Vienādsānu trapeces pamatīpašības. Trapeces noderīgas īpašības. Trapeces vienāda laukuma trīsstūri

Šajā rakstā mēs centīsimies pēc iespējas pilnīgāk atspoguļot trapeces īpašības. Jo īpaši mēs runāsim par trapeces vispārīgajām zīmēm un īpašībām, kā arī par ierakstītas trapeces īpašībām un par trapecveidā ierakstītu apli. Pieskarsimies arī vienādsānu un taisnstūrveida trapeces īpašībām.

Problēmas risināšanas piemērs, izmantojot aplūkotās īpašības, palīdzēs sakārtot lietas galvā un labāk atcerēties materiālu.

Trapece un viss-viss-viss

Sākumā īsi atcerēsimies, kas ir trapece un kādi citi jēdzieni ar to ir saistīti.

Tātad trapece ir četrstūra figūra, kuras divas malas ir paralēlas viena otrai (tās ir pamatnes). Un divi nav paralēli – tās ir malas.

Trapecveida formā augstumu var izlaist - perpendikulāri pamatnēm. Tiek novilkta vidējā līnija un diagonāles. Un arī no jebkura trapeces leņķa ir iespējams uzzīmēt bisektoru.

Par dažādajām īpašībām, kas saistītas ar visiem šiem elementiem un to kombinācijām, mēs tagad runāsim.

Trapeces diagonāļu īpašības

Lai būtu skaidrāk, lasīšanas laikā uz papīra uzzīmējiet ACME trapecveida formu un ievelciet tajā diagonāles.

  1. Ja atrodat katras diagonāles viduspunktus (sauksim šos punktus X un T) un savienojat tos, iegūstat segmentu. Viena no trapeces diagonāļu īpašībām ir tā, ka segments XT atrodas uz viduslīnijas. Un tā garumu var iegūt, dalot bāzu starpību ar diviem: XT \u003d (a–b) / 2.
  2. Pirms mums ir tā pati ACME trapece. Diagonāles krustojas punktā O. Aplūkosim trijstūrus AOE un IOC, ko veido diagonāļu nogriežņi kopā ar trapeces pamatiem. Šie trīsstūri ir līdzīgi. K trijstūra līdzības koeficientu izsaka kā trapecveida pamatu attiecību: k = AE/KM.
    Trijstūru AOE un IOC laukumu attiecību raksturo koeficients k 2 .
  3. Visa tā pati trapece, tās pašas diagonāles, kas krustojas punktā O. Tikai šoreiz mēs apskatīsim trijstūrus, kurus diagonāles atzari veido kopā ar trapeces malām. Trijstūru AKO un EMO laukumi ir vienādi – to laukumi ir vienādi.
  4. Vēl viena trapeces īpašība ietver diagonāļu konstrukciju. Tātad, ja mēs turpināsim AK un ME malas mazākās bāzes virzienā, tad agri vai vēlu tās krustosies kādā punktā. Pēc tam novelciet taisnu līniju caur trapecveida pamatu viduspunktiem. Tas krusto bāzes punktos X un T.
    Ja tagad pagarināsim taisni XT, tad tā savienos kopā trapeces O diagonāļu krustpunktu, punktu, kurā krustojas malu paplašinājumi un X un T pamatu viduspunkti.
  5. Caur diagonāļu krustošanās punktu mēs novelkam segmentu, kas savienos trapeces pamatus (T atrodas uz mazākā KM pamata, X - uz lielākā AE). Diagonāļu krustošanās punkts dala šo segmentu šādā proporcijā: TO/OH = KM/AE.
  6. Un tagad caur diagonāļu krustošanās punktu mēs novelkam segmentu, kas ir paralēls trapeces (a un b) pamatiem. Krustpunkts sadalīs to divās vienādās daļās. Segmenta garumu var atrast, izmantojot formulu 2ab/(a + b).

Trapeces viduslīnijas īpašības

Novelciet vidējo līniju trapecē paralēli tās pamatiem.

  1. Trapeces viduslīnijas garumu var aprēķināt, saskaitot pamatņu garumus un dalot tos uz pusēm: m = (a + b)/2.
  2. Ja velciet jebkuru segmentu (piemēram, augstumu) caur abām trapeces pamatnēm, vidējā līnija to sadalīs divās vienādās daļās.

Trapeces bisektrise īpašība

Izvēlieties jebkuru trapeces leņķi un uzzīmējiet bisektrisi. Ņemiet, piemēram, mūsu trapeces ACME leņķi KAE. Patstāvīgi pabeidzot būvniecību, jūs varat viegli redzēt, ka bisektrise no pamatnes (vai tās turpinājuma taisnā līnijā ārpus pašas figūras) nogriež segmentu, kura garums ir vienāds ar sānu.

Trapecveida leņķa īpašības

  1. Neatkarīgi no tā, kuru no diviem leņķu pāriem, kas atrodas blakus jūsu izvēlētajai malai, pāra leņķu summa vienmēr ir 180 0: α + β = 180 0 un γ + δ = 180 0 .
  2. Savienojiet trapecveida pamatu viduspunktus ar segmentu TX. Tagad apskatīsim leņķus trapeces pamatnēs. Ja leņķu summa jebkuram no tiem ir 90 0, TX segmenta garumu ir viegli aprēķināt, pamatojoties uz pamatu garumu starpību, kas sadalīta uz pusēm: TX \u003d (AE - KM) / 2.
  3. Ja caur trapeces leņķa malām tiek novilktas paralēlas līnijas, tās sadalīs leņķa malas proporcionālos segmentos.

Vienādsānu (viensānu) trapeces īpašības

  1. Vienādsānu trapecē leņķi jebkurā no pamatnēm ir vienādi.
  2. Tagad atkal izveidojiet trapecveida formu, lai būtu vieglāk iedomāties, par ko ir runa. Uzmanīgi apskatiet AE pamatni - M pretējās bāzes virsotne tiek projicēta uz noteiktu punktu uz līnijas, kas satur AE. Attālums no virsotnes A līdz virsotnes M projekcijas punktam un vienādsānu trapeces viduslīnijai ir vienāds.
  3. Daži vārdi par vienādsānu trapeces diagonāļu īpašību - to garumi ir vienādi. Un arī šo diagonāļu slīpuma leņķi pret trapeces pamatni ir vienādi.
  4. Apli var aprakstīt tikai vienādsānu trapeces tuvumā, jo priekšnoteikums tam ir četrstūra pretējo leņķu summa 180 0.
  5. Vienādsānu trapeces īpašība izriet no iepriekšējās rindkopas - ja trapeces tuvumā var aprakstīt apli, tas ir vienādsānu.
  6. No vienādsānu trapeces pazīmēm izriet trapeces augstuma īpašība: ja tās diagonāles krustojas taisnā leņķī, tad augstuma garums ir vienāds ar pusi no pamatu summas: h = (a + b)/2.
  7. Caur trapeces pamatu viduspunktiem atkal novelk taisni TX - vienādsānu trapecē tā ir perpendikulāra pamatiem. Un tajā pašā laikā TX ir vienādsānu trapeces simetrijas ass.
  8. Šoreiz zemāks līdz lielākajai pamatnei (sauksim to par a) augstumu no trapeces pretējās virsotnes. Jūs saņemsiet divus griezumus. Viena garumu var atrast, ja saskaita pamatņu garumus un sadala uz pusēm: (a+b)/2. Otro mēs iegūstam, kad no lielākās bāzes atņemam mazāko un iegūto starpību sadalām ar diviem: (a – b)/2.

Aplī ierakstītas trapeces īpašības

Tā kā mēs jau runājam par trapecveida formu, kas ierakstīta aplī, tad pakavēsimies pie šī jautājuma sīkāk. Jo īpaši, kur ir apļa centrs attiecībā pret trapecveida formu. Arī šeit ieteicams nebūt pārāk slinkam, lai paņemtu rokās zīmuli un uzzīmētu to, kas tiks apspriests tālāk. Tātad jūs ātrāk sapratīsit un labāk atcerēsities.

  1. Apļa centra atrašanās vietu nosaka trapecveida diagonāles slīpuma leņķis uz sāniem. Piemēram, no trapeces augšdaļas taisnā leņķī pret sāniem var parādīties diagonāle. Šajā gadījumā lielākā bāze krustojas ar ierobežotā apļa centru precīzi vidū (R = ½AE).
  2. Diagonāle un mala var satikties arī akūtā leņķī – tad apļa centrs atrodas trapeces iekšpusē.
  3. Ierobežotā apļa centrs var atrasties ārpus trapeces, aiz tās lielās pamatnes, ja starp trapeces diagonāli un sānu malu ir strups leņķis.
  4. Leņķis, ko veido trapeces ACME diagonāle un lielā pamatne (ierakstītais leņķis), ir puse no tam atbilstošā centrālā leņķa: MAE = ½ MY.
  5. Īsumā par diviem veidiem, kā atrast ierobežotā apļa rādiusu. Pirmā metode: uzmanīgi apskatiet savu zīmējumu - ko jūs redzat? Jūs viegli pamanīsit, ka diagonāle sadala trapeci divos trīsstūros. Rādiusu var atrast, izmantojot trijstūra malas attiecību pret pretējā leņķa sinusu, reizinot ar divi. Piemēram, R \u003d AE / 2 * sinAME. Līdzīgi formulu var uzrakstīt jebkurai no abu trīsstūru malām.
  6. Otrā metode: mēs atrodam ierobežotā apļa rādiusu caur trijstūra laukumu, ko veido trapeces diagonāle, mala un pamatne: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Ap apli norobežotas trapeces īpašības

Jūs varat ierakstīt apli trapecē, ja ir izpildīts viens nosacījums. Vairāk par to zemāk. Un kopā šai figūru kombinācijai ir vairākas interesantas īpašības.

  1. Ja aplis ir ierakstīts trapecveida formā, tā viduslīnijas garumu var viegli atrast, saskaitot malu garumus un iegūto summu dalot uz pusēm: m = (c + d)/2.
  2. Trapecveida ACME, kas apzīmēts ap apli, pamatu garumu summa ir vienāda ar malu garumu summu: AK + ME = KM + AE.
  3. No šīs trapeces pamatu īpašības izriet apgriezts apgalvojums: tajā trapecveidā var ierakstīt apli, kura pamatu summa ir vienāda ar malu summu.
  4. Trapecē ierakstītais riņķa rādiusa r pieskares punkts sadala sānu malu divos segmentos, sauksim tos par a un b. Apļa rādiusu var aprēķināt, izmantojot formulu: r = √ab.
  5. Un vēl viens īpašums. Lai neapjuktu, uzzīmē šo piemēru pats. Mums ir vecā labā ACME trapece, kas apvilkta ap apli. Tajā ievilktas diagonāles, kas krustojas punktā O. Trijstūri AOK un EOM, ko veido diagonāļu un malu nogriežņi, ir taisnstūrveida.
    Šo trīsstūru augstumi, nolaisti līdz hipotenūzām (t.i., trapeces malām), sakrīt ar ierakstītā apļa rādiusiem. Un trapeces augstums ir tāds pats kā ierakstītā apļa diametrs.

Taisnstūra trapeces īpašības

Trapecveida formu sauc par taisnstūrveida formu, kuras viens no stūriem ir taisns. Un tā īpašības izriet no šī apstākļa.

  1. Taisnstūra trapeces viena no malām ir perpendikulāra pamatnēm.
  2. Trapeces augstums un mala, kas atrodas blakus taisnam leņķim, ir vienādi. Tas ļauj aprēķināt taisnstūra trapeces laukumu (vispārējā formula S = (a + b) * h/2) ne tikai caur augstumu, bet arī caur malu, kas atrodas blakus taisnam leņķim.
  3. Taisnstūra trapecveida formai ir svarīgas jau iepriekš aprakstītās trapeces diagonāļu vispārīgās īpašības.

Dažu trapeces īpašību pierādījumi

Leņķu vienādība vienādsānu trapeces pamatnē:

  • Jūs droši vien jau uzminējāt, ka šeit mums atkal ir vajadzīga ACME trapece - uzzīmējiet vienādsānu trapeci. Novelciet līniju MT no virsotnes M paralēli AK malai (MT || AK).

Iegūtais četrstūris AKMT ir paralelograms (AK || MT, KM || AT). Tā kā ME = KA = MT, ∆ MTE ir vienādsānu un MET = MTE.

AK || MT, tāpēc MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kur AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Tagad, pamatojoties uz vienādsānu trapeces īpašību (diagonāļu vienādība), mēs pierādām, ka trapece ACME ir vienādsānu:

  • Sākumā novelkam taisnu līniju МХ – МХ || KE. Mēs iegūstam paralelogramu KMHE (bāze - MX || KE un KM || EX).

∆AMH ir vienādsānu, jo AM = KE = MX un MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, tāpēc MAE = MXE.

Izrādījās, ka trijstūri AKE un EMA ir vienādi viens ar otru, jo AM \u003d KE un AE ir abu trīsstūru kopējā mala. Un arī MAE \u003d MXE. Varam secināt, ka AK = ME, un no tā izriet, ka trapece AKME ir vienādsānu.

Uzdevums, kas jāatkārto

Trapecveida ACME pamati ir 9 cm un 21 cm, KA mala, kas vienāda ar 8 cm, veido 150 0 leņķi ar mazāku pamatni. Jums jāatrod trapeces laukums.

Risinājums: No virsotnes K nolaižam augstumu līdz lielākajai trapeces pamatnei. Un sāksim aplūkot trapeces leņķus.

Leņķi AEM un KAN ir vienpusēji. Tas nozīmē, ka tie tiek pievienoti 1800. Tāpēc KAN = 30 0 (pamatojoties uz trapeces leņķu īpašību).

Apsveriet tagad taisnstūrveida ∆ANK (manuprāt, šis punkts ir acīmredzams lasītājiem bez papildu pierādījumiem). No tā mēs atrodam trapeces KH augstumu - trijstūrī tā ir kāja, kas atrodas pretī 30 0 leņķim. Tāpēc KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Trapeces laukumu nosaka pēc formulas: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Pēcvārds

Ja rūpīgi un pārdomāti izpētījāt šo rakstu, nebija pārāk slinks, lai ar zīmuli rokās uzzīmētu trapeces visām iepriekšminētajām īpašībām un analizētu tās praksē, jums vajadzēja labi apgūt materiālu.

Protams, šeit ir daudz informācijas, daudzveidīga un dažreiz pat mulsinoša: nav tik grūti sajaukt aprakstītās trapeces īpašības ar ierakstītās īpašības. Bet jūs pats redzējāt, ka atšķirība ir milzīga.

Tagad jums ir detalizēts visu trapeces vispārējo īpašību kopsavilkums. Kā arī vienādsānu un taisnstūrveida trapeces specifiskās īpašības un pazīmes. Tas ir ļoti ērti lietojams, lai sagatavotos ieskaitēm un eksāmeniem. Izmēģiniet to pats un kopīgojiet saiti ar draugiem!

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Ar tādu formu kā trapecveida forma mēs dzīvē sastopamies diezgan bieži. Piemēram, jebkurš tilts, kas izgatavots no betona blokiem, ir lielisks piemērs. Par vizuālāku iespēju var uzskatīt katra transportlīdzekļa stūrēšanu un tā tālāk. Figūras īpašības bija zināmas senajā Grieķijā., ko plašāk aprakstījis Aristotelis savā zinātniskajā darbā "Sākums". Un zināšanas, kas tika izstrādātas pirms tūkstošiem gadu, ir aktuālas arī šodien. Tāpēc mēs ar tiem iepazīsimies sīkāk.

Saskarsmē ar

Pamatjēdzieni

1. attēls. Trapeces klasiskā forma.

Trapecveida forma būtībā ir četrstūris, kas sastāv no diviem paralēliem segmentiem un diviem citiem, kas nav paralēli. Runājot par šo skaitli, vienmēr ir jāatceras tādi jēdzieni kā: pamatnes, augstums un viduslīnija. Divi četrstūra segmenti, kurus sauc par bāzēm (segmenti AD un BC). Augstumu sauc par segmentu, kas ir perpendikulārs katrai no pamatnēm (EH), t.i. krustojas 90° leņķī (kā parādīts 1. att.).


Ja mēs saskaitām visus iekšējās pakāpes mērus, tad trapeces leņķu summa būs vienāda ar 2π (360 °), tāpat kā jebkurš četrstūris. Segments, kura gali ir sānu sienu viduspunkti (IF) sauc par vidējo līniju.Šī segmenta garums ir bāzu BC un AD summa, kas dalīta ar 2.

Ir trīs veidu ģeometriskās formas: taisnas, regulāras un vienādsānu formas. Ja vismaz viens leņķis pie pamatnes virsotnēm ir taisns (piemēram, ja ABD = 90 °), tad šādu četrstūri sauc par taisno trapeci. Ja sānu segmenti ir vienādi (AB un CD), tad to sauc par vienādsānu (attiecīgi leņķi pie pamatiem ir vienādi).

Kā atrast apgabalu

Priekš, lai atrastu četrstūra laukumu ABCD izmantojiet šādu formulu:

2. attēls. Laukuma atrašanas problēmas risināšana

Lai iegūtu ilustratīvāku piemēru, atrisināsim vienkāršu problēmu. Piemēram, pieņemsim, ka augšējā un apakšējā bāze ir attiecīgi vienāda ar 16 un 44 cm, bet malas ir 17 un 25 cm. Izveidosim perpendikulāru segmentu no virsotnes D tā, lai DE II BC (kā parādīts 2. attēlā). Tāpēc mēs to saņemam

Lai DF - būs. No ΔADE (kas būs vienādmalu) mēs iegūstam sekojošo:

Tas ir, vienkārši izsakoties, mēs vispirms atradām augstumu ΔADE, kas ir arī trapeces augstums. No šejienes mēs aprēķinām četrstūra ABCD laukumu ar jau zināmo augstuma DF vērtību, izmantojot jau zināmo formulu.

Tādējādi vēlamais laukums ABCD ir 450 cm³. Tas ir, to var droši apgalvot Lai aprēķinātu trapeces laukumu, ir nepieciešama tikai pamatņu summa un augstuma garums.

Svarīgs! Atrisinot uzdevumu, nav nepieciešams atsevišķi atrast garumu vērtību, tas ir pilnīgi iespējams, ja tiek izmantoti citi figūras parametri, kas ar atbilstošu pierādījumu būs vienādi ar bāzu summu.

Trapeces veidi

Atkarībā no tā, kuras figūras malas ir, kādi leņķi veidojas pie pamatiem, ir trīs veidu četrstūri: taisnstūrveida, sānu un vienādmalu.

Daudzpusīgs

Ir divas formas: akūts un stulbs. ABCD ir akūts tikai tad, ja bāzes leņķi (AD) ir asi un malu garumi ir atšķirīgi. Ja viena leņķa vērtība ir skaitlis Pi / 2 vairāk (grādu mērs ir lielāks par 90 °), tad mēs iegūstam neasu leņķi.

Ja malas ir vienādas garumā

3. attēls. Vienādsānu trapeces skats

Ja neparalēlas malas ir vienādas garumā, tad ABCD sauc par vienādsānu (pareizo). Turklāt šādam četrstūrim leņķu pakāpes mērs pie pamatnes ir vienāds, to leņķis vienmēr būs mazāks par labo. Šī iemesla dēļ vienādsānu formas nekad netiek dalītas akūtās un strupās. Šīs formas četrstūrim ir savas īpašas atšķirības, kas ietver:

  1. Segmenti, kas savieno pretējās virsotnes, ir vienādi.
  2. Akūti leņķi ar lielāku pamatni ir 45 ° (ilustratīvs piemērs 3. attēlā).
  3. Ja pievienojat pretējo leņķu grādus, tad kopā tie dos 180 °.
  4. Ap jebkuru parasto trapeci var uzbūvēt.
  5. Ja pievieno pretējo leņķu pakāpes mēru, tad tas ir vienāds ar π.

Turklāt to punktu ģeometriskā izvietojuma dēļ ir vienādsānu trapeces pamatīpašības:

Leņķa vērtība pie pamatnes 90°

Pamatnes sānu malas perpendikulitāte ir ietilpīga jēdziena "taisnstūra trapece" īpašība. Nevar būt divas puses ar stūriem pie pamatnes, jo pretējā gadījumā tas jau būs taisnstūris. Šāda veida četrstūrī otrā puse vienmēr veidos asu leņķi ar lielu pamatni, bet ar mazāku - stulbu. Šajā gadījumā perpendikulārā puse būs arī augstums.

Segments starp sānu sienu vidu

Ja savienojam malu viduspunktus un iegūtais segments būs paralēls pamatnēm un garumā vienāds ar pusi to summas, tad veidojas taisne būs vidējā līnija.Šī attāluma vērtību aprēķina pēc formulas:

Lai iegūtu ilustratīvāku piemēru, apsveriet problēmu, izmantojot vidējo līniju.

Uzdevums. Trapeces viduslīnija ir 7 cm, zināms, ka viena no malām ir par 4 cm lielāka par otru (4. att.). Atrodiet pamatu garumus.

4. attēls. Bāzes garumu atrašanas problēmas risināšana

Risinājums. Lai mazākā līdzstrāvas bāze ir vienāda ar x cm, tad lielākā bāze būs vienāda ar (x + 4) cm. No šejienes, izmantojot trapeces viduslīnijas formulu, mēs iegūstam:

Izrādās, ka mazākā līdzstrāvas pamatne ir 5 cm, bet lielākā - 9 cm.

Svarīgs! Vidējās līnijas jēdziens ir daudzu ģeometrijas problēmu risināšanas atslēga. Pamatojoties uz tās definīciju, tiek veidoti daudzi citu skaitļu pierādījumi. Izmantojot koncepciju praksē, iespējams racionālāks risinājums un vajadzīgās vērtības meklēšana.

Augstuma noteikšana un kā to atrast

Kā minēts iepriekš, augstums ir segments, kas šķērso pamatnes 2Pi / 4 leņķī un ir īsākais attālums starp tiem. Pirms trapeces augstuma atrašanas, ir jānosaka, kādas ievades vērtības tiek dotas. Lai labāk izprastu, apsveriet problēmu. Atrodiet trapeces augstumu ar nosacījumu, ka pamatnes ir attiecīgi 8 un 28 cm, malas ir attiecīgi 12 un 16 cm.

5. attēls. Trapeces augstuma atrašanas uzdevuma risināšana

Zīmēsim nogriežņus DF un CH taisnā leņķī pret pamatni AD. Pēc definīcijas katrs no tiem būs dotās trapeces augstums (5. att.). Šajā gadījumā, zinot katras sānu malas garumu, izmantojot Pitagora teorēmu, mēs atrodam, kāds ir augstums trijstūrī AFD un BHC.

Segmentu AF un HB summa ir vienāda ar bāzu starpību, t.i.:

Lai AF garums ir vienāds ar x cm, tad segmenta HB garums = (20 - x) cm. Kā tika noteikts, DF=CH , tātad .

Tad mēs iegūstam šādu vienādojumu:

Izrādās, ka segments AF trijstūrī AFD ir 7,2 cm, no šejienes mēs aprēķinām trapecveida DF augstumu, izmantojot to pašu Pitagora teorēmu:

Tie. ADCB trapeces augstums būs 9,6 cm.Kā redzams, augstuma aprēķins ir vairāk mehānisks process, un tā pamatā ir trijstūra malu un leņķu aprēķini. Bet vairākās ģeometrijas problēmās var zināt tikai leņķu pakāpes, un tādā gadījumā aprēķini tiks veikti, izmantojot iekšējo trīsstūru malu attiecību.

Svarīgs! Būtībā trapecveida forma bieži tiek uzskatīta par diviem trijstūriem vai taisnstūra un trīsstūra kombināciju. Lai atrisinātu 90% no visām skolu mācību grāmatās atrodamajām problēmām, šo figūru īpašības un īpašības. Lielākā daļa šī GMT formulu ir iegūtas, paļaujoties uz šo divu veidu skaitļu "mehānismiem".

Kā ātri aprēķināt pamatnes garumu

Pirms trapecveida pamatnes atrašanas jums ir jānosaka, kādi parametri jau ir doti un kā tos racionāli izmantot. Praktiska pieeja ir iegūt nezināmās bāzes garumu no viduslīnijas formulas. Lai attēlu labāk uztvertu, mēs parādīsim, kā to var izdarīt, izmantojot uzdevuma piemēru. Dariet zināmu, ka trapeces viduslīnija ir 7 cm, bet viena no pamatnēm ir 10 cm. Atrodiet otrās pamatnes garumu.

Risinājums: Zinot, ka viduslīnija ir vienāda ar pusi no bāzu summas, var apgalvot, ka to summa ir 14 cm.

(14 cm = 7 cm × 2). No uzdevuma stāvokļa mēs zinām, ka viens no tiem ir vienāds ar 10 cm, līdz ar to trapeces mazākā mala būs vienāda ar 4 cm (4 cm = 14 - 10).

Turklāt, lai ērtāk atrisinātu šāda veida problēmas, mēs iesakām labi apgūt tādas formulas no trapecveida laukuma kā:

  • vidējā līnija;
  • kvadrāts;
  • augstums;
  • diagonāles.

Zinot šo aprēķinu būtību (precīzi būtību), jūs varat viegli uzzināt vēlamo vērtību.

Video: trapece un tās īpašības

Video: trapecveida iezīmes

Secinājums

No apskatītajiem problēmu piemēriem mēs varam izdarīt vienkāršu secinājumu, ka trapece problēmu aprēķināšanas ziņā ir viena no vienkāršākajām ģeometrijas figūrām. Lai veiksmīgi atrisinātu problēmas, pirmkārt, nav jāizlemj, kāda informācija ir zināma par aprakstāmo objektu, kādās formulās tās var pielietot, un jāizlemj, kas ir jāatrod. Izpildot šo vienkāršo algoritmu, neviens uzdevums, izmantojot šo ģeometrisko figūru, nebūs viegls.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, ko var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

  • Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

  • Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
  • Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
  • Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
  • Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

  • Gadījumā, ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valsts iestāžu pieprasījumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedrības interešu apsvērumu dēļ.
  • Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret nozaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

Trapecveida forma ir īpašs četrstūra gadījums, kurā viens malu pāris ir paralēls. Termins "trapecveida" cēlies no grieķu vārda τράπεζα, kas nozīmē "galds", "galds". Šajā rakstā mēs apsvērsim trapeces veidus un to īpašības. Turklāt mēs izdomāsim, kā aprēķināt atsevišķos šī piemēra elementus, vienādsānu trapeces diagonāli, viduslīniju, laukumu utt. Materiāls tiek pasniegts elementāras tautas ģeometrijas stilā, tas ir, viegli pieejamā veidā. formā.

Galvenā informācija

Pirmkārt, sapratīsim, kas ir četrstūris. Šis skaitlis ir īpašs daudzstūra gadījums, kurā ir četras malas un četras virsotnes. Divas četrstūra virsotnes, kas nav blakus, sauc par pretējām. To pašu var teikt par divām blakus esošajām pusēm. Galvenie četrstūra veidi ir paralelograms, taisnstūris, rombs, kvadrāts, trapecveida un deltveida.

Tātad, atpakaļ pie trapeces. Kā jau teicām, šim skaitlim ir divas paralēlas malas. Tos sauc par bāzēm. Pārējās divas (neparalēlas) ir malas. Eksāmenu un dažādu kontroldarbu materiālos nereti var atrast ar trapecām saistītus uzdevumus, kuru risināšanai skolēnam bieži vien ir nepieciešamas programmā neparedzētas zināšanas. Skolas ģeometrijas kurss iepazīstina studentus ar leņķu un diagonāļu īpašībām, kā arī vienādsānu trapeces viduslīniju. Bet galu galā, papildus tam, minētajai ģeometriskajai figūrai ir arī citas iezīmes. Bet par tiem vairāk vēlāk...

Trapeces veidi

Ir daudz šo figūru veidu. Tomēr visbiežāk ir pieņemts uzskatīt divus no tiem - vienādsānu un taisnstūrveida.

1. Taisnstūra trapece ir figūra, kurā viena no malām ir perpendikulāra pamatnēm. Tam ir divi leņķi, kas vienmēr ir deviņdesmit grādi.

2. Vienādsānu trapece ir ģeometriska figūra, kuras malas ir vienādas viena ar otru. Tas nozīmē, ka arī leņķi pie pamatnēm ir pa pāriem vienādi.

Trapecveida īpašību izpētes metodikas galvenie principi

Galvenais princips ir tā sauktās uzdevumu pieejas izmantošana. Faktiski nav nepieciešams ieviest jaunas šīs figūras īpašības ģeometrijas teorētiskajā kursā. Tos var atklāt un formulēt dažādu problēmu risināšanas procesā (labāk nekā sistēmiskās). Tajā pašā laikā ir ļoti svarīgi, lai skolotājs zinātu, kādi uzdevumi ir jāizvirza skolēniem vienā vai otrā brīdī izglītības procesā. Turklāt katru trapeces īpašību var attēlot kā galveno uzdevumu uzdevumu sistēmā.

Otrs princips ir tā sauktā trapecveida "ievērojamo" īpašību izpētes spirālveida organizācija. Tas nozīmē atgriešanos mācību procesā pie konkrētās ģeometriskās figūras individuālajām iezīmēm. Tādējādi studentiem ir vieglāk tos iegaumēt. Piemēram, četru punktu īpašība. To var pierādīt gan līdzības izpētē, gan pēc tam ar vektoru palīdzību. Un trijstūru vienādu laukumu, kas atrodas blakus figūras malām, var pierādīt, pielietojot ne tikai vienāda augstuma trīsstūru īpašības, kas novilktas uz malām, kas atrodas vienā taisnē, bet arī izmantojot formulu S= 1/ 2(ab*sinα). Turklāt jūs varat trenēties uz ierakstītas trapeces vai taisnleņķa trīsstūri uz ierobežotas trapeces utt.

Ģeometriskās figūras "ārpusstundu" pazīmju izmantošana skolas kursa saturā ir uzdevuma tehnoloģija to mācīšanai. Pastāvīga pieskaršanās pētītajām īpašībām, izejot citas tēmas, ļauj studentiem iegūt dziļākas zināšanas par trapecveida formu un nodrošina uzdevumu risināšanas panākumus. Tātad, sāksim pētīt šo brīnišķīgo figūru.

Vienādsānu trapeces elementi un īpašības

Kā mēs jau atzīmējām, šīs ģeometriskās figūras malas ir vienādas. To sauc arī par labo trapeci. Kāpēc tas ir tik ievērojams un kāpēc tas ieguva šādu nosaukumu? Šīs figūras iezīmes ietver to, ka ne tikai sāni un stūri pie pamatnēm ir vienādi, bet arī diagonāles. Arī vienādsānu trapeces leņķu summa ir 360 grādi. Bet tas vēl nav viss! No visām zināmajām trapecām tikai ap vienādsānu var aprakstīt apli. Tas ir saistīts ar faktu, ka šī skaitļa pretējo leņķu summa ir 180 grādi, un tikai ar šo nosacījumu var aprakstīt apli ap četrstūri. Nākamā aplūkojamās ģeometriskās figūras īpašība ir tāda, ka attālums no bāzes virsotnes līdz pretējās virsotnes projekcijai uz taisnes, kurā ir šī pamatne, būs vienāds ar viduslīniju.

Tagad izdomāsim, kā atrast vienādsānu trapeces leņķus. Apsveriet šīs problēmas risinājumu, ja ir zināmi figūras malu izmēri.

Risinājums

Parasti četrstūri parasti apzīmē ar burtiem A, B, C, D, kur BS un AD ir bāze. Vienādsānu trapecē malas ir vienādas. Mēs pieņemsim, ka to izmērs ir X, bet pamatņu izmēri ir Y un Z (attiecīgi mazāki un lielāki). Lai veiktu aprēķinu, no leņķa B jānovelk augstums H. Rezultāts ir taisnleņķa trijstūris ABN, kur AB ir hipotenūza, bet BN un AN ir kājas. Mēs aprēķinām kājas AN izmēru: no lielākās bāzes atņemam mazāko un rezultātu sadalām ar 2. Mēs to ierakstām formulas veidā: (Z-Y) / 2 \u003d F. Tagad, lai aprēķinātu trijstūra asu leņķi, mēs izmantojam cos funkciju. Mēs iegūstam šādu ierakstu: cos(β) = Х/F. Tagad mēs aprēķinām leņķi: β=arcos (Х/F). Turklāt, zinot vienu leņķi, mēs varam noteikt otro, šim nolūkam mēs veicam elementāru aritmētisko darbību: 180 - β. Visi leņķi ir noteikti.

Šai problēmai ir arī otrs risinājums. Sākumā nolaižam augstumu H no stūra B. Aprēķinām BN kājas vērtību. Mēs zinām, ka taisnleņķa trijstūra hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu. Mēs iegūstam: BN \u003d √ (X2-F2). Tālāk mēs izmantojam trigonometrisko funkciju tg. Rezultātā mums ir: β = arctg (BN / F). Atrasts ass stūris. Tālāk mēs nosakām tādā pašā veidā kā pirmajā metodē.

Vienādsānu trapeces diagonāļu īpašība

Vispirms pierakstīsim četrus noteikumus. Ja vienādsānu trapeces diagonāles ir perpendikulāras, tad:

Figūras augstums būs vienāds ar bāzu summu, kas dalīta ar divi;

Tā augstums un viduslīnija ir vienādi;

Apļa centrs ir punkts, kur ;

Ja sānu malu sadala ar saskares punktu segmentos H un M, tad tā ir vienāda ar šo segmentu reizinājuma kvadrātsakni;

Četrstūris, ko veido pieskares punkti, trapeces virsotne un ierakstītā apļa centrs, ir kvadrāts, kura mala ir vienāda ar rādiusu;

Figūras laukums ir vienāds ar pamatu reizinājumu un reizinājumu ar pusi no pamatu summas un tās augstuma.

Līdzīgas trapeces

Šī tēma ir ļoti ērta, lai izpētītu šīs īpašības. Piemēram, diagonāles sadala trapeci četros trīsstūros, un tie, kas atrodas blakus pamatiem, ir līdzīgi, un tie, kas atrodas blakus malām, ir vienādi. Šo apgalvojumu var saukt par trīsstūru īpašību, kurā trapece ir sadalīta ar tās diagonālēm. Šī apgalvojuma pirmā daļa ir pierādīta, izmantojot līdzības kritēriju divos leņķos. Lai pierādītu otro daļu, labāk ir izmantot tālāk norādīto metodi.

Teorēmas pierādījums

Mēs pieņemam, ka skaitlis ABSD (AD un BS - trapeces pamati) tiek dalīts ar diagonālēm VD un AC. To krustpunkts ir O. Mēs iegūstam četrus trīsstūrus: AOS - apakšējā pamatnē, BOS - augšējā pamatnē, ABO un SOD sānos. Trijstūriem SOD un BOS ir kopīgs augstums, ja segmenti BO un OD ir to pamati. Mēs iegūstam, ka starpība starp to laukumiem (P) ir vienāda ar starpību starp šiem segmentiem: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Tāpēc PSOD = PBOS / K. Tāpat BOS un AOB trijstūriem ir kopīgs augstums. Par pamatu ņemam segmentus CO un OA. Mēs iegūstam PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K un PAOB \u003d PBOS / K. No tā izriet, ka PSOD = PAOB.

Materiāla konsolidācijai studentiem ieteicams atrast sakarību starp iegūto trīsstūru laukumiem, kuros trapece sadalīta ar tās diagonālēm, risinot šādu uzdevumu. Ir zināms, ka trīsstūru BOS un AOD laukumi ir vienādi, ir jāatrod trapeces laukums. Tā kā PSOD \u003d PAOB, tas nozīmē, ka PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. No trīsstūru BOS un AOD līdzības izriet, ka BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Tāpēc PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Mēs iegūstam PSOD = √ (PBOS * PAOD). Tad PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

līdzības īpašības

Turpinot attīstīt šo tēmu, mēs varam pierādīt citas interesantas trapeces iezīmes. Tātad, izmantojot līdzību, jūs varat pierādīt segmenta īpašību, kas iet caur punktu, ko veido šīs ģeometriskās figūras diagonāļu krustojums paralēli pamatiem. Lai to izdarītu, atrisinām šādu uzdevumu: jāatrod nogriežņa RK garums, kas iet caur punktu O. No trijstūru AOD un BOS līdzības izriet, ka AO/OS=AD/BS. No trīsstūru AOP un ASB līdzības izriet, ka AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). No šejienes mēs iegūstam, ka RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Tāpat no trīsstūru DOK un DBS līdzības izriet, ka OK \u003d BS * AD / (BS + AD). No šejienes mēs iegūstam, ka RO=OK un RK=2*BS*AD/(BS+AD). Nogriezni, kas iet caur diagonāļu krustpunktu, paralēli pamatiem un savieno abas malas, sadala uz pusēm ar krustpunktu. Tās garums ir figūras pamatu harmoniskais vidējais lielums.

Apsveriet šādu trapeces īpašību, ko sauc par četru punktu īpašību. Diagonāļu krustpunkti (O), malu turpinājuma krustpunkti (E), kā arī pamatu viduspunkti (T un W) vienmēr atrodas uz vienas taisnes. To viegli pierādīt ar līdzības metodi. Iegūtie trīsstūri BES un AED ir līdzīgi, un katrā no tiem mediānas ET un EZH sadala leņķi virsotnē E vienādās daļās. Tāpēc punkti E, T un W atrodas uz vienas taisnes. Tādā pašā veidā uz vienas taisnes atrodas punkti T, O un G. Tas viss izriet no trīsstūru BOS un AOD līdzības. No tā mēs secinām, ka visi četri punkti - E, T, O un W - atrodas uz vienas taisnes.

Izmantojot līdzīgas trapeces, studentiem var lūgt atrast segmenta garumu (LF), kas sadala figūru divos līdzīgos. Šim segmentam jābūt paralēlam pamatnēm. Tā kā iegūtās trapeces ALFD un LBSF ir līdzīgas, tad BS/LF=LF/AD. No tā izriet, ka LF=√(BS*BP). Iegūstam, ka segmentam, kas sadala trapeci divās līdzīgās daļās, garums ir vienāds ar figūras pamatu garumu ģeometrisko vidējo.

Apsveriet šādu līdzības īpašību. Tas ir balstīts uz segmentu, kas sadala trapeci divās vienādās figūrās. Mēs pieņemam, ka trapecveida ABSD ar segmentu EN sadala divos līdzīgos. No virsotnes B tiek izlaists augstums, kas ar segmentu EH tiek sadalīts divās daļās - B1 un B2. Mēs iegūstam: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 un PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Tālāk mēs izveidojam sistēmu, kuras pirmais vienādojums ir (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 un otrais (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. No tā izriet, ka B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) un BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Iegūstam, ka nogriežņa garums, kas sadala trapecveida divās vienādās daļās, ir vienāds ar pamatu garumu vidējo kvadrātu: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Līdzības secinājumi

Tādējādi mēs esam pierādījuši, ka:

1. Nogrieznis, kas savieno trapeces malu viduspunktus, ir paralēls AD un BS un ir vienāds ar BS un AD vidējo aritmētisko (trapeces pamatnes garums).

2. Taisne, kas iet caur AD un BS paralēlo diagonāļu krustpunkta punktu O, būs vienāda ar skaitļu AD un BS vidējo harmonisko vērtību (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Nozarei, kas sadala trapeci līdzīgās, ir bāzu BS un AD ģeometriskā vidējā garums.

4. Elementam, kas dala figūru divās vienādās daļās, ir vidējo kvadrātu skaitļu AD un BS garums.

Lai konsolidētu materiālu un izprastu saikni starp aplūkotajiem segmentiem, studentam tie jāveido konkrētai trapecveida formai. Viņš var viegli parādīt viduslīniju un segmentu, kas iet caur punktu O - figūras diagonāļu krustpunktu - paralēli pamatiem. Bet kur būs trešais un ceturtais? Šī atbilde novedīs skolēnu pie vēlamās attiecības starp vidējiem rādītājiem.

Līnijas nogrieznis, kas savieno trapeces diagonāļu viduspunktus

Apsveriet šādu šī attēla īpašību. Mēs pieņemam, ka segments MH ir paralēls pamatnēm un sadala diagonāles uz pusēm. Sauksim krustošanās punktus W un W. Šis segments būs vienāds ar bāzu starpību. Analizēsim to sīkāk. MSH - trijstūra ABS vidējā līnija, tā ir vienāda ar BS / 2. MS - trijstūra ABD vidējā līnija, tā ir vienāda ar AD / 2. Tad mēs iegūstam, ka ShShch = MShch-MSh, tāpēc Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Smaguma centrs

Apskatīsim, kā šis elements tiek noteikts konkrētai ģeometriskai figūrai. Lai to izdarītu, ir nepieciešams pagarināt pamatnes pretējos virzienos. Ko tas nozīmē? Ir nepieciešams pievienot apakšējo pamatni augšējai pamatnei - jebkurai no malām, piemēram, pa labi. Un apakša tiek pagarināta par augšdaļas garumu pa kreisi. Tālāk mēs savienojam tos ar diagonāli. Šī segmenta krustpunkts ar figūras vidējo līniju ir trapeces smaguma centrs.

Ierakstītas un norobežotas trapeces

Uzskaitīsim šādu figūru iezīmes:

1. Trapecveida formu var ierakstīt tikai aplī, ja tā ir vienādsānu.

2. Trapecveida formu var aprakstīt ap apli, ja to pamatu garumu summa ir vienāda ar malu garumu summu.

Ierakstītā apļa sekas:

1. Aprakstītās trapeces augstums vienmēr ir vienāds ar diviem rādiusiem.

2. Aprakstītās trapeces sānu malu novēro no apļa centra taisnā leņķī.

Pirmais secinājums ir acīmredzams, un, lai pierādītu otro, ir nepieciešams noskaidrot, vai SOD leņķis ir pareizs, kas patiesībā arī nebūs grūti. Bet zināšanas par šo īpašību ļaus mums problēmu risināšanā izmantot taisnleņķa trīsstūri.

Tagad mēs precizējam šīs sekas vienādsānu trapecei, kas ir ierakstīta aplī. Iegūstam, ka augstums ir figūras pamatu ģeometriskais vidējais: H=2R=√(BS*AD). Praktizējot galveno trapecveida uzdevumu risināšanas paņēmienu (divu augstumu zīmēšanas princips), studentam jāatrisina šāds uzdevums. Mēs pieņemam, ka BT ir vienādsānu figūras ABSD augstums. Ir nepieciešams atrast segmentus AT un TD. Izmantojot iepriekš aprakstīto formulu, to izdarīt nebūs grūti.

Tagad izdomāsim, kā noteikt apļa rādiusu, izmantojot ierobežotās trapeces laukumu. Mēs pazeminām augstumu no augšas B līdz pamatnei AD. Tā kā aplis ir ierakstīts trapecveida formā, tad BS + AD \u003d 2AB vai AB \u003d (BS + AD) / 2. No trijstūra ABN atrodam sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Mēs iegūstam PABSD \u003d (BS + HELL) * R, no tā izriet, ka R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Visas trapeces viduslīnijas formulas

Tagad ir pienācis laiks pāriet uz šīs ģeometriskās figūras pēdējo elementu. Izdomāsim, ar ko ir vienāda trapeces (M) vidējā līnija:

1. Caur pamatnēm: M \u003d (A + B) / 2.

2. Caur augstums, pamatne un leņķi:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Caur augstumu, diagonāles un leņķi starp tām. Piemēram, D1 un D2 ir trapeces diagonāles; α, β - leņķi starp tiem:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. Caur laukumu un augstumu: M = P / N.

  1. Nogrieznis, kas savieno trapeces diagonāļu viduspunktus, ir vienāds ar pusi no pamatu starpības
  2. Trijstūri, ko veido trapeces pamatnes un diagonāļu segmenti līdz to krustpunktam, ir līdzīgi
  3. Trijstūri, ko veido trapeces diagonāļu segmenti, kuru malas atrodas uz trapeces malām - ir vienādi (ar vienādu laukumu)
  4. Ja mēs pagarināsim trapeces malas uz mazāko pamatni, tad tās vienā punktā krustosies ar taisni, kas savieno pamatu viduspunktus
  5. Segmentu, kas savieno trapeces pamatus un iet caur trapeces diagonāļu krustpunktu, dala ar šo punktu proporcijā, kas vienāda ar trapeces pamatu garumu attiecību.
  6. Nogrieznis, kas ir paralēls trapeces pamatiem un novilkts caur diagonāļu krustpunktu, tiek dalīts ar šo punktu, un tā garums ir 2ab / (a ​​+ b), kur a un b ir trapeces pamati.

Trapeces diagonāļu viduspunktus savienojošā segmenta īpašības

Savienojiet trapeces ABCD diagonāļu viduspunktus, kā rezultātā mums būs nogrieznis LM.
Līnijas nogrieznis, kas savieno trapeces diagonāļu viduspunktus atrodas uz trapeces viduslīnijas.

Šis segments paralēli trapeces pamatnēm.

Nozares garums, kas savieno trapeces diagonāļu viduspunktus, ir vienāds ar tās pamatu starpību.

LM = (AD — BC)/2
vai
LM = (a-b)/2

Trapecveida diagonāļu veidoto trijstūru īpašības


Trijstūri, ko veido trapeces pamatnes un trapeces diagonāļu krustpunkts - ir līdzīgi.
Trijstūri BOC un AOD ir līdzīgi. Tā kā leņķi BOC un AOD ir vertikāli, tie ir vienādi.
Leņķi OCB un OAD ir iekšējie šķērsām, kas atrodas uz paralēlām līnijām AD un BC (trapeces pamati ir paralēli viens otram) un nogriežņa taisnē AC, tāpēc tie ir vienādi.
Leņķi OBC un ODA ir vienādi viena un tā paša iemesla dēļ (iekšējais krustojums).

Tā kā visi trīs viena trijstūra leņķi ir vienādi ar cita trijstūra atbilstošajiem leņķiem, šie trīsstūri ir līdzīgi.

Kas no tā izriet?

Lai atrisinātu ģeometrijas uzdevumus, trīsstūru līdzība tiek izmantota šādi. Ja zinām divu līdzīgu trīsstūru atbilstošo elementu garumus, tad atrodam līdzības koeficientu (dalām vienu ar otru). No kurienes visu pārējo elementu garumi ir saistīti viens ar otru ar tieši tādu pašu vērtību.

Trapeces sānu malās esošo trīsstūru un diagonāļu īpašības


Apsveriet divus trīsstūrus, kas atrodas trapeces AB un CD malās. Tie ir trīsstūri AOB un COD. Neskatoties uz to, ka šo trīsstūru atsevišķu malu izmēri var būt pilnīgi atšķirīgi, bet trijstūru laukumi, ko veido trapeces malas un diagonāļu krustpunkts, ir, tas ir, trīsstūri ir vienādi.


Ja trapeces malas ir pagarinātas pret mazāko pamatni, tad malu krustošanās punkts būs sakrīt ar taisnu līniju, kas iet caur pamatu viduspunktiem.

Tādējādi jebkuru trapecveida formu var pagarināt līdz trīsstūrim. Kurā:

  • Trijstūri, ko veido trapeces pamati ar kopīgu virsotni pagarināto malu krustpunktā, ir līdzīgi
  • Taisnā līnija, kas savieno trapeces pamatu viduspunktus, tajā pašā laikā ir izveidotā trīsstūra mediāna

Trapeces pamatus savienojošā segmenta īpašības


Ja jūs uzzīmējat segmentu, kura gali atrodas uz trapeces pamatiem, kas atrodas trapeces diagonāļu (KN) krustošanās punktā, tad to veidojošo segmentu attiecība no pamatnes malas līdz trapeces krustošanās punktam. diagonāles (KO / ON) būs vienāds ar trapecveida pamatu attiecību(BC/AD).

KO/ON=BC/AD

Šī īpašība izriet no atbilstošo trīsstūru līdzības (skatīt iepriekš).

Trapecveida pamatiem paralēlā segmenta īpašības


Ja mēs uzzīmēsim segmentu, kas ir paralēls trapeces pamatiem un iet caur trapeces diagonāļu krustošanās punktu, tad tam būs šādas īpašības:

  • Iepriekš iestatīts attālums (KM) sadala uz pusēm trapecveida diagonāļu krustošanās punktu
  • Griezuma garums, kas iet caur trapeces diagonāļu krustpunktu un paralēli pamatiem, ir vienāds ar KM = 2ab/(a + b)

Formulas trapeces diagonāļu atrašanai


a, b- trapecveida pamatnes

c, d- trapeces malas

d1 d2- trapeces diagonāles

α β - leņķi ar lielāku trapeces pamatni

Formulas trapeces diagonāļu atrašanai caur pamatiem, malām un leņķiem pie pamatnes

Pirmā formulu grupa (1-3) atspoguļo vienu no galvenajām trapecveida diagonāļu īpašībām:

1. Trapeces diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar malu kvadrātu summu plus divkārša tās pamatu reizinājums. Šo trapecveida diagonāļu īpašību var pierādīt kā atsevišķu teorēmu

2 . Šo formulu iegūst, pārveidojot iepriekšējo formulu. Otrās diagonāles kvadrāts tiek izmests pāri vienādības zīmei, pēc tam kvadrātsakne tiek izvilkta no izteiksmes kreisās un labās puses.

3 . Šī trapeces diagonāles garuma noteikšanas formula ir līdzīga iepriekšējai, ar atšķirību, ka izteiksmes kreisajā pusē ir atstāta cita diagonāle

Nākamā formulu grupa (4-5) pēc nozīmes ir līdzīga un izsaka līdzīgas attiecības.

Formulu grupa (6-7) ļauj atrast trapeces diagonāli, ja zināt trapeces lielāko pamatu, vienu malu un leņķi pie pamatnes.

Formulas trapeces diagonāļu atrašanai augstuma izteiksmē

Piezīme. Šajā nodarbībā tiek sniegts ģeometrijas uzdevumu risinājums par trapecveida formām. Ja neesat atradis risinājumu jūs interesējošā tipa ģeometrijas problēmai - uzdodiet jautājumu forumā.

Uzdevums.
Trapeces ABCD (AD | | BC) diagonāles krustojas punktā O. Atrodiet trapeces pamatnes BC garumu, ja pamatne AD = 24 cm, garums AO = 9 cm, garums OS = 6 cm.

Risinājums.
Šī uzdevuma risinājums ideoloģijas ziņā ir absolūti identisks iepriekšējiem uzdevumiem.

Trijstūri AOD un BOC ir līdzīgi trīs leņķos - AOD un BOC ir vertikāli, un pārējie leņķi ir pa pāriem vienādi, jo tos veido vienas taisnes un divu paralēlu līniju krustojums.

Tā kā trijstūri ir līdzīgi, visi to ģeometriskie izmēri ir saistīti viens ar otru, jo mums zināmie segmentu AO un OC ģeometriskie izmēri atbilstoši uzdevuma nosacījumam. Tas ir

AO/OC=AD/BC
9/6 = 24/B.C.
BC = 24 * 6/9 = 16

Atbilde: 16 cm

Uzdevums.
Trapecē ABCD zināms, ka AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Atrodiet trapeces laukumu.

Risinājums.
Lai atrastu trapeces augstumu no mazākās bāzes B un C virsotnēm, mēs nolaižam divus augstumus uz lielākās bāzes. Tā kā trapece ir nevienāda, mēs apzīmējam garumu AM = a, garumu KD = b ( nedrīkst sajaukt ar simboliem formulā trapeces laukuma atrašana). Tā kā trapeces pamati ir paralēli un esam izlaiduši divus augstumus, kas ir perpendikulāri lielākajai pamatnei, tad MBCK ir taisnstūris.

Līdzekļi
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Trijstūri DBM un ACK ir taisnleņķi, tāpēc to taisnos leņķus veido trapeces augstumi. Apzīmēsim trapeces augstumu kā h. Tad pēc Pitagora teorēmas

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
un
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Apsveriet, ka a \u003d 16 - b, tad pirmajā vienādojumā
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Aizvietojiet augstuma kvadrāta vērtību otrajā vienādojumā, kas iegūts ar Pitagora teorēmu. Mēs iegūstam:
425 — (8 + b) 2 + (24 – b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Tādējādi KD = 12
Kur
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Atrodiet trapeces laukumu, izmantojot tās augstumu un pusi no pamatu summas
, kur a b - trapeces pamati, h - trapeces augstums
S \u003d (24 + 8) * 5/2 \u003d 80 cm 2

Atbilde: trapeces laukums ir 80 cm2.