V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve operácie s vektormi: krížový súčin vektorov a zmiešaný súčin vektorov (okamžitý odkaz pre tých, ktorí to potrebujú). Nevadí, občas sa stane, že pre úplné šťastie sa navyše bodový súčin vektorov, je potrebné stále viac a viac. Taká je vektorová závislosť. Niekto môže mať dojem, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. To nie je pravda. V tejto časti vyššej matematiky je vo všeobecnosti málo palivového dreva, snáď až na dosť pre Pinocchia. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva ťažší ako ten istý skalárny produkt, dokonca aj typických úloh bude menej. Hlavnou vecou v analytickej geometrii, ako mnohí vidia alebo už videli, je NEMÝLIŤ SA VÝPOČTOV. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)

Ak sa vektory lesknú niekde ďaleko, ako blesky na obzore, nevadí, začnite lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo znovu získať základné vedomosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu zoznámiť s informáciami selektívne, snažil som sa zhromaždiť čo najúplnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často nachádzajú v praktickej práci

Čo ti urobí radosť? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvoma a dokonca aj s tromi loptičkami. Dobre to dopadlo. Teraz nie je potrebné vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a ploché vektory s dvoma súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie – vektor a zmiešaný súčin vektorov sú definované a fungujú v trojrozmernom priestore. Už jednoduchšie!

V tejto operácii, rovnakým spôsobom ako v skalárnom súčine, dva vektory. Nech sú to nezničiteľné písmená.

Samotná akcia označené nasledujúcim spôsobom: . Sú aj iné možnosti, no ja som krížový súčin vektorov označoval takto, v hranatých zátvorkách krížikom.

A hneď otázka: ak je v bodový súčin vektorov sú zapojené dva vektory a tu sa teda dva vektory tiež vynásobia v čom je rozdiel? Jasný rozdiel predovšetkým vo VÝSLEDKU:

Výsledkom skalárneho súčinu vektorov je ČÍSLO:

Výsledkom krížového súčinu vektorov je VEKTOR: , čiže vektory vynásobíme a opäť dostaneme vektor. Uzavretý klub. Odtiaľ vlastne pochádza aj názov operácie. V rôznej náučnej literatúre sa môžu označenia aj líšiť, ja použijem písmeno .

Definícia krížového produktu

Najprv bude definícia s obrázkom, potom komentáre.

Definícia: krížový súčin nekolineárne vektory, prijaté v tomto poradí, sa nazýva VEKTOR, dĺžkačo je číselne rovná ploche rovnobežníka, postavené na týchto vektoroch; vektor ortogonálne k vektorom a je nasmerovaný tak, aby základ mal správnu orientáciu:

Rozoberáme definíciu podľa kostí, je tam veľa zaujímavých vecí!

Môžeme teda zdôrazniť nasledujúce dôležité body:

1) Zdrojové vektory označené červenými šípkami podľa definície nie kolineárne. O niečo neskôr bude vhodné zvážiť prípad kolineárnych vektorov.

2) Nasnímané vektory v prísnom poradí: – "a" sa vynásobí "byť", nie "byť" na "a". Výsledok násobenia vektorov je VECTOR , ktorý je označený modrou farbou. Ak sa vektory vynásobia v opačnom poradí, dostaneme vektor rovnakej dĺžky a opačného smeru (karmínová farba). Teda rovnosť .

3) Teraz sa zoznámime s geometrickým významom vektorového súčinu. Toto je veľmi dôležitý bod! DĹŽKA modrého vektora (a teda karmínového vektora ) sa numericky rovná PLOHE rovnobežníka postaveného na vektoroch . Na obrázku je tento rovnobežník vytieňovaný čiernou farbou.

Poznámka : výkres je schematický a nominálna dĺžka krížového produktu sa samozrejme nerovná ploche rovnobežníka.

Pripomíname si jeden z geometrických vzorcov: plocha rovnobežníka sa rovná súčinu susedných strán a sínusu uhla medzi nimi. Preto na základe vyššie uvedeného platí vzorec na výpočet DĹŽKY vektorového produktu:

Zdôrazňujem, že vo vzorci hovoríme o DĹŽKE vektora, a nie o vektore samotnom. Aký je praktický význam? A význam je taký, že v problémoch analytickej geometrie sa oblasť rovnobežníka často nachádza prostredníctvom konceptu vektorového produktu:

Dostávame druhý dôležitý vzorec. Uhlopriečka rovnobežníka (červená bodkovaná čiara) ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky. Preto oblasť trojuholníka postavená na vektoroch (červené tieňovanie) možno nájsť podľa vzorca:

4) Nemenej dôležitým faktom je, že vektor je ortogonálny k vektorom, tj . Samozrejme, opačne orientovaný vektor (karmínová šípka) je tiež ortogonálny k pôvodným vektorom.

5) Vektor smeruje tak, že základ Má správny orientácia. V lekcii o prechod na nový základ Hovoril som podrobne o rovinná orientácia a teraz zistíme, aká je orientácia priestoru. Vysvetlím na vašich prstoch pravá ruka. Mentálne kombinovať ukazovák s vektorom a prostredník s vektorom. Prstenník a malíček zatlačte do dlane. Ako výsledok palec- vektorový produkt sa vyhľadá. Toto je správne orientovaný základ (je na obrázku). Teraz vymeňte vektory ( ukazovákom a prostredníkom) v dôsledku toho sa na niektorých miestach palec otočí a vektorový produkt sa už bude pozerať nadol. Toto je tiež správne orientovaný základ. Možno máte otázku: aký základ má ľavicová orientácia? "Priraďte" rovnaké prsty ľavá ruka vectors a získajte ľavú základňu a orientáciu ľavého priestoru (v tomto prípade bude palec umiestnený v smere spodného vektora). Obrazne povedané, tieto základy „krútia“ alebo orientujú priestor v rôznych smeroch. A tento koncept by sa nemal považovať za niečo pritiahnuté za vlasy alebo abstraktné - napríklad najbežnejšie zrkadlo mení orientáciu priestoru a ak „vytiahnete odrazený objekt zo zrkadla“, vo všeobecnosti to nebude možné. skombinujte ho s „originálom“. Mimochodom, priložte tri prsty k zrkadlu a analyzujte odraz ;-)

... aké je dobré, že o tom teraz viete orientované vpravo a vľavo základy, lebo vyjadrenia niektorých lektorov o zmene orientácie sú hrozné =)

Vektorový súčin kolineárnych vektorov

Definícia bola podrobne vypracovaná, zostáva zistiť, čo sa stane, keď sú vektory kolineárne. Ak sú vektory kolineárne, potom môžu byť umiestnené na jednej priamke a náš rovnobežník sa tiež „zloží“ do jednej priamky. Oblasť takých, ako hovoria matematici, degenerovať rovnobežník je nulový. To isté vyplýva zo vzorca - sínus nuly alebo 180 stupňov sa rovná nule, čo znamená, že plocha je nula

Teda ak , tak a . Upozorňujeme, že samotný krížový súčin sa rovná nulovému vektoru, ale v praxi sa to často zanedbáva a píše sa, že sa tiež rovná nule.

Špeciálnym prípadom je vektorový súčin vektora a samotného:

Pomocou krížového produktu môžete skontrolovať kolinearitu trojrozmerných vektorov a okrem iného budeme analyzovať aj tento problém.

Na riešenie praktických príkladov môže byť potrebné trigonometrická tabuľka nájsť z neho hodnoty sínusov.

No, založme oheň:

Príklad 1

a) Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov ak

b) Nájdite oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nie, toto nie je preklep, zámerne som urobil počiatočné údaje v položkách podmienky rovnaké. Pretože dizajn riešení bude iný!

a) Podľa podmienky je potrebné nájsť dĺžka vektor (vektorový súčin). Podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

Keďže sa pýtali na dĺžku, tak v odpovedi uvádzame rozmer - jednotky.

b) Podľa stavu sa vyžaduje nájsť námestie rovnobežník postavený na vektoroch. Plocha tohto rovnobežníka sa číselne rovná dĺžke krížového produktu:

Odpoveď:

Upozorňujeme, že v odpovedi o vektorovom produkte sa vôbec nehovorí, na čo sa nás pýtali oblasť postavy, respektíve rozmer je štvorcových jednotiek.

Vždy sa pozrieme na to, ČO sa má podľa podmienky nájsť, a na základe toho formulujeme jasný odpoveď. Môže sa to zdať ako doslovnosť, ale doslovníkov je medzi učiteľmi dosť a úloha s dobrými šancami sa vráti na prepracovanie. Aj keď to nie je obzvlášť napätá hnidopicha - ak je odpoveď nesprávna, potom má človek dojem, že človek nerozumie jednoduchým veciam a / alebo sa neponoril do podstaty úlohy. Tento moment treba mať vždy pod kontrolou, riešiť akýkoľvek problém vo vyššej matematike, ale aj v iných predmetoch.

Kam zmizlo veľké písmeno „en“? V zásade by sa to dalo dodatočne prilepiť k riešeniu, ale v záujme skrátenia záznamu som to neurobil. Dúfam, že to každý chápe a je to označenie toho istého.

Populárny príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 2

Nájdite oblasť trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka cez vektorový produkt je uvedený v komentároch k definícii. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

V praxi je úloha naozaj veľmi bežná, trojuholníky sa dajú vo všeobecnosti mučiť.

Na vyriešenie iných problémov potrebujeme:

Vlastnosti krížového súčinu vektorov

Niektoré vlastnosti vektorového súčinu sme už zvážili, do tohto zoznamu ich však zaradím.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) V iných zdrojoch informácií sa táto položka zvyčajne nerozlišuje vo vlastnostiach, ale z praktického hľadiska je veľmi dôležitá. Tak nech je.

2) - o majetku sa hovorí aj vyššie, niekedy je tzv antikomutatívnosť. Inými slovami, na poradí vektorov záleží.

3) - kombinácia resp asociatívne zákony o vektorových produktoch. Konštanty sú ľahko vyňaté z limitov vektorového súčinu. Ozaj, čo tam robia?

4) - distribúcia resp distribúcia zákony o vektorových produktoch. Problémy nie sú ani s otváraním zátvoriek.

Ako ukážku zvážte krátky príklad:

Príklad 3

Nájdite ak

Riešenie: Podľa podmienky je opäť potrebné nájsť dĺžku vektorového súčinu. Namaľujeme si našu miniatúru:

(1) Podľa asociatívnych zákonov vyberáme konštanty za hranice vektorového súčinu.

(2) Vyberieme konštantu z modulu, zatiaľ čo modul „žerie“ znamienko mínus. Dĺžka nemôže byť záporná.

(3) Čo nasleduje, je jasné.

Odpoveď:

Je čas hodiť drevo do ohňa:

Príklad 4

Vypočítajte obsah trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nájdite oblasť trojuholníka pomocou vzorca . Háčik je v tom, že samotné vektory „ce“ a „te“ sú reprezentované ako súčty vektorov. Algoritmus je tu štandardný a trochu pripomína príklady č. 3 a 4 z lekcie. Bodový súčin vektorov. Pre prehľadnosť si to rozložme do troch krokov:

1) V prvom kroku vyjadríme vektorový produkt prostredníctvom vektorového produktu, v skutočnosti, vyjadriť vektor v termínoch vektora. O dĺžke zatiaľ nepadlo ani slovo!

(1) Dosadíme výrazy vektorov .

(2) Pomocou distributívnych zákonov otvárame zátvorky podľa pravidla násobenia polynómov.

(3) Pomocou asociatívnych zákonov odstránime všetky konštanty za vektorovými súčinmi. S malými skúsenosťami je možné vykonať akcie 2 a 3 súčasne.

(4) Prvý a posledný člen sa rovnajú nule (vektor nula) kvôli príjemnej vlastnosti . V druhom termíne používame vlastnosť antikomutativity vektorového produktu:

(5) Uvádzame podobné výrazy.

V dôsledku toho sa ukázalo, že vektor je vyjadrený prostredníctvom vektora, čo bolo potrebné na dosiahnutie:

2) V druhom kroku nájdeme dĺžku vektorového súčinu, ktorý potrebujeme. Táto akcia je podobná ako v príklade 3:

3) Nájdite oblasť požadovaného trojuholníka:

Kroky 2-3 riešenia by mohli byť usporiadané v jednej línii.

Odpoveď:

Uvažovaný problém je v testoch celkom bežný, tu je príklad nezávislého riešenia:

Príklad 5

Nájdite ak

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny. Pozrime sa, ako pozorní ste boli pri štúdiu predchádzajúcich príkladov ;-)

Krížový súčin vektorov v súradniciach

uvedené na ortonormálnom základe , sa vyjadruje vzorcom:

Vzorec je naozaj jednoduchý: súradnicové vektory napíšeme do horného riadku determinantu, súradnice vektorov „zabalíme“ do druhého a tretieho riadku a dáme v prísnom poradí- najprv súradnice vektora "ve", potom súradnice vektora "double-ve". Ak je potrebné vynásobiť vektory v inom poradí, riadky by sa mali tiež vymeniť:

Príklad 10

Skontrolujte, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:
a)
b)

Riešenie: Test je založený na jednom z tvrdení v tejto lekcii: ak sú vektory kolineárne, ich krížový súčin je nula (nulový vektor): .

a) Nájdite vektorový súčin:

Takže vektory nie sú kolineárne.

b) Nájdite vektorový súčin:

Odpoveď: a) nie kolineárne, b)

Tu sú snáď všetky základné informácie o vektorovom súčine vektorov.

Táto časť nebude príliš veľká, pretože existuje len málo problémov, kde sa používa zmiešaný súčin vektorov. V skutočnosti bude všetko spočívať na definícii, geometrickom význame a niekoľkých pracovných vzorcoch.

Zmiešaný súčin vektorov je súčinom troch vektorov:

Takto sa zoradili ako vlak a čakajú, nevedia sa dočkať, kým sa spočítajú.

Najprv opäť definícia a obrázok:

Definícia: Zmiešaný produkt nekoplanárne vektory, prijaté v tomto poradí, sa volá objem rovnobežnostena, postavené na týchto vektoroch, vybavené znamienkom „+“, ak je základ pravý, a znamienkom „-“, ak je základ ľavý.

Urobme kresbu. Pre nás neviditeľné čiary sú nakreslené bodkovanou čiarou:

Poďme sa ponoriť do definície:

2) Nasnímané vektory v určitom poradí, to znamená, že permutácia vektorov v produkte, ako by ste mohli hádať, nezostane bez následkov.

3) Pred komentovaním geometrického významu si všimnem zrejmú skutočnosť: zmiešaný súčin vektorov je ČÍSLO: . Vo vzdelávacej literatúre môže byť dizajn trochu odlišný, zvykol som označovať zmiešaný produkt a výsledok výpočtov písmenom „pe“.

Podľa definície zmiešaný produkt je objem kvádra, postavený na vektoroch (postava je nakreslená červenými vektormi a čiernymi čiarami). To znamená, že číslo sa rovná objemu daného rovnobežnostena.

Poznámka : Výkres je schematický.

4) Nezaťažujme sa opäť pojmom orientácia základne a priestoru. Význam záverečnej časti je, že k objemu možno pridať znamienko mínus. Zjednodušene povedané, zmiešaný produkt môže byť negatívny: .

Vzorec na výpočet objemu kvádra postaveného na vektoroch priamo vyplýva z definície.

Plocha rovnobežníka postaveného na vektoroch sa rovná súčinu dĺžok týchto vektorov a uhla uhla, ktorý medzi nimi leží.

Je dobré, keď sú dĺžky rovnakých vektorov dané podľa podmienok. Stáva sa však aj to, že vzorec pre oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch je možné použiť až po výpočtoch na súradniciach.
Ak máte šťastie a dĺžky vektorov sú uvedené podľa podmienok, potom stačí použiť vzorec, ktorý sme už podrobne rozobrali v článku. Plocha sa bude rovnať súčinu modulov a sínusu uhla medzi nimi:

Zvážte príklad výpočtu plochy rovnobežníka postaveného na vektoroch.

Úloha: Rovnobežník je postavený na vektoroch a . Nájdite oblasť if a uhol medzi nimi je 30°.
Vyjadrime vektory z hľadiska ich hodnôt:

Možno máte otázku - odkiaľ sa vzali nuly? Stojí za to pripomenúť, že pracujeme s vektormi a pre nich . tiež si všimnite, že ak ako výsledok dostaneme výraz, potom sa skonvertuje na. Teraz urobme posledné výpočty:

Vráťme sa k problému, keď v podmienkach nie sú uvedené dĺžky vektorov. Ak váš rovnobežník leží v karteziánskom súradnicovom systéme, musíte urobiť nasledovné.

Výpočet dĺžok strán obrazca zadaných súradnicami

Na začiatok nájdeme súradnice vektorov a od koncových súradníc odpočítame zodpovedajúce počiatočné súradnice. Predpokladajme súradnice vektora a (x1;y1;z1) a vektora b (x3;y3;z3).
Teraz nájdeme dĺžku každého vektora. Aby ste to dosiahli, každá súradnica musí byť odmocnená, potom pridajte výsledky a extrahujte koreň z konečného čísla. Podľa našich vektorov sa vykonajú nasledujúce výpočty:


Teraz musíme nájsť bodový súčin našich vektorov. Na tento účel sa ich príslušné súradnice vynásobia a sčítajú.

Vzhľadom na dĺžky vektorov a ich skalárny súčin môžeme nájsť kosínus uhla ležiaceho medzi nimi .
Teraz môžeme nájsť sínus rovnakého uhla:
Teraz máme všetky potrebné množstvá a pomocou už známeho vzorca môžeme ľahko nájsť oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch.

Najprv si pripomeňme, čo je vektorový produkt.

Poznámka 1

vektorové umenie pre $\vec(a)$ a $\vec(b)$ je $\vec(c)$, čo je nejaký tretí vektor $\vec(c)= ||$ a tento vektor má špeciálne vlastnosti:

• Skalár výsledného vektora je súčinom $|\vec(a)|$ a $|\vec(b)|$ a sínusu uhla $\vec(c)= ||= |\vec(a )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Všetky $\vec(a), \vec(b)$ a $\vec(c)$ tvoria pravú trojicu;
• Výsledný vektor je ortogonálny k $\vec(a)$ a $\vec(b)$.

Ak existujú nejaké súradnice pre vektory ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ a $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), potom ich vektorový súčin v karteziánsky súradnicový systém možno určiť podľa vzorca:

$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$

Najjednoduchší spôsob, ako si zapamätať tento vzorec, je napísať ho vo forme determinantu:

$ = \začiatok(pole) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(pole)$.

Tento vzorec je celkom vhodný na použitie, ale aby ste pochopili, ako ho používať, musíte sa najprv oboznámiť s témou matíc a ich determinantov.

Plocha rovnobežníka, ktorého strany sú definované dvoma vektormi $\vec(a)$ a $vec(b)$ sa rovná na skalár krížového súčinu daných dvoch vektorov.

Tento pomer sa dá celkom ľahko odvodiť.

Pripomeňme si vzorec na nájdenie plochy obyčajného rovnobežníka, ktorý možno charakterizovať jeho segmentmi $a$ a $b$:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

V tomto prípade sa dĺžky strán rovnajú skalárnym hodnotám vektorov $\vec(a)$ a $\vec(b)$, čo je pre nás celkom vhodné, teda skalár vektorový produkt týchto vektorov bude oblasťou uvažovaného obrázku.

Príklad 1

Dané vektory $\vec(c)$ so súradnicami $\(5;3; 7\)$ a vektor $\vec(g)$ so súradnicami $\(3; 7;10 \)$ v karteziánskych súradniciach. Nájdite oblasť rovnobežníka tvorenú $\vec(c)$ a $\vec(g)$.

Riešenie:

Nájdite vektorový produkt pre tieto vektory:

$ = \begin(pole) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(pole)= i \cdot \begin(pole) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(pole) - j \cdot \begin(pole) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(pole) + k \cdot \begin(pole) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(pole) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

Teraz nájdime modulárnu hodnotu pre výsledný smerový segment, je to hodnota plochy zostrojeného rovnobežníka:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34 $.

Tento spôsob uvažovania platí nielen pre hľadanie oblasti v 3-rozmernom priestore, ale aj pre dvojrozmerný priestor. Pozrite si ďalšiu otázku na túto tému.

Príklad 2

Vypočítajte plochu rovnobežníka, ak sú jeho generujúce segmenty dané vektormi $\vec(m)$ so súradnicami $\(2; 3\)$ a $\vec(d)$ so súradnicami $\(-5; 6\)$.

Riešenie:

Tento problém je konkrétnym príkladom problému 1, vyriešeného vyššie, ale oba vektory ležia v rovnakej rovine, čo znamená, že tretiu súradnicu $z$ možno považovať za nulu.

Aby sme zhrnuli vyššie uvedené, oblasť rovnobežníka bude:

$S = \začiatok(pole) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(pole) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

Príklad 3

Dané vektory $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)=5i$. Nájdite oblasť rovnobežníka, ktorý tvoria.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i - j + k) \times 5i = 15 - 5 + $

Zjednodušme podľa uvedenej tabuľky pre jednotkové vektory:

Obrázok 1. Rozklad vektora z hľadiska bázy. Author24 - online výmena študentských prác

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Čas výpočtu:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Predchádzajúce problémy sa týkali vektorov, ktorých súradnice sú uvedené v karteziánskom súradnicovom systéme, ale zvážte aj prípad, keď sa uhol medzi základnými vektormi líši od $90°$:

Príklad 4

Vektor $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, dĺžky $\vec(a)$ a $\vec(b)$ sa navzájom rovnajú a rovný jednej a uhol medzi $\vec(a)$ a $\vec(b)$ je 45°.

Riešenie:

Vypočítajme vektorový súčin $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

Pre vektorové produkty podľa ich vlastností platí: $$ a $$ sa rovnajú nule, $ = - $.

Na zjednodušenie použijeme toto:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11 $.

Teraz použijeme vzorec $(1)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5,5$.