Kde je najväčší derivát? Derivácia funkcie. Geometrický význam derivátu. Úlohy na určenie charakteristiky derivácie z grafu funkcie
Derivácia funkcie je jednou z najťažších tém v školských osnovách. Nie každý absolvent odpovie na otázku, čo je to derivát.
Tento článok jednoducho a jasne vysvetľuje, čo je derivát a prečo je potrebný.. Teraz sa nebudeme snažiť o matematickú prísnosť prezentácie. Najdôležitejšie je pochopiť význam.
Pripomeňme si definíciu:
Derivácia je rýchlosť zmeny funkcie.
Na obrázku sú znázornené grafy troch funkcií. Ktorá podľa vás rastie najrýchlejšie?
Odpoveď je zrejmá - tretia. Má najvyššiu mieru zmeny, teda najväčší derivát.
Tu je ďalší príklad.
Kostya, Grisha a Matvey dostali prácu v rovnakom čase. Pozrime sa, ako sa zmenil ich príjem v priebehu roka:
Všetko na grafe vidíte hneď, však? Kosťov príjem sa za šesť mesiacov viac ako zdvojnásobil. A Grishov príjem sa tiež zvýšil, ale len trochu. A Matejov príjem sa znížil na nulu. Východiskové podmienky sú rovnaké, ale rýchlosť zmeny funkcie, t.j. derivát, - rôzne. Pokiaľ ide o Matveyho, derivát jeho príjmu je vo všeobecnosti negatívny.
Intuitívne vieme ľahko odhadnúť rýchlosť zmeny funkcie. Ale ako to urobíme?
V skutočnosti sa pozeráme na to, ako strmo stúpa graf funkcie nahor (alebo nadol). Inými slovami, ako rýchlo sa y mení s x. Je zrejmé, že tá istá funkcia v rôznych bodoch môže mať rôznu hodnotu derivácie – to znamená, že sa môže meniť rýchlejšie alebo pomalšie.
Derivácia funkcie sa označuje ako .
Ukážme si, ako nájsť pomocou grafu.
Nakreslí sa graf nejakej funkcie. Označte na ňom bod úsečkou. V tomto bode nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie. Chceme vyhodnotiť, ako strmo stúpa graf funkcie. Šikovná hodnota za to je dotyčnica sklonu dotyčnice.
Derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.
Upozorňujeme - ako uhol sklonu dotyčnice berieme uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi.
Niekedy sa študenti pýtajú, aká je dotyčnica ku grafu funkcie. Toto je priamka, ktorá má jediný spoločný bod s grafom v tejto časti, navyše, ako je znázornené na našom obrázku. Vyzerá to ako dotyčnica ku kružnici.
Poďme nájsť. Pamätáme si, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k susednej. Z trojuholníka:
Našli sme deriváciu pomocou grafu bez toho, aby sme poznali vzorec funkcie. Takéto úlohy sa často nachádzajú na skúške z matematiky pod číslom.
Je tu ešte jedna dôležitá súvislosť. Pripomeňme, že priamka je daná rovnicou
Množstvo v tejto rovnici je tzv sklon priamky. Rovná sa dotyčnici uhla sklonu priamky k osi.
.
Chápeme to
Zapamätajme si tento vzorec. Vyjadruje geometrický význam derivácie.
Derivácia funkcie v bode sa rovná sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.
Inými slovami, derivácia sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice.
Už sme povedali, že tá istá funkcia môže mať v rôznych bodoch rôzne derivácie. Pozrime sa, ako derivácia súvisí so správaním funkcie.
Nakreslíme graf nejakej funkcie. Nechajte túto funkciu v niektorých oblastiach rásť a v iných znižovať a rôznymi rýchlosťami. A nech má táto funkcia maximálny a minimálny počet bodov.
V určitom bode sa funkcia zvyšuje. Dotyčnica ku grafu nakreslená v bode zviera ostrý uhol s kladným smerom osi. Takže derivácia je v bode kladná.
V tomto bode naša funkcia klesá. Dotyčnica v tomto bode zviera tupý uhol s kladným smerom osi. Pretože tangens tupého uhla je záporný, derivácia v bode je záporná.
Čo sa stane:
Ak je funkcia rastúca, jej derivácia je kladná.
Ak klesá, jeho derivácia je záporná.
A čo sa stane s maximálnym a minimálnym počtom bodov? Vidíme, že v (maximálnom bode) a (minimálnom bode) je dotyčnica vodorovná. Preto je dotyčnica sklonu dotyčnice v týchto bodoch nulová a derivácia je tiež nulová.
Bod je maximálny bod. V tomto bode je zvýšenie funkcie nahradené poklesom. V dôsledku toho sa znamienko derivácie mení v bode z „plus“ na „mínus“.
V bode - minimálnom bode - sa derivácia tiež rovná nule, ale jej znamienko sa mení z "mínus" na "plus".
Záver: pomocou derivácie môžete zistiť všetko, čo nás o správaní funkcie zaujíma.
Ak je derivácia kladná, funkcia je rastúca.
Ak je derivácia záporná, funkcia je klesajúca.
V maximálnom bode je derivácia nula a mení znamienko z plus na mínus.
V minimálnom bode je derivácia tiež nulová a mení znamienko z mínus na plus.
Tieto zistenia zapíšeme vo forme tabuľky:
| zvyšuje | maximálny bod | klesá | minimálny bod | zvyšuje | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Urobme dve malé upresnenia. Jeden z nich budete potrebovať pri riešení úloh na skúšku. Ďalší - v prvom ročníku, s vážnejším štúdiom funkcií a derivátov.
Je možný prípad, keď sa derivácia funkcie v určitom bode rovná nule, ale funkcia v tomto bode nemá ani maximum, ani minimum. Tento tzv :
V bode je dotyčnica ku grafu vodorovná a derivácia je nula. Avšak pred bodom sa funkcia zvýšila - a po bode sa naďalej zvyšuje. Znamienko derivátu sa nemení – zostalo kladné tak, ako bolo.
Stáva sa tiež, že v bode maxima alebo minima derivácia neexistuje. Na grafe to zodpovedá prudkému zlomu, keď nie je možné nakresliť dotyčnicu v danom bode.
Ako však nájsť deriváciu, ak funkcia nie je daná grafom, ale vzorcom? V tomto prípade platí
V úlohe B9 je uvedený graf funkcie alebo derivácie, z ktorého je potrebné určiť jednu z nasledujúcich veličín:
- Hodnota derivátu v určitom bode x 0,
- Vysoké alebo nízke body (extrémne body),
- Intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií (intervaly monotónnosti).
Funkcie a derivácie uvedené v tomto probléme sú vždy spojité, čo značne zjednodušuje riešenie. Napriek tomu, že úloha patrí do sekcie matematickej analýzy, je celkom v silách aj tých najslabších študentov, keďže tu nie sú potrebné žiadne hlboké teoretické znalosti.
Na nájdenie hodnoty derivácie, extrémnych bodov a intervalov monotónnosti existujú jednoduché a univerzálne algoritmy – o všetkých sa bude diskutovať nižšie.
Pozorne si prečítajte stav problému B9, aby ste neurobili hlúpe chyby: niekedy sa vyskytujú pomerne objemné texty, ale existuje len málo dôležitých podmienok, ktoré ovplyvňujú priebeh riešenia.
Výpočet hodnoty derivátu. Dvojbodová metóda
Ak je problému daný graf funkcie f(x), dotyčnica k tomuto grafu v určitom bode x 0 , a je potrebné nájsť hodnotu derivácie v tomto bode, použije sa nasledujúci algoritmus:
- Nájdite dva „adekvátne“ body na grafe dotyčníc: ich súradnice musia byť celé číslo. Označme tieto body ako A (x 1 ; y 1) a B (x 2 ; y 2). Zapíšte si súradnice správne – to je kľúčový bod riešenia a akákoľvek chyba tu vedie k nesprávnej odpovedi.
- Keď poznáme súradnice, je ľahké vypočítať prírastok argumentu Δx = x 2 − x 1 a prírastok funkcie Δy = y 2 − y 1 .
- Nakoniec nájdeme hodnotu derivácie D = Δy/Δx. Inými slovami, musíte vydeliť prírastok funkcie prírastkom argumentu - a toto bude odpoveď.
Ešte raz poznamenávame: body A a B treba hľadať presne na dotyčnici, a nie na grafe funkcie f(x), ako sa to často stáva. Dotyčnica bude nevyhnutne obsahovať aspoň dva takéto body, inak je problém formulovaný nesprávne.
Zvážte body A (−3; 2) a B (−1; 6) a nájdite prírastky:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.
Nájdite hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Úloha. Obrázok ukazuje graf funkcie y \u003d f (x) a dotyčnicu k nej v bode s os x 0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x 0 .
Zvážte body A (0; 3) a B (3; 0), nájdite prírastky:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.
Teraz nájdeme hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Úloha. Obrázok ukazuje graf funkcie y \u003d f (x) a dotyčnicu k nej v bode s os x 0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x 0 .
Zvážte body A (0; 2) a B (5; 2) a nájdite prírastky:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Ay = y2 - y1 = 2 - 2 = 0.
Zostáva nájsť hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Z posledného príkladu môžeme sformulovať pravidlo: ak je dotyčnica rovnobežná s osou OX, derivácia funkcie v bode dotyku sa rovná nule. V tomto prípade ani nemusíte nič počítať - stačí sa pozrieť na graf.
Výpočet vysokých a nízkych bodov
Niekedy sa namiesto grafu funkcie v úlohe B9 uvádza derivačný graf a je potrebné nájsť maximálny alebo minimálny bod funkcie. V tomto scenári je dvojbodová metóda zbytočná, ale existuje iný, ešte jednoduchší algoritmus. Najprv si definujme terminológiu:
- Bod x 0 sa nazýva maximálny bod funkcie f(x), ak v niektorom okolí tohto bodu platí nerovnosť: f(x 0) ≥ f(x).
- Bod x 0 sa nazýva minimálny bod funkcie f(x), ak v niektorom okolí tohto bodu platí nerovnosť: f(x 0) ≤ f(x).
Aby ste našli maximum a minimum bodov na grafe derivácie, stačí vykonať nasledujúce kroky:
- Prekreslite graf derivácie a odstráňte všetky nepotrebné informácie. Ako ukazuje prax, dodatočné údaje len zasahujú do rozhodnutia. Preto na súradnicovej osi označíme nuly derivácie – a je to.
- Zistite znamienka derivácie na intervaloch medzi nulami. Ak je pre nejaký bod x 0 známe, že f'(x 0) ≠ 0, potom sú možné len dve možnosti: f'(x 0) ≥ 0 alebo f'(x 0) ≤ 0. Znamienko derivácie je ľahko určiť z pôvodného nákresu: ak derivačný graf leží nad osou OX, potom f'(x) ≥ 0. Naopak, ak derivačný graf leží pod osou OX, potom f'(x) ≤ 0.
- Opäť skontrolujeme nuly a znamienka derivácie. Tam, kde sa znamienko zmení z mínus na plus, je minimálny bod. Naopak, ak sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus, ide o maximálny bod. Počítanie sa vždy vykonáva zľava doprava.
Táto schéma funguje len pre spojité funkcie - v probléme B9 nie sú žiadne iné.
Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−5; päť]. Nájdite minimálny bod funkcie f(x) na tomto segmente.
Zbavme sa nepotrebných informácií – ponecháme len hranice [−5; 5] a nuly derivácie x = −3 a x = 2,5. Všimnite si tiež znaky:
Je zrejmé, že v bode x = −3 sa znamienko derivácie zmení z mínus na plus. Toto je minimálny bod.
Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−3; 7]. Nájdite maximálny bod funkcie f(x) na tomto segmente.
Prekreslíme graf, pričom ponecháme len hranice [−3; 7] a nuly derivácie x = −1,7 a x = 5. Všimnite si znamienka derivácie na výslednom grafe. Máme:
Je zrejmé, že v bode x = 5 sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus - to je maximálny bod.
Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−6; 4]. Nájdite maximálny počet bodov funkcie f(x), ktoré patria do intervalu [−4; 3].
Z podmienok úlohy vyplýva, že stačí uvažovať len časť grafu ohraničenú úsečkou [−4; 3]. Zostavíme preto nový graf, na ktorom vyznačíme len hranice [−4; 3] a nuly derivácie v ňom. Konkrétne body x = −3,5 a x = 2. Dostaneme:
Na tomto grafe je len jeden maximálny bod x = 2. Práve v ňom sa mení znamienko derivácie z plusu na mínus.
Malá poznámka o bodoch s neceločíselnými súradnicami. Napríklad v poslednej úlohe bol uvažovaný bod x = −3,5, ale s rovnakým úspechom môžeme vziať x = −3,4. Ak je problém formulovaný správne, takéto zmeny by nemali ovplyvniť odpoveď, keďže body „bez trvalého bydliska“ nie sú priamo zahrnuté do riešenia problému. Samozrejme, s celočíselnými bodmi takýto trik nebude fungovať.
Hľadanie intervalov nárastu a poklesu funkcie
V takomto probléme, ako sú body maxima a minima, sa navrhuje nájsť oblasti, v ktorých samotná funkcia rastie alebo klesá z grafu derivácie. Najprv definujme, čo sú vzostupné a zostupné:
- Funkcia f(x) sa nazýva rastúca na segmente, ak pre ľubovoľné dva body x 1 a x 2 z tohto segmentu platí tvrdenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Inými slovami, čím väčšia je hodnota argumentu, tým väčšia je hodnota funkcie.
- Funkcia f(x) sa nazýva klesajúca na úsečke, ak pre ľubovoľné dva body x 1 a x 2 z tejto úsečky platí: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tie. väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.
Formulujeme dostatočné podmienky na zvýšenie a zníženie:
- Aby sa spojitá funkcia f(x) na segmente zväčšila, stačí, aby jej derivácia vo vnútri segmentu bola kladná, t.j. f'(x) ≥ 0.
- Aby spojitá funkcia f(x) na segmente klesala, stačí, aby jej derivácia v segmente bola záporná, t.j. f'(x) ≤ 0.
Tieto tvrdenia prijímame bez dôkazov. Získame tak schému na nájdenie intervalov nárastu a poklesu, ktorá je v mnohom podobná algoritmu na výpočet extrémnych bodov:
- Odstráňte všetky nadbytočné informácie. Na pôvodnom grafe derivácie nás primárne zaujímajú nuly funkcie, preto necháme len tie.
- Označte znamienka derivácie v intervaloch medzi nulami. Kde f'(x) ≥ 0, funkcia rastie, a kde f'(x) ≤ 0, klesá. Ak má problém obmedzenia na premennú x, dodatočne ich označíme na novom grafe.
- Teraz, keď poznáme správanie funkcie a obmedzenie, zostáva vypočítať požadovanú hodnotu v úlohe.
Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−3; 7,5]. Nájdite intervaly klesajúcej funkcie f(x). Vo svojej odpovedi napíšte súčet celých čísel zahrnutých v týchto intervaloch.
Ako obvykle prekreslíme graf a označíme hranice [−3; 7,5], ako aj nuly derivácie x = −1,5 a x = 5,3. Potom označíme znamienka derivácie. Máme:
Keďže derivácia je záporná na intervale (− 1,5), ide o interval klesajúcej funkcie. Zostáva sčítať všetky celé čísla, ktoré sú v tomto intervale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na segmente [−10; 4]. Nájdite intervaly rastúcej funkcie f(x). Vo svojej odpovedi napíšte dĺžku najväčšieho z nich.
Zbavme sa nadbytočných informácií. Necháme len hranice [−10; 4] a nuly derivácie, ktoré sa tentokrát ukázali ako štyri: x = −8, x = −6, x = −3 a x = 2. Všimnite si znamienka derivácie a získajte nasledujúci obrázok:
Zaujímajú nás intervaly rastúcej funkcie, t.j. kde f'(x) ≥ 0. Na grafe sú dva takéto intervaly: (−8; −6) a (−3; 2). Vypočítajme ich dĺžku:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l2 = 2 − (−3) = 5.
Keďže je potrebné nájsť dĺžku najväčšieho z intervalov, zapíšeme ako odpoveď hodnotu l 2 = 5.
Sergej Nikiforov
Ak má derivácia funkcie na intervale konštantné znamienko a samotná funkcia je na svojich hraniciach spojitá, potom sú hraničné body spojené s rastúcimi aj klesajúcimi intervalmi, čo plne zodpovedá definícii rastúcich a klesajúcich funkcií.
Farit Jamajev 26.10.2016 18:50
Ahoj. Ako (na akom základe) možno tvrdiť, že v bode, kde sa derivácia rovná nule, funkcia rastie. Dať dôvody. Inak je to len niekoho rozmar. Podľa akej vety? A tiež dôkaz. Vďaka.
podpora
Hodnota derivácie v bode priamo nesúvisí s nárastom funkcie na intervale. Zoberme si napríklad funkcie - všetky sa v intervale zvyšujú
Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21
Ak je funkcia rastúca na intervale (a;b) a je definovaná a spojitá v bodoch a a b, potom je rastúca na segmente . Tie. bod x=2 je zaradený do daného intervalu.
Aj keď sa zvýšenie a zníženie spravidla nezohľadňuje v segmente, ale v intervale.
Ale práve v bode x=2 má funkcia lokálne minimum. A ako vysvetliť deťom, že keď hľadajú body nárastu (poklesu), tak nepočítame body lokálneho extrému, ale vstupujú do intervalov nárastu (poklesu).
Vzhľadom na to, že prvá časť skúšky je pre „strednú skupinu škôlky“, tak takéto nuansy sú asi prehnané.
Samostatne veľká vďaka za "skúšku vyriešim" všetkým zamestnancom - výborný sprievodca.
Sergej Nikiforov
Jednoduché vysvetlenie možno získať, ak vychádzame z definície rastúcej / klesajúcej funkcie. Dovoľte mi pripomenúť, že to znie takto: funkcia sa nazýva rastúca/klesajúca na intervale, ak väčší argument funkcie zodpovedá väčšej/menšej hodnote funkcie. Takáto definícia v žiadnom prípade nepoužíva pojem derivát, takže nemôžu vzniknúť otázky o bodoch, v ktorých derivát zaniká.
Irina Ishmaková 20.11.2017 11:46
Dobrý deň. Tu v komentároch vidím presvedčenie, že hranice by mali byť zahrnuté. Povedzme, že s tým súhlasím. Ale pozrite sa, prosím, na vaše riešenie problému 7089. Tam, keď špecifikujete intervaly nárastu, hranice nie sú zahrnuté. A to ovplyvňuje odozvu. Tie. riešenia úloh 6429 a 7089 si navzájom odporujú. Prosím o objasnenie tejto situácie.
Alexander Ivanov
Úlohy 6429 a 7089 majú úplne iné otázky.
V jednej sú intervaly nárastu av druhej sú intervaly s kladnou deriváciou.
Neexistuje žiadny rozpor.
Extrémy sú zahrnuté v intervaloch nárastu a poklesu, ale body, v ktorých sa derivácia rovná nule, nevstupujú do intervalov, v ktorých je derivácia kladná.
A Z 28.01.2019 19:09
Kolegovia, existuje koncept zvyšovania v určitom bode
(pozri napríklad Fichtenholtz)
a tvoje chápanie nárastu v bode x=2 je v rozpore s klasickou definíciou.
Zvyšovanie a znižovanie je proces a rád by som sa tohto princípu držal.
V žiadnom intervale, ktorý obsahuje bod x=2, funkcia nie je rastúca. Preto je zahrnutie daného bodu x=2 špeciálny proces.
Zvyčajne, aby sa predišlo zmätku, zahrnutie koncov intervalov sa hovorí oddelene.
Alexander Ivanov
Funkcia y=f(x) sa nazýva rastúca na nejakom intervale, ak väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.
V bode x = 2 je funkcia diferencovateľná a na intervale (2; 6) je derivácia kladná, čo znamená, že na intervale )