Systémy nerovníc: definícia, typy, príklady riešení. Grafické riešenie sústav lineárnych nerovníc Príklady nerovností a sústav nerovníc

Systém nerovností Je zvykom nazývať akúkoľvek množinu dvoch alebo viacerých nerovností obsahujúcich neznámu veličinu.

Táto formulácia je ilustrovaná napríklad nasledujúcim systémy nerovností:

Vyriešte systém nerovností - znamená nájsť všetky hodnoty neznámej premennej, pre ktoré je realizovaná každá nerovnosť systému, alebo dokázať, že také neexistujú .

Takže pre každého jednotlivca systémové nerovnosti vypočítať neznámu premennú. Ďalej z výsledných hodnôt vyberie len tie, ktoré sú pravdivé pre prvú aj druhú nerovnosť. Preto pri dosadení zvolenej hodnoty sa obe nerovnosti systému stanú správnymi.

Poďme analyzovať riešenie niekoľkých nerovností:

Umiestnite jeden pod druhý pár číselných radov; dajte hodnotu navrch X, pod ktorou je prvá nerovnosť o ( X> 1) sa stane pravdou a v spodnej časti je hodnota X, ktoré sú riešením druhej nerovnosti ( X> 4).

Porovnaním údajov o číselné rady, všimnite si, že riešenie pre obe nerovnosti bude X> 4. Odpoveď, X> 4.

Príklad 2

Výpočet prvého nerovnosť dostaneme -3 X< -6, или X> 2, druhý - X> -8, príp X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, pod ktorým prvý systémová nerovnosť a na spodnom číselnom riadku všetky tieto hodnoty X, pod ktorou sa realizuje druhá nerovnosť systému.

Porovnaním údajov zistíme, že oboje nerovnosti budú implementované pre všetky hodnoty X umiestnené od 2 do 8. Súbory hodnôt X označovať dvojitá nerovnosť 2 < X< 8.

Príklad 3 Poďme nájsť

Napríklad:

\(\začiatok(prípady)5x+2≥0\\x<2x+1\\x-4>2\koniec (prípady)\)

\(\začiatok(prípady)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end(cases)\)

\(\begin(cases)(x^2+1)(x^2+3)(x^2-1)≥0\\x<3\end{cases}\)

Riešenie systému nerovností

Komu vyriešiť systém nerovností musíte nájsť x hodnôt, ktoré vyhovujú všetkým nerovnostiam v systéme - to znamená, že sa vykonávajú súčasne.

Príklad. Vyriešte systém \(\začiatok(prípady)x>4\\x\leq7\koniec(prípady)\)
Riešenie: Prvá nerovnosť sa stane pravdivou, ak je x väčšie ako \(4\). To znamená, že riešenia prvej nerovnosti sú všetky hodnoty x z \((4;\infty)\), alebo na reálnej osi:

Druhá nerovnosť je vhodná pre hodnoty x menšie ako 7, teda ľubovoľné x z intervalu \((-\infty;7]\) alebo na reálnej osi:

A aké hodnoty sú vhodné pre obe nerovnosti? Tie, ktoré patria do oboch medzier, teda tam, kde sa medzery pretínajú.

odpoveď: \((4;7]\)

Ako ste si mohli všimnúť, na pretínanie riešení nerovníc v sústave je vhodné použiť číselné osi.

Všeobecný princíp riešenia sústav nerovníc: musíte nájsť riešenie pre každú nerovnosť a potom tieto riešenia pretínať pomocou číselnej osi.

Príklad:(Zadanie od OGE) Vyriešte systém \(\začiatok(prípady) 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)

Riešenie:

\(\začiatok(prípady) 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)	Vyriešme každú nerovnosť oddelene od druhej.
	Otočme výslednú nerovnosť.
	Vydeľte celú nerovnosť \(2\).
	Zapíšme si odpoveď na prvú nerovnosť.
\(x∈(-∞;4)\)	Teraz poďme vyriešiť druhú nerovnosť.
2) \((x-5)(x+8)<0\)	Nerovnosť je už v ideálnej forme na aplikáciu.
	Zapíšme si odpoveď na druhú nerovnosť.
	Zjednoťme obe riešenia pomocou číselných osí.
	Ako odpoveď vypíšeme interval, na ktorom je riešenie oboch nerovníc - prvej aj druhej.

odpoveď: \((-8;4)\)

Príklad:(Zadanie od OGE) Vyriešte systém \(\začiatok(prípady) \frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)≥0\\ 2-7x≤14-3x \koniec(prípady)\)

Riešenie:

\(\začiatok(prípady) \frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)≥0\\ 2-7x≤14-3x \koniec(prípady)\)	Nerovnosti budeme opäť riešiť samostatne.
1)\(\frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)\)\(≥0\)	Ak vás menovateľ vystrašil - nebojte sa, teraz ho odstránime. Ide o to, že \(3+(5-2x)^2\) je vždy kladný výraz. Posúďte sami: \((5-2x)^2 \) vzhľadom na druhú mocninu je buď kladná alebo nulová. \((5-2x)^2+3\) je presne kladné. Takže môžete bezpečne vynásobiť nerovnosť \(3+(5-2x)^2\)
	Pred nami je obvyklé - vyjadrujeme \(x\). Ak to chcete urobiť, presuňte \(10\) na pravú stranu.
	Vydeľte nerovnosť \(-2\). Keďže číslo je záporné, zmeníme znamienko nerovnosti.
	Všimnite si riešenie na skutočnej čiare.
	Zapíšme si odpoveď na prvú nerovnosť.
\(x∈(-∞;5]\)	V tejto fáze je hlavnou vecou nezabudnúť, že existuje druhá nerovnosť.
2) \(2-7x≤14-3x\)	Opäť lineárna nerovnosť - opäť vyjadrujeme \(x\).
\(-7x+3x≤14-2\)	Uvádzame podobné pojmy.
	Vydeľte celú nerovnosť \(-4\), pričom znamienko prevracajte.
	Nakreslime riešenie na číselnú os a zapíšme si odpoveď na túto nerovnosť.
\(x∈[-3;∞)\)	Teraz spojme riešenia.
	Zapíšme si odpoveď.

odpoveď: \([-3;5]\)

Príklad: Vyriešte systém \(\begin(cases)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end(cases)\)

Riešenie:

\(\začiatok(prípady)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end(cases)\)

Pozrime sa na príklady riešenia sústavy lineárnych nerovníc.

4x - 19 \end(pole) \right.\]" title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Na vyriešenie systému je potrebná každá z jeho komponentov nerovnosti. Prijalo sa iba rozhodnutie zapísať nie oddelene, ale spoločne a spojiť ich s kučeravou zátvorkou.

V každej z nerovností sústavy prenášame neznáme na jednu stranu, známe na druhú s opačným znamienkom:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Po zjednodušení treba obe časti nerovnosti vydeliť číslom pred x. Prvú nerovnosť delíme kladným číslom, takže znamienko nerovnosti sa nemení. Druhú nerovnosť delíme záporným číslom, takže znamienko nerovnosti musí byť obrátené:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Riešenie nerovníc označíme na číselných radoch:

Ako odpoveď zapíšeme priesečník riešení, teda časť, kde je tieňovanie na oboch riadkoch.

Odpoveď: x∈[-2;1).

Zbavme sa zlomku v prvej nerovnosti. Aby sme to dosiahli, vynásobíme obe časti člen po člen najmenším spoločným menovateľom 2. Pri vynásobení kladným číslom sa znamienko nerovnosti nemení.

Otvorte zátvorky v druhej nerovnosti. Súčin súčtu a rozdielu dvoch výrazov sa rovná rozdielu druhých mocnín týchto výrazov. Na pravej strane je štvorec rozdielu medzi týmito dvoma výrazmi.

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Neznáme prenesieme na jednu stranu, známe na druhú s opačným znamienkom a zjednodušíme:

Obidve časti nerovnosti vydelíme číslom pred x. V prvej nerovnosti delíme záporným číslom, takže znamienko nerovnosti je obrátené. V druhom delíme kladným číslom, znamienko nerovnosti sa nemení:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Obidve nerovnosti sú označené „menšie ako“ (nie je nevyhnutné, aby jedno znamienko bolo striktne „menšie ako“, druhé nebolo prísne, „menšie alebo rovné“). Nemôžeme označiť obe riešenia, ale použijeme pravidlo "". Najmenšia je 1, preto sa systém redukuje na nerovnosť

Jeho riešenie označíme na číselnej osi:

Odpoveď: x∈(-∞;1].

Otvárame zátvorky. V prvej nerovnosti - . Rovná sa súčtu kociek týchto výrazov.

V druhom - súčin súčtu a rozdielu dvoch výrazov, ktorý sa rovná rozdielu štvorcov. Pretože tu je pred zátvorkami znamienko mínus, je lepšie ich otvoriť v dvoch fázach: najprv použite vzorec a až potom otvorte zátvorky a zmeňte znamienko každého výrazu na opak.

Neznáme prenášame na jednu stranu, známe na druhú s opačným znamienkom:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Obe sú väčšie ako znamenia. Pomocou pravidla „viac ako viac“ redukujeme systém nerovností na jednu nerovnosť. Väčšie z týchto dvoch čísel je 5

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Riešenie nerovnice označíme na číselnej osi a odpoveď zapíšeme:

Odpoveď: x∈(5;∞).

Keďže sústavy lineárnych nerovníc sa v algebre vyskytujú nielen ako samostatné úlohy, ale aj pri riešení rôznych druhov rovníc, nerovníc a pod., je dôležité si túto tému včas osvojiť.

Nabudúce sa pozrieme na príklady riešenia sústav lineárnych nerovníc v špeciálnych prípadoch, keď jedna z nerovníc nemá riešenia alebo je jej riešením akékoľvek číslo.

Rubrika: |

Článok odhaľuje tému nerovností, rozumie definíciám systémov a ich riešeniam. Uvažuje sa s často používanými príkladmi riešenia sústav rovníc v škole v algebre.

Definícia systému nerovností

Systémy nerovníc sú určené definíciami sústav rovníc, čo znamená, že osobitná pozornosť sa venuje záznamom a významu samotnej rovnice.

Definícia 1

Systém nerovností nazvite záznam rovníc spojených zloženou zátvorkou so súborom riešení súčasne pre všetky nerovnosti zahrnuté v systéme.

Nasledujú príklady nerovností. Dané sú dve nerovnosti 2 · x − 3 > 0 a 5 − x ≥ 4 · x − 11 . Je potrebné napísať jednu rovnicu pod druhú, potom skombinujeme pomocou zloženej zátvorky:

2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11

Rovnakým spôsobom sa definícia systémov nerovností uvádza v školských učebniciach ako pre jednu premennú, tak aj pre dve.

Hlavné typy systému nerovností

Existuje kompilácia nekonečnej množiny systémov nerovností. Sú zaradené do skupín, ktoré sa líšia v určitých vlastnostiach. Nerovnosti sú rozdelené podľa kritérií:

• počet systémových nerovností;
• počet premenných záznamov;
• druh nerovnosti.

Počet vstupných nerovností môže byť dva alebo viac. V predchádzajúcom odseku bol uvažovaný príklad riešenia systému s dvoma nerovnicami.

2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11

Uvažujme o riešení sústavy so štyrmi nerovnosťami.

x ≥ - 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 - x 2 - 4 y 2

Samostatné riešenie nerovnosti nehovorí o riešení systému ako celku. Na vyriešenie systému je potrebné využiť všetky dostupné nerovnosti.

Takéto systémy nerovností môžu mať jednu, dve, tri alebo viac premenných. V poslednom vyobrazenom systéme je to dobre viditeľné, máme tam tri premenné: x, y, z. Rovnice môžu obsahovať jednu premennú, ako v príklade, alebo niekoľko. Na základe príkladov sa nerovnosť x + 0 y + 0 z ≥ − 2 a 0 x + y + 0 z ≤ 5 nepovažujú za ekvivalentné. Školské vzdelávacie programy venujú pozornosť riešeniu nerovností s jednou premennou.

Pri písaní systému môžu byť zahrnuté rovnice rôznych typov a s rôznym počtom premenných. Najčastejšie celočíselné nerovnosti rôzne stupne. Pri príprave na skúšky môžu existovať systémy s iracionálnymi, logaritmickými, exponenciálnymi rovnicami vo forme:

544 - 4 - x 32 - 2 - x ≥ 17 , log x 2 16 x + 20 16 ≤ 1

Takýto systém zahŕňa exponenciálnu a logaritmickú rovnicu.

Riešenie systému nerovností

Definícia 2

Uvažujme o príklade riešenia sústav rovníc s jednou premennou.

x > 7, 2 - 3 x ≤ 0

Ak je hodnota x = 8, potom je riešenie sústavy zrejmé, keďže 8 > 7 a 2 − 3 · 8 ≤ 0 sú splnené. Pri x = 1 sa systém nevyrieši, keďže prvá číselná nerovnosť v čase dosadzovania má 1 > 7 . Rovnakým spôsobom je riešený systém s dvoma alebo viacerými premennými.

Definícia 3

Riešenie sústavy nerovníc s dvoma alebo viacerými premennými pomenujte hodnoty, ktoré sú riešením všetkých nerovností, keď sa každá zmení na skutočnú číselnú nerovnosť.

Ak x = 1 a y = 2 bude riešením nerovnosti x + y< 7 x - y < 0 , потому как выражения 1 + 2 < 7 и 1 − 2 < 0 верны. Если подставить числовую пару (3 , 5 , 3) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 < 0 .

Pri riešení sústav nerovníc môžu dať určitý počet odpovedí, alebo môžu byť nekonečné. Existuje mnoho riešení pre takýto systém. Ak neexistujú žiadne riešenia, potom sa hovorí, že má prázdnu množinu riešení. Ak má riešenie určitý počet, potom množina riešení má konečný počet prvkov. Ak existuje veľa riešení, potom množina riešení obsahuje nekonečný počet čísel.

Niektoré učebnice definujú konkrétne riešenie sústavy nerovností, ktoré sa chápe ako jediné riešenie. A za všeobecné riešenie sústavy nerovností sa považujú všetky jej partikulárne riešenia. Táto definícia sa používa zriedka, preto sa hovorí „riešenie systému nerovností“.

Tieto definície systémov nerovností a riešení sú považované za priesečníky množín riešení všetkých nerovností systému. Osobitná pozornosť by sa mala venovať časti o ekvivalentných nerovnostiach.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Tento článok zhromaždil počiatočné informácie o systémoch nerovností. Tu uvádzame definíciu systému nerovností a definíciu riešenia systému nerovností. Sú tam uvedené aj hlavné typy systémov, s ktorými musíte na hodinách algebry v škole najčastejšie pracovať, a uvedené sú aj príklady.

Navigácia na stránke.

Čo je to systém nerovností?

Sústavy nerovníc je vhodné definovať rovnakým spôsobom, ako sme zaviedli definíciu sústavy rovníc, teda podľa typu záznamu a významu v ňom obsiahnutého.

Definícia.

Systém nerovností je záznam predstavujúci určitý počet nerovností zapísaných pod sebou, spojených vľavo zloženou zátvorkou a označujúci množinu všetkých riešení, ktoré sú súčasne riešením každej nerovnosti systému.

Uveďme príklad systému nerovností. Vezmite dve ľubovoľné, napríklad 2 x−3>0 a 5−x≥4 x−11, napíšte ich pod seba
2x−3>0 ,
5-x≥4 x-11
a spojíme sa so znakom systému - kučeravou zátvorkou, výsledkom je systém nerovností nasledujúceho tvaru:

Podobne je predstava o systémoch nerovností v školských učebniciach. Stojí za zmienku, že definície v nich sú uvedené užšie: pre nerovnosti s jednou premennou alebo s dvoma premennými.

Hlavné typy systémov nerovností

Je jasné, že existuje nekonečne veľa rôznych systémov nerovností. Aby ste sa v tejto rozmanitosti nestratili, je vhodné ich zvážiť v skupinách, ktoré majú svoje vlastné charakteristické črty. Všetky systémy nerovností možno rozdeliť do skupín podľa nasledujúcich kritérií:

• počtom nerovností v systéme;
• podľa počtu premenných zahrnutých do zaznamenávania;
• podľa povahy nerovností.

Podľa počtu nerovností zahrnutých v zázname sa rozlišujú systémy dva, tri, štyri atď. nerovnosti. V predchádzajúcom odseku sme uviedli príklad systému, ktorý je systémom dvoch nerovností. Ukážme si ďalší príklad systému štyroch nerovností .

Samostatne hovoríme, že nemá zmysel hovoriť o systéme jednej nerovnosti, v tomto prípade v skutočnosti hovoríme o nerovnosti samotnej, a nie o systéme.

Ak sa pozriete na počet premenných, potom existujú systémy nerovností s jednou, dvoma, tromi atď. premenné (alebo, ako sa hovorí, neznáme). Pozrite sa na posledný systém nerovností napísaný o dva odseky vyššie. Ide o systém s tromi premennými x , y a z . Všimnite si, že jej prvé dve nerovnosti neobsahujú všetky tri premenné, ale iba jednu z nich. V kontexte tohto systému ich treba chápať ako nerovnosti s tromi premennými v tvare x+0 y+0 z≥−2 a 0 x+y+0 z≤5. Všimnite si, že škola sa zameriava na nerovnosti s jednou premennou.

Zostáva diskutovať o tom, aké typy nerovností sú zahrnuté v systémoch písania. V škole uvažujú najmä o sústavách dvoch nerovníc (menej často - troch, ešte zriedkavejšie - štyroch a viacerých) s jednou alebo dvoma premennými a samotné nerovnosti sú zvyčajne celočíselných nerovností prvý alebo druhý stupeň (zriedkavo - vyššie stupne alebo čiastočne racionálne). Nebuďte však prekvapení, ak v prípravných materiáloch pre OGE narazíte na sústavy nerovností obsahujúce iracionálne, logaritmické, exponenciálne a iné nerovnosti. Ako príklad uvádzame systém nerovností , je prevzaté z .

Aké je riešenie systému nerovností?

Zavádzame ďalšiu definíciu súvisiacu so sústavami nerovností - definíciu riešenia sústavy nerovností:

Definícia.

Riešenie sústavy nerovníc s jednou premennou nazýva sa taká hodnota premennej, ktorá premení každú z nerovností systému na pravdivú, inými slovami, je riešením každej nerovnosti systému.

Vysvetlíme si to na príklade. Zoberme si systém dvoch nerovníc s jednou premennou . Zoberme si hodnotu premennej x rovnú 8, je to z definície riešenie našej sústavy nerovníc, keďže jej dosadením do nerovníc sústavy vzniknú dve správne číselné nerovnosti 8>7 a 2−3 8≤0 . Naopak, jednotka nie je riešením systému, pretože pri jej dosadení za premennú x sa prvá nerovnosť zmení na nesprávnu číselnú nerovnosť 1>7 .

Podobne môžeme zaviesť definíciu riešenia systému nerovností s dvomi, tromi alebo viacerými premennými:

Definícia.

Riešenie sústavy nerovníc s dvojkou, trojkou atď. premenné nazývaný pár, trojica atď. hodnoty týchto premenných, čo je súčasne riešením každej nerovnosti systému, to znamená, že každú nerovnosť systému premení na skutočnú číselnú nerovnosť.

Napríklad dvojica hodnôt x=1, y=2 alebo inak (1, 2) je riešením systému nerovností s dvoma premennými, keďže 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Systémy nerovníc nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať konečný počet riešení alebo môžu mať nekonečne veľa riešení. Často sa hovorí o súbore riešení systému nerovností. Keď systém nemá žiadne riešenia, potom existuje prázdna množina jeho riešení. Keď existuje konečný počet riešení, potom množina riešení obsahuje konečný počet prvkov, a keď existuje nekonečne veľa riešení, potom množina riešení pozostáva z nekonečného počtu prvkov.

Niektoré zdroje uvádzajú definície konkrétneho a všeobecného riešenia sústavy nerovností, ako napríklad v Mordkovichových učebniciach. Pod konkrétne riešenie systému nerovností pochopiť jeho jediné riešenie. Vo svojom poradí všeobecné riešenie sústavy nerovností- to všetko sú jej súkromné ​​rozhodnutia. Tieto pojmy však dávajú zmysel len vtedy, keď je potrebné zdôrazniť, o akom riešení sa diskutuje, ale zvyčajne je to jasné už z kontextu, takže je oveľa bežnejšie jednoducho povedať „riešenie systému nerovností“.

Z definícií sústavy nerovníc a jej riešení uvedených v tomto článku vyplýva, že riešenie sústavy nerovníc je priesečníkom množín riešení všetkých nerovníc tejto sústavy.

Bibliografia.

1. algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. algebra: 9. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročník O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vydanie, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. POUŽÍVAŤ-2013. Matematika: typické možnosti skúšania: 30 možností / ed. A. L. Semenova, I. V. Jaščenko. - M .: Vydavateľstvo "Národné školstvo", 2012. - 192 s. - (USE-2013. FIPI - škola).