Graf funkcie y x 1 2. Graf funkcie. Lekcia na tému: "Graf a vlastnosti funkcie $y=x3$. Príklady vykresľovania"
Zostavte funkciu
Dávame do pozornosti službu na vykresľovanie funkčných grafov online, ku ktorej patria všetky práva spoločnosti Desmos. Na zadávanie funkcií použite ľavý stĺpec. Môžete zadať manuálne alebo pomocou virtuálnej klávesnice v spodnej časti okna. Ak chcete zväčšiť okno grafu, môžete skryť ľavý stĺpec aj virtuálnu klávesnicu.
Výhody online grafov
- Vizuálne zobrazenie predstavených funkcií
- Vytváranie veľmi zložitých grafov
- Vykresľovanie implicitne definovaných grafov (napr. elipsa x^2/9+y^2/16=1)
- Možnosť ukladať grafy a získať na ne odkaz, ktorý bude dostupný pre každého na internete
- Ovládanie mierky, farba čiary
- Schopnosť vykresľovať grafy podľa bodov, použitie konštánt
- Konštrukcia viacerých grafov funkcií súčasne
- Vykresľovanie v polárnych súradniciach (použite r a θ(\theta))
S nami je jednoduché vytvárať online grafy rôznej zložitosti. Stavba je hotová okamžite. Služba je žiadaná na nájdenie priesečníkov funkcií, na zobrazenie grafov pre ich ďalší prenos do dokumentu Word ako ilustrácie pri riešení problémov, na analýzu behaviorálnych vlastností grafov funkcií. Najlepší prehliadač na prácu s grafmi na tejto stránke webu je Google Chrome. Pri použití iných prehliadačov nie je zaručené správne fungovanie.
Zostrojte krivku danú parametrickými rovnicami \
Najprv si preštudujme grafy funkcií \(x\left(t \right)\) a \(x\left(t \right)\). Obe funkcie sú kubické polynómy, ktoré sú definované pre všetky \(x \in \mathbb(R).\) Nájdite deriváciu \(x"\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \ vpravo) = (\left(((t^3) + (t^2) - t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 2t - 1.) \] Riešenie rovnice \ ( x"\left(t \right) = 0,\) definujte stacionárne body funkcie \(x\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \right) = 0, )\;\ ; (\Rightarrow 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] (t = 1\) funkcia \(x\left(t \right)\) dosiahne maximum rovné \ a v bode \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) má minimum rovná sa \[ (x\left((\frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\left( (\ frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \frac( 1) (9) - \frac(1)(3) = - \frac(5)((27)).) \] Zvážte deriváciu \(y"\left(t \right):\) \[ ( y"\ left(t \right) = (\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4 .) \ ] Nájdite stacionárne body funkcie \(y\left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3(t ^2) + 4t - 4 = 0,)\;\;(\Šípka doprava (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2;\ ;\frac(2) (3).) \] Tu podobne funkcia \(y\left(t \right)\) dosiahne svoje maximum v bode \(t = -2:\) \ a svoje minimum v bode \(t = \large\frac (2)(3)\normalsize:\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left(( \frac(2)(3)) \righ t)^3) + 2(\left((\frac(2)(3)) \right)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27 )) + \frac(8)(9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] Grafy funkcií \(x\left(t) \ right)\), \(y\left(t \right)\) sú schematicky znázornené na obrázku \(15a.\)
Obr.15a |
Obr. 15b |
Obr.15c |
Všimnite si, že keďže \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] potom krivka \(y\left(x \right)\) nemá ani vertikálu, žiadne horizontálne asymptoty. Navyše, keďže \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ color (modrá)(t^3)) + \farba(červená)(2(t^2)) - \farba(zelená)(4t) - \zrušiť(\farba(modrá)(t^3)) - \ farba (red)(t^2) + \color(green)(t)) \right) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\color(red)(t^ 2 ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] potom krivka \(y\left(x \right)\) tiež nemá žiadne šikmé asymptoty.
Určme priesečníky grafu \(y\vľavo(x \vpravo)\) so súradnicovými osami. Priesečník s osou x sa vyskytuje v nasledujúcich bodoch: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Rightarrow t\left(((t^2) + 2t - 4) \right) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\šípka doprava D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \right) = 20,)\;\; (\ Šípka doprava (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5.) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\šípka doprava D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \vpravo) = 5,)\;\; (\ Šípka doprava (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normálna veľkosť.) \)
V druhom intervale \(\left(( - 2, - 1) \right)\) sa premenná \(x\) zvyšuje z \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) na \ (x \left(( - 1) \right) = 1,\) a premenná \(y\) klesá z \(y\left(( - 2) \right) = 8\) na \(y\left (( - 1) \right) = 5.\) Tu máme úsek klesajúcej krivky \(y\left(x \right).\) Pretína os y v bode \(\left(( 0,3 + 2\sqrt 5 ) \vpravo).\)
Na treťom intervale \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) obe premenné klesajú. \(x\) sa zmení z \(x\left(( - 1) \right) = 1\) na \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) V súlade s tým sa \(y\) znižuje z \(y\left(( - 1) \right) = 5\) na \(y\ left( (\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Krivka \(y\left(x \right)\ ) sa pretína pôvod súradníc.
Na štvrtom intervale \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) sa premenná \(x\) zvyšuje od \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) až \(x\left((\ large\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) a premenná \(y\) klesá z \(y\left(( \large\ frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) až \(y\left((\large\frac(2)) 3)\ normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) V tejto sekcii krivka \(y\left(x \right)\) pretína os y v bode \(\left( (0,3 - 2\sqrt 5 ) \right).\)
Nakoniec na poslednom intervale \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) obe funkcie \(x\left(t \right)\), \ ( y\left(t \right)\) zvýšiť. Krivka \(y\vľavo(x \vpravo)\) pretína os x v bode \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \cca 2,18.\)
Na spresnenie tvaru krivky \(y\left(x \right)\) vypočítame maximálny a minimálny bod. Derivát \(y"\left(x \right)\) je vyjadrený ako \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t)))) ( ((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right))^\prime )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\zrušiť(3)\vľavo((t + 2) \vpravo)\vľavo((t - \frac(2)(3))) \ vpravo)))((\zrušiť(3)\vľavo((t + 1) \vpravo)\vľavo((t - \frac(1)(3)) \vpravo))) ) = (\frac(( \ vľavo((t + 2) \vpravo)\vľavo((t - \frac(2)(3)) \vpravo)))((\vľavo((t + 1) \vpravo)\vľavo((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] Zmena znamienka derivácie \(y"\left(x \right)\) je znázornená na obrázku \(15c.\) Je vidieť, že v bode \(t = - 2,\) t.j. na hranici \(I\)-tého a \(II\)-tého intervalu má krivka maximum a pre \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (na hranici \(IV\)-tý a \(V\)-tý interval) je minimum. Pri prechode bodom \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) derivacia tiez zmeni znamienko z plus na minus, ale v tejto oblasti krivka \(y\left(x \right)\ ) nie je jednoznačná funkcia. Naznačený bod teda nie je extrém.
Tiež skúmame konvexnosť tejto krivky. Druhá derivácia\(y""\left(x \right)\) má tvar: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left( ( (y"_x)) \vpravo))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4) ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \vpravo))^\primer )))(((\left(((t^3) + (t^2) - t) \ vpravo ))^\primer ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3( t ^2) + 4t - 4) \right)\left((6t + 2) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^) 2) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \vpravo)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \vpravo))^3))) = \ frac((\zrušiť(\farba(modrá)(18(t^3))) + \farba(červená)(24(t^2)) + \farba(zelená)(2t) - \farba(gaštanová) ( 4) - \cancel(\color(modrá)(18(t^3))) - \color(červená)(30(t^2)) + \color(zelená)(16t) + \color(gaštanová) ( 8)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - \color(red)(6(t^2 ) ) + \color(zelená)(18t) + \color(gaštanová)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \ frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right)))((((\left((t + 1) \right))^3)((\left((3t - 1)) \vpravo))^3))). \] V dôsledku toho druhá derivácia zmení svoje znamienko na opačné pri prechode cez nasledujúce body (obr.\(15c\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1) ) \vpravo ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \približne 0,24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105)))(6)) \right) \približne 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt(105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \približne 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \cca 40,8.) \] Preto sú tieto body inflexnými bodmi krivky \(y\left (x \vpravo).\)
Schematický graf krivky \(y\left(x \right)\) je zobrazený vyššie na obrázku \(15b.\)
Lekcia na tému: "Graf a vlastnosti funkcie $y=x^3$. Príklady vykresľovania"
Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje pripomienky, spätnú väzbu, návrhy. Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.
Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 7
Elektronická učebnica pre ročník 7 "Algebra za 10 minút"
Vzdelávací komplex 1C "Algebra, ročníky 7-9"
Vlastnosti funkcie $y=x^3$
Poďme si popísať vlastnosti tejto funkcie:
1. x je nezávislá premenná, y je závislá premenná.
2. Definičná oblasť: je zrejmé, že pre akúkoľvek hodnotu argumentu (x) je možné vypočítať hodnotu funkcie (y). V súlade s tým je doménou definície tejto funkcie celý číselný rad.
3. Rozsah hodnôt: y môže byť čokoľvek. Rozsah je teda aj celý číselný rad.
4. Ak x= 0, potom y= 0.
Graf funkcie $y=x^3$
1. Urobme si tabuľku hodnôt:
2. Pre kladné hodnoty x je graf funkcie $y=x^3$ veľmi podobný parabole, ktorej vetvy sú viac „pritlačené“ k osi OY.
3. Keďže funkcia $y=x^3$ má opačné hodnoty pre záporné hodnoty x, graf funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok.
Teraz si označme body na súradnicovej rovine a zostavme graf (pozri obr. 1).
Táto krivka sa nazýva kubická parabola.
Príklady
I. Malej lodi došla sladká voda. Z mesta je potrebné priviesť dostatok vody. Voda sa objednáva vopred a platí sa za plnú kocku, aj keď jej napustíte o niečo menej. Koľko kociek je potrebné objednať, aby ste nepreplatili kocku navyše a úplne naplnili nádrž? Je známe, že nádrž má rovnakú dĺžku, šírku a výšku, ktoré sa rovnajú 1,5 m.Vyriešme tento problém bez vykonania výpočtov.
Riešenie:
1. Nakreslíme funkciu $y=x^3$.
2. Nájdite bod A, súradnicu x, ktorá sa rovná 1,5. Vidíme, že súradnica funkcie je medzi hodnotami 3 a 4 (pozri obr. 2). Treba si teda objednať 4 kocky.
Funkčný graf je vizuálna reprezentácia správania sa nejakej funkcie v rovine súradníc. Grafy pomáhajú pochopiť rôzne aspekty funkcie, ktoré sa nedajú určiť zo samotnej funkcie. Môžete zostaviť grafy mnohých funkcií a každá z nich bude daná špecifickým vzorcom. Graf akejkoľvek funkcie je zostavený podľa určitého algoritmu (ak ste zabudli na presný postup vykresľovania grafu konkrétnej funkcie).
Kroky
Vykreslenie lineárnej funkcie
- Ak je sklon záporný, funkcia klesá.
-
Z bodu, kde sa čiara pretína s osou Y, nakreslite druhý bod pomocou zvislých a vodorovných vzdialeností. Lineárnu funkciu je možné vykresliť pomocou dvoch bodov. V našom príklade má priesečník s osou Y súradnice (0,5); z tohto bodu sa posuňte o 2 polia nahor a potom o 1 pole doprava. Označte bod; bude mať súradnice (1,7). Teraz môžete nakresliť priamku.
Pomocou pravítka nakreslite priamku cez dva body. Aby ste sa vyhli chybám, nájdite tretí bod, no vo väčšine prípadov je možné graf zostaviť pomocou dvoch bodov. Takto ste nakreslili lineárnu funkciu.
Kreslenie bodov v súradnicovej rovine
-
Definujte funkciu. Funkciu označujeme ako f(x). Všetky možné hodnoty premennej "y" sa nazývajú rozsah funkcie a všetky možné hodnoty premennej "x" sa nazývajú doména funkcie. Uvažujme napríklad funkciu y = x+2, konkrétne f(x) = x+2.
Nakreslite dve pretínajúce sa kolmé čiary. Vodorovná čiara je os X. Zvislá čiara je os Y.
Označte súradnicové osi. Rozdeľte každú os na rovnaké segmenty a očíslujte ich. Priesečník osí je 0. Pre os X: kladné čísla sú vynesené vpravo (od 0) a záporné čísla vľavo. Pre os Y: kladné čísla sú vynesené hore (od 0) a záporné čísla dole.
Nájdite hodnoty "y" z hodnôt "x". V našom príklade f(x) = x+2. Nahradením určitých hodnôt "x" do tohto vzorca vypočítate zodpovedajúce hodnoty "y". Ak je zadaná komplexná funkcia, zjednodušte ju izoláciou "y" na jednej strane rovnice.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Nakreslite body v rovine súradníc. Pre každý pár súradníc vykonajte nasledovné: nájdite zodpovedajúcu hodnotu na osi x a nakreslite zvislú čiaru (bodkovaná čiara); nájdite zodpovedajúcu hodnotu na osi y a nakreslite vodorovnú čiaru (bodkovaná čiara). Označte priesečník dvoch bodkovaných čiar; tým ste nakreslili bod grafu.
Vymažte bodkované čiary. Urobte to po vynesení všetkých bodov grafu do roviny súradníc. Poznámka: graf funkcie f(x) = x je priamka prechádzajúca stredom súradníc [bod so súradnicami (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je priamka rovnobežná s priamkou f(x) = x, ale posunutá o dve jednotky nahor a teda prechádzajúca bodom so súradnicami (0,2) (pretože konštanta je 2) .
Vykreslenie komplexnej funkcie
Nájdite nuly funkcie. Nuly funkcie sú hodnoty premennej „x“, pri ktorej y = 0, to znamená, že ide o priesečníky grafu s osou x. Majte na pamäti, že nie všetky funkcie majú nuly, ale toto je prvým krokom v procese vytvárania grafu akejkoľvek funkcie. Ak chcete nájsť nuly funkcie, nastavte ju na nulu. Napríklad:
Nájdite a označte horizontálne asymptoty. Asymptota je priamka, ku ktorej sa graf funkcie približuje, ale nikdy ju nepretína (teda funkcia nie je v tejto oblasti definovaná, napr. pri delení 0). Označte asymptotu bodkovanou čiarou. Ak je premenná "x" v menovateli zlomku (napr. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), nastavte menovateľa na nulu a nájdite "x". V získaných hodnotách premennej "x" funkcia nie je definovaná (v našom príklade nakreslite prerušované čiary cez x = 2 a x = -2), pretože nemôžete deliť 0. Ale asymptoty existujú nielen v prípadoch, keď funkcia obsahuje zlomkový výraz. Preto sa odporúča používať zdravý rozum:
-
Zistite, či je funkcia lineárna. Lineárna funkcia je daná vzorcom tvaru F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) alebo y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(napríklad ) a jeho graf je priamka. Vzorec teda obsahuje jednu premennú a jednu konštantu (konštantu) bez akýchkoľvek exponentov, koreňových znamienok a podobne. Vzhľadom na funkciu podobného tvaru je vykreslenie takejto funkcie celkom jednoduché. Tu sú ďalšie príklady lineárnych funkcií:
Na označenie bodu na osi y použite konštantu. Konštanta (b) je súradnicou „y“ priesečníka grafu s osou Y. To znamená, že ide o bod, ktorého súradnica „x“ je 0. Ak sa teda do vzorca dosadí x = 0 , potom y = b (konštanta). V našom príklade y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konštanta je 5, to znamená, že priesečník s osou Y má súradnice (0,5). Nakreslite tento bod na rovinu súradníc.
Nájdite sklon čiary. Rovná sa násobiteľu premennej. V našom príklade y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) s premennou "x" je faktor 2; sklon je teda 2. Sklon určuje uhol sklonu priamky k osi X, to znamená, že čím väčší je sklon, tým rýchlejšie sa funkcia zvyšuje alebo znižuje.
Napíšte sklon ako zlomok. Sklon sa rovná dotyčnici uhla sklonu, to znamená pomeru vertikálnej vzdialenosti (medzi dvoma bodmi na priamke) k horizontálnej vzdialenosti (medzi rovnakými bodmi). V našom príklade je sklon 2, takže môžeme povedať, že vertikálna vzdialenosť je 2 a horizontálna vzdialenosť je 1. Napíšte to zlomkom: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).
1. Lineárna zlomková funkcia a jej graf
Funkcia tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) sú polynómy, sa nazýva zlomková racionálna funkcia.
Pravdepodobne už poznáte pojem racionálne čísla. Podobne racionálne funkcie sú funkcie, ktoré možno znázorniť ako podiel dvoch polynómov.
Ak je zlomková racionálna funkcia podielom dvoch lineárnych funkcií - polynómov prvého stupňa, t.j. funkcia zobrazenia
y = (ax + b) / (cx + d), potom sa nazýva zlomková lineárna.
Všimnite si, že vo funkcii y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (inak sa funkcia stane lineárnou y = ax/d + b/d) a že a/c ≠ b/d (inak funkcia je konštantná). Funkcia lineárnych zlomkov je definovaná pre všetky reálne čísla okrem x = -d/c. Grafy lineárnych zlomkových funkcií sa tvarom nelíšia od grafu, ktorý poznáte y = 1/x. Krivka, ktorá je grafom funkcie y = 1/x, sa nazýva hyperbola. Pri neobmedzenom náraste x v absolútnej hodnote funkcia y = 1/x donekonečna klesá v absolútnej hodnote a obe vetvy grafu sa približujú k osi x: pravá zhora a ľavá zdola. Čiary, ku ktorým sa približujú vetvy hyperboly, sa nazývajú jej asymptoty.
Príklad 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
Riešenie.
Vyberieme celú časť čísla: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Teraz je ľahké vidieť, že graf tejto funkcie sa získa z grafu funkcie y = 1/x nasledujúcimi transformáciami: posunutie o 3 jednotkové segmenty doprava, natiahnutie pozdĺž osi Oy 7-krát a posunutie o 2 segmenty jednotky nahor.
Akýkoľvek zlomok y = (ax + b) / (cx + d) je možné zapísať rovnakým spôsobom, pričom sa zvýrazní „celá časť“. V dôsledku toho sú grafy všetkých lineárnych zlomkových funkcií hyperboly posunuté pozdĺž súradnicových osí rôznymi spôsobmi a natiahnuté pozdĺž osi Oy.
Na vykreslenie grafu ľubovoľnej lineárnej zlomkovej funkcie nie je vôbec potrebné transformovať zlomok, ktorý túto funkciu definuje. Keďže vieme, že graf je hyperbola, bude stačiť nájsť priamky, ku ktorým sa približujú jeho vetvy - hyperbola asymptoty x = -d/c a y = a/c.
Príklad 2
Nájdite asymptoty grafu funkcie y = (3x + 5)/(2x + 2).
Riešenie.
Funkcia nie je definovaná, pre x = -1. Čiara x = -1 teda slúži ako vertikálna asymptota. Aby sme našli horizontálnu asymptotu, zistime, k čomu sa približujú hodnoty funkcie y(x), keď argument x rastie v absolútnej hodnote.
Aby sme to dosiahli, vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Ako x → ∞ zlomok smeruje k 3/2. Horizontálna asymptota je teda priamka y = 3/2.
Príklad 3
Nakreslite funkciu y = (2x + 1)/(x + 1).
Riešenie.
Vyberieme „celú časť“ zlomku:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Teraz je ľahké vidieť, že graf tejto funkcie sa získa z grafu funkcie y = 1/x nasledujúcimi transformáciami: posunom o 1 jednotku doľava, symetrickým zobrazením vzhľadom na Ox a posunom o 2 jednotkové intervaly nahor pozdĺž osi Oy.
Doména definície D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Rozsah hodnôt E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Priesečníky s osami: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcia sa zvyšuje na každom z intervalov definičného oboru.
Odpoveď: obrázok 1.
2. Zlomkovo-racionálna funkcia
Uvažujme zlomkovú racionálnu funkciu tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) sú polynómy vyššieho stupňa ako prvý.
Príklady takýchto racionálnych funkcií:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) alebo y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Ak je funkcia y = P(x) / Q(x) podielom dvoch polynómov stupňa vyššieho ako prvý, potom bude jej graf spravidla zložitejší a niekedy môže byť ťažké ho presne zostaviť. , so všetkými podrobnosťami. Často však stačí aplikovať techniky podobné tým, s ktorými sme sa už stretli vyššie.
Nech je zlomok vlastný (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) +. .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + ... + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + ...+
+ (M1x + N1) / (x2 + ptx + qt) m1 + ... + (Mm1 x + Nm1) / (x2 + ptx + qt).
Je zrejmé, že graf zlomkovej racionálnej funkcie možno získať ako súčet grafov elementárnych zlomkov.
Vykresľovanie zlomkových racionálnych funkcií
Zvážte niekoľko spôsobov, ako vykresliť zlomkovo-racionálnu funkciu.
Príklad 4
Nakreslite funkciu y = 1/x 2 .
Riešenie.
Graf funkcie y \u003d x 2 použijeme na vykreslenie grafu y \u003d 1 / x 2 a použijeme metódu „rozdelenia“ grafov.
Doména D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Rozsah hodnôt E(y) = (0; +∞).
Neexistujú žiadne priesečníky s osami. Funkcia je rovnomerná. Zvyšuje pre všetky x z intervalu (-∞; 0), znižuje pre x od 0 do +∞.
Odpoveď: obrázok 2.
Príklad 5
Nakreslite funkciu y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Riešenie.
Doména D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Tu sme použili techniku faktoringu, redukcie a redukcie na lineárnu funkciu.
Odpoveď: obrázok 3.
Príklad 6
Nakreslite funkciu y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Riešenie.
Definičný obor je D(y) = R. Keďže funkcia je párna, graf je symetrický podľa osi y. Pred vytvorením grafu opäť transformujeme výraz zvýraznením celej časti:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Všimnite si, že výber celočíselnej časti vo vzorci zlomkovej racionálnej funkcie je jedným z hlavných pri vykresľovaní grafov.
Ak x → ±∞, potom y → 1, t.j. priamka y = 1 je vodorovná asymptota.
Odpoveď: obrázok 4.
Príklad 7
Uvažujme funkciu y = x/(x 2 + 1) a pokúste sa nájsť presne jej najväčšiu hodnotu, t.j. najvyšší bod v pravej polovici grafu. Na presné zostavenie tohto grafu dnešné znalosti nestačia. Je zrejmé, že naša krivka nemôže „vyliezť“ veľmi vysoko, od r menovateľ rýchlo začne „predbiehať“ čitateľa. Pozrime sa, či sa hodnota funkcie môže rovnať 1. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť rovnicu x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Táto rovnica nemá žiadne skutočné korene. Náš predpoklad je teda nesprávny. Ak chcete nájsť najväčšiu hodnotu funkcie, musíte zistiť, pre ktoré najväčšie A bude mať rovnica A \u003d x / (x 2 + 1) riešenie. Pôvodnú rovnicu nahraďme kvadratickou rovnicou: Ax 2 - x + A \u003d 0. Táto rovnica má riešenie, keď 1 - 4A 2 ≥ 0. Odtiaľ nájdeme najväčšiu hodnotu A \u003d 1/2. 
Odpoveď: Obrázok 5, maximálne y(x) = ½.
Máte nejaké otázky? Neviete, ako vytvárať grafy funkcií?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.