Šajā nodarbībā mēs apskatīsim vēl divas darbības ar vektoriem: vektoru krustreizinājums un vektoru jauktais produkts (tūlītēja saite tiem, kam tas ir nepieciešams). Tas ir labi, dažreiz gadās, ka pilnīgai laimei, turklāt vektoru punktu reizinājums, vajag arvien vairāk. Tāda ir vektoru atkarība. Var rasties iespaids, ka mēs nonākam analītiskās ģeometrijas džungļos. Tā nav taisnība. Šajā augstākās matemātikas sadaļā parasti ir maz malkas, izņemot, iespējams, pietiekami daudz Pinokio. Patiesībā materiāls ir ļoti izplatīts un vienkāršs – diez vai grūtāks par to pašu skalārais produkts, pat būs mazāk tipisku uzdevumu. Galvenais analītiskajā ģeometrijā, kā daudzi redzēs vai jau ir redzējuši, ir NEMALDĪT APRĒĶINOS. Atkārto kā burvestību, un tu būsi laimīgs =)

Ja vektori kaut kur tālu mirdz kā zibens pie horizonta, tas nav svarīgi, sāciet ar stundu Manekenu vektori atjaunot vai atkārtoti iegūt pamatzināšanas par vektoriem. Gatavāki lasītāji ar informāciju var iepazīties selektīvi, centos apkopot vispilnīgāko piemēru krājumu, kas bieži sastopams praktiskajā darbā

Kas tevi iepriecinās? Kad biju mazs, varēju žonglēt ar divām un pat trīs bumbiņām. Tas izdevās labi. Tagad vispār nav vajadzības žonglēt, jo mēs to apsvērsim tikai telpas vektori, un plakanie vektori ar divām koordinātām tiks izlaisti. Kāpēc? Tā radās šīs darbības – vektoru vektors un jauktais vektoru produkts ir definēts un darbojas trīsdimensiju telpā. Jau vieglāk!

Šajā darbībā tāpat kā skalārajā reizinājumā, divi vektori. Lai tie ir neiznīcīgi burti.

Pati darbība apzīmētsšādā veidā: . Ir arī citi varianti, bet es esmu pieradis vektoru krustenisko reizinājumu apzīmēt šādā veidā, kvadrātiekavās ar krustiņu.

Un uzreiz jautājums: ja iekšā vektoru punktu reizinājums ir iesaistīti divi vektori, un šeit arī tiek reizināti divi vektori kāda ir atšķirība? Skaidra atšķirība, pirmkārt, REZULTĀTĀ:

Vektoru skalārās reizinājuma rezultāts ir SKAITS:

Vektoru krustojuma rezultāts ir VEKTORS: , tas ir, mēs reizinām vektorus un atkal iegūstam vektoru. Slēgts klubs. Patiesībā, līdz ar to arī operācijas nosaukums. Dažādā mācību literatūrā apzīmējumi var arī atšķirties, izmantošu burtu .

Šķērsprodukta definīcija

Vispirms būs definīcija ar bildi, tad komentāri.

Definīcija: krustojums nekolineārs vektori, pieņemts šādā secībā, sauc par VECTOR, garums kas ir skaitliski vienāds ar paralelograma laukumu, kas veidota uz šiem vektoriem; vektors vektoriem ortogonāli, un ir vērsta tā, lai bāzei būtu pareiza orientācija:

Mēs analizējam definīciju pēc kauliem, ir daudz interesantu lietu!

Tātad, mēs varam izcelt šādus būtiskus punktus:

1) Avota vektori pēc definīcijas, kas apzīmēti ar sarkanām bultiņām nav kolineārs. Nedaudz vēlāk būs lietderīgi apsvērt kolineāro vektoru gadījumu.

2) Uzņemtie vektori stingrā kārtībā: – "a" tiek reizināts ar "būt", nevis "būt" uz "a". Vektoru reizināšanas rezultāts ir VECTOR , kas ir apzīmēts zilā krāsā. Ja vektorus reizina apgrieztā secībā, tad iegūstam vienāda garuma un virzienā pretēju vektoru (sārtināta krāsa). Tas ir, vienlīdzība .

3) Tagad iepazīsimies ar vektora reizinājuma ģeometrisko nozīmi. Tas ir ļoti svarīgs punkts! Zilā vektora (un līdz ar to tumšsarkanā vektora) GARUMS ir skaitliski vienāds ar uz vektoriem veidotā paralelograma AREA. Attēlā šis paralelograms ir iekrāsots melnā krāsā.

Piezīme : zīmējums ir shematisks, un, protams, šķērsprodukta nominālais garums nav vienāds ar paralelograma laukumu.

Mēs atceramies vienu no ģeometriskajām formulām: paralelograma laukums ir vienāds ar blakus esošo malu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājumu. Tāpēc, pamatojoties uz iepriekš minēto, ir spēkā formula vektora reizinājuma GARUMA aprēķināšanai:

Es uzsveru, ka formulā mēs runājam par vektora GARU, nevis par pašu vektoru. Kāda ir praktiskā nozīme? Un nozīme ir tāda, ka analītiskās ģeometrijas problēmās paralelograma laukums bieži tiek atrasts, izmantojot vektora reizinājuma jēdzienu:

Mēs iegūstam otro svarīgo formulu. Paralelograma diagonāle (sarkana punktēta līnija) sadala to divos vienādos trīsstūros. Tāpēc trīsstūra laukumu, kas veidots uz vektoriem (sarkans ēnojums), var atrast pēc formulas:

4) Tikpat svarīgs fakts ir tas, ka vektors ir ortogonāls vektoriem, tas ir . Protams, arī pretēji vērstais vektors (sārtināta bultiņa) ir ortogonāls sākotnējiem vektoriem.

5) Vektors ir vērsts tā, lai pamata Tā ir pa labi orientācija. Nodarbībā par pāreja uz jaunu pamatu Es detalizēti runāju par plaknes orientācija, un tagad mēs sapratīsim, kāda ir telpas orientācija. Es paskaidrošu uz jūsu pirkstiem labā roka. Garīgi apvienot rādītājpirksts ar vektoru un Vidējais pirksts ar vektoru. Gredzena pirksts un mazais pirksts nospiediet plaukstā. Rezultātā īkšķis- vektora reizinājums tiks meklēts uz augšu. Šī ir uz labo pusi orientēta bāze (tas ir attēlā). Tagad samainiet vektorus ( rādītājpirksti un vidējie pirksti) vietām, kā rezultātā īkšķis pagriezīsies, un vektorreizinājums jau skatīsies uz leju. Tas ir arī uz labo pusi vērsts pamats. Varbūt jums ir jautājums: kāds pamats ir kreisajai orientācijai? "Piešķirt" tos pašus pirkstus kreisā roka vektori , un iegūstiet kreisās bāzes un kreisās telpas orientāciju (šajā gadījumā īkšķis atradīsies apakšējā vektora virzienā). Tēlaini izsakoties, šīs bāzes “sagriež” jeb orientē telpu dažādos virzienos. Un šo jēdzienu nevajadzētu uzskatīt par kaut ko tālu vai abstraktu - piemēram, visparastākais spogulis maina telpas orientāciju, un, ja jūs “izvelk atstaroto objektu no spoguļa”, tad kopumā tas nebūs iespējams. apvienojiet to ar "oriģinālu". Starp citu, pievelciet trīs pirkstus pie spoguļa un analizējiet atspulgu ;-)

... cik labi, ka jūs tagad zināt par to orientēts pa labi un pa kreisi bāzes, jo dažu pasniedzēju izteikumi par orientācijas maiņu ir šausmīgi =)

Kolineāru vektoru vektorreizinājums

Definīcija ir izstrādāta detalizēti, atliek noskaidrot, kas notiek, ja vektori ir kolineāri. Ja vektori ir kolineāri, tad tos var novietot uz vienas taisnes un arī mūsu paralelograms “salocās” vienā taisnē. Tādu laukums, kā saka matemātiķi, deģenerēts paralelograms ir nulle. Tas pats izriet no formulas - nulles vai 180 grādu sinuss ir vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka laukums ir nulle

Tādējādi, ja , tad un . Lūdzu, ņemiet vērā, ka krustreizinājums pats par sevi ir vienāds ar nulles vektoru, taču praksē tas bieži tiek atstāts novārtā un rakstīts, ka arī tas ir vienāds ar nulli.

Īpašs gadījums ir vektora un paša vektora reizinājums:

Izmantojot krustojumu, jūs varat pārbaudīt trīsdimensiju vektoru kolinearitāti, un mēs, cita starpā, arī analizēsim šo problēmu.

Lai atrisinātu praktiskus piemērus, tas var būt nepieciešams trigonometriskā tabula lai no tā atrastu sinusu vērtības.

Nu, iekuram uguni:

1. piemērs

a) Atrodi vektoru vektorreizinājuma garumu, ja

b) Atrodiet uz vektoriem veidota paralelograma laukumu, ja

Risinājums: Nē, tā nav drukas kļūda, es apzināti veicu sākotnējos datus nosacījumu vienībās. Jo risinājumu dizains būs atšķirīgs!

a) Atbilstoši nosacījumam ir jāatrod garums vektors (vektora reizinājums). Saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde:

Tā kā tika jautāts par garumu, tad atbildē norādām izmēru - mērvienības.

b) Atbilstoši nosacījumam ir jāatrod kvadrāts uz vektoriem veidots paralelograms . Šī paralelograma laukums ir skaitliski vienāds ar šķērsreizinājuma garumu:

Atbilde:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka atbildē par vektorproduktu vispār nav runas, mums jautāja par to figūras laukums, attiecīgi izmērs ir kvadrāta vienības.

Mēs vienmēr skatāmies, KAS ir jāatrod pēc nosacījuma, un, pamatojoties uz to, mēs formulējam skaidrs atbildi. Var šķist, ka tas ir burtiski, bet skolotāju vidū ir pietiekami daudz literātu, un uzdevums ar labām izredzēm tiks atgriezts pārskatīšanai. Lai gan tas nav īpaši saspringts niķis - ja atbilde ir nepareiza, tad rodas iespaids, ka cilvēks nesaprot vienkāršas lietas un/vai nav iedziļinājies uzdevuma būtībā. Šis brīdis vienmēr ir jākontrolē, risinot jebkuru uzdevumu augstākajā matemātikā un arī citos priekšmetos.

Kur pazuda lielais burts "en"? Principā varētu papildus pielipt pie risinājuma, bet, lai saīsinātu ierakstu, es to nedarīju. Es ceru, ka visi to saprot un apzīmē vienu un to pašu.

Populārs risinājuma “dari pats” piemērs:

2. piemērs

Atrodiet uz vektoriem veidota trīsstūra laukumu, ja

Formula trīsstūra laukuma atrašanai caur vektora reizinājumu ir dota definīcijas komentāros. Risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Praksē uzdevums patiešām ir ļoti izplatīts, trijstūri parasti var spīdzināt.

Lai atrisinātu citas problēmas, mums ir nepieciešams:

Vektoru krustreizinājuma īpašības

Mēs jau esam apsvēruši dažas vektorprodukta īpašības, tomēr es tās iekļaušu šajā sarakstā.

Patvaļīgiem vektoriem un patvaļīgam skaitlim ir patiesas šādas īpašības:

1) Citos informācijas avotos šis vienums īpašībās parasti nav izdalīts, taču tas ir ļoti svarīgs praktiskā ziņā. Tātad lai tas būtu.

2) - īpašums ir apspriests arī iepriekš, dažreiz tas tiek saukts antikommutativitāte. Citiem vārdiem sakot, vektoru secībai ir nozīme.

3) - kombinācija vai asociatīvs vektorproduktu likumi. Konstantes var viegli izņemt no vektora reizinājuma robežām. Tiešām, ko viņi tur dara?

4) - izplatīšana vai izplatīšana vektorproduktu likumi. Arī ar atvēršanu nav problēmu.

Kā demonstrāciju apsveriet īsu piemēru:

3. piemērs

Atrodi, ja

Risinājums: Pēc nosacījuma atkal ir jāatrod vektora reizinājuma garums. Krāsosim savu miniatūru:

(1) Saskaņā ar asociatīvajiem likumiem mēs izņemam konstantes ārpus vektora reizinājuma robežām.

(2) Mēs izņemam konstanti no moduļa, bet modulis “apēd” mīnusa zīmi. Garums nevar būt negatīvs.

(3) Tālāk ir skaidrs.

Atbilde:

Ir pienācis laiks mest malku ugunī:

4. piemērs

Aprēķiniet uz vektoriem veidota trīsstūra laukumu, ja

Risinājums: Atrodiet trīsstūra laukumu, izmantojot formulu . Traucējums ir tāds, ka vektori "ce" un "te" paši ir attēloti kā vektoru summas. Algoritms šeit ir standarta un nedaudz atgādina nodarbības 3. un 4. piemēru. Vektoru punktu reizinājums. Skaidrības labad sadalīsim to trīs posmos:

1) Pirmajā solī mēs izsakām vektora reizinājumu caur vektora reizinājumu, patiesībā, izteikt vektoru vektora izteiksmē. Par garumu vēl ne vārda!

(1) Mēs aizstājam vektoru izteiksmes.

(2) Izmantojot sadalījuma likumus, atveriet iekavas saskaņā ar polinomu reizināšanas likumu.

(3) Izmantojot asociatīvos likumus, mēs izņemam visas konstantes ārpus vektora reizinājuma. Ar nelielu pieredzi 2. un 3. darbību var veikt vienlaikus.

(4) Pirmais un pēdējais termins ir vienādi ar nulli (nulles vektors) patīkamās īpašības dēļ. Otrajā termiņā mēs izmantojam vektora reizinājuma antikomutativitātes īpašību:

(5) Mēs piedāvājam līdzīgus terminus.

Rezultātā vektors izrādījās izteikts caur vektoru, kas bija tas, kas bija jāsasniedz:

2) Otrajā solī mēs atrodam vajadzīgā vektora reizinājuma garumu. Šī darbība ir līdzīga 3. piemēram:

3) Atrodiet vajadzīgā trīsstūra laukumu:

Risinājuma 2-3 soļus varētu sakārtot vienā rindā.

Atbilde:

Aplūkotā problēma ir diezgan izplatīta testos, šeit ir piemērs neatkarīgam risinājumam:

5. piemērs

Atrodi, ja

Īss risinājums un atbilde nodarbības beigās. Paskatīsimies, cik uzmanīgs bijāt, pētot iepriekšējos piemērus ;-)

Vektoru krustreizinājums koordinātēs

dots ortonormālā bāzē , tiek izteikts ar formulu:

Formula ir patiešām vienkārša: determinanta augšējā rindā ierakstām koordinātu vektorus, otrajā un trešajā rindā "iepakojam" vektoru koordinātas un ievietojam stingrā kārtībā- vispirms vektora "ve" koordinātas, tad vektora "double-ve" koordinātas. Ja vektori jāreizina citā secībā, tad arī rindas ir jāsamaina:

10. piemērs

Pārbaudiet, vai šādi telpas vektori ir kolineāri:
a)
b)

Risinājums: Testa pamatā ir viens no šīs nodarbības apgalvojumiem: ja vektori ir kolineāri, tad to krustojums ir nulle (nulles vektors): .

a) Atrodiet vektora reizinājumu:

Tātad vektori nav kolineāri.

b) Atrodiet vektora reizinājumu:

Atbilde a) nav kolineārs, b)

Šeit, iespējams, ir visa pamatinformācija par vektoru vektoru reizinājumu.

Šī sadaļa nebūs ļoti liela, jo ir maz problēmu, ja tiek izmantots vektoru jauktais produkts. Patiesībā viss būs atkarīgs no definīcijas, ģeometriskās nozīmes un pāris darba formulām.

Vektoru jauktais reizinājums ir trīs vektoru reizinājums:

Šādi viņi sastājās rindā kā vilciens un gaida, viņi nevar gaidīt, kamēr tiks aprēķināti.

Vispirms atkal definīcija un attēls:

Definīcija: Jaukts produkts ne-kopplanārs vektori, pieņemts šādā secībā, tiek saukts paralēlskaldņa tilpums, veidots uz šiem vektoriem, aprīkots ar "+" zīmi, ja pamats ir pareizs, un "-" zīmi, ja pamats ir pa kreisi.

Taisīsim zīmējumu. Mums neredzamās līnijas ir novilktas ar punktētu līniju:

Iedziļināsimies definīcijā:

2) Uzņemtie vektori noteiktā secībā, tas ir, vektoru permutācija produktā, kā jūs varētu nojaust, nepaliek bez sekām.

3) Pirms komentēt ģeometrisko nozīmi, es atzīmēšu acīmredzamo faktu: vektoru jauktais reizinājums ir SKAITS: . Mācību literatūrā dizains var būt nedaudz atšķirīgs, es mēdzu apzīmēt jauktu produktu cauri, bet aprēķinu rezultātu ar burtu "pe".

Pēc definīcijas jauktais produkts ir paralēlskaldņa tilpums, veidots uz vektoriem (attēls zīmēts ar sarkaniem vektoriem un melnām līnijām). Tas ir, skaitlis ir vienāds ar dotā paralēlskaldņa tilpumu.

Piezīme : Zīmējums ir shematisks.

4) Neraizīsimies atkal ar pamata un telpas orientācijas jēdzienu. Pēdējās daļas nozīme ir tāda, ka skaļumam var pievienot mīnusa zīmi. Vienkārši izsakoties, jauktais produkts var būt negatīvs: .

Formula uz vektoriem veidota paralēlskaldņa tilpuma aprēķināšanai izriet tieši no definīcijas.

Uz vektoriem veidotā paralelograma laukums ir vienāds ar šo vektoru garuma un starp tiem esošā leņķa leņķa reizinājumu.

Ir labi, ja šo pašu vektoru garumi ir norādīti atbilstoši nosacījumiem. Tomēr gadās arī tā, ka uz vektoriem veidota paralelograma laukuma formulu var piemērot tikai pēc koordinātu aprēķiniem.
Ja jums ir paveicies un vektoru garumi ir norādīti atbilstoši nosacījumiem, jums vienkārši jāpiemēro formula, kuru mēs jau esam detalizēti analizējuši rakstā. Laukums būs vienāds ar moduļu un leņķa sinusa reizinājumu starp tiem:

Apsveriet piemēru paralelograma laukuma aprēķināšanai, kas veidota uz vektoriem.

Uzdevums: Paralelograms ir veidots uz vektoriem un . Atrodiet laukumu, ja , Un leņķis starp tiem ir 30°.
Izteiksim vektorus to vērtībās:

Varbūt jums ir jautājums - no kurienes radās nulles? Ir vērts atcerēties, ka mēs strādājam ar vektoriem un tiem . ņemiet vērā arī to, ka, ja mēs iegūstam izteiksmi, tad tā tiks pārveidota par. Tagad veiksim galīgos aprēķinus:

Atgriezīsimies pie problēmas, kad vektoru garumi nosacījumos nav noteikti. Ja jūsu paralelograms atrodas Dekarta koordinātu sistēmā, jums jāveic šādas darbības.

Ar koordinātām dotas figūras malu garumu aprēķins

Sākumā mēs atrodam vektoru koordinātas un no gala koordinātām atņemam atbilstošās sākuma koordinātas. Pieņemsim vektora a (x1;y1;z1) un vektora b (x3;y3;z3) koordinātas.
Tagad mēs atrodam katra vektora garumu. Lai to izdarītu, katra koordināte ir jāizliek kvadrātā, pēc tam pievienojiet rezultātus un izvelciet sakni no galīga skaitļa. Saskaņā ar mūsu vektoriem tiks veikti šādi aprēķini:


Tagad mums jāatrod mūsu vektoru punktveida reizinājums. Lai to izdarītu, to attiecīgās koordinātas tiek reizinātas un pievienotas.

Ņemot vērā vektoru garumus un to punktu reizinājumu, mēs varam atrast leņķa kosinusu starp tiem .
Tagad mēs varam atrast tāda paša leņķa sinusu:
Tagad mums ir visi nepieciešamie daudzumi, un mēs varam viegli atrast uz vektoriem veidota paralelograma laukumu, izmantojot jau zināmo formulu.

Vispirms atcerēsimies, kas ir vektorprodukts.

1. piezīme

vektormāksla$\vec(a)$ un $\vec(b)$ ir $\vec(c)$, kas ir kāds trešais vektors $\vec(c)= ||$, un šim vektoram ir īpašas īpašības:

• Iegūtā vektora skalārs ir $|\vec(a)|$ un $|\vec(b)|$ un leņķa $\vec(c)= ||= |\vec(a) sinusa reizinājums. )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Visi $\vec(a), \vec(b)$ un $\vec(c)$ veido labo trīskāršu;
• Iegūtais vektors ir ortogonāls pret $\vec(a)$ un $\vec(b)$.

Ja vektoriem ir dažas koordinātes ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ un $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), tad to vektoru reizinājums Dekarta koordinātu sistēmu var noteikt pēc formulas:

$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$

Vienkāršākais veids, kā atcerēties šo formulu, ir uzrakstīt to determinanta formā:

$ = \begin(masīvs) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(masīvs)$.

Šī formula ir diezgan ērta lietošanā, taču, lai saprastu, kā to izmantot, vispirms ir jāiepazīstas ar matricu tēmu un to noteicošajiem faktoriem.

Paralēlogrammas laukums, kuras malas nosaka divi vektori $\vec(a)$ un $vec(b)$ ir vienāds ar līdz doto divu vektoru krustreizinājuma skalāram.

Šo attiecību ir diezgan viegli iegūt.

Atgādiniet parastā paralelograma laukuma atrašanas formulu, ko var raksturot ar segmentiem $a$ un $b$:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

Šajā gadījumā malu garumi ir vienādi ar vektoru $\vec(a)$ un $\vec(b)$ skalārajām vērtībām, kas mums ir diezgan piemērotas, tas ir, ar vektoru skalāru. šo vektoru vektora reizinājums būs aplūkojamās figūras laukums.

1. piemērs

Doti vektori $\vec(c)$ ar koordinātām $\(5;3; 7\)$ un vektors $\vec(g)$ ar koordinātām $\(3; 7;10 \)$ Dekarta koordinātēs. Atrodiet paralelograma laukumu, ko veido $\vec(c)$ un $\vec(g)$.

Risinājums:

Atrodiet vektora reizinājumu šiem vektoriem:

$ = \begin(masīvs) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(masīvs) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(masīvs) - j \cdot \begin(masīvs) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(masīvs) + k \cdot \begin(masīvs) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(masīvs) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

Tagad atradīsim iegūtā virziena segmenta modulāro vērtību, tā ir konstruētā paralelograma laukuma vērtība:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34 $.

Šī sprieduma līnija ir derīga ne tikai laukuma atrašanai 3-dimensiju telpā, bet arī divdimensiju telpā. Apskatiet nākamo jautājumu par šo tēmu.

2. piemērs

Aprēķiniet paralelograma laukumu, ja tā ģenerējošie segmenti ir doti ar vektoriem $\vec(m)$ ar koordinātām $\(2; 3\)$ un $\vec(d)$ ar koordinātām $\(-5; 6\)$.

Risinājums:

Šī problēma ir īpašs 1. uzdevuma piemērs, kas atrisināts iepriekš, taču abi vektori atrodas vienā plaknē, kas nozīmē, ka trešo koordinātu $z$ var uzskatīt par nulli.

Apkopojot iepriekš minēto, paralelograma laukums būs:

$S = \begin(masīvs) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(masīvs) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

3. piemērs

Doti vektori $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)=5i$. Atrodiet to paralelograma laukumu.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i - j + k) \times 5i = 15 - 5 + $

Vienkāršosim saskaņā ar doto vienību vektoru tabulu:

1. attēls. Vektora dekompozīcija bāzes izteiksmē. Autors24 - studentu darbu tiešsaistes apmaiņa

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Aprēķina laiks:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Iepriekšējās problēmas bija par vektoriem, kuru koordinātas ir norādītas Dekarta koordinātu sistēmā, bet jāņem vērā arī gadījums, kad leņķis starp bāzes vektoriem atšķiras no $90°$:

4. piemērs

Vektors $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, $\vec(a)$ un $\vec(b)$ garumi ir vienādi un vienāds ar vienu, un leņķis starp $\vec(a)$ un $\vec(b)$ ir 45°.

Risinājums:

Aprēķināsim vektora reizinājumu $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

Vektorproduktiem atbilstoši to īpašībām ir taisnība: $$ un $$ ir vienādi ar nulli, $ = - $.

Izmantosim šo vienkāršošanai:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11 $.

Tagad izmantosim formulu $(1)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5,5 $.