Technika
Ako nájsť najväčšiu hodnotu funkcie. Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie. Kvadratická funkcia je zapísaná v štandardnom tvare

Ako nájsť najväčšiu hodnotu funkcie. Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie. Kvadratická funkcia je zapísaná v štandardnom tvare

V praxi je celkom bežné používať deriváciu na výpočet najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. Túto akciu vykonávame, keď zisťujeme, ako minimalizovať náklady, zvýšiť zisk, vypočítať optimálne zaťaženie výroby atď., To znamená v prípadoch, keď je potrebné určiť optimálnu hodnotu parametra. Na správne vyriešenie takýchto problémov je potrebné dobre pochopiť, aké sú najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Zvyčajne tieto hodnoty definujeme v rámci nejakého intervalu x, ktorý zase môže zodpovedať celému rozsahu funkcie alebo jej časti. Môže to byť buď segment [ a ; b ] a otvorený interval (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , nekonečný interval (a ; b), (a ; b ] , [ a ; b) alebo nekonečný interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

V tomto článku si popíšeme, ako sa vypočíta najväčšia a najmenšia hodnota explicitne danej funkcie s jednou premennou y=f(x) y = f (x).

Základné definície

Začneme, ako vždy, formuláciou hlavných definícií.

Definícia 1

Najväčšia hodnota funkcie y = f (x) na nejakom intervale x je hodnota m a x y = f (x 0) x ∈ X , ktorá pre ľubovoľnú hodnotu x x ∈ X, x ≠ x 0 robí nerovnosť f (x ) ≤ f (x 0) .

Definícia 2

Najmenšia hodnota funkcie y = f (x) na nejakom intervale x je hodnota m i n x ∈ X y = f (x 0) , ktorá pre ľubovoľnú hodnotu x ∈ X , x ≠ x 0 vytvára nerovnosť f(X). f (x) ≥ f(x0) .

Tieto definície sú celkom zrejmé. Dá sa to povedať ešte jednoduchšie: najväčšia hodnota funkcie je jej najväčšia hodnota v známom intervale na osi x 0 a najmenšia je najmenšia akceptovaná hodnota v rovnakom intervale na x 0.

Definícia 3

Stacionárne body sú také hodnoty argumentu funkcie, pri ktorých sa jeho derivácia stáva 0.

Prečo potrebujeme vedieť, čo sú stacionárne body? Na zodpovedanie tejto otázky si musíme zapamätať Fermatovu vetu. Z neho vyplýva, že stacionárny bod je bod, v ktorom sa nachádza extrém diferencovateľnej funkcie (t. j. jej lokálne minimum alebo maximum). V dôsledku toho funkcia nadobudne najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu na určitom intervale presne v jednom zo stacionárnych bodov.

Iná funkcia môže nadobudnúť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v tých bodoch, v ktorých je samotná funkcia určitá a jej prvá derivácia neexistuje.

Prvá otázka, ktorá vyvstáva pri štúdiu tejto témy, je: môžeme vo všetkých prípadoch určiť maximálnu alebo minimálnu hodnotu funkcie na danom intervale? Nie, nemôžeme to urobiť, keď sa hranice daného intervalu budú zhodovať s hranicami definičného oboru, alebo ak máme do činenia s nekonečným intervalom. Stáva sa tiež, že funkcia v danom intervale alebo v nekonečne nadobudne nekonečne malé alebo nekonečne veľké hodnoty. V týchto prípadoch nie je možné určiť najväčšiu a/alebo najmenšiu hodnotu.

Tieto momenty budú zrozumiteľnejšie po obrázku na grafoch:

Prvý obrázok nám ukazuje funkciu, ktorá nadobúda najväčšie a najmenšie hodnoty (m a x y a m i n y) v stacionárnych bodoch nachádzajúcich sa na intervale [ - 6 ; 6].

Pozrime sa podrobne na prípad uvedený v druhom grafe. Zmeňme hodnotu segmentu na [ 1 ; 6] a dostaneme, že najväčšiu hodnotu funkcie dosiahneme v bode s úsečkou na pravej hranici intervalu a najmenšiu v stacionárnom bode.

Na treťom obrázku úsečky bodov predstavujú hraničné body segmentu [ - 3 ; 2]. Zodpovedajú najväčšej a najmenšej hodnote danej funkcie.

Teraz sa pozrime na štvrtý obrázok. V ňom funkcia naberá m a x y (najväčšiu hodnotu) a m i n y (najmenšiu hodnotu) v stacionárnych bodoch v otvorenom intervale (- 6 ; 6) .

Ak vezmeme interval [ 1 ; 6) , potom môžeme povedať, že najmenšiu hodnotu funkcie na ňom dosiahneme v stacionárnom bode. Maximálnu hodnotu sa nedozvieme. Funkcia môže nadobudnúť najväčšiu hodnotu pri x rovnú 6, ak x = 6 patrí do intervalu. Práve tento prípad je znázornený na obrázku 5.

Na grafe 6 táto funkcia nadobúda najmenšiu hodnotu na pravej hranici intervalu (- 3 ; 2 ] a o najväčšej hodnote nemôžeme vyvodiť jednoznačné závery.

Na obrázku 7 vidíme, že funkcia bude mať ma x y v stacionárnom bode s osou rovnajúcou sa 1 . Funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu na hranici intervalu na pravej strane. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky priblížia k y = 3.

Ak vezmeme interval x ∈ 2 ; + ∞ , potom uvidíme, že daná funkcia nenadobudne ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Ak má x tendenciu k 2, potom hodnoty funkcie budú mať tendenciu k mínus nekonečnu, pretože priamka x = 2 je vertikálna asymptota. Ak má abscisa tendenciu k plus nekonečnu, potom sa hodnoty funkcie asymptoticky priblížia k y = 3. Toto je prípad znázornený na obrázku 8.

V tomto odseku uvedieme postupnosť akcií, ktoré je potrebné vykonať, aby sme našli najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie na určitom intervale.

Najprv nájdime doménu funkcie. Skontrolujeme, či je v nej zahrnutý segment uvedený v podmienke.
Teraz vypočítajme body obsiahnuté v tomto segmente, v ktorých prvá derivácia neexistuje. Najčastejšie ich nájdeme vo funkciách, ktorých argument je zapísaný pod znamienkom modulu, alebo v mocninných funkciách, ktorých exponentom je zlomkové racionálne číslo.
Ďalej zistíme, ktoré stacionárne body spadajú do daného segmentu. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať deriváciu funkcie, potom ju prirovnať k 0 a vyriešiť výslednú rovnicu a potom vybrať príslušné korene. Ak nezískame ani jeden stacionárny bod alebo nespadajú do daného segmentu, tak prejdeme k ďalšiemu kroku.
Určme, aké hodnoty bude mať funkcia v daných stacionárnych bodoch (ak existujú), alebo v tých bodoch, kde prvá derivácia neexistuje (ak existuje), alebo vypočítame hodnoty pre x = a a x = b.
5. Máme sériu funkčných hodnôt, z ktorých teraz musíme vybrať najväčšiu a najmenšiu. Toto budú najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie, ktorú potrebujeme nájsť.

Pozrime sa, ako správne aplikovať tento algoritmus pri riešení problémov.

Príklad 1

podmienka: je daná funkcia y = x 3 + 4 x 2. Určte jeho najväčšiu a najmenšiu hodnotu na segmentoch [1; 4] a [-4; - jeden].

Riešenie:

Začnime hľadaním domény tejto funkcie. V tomto prípade to bude množina všetkých reálnych čísel okrem 0 . Inými slovami, D (y): x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Obidva segmenty špecifikované v podmienke budú vo vnútri oblasti definície.

Teraz vypočítame deriváciu funkcie podľa pravidla o derivácii zlomku:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Dozvedeli sme sa, že derivácia funkcie bude existovať vo všetkých bodoch segmentov [1; 4] a [-4; - jeden].

Teraz musíme určiť stacionárne body funkcie. Urobme to s rovnicou x 3 - 8 x 3 = 0. Má iba jeden skutočný koreň, ktorým je 2. Bude to stacionárny bod funkcie a bude spadať do prvého segmentu [1; štyri].

Vypočítajme hodnoty funkcie na koncoch prvého segmentu a v danom bode, t.j. pre x = 1 , x = 2 a x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Dosiahli sme, že najväčšia hodnota funkcie m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 dosiahneme pri x = 1 a najmenšie m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pri x = 2 .

Druhý segment neobsahuje žiadne stacionárne body, takže musíme vypočítať funkčné hodnoty iba na koncoch daného segmentu:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Preto m a x y x ∈ [ - 4; -1] = y (-1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4; -1] = y (-4) = -334.

odpoveď: Pre segment [1; 4] - ma x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, m n y x ∈ [ 1; 4 ] = y (2) = 3, pre segment [ - 4 ; -1] - ma x y x ∈ [ - 4; -1] = y (-1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4; -1] = y (-4) = -334.

Pozri obrázok:

Skôr ako sa naučíte túto metódu, odporúčame vám, aby ste si preštudovali, ako správne vypočítať jednostrannú hranicu a hranicu v nekonečne, ako aj naučiť sa základné metódy na ich nájdenie. Aby sme našli najväčšiu a/alebo najmenšiu hodnotu funkcie na otvorenom alebo nekonečnom intervale, vykonáme nasledujúce kroky v poradí.

Najprv je potrebné skontrolovať, či daný interval bude podmnožinou domény danej funkcie.
Určme všetky body, ktoré sú obsiahnuté v požadovanom intervale a v ktorých prvá derivácia neexistuje. Zvyčajne sa vyskytujú vo funkciách, kde je argument uzavretý v znamienku modulu, a v mocninných funkciách s čiastočne racionálnym exponentom. Ak tieto body chýbajú, môžete prejsť na ďalší krok.
Teraz určíme, ktoré stacionárne body spadajú do daného intervalu. Najprv vyrovnáme deriváciu s 0, vyriešime rovnicu a nájdeme vhodné korene. Ak nemáme ani jeden stacionárny bod alebo nespadajú do určeného intervalu, tak okamžite pristúpime k ďalším úkonom. Sú určené typom intervalu.

Ak interval vyzerá ako [ a ; b) , potom potrebujeme vypočítať hodnotu funkcie v bode x = a a jednostrannú limitu lim x → b - 0 f (x) .
Ak má interval tvar (a ; b ] , tak potrebujeme vypočítať hodnotu funkcie v bode x = b a jednostrannú limitu lim x → a + 0 f (x) .
Ak má interval tvar (a ; b) , tak musíme vypočítať jednostranné limity lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
Ak interval vyzerá ako [ a ; + ∞) , potom je potrebné vypočítať hodnotu v bode x = a a limitu do plus nekonečna lim x → + ∞ f (x) .
Ak interval vyzerá takto (- ∞ ; b ] , vypočítame hodnotu v bode x = b a limitu v mínus nekonečne lim x → - ∞ f (x) .
Ak - ∞ ; b , potom uvažujeme jednostrannú limitu lim x → b - 0 f (x) a limitu v mínus nekonečne lim x → - ∞ f (x)
Ak - ∞ ; + ∞ , potom uvažujeme limity do mínus a plus nekonečna lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

Na konci musíte vyvodiť záver na základe získaných hodnôt funkcie a limitov. Možností je tu veľa. Ak sa teda jednostranná limita rovná mínus nekonečnu alebo plus nekonečnu, potom je hneď jasné, že o najmenšej a najväčšej hodnote funkcie sa nedá nič povedať. Nižšie sa pozrieme na jeden typický príklad. Podrobné popisy vám pomôžu pochopiť, čo je čo. V prípade potreby sa môžete vrátiť k obrázkom 4 - 8 v prvej časti materiálu.

Príklad 2

Podmienka: je daná funkcia y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Vypočítajte jeho najväčšiu a najmenšiu hodnotu v intervaloch - ∞ ; - 4, - ∞; -3, (-3; 1], (-3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; +∞).

Riešenie

Najprv nájdeme doménu funkcie. Menovateľ zlomku je štvorcová trojčlenka, ktorá by nemala smerovať k 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Získali sme rozsah funkcie, do ktorej patria všetky intervaly uvedené v podmienke.

Teraz rozlíšime funkciu a získame:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

V dôsledku toho existujú derivácie funkcie v celej oblasti jej definície.

Prejdime k hľadaniu stacionárnych bodov. Derivácia funkcie sa stane 0 v x = -1 2 . Ide o stacionárny bod, ktorý je v intervaloch (- 3 ; 1 ] a (- 3 ; 2) .

Vypočítajme hodnotu funkcie v x = - 4 pre interval (- ∞ ; - 4 ] , ako aj limitu v mínus nekonečne:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Keďže 3 e 1 6 - 4 > - 1, potom m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. To nám neumožňuje jednoznačne určiť najmenšiu hodnotu funkcie. Môžeme len dospieť k záveru, že existuje limit pod -1, pretože práve k tejto hodnote sa funkcia približuje asymptoticky v mínus nekonečne.

Charakteristickým znakom druhého intervalu je, že nemá jediný stacionárny bod a ani jednu prísnu hranicu. Preto nemôžeme vypočítať ani najväčšiu, ani najmenšiu hodnotu funkcie. Definovaním limitu v mínus nekonečne a ako má argument tendenciu - 3 na ľavej strane, dostaneme iba rozsah hodnôt:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

To znamená, že hodnoty funkcií sa budú nachádzať v intervale - 1 ; +∞

Aby sme našli maximálnu hodnotu funkcie v treťom intervale, určíme jej hodnotu v stacionárnom bode x = - 1 2 ak x = 1 . Potrebujeme tiež poznať jednostrannú hranicu pre prípad, keď má argument tendenciu - 3 na pravej strane:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Ukázalo sa, že funkcia nadobudne najväčšiu hodnotu v stacionárnom bode m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Čo sa týka najmenšej hodnoty, nevieme ju určiť. viem, je prítomnosť dolnej hranice do -4.

Pre interval (- 3 ; 2) zoberme výsledky predchádzajúceho výpočtu a ešte raz vypočítame, čomu sa rovná jednostranná hranica pri sklone k 2 z ľavej strany:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Preto m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 a najmenšiu hodnotu nemožno určiť a hodnoty funkcie sú zdola ohraničené číslom - 4 .

Na základe toho, čo sme urobili v predchádzajúcich dvoch výpočtoch, môžeme tvrdiť, že na intervale [ 1 ; 2) funkcia nadobudne najväčšiu hodnotu pri x = 1 a nie je možné nájsť najmenšiu.

Na intervale (2 ; + ∞) funkcia nedosiahne ani najväčšiu, ani najmenšiu hodnotu, t.j. bude nadobúdať hodnoty z intervalu - 1 ; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Keď vypočítame, aká bude hodnota funkcie pri x = 4, zistíme, že m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 a daná funkcia v plus nekonečne sa bude asymptoticky blížiť k priamke y = - 1 .

Porovnajme, čo sme dostali pri každom výpočte, s grafom danej funkcie. Na obrázku sú asymptoty znázornené bodkovanými čiarami.

To je všetko, čo sme chceli hovoriť o hľadaní najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. Postupnosti akcií, ktoré sme uviedli, vám pomôžu urobiť potrebné výpočty čo najrýchlejšie a najjednoduchšie. Pamätajte však, že často je užitočné najprv zistiť, v ktorých intervaloch bude funkcia klesať a v ktorých sa bude zvyšovať, a potom je možné vyvodiť ďalšie závery. Môžete tak presnejšie určiť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie a zdôvodniť výsledky.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Niekedy sa v problémoch B15 vyskytujú "zlé" funkcie, pre ktoré je ťažké nájsť derivát. Predtým to bolo len na sondách, ale teraz sú tieto úlohy také bežné, že ich už nemožno ignorovať pri príprave na túto skúšku.

V tomto prípade fungujú iné triky, z ktorých jeden je - monotónna.

Funkcia f (x) sa nazýva monotónne rastúca na segmente, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tohto segmentu platí nasledovné:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Funkcia f (x) sa na segmente nazýva monotónne klesajúca, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tohto segmentu platí nasledovné:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f( x2).

Inými slovami, pre rastúcu funkciu platí, že čím väčšie x, tým väčšie je f(x). Pre klesajúcu funkciu platí opak: čím viac x, tým menej f(x).

Napríklad logaritmus rastie monotónne, ak je základ a > 1 a klesá monotónne, ak je 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetická druhá mocnina (nielen druhá odmocnina) rastie monotónne v celej oblasti definície:

Exponenciálna funkcia sa správa podobne ako logaritmus: zvyšuje sa pre a > 1 a klesá pre 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Nakoniec stupne so záporným exponentom. Môžete ich napísať ako zlomok. Majú bod zlomu, kde je narušená monotónnosť.

Všetky tieto funkcie sa nikdy nenachádzajú vo svojej čistej forme. Pridávajú sa k nim polynómy, zlomky a iné nezmysly, kvôli ktorým je ťažké vypočítať deriváciu. Čo sa stane v tomto prípade - teraz budeme analyzovať.

Súradnice vrcholov paraboly

Najčastejšie sa argument funkcie nahrádza výrazom štvorcový trojčlen tvaru y = ax 2 + bx + c . Jeho graf je štandardná parabola, ktorá nás zaujíma:

Vetvy paraboly - môžu ísť hore (pre a > 0) alebo dole (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
Vrchol paraboly je extrémnym bodom kvadratickej funkcie, v ktorom táto funkcia nadobúda svoj najmenší (pre a > 0) alebo najväčší (a< 0) значение.

Najväčším záujmom je vrchol paraboly, ktorého úsečka sa vypočíta podľa vzorca:

Takže sme našli extrémny bod kvadratickej funkcie. Ale ak je pôvodná funkcia monotónna, bod x 0 bude pre ňu tiež extrémnym bodom. Preto formulujeme kľúčové pravidlo:

Extrémne body štvorcového trinomu a komplexná funkcia, do ktorej vstupuje, sa zhodujú. Preto môžete hľadať x 0 pre štvorcovú trojčlenku a zabudnúť na funkciu.

Z vyššie uvedeného uvažovania zostáva nejasné, aký druh bodu získame: maximum alebo minimum. Úlohy sú však špecificky navrhnuté tak, aby to nevadilo. Veď posúďte sami:

V stave problému nie je žiadny segment. Preto nie je potrebné počítať f(a) a f(b). Zostáva zvážiť iba extrémne body;
Ale taký bod je len jeden – ide o vrchol paraboly x 0, ktorej súradnice sú vypočítané doslova ústne a bez akýchkoľvek derivácií.

Riešenie problému je teda značne zjednodušené a zredukované len na dva kroky:

Napíšte rovnicu paraboly y = ax 2 + bx + c a nájdite jej vrchol pomocou vzorca: x 0 = −b /2a;
Nájdite hodnotu pôvodnej funkcie v tomto bode: f (x 0). Ak neexistujú žiadne ďalšie podmienky, toto bude odpoveď.

Na prvý pohľad sa tento algoritmus a jeho opodstatnenie môže zdať komplikovaný. Zámerne neuverejňujem schému „holého“ riešenia, pretože bezmyšlienkovitá aplikácia takýchto pravidiel je plná chýb.

Zvážte skutočné úlohy zo skúšobnej skúšky z matematiky - tu je táto technika najbežnejšia. Zároveň sa postaráme o to, aby sa týmto spôsobom mnohé problémy B15 stali takmer verbálnymi.

Pod koreňom je kvadratická funkcia y \u003d x 2 + 6x + 13. Graf tejto funkcie je parabola s vetvami nahor, pretože koeficient a \u003d 1\u003e 0.

Vrchol paraboly:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Pretože vetvy paraboly sú nasmerované nahor, v bode x 0 \u003d −3 nadobúda funkcia y \u003d x 2 + 6x + 13 najmenšiu hodnotu.

Koreň sa monotónne zvyšuje, takže x 0 je minimálny bod celej funkcie. Máme:

Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom je opäť kvadratická funkcia: y \u003d x 2 + 2x + 9. Graf je parabola s vetvami nahor, pretože a = 1 > 0.

Vrchol paraboly:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Takže v bode x 0 = −1 nadobudne kvadratická funkcia najmenšiu hodnotu. Ale funkcia y = log 2 x je monotónna, takže:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Exponent je kvadratická funkcia y = 1 − 4x − x 2 . Prepíšme to do normálneho tvaru: y = −x 2 − 4x + 1.

Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola, ktorá sa vetví nadol (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Pôvodná funkcia je exponenciálna, je monotónna, takže najväčšia hodnota bude v nájdenom bode x 0 = −2:

Pozorný čitateľ si určite všimne, že sme nezapísali oblasť prípustných hodnôt koreňa a logaritmu. Nebolo to však potrebné: vo vnútri sú funkcie, ktorých hodnoty sú vždy pozitívne.

Dôsledky z rozsahu funkcie

Niekedy na vyriešenie problému B15 nestačí len nájsť vrchol paraboly. Požadovaná hodnota môže ležať na konci segmentu, ale nie v extrémnom bode. Ak úloha vôbec nešpecifikuje segment, pozrite sa na tolerančný rozsah pôvodná funkcia. menovite:

Venujte pozornosť znova: nula môže byť pod koreňom, ale nikdy nie v logaritme alebo menovateli zlomku. Pozrime sa, ako to funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie:

Pod koreňom je opäť kvadratická funkcia: y \u003d 3 - 2x - x 2. Jeho graf je parabola, ale vetví sa nadol, pretože a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Vypíšeme oblasť prípustných hodnôt (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; jeden]

Teraz nájdite vrchol paraboly:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Bod x 0 = −1 patrí do segmentu ODZ - a to je dobré. Teraz zvážime hodnotu funkcie v bode x 0, ako aj na koncoch ODZ:

y(-3) = y(1) = 0

Dostali sme teda čísla 2 a 0. Žiadame, aby sme našli najväčšie - toto je číslo 2.

Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Vo vnútri logaritmu je kvadratická funkcia y \u003d 6x - x 2 - 5. Toto je parabola s vetvami nadol, ale v logaritme nemôžu byť záporné čísla, takže vypíšeme ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Pozor: nerovnosť je prísna, preto konce nepatria do ODZ. Týmto sa logaritmus líši od koreňa, kde nám konce segmentu celkom vyhovujú.

Hľadá sa vrchol paraboly:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Vrch paraboly zapadá pozdĺž ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ale keďže nás konce segmentu nezaujímajú, uvažujeme hodnotu funkcie iba v bode x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

A na jeho vyriešenie potrebujete minimálne znalosti danej témy. Ďalší akademický rok sa končí, každý chce ísť na dovolenku a aby som tento moment priblížil, hneď sa pustím do práce:

Začnime oblasťou. Oblasť uvedená v podmienke je obmedzené ZATVORENÉ množina bodov v rovine. Napríklad množina bodov ohraničená trojuholníkom vrátane CELÉHO trojuholníka (ak od hranice„Vystrčte“ aspoň jeden bod, potom už oblasť nebude uzavretá). V praxi sa vyskytujú aj plochy pravouhlých, okrúhlych a trochu zložitejších tvarov. Treba poznamenať, že v teórii matematickej analýzy sú uvedené prísne definície obmedzenia, izolácia, hranice atď., ale myslím si, že každý si je vedomý týchto pojmov na intuitívnej úrovni a viac teraz nie je potrebné.

Plocha sa štandardne označuje písmenom a spravidla je daná analyticky - niekoľkými rovnicami (nie nevyhnutne lineárne); menej často nerovnosti. Typický slovný obrat: "uzavretý priestor ohraničený čiarami".

Neoddeliteľnou súčasťou uvažovanej úlohy je konštrukcia plochy na výkrese. Ako to spraviť? Je potrebné nakresliť všetky uvedené čiary (v tomto prípade 3 rovno) a analyzujte, čo sa stalo. Požadovaná oblasť je zvyčajne jemne šrafovaná a jej okraj je zvýraznený hrubou čiarou:

Je možné nastaviť rovnakú oblasť lineárne nerovnosti: , ktoré sa z nejakého dôvodu častejšie píšu ako zoznam enumerácií, a nie systém.
Keďže hranica patrí regiónu, potom všetky nerovnosti, samozrejme, neprísne.

A teraz jadro veci. Predstavte si, že z počiatku súradníc ide os priamo k vám. Zvážte funkciu, ktorá nepretržitý v každom plošný bod. Graf tejto funkcie je povrch, a malým šťastím je, že na vyriešenie dnešného problému vôbec nemusíme vedieť, ako tento povrch vyzerá. Môže byť umiestnený nad, pod, cez rovinu - to všetko nie je dôležité. A dôležité je nasledovné: podľa Weierstrassove vety, nepretržitý v obmedzené zatvorené oblasti, funkcia dosahuje maximum (z "najvyšších") a najmenej (z "najnižších") hodnoty, ktoré treba nájsť. Tieto hodnoty sa dosahujú alebo v stacionárne body, patriace do regiónuD , alebo v bodoch, ktoré ležia na hranici tohto regiónu. Z toho vyplýva jednoduchý a prehľadný algoritmus riešenia:

Príklad 1

V obmedzenom uzavretom priestore

Riešenie: Najprv musíte na výkrese znázorniť oblasť. Bohužiaľ je pre mňa technicky náročné urobiť interaktívny model problému, a preto hneď uvediem finálnu ilustráciu, na ktorej sú zobrazené všetky „podozrivé“ body zistené počas štúdia. Zvyčajne sa ukladajú jeden po druhom, keď sa nájdu:

Na základe preambuly možno rozhodnutie pohodlne rozdeliť do dvoch bodov:

I) Nájdite stacionárne body. Ide o štandardný úkon, ktorý sme na lekcii opakovane vykonávali. o extrémoch viacerých premenných:

Nájdený stacionárny bod patrí oblasti: (označte to na výkrese), čo znamená, že by sme mali vypočítať hodnotu funkcie v danom bode:

- ako v článku Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente, dôležité výsledky zvýrazním tučným písmom. V zošite je vhodné ich zakrúžkovať ceruzkou.

Venujte pozornosť nášmu druhému šťastiu - nemá zmysel kontrolovať postačujúca podmienka pre extrém. prečo? Aj keď v bode, kedy funkcia dosiahne napr. miestne minimum, potom to NEZNAMENÁ, že výsledná hodnota bude minimálne v celom regióne (pozri začiatok lekcie o bezpodmienečných extrémoch) .

Čo ak stacionárny bod NEPATRÍ do oblasti? Takmer nič! Treba poznamenať, že a prejdite na ďalší odsek.

II) Skúmame hranicu regiónu.

Keďže hranica pozostáva zo strán trojuholníka, je vhodné rozdeliť štúdiu na 3 pododseky. Ale je lepšie to urobiť nie. Z môjho pohľadu je najskôr výhodnejšie uvažovať o segmentoch rovnobežných so súradnicovými osami a v prvom rade o tých, ktoré ležia na samotných osiach. Ak chcete zachytiť celú postupnosť a logiku akcií, skúste si naštudovať koniec „jedným dychom“:

1) Poďme sa zaoberať spodnou stranou trojuholníka. Aby sme to dosiahli, dosadíme priamo do funkcie:

Prípadne to môžete urobiť takto:

Geometricky to znamená, že súradnicová rovina (čo je dané aj rovnicou)„vystrihnúť“ z povrchy„priestorová“ parabola, ktorej vrchol okamžite padne do podozrenia. Poďme zistiť kde je:

- výsledná hodnota "zasiahla" oblasť a pokojne to môže byť aj v bode (značka na výkrese) funkcia dosahuje najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v celej oblasti. V každom prípade urobme výpočty:

Ďalšími „kandidátmi“ sú samozrejme konce segmentu. Vypočítajte hodnoty funkcie v bodoch (značka na výkrese):

Tu, mimochodom, môžete vykonať ústnu mini-kontrolu na „oblečenej“ verzii:

2) Aby sme preštudovali pravú stranu trojuholníka, dosadíme ju do funkcie a „dáme tam veci do poriadku“:

Tu okamžite vykonáme hrubú kontrolu a „prezvoníme“ už spracovaný koniec segmentu:
, perfektné.

Geometrická situácia súvisí s predchádzajúcim bodom:

- výsledná hodnota tiež „vstúpila do rozsahu našich záujmov“, čo znamená, že musíme vypočítať, čomu sa funkcia rovná v bode, ktorý sa objavil:

Pozrime sa na druhý koniec segmentu:

Pomocou funkcie , Skontrolujme to:

3) Každý asi vie, ako preskúmať zvyšnú stranu. Do funkcie nahrádzame a vykonávame zjednodušenia:

Linka končí už boli preskúmané, ale na koncepte stále kontrolujeme, či sme funkciu našli správne :
– zhoduje sa s výsledkom podľa prvého pododseku;
– sa zhoduje s výsledkom podľa druhého pododseku.

Zostáva zistiť, či je v segmente niečo zaujímavé:

- existuje! Nahradením priamky do rovnice dostaneme ordinátu tejto „zaujímavosti“:

Označíme bod na výkrese a nájdeme zodpovedajúcu hodnotu funkcie:

Ovládajme výpočty podľa „rozpočtovej“ verzie :
, objednať.

A posledný krok: POZORNE si prezrite všetky "tučné" čísla, odporúčam aj začiatočníkom urobiť si jeden zoznam:

z ktorých vyberáme najväčšie a najmenšie hodnoty. Odpoveď napíš štýlom problém nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente:

Pre každý prípad sa ešte raz vyjadrím ku geometrickému významu výsledku:
– tu je najvyšší bod povrchu v regióne;
- tu je najnižší bod povrchu v oblasti.

V analyzovanom probléme sme našli 7 „podozrivých“ bodov, no ich počet sa líši od úlohy k úlohe. V prípade trojuholníkovej oblasti sa minimálna „množina prieskumov“ skladá z troch bodov. To sa stane, keď sa funkcia napr lietadlo- je celkom jasné, že neexistujú žiadne stacionárne body a funkcia môže dosiahnuť maximálne / minimálne hodnoty iba vo vrcholoch trojuholníka. Ale neexistujú také príklady raz, dvakrát - zvyčajne sa s nejakým musíte vyrovnať povrch 2. rádu.

Ak takéto úlohy trochu riešite, tak z trojuholníkov sa vám môže zakrútiť hlava, a preto som pre vás pripravil nevšedné príklady, aby to bolo štvorcové :))

Príklad 2

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v uzavretom priestore ohraničenom čiarami

Príklad 3

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v ohraničenej uzavretej oblasti.

Venujte zvláštnu pozornosť racionálnemu poradiu a technike skúmania hranice územia, ako aj reťazcu medzikontrol, ktoré takmer úplne zabránia výpočtovým chybám. Vo všeobecnosti to môžete vyriešiť, ako chcete, ale v niektorých problémoch, napríklad v rovnakom príklade 2, existuje šanca výrazne skomplikovať váš život. Približný príklad dokončovania úloh na konci hodiny.

Algoritmus riešenia systematizujeme, inak sa s mojou usilovnosťou pavúka akosi stratil v dlhom vlákne komentárov prvého príkladu:

- V prvom kroku vybudujeme oblasť, je žiaduce ju zatieniť a zvýrazniť hranicu hrubou čiarou. Počas riešenia sa objavia body, ktoré je potrebné umiestniť na výkres.

- Nájdite stacionárne body a vypočítajte hodnoty funkcie len v tých, ktoré patria do oblasti . Získané hodnoty sú v texte zvýraznené (napríklad zakrúžkované ceruzkou). Ak stacionárny bod NEPATRÍ do oblasti, potom túto skutočnosť označíme ikonou alebo slovne. Ak neexistujú žiadne stacionárne body, vyvodíme písomný záver, že chýbajú. V každom prípade túto položku nie je možné preskočiť!

– Prieskum pohraničnej oblasti. Najprv je výhodné zaoberať sa priamkami, ktoré sú rovnobežné so súradnicovými osami (ak nejaké existujú). Zvýraznené sú aj funkčné hodnoty vypočítané v "podozrivých" bodoch. O technike riešenia už bolo povedané veľa a niečo iné bude povedané nižšie - čítajte, znova čítajte, ponorte sa do toho!

- Z vybraných čísel vyberte najväčšiu a najmenšiu hodnotu a odpovedzte. Niekedy sa stáva, že funkcia dosiahne takéto hodnoty v niekoľkých bodoch naraz - v tomto prípade by sa všetky tieto body mali prejaviť v odpovedi. Nech napr. a ukázalo sa, že je to najmenšia hodnota. Potom to napíšeme

Záverečné príklady sú venované ďalším užitočným nápadom, ktoré sa budú hodiť v praxi:

Príklad 4

Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v uzavretej oblasti .

Ponechal som autorovu formuláciu, v ktorej je plocha uvedená ako dvojitá nerovnosť. Táto podmienka môže byť napísaná v ekvivalentnom systéme alebo v tradičnejšej forme pre tento problém:

Pripomínam, že s nelineárne na nerovnosť sme narazili na , a ak nerozumiete geometrickému významu zadania, tak prosím neodkladajte a objasnite situáciu hneď teraz ;-)

Riešenie, ako vždy, začína výstavbou plochy, ktorá je akousi „podrážkou“:

Hmm, niekedy treba hlodať nielen žulu vedy....

I) Nájdite stacionárne body:

Idiotov vysnívaný systém :)

Stacionárny bod patrí do regiónu, konkrétne leží na jeho hranici.

A tak to nie je nič ... prebehla zábavná lekcia - to znamená piť správny čaj =)

II) Skúmame hranicu regiónu. Bez ďalších okolkov začnime s osou x:

1) Ak , tak

Zistite, kde je vrchol paraboly:
- Oceňujte takéto momenty - "trafte" až do bodu, z ktorého je už všetko jasné. Ale nezabudnite skontrolovať:

Vypočítajme hodnoty funkcie na koncoch segmentu:

2) Spodnú časť „podrážky“ vyriešime „na jedno posedenie“ - bez komplexov ju dosadíme do funkcie, navyše nás bude zaujímať len segment:

ovládanie:

Teraz to už prináša oživenie do monotónnej jazdy na ryhovanej trati. Poďme nájsť kritické body:

My rozhodujeme kvadratická rovnica pamätáš si tento? ... Pamätajte však, samozrejme, inak by ste tieto riadky nečítali =) Ak v dvoch predchádzajúcich príkladoch boli výpočty v desatinných zlomkoch pohodlné (čo je mimochodom zriedkavé), potom tu čakáme na obvyklé obyčajné zlomky. Nájdeme korene „x“ a pomocou rovnice určíme zodpovedajúce „herné“ súradnice „kandidátskych“ bodov:

Vypočítajme hodnoty funkcie v nájdených bodoch:

Skontrolujte funkciu sami.

Teraz pozorne študujeme získané trofeje a zapisujeme si ich odpoveď:

Tu sú „kandidáti“, teda „kandidáti“!

Pre samostatné riešenie:

Príklad 5

Nájdite najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v uzavretom priestore

Záznam so zloženými zátvorkami znie takto: „súbor bodov takých, že“.

Niekedy v takýchto príkladoch používajú Lagrangeova multiplikačná metóda, ale skutočná potreba jeho použitia pravdepodobne nevznikne. Takže napríklad, ak je daná funkcia s rovnakou doménou "de", potom po substitúcii do nej - s deriváciou bez ťažkostí; navyše je všetko nakreslené v „jednom riadku“ (so znakmi) bez toho, aby bolo potrebné posudzovať horný a dolný polkruh oddelene. Samozrejme, existujú aj komplikovanejšie prípady, kedy bez funkcie Lagrange (kde je napríklad rovnaká kruhová rovnica) je ťažké sa zaobísť – aké ťažké je zaobísť sa bez dobrého odpočinku!

Všetko najlepšie, aby ste prešli reláciou a čoskoro sa uvidíme v budúcej sezóne!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie: nakreslite oblasť na výkres:

Obrázky nižšie ukazujú, kde môže funkcia dosiahnuť svoju najmenšiu a najväčšiu hodnotu. Na ľavom obrázku sú najmenšie a najväčšie hodnoty fixované v bodoch lokálneho minima a maxima funkcie. Na pravom obrázku - na koncoch segmentu.

Ak funkcia r = f(X) súvislé na segmente [ a, b], potom dosiahne tento segment najmenej a najvyššie hodnoty . To sa, ako už bolo spomenuté, môže stať buď v extrémne body alebo na koncoch segmentu. Preto nájsť najmenej a najväčšie hodnoty funkcie , súvislé na segmente [ a, b], musíte vypočítať všetky jeho hodnoty kritických bodov a na koncoch segmentu a potom vyberte najmenší a najväčší z nich.

Nech je napríklad potrebné určiť najväčšiu hodnotu funkcie f(X) na segmente [ a, b]. Ak to chcete urobiť, nájdite všetky jeho kritické body ležiace na [ a, b] .

kritický bod sa nazýva bod, v ktorom funkcia definovaná, a jej derivát je buď nula, alebo neexistuje. Potom by ste mali vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch. A nakoniec je potrebné porovnať hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu ( f(a) a f(b)). Najväčšie z týchto čísel bude najväčšia hodnota funkcie na intervale [a, b] .

Problém nájsť najmenšie hodnoty funkcie .

Spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie

Príklad 1. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 2] .

Riešenie. Nájdeme deriváciu tejto funkcie. Prirovnajte deriváciu k nule () a získajte dva kritické body: a . Na nájdenie najmenšej a najväčšej hodnoty funkcie na danom segmente stačí vypočítať jej hodnoty na koncoch segmentu a v bode , keďže bod nepatrí do segmentu [-1, 2]. Tieto funkčné hodnoty sú nasledovné: , , . Z toho vyplýva najmenšia funkčná hodnota(označené červenou farbou v grafe nižšie), rovné -7, sa dosiahne na pravom konci segmentu - v bode , a najväčší(na grafe aj červená), sa rovná 9, - v kritickom bode .

Ak je funkcia spojitá v určitom intervale a tento interval nie je segmentom (ale je napr. intervalom; rozdiel medzi intervalom a segmentom: hraničné body intervalu nie sú zahrnuté v intervale, ale hraničné body segmentu sú zahrnuté v segmente), potom medzi hodnotami funkcie nemusia byť najmenšie a najväčšie. Takže napríklad funkcia zobrazená na obrázku nižšie je spojitá na ]-∞, +∞[ a nemá najväčšiu hodnotu.

Avšak pre akýkoľvek interval (uzavretý, otvorený alebo nekonečný) platí nasledujúca vlastnosť spojitých funkcií.

Na samokontrolu počas výpočtov môžete použiť online kalkulačka derivátov .

Príklad 4. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 3] .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako deriváciu kvocientu:

Deriváciu prirovnáme k nule, čo nám dáva jeden kritický bod: . Patrí do intervalu [-1, 3] . Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Porovnajme tieto hodnoty. Záver: rovný -5/13, v bode a najväčšiu hodnotu rovná 1 v bode .

Pokračujeme v spoločnom hľadaní najmenších a najväčších hodnôt funkcie

Sú učitelia, ktorí na tému hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie nedávajú žiakom zložitejšie príklady ako tie, ktoré sú práve uvažované, teda také, v ktorých je funkciou polynóm alebo zlomok, čitateľ. a menovateľom ktorých sú polynómy. Neobmedzíme sa však na takéto príklady, pretože medzi učiteľmi sú milovníci toho, aby študenti premýšľali v plnom rozsahu (tabuľka derivátov). Preto sa použije logaritmus a goniometrické funkcie.

Príklad 8. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako derivát produktu :

Deriváciu prirovnáme k nule, čo dáva jeden kritický bod: . Patrí do segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Výsledok všetkých akcií: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný 0, v bode a v bode a najväčšiu hodnotu rovná e² , v bode .

Na samokontrolu počas výpočtov môžete použiť online kalkulačka derivátov .

Príklad 9. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Nájdeme deriváciu tejto funkcie:

Prirovnajte deriváciu k nule:

Jediný kritický bod patrí segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Záver: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný , v bode a najväčšiu hodnotu, rovný , v bode .

V aplikovaných extrémnych problémoch sa hľadanie najmenších (najväčších) funkčných hodnôt spravidla redukuje na nájdenie minima (maxima). Väčší praktický význam však nemajú samotné minimá alebo maximá, ale hodnoty argumentu, pri ktorých sa dosahujú. Pri riešení aplikovaných problémov vzniká ďalší problém - zostavovanie funkcií, ktoré popisujú uvažovaný jav alebo proces.

Príklad 10 Nádrž s objemom 4, ktorá má tvar kvádra so štvorcovým dnom a je otvorená hore, musí byť pocínovaná. Aké by mali byť rozmery nádrže, aby bola pokrytá čo najmenším množstvom materiálu?

Riešenie. Nechaj X- základná strana h- výška nádrže, S- jeho povrch bez krytu, V- jeho objem. Plocha nádrže je vyjadrená vzorcom, t.j. je funkciou dvoch premenných. Vyjadriť S ako funkciu jednej premennej používame skutočnosť, že , odkiaľ . Nahradenie nájdeného výrazu h do vzorca pre S:

Preskúmajme túto funkciu pre extrém. Je definovaný a diferencovateľný všade v ]0, +∞[ , a

Deriváciu prirovnáme k nule () a nájdeme kritický bod. Okrem toho v , derivát neexistuje, ale táto hodnota nie je zahrnutá v doméne definície, a preto nemôže byť extrémnym bodom. Takže - jediný kritický bod. Skontrolujme to na prítomnosť extrému pomocou druhého dostatočného znaku. Poďme nájsť druhú deriváciu. Keď je druhá derivácia väčšia ako nula (). To znamená, že keď funkcia dosiahne minimum . Pretože toto minimum - jediný extrém tejto funkcie, je to jej najmenšia hodnota. Takže strana základne nádrže by sa mala rovnať 2 m a jej výška.

Na samokontrolu počas výpočtov môžete použiť

A na jeho vyriešenie potrebujete minimálne znalosti danej témy. Ďalší akademický rok sa končí, každý chce ísť na dovolenku a aby som tento moment priblížil, hneď sa pustím do práce:

Príklad 1

V obmedzenom uzavretom priestore

Na základe preambuly možno rozhodnutie pohodlne rozdeliť do dvoch bodov:

I) Nájdite stacionárne body. Ide o štandardný úkon, ktorý sme na lekcii opakovane vykonávali. o extrémoch viacerých premenných:

Nájdený stacionárny bod patrí oblasti: (označte to na výkrese), čo znamená, že by sme mali vypočítať hodnotu funkcie v danom bode:

- ako v článku Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente, dôležité výsledky zvýrazním tučným písmom. V zošite je vhodné ich zakrúžkovať ceruzkou.

Čo ak stacionárny bod NEPATRÍ do oblasti? Takmer nič! Treba poznamenať, že a prejdite na ďalší odsek.

II) Skúmame hranicu regiónu.

1) Poďme sa zaoberať spodnou stranou trojuholníka. Aby sme to dosiahli, dosadíme priamo do funkcie:

Prípadne to môžete urobiť takto:

Ďalšími „kandidátmi“ sú samozrejme konce segmentu. Vypočítajte hodnoty funkcie v bodoch (značka na výkrese):

Tu, mimochodom, môžete vykonať ústnu mini-kontrolu na „oblečenej“ verzii:

2) Aby sme preštudovali pravú stranu trojuholníka, dosadíme ju do funkcie a „dáme tam veci do poriadku“:

Tu okamžite vykonáme hrubú kontrolu a „prezvoníme“ už spracovaný koniec segmentu:
, perfektné.

Pozrime sa na druhý koniec segmentu:

Pomocou funkcie , Skontrolujme to:

3) Každý asi vie, ako preskúmať zvyšnú stranu. Do funkcie nahrádzame a vykonávame zjednodušenia:

Zostáva zistiť, či je v segmente niečo zaujímavé:

- existuje! Nahradením priamky do rovnice dostaneme ordinátu tejto „zaujímavosti“:

Označíme bod na výkrese a nájdeme zodpovedajúcu hodnotu funkcie:

Ovládajme výpočty podľa „rozpočtovej“ verzie :
, objednať.

Pre každý prípad sa ešte raz vyjadrím ku geometrickému významu výsledku:
– tu je najvyšší bod povrchu v regióne;
- tu je najnižší bod povrchu v oblasti.

Ak takéto úlohy trochu riešite, tak z trojuholníkov sa vám môže zakrútiť hlava, a preto som pre vás pripravil nevšedné príklady, aby to bolo štvorcové :))

Príklad 2

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v uzavretom priestore ohraničenom čiarami

Príklad 3

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v ohraničenej uzavretej oblasti.

Algoritmus riešenia systematizujeme, inak sa s mojou usilovnosťou pavúka akosi stratil v dlhom vlákne komentárov prvého príkladu:

- V prvom kroku vybudujeme oblasť, je žiaduce ju zatieniť a zvýrazniť hranicu hrubou čiarou. Počas riešenia sa objavia body, ktoré je potrebné umiestniť na výkres.

Záverečné príklady sú venované ďalším užitočným nápadom, ktoré sa budú hodiť v praxi:

Príklad 4

Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v uzavretej oblasti .

Pripomínam, že s nelineárne na nerovnosť sme narazili na , a ak nerozumiete geometrickému významu zadania, tak prosím neodkladajte a objasnite situáciu hneď teraz ;-)

Riešenie, ako vždy, začína výstavbou plochy, ktorá je akousi „podrážkou“: