali, quando si aggiungono i decimali, . In questo caso, nella risposta viene scritta una cifra e il resto viene trasferito alla cifra successiva.

Esempio 3. Trova il valore dell'espressione 2,65 + 3,27

Scriviamo questa espressione nella colonna:

Somma le parti centesimali 5+7=12. Il numero 12 non rientra nella centesima parte della nostra risposta. Pertanto nella centesima parte scriviamo il numero 2 e spostiamo l'unità alla cifra successiva:

Ora sommiamo i decimi di 6+2=8 più l'unità che abbiamo ottenuto dall'operazione precedente, otteniamo 9. Scriviamo il numero 9 nel decimo della nostra risposta:

Ora aggiungiamo le parti intere 2+3=5. Scriviamo il numero 5 nella parte intera della nostra risposta:

La risposta che abbiamo ricevuto è stata 5.92. Ciò significa che il valore dell'espressione 2,65 + 3,27 è uguale a 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Esempio 4. Trova il valore dell'espressione 9,5 + 2,8

Scriviamo questa espressione nella colonna

Aggiungiamo le parti frazionarie 5 + 8 = 13. Il numero 13 non entrerà nella parte frazionaria della nostra risposta, quindi scriviamo prima il numero 3 e spostiamo l'unità alla cifra successiva, o meglio, trasferiamola nella parte intera:

Ora aggiungiamo le parti intere 9+2=11 più l'unità che abbiamo ottenuto dall'operazione precedente, otteniamo 12. Scriviamo il numero 12 nella parte intera della nostra risposta:

Separa la parte intera dalla parte frazionaria con una virgola:

Abbiamo ricevuto la risposta 12.3. Ciò significa che il valore dell'espressione 9,5 + 2,8 è 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Quando si sommano i decimali, il numero di cifre dopo la virgola in entrambe le frazioni deve essere lo stesso. Se non ci sono abbastanza numeri, questi posti nella parte frazionaria vengono riempiti con zeri.

Esempio 5. Trova il valore dell'espressione: 12.725 + 1.7

Prima di scrivere questa espressione in una colonna, rendiamo uguale il numero di cifre dopo la virgola in entrambe le frazioni. La frazione decimale 12.725 ha tre cifre dopo la virgola, ma la frazione 1.7 ne ha solo una. Ciò significa che nella frazione 1.7 devi aggiungere due zeri alla fine. Quindi otteniamo la frazione 1.700. Ora puoi scrivere questa espressione in una colonna e iniziare a calcolare:

Somma le parti millesimali 5+0=5. Scriviamo il numero 5 nella millesima parte della nostra risposta:

Somma le parti centesimali 2+0=2. Scriviamo il numero 2 nella centesima parte della nostra risposta:

Aggiungi i decimi 7+7=14. Il numero 14 non rientra in un decimo della nostra risposta. Pertanto, annotiamo prima il numero 4 e spostiamo l'unità alla cifra successiva:

Ora aggiungiamo le parti intere 12+1=13 più l'unità che abbiamo ottenuto dall'operazione precedente, otteniamo 14. Scriviamo il numero 14 nella parte intera della nostra risposta:

Separa la parte intera dalla parte frazionaria con una virgola:

Abbiamo ricevuto una risposta di 14.425. Ciò significa che il valore dell'espressione 12.725+1.700 è 14.425

12,725+ 1,700 = 14,425

Sottrarre i decimali

Quando si sottraggono frazioni decimali, è necessario seguire le stesse regole di quando si aggiungono: "virgola sotto la virgola" e "uguale numero di cifre dopo la virgola".

Esempio 1. Trova il valore dell'espressione 2.5 − 2.2

Scriviamo questa espressione in colonna, rispettando la regola della “virgola sotto virgola”:

Calcoliamo la parte frazionaria 5−2=3. Scriviamo il numero 3 nella decima parte della nostra risposta:

Calcoliamo la parte intera 2−2=0. Scriviamo zero nella parte intera della nostra risposta:

Separa la parte intera dalla parte frazionaria con una virgola:

Abbiamo ricevuto una risposta di 0,3. Ciò significa che il valore dell'espressione 2.5 − 2.2 è uguale a 0.3

2,5 − 2,2 = 0,3

Esempio 2. Trova il valore dell'espressione 7.353 - 3.1

Questa espressione ha un numero diverso di cifre decimali. La frazione 7.353 ha tre cifre dopo la virgola, ma la frazione 3.1 ne ha solo una. Ciò significa che nella frazione 3.1 devi aggiungere due zeri alla fine per rendere uguale il numero di cifre in entrambe le frazioni. Quindi otteniamo 3.100.

Ora puoi scrivere questa espressione in una colonna e calcolarla:

Abbiamo ricevuto una risposta di 4.253. Ciò significa che il valore dell'espressione 7.353 − 3.1 è uguale a 4.253

7,353 — 3,1 = 4,253

Come con i numeri ordinari, a volte dovrai prenderne in prestito uno da una cifra adiacente se la sottrazione diventa impossibile.

Esempio 3. Trova il valore dell'espressione 3,46 − 2,39

Sottrai centesimi di 6−9. Non puoi sottrarre il numero 9 dal numero 6. Pertanto, devi prenderne in prestito uno dalla cifra adiacente. Prendendo in prestito uno dalla cifra adiacente, il numero 6 diventa il numero 16. Ora puoi calcolare i centesimi di 16−9=7. Scriviamo un sette nella centesima parte della nostra risposta:

Ora sottraiamo i decimi. Poiché abbiamo preso un'unità al decimo posto, la cifra che si trovava lì è diminuita di un'unità. In altre parole, al posto dei decimi ora non c'è più il numero 4, ma il numero 3. Calcoliamo i decimi di 3−3=0. Scriviamo zero nella decima parte della nostra risposta:

Ora sottraiamo le parti intere 3−2=1. Ne scriviamo uno nella parte intera della nostra risposta:

Separa la parte intera dalla parte frazionaria con una virgola:

Abbiamo ricevuto una risposta di 1.07. Ciò significa che il valore dell'espressione 3,46−2,39 è uguale a 1,07

3,46−2,39=1,07

Esempio 4. Trova il valore dell'espressione 3−1.2

Questo esempio sottrae un decimale da un numero intero. Scriviamo questa espressione in una colonna in modo che tutta la parte decimale 1.23 sia sotto il numero 3

Ora rendiamo uguale il numero di cifre dopo la virgola. Per fare ciò, dopo il numero 3 mettiamo una virgola e aggiungiamo uno zero:

Ora sottraiamo i decimi: 0−2. Non puoi sottrarre il numero 2 da zero, quindi devi prendere in prestito uno dalla cifra adiacente. Avendo preso in prestito uno dalla cifra vicina, 0 diventa il numero 10. Ora puoi calcolare i decimi di 10−2=8. Scriviamo un otto nella decima parte della nostra risposta:

Ora sottraiamo le parti intere. In precedenza, il numero 3 si trovava nell'intero, ma ne abbiamo preso un'unità. Di conseguenza, è diventato il numero 2. Pertanto, da 2 sottraiamo 1. 2−1=1. Ne scriviamo uno nella parte intera della nostra risposta:

Separa la parte intera dalla parte frazionaria con una virgola:

La risposta che abbiamo ricevuto è stata 1.8. Ciò significa che il valore dell'espressione 3−1.2 è 1,8

Moltiplicazione dei decimali

Moltiplicare i decimali è semplice e persino divertente. Per moltiplicare i decimali, moltiplicali come i numeri normali, ignorando le virgole.

Dopo aver ricevuto la risposta, è necessario separare l'intera parte dalla parte frazionaria con una virgola. Per fare ciò, devi contare il numero di cifre dopo la virgola in entrambe le frazioni, quindi contare lo stesso numero di cifre da destra nel risultato e inserire una virgola.

Esempio 1. Trova il valore dell'espressione 2,5 × 1,5

Moltiplichiamo queste frazioni decimali come i numeri ordinari, ignorando le virgole. Per ignorare le virgole, puoi temporaneamente immaginare che siano del tutto assenti:

Abbiamo ottenuto 375. In questo numero, devi separare la parte intera dalla parte frazionaria con una virgola. Per fare ciò, devi contare il numero di cifre dopo la virgola nelle frazioni 2.5 e 1.5. La prima frazione ha una cifra dopo il punto decimale e anche la seconda frazione ne ha una. Totale due numeri.

Torniamo al numero 375 e iniziamo a spostarci da destra a sinistra. Dobbiamo contare due cifre a destra e inserire una virgola:

Abbiamo ricevuto una risposta di 3,75. Quindi il valore dell'espressione 2,5 × 1,5 è 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Esempio 2. Trova il valore dell'espressione 12,85 × 2,7

Moltiplichiamo queste frazioni decimali, ignorando le virgole:

Abbiamo ottenuto 34695. In questo numero è necessario separare la parte intera dalla parte frazionaria con una virgola. Per fare ciò, devi contare il numero di cifre dopo la virgola nelle frazioni 12,85 e 2,7. La frazione 12,85 ha due cifre dopo il punto decimale e la frazione 2,7 ha una cifra, per un totale di tre cifre.

Torniamo al numero 34695 e iniziamo a spostarci da destra a sinistra. Dobbiamo contare tre cifre da destra e inserire una virgola:

Abbiamo ricevuto una risposta di 34.695. Quindi il valore dell'espressione 12,85 × 2,7 è 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Moltiplicare un decimale per un numero regolare

A volte si verificano situazioni in cui è necessario moltiplicare una frazione decimale per un numero normale.

Per moltiplicare un decimale e un numero, moltiplicali senza prestare attenzione alla virgola nel decimale. Dopo aver ricevuto la risposta, è necessario separare l'intera parte dalla parte frazionaria con una virgola. Per fare ciò, devi contare il numero di cifre dopo la virgola nella frazione decimale, quindi contare lo stesso numero di cifre da destra nel risultato e inserire una virgola.

Ad esempio, moltiplica 2,54 per 2

Moltiplicare la frazione decimale 2,54 per il solito numero 2, ignorando la virgola:

Abbiamo ottenuto il numero 508. In questo numero è necessario separare la parte intera dalla parte frazionaria con una virgola. Per fare ciò, devi contare il numero di cifre dopo il punto decimale nella frazione 2.54. La frazione 2,54 ha due cifre dopo la virgola.

Torniamo al numero 508 e iniziamo a spostarci da destra a sinistra. Dobbiamo contare due cifre a destra e inserire una virgola:

Abbiamo ricevuto una risposta del 5.08. Quindi il valore dell'espressione 2,54 × 2 è 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Moltiplicazione dei decimali per 10, 100, 1000

La moltiplicazione dei decimali per 10, 100 o 1000 viene eseguita allo stesso modo della moltiplicazione dei decimali per i numeri normali. Bisogna eseguire la moltiplicazione, non prestando attenzione alla virgola nella frazione decimale, poi nel risultato separare la parte intera dalla parte frazionaria, contando da destra tante cifre quante erano le cifre dopo la virgola.

Ad esempio, moltiplica 2,88 per 10

Moltiplica la frazione decimale 2,88 per 10, ignorando la virgola nella frazione decimale:

Abbiamo ottenuto 2880. In questo numero è necessario separare la parte intera dalla parte frazionaria con una virgola. Per fare ciò, devi contare il numero di cifre dopo la virgola nella frazione 2,88. Vediamo che la frazione 2,88 ha due cifre dopo la virgola.

Torniamo al numero 2880 e iniziamo a spostarci da destra a sinistra. Dobbiamo contare due cifre a destra e inserire una virgola:

Abbiamo ricevuto una risposta di 28,80. Tralasciamo l'ultimo zero e otteniamo 28,8. Ciò significa che il valore dell'espressione 2,88×10 è 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Esiste un secondo modo per moltiplicare le frazioni decimali per 10, 100, 1000. Questo metodo è molto più semplice e conveniente. Consiste nello spostare la virgola verso destra di tante cifre quanti sono gli zeri presenti nel fattore.

Ad esempio, risolviamo l'esempio precedente 2,88×10 in questo modo. Senza fornire alcun calcolo, guardiamo immediatamente il fattore 10. Siamo interessati a quanti zeri ci sono in esso. Vediamo che c'è uno zero in esso. Ora nella frazione 2,88 spostiamo la virgola a destra di una cifra, otteniamo 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Proviamo a moltiplicare 2,88 per 100. Consideriamo immediatamente il fattore 100. Ci interessa quanti zeri ci sono in esso. Vediamo che ci sono due zeri. Ora nella frazione 2,88 spostiamo la virgola a destra di due cifre, otteniamo 288

2,88 × 100 = 288

Proviamo a moltiplicare 2,88 per 1000. Consideriamo immediatamente il fattore 1000. Siamo interessati a quanti zeri ci sono in esso. Vediamo che ci sono tre zeri. Ora nella frazione 2.88 spostiamo la virgola decimale di tre cifre verso destra. Non c'è la terza cifra lì, quindi aggiungiamo un altro zero. Di conseguenza, otteniamo 2880.

2,88 × 1000 = 2880

Moltiplicando i decimali per 0,1 0,01 e 0,001

La moltiplicazione dei decimali per 0,1, 0,01 e 0,001 funziona allo stesso modo della moltiplicazione di un decimale per un decimale. È necessario moltiplicare le frazioni come i numeri ordinari e inserire una virgola nel risultato, contando tante cifre verso destra quante sono le cifre dopo la virgola in entrambe le frazioni.

Ad esempio, moltiplica 3,25 per 0,1

Moltiplichiamo queste frazioni come i numeri ordinari, ignorando le virgole:

Abbiamo ottenuto 325. In questo numero devi separare la parte intera dalla parte frazionaria con una virgola. Per fare ciò, devi contare il numero di cifre dopo la virgola nelle frazioni 3,25 e 0,1. La frazione 3,25 ha due cifre dopo il punto decimale, mentre la frazione 0,1 ha una cifra. Totale tre numeri.

Torniamo al numero 325 e iniziamo a spostarci da destra a sinistra. Dobbiamo contare tre cifre da destra e inserire una virgola. Dopo aver contato tre cifre, scopriamo che i numeri sono finiti. In questo caso, devi aggiungere uno zero e aggiungere una virgola:

Abbiamo ricevuto una risposta di 0,325. Ciò significa che il valore dell'espressione 3,25 × 0,1 è 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Esiste un secondo modo per moltiplicare i decimali per 0,1, 0,01 e 0,001. Questo metodo è molto più semplice e conveniente. Consiste nello spostare la virgola verso sinistra di tante cifre quanti sono gli zeri del fattore.

Ad esempio, risolviamo l'esempio precedente 3,25 × 0,1 in questo modo. Senza fornire alcun calcolo, guardiamo immediatamente al moltiplicatore di 0,1. Siamo interessati a quanti zeri ci sono in esso. Vediamo che c'è uno zero in esso. Ora nella frazione 3.25 spostiamo la virgola decimale di una cifra a sinistra. Spostando la virgola di una cifra a sinistra, vediamo che non ci sono più cifre prima delle tre. In questo caso, aggiungi uno zero e metti una virgola. Il risultato è 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Proviamo a moltiplicare 3,25 per 0,01. Guardiamo immediatamente il moltiplicatore di 0,01. Siamo interessati a quanti zeri ci sono in esso. Vediamo che ci sono due zeri. Ora nella frazione 3,25 spostiamo la virgola a sinistra di due cifre, otteniamo 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Proviamo a moltiplicare 3,25 per 0,001. Guardiamo immediatamente il moltiplicatore di 0,001. Siamo interessati a quanti zeri ci sono in esso. Vediamo che ci sono tre zeri. Ora nella frazione 3,25 spostiamo la virgola a sinistra di tre cifre, otteniamo 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Non confondere la moltiplicazione delle frazioni decimali per 0,1, 0,001 e 0,001 con la moltiplicazione per 10, 100, 1000. Un errore tipico per la maggior parte delle persone.

Quando si moltiplica per 10, 100, 1000, la virgola decimale viene spostata verso destra di un numero di cifre pari a quello degli zeri nel moltiplicatore.

E quando si moltiplica per 0,1, 0,01 e 0,001, il punto decimale viene spostato a sinistra dello stesso numero di cifre quanti sono gli zeri nel moltiplicatore.

Se all'inizio è difficile da ricordare, puoi utilizzare il primo metodo, in cui la moltiplicazione viene eseguita come con i numeri ordinari. Nella risposta dovrai separare la parte intera dalla parte frazionaria, contando a destra lo stesso numero di cifre quante sono le cifre dopo la virgola in entrambe le frazioni.

Dividere un numero più piccolo per un numero più grande. Livello avanzato.

In una delle lezioni precedenti, abbiamo detto che dividendo un numero più piccolo per un numero più grande, si ottiene una frazione, il cui numeratore è il dividendo e il denominatore è il divisore.

Ad esempio, per dividere una mela in due, devi scrivere 1 (una mela) al numeratore e scrivere 2 (due amici) al denominatore. Di conseguenza, otteniamo la frazione . Ciò significa che ogni amico riceverà una mela. In altre parole, mezza mela. La frazione è la risposta al problema “come dividere una mela in due”

Si scopre che puoi risolvere ulteriormente questo problema se dividi 1 per 2. Dopotutto, la linea frazionaria in qualsiasi frazione significa divisione, e quindi questa divisione è consentita nella frazione. Ma come? Siamo abituati al fatto che il dividendo è sempre maggiore del divisore. Ma qui, al contrario, il dividendo è inferiore al divisore.

Tutto diventerà chiaro se ricordiamo che frazione significa schiacciamento, divisione, divisione. Ciò significa che l'unità può essere divisa in quante parti si desidera e non solo in due parti.

Quando dividi un numero più piccolo per un numero più grande, ottieni una frazione decimale in cui la parte intera è 0 (zero). La parte frazionaria può essere qualsiasi cosa.

Quindi dividiamo 1 per 2. Risolviamo questo esempio con un angolo:

Non si può dividere completamente in due. Se fai una domanda “quanti due ci sono in uno” , allora la risposta sarà 0. Pertanto nel quoziente scriviamo 0 e mettiamo una virgola:

Ora, come al solito, moltiplichiamo il quoziente per il divisore per ottenere il resto:

È giunto il momento in cui l'unità può essere divisa in due parti. Per fare ciò, aggiungi un altro zero a destra di quello risultante:

Abbiamo ottenuto 10. Dividi 10 per 2, otteniamo 5. Scriviamo il cinque nella parte frazionaria della nostra risposta:

Ora eliminiamo l'ultimo resto per completare il calcolo. Moltiplica 5 per 2 per ottenere 10

Abbiamo ricevuto una risposta di 0,5. Quindi la frazione è 0,5

È possibile scrivere mezza mela anche utilizzando la frazione decimale 0,5. Se aggiungiamo queste due metà (0,5 e 0,5), otteniamo nuovamente la mela intera originale:

Questo punto può essere compreso anche se immagini come 1 cm sia diviso in due parti. Se dividi 1 centimetro in 2 parti, ottieni 0,5 cm

Esempio 2. Trova il valore dell'espressione 4:5

Quanti cinque ci sono in un quattro? Affatto. Scriviamo 0 nel quoziente e mettiamo una virgola:

Moltiplichiamo 0 per 5, otteniamo 0. Scriviamo uno zero sotto il quattro. Sottrai immediatamente questo zero dal dividendo:

Ora iniziamo a dividere (dividere) i quattro in 5 parti. Per fare questo aggiungiamo uno zero a destra di 4 e dividiamo 40 per 5, otteniamo 8. Scriviamo otto nel quoziente.

Completiamo l'esempio moltiplicando 8 per 5 per ottenere 40:

Abbiamo ricevuto una risposta di 0,8. Ciò significa che il valore dell'espressione 4:5 è 0,8

Esempio 3. Trova il valore dell'espressione 5: 125

Quanti numeri sono 125 in cinque? Affatto. Scriviamo 0 nel quoziente e mettiamo una virgola:

Moltiplichiamo 0 per 5, otteniamo 0. Scriviamo 0 sotto il cinque. Sottrai immediatamente 0 da cinque

Ora iniziamo a dividere (dividere) i cinque in 125 parti. Per fare ciò, scriviamo uno zero a destra di questo cinque:

Dividere 50 per 125. Quanti numeri ci sono 125 nel numero 50? Affatto. Quindi nel quoziente scriviamo di nuovo 0

Moltiplica 0 per 125, otteniamo 0. Scrivi questo zero sotto 50. Sottrai immediatamente 0 da 50

Ora dividi il numero 50 in 125 parti. Per fare ciò scriviamo un altro zero a destra di 50:

Dividere 500 per 125. Quanti numeri ci sono 125 nel numero 500? Ci sono quattro numeri 125 nel numero 500. Scrivi i quattro nel quoziente:

Completiamo l'esempio moltiplicando 4 per 125 per ottenere 500

Abbiamo ricevuto una risposta di 0,04. Ciò significa che il valore dell'espressione 5: 125 è 0,04

Dividere numeri senza resto

Mettiamo quindi una virgola dopo l'unità nel quoziente, indicando così che la divisione delle parti intere è terminata e stiamo procedendo alla parte frazionaria:

Aggiungiamo zero al resto 4

Ora dividiamo 40 per 5, otteniamo 8. Scriviamo otto nel quoziente:

40-40=0. Ne restano 0. Ciò significa che la divisione è completamente completata. Dividendo 9 per 5 si ottiene la frazione decimale 1,8:

9: 5 = 1,8

Esempio 2. Dividi 84 per 5 senza resto

Per prima cosa dividi 84 per 5 come al solito con il resto:

Ne abbiamo 16 in privato e altri 4 rimasti. Ora dividiamo questo resto per 5. Metti una virgola nel quoziente e aggiungi 0 al resto 4

Adesso dividiamo 40 per 5, otteniamo 8. Scriviamo l'otto nel quoziente dopo la virgola:

e completa l'esempio controllando se c'è ancora un resto:

Dividere un decimale per un numero regolare

Una frazione decimale, come sappiamo, è composta da un numero intero e da una parte frazionaria. Quando dividi una frazione decimale per un numero regolare, devi prima:

• dividere l'intera parte della frazione decimale per questo numero;
• dopo aver diviso l'intera parte, è necessario inserire immediatamente una virgola nel quoziente e continuare il calcolo, come nella normale divisione.

Ad esempio, dividi 4,8 per 2

Scriviamo questo esempio in un angolo:

Adesso dividiamo l'intera parte per 2. Quattro diviso per due fa due. Scriviamo due nel quoziente e mettiamo subito una virgola:

Ora moltiplichiamo il quoziente per il divisore e vediamo se c'è un resto della divisione:

4−4=0. Il resto è zero. Non scriviamo ancora lo zero, poiché la soluzione non è completa. Successivamente, continuiamo a calcolare come nella divisione ordinaria. Prendi 8 e dividilo per 2

8: 2 = 4. Scriviamo il quattro nel quoziente e moltiplichiamolo subito per il divisore:

Abbiamo ricevuto una risposta di 2.4. Il valore dell'espressione 4.8:2 è 2.4

Esempio 2. Trova il valore dell'espressione 8.43: 3

Dividi 8 per 3, otteniamo 2. Metti subito una virgola dopo il 2:

Ora moltiplichiamo il quoziente per il divisore 2 × 3 = 6. Scriviamo il sei sotto l'otto e troviamo il resto:

Dividi 24 per 3, otteniamo 8. Scriviamo otto nel quoziente. Moltiplicalo immediatamente per il divisore per trovare il resto della divisione:

24−24=0. Il resto è zero. Non scriviamo ancora lo zero. Togliamo gli ultimi tre dal dividendo e dividiamo per 3, otteniamo 1. Moltiplichiamo subito 1 per 3 per completare questo esempio:

La risposta che abbiamo ricevuto è stata 2.81. Ciò significa che il valore dell'espressione 8,43: 3 è 2,81

Dividere un numero decimale per un numero decimale

Per dividere una frazione decimale per una frazione decimale, è necessario spostare verso destra la virgola nel dividendo e nel divisore dello stesso numero di cifre quante sono dopo la virgola nel divisore, quindi dividere per il numero abituale.

Ad esempio, dividi 5,95 per 1,7

Scriviamo questa espressione con un angolo

Ora nel dividendo e nel divisore spostiamo la virgola verso destra dello stesso numero di cifre quante sono dopo la virgola nel divisore. Il divisore ha una cifra dopo la virgola. Ciò significa che nel dividendo e nel divisore dobbiamo spostare la virgola decimale verso destra di una cifra. Trasferiamo:

Dopo aver spostato la virgola decimale di una cifra a destra, la frazione decimale 5,95 diventa la frazione 59,5. E la frazione decimale 1.7, dopo aver spostato la virgola a destra di una cifra, si è trasformata nel solito numero 17. E sappiamo già come dividere una frazione decimale per un numero normale. Ulteriori calcoli non sono difficili:

La virgola viene spostata a destra per facilitare la divisione. Ciò è consentito perché moltiplicando o dividendo il dividendo e il divisore per lo stesso numero, il quoziente non cambia. Cosa significa?

Questa è una delle caratteristiche interessanti della divisione. Si chiama proprietà del quoziente. Considera l'espressione 9: 3 = 3. Se in questa espressione il dividendo e il divisore vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero, il quoziente 3 non cambierà.

Moltiplichiamo dividendo e divisore per 2 e vediamo cosa ne risulta:

(9 × 2): (3 × 2) = 18: 6 = 3

Come si può vedere dall'esempio, il quoziente non è cambiato.

La stessa cosa accade quando spostiamo la virgola nel dividendo e nel divisore. Nell'esempio precedente, dove abbiamo diviso 5,91 per 1,7, abbiamo spostato la virgola nel dividendo e nel divisore di una cifra a destra. Dopo aver spostato la virgola, la frazione 5,91 è stata trasformata nella frazione 59,1 e la frazione 1,7 è stata trasformata nel solito numero 17.

Infatti all'interno di questo processo c'era una moltiplicazione per 10. Ecco come appariva:

5,91 × 10 = 59,1

Pertanto, il numero di cifre dopo la virgola nel divisore determina per cosa verranno moltiplicati il ​​dividendo e il divisore. In altre parole, il numero di cifre dopo la virgola nel divisore determinerà quante cifre nel dividendo e nel divisore la virgola verrà spostata a destra.

Dividere un decimale per 10, 100, 1000

La divisione di un decimale per 10, 100 o 1000 viene eseguita allo stesso modo di . Ad esempio, dividi 2,1 per 10. Risolvi questo esempio utilizzando un angolo:

Ma c'è un secondo modo. È più leggero. L'essenza di questo metodo è che la virgola nel dividendo viene spostata a sinistra di tante cifre quanti sono gli zeri nel divisore.

Risolviamo l'esempio precedente in questo modo. 2.1: 10. Consideriamo il divisore. Siamo interessati a quanti zeri ci sono in esso. Vediamo che c'è uno zero. Ciò significa che nel dividendo di 2,1 è necessario spostare la virgola decimale di una cifra verso sinistra. Spostiamo la virgola di una cifra a sinistra e vediamo che non rimangono più cifre. In questo caso, aggiungi un altro zero prima del numero. Di conseguenza otteniamo 0,21

Proviamo a dividere 2,1 per 100. In 100 ci sono due zeri. Ciò significa che nel dividendo 2.1 dobbiamo spostare la virgola a sinistra di due cifre:

2,1: 100 = 0,021

Proviamo a dividere 2,1 per 1000. In 1000 ci sono tre zeri. Ciò significa che nel dividendo 2.1 è necessario spostare la virgola a sinistra di tre cifre:

2,1: 1000 = 0,0021

Dividere un decimale per 0,1, 0,01 e 0,001

La divisione di una frazione decimale per 0,1, 0,01 e 0,001 viene eseguita allo stesso modo di . Nel dividendo e nel divisore è necessario spostare la virgola verso destra di tante cifre quante sono dopo la virgola nel divisore.

Ad esempio, dividiamo 6,3 per 0,1. Prima di tutto, spostiamo le virgole del dividendo e del divisore verso destra dello stesso numero di cifre quante sono dopo la virgola nel divisore. Il divisore ha una cifra dopo la virgola. Ciò significa che spostiamo le virgole nel dividendo e nel divisore verso destra di una cifra.

Dopo aver spostato la virgola a destra di una cifra, la frazione decimale 6.3 diventa il solito numero 63, e la frazione decimale 0.1 dopo aver spostato la virgola a destra di una cifra diventa uno. E dividere 63 per 1 è molto semplice:

Ciò significa che il valore dell'espressione 6.3: 0.1 è 63

Ma c'è un secondo modo. È più leggero. L'essenza di questo metodo è che la virgola nel dividendo viene spostata verso destra di tante cifre quanti sono gli zeri nel divisore.

Risolviamo l'esempio precedente in questo modo. 6,3: 0,1. Diamo un'occhiata al divisore. Siamo interessati a quanti zeri ci sono in esso. Vediamo che c'è uno zero. Ciò significa che nel dividendo di 6,3 è necessario spostare la virgola decimale verso destra di una cifra. Sposta la virgola a destra di una cifra e ottieni 63

Proviamo a dividere 6,3 per 0,01. Il divisore di 0,01 ha due zeri. Ciò significa che nel dividendo 6.3 dobbiamo spostare la virgola decimale di due cifre verso destra. Ma nel dividendo c’è solo una cifra dopo la virgola. In questo caso è necessario aggiungere un altro zero alla fine. Di conseguenza otteniamo 630

Proviamo a dividere 6,3 per 0,001. Il divisore di 0,001 ha tre zeri. Ciò significa che nel dividendo 6.3 dobbiamo spostare la virgola decimale verso destra di tre cifre:

6,3: 0,001 = 6300

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Già nella scuola elementare gli studenti sono esposti alle frazioni. E poi compaiono in ogni argomento. Non puoi dimenticare le azioni con questi numeri. Pertanto, è necessario conoscere tutte le informazioni sulle frazioni ordinarie e decimali. Questi concetti non sono complicati, l'importante è capire tutto in ordine.

Perché sono necessarie le frazioni?

Il mondo che ci circonda è costituito da interi oggetti. Pertanto non sono necessarie azioni. Ma la vita di tutti i giorni spinge costantemente le persone a lavorare con parti di oggetti e cose.

Ad esempio, il cioccolato è composto da più pezzi. Considera una situazione in cui la sua tessera è formata da dodici rettangoli. Se lo dividi in due, ottieni 6 parti. Si può facilmente dividere in tre. Ma non sarà possibile regalare a cinque persone un numero intero di fette di cioccolato.

A proposito, queste fette sono già frazioni. E la loro ulteriore divisione porta alla comparsa di numeri più complessi.

Cos'è una "frazione"?

Questo è un numero composto da parti di un'unità. Esternamente, sembra due numeri separati da una linea orizzontale o da una barra. Questa funzionalità è chiamata frazionaria. Il numero scritto in alto (a sinistra) è chiamato numeratore. Ciò che è in basso (a destra) è il denominatore.

In sostanza, la barra risulta essere un segno di divisione. Cioè, il numeratore può essere chiamato dividendo e il denominatore può essere chiamato divisore.

Quali frazioni esistono?

In matematica ne esistono solo due tipi: frazioni ordinarie e decimali. Gli scolari conoscono i primi alle elementari, chiamandoli semplicemente “frazioni”. Quest'ultimo verrà appreso in 5a elementare. È allora che compaiono questi nomi.

Le frazioni comuni sono tutte quelle scritte come due numeri separati da una linea. Ad esempio, 4/7. Un decimale è un numero in cui la parte frazionaria ha una notazione posizionale ed è separata dall'intero numero da una virgola. Ad esempio, 4.7. Gli studenti devono comprendere chiaramente che i due esempi forniti sono numeri completamente diversi.

Ogni frazione semplice può essere scritta come decimale. Questa affermazione è quasi sempre vera al contrario. Esistono regole che ti consentono di scrivere una frazione decimale come frazione comune.

Quali sottotipi hanno questi tipi di frazioni?

È meglio iniziare in ordine cronologico, man mano che vengono studiati. Le frazioni comuni vengono prima. Tra questi si possono distinguere 5 sottospecie.

Corretto. Il suo numeratore è sempre minore del suo denominatore.

Sbagliato. Il suo numeratore è maggiore o uguale al suo denominatore.

Riducibile/irriducibile. Potrebbe rivelarsi giusto o sbagliato. Un'altra cosa importante è se il numeratore e il denominatore hanno fattori comuni. Se ce ne sono, allora è necessario dividere entrambe le parti della frazione per esse, cioè ridurla.

Misto. Un numero intero viene assegnato alla sua consueta parte frazionaria regolare (irregolare). Inoltre, è sempre a sinistra.

Composito. È formato da due frazioni divise tra loro. Cioè, contiene tre linee frazionarie contemporaneamente.

Le frazioni decimali hanno solo due sottotipi:

finito, cioè quello la cui parte frazionaria è limitata (ha una fine);

infinito - un numero le cui cifre dopo il punto decimale non finiscono (possono essere scritte all'infinito).

Come convertire una frazione decimale in una frazione comune?

Se questo è un numero finito, viene applicata un'associazione in base alla regola: come sento, quindi scrivo. Cioè, devi leggerlo correttamente e scriverlo, ma senza virgola, ma con una barra frazionaria.

Come suggerimento sul denominatore richiesto, è necessario ricordare che si tratta sempre di uno e diversi zeri. Di questi ultimi è necessario scrivere tanti quante sono le cifre della parte frazionaria del numero in questione.

Come convertire le frazioni decimali in frazioni ordinarie se manca la loro parte intera, cioè uguale a zero? Ad esempio, 0,9 o 0,05. Dopo aver applicato la regola specificata, risulta che è necessario scrivere zero numeri interi. Ma non è indicato. Non resta che scrivere le parti frazionarie. Il primo numero avrà un denominatore di 10, il secondo avrà un denominatore di 100. Cioè, gli esempi forniti avranno come risposte i seguenti numeri: 9/10, 5/100. Inoltre, risulta che quest'ultimo può essere ridotto di 5. Pertanto, il risultato deve essere scritto come 1/20.

Come si può convertire una frazione decimale in una frazione ordinaria se la sua parte intera è diversa da zero? Ad esempio, 5.23 o 13.00108. In entrambi gli esempi viene letta l'intera parte e viene scritto il suo valore. Nel primo caso è 5, nel secondo è 13. Poi bisogna passare alla parte frazionaria. La stessa operazione dovrebbe essere eseguita con loro. Il primo numero appare 23/100, il secondo - 108/100000. Il secondo valore deve essere nuovamente ridotto. La risposta dà le seguenti frazioni miste: 5 23/100 e 13 27/25000.

Come convertire una frazione decimale infinita in una frazione ordinaria?

Se non è periodico, tale operazione non sarà possibile. Questo fatto è dovuto al fatto che ogni frazione decimale viene sempre convertita in una frazione finita o periodica.

L'unica cosa che puoi fare con una frazione del genere è arrotondarla. Ma allora la virgola sarà approssimativamente uguale a quella infinita. Può già essere trasformato in uno normale. Ma il processo inverso: la conversione in decimale non darà mai il valore iniziale. Cioè, infinite frazioni non periodiche non vengono convertite in frazioni ordinarie. Questo deve essere ricordato.

Come scrivere una frazione periodica infinita come frazione ordinaria?

In questi numeri ci sono sempre una o più cifre dopo la virgola che si ripetono. Si chiamano periodo. Ad esempio, 0,3(3). Qui "3" è nel punto. Sono classificati come razionali perché possono essere convertiti in frazioni ordinarie.

Coloro che hanno incontrato le frazioni periodiche sanno che possono essere pure o miste. Nel primo caso il punto inizia immediatamente dalla virgola. Nella seconda, la parte frazionaria inizia con alcuni numeri, quindi inizia la ripetizione.

La regola secondo cui è necessario scrivere un decimale infinito come frazione comune sarà diversa per i due tipi di numeri indicati. È abbastanza semplice scrivere le frazioni periodiche pure come frazioni ordinarie. Come quelli finiti, devono essere convertiti: scrivi il punto al numeratore, e il denominatore sarà il numero 9, ripetuto tante volte quante sono le cifre contenute nel punto.

Ad esempio, 0, (5). Il numero non ha una parte intera, quindi è necessario iniziare immediatamente con la parte frazionaria. Scrivi 5 al numeratore e 9 al denominatore, ovvero il risultato sarà la frazione 5/9.

La regola su come scrivere una frazione periodica decimale ordinaria mista.

Guarda la durata del periodo. Questo è il numero di 9 che avrà il denominatore.

Annota il denominatore: prima i nove, poi gli zeri.

Per determinare il numeratore, è necessario scrivere la differenza tra due numeri. Tutti i numeri dopo la virgola verranno minimizzati, insieme al punto. Franchigia: è senza periodo.

Ad esempio, 0,5(8): scrivi la frazione decimale periodica come frazione comune. La parte frazionaria prima del punto contiene una cifra. Quindi ci sarà uno zero. C'è anche un solo numero nel periodo: 8. Cioè, c'è solo un nove. Cioè, devi scrivere 90 al denominatore.

Per determinare il numeratore, devi sottrarre 5 da 58. Risulta 53. Ad esempio, dovresti scrivere la risposta come 53/90.

Come si convertono le frazioni in decimali?

L'opzione più semplice è un numero il cui denominatore è il numero 10, 100, ecc. Quindi il denominatore viene semplicemente scartato e viene inserita una virgola tra la parte frazionaria e quella intera.

Ci sono situazioni in cui il denominatore si trasforma facilmente in 10, 100, ecc. Ad esempio, i numeri 5, 20, 25. È sufficiente moltiplicarli rispettivamente per 2, 5 e 4. Devi solo moltiplicare non solo il denominatore, ma anche il numeratore per lo stesso numero.

Per tutti gli altri casi è utile una semplice regola: dividere il numeratore per il denominatore. In questo caso potresti ottenere due possibili risposte: una frazione decimale finita o periodica.

Operazioni con le frazioni ordinarie

Addizione e sottrazione

Gli studenti li conoscono prima degli altri. Inoltre, all'inizio le frazioni hanno gli stessi denominatori, poi ne hanno di diversi. Le regole generali possono essere ridotte a questo piano.

Trova il minimo comune multiplo dei denominatori.

Scrivi ulteriori fattori per tutte le frazioni ordinarie.

Moltiplica i numeratori e i denominatori per i fattori specificati per loro.

Somma (sottrai) i numeratori delle frazioni e lascia invariato il denominatore comune.

Se il numeratore del minuendo è minore del sottraendo, allora dobbiamo scoprire se si tratta di un numero misto o di una frazione propria.

Nel primo caso, devi prenderne in prestito uno dall'intera parte. Aggiungi il denominatore al numeratore della frazione. E poi fai la sottrazione.

Nella seconda è necessario applicare la regola di sottrarre un numero maggiore da un numero minore. Cioè, dal modulo del sottraendo, sottrai il modulo del minuendo e in risposta metti il ​​\u200b\u200bsegno "-".

Osserva attentamente il risultato dell'addizione (sottrazione). Se ottieni una frazione impropria, devi selezionare l'intera parte. Cioè, dividi il numeratore per il denominatore.

Moltiplicazione e divisione

Per eseguirli, non è necessario ridurre le frazioni a un denominatore comune. Ciò semplifica l'esecuzione delle azioni. Ma richiedono comunque che tu segua le regole.

Quando moltiplichi le frazioni, devi guardare i numeri ai numeratori e ai denominatori. Se qualsiasi numeratore e denominatore hanno un fattore comune, possono essere ridotti.

Moltiplica i numeratori.

Moltiplicare i denominatori.

Se il risultato è una frazione riducibile, deve essere nuovamente semplificato.

Quando dividi, devi prima sostituire la divisione con la moltiplicazione e il divisore (seconda frazione) con la frazione reciproca (scambia numeratore e denominatore).

Procedere poi come per la moltiplicazione (partendo dal punto 1).

Nei compiti in cui è necessario moltiplicare (dividere) per un numero intero, quest'ultimo dovrebbe essere scritto come frazione impropria. Cioè con denominatore 1. Successivamente agire come descritto sopra.



Operazioni con i decimali

Addizione e sottrazione

Naturalmente puoi sempre convertire un numero decimale in una frazione. E agisci secondo il piano già descritto. Ma a volte è più conveniente agire senza questa traduzione. Quindi le regole per la loro addizione e sottrazione saranno esattamente le stesse.

Uguaglia il numero di cifre nella parte frazionaria del numero, cioè dopo la virgola decimale. Aggiungi il numero mancante di zeri.

Scrivi le frazioni in modo che la virgola sia sotto la virgola.

Aggiungi (sottrai) come i numeri naturali.

Rimuovi la virgola.

Moltiplicazione e divisione

È importante che non sia necessario aggiungere zeri qui. Le frazioni dovrebbero essere lasciate così come sono fornite nell'esempio. E poi vai secondo i piani.

Per moltiplicare è necessario scrivere le frazioni una sotto l'altra, ignorando le virgole.

Moltiplicare come i numeri naturali.

Inserisci una virgola nella risposta, contando dall'estremità destra della risposta tante cifre quante sono le parti frazionarie di entrambi i fattori.

Per dividere devi prima trasformare il divisore: rendilo un numero naturale. Cioè moltiplicalo per 10, 100, ecc., a seconda di quante cifre sono presenti nella parte frazionaria del divisore.

Moltiplicare il dividendo per lo stesso numero.

Dividere una frazione decimale per un numero naturale.

Inserisci una virgola nella tua risposta nel momento in cui termina la divisione dell'intera parte.



Cosa succede se un esempio contiene entrambi i tipi di frazioni?

Sì, in matematica ci sono spesso esempi in cui è necessario eseguire operazioni su frazioni ordinarie e decimali. In tali compiti ci sono due possibili soluzioni. È necessario valutare oggettivamente i numeri e scegliere quello ottimale.

Primo modo: rappresentare i decimali ordinari

È adatto se la divisione o la traslazione danno come risultato frazioni finite. Se almeno un numero fornisce una parte periodica, questa tecnica è vietata. Pertanto, anche se non ti piace lavorare con le frazioni ordinarie, dovrai contarle.

Secondo modo: scrivere le frazioni decimali come al solito

Questa tecnica risulta essere conveniente se la parte dopo la virgola contiene 1-2 cifre. Se ce ne sono di più, potresti ritrovarti con una frazione comune molto grande e la notazione decimale renderà il compito più veloce e più facile da calcolare. Pertanto, è sempre necessario valutare in modo sobrio l'attività e scegliere il metodo di soluzione più semplice.

Frazioni scritte nella forma 0,8; 0,13; 2.856; 5.2; 0,04 è chiamato decimale. In effetti, i decimali sono una notazione semplificata per le frazioni ordinarie. Questa notazione è comoda da usare per tutte le frazioni i cui denominatori sono 10, 100, 1000 e così via.

Facciamo degli esempi (0,5 si legge come zero virgola cinque);

(0,15 letto come zero virgola quindici);

(5.3 letto come, cinque punto tre).

Tieni presente che nella notazione di una frazione decimale, una virgola separa la parte intera di un numero dalla parte frazionaria, la parte intera di una frazione propria è 0. La notazione della parte frazionaria di una frazione decimale contiene tante cifre quante ci sono zeri nella notazione del denominatore della corrispondente frazione ordinaria.

Diamo un'occhiata a un esempio, , , .

In alcuni casi può essere necessario trattare un numero naturale come un decimale la cui parte frazionaria è zero. È consuetudine scrivere che 5 = 5,0; 245 = 245,0 e così via. Si noti che nella notazione decimale di un numero naturale, l'unità della cifra meno significativa è 10 volte inferiore all'unità della cifra più significativa adiacente. Scrivere frazioni decimali ha la stessa proprietà. Pertanto subito dopo la virgola decimale c'è la cifra dei decimi, poi quella dei centesimi, poi quella dei millesimi e così via. Di seguito sono riportati i nomi delle cifre del numero 31.85431, le prime due colonne sono la parte intera, le rimanenti colonne sono la parte frazionaria.

Questa frazione si legge trentuno virgolantunocentomillesimi.

Addizione e sottrazione di decimali

Il primo modo è convertire le frazioni decimali in frazioni ordinarie ed eseguire l'addizione.

Come si vede dall'esempio, questo metodo è molto scomodo ed è meglio utilizzare il secondo metodo, che è più corretto, senza convertire le frazioni decimali in frazioni ordinarie. Per sommare due frazioni decimali è necessario:

• equalizzare il numero di cifre dopo la virgola nei termini;
• scrivere i termini uno sotto l'altro in modo che ogni cifra del secondo termine sia sotto la corrispondente cifra del primo termine;
• somma i numeri risultanti nello stesso modo in cui aggiungi i numeri naturali;
• Inserisci una virgola nella somma risultante sotto le virgole nei termini.

Diamo un'occhiata agli esempi:

• equalizzare il numero di cifre dopo la virgola decimale nel minuendo e nel sottraendo;
• scrivi il sottraendo sotto il minuendo in modo che ogni cifra del sottraendo sia sotto la cifra corrispondente del minuendo;
• eseguire la sottrazione nello stesso modo in cui vengono sottratti i numeri naturali;
• inserisci una virgola nella differenza risultante sotto le virgole del minuendo e del sottraendo.

Diamo un'occhiata agli esempi:

Negli esempi discussi sopra, si può vedere che l'addizione e la sottrazione delle frazioni decimali è stata eseguita poco a poco, cioè nello stesso modo in cui abbiamo eseguito operazioni simili con i numeri naturali. Questo è il vantaggio principale della forma decimale della scrittura delle frazioni.

Moltiplicazione dei decimali

Per moltiplicare una frazione decimale per 10, 100, 1000 e così via, devi spostare la virgola in questa frazione verso destra rispettivamente di 1, 2, 3 e così via. Pertanto, se la virgola viene spostata a destra di 1, 2, 3 e così via, la frazione aumenterà di conseguenza di 10, 100, 1000 e così via. Per moltiplicare due frazioni decimali è necessario:

• moltiplicateli come numeri naturali, ignorando le virgole;
• nel prodotto risultante, separa con una virgola tante cifre a destra quante sono dopo la virgola in entrambi i fattori insieme.

Ci sono casi in cui un prodotto contiene meno cifre di quelle necessarie per essere separate da una virgola; il numero richiesto di zeri viene aggiunto a sinistra prima di questo prodotto, quindi la virgola viene spostata a sinistra del numero richiesto di cifre.

Facciamo degli esempi: 2 * 4 = 8, quindi 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, quindi 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Ci sono casi in cui uno dei moltiplicatori è pari a 0,1; 0,01; 0.001 e così via, è più conveniente utilizzare la seguente regola.

• Per moltiplicare un decimale per 0,1; 0,01; 0,001 e così via, in questa frazione decimale è necessario spostare la virgola a sinistra rispettivamente di 1, 2, 3 e così via.

Diamo un'occhiata agli esempi: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Le proprietà della moltiplicazione dei numeri naturali si applicano anche alle frazioni decimali.

• ab = ba- proprietà commutativa della moltiplicazione;
• (ab) c = a (bc)- la proprietà associativa della moltiplicazione;
• a(b+c) = ab+acè una proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

Divisione decimale

È noto che se dividi un numero naturale UN ad un numero naturale B significa trovare un numero naturale del genere C, che moltiplicato per B dà un numero UN. Questa regola rimane vera se almeno uno dei numeri a, b, cè una frazione decimale.

Facciamo un esempio: devi dividere 43,52 per 17 con un angolo, ignorando la virgola. In questo caso, la virgola nel quoziente deve essere posizionata immediatamente prima della prima cifra dopo la virgola decimale nel dividendo.

Ci sono casi in cui il dividendo è inferiore al divisore, quindi la parte intera del quoziente è uguale a zero. Diamo un'occhiata ad un esempio:

Diamo un'occhiata a un altro esempio interessante.

Il processo di divisione si è interrotto perché le cifre del dividendo sono esaurite e il resto non ha zero. È noto che una frazione decimale non cambierà se ad essa viene aggiunto un numero qualsiasi di zeri a destra. Allora diventa chiaro che i numeri del dividendo non possono finire.

Per dividere una frazione decimale per 10, 100, 1000 e così via, è necessario spostare la virgola decimale in questa frazione verso sinistra di 1, 2, 3 e così via. Facciamo un esempio: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.

Se il dividendo e il divisore vengono aumentati contemporaneamente di 10, 100, 1000 e così via, il quoziente non cambierà.

Considera un esempio: 39,44: 1,6 = 24,65, aumenta il dividendo e il divisore di 10 volte 394,4: 16 = 24,65 È giusto notare che dividere una frazione decimale per un numero naturale nel secondo esempio è più semplice.

Per dividere una frazione decimale per un decimale è necessario:

• spostare le virgole nel dividendo e nel divisore a destra di tante cifre quante sono dopo la virgola nel divisore;
• dividere per un numero naturale.

Consideriamo un esempio: 23,6: 0,02, notiamo che il divisore ha due cifre decimali, quindi moltiplichiamo entrambi i numeri per 100 e otteniamo 2360: 2 = 1180, dividiamo il risultato per 100 e otteniamo la risposta 11,80 oppure 23,6: 0, 02 = 11.8.

Confronto di decimali

Esistono due modi per confrontare i decimali. Metodo uno, devi confrontare due frazioni decimali 4.321 e 4.32, equalizzare il numero di cifre decimali e iniziare a confrontare posto per posto, decimi con decimi, centesimi con centesimi e così via, alla fine otteniamo 4.321 > 4.320.

Il secondo modo per confrontare le frazioni decimali si esegue utilizzando la moltiplicazione: moltiplica l'esempio precedente per 1000 e confronta 4321 > 4320. Ognuno sceglie quale metodo è più conveniente.

CAPITOLO III.

DECIMALI.

§ 31. Problemi ed esempi per tutte le operazioni con frazioni decimali.

Segui questi passi:

767. Trova il quoziente di divisione:

Segui questi passi:

772. Calcolare:

Trovare X , Se:

776. Il numero sconosciuto fu moltiplicato per la differenza tra i numeri 1 e 0,57 e il prodotto fu 3,44. Trova il numero sconosciuto.

777. La somma del numero sconosciuto e 0,9 è stata moltiplicata per la differenza tra 1 e 0,4 e il prodotto era 2,412. Trova il numero sconosciuto.

778. Utilizzando i dati del diagramma sulla fusione del ferro nella RSFSR (Fig. 36), crea un problema per risolverlo, per il quale è necessario applicare le azioni di addizione, sottrazione e divisione.

779. 1) La lunghezza del Canale di Suez è di 165,8 km, la lunghezza del Canale di Panama è di 84,7 km in meno rispetto al Canale di Suez e la lunghezza del Canale Mar Bianco-Baltico è di 145,9 km in più rispetto alla lunghezza del Canale di Panama. Qual è la lunghezza del Canale Mar Bianco-Baltico?

2) La metropolitana di Mosca (nel 1959) fu costruita in 5 fasi. La lunghezza della prima tappa della metropolitana è di 11,6 km, la seconda -14,9 km, la lunghezza della terza è 1,1 km in meno rispetto alla lunghezza della seconda tappa, la lunghezza della quarta tappa è 9,6 km in più rispetto alla terza tappa , e la lunghezza della quinta tappa è di 11,5 km meno la quarta. Qual era la lunghezza della metropolitana di Mosca all'inizio del 1959?

780. 1) La profondità massima dell'Oceano Atlantico è 8,5 km, la profondità massima dell'Oceano Pacifico è 2,3 km maggiore della profondità dell'Oceano Atlantico e la profondità massima dell'Oceano Artico è 2 volte inferiore alla profondità massima dell'Oceano Atlantico. L'oceano Pacifico. Qual è la profondità massima del Mar Glaciale Artico?

2) L'auto Moskvich consuma 9 litri di benzina ogni 100 km, l'auto Pobeda consuma 4,5 litri in più della Moskvich e la Volga 1,1 volte più della Pobeda. Quanta benzina consuma un'auto Volga per 1 km di viaggio? (Risposta arrotondata allo 0,01 l più vicino.)

781. 1) Lo studente è andato dal nonno durante le vacanze. Ha viaggiato in treno per 8,5 ore e dalla stazione a cavallo per 1,5 ore. In totale ha percorso 440 km. A quale velocità viaggiava lo studente sulla ferrovia se cavalcava a cavallo a una velocità di 10 km orari?

2) L'agricoltore collettivo doveva trovarsi in un punto situato a una distanza di 134,7 km da casa sua. Ha viaggiato sull'autobus per 2,4 ore a una velocità media di 55 km orari e ha camminato per il resto del percorso a una velocità di 4,5 km orari. Quanto tempo ha camminato?

782. 1) Durante l'estate, un gopher distrugge circa 0,12 centesimi di pane. In primavera i pionieri sterminarono 1.250 scoiattoli di terra su 37,5 ettari. Quanto pane hanno risparmiato gli scolari per la fattoria collettiva? Quanto pane risparmiato c'è per 1 ettaro?

2) La fattoria collettiva ha calcolato che distruggendo i roditori su un'area di 15 ettari di terreno coltivabile, gli scolari hanno risparmiato 3,6 tonnellate di grano. Quanti roditori vengono distrutti in media per 1 ettaro di terreno se un roditore distrugge 0,012 tonnellate di grano durante l'estate?

783. 1) Quando si macina il grano in farina, si perde 0,1 del suo peso e durante la cottura si ottiene una cottura pari a 0,4 del peso della farina. Quanto pane verrà prodotto da 2,5 tonnellate di grano?

2) La fattoria collettiva ha raccolto 560 tonnellate di semi di girasole. Quanto olio di girasole verrà prodotto dai chicchi raccolti se il peso dei chicchi è 0,7 del peso dei semi di girasole e il peso dell'olio risultante è 0,25 del peso dei chicchi?

784. 1) La resa della panna dal latte è 0,16 del peso del latte, e la resa del burro dalla panna è 0,25 del peso della panna. Quanto latte (in peso) è necessario per produrre 1 quintale di burro?

2) Quanti chilogrammi di funghi porcini devono essere raccolti per ottenere 1 kg di funghi secchi, se durante la preparazione all'essiccazione rimane 0,5 del peso e durante l'essiccazione rimane 0,1 del peso dei funghi lavorati?

785. 1) La terra assegnata alla fattoria collettiva è utilizzata come segue: il 55% è occupato da seminativi, il 35% da prato, e il resto della terra per un importo di 330,2 ettari è destinato all'orto della fattoria collettiva e per le proprietà dei contadini collettivi. Quanta terra c'è nella fattoria collettiva?

2) La fattoria collettiva ha seminato il 75% della superficie totale seminata a cereali, il 20% a verdure e la restante superficie a erbe foraggere. Quanta superficie seminata avrebbe avuto la fattoria collettiva se avesse seminato 60 ettari con erbe foraggere?

786. 1) Quanti quintali di semi saranno necessari per seminare un campo a forma di rettangolo lungo 875 m e largo 640 m, se si seminano 1,5 quintali di semi per 1 ettaro?

2) Quanti quintali di semi saranno necessari per seminare un campo a forma di rettangolo se il suo perimetro è di 1,6 km? La larghezza del campo è di 300 m Per seminare 1 ettaro sono necessari 1,5 quintali di seme.

787. Quante piastre quadrate con un lato di 0,2 dm possono essere contenute in un rettangolo di 0,4 dm x 10 dm?

788. La sala lettura ha dimensioni 9,6 m x 5 m x 4,5 m Per quanti posti è prevista la sala lettura se sono necessari 3 metri cubi per ogni persona? m d'aria?

789. 1) Quale area del prato verrà falciata da un trattore con un rimorchio di quattro falciatrici in 8 ore, se la larghezza di lavoro di ciascuna falciatrice è di 1,56 me la velocità del trattore è di 4,5 km all'ora? (Il tempo necessario per le soste non viene preso in considerazione.) (Arrotondare la risposta allo 0,1 ettari più vicino.)

2) La larghezza di lavoro della seminatrice per ortaggi del trattore è di 2,8 m Quale area può essere seminata con questa seminatrice in 8 ore. lavorare a una velocità di 5 km orari?

790. 1) Trovare la resa di un aratro trivomere in 10 ore. lavoro, se la velocità del trattore è di 5 km orari, l'aderenza di un corpo è di 35 cm e la perdita di tempo è pari allo 0,1 del tempo totale impiegato. (Arrotondare la risposta allo 0,1 ettari più vicino.)

2) Trovare la resa di un aratro trattore pentavome in 6 ore. lavoro, se la velocità del trattore è di 4,5 km orari, l'aderenza di un corpo è di 30 cm e la perdita di tempo è pari allo 0,1 del tempo totale impiegato. (Arrotondare la risposta allo 0,1 ettari più vicino.)

791. Il consumo d'acqua per una locomotiva a vapore di un treno passeggeri per 5 km di viaggio è di 0,75 tonnellate, il serbatoio dell'acqua del tender contiene 16,5 tonnellate d'acqua. Quanti chilometri avrà abbastanza acqua per percorrere il treno se il serbatoio è riempito fino a 0,9 della sua capacità?

792. Il raccordo può ospitare solo 120 vagoni merci con una lunghezza media di 7,6 m. Quanti vagoni passeggeri a quattro assi, ciascuno lungo 19,2 m, possono stare su questo binario se su questo binario vengono posizionati altri 24 vagoni merci?

793. Per garantire la resistenza del rilevato ferroviario, si consiglia di rinforzare i pendii seminando erbe da campo. Per ogni metro quadrato di terrapieno sono necessari 2,8 g di semi, che costano 0,25 rubli. per 1kg. Quanto costerà seminare 1,02 ettari di pendii se il costo dei lavori è pari allo 0,4 del costo delle sementi? (Arrotondare la risposta al rublo più vicino.)

794. La fabbrica di mattoni consegnava i mattoni alla stazione ferroviaria. Per trasportare i mattoni lavoravano 25 cavalli e 10 camion. Ogni cavallo trasportava 0,7 tonnellate per viaggio ed effettuava 4 viaggi al giorno. Ciascun veicolo trasportava 2,5 tonnellate per viaggio ed effettuava 15 viaggi al giorno. Il trasporto è durato 4 giorni. Quanti mattoni sono stati consegnati alla stazione se il peso medio di un mattone è 3,75 kg? (Arrotondare la risposta alle mille unità più vicine.)

795. La scorta di farina è stata distribuita tra tre panifici: il primo ha ricevuto 0,4 della scorta totale, il secondo 0,4 del resto e il terzo panificio ha ricevuto 1,6 tonnellate di farina in meno rispetto al primo. Quanta farina è stata distribuita in totale?

796. Nel secondo anno dell'istituto ci sono 176 studenti, nel terzo anno ce ne sono 0,875 e nel primo anno una volta e mezza di più rispetto al terzo anno. Il numero degli studenti del primo, secondo e terzo anno ammontava a 0,75 del totale degli studenti di questo istituto. Quanti studenti c'erano all'istituto?

797. Trova la media aritmetica:

1) due numeri: 56,8 e 53,4; 705.3 e 707.5;

2) tre numeri: 46,5; 37,8 e 36; 0,84; 0,69 e 0,81;

3) quattro numeri: 5,48; 1,36; 3.24 e 2.04.

798. 1) Al mattino la temperatura era di 13,6°, a mezzogiorno 25,5° e alla sera 15,2°. Calcola la temperatura media per questo giorno.

2) Qual è la temperatura media della settimana, se durante la settimana il termometro segna: 21°; 20,3°; 22,2°; 23,5°; 21,1°; 22,1°; 20,8°?

799. 1) Il team scolastico ha estirpato 4,2 ettari di barbabietole il primo giorno, 3,9 ettari il secondo giorno e 4,5 ettari il terzo. Determinare la produzione media giornaliera della squadra.

2) Per stabilire il tempo standard per la produzione di un nuovo pezzo sono stati forniti 3 tornitori. Il primo ha prodotto la parte in 3,2 minuti, il secondo in 3,8 minuti e il terzo in 4,1 minuti. Calcolare il tempo standard impostato per la produzione della parte.

800. 1) La media aritmetica di due numeri è 36,4. Uno di questi numeri è 36,8. Trova qualcos'altro.

2) La temperatura dell'aria è stata misurata tre volte al giorno: al mattino, a mezzogiorno e alla sera. Trova la temperatura dell'aria al mattino se a mezzogiorno era di 28,4°, la sera di 18,2° e la temperatura media del giorno è di 20,4°.

801. 1) L'auto ha percorso 98,5 km nelle prime due ore, e 138 km nelle tre ore successive. Quanti chilometri ha percorso in media un'auto all'ora?

2) Un test di cattura e pesatura di carpe di un anno ha mostrato che su 10 carpe, 4 pesavano 0,6 kg, 3 pesavano 0,65 kg, 2 pesavano 0,7 kg e 1 pesava 0,8 kg. Qual è il peso medio di una carpa di un anno?

802. 1) Per 2 litri di sciroppo costa 1,05 rubli. per 1 litro aggiungere 8 litri di acqua. Quanto costa 1 litro dell'acqua risultante con lo sciroppo?

2) La padrona di casa ha acquistato una lattina da 0,5 litri di borscht in scatola per 36 centesimi. e bollito con 1,5 litri di acqua. Quanto costa un piatto di borscht se il suo volume è di 0,5 litri?

803. Lavoro di laboratorio “Misurare la distanza tra due punti”,

1° appuntamento. Misurazione con un metro a nastro (nastro di misurazione). La classe è divisa in unità di tre persone ciascuna. Accessori: 5-6 poli e 8-10 tag.

Avanzamento del lavoro: 1) si segnano i punti A e B e si traccia una linea retta tra di loro (vedi compito 178); 2) adagiare il metro lungo la retta appesa e segnare ogni volta l'estremità del metro con un cartellino. 2° appuntamento. Misurazione, passaggi. La classe è divisa in unità di tre persone ciascuna. Ogni studente percorre la distanza da A a B, contando il numero dei suoi passi. Moltiplicando la lunghezza media del tuo passo per il numero di passi risultante, trovi la distanza da A a B.

3° appuntamento. Misurare a occhio. Ogni studente allunga la mano sinistra con il pollice alzato (Fig. 37) e punta il pollice verso il palo nel punto B (un albero nella foto) in modo che l'occhio sinistro (punto A), il pollice e il punto B siano sullo stesso retta. Senza cambiare posizione, chiudi l'occhio sinistro e guarda il tuo pollice con la destra. Misurare a occhio lo spostamento risultante e aumentarlo di 10 volte. Questa è la distanza da A a B.

804. 1) Secondo il censimento del 1959, la popolazione dell'URSS era di 208,8 milioni di persone e la popolazione rurale era di 9,2 milioni in più rispetto a quella urbana. Quanta popolazione urbana e quanta rurale c'era nell'URSS nel 1959?

2) Secondo il censimento del 1913, la popolazione della Russia era di 159,2 milioni di persone e la popolazione urbana era di 103,0 milioni in meno rispetto a quella rurale. Qual era la popolazione urbana e rurale della Russia nel 1913?

805. 1) La lunghezza del filo è di 24,5 m. Questo filo è stato tagliato in due parti in modo che la prima parte fosse 6,8 m più lunga della seconda. Quanti metri è lunga ciascuna parte?

2) La somma di due numeri è 100,05. Un numero è 97,06 più dell'altro. Trova questi numeri.

806. 1) Ci sono 8656,2 tonnellate di carbone in tre magazzini di carbone, nel secondo magazzino ci sono 247,3 tonnellate di carbone in più rispetto al primo, e nel terzo ci sono 50,8 tonnellate in più rispetto al secondo. Quante tonnellate di carbone ci sono in ogni magazzino?

2) La somma di tre numeri è 446,73. Il primo numero è inferiore al secondo di 73,17 e superiore al terzo di 32,22. Trova questi numeri.

807. 1) La barca si muoveva lungo il fiume ad una velocità di 14,5 km orari e controcorrente ad una velocità di 9,5 km orari. Qual è la velocità della barca in acqua ferma e qual è la velocità della corrente del fiume?

2) Il piroscafo ha percorso 85,6 km lungo il fiume in 4 ore e 46,2 km controcorrente in 3 ore. Qual è la velocità del battello a vapore nell'acqua ferma e qual è la velocità del flusso del fiume?

808. 1) Due navi a vapore trasportarono 3.500 tonnellate di carico e una nave a vapore consegnò 1,5 volte più carico dell'altra. Quanto carico trasportava ciascuna nave?

2) La superficie di due locali è di 37,2 mq. M. L'area di una stanza è 2 volte più grande dell'altra. Qual è l'area di ogni stanza?

809. 1) Da due insediamenti, la cui distanza è di 32,4 km, un motociclista e un ciclista hanno guidato contemporaneamente l'uno verso l'altro. Quanti chilometri percorreranno ciascuno prima dell'incontro se la velocità del motociclista è 4 volte quella del ciclista?

2) Trova due numeri la cui somma è 26,35 e il quoziente di divisione di un numero per l'altro è 7,5.

810. 1) L'impianto ha inviato tre tipi di carico per un peso totale di 19,2 tonnellate. Il peso del primo tipo di carico era tre volte il peso del secondo tipo di carico e il peso del terzo tipo di carico era la metà come il peso del primo e del secondo tipo di carico combinati. Qual è il peso di ciascun tipo di carico?

2) In tre mesi, una squadra di minatori ha estratto 52,5mila tonnellate di minerale di ferro. A marzo è stata prodotta 1,3 volte, a febbraio 1,2 volte di più che a gennaio. Quanto minerale veniva estratto mensilmente dall'equipaggio?

811. 1) Il gasdotto Saratov-Mosca è 672 km più lungo del Canale di Mosca. Trova la lunghezza di entrambe le strutture se la lunghezza del gasdotto è 6,25 volte maggiore della lunghezza del Canale di Mosca.

2) La lunghezza del fiume Don è 3.934 volte maggiore della lunghezza del fiume Moscova. Trova la lunghezza di ciascun fiume se la lunghezza del fiume Don è 1.467 km maggiore della lunghezza del fiume Moscova.

812. 1) La differenza tra due numeri è 5,2 e il quoziente di un numero diviso per un altro è 5. Trova questi numeri.

2) La differenza tra due numeri è 0,96 e il loro quoziente è 1,2. Trova questi numeri.

813. 1) Un numero è 0,3 inferiore all'altro ed è 0,75. Trova questi numeri.

2) Un numero è 3,9 più di un altro numero. Se il numero più piccolo viene raddoppiato, sarà 0,5 di quello più grande. Trova questi numeri.

814. 1) La fattoria collettiva ha seminato 2.600 ettari di terreno a grano e segale. Quanti ettari di terreno sono stati seminati a grano e quanti a segale, se 0,8 della superficie seminata a grano è pari a 0,5 della superficie seminata a segale?

2) La collezione di due ragazzi complessivamente ammonta a 660 francobolli. Di quanti francobolli è composta la collezione di ciascun ragazzo se 0,5 dei francobolli del primo ragazzo sono pari a 0,6 della collezione del secondo ragazzo?

815. Due studenti insieme avevano 5,4 rubli. Dopo che il primo avrà speso 0,75 dei suoi soldi e il secondo 0,8 dei suoi soldi, rimasero la stessa somma di denaro. Quanti soldi aveva ogni studente?

816. 1) Due navi a vapore partono l'una verso l'altra da due porti, la cui distanza è di 501,9 km. Quanto tempo impiegheranno per incontrarsi se la velocità della prima nave è di 25,5 km all'ora e la velocità della seconda è di 22,3 km all'ora?

2) Due treni partono l'uno verso l'altro da due punti, la cui distanza è di 382,2 km. Quanto tempo impiegherebbero per incontrarsi se la velocità media del primo treno fosse di 52,8 km orari e del secondo di 56,4 km orari?

817. 1) Due auto hanno lasciato due città contemporaneamente a una distanza di 462 km e si sono incontrate dopo 3,5 ore. Trova la velocità di ciascuna auto se la velocità della prima fosse 12 km orari maggiore della velocità della seconda auto.

2) Da due insediamenti, la cui distanza è di 63 km, un motociclista e un ciclista sono partiti contemporaneamente l'uno verso l'altro e si sono incontrati dopo 1,2 ore. Trovare la velocità del motociclista se il ciclista viaggiasse ad una velocità 27,5 km orari inferiore alla velocità del motociclista.

818. Lo studente ha notato che un treno composto da una locomotiva a vapore e 40 carrozze gli è passato accanto per 35 secondi. Determina la velocità oraria del treno se la lunghezza della locomotiva è 18,5 m e la lunghezza della carrozza è 6,2 m (dai una risposta precisa con 1 km all'ora).

819. 1) Un ciclista ha lasciato A per B ad una velocità media di 12,4 km orari. Dopo 3 ore e 15 minuti. un altro ciclista uscì da B verso di lui ad una velocità media di 10,8 km orari. Dopo quante ore e a quale distanza da A si incontreranno se 0,32 la distanza tra A e B è 76 km?

2) Dalle città A e B, la cui distanza è di 164,7 km, un camion della città A e un'auto della città B si sono diretti l'uno verso l'altro. La velocità del camion è di 36 km e la velocità dell'auto è di 1,25 volte più alto. L'autovettura è partita 1,2 ore più tardi del camion. Dopo quanto tempo e a quale distanza dalla città B l'autovettura incontrerà il camion?

820. Due navi sono partite contemporaneamente dallo stesso porto e si dirigono nella stessa direzione. Il primo piroscafo percorre 37,5 km ogni 1,5 ore e il secondo 45 km ogni 2 ore. Quanto tempo impiega la prima nave a trovarsi a 10 km dalla seconda?

821. Un pedone ha lasciato prima un punto e un'ora e mezza dopo la sua uscita un ciclista è partito nella stessa direzione. A quale distanza dal punto il ciclista ha raggiunto il pedone se il pedone camminava a una velocità di 4,25 km orari e il ciclista viaggiava a una velocità di 17 km orari?

822. Il treno lasciò Mosca per Leningrado alle 6. 10 minuti. mattina e camminavo ad una velocità media di 50 km orari. Successivamente, un aereo passeggeri è decollato da Mosca a Leningrado ed è arrivato a Leningrado contemporaneamente all'arrivo del treno. La velocità media dell'aereo era di 325 km orari e la distanza tra Mosca e Leningrado era di 650 km. Quando è decollato l'aereo da Mosca?

823. Il piroscafo ha viaggiato lungo il fiume per 5 ore e controcorrente per 3 ore e ha percorso solo 165 km. Quanti chilometri ha percorso a valle e quanti contro corrente, se la velocità del flusso del fiume è di 2,5 km orari?

824. Il treno è partito da A e deve arrivare a B ad una certa ora; dopo aver percorso metà percorso e aver percorso 0,8 km in 1 minuto, il treno è stato fermo per 0,25 ore; avendo ulteriormente aumentato la velocità di 100 m per 1 milione, il treno arrivò in orario a B. Trova la distanza tra A e B.

825. Dalla fattoria collettiva alla città 23 km. Un postino andava in bicicletta dalla città alla fattoria collettiva a una velocità di 12,5 km orari. Dopo 0,4 ore il dirigente della fattoria colcosiana entrò in città a cavallo con una velocità pari a 0,6 di quella del postino. Quanto tempo dopo la sua partenza il colcosiano incontrerà il postino?

826. Un'auto ha lasciato la città A per la città B, a 234 km di distanza da A, ad una velocità di 32 km all'ora. 1,75 ore dopo, una seconda automobile lasciò la città B verso la prima, la cui velocità era 1,225 volte superiore a quella della prima. Quante ore dopo la partenza la seconda macchina incontrerà la prima?

827. 1) Un dattilografo può ribattere un manoscritto in 1,6 ore e un altro in 2,5 ore. Quanto tempo impiegheranno entrambi i dattilografi a scrivere questo manoscritto, lavorando insieme? (Arrotondare la risposta all'ora 0,1 più vicina.)

2) La piscina viene riempita con due pompe di diversa potenza. La prima pompa, lavorando da sola, riesce a riempire la piscina in 3,2 ore, la seconda in 4 ore. Quanto tempo occorrerà per riempire la piscina se queste pompe funzionano contemporaneamente? (Risposta arrotondata allo 0,1 più vicino.)

828. 1) Una squadra può completare un ordine in 8 giorni. L'altro ha bisogno di 0,5 volte per completare questo ordine. La terza squadra può completare questo ordine in 5 giorni. Quanti giorni ci vorranno per completare l'intero ordine se tre squadre lavorano insieme? (Risposta arrotondata allo 0,1 giorno più vicino.)

2) Il primo lavoratore può completare l'ordine in 4 ore, il secondo 1,25 volte più velocemente e il terzo in 5 ore. Quante ore ci vorranno per completare l'ordine se tre lavoratori lavorano insieme? (Arrotondare la risposta all'ora 0,1 più vicina.)

829. Due auto sono al lavoro per pulire la strada. Il primo riesce a pulire l'intera strada in 40 minuti, il secondo impiega il 75% del tempo del primo. Entrambe le macchine hanno iniziato a funzionare contemporaneamente. Dopo aver lavorato insieme per 0,25 ore, la seconda macchina ha smesso di funzionare. Quanto tempo dopo la prima macchina ha finito di pulire la strada?

830. 1) Uno dei lati del triangolo è 2,25 cm, il secondo è 3,5 cm più grande del primo e il terzo è 1,25 cm più piccolo del secondo. Trova il perimetro del triangolo.

2) Uno dei lati del triangolo misura 4,5 cm, il secondo è 1,4 cm inferiore al primo e il terzo lato è pari alla metà della somma dei primi due lati. Qual è il perimetro del triangolo?

831 . 1) La base del triangolo è 4,5 cm e la sua altezza è 1,5 cm in meno. Trova l'area del triangolo.

2) L'altezza del triangolo è 4,25 cm e la sua base è 3 volte più grande. Trova l'area del triangolo. (Risposta arrotondata allo 0,1 più vicino.)

832. Trova l'area delle figure ombreggiate (Fig. 38).

833. Quale area è più grande: un rettangolo con i lati 5 cm e 4 cm, un quadrato con i lati 4,5 cm o un triangolo la cui base e altezza misurano ciascuna 6 cm?

834. La stanza è lunga 8,5 m, larga 5,6 me alta 2,75 m L'area di finestre, porte e stufe è 0,1 della superficie totale delle pareti della stanza. Quanti pezzi di carta da parati saranno necessari per coprire questa stanza se un pezzo di carta da parati è lungo 7 m e largo 0,75 m? (Arrotondare la risposta al pezzo più vicino.)

835. È necessario intonacare e imbiancare l'esterno di una casa a un piano, le cui dimensioni sono: lunghezza 12 m, larghezza 8 me altezza 4,5 m La casa ha 7 finestre di 0,75 m x 1,2 m ciascuna e 2 porte ciascuna di misura 0,75 mx 2,5 m Quanto costerà l'intero lavoro se l'imbiancatura e l'intonacatura sono di 1 mq. m costa 24 centesimi? (Arrotondare la risposta al rublo più vicino.)

836. Calcola la superficie e il volume della tua stanza. Trova le dimensioni della stanza misurando.

837. Il giardino ha la forma di un rettangolo, la cui lunghezza è di 32 m, la larghezza è di 10 m 0,05 dell'intera area del giardino è seminata a carote e il resto del giardino è coltivato a patate e cipolle, e a patate è coltivata una superficie 7 volte più grande di quella coltivata a cipolle. Quanta terra viene coltivata individualmente a patate, cipolle e carote?

838. L'orto ha la forma di un rettangolo, la cui lunghezza è di 30 metri e larghezza di 12 metri, 0,65 dell'intera superficie dell'orto è coltivata a patate e il resto a carote e barbabietole, e 84 mq sono coltivati ​​a barbabietole. Sono più delle carote. Quanta terra separatamente c'è per patate, barbabietole e carote?

839. 1) La scatola a forma di cubo era rivestita su tutti i lati con compensato. Quanto compensato è stato utilizzato se il bordo del cubo misura 8,2 dm? (Arrotondare la risposta allo 0,1 dmq più vicino.)

2) Quanta vernice sarà necessaria per dipingere un cubo con un bordo di 28 cm, se per 1 mq. cm verranno utilizzati 0,4 g di vernice? (Risposta arrotondata allo 0,1 kg più vicino.)

840. La lunghezza di una billetta di ghisa a forma di parallelepipedo rettangolare è di 24,5 cm, larghezza 4,2 cm e altezza 3,8 cm Quanto pesano 200 billette di ghisa se 1 cubo. dm di ghisa pesa 7,8 kg? (Risposta arrotondata al kg più vicino.)

841. 1) La lunghezza di una scatola (con coperchio) a forma di parallelepipedo rettangolare è di 62,4 cm, larghezza 40,5 cm, altezza 30 cm Quanti metri quadrati di tavole sono stati utilizzati per realizzare la scatola, se le tavole di scarto ammontano a 0,2 della superficie da ricoprire con pannelli? (Arrotondare la risposta allo 0,1 mq più vicino)

2) Le pareti di fondo e laterali della fossa, che ha forma di parallelepipedo rettangolare, dovranno essere rivestite con assi. La fossa è lunga 72,5 m, larga 4,6 me alta 2,2 m Quanti metri quadrati di tavole sono state utilizzate per il rivestimento se lo scarto di tavole costituisce 0,2 della superficie che dovrebbe essere rivestita con tavole? (Arrotondare la risposta al mq più vicino)

842. 1) La lunghezza del seminterrato, a forma di parallelepipedo rettangolare, è di 20,5 m, la larghezza è 0,6 della sua lunghezza e l'altezza è di 3,2 m. Il seminterrato era riempito di patate per 0,8 del suo volume. Quante tonnellate di patate possono stare nel seminterrato se 1 metro cubo di patate pesa 1,5 tonnellate? (Risposta arrotondata al migliaio più vicino.)

2) La lunghezza del serbatoio, a forma di parallelepipedo rettangolare, è di 2,5 m, la larghezza è 0,4 della sua lunghezza e l'altezza è 1,4 M. Il serbatoio è riempito di cherosene per 0,6 del suo volume. Quante tonnellate di cherosene vengono versate nel serbatoio se il peso del cherosene in un volume è di 1 metro cubo? m equivale a 0,9 t? (Risposta arrotondata alle 0,1 t più vicine)

843. 1) Quanto tempo occorre per rinnovare l'aria in una stanza lunga 8,5 m, larga 6 m e alta 3,2 m, se attraverso una finestra in 1 secondo. passa 0,1 metri cubi. m d'aria?

2) Calcola il tempo necessario per rinfrescare l'aria nella tua stanza.

844. Le dimensioni del blocco di cemento per la costruzione di muri sono le seguenti: 2,7 m x 1,4 m x 0,5 m Il vuoto costituisce il 30% del volume del blocco. Quanti metri cubi di cemento saranno necessari per realizzare 100 blocchi di questo tipo?

845. Livellatrice-elevatore (macchina per scavare fossati) in 8 ore. L'opera realizza un fossato largo 30 cm, profondo 34 cm e lungo 15 km. Quanti scavatori sostituisce una macchina del genere se uno scavatore può rimuovere 0,8 metri cubi? m all'ora? (Arrotondare il risultato.)

846. Il contenitore a forma di parallelepipedo rettangolare è lungo 12 me largo 8 m. In questo contenitore il grano viene versato ad un'altezza di 1,5 M. Per scoprire quanto pesa tutto il grano, hanno preso una scatola lunga 0,5 m, larga 0,5 me alta 0,4 m, l'hanno riempita di grano e l'hanno pesata. Quanto pesava il grano nel contenitore se il grano nella scatola pesava 80 kg?

848. 1) Utilizzando il diagramma “Produzione di acciaio nella RSFSR” (Fig. 39). rispondi alle seguenti domande:

a) Di quanti milioni di tonnellate è aumentata la produzione di acciaio nel 1959 rispetto al 1945?

b) Quante volte la produzione di acciaio nel 1959 è stata maggiore della produzione di acciaio nel 1913? (Preciso fino a 0,1.)

2) Utilizzando il diagramma “Aree coltivate nella RSFSR” (Fig. 40), rispondere alle seguenti domande:

a) Di quanti milioni di ettari è aumentata la superficie coltivata nel 1959 rispetto al 1945?

b) Quante volte la superficie seminata nel 1959 è stata maggiore di quella nel 1913?

849. Costruisci un diagramma lineare della crescita della popolazione urbana nell'URSS, se nel 1913 la popolazione urbana era di 28,1 milioni di persone, nel 1926 - 24,7 milioni, nel 1939 - 56,1 milioni e nel 1959 - 99,8 milioni di persone.

850. 1) Fai un preventivo per la ristrutturazione della tua aula, se devi imbiancare pareti e soffitto, e tinteggiare il pavimento. Scopri i dati per redigere un preventivo (dimensione della classe, costo per imbiancare 1 mq, costo per tinteggiare il pavimento 1 mq) dal custode della scuola.

2) Per piantare in giardino, la scuola ha acquistato piantine: 30 meli per 0,65 rubli. al pezzo, 50 ciliegie per 0,4 rubli. per pezzo, 40 cespugli di uva spina per 0,2 rubli. e 100 cespugli di lamponi per 0,03 rubli. per un cespuglio. Scrivi una fattura per questo acquisto utilizzando il seguente esempio: