Punkta impulsa moments attiecībā pret asi. Materiāla punkta impulsa moments attiecībā pret centru un asi. Punkta un mehāniskās sistēmas kinētiskais moments
Pirmā punkta leņķiskā impulsa atvasinājums attiecībā pret jebkuru centru ir vienāds ar spēka momentu attiecībā pret to pašu centru:
Projicējot (171) uz taisnstūra Dekarta koordinātu asīm, iegūstam teorēmas par punkta leņķiskā impulsa izmaiņām attiecībā pret šīm koordinātu asīm:
,
,
. (171")
Teorēma par sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņām
Pirmreizējais sistēmas leņķiskā impulsa atvasinājums attiecībā pret jebkuru punktu ir vienāds ar ārējo spēku momentu vektoru summu, kas iedarbojas uz sistēmu attiecībā pret to pašu punktu.
, (172)
Kur 
– visu sistēmas ārējo spēku galvenais moments.
Projicējot (172) uz taisnstūra Dekarta koordinātu asīm, iegūstam teorēmas par sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņām attiecībā pret šīm koordinātu asīm, t.i.
,
,
. (172")
Kinētisko momentu saglabāšanas likumi
1. Ja sistēmas ārējo spēku galvenais moments attiecībā pret punktu 
ir vienāds ar nulli, t.i. 
, tad saskaņā ar (79) sistēmas leņķiskais impulss 
attiecībā pret to pašu punktu ir nemainīgs pēc lieluma un virziena, t.i.
. (173)
Šo īpašo teorēmas gadījumu par sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņām sauc leņķiskā impulsa saglabāšanas likums. Projekcijās uz taisnstūra Dekarta koordinātu asīm saskaņā ar šo likumu
,
,
,
Kur 
,
,
– nemainīgas vērtības.
2. Ja visu sistēmas ārējo spēku momentu summa attiecībā pret asi 
ir vienāds ar nulli, t.i. 
, tad no (172") izriet, ka
. (174)
Tāpēc sistēmas kinētiskais moments attiecībā pret jebkuru koordinātu asi ir nemainīgs, ja ārējo spēku momentu summa attiecībā pret šo asi ir nulle, kas jo īpaši tiek novērots, kad ārējie spēki ir paralēli asij vai šķērso to. Īpaši ķermeņa vai ķermeņu sistēmas gadījumā, kas visi var griezties ap fiksētu asi, un ja tajā pašā laikā
,
, vai 
,
(175)
Kur 
Un 
– ķermeņu sistēmas inerces moments un to leņķiskais ātrums attiecībā pret rotācijas asi patvaļīgā laika momentā 
;
Un 
– ķermeņu inerces moments un to leņķiskais ātrums par sākotnējo izvēlētajā laika momentā.
Diferenciālvienādojums stingra ķermeņa rotācijai ap fiksētu asi
No teorēmas par leņķiskā impulsa izmaiņām (172") izriet diferenciālvienādojums stingra ķermeņa rotācijai ap fiksētu asi 
:
, (176)
Kur 
– korpusa griešanās leņķis.
Vispārīgā gadījumā stingra ķermeņa rotācijas kustības diferenciālvienādojums ļauj atrisināt divas galvenās problēmas: no dotā ķermeņa griešanās noteikt ārējo spēku griezes momentu un no dotā rotācijas momenta un sākuma apstākļiem atrast. ķermeņa rotācija. Risinot otro uzdevumu, lai atrastu griešanās leņķi, nepieciešams integrēt rotācijas kustības diferenciālvienādojumu. Tās integrēšanas metodes ir pilnīgi līdzīgas aplūkotajām metodēm punkta taisnvirziena kustības diferenciālvienādojuma integrēšanai.
Teorēma par sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņām relatīvā kustībā attiecībā pret masas centru
Ļaujiet mehāniskajai sistēmai pārvietoties attiecībā pret galveno koordinātu sistēmu 
. Ņemsim kustīgu koordinātu sistēmu 
ar izcelsmi sistēmas masas centrā 
, pārvietojoties translatīvi attiecībā pret galveno koordinātu sistēmu. Jūs varat pierādīt formulas derīgumu:
Kur 
- masas centra absolūtais ātrums, 
.
Lielums 
ir sistēmas kinētiskais moments attiecībā pret masas centru relatīvai kustībai attiecībā pret koordinātu sistēmu, kas pārvietojas translatīvi kopā ar masas centru, t.i., sistēma 
.
Formula (176) to parāda sistēmas absolūtās kustības leņķiskais impulss attiecībā pret fiksētu punktu 
ir vienāds ar masas centra leņķiskā momenta vektora summu attiecībā pret to pašu punktu, ja visa sistēmas masa būtu koncentrēta masas centrā, un sistēmas leņķisko momentu attiecībā pret masas centru sistēmas relatīvā kustība attiecībā pret kustīgo koordinātu sistēmu, kas pārvietojas translatīvi ar masas centru.
Teorēma par sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņām attiecībā pret masas centru relatīvai kustībai sistēma attiecībā pret koordinātu sistēmu, kas pārvietojas translatīvi ar masas centru; tas ir formulēts tādā pašā veidā, it kā masas centrs būtu fiksēts punkts:
vai 
, (178)
Kur 
ir visu ārējo spēku galvenais moments attiecībā pret masas centru.
Teorēma par sistēmas impulsa izmaiņām
Spēka impulsa jēdziens ļauj formulēt teorēmu par sistēmas impulsa izmaiņām patvaļīgām sistēmām:
kur ir sākotnējais un pēdējais impulss izolētai sistēmai, kas mijiedarbojas ar citām sistēmām tikai ar spēku palīdzību. Faktiski šajā formulējumā impulsa saglabāšanas likums ir līdzvērtīgs otrajam Ņūtona likumam un ir tā integrāls laika gaitā, jo
Teorēma par materiāla punkta leņķiskā impulsa (leņķiskā impulsa) izmaiņām
Apsveriet materiālo aspektu M masa m , pārvietojoties spēka ietekmē F (3.1. attēls). Pierakstīsim un konstruēsim leņķiskā impulsa (kinētiskā impulsa) vektoru M 0 materiāla punkts attiecībā pret centru O :
3.1.attēls
Atšķirsim leņķiskā impulsa (kinētiskā momenta) izteiksmi k 0) pēc laika:
Jo dr /dt = V , tad vektora reizinājums V ⊗ m⋅V (kolineārie vektori V Un m⋅V ) ir vienāds ar nulli. Tajā pašā laikā d(m⋅V) /dt = F saskaņā ar teorēmu par materiāla punkta impulsu. Tāpēc mēs to saņemam
dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)
Kur r ⊗F = M 0 (F) – vektors-spēka moments F attiecībā pret fiksētu centru O . Vektors k 0 ⊥ lidmašīna ( r,m ⊗V ), un vektoru M 0 (F) ⊥ lidmašīna ( r ,F ), mums beidzot ir
dk 0 /dt = M 0 (F) . (3.4)
Vienādojums (3.4) izsaka teorēmu par materiāla punkta leņķiskā impulsa (kinētiskā impulsa) izmaiņām attiecībā pret centru: materiāla punkta impulsa momenta (kinētiskā momenta) laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru fiksētu centru ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz punktu attiecībā pret to pašu centru.
Projicējot vienādību (3.4) uz Dekarta koordinātu asīm, iegūstam
dk x /dt = M x(F); dk g /dt = M g(F); dk z /dt = Mz(F) . (3.5)
Vienādības (3.5) izsaka teorēmu par materiāla punkta leņķiskā impulsa (kinētiskā impulsa) izmaiņām attiecībā pret asi: materiāla punkta impulsa momenta (kinētiskā momenta) laika atvasinājums attiecībā pret jebkuru fiksētu asi ir vienāds ar spēka momentu, kas iedarbojas uz šo punktu attiecībā pret to pašu asi.
Apskatīsim sekas, kas izriet no teorēmas (3.4) un (3.5).
Secinājums 1. Apsveriet gadījumu, kad spēks F visas kustības laikā punkts iet caur stacionāro centru O (centrālā spēka gadījums), t.i. Kad M 0 (F) = 0. Tad no teorēmas (3.4.) izriet, ka k 0 = konst ,
tie. centrālā spēka gadījumā materiāla punkta leņķiskais impulss (kinētiskais moments) attiecībā pret šī spēka centru paliek nemainīgs pēc lieluma un virziena (3.2. attēls).
3.2.attēls
No stāvokļa k 0 = konst no tā izriet, ka kustīga punkta trajektorija ir plakana līkne, kuras plakne iet caur šī spēka centru.
Secinājums 2.Ļaujiet M z(F) = 0, t.i. spēks šķērso asi z vai paralēli tai. Šajā gadījumā, kā redzams no trešā vienādojuma (3.5.), k z = konst ,
tie. ja spēka moments, kas iedarbojas uz punktu attiecībā pret jebkuru fiksētu asi, vienmēr ir nulle, tad punkta leņķiskais impulss (kinētiskais moments) attiecībā pret šo asi paliek nemainīgs.
Impulsa momenta virzienu un lielumu nosaka tieši tāpat kā spēka momenta novērtēšanas gadījumā (1.2.2. sadaļa).
Tajā pašā laikā mēs definējam ( galvenais) leņķiskais impulss kā apskatāmās sistēmas punktu kustību skaita momentu vektora summa. Tam ir arī otrs vārds - kinētiskais moments :
Atradīsim izteiksmes (3.40) laika atvasinājumu, izmantojot divu funkciju reizinājuma diferencēšanas noteikumus, kā arī to, ka summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu (t.i., summas zīme var būt diferenciācijas laikā pārvietots kā koeficients):
.
Ņemsim vērā acīmredzamās kinemātiskās vienādības: 
. Pēc tam: 
. Mēs izmantojam vidējo vienādojumu no formulām (3.26) 
, kā arī faktu, ka divu kolineāru vektoru ( un ) vektorreizinājums ir vienāds ar nulli, mēs iegūstam:
Piemērojot iekšējo spēku īpašību (3.36) 2. terminam, iegūstam izteiksmi teorēmai par mehāniskās sistēmas galvenā impulsa momenta izmaiņām:
 .
| (3.42) |
Kinētiskā momenta laika atvasinājums ir vienāds ar visu sistēmā darbojošos ārējo spēku momentu summu.
Šo formulējumu bieži sauc īsi: momenta teorēma .
Jāņem vērā, ka momentu teorēma ir formulēta fiksētā atskaites sistēmā attiecībā pret noteiktu fiksētu centru O. Ja stingru ķermeni uzskata par mehānisku sistēmu, tad ir ērti izvēlēties centru O uz rotācijas ass. no ķermeņa.
Jāatzīmē viena svarīga momenta teorēmas īpašība (mēs to sniedzam bez atvasināšanas). Momentu teorēma ir patiesa arī translatīvi kustīgā atskaites sistēmā, ja par tās centru ir izvēlēts ķermeņa (mehāniskās sistēmas) masas centrs (punkts C):
Teorēmas formulējums šajā gadījumā paliek praktiski nemainīgs.
Secinājums 1
Lai izteiksmes (3.42) labā puse ir vienāda ar nulli =0, - sistēma ir izolēta. Tad no vienādojuma (3.42) izriet, ka .
Izolētai mehāniskai sistēmai sistēmas kinētiskā momenta vektors laika gaitā nemainās ne virzienā, ne lielumā.
Secinājums 2
Ja kādai izteiksmei (3.44) labā puse ir vienāda ar nulli, piemēram, Oz asij: =0 (daļēji izolēta sistēma), tad no vienādojumiem (3.44) izriet: =const.
Līdz ar to, ja ārējo spēku momentu summa attiecībā pret jebkuru asi ir nulle, tad sistēmas aksiālais kinētiskais moments pa šo asi laika gaitā nemainās.
Iepriekš secinājumos dotie formulējumi ir izteicieni leņķiskā impulsa saglabāšanas likums izolētās sistēmās .
Stingra ķermeņa impulss
Apskatīsim īpašu gadījumu – stingra ķermeņa griešanos ap Oza asi (3.4. att.).
Att.3.4
Punkts uz ķermeņa, kas atdalīts no rotācijas ass ar attālumu h k, griežas plaknē, kas ir paralēla Oxy ar ātrumu . Saskaņā ar aksiālā momenta definīciju mēs izmantojam izteiksmi (1.19), aizstājot projekciju F XY spēks šajā plaknē pēc punkta kustības apjoma 
. Novērtēsim ķermeņa aksiālo kinētisko momentu:
Saskaņā ar Pitagora teorēmu 
, tāpēc (3.46) var uzrakstīt šādi:
 | (3.47) |
Tad izteiksmei (3.45) būs šāda forma:
| (3.48) |
Ja izmantosim leņķiskā impulsa saglabāšanas likumu daļēji izolētai sistēmai (2. secība) attiecībā pret cietu ķermeni (3.48), iegūstam . Šajā gadījumā varat apsvērt divas iespējas:
JAUTĀJUMI PAŠKONTROLEI
1. Kā nosaka rotējoša cieta ķermeņa leņķisko impulsu?
2. Kā aksiālais inerces moments atšķiras no aksiālā kinētiskā momenta?
3. Kā laika gaitā mainās stingra ķermeņa rotācijas ātrums, ja nav ārēju spēku?
Stingra ķermeņa aksiālais inerces moments
Kā redzēsim vēlāk, ķermeņa aksiālajam inerces momentam ir tāda pati nozīme ķermeņa rotācijas kustībā kā ķermeņa masai tā translācijas kustības laikā. Šī ir viena no svarīgākajām ķermeņa īpašībām, kas nosaka ķermeņa inerci tā rotācijas laikā. Kā redzams no definīcijas (3.45), tas ir pozitīvs skalārais lielums, kas ir atkarīgs no sistēmas punktu masām, bet lielākā mērā no punktu attāluma no rotācijas ass.
Cietiem viendabīgiem vienkāršu formu ķermeņiem aksiālā inerces momenta vērtību, tāpat kā masas centra stāvokļa novērtēšanas gadījumā (3.8.), aprēķina ar integrācijas metodi, nevis izmantojot elementāra tilpuma masu. diskrēta masa dm=ρdV:
 | (3.49) |
Uzziņai mēs piedāvājam dažu vienkāršu ķermeņu inerces momentu vērtības:
m un garums l attiecībā pret asi, kas iet perpendikulāri stienim caur tā vidu (3.5. att.).
3.5.att
Plāna viendabīga stieņa ar masu inerces moments m un garums l attiecībā pret asi, kas iet perpendikulāri stienim caur tā galu (3.6. att.).
Att.3.6
Plāna viendabīga masas gredzena inerces moments m un rādiuss R attiecībā pret asi, kas iet caur tās centru perpendikulāri gredzena plaknei (3.7. att.).
Att.3.7
Plāna viendabīga diska ar masu inerces moments m un rādiuss R attiecībā pret asi, kas iet caur tās centru perpendikulāri diska plaknei (3.7. att.).
3.8.att
· Patvaļīgas formas ķermeņa inerces moments.
Patvaļīgas formas ķermeņiem inerces momentu raksta šādā formā:
Kur ρ - ts griešanās rādiuss ķermenis vai noteikta konvencionāla gredzena rādiuss ar masu m, kura aksiālais inerces moments ir vienāds ar dotā ķermeņa inerces momentu.
Huigensa-Šteinera teorēma
Att.3.9
Saistīsim divas paralēlas koordinātu sistēmas ar ķermeni. Pirmo Cx"y"z, kura izcelsme atrodas masas centrā, sauc par centrālo, bet otro Oxyz, kura centrs O atrodas uz Cx" ass attālumā CO = d(3.9. att.). Šajās sistēmās ir viegli izveidot savienojumus starp ķermeņa punktu koordinātām:
Saskaņā ar formulu (3.47) ķermeņa inerces moments attiecībā pret Oza asi:
Šeit koeficienti 2 ir nemainīgi visiem labās puses 2. un 3. summas noteikumiem d Un d izņemtas no attiecīgajām summām. Masu summa trešajā termiņā ir ķermeņa masa. Otrā summa saskaņā ar (3.7) nosaka masas centra C koordinātu uz ass Cx" (), un vienādība ir acīmredzama: . Ņemot vērā, ka 1. termins pēc definīcijas ir moments ķermeņa inerce attiecībā pret centrālo asi Cz" (vai Z C ) 
, mēs iegūstam Huygens-Steinera teorēmas formulējumu:
 | (3.50) |
Ķermeņa inerces moments attiecībā pret noteiktu asi ir vienāds ar ķermeņa inerces momenta summu attiecībā pret paralēlu centrālo asi un ķermeņa masas reizinājumu ar attāluma starp šīm asīm kvadrātu.
JAUTĀJUMI PAŠKONTROLEI
1. Dodiet formulas stieņa, gredzena, diska aksiālajiem inerces momentiem.
2. Atrodiet apaļa cieta cilindra griešanās rādiusu attiecībā pret tā centrālo asi.
Materiālajam punktam dinamikas pamatlikumu var attēlot kā
Reizinot abas šīs attiecības puses kreisajā pusē vektorāli ar rādiusa vektoru (3.9. att.), iegūstam
(3.32)
Šīs formulas labajā pusē ir spēka moments attiecībā pret punktu O. Mēs pārveidojam kreiso pusi, piemērojot vektora reizinājuma atvasinājuma formulu
Bet 
kā paralēlo vektoru vektorreizinājums. Pēc tam mēs saņemam
(3.33)
Pirmais atvasinājums attiecībā uz punkta impulsa momenta laiku attiecībā pret jebkuru centru ir vienāds ar spēka momentu attiecībā pret to pašu centru.
 |
Sistēmas leņķiskā impulsa aprēķināšanas piemērs. Aprēķiniet kinētisko momentu attiecībā pret punktu O sistēmai, kas sastāv no cilindriskas vārpstas ar masu M = 20 kg un rādiusu R = 0,5 m un dilstošās slodzes ar masu m = 60 kg (3.12. attēls). Vārpsta griežas ap Oz asi ar leņķisko ātrumu ω = 10 s -1.
3.12. attēls
; ; 
Dotiem ievades datiem sistēmas leņķiskais impulss
Teorēma par sistēmas leņķiskā impulsa izmaiņām. Mēs pieliekam radušos ārējos un iekšējos spēkus katram sistēmas punktam. Katram sistēmas punktam var pielietot teorēmu par leņķiskā impulsa izmaiņām, piemēram, formā (3.33)
Summējot visus sistēmas punktus un ņemot vērā, ka atvasinājumu summa ir vienāda ar summas atvasinājumu, iegūstam
Nosakot sistēmas kinētisko momentu un ārējo un iekšējo spēku īpašības
Tāpēc iegūto attiecību var attēlot kā
Sistēmas leņķiskā impulsa pirmais atvasinājums attiecībā pret jebkuru punktu ir vienāds ar ārējo spēku galveno momentu, kas iedarbojas uz sistēmu attiecībā pret to pašu punktu.
3.3.5. Spēka darbs
1) Spēka elementārais darbs ir vienāds ar spēka skalāro reizinājumu un spēka pielikšanas punkta vektora diferenciālo rādiusu (3.13. att.)
3.13. attēls
Izteiksmi (3.36) var uzrakstīt arī šādās līdzvērtīgās formās
kur ir spēka projekcija uz spēka pielikšanas punkta ātruma virzienu.
2) Spēka darbs pie galīgās pārvietošanas
Integrējot elementāro spēka darbu, mēs iegūstam šādas izteiksmes spēka darbam galīgajā pārvietojumā no punkta A uz punktu B
3) Pastāvīga spēka darbs
Ja spēks ir nemainīgs, tad no (3.38) tas izriet
Pastāvīga spēka darbs nav atkarīgs no trajektorijas formas, bet ir atkarīgs tikai no spēka pielikšanas punkta nobīdes vektora.
4) Svara spēka darbs
Svara spēkam (3.14. att.) un no (3.39.) iegūstam
3.14. attēls
Ja kustība notiek no punkta B uz punktu A, tad
Vispār
“+” zīme atbilst spēka pielikšanas punkta kustībai uz leju, zīme “-” – uz augšu.
4) Elastīgā spēka darbs
Lai atsperes ass ir vērsta pa x asi (3.15. att.), un atsperes gals virzās no punkta 1 uz punktu 2, tad no (3.38) iegūstam. 
Ja atsperes stīvums ir Ar, tā tad
A 
(3.41)
Ja atsperes gals virzās no punkta 0 uz punktu 1, tad šajā izteiksmē mēs aizstājam , , tad elastīgā spēka darbs iegūs formu
(3.42)
kur ir pavasara pagarinājums.
3.15. attēls
5) Rotējošam ķermenim pieliktā spēka darbs. Šī brīža darbs.
Attēlā 3.16. attēlā parādīts rotējošs ķermenis, kuram tiek pielikts patvaļīgs spēks. Rotācijas laikā šī spēka pielikšanas punkts pārvietojas pa apli.
Dinamika:
Materiālā punkta dinamika
§ 28. Teorēma par materiāla punkta impulsa maiņu. Teorēma par materiāla punkta leņķiskā impulsa izmaiņām
Problēmas ar risinājumiem
28.1. Dzelzceļa vilciens pārvietojas pa horizontālu un taisnu sliežu ceļa posmu. Bremzējot veidojas pretestības spēks, kas vienāds ar 0,1 no vilciena svara. Bremzēšanas brīdī vilciena ātrums ir 20 m/s. Atrodiet bremzēšanas laiku un bremzēšanas ceļu.
RISINĀJUMS
28.2. Smags ķermenis bez sākuma ātruma nolaižas pa nelīdzenu slīpu plakni, veidojot leņķi α=30° ar horizontu. Nosakiet, cik ilgs laiks nepieciešams, lai ķermenis noietu ceļu, kura garums ir l=39,2 m, ja berzes koeficients f=0,2.
RISINĀJUMS
28.3. Vilciens ar masu 4*10^5 kg iebrauc kāpumā i=tg α=0.006 (kur α ir pacelšanās leņķis) ar ātrumu 15 m/s. Berzes koeficients (kopējais pretestības koeficients), vilcienam kustoties, ir 0,005. 50 s pēc vilciena iebraukšanas kāpumā tā ātrums samazinās līdz 12,5 m/s. Atrodiet dīzeļlokomotīves vilces spēku.
RISINĀJUMS
28.4. Nepaplašināmas vītnes MOA galā ir piestiprināts atsvars M, kura daļa OA tiek izlaista caur vertikālu cauruli; svars pārvietojas ap caurules asi pa apli ar rādiusu MC=R, veidojot 120 apgr./min. Lēnām ievelkot vītni OA caurulē, saīsiniet vītnes ārējo daļu līdz garumam OM1, pie kura atsvars apraksta apli ar rādiusu R/2. Cik apgriezienus minūtē svars veic ap šo apli?
RISINĀJUMS
28.5. Piekrauta vilciena masas noteikšanai starp dīzeļlokomotīvēm un vagoniem tika uzstādīts dinamometrs. Vidējais dinamometra rādījums 2 minūtēs izrādījās 10^6 N. Tajā pašā laikā vilciens uzņēma ātrumu 16 m/s (sākumā vilciens stāvēja uz vietas). Atrodiet sastāva masu, ja berzes koeficients ir f=0,02.
RISINĀJUMS
28.6 Kādam jābūt bremzētas automašīnas riteņu berzes koeficientam f uz ceļa, ja pie braukšanas ātruma v=20 m/s tas apstājas 6 s pēc bremzēšanas sākuma?
RISINĀJUMS
28.7 Lode ar masu 20 g izlido no šautenes stobra ar ātrumu v=650 m/s, cauri stobrai izlidojot laikā t=0.00095 s. Nosakiet lodi izmetošo gāzu vidējo spiedienu, ja kanāla šķērsgriezuma laukums ir σ=150 mm^2.
RISINĀJUMS
28.8. Punkts M virzās ap fiksētu centru pievilkšanās spēka ietekmē uz šo centru. Atrodiet ātrumu v2 trajektorijas punktā, kas atrodas vistālāk no centra, ja punkta ātrums tam vistuvākajā pozīcijā ir v1=30 cm/s, un r2 ir piecas reizes lielāks par r1.
RISINĀJUMS
28.9. Atrast visu spēku, kas iedarbojas uz šāviņu, rezultanta impulsu laikā, kad šāviņš pārvietojas no sākuma stāvokļa O uz augstāko pozīciju M. Dots: v0=500 m/s; α0=60°; v1=200 m/s; šāviņa masa 100 kg.
RISINĀJUMS
28.10 Divi asteroīdi M1 un M2 apraksta vienu un to pašu elipsi, kuras fokusā S ir Saule. Attālums starp tiem ir tik mazs, ka elipses loku M1M2 var uzskatīt par taisnas līnijas segmentu. Ir zināms, ka loka M1M2 garums bija vienāds ar a, kad tā vidus atrodas perihēlijā P. Pieņemot, ka asteroīdi pārvietojas ar vienādiem sektoru ātrumiem, nosaka loka M1M2 garumu, kad tā vidus iet caur afēliju A, ja tas ir zināms, ka SP = R1 un SA = R2.
RISINĀJUMS
28.11 40 kg smags zēns stāv uz sporta ragavu skrējējiem, kuru masa ir 20 kg, un stumj katru sekundi ar 20 N*s impulsu. Atrodiet ātrumu, ko ragavas iegūst 15 s, ja berzes koeficients ir f=0,01.
RISINĀJUMS
28.12 Punkts veic vienmērīgu kustību aplī ar ātrumu v=0,2 m/s, veicot pilnu apgriezienu laikā T=4 s. Atrodiet impulsu S spēkiem, kas iedarbojas uz punktu viena puscikla laikā, ja punkta masa ir m=5 kg. Nosakiet spēka F vidējo vērtību.
RISINĀJUMS
28.13. Divi matemātiski svārsti, kas piekārti uz vītnēm, kuru garums ir l1 un l2 (l1>l2), svārstās ar vienādu amplitūdu. Abas svārstas vienlaikus sāka kustēties vienā virzienā no savām galējām novirzītām pozīcijām. Atrodiet nosacījumu, kas jāizpilda garumiem l1 un l2, lai svārsti pēc noteikta laika vienlaicīgi atgrieztos līdzsvara stāvoklī. Nosakiet īsāko laika intervālu T.
RISINĀJUMS
28.14. Lodīte ar masu m, piesieta pie nestiepjama pavediena, slīd pa gludu horizontālu plakni; otrs vītnes gals tiek ievilkts ar nemainīgu ātrumu a plaknē izveidotajā atverē. Nosakiet lodes kustību un vītnes T spriegojumu, ja ir zināms, ka sākotnējā brīdī vītne atrodas taisnā līnijā, attālums starp lodi un caurumu ir vienāds ar R, un vītnes projekcija lodītes sākotnējais ātrums perpendikulāri vītnes virzienam ir vienāds ar v0.
RISINĀJUMS
28.15 Noteikt Saules masu M ar šādiem datiem: Zemes rādiuss R=6,37*106 m, vidējais blīvums 5,5 t/m3, Zemes orbītas puslielā ass a=1,49*10^11 m, laiks Zemes revolūcija ap Sauli T = 365,25 dienas. Universālās gravitācijas spēks starp divām masām, kas vienādas ar 1 kg, 1 m attālumā tiek uzskatītas par vienādu ar gR2/m Н, kur m ir Zemes masa; No Keplera likumiem izriet, ka Zemes pievilkšanās spēks ar Sauli ir vienāds ar 4π2a3m/(T2r2), kur r ir Zemes attālums no Saules.
RISINĀJUMS
28.16. Masas punkts m, kas pakļauts centrālā spēka F darbībai, apraksta lemniskātu r2=a cos 2φ, kur a ir nemainīga vērtība, r ir punkta attālums no spēka centra; sākuma momentā r=r0 punkta ātrums ir vienāds ar v0 un veido leņķi α ar taisni, kas savieno punktu ar spēka centru. Nosakiet spēka F lielumu, zinot, ka tas ir atkarīgs tikai no attāluma r. Pēc Binē formulas F =-(mc2/r2)(d2(1/r)/dφ2+1/r), kur c ir punkta dubultā sektora ātrums.
RISINĀJUMS
28.17 Punkts M, kura masa ir m, virzās tuvu fiksētam centram O spēka F ietekmē, kas izplūst no šī centra un atkarībā tikai no attāluma MO=r. Zinot, ka punkta ātrums v=a/r, kur a ir nemainīga vērtība, atrodiet spēka F lielumu un punkta trajektoriju.
RISINĀJUMS
28.18 Nosakiet tāda punkta kustību, kura masa ir 1 kg centrālā pievilkšanas spēka iedarbībā, kas ir apgriezti proporcionāla punkta attāluma no smaguma centra kubam, ņemot vērā šādus datus: 1 m attālumā , spēks ir 1 N. Sākotnējā brīdī punkta attālums no smaguma centra ir 2 m, ātrums v0=0,5 m/s un veido 45° leņķi ar novilktās taisnes virzienu. centrs uz punktu.
RISINĀJUMS
28.19. Daļiņu M ar masu 1 kg pievelk fiksētam centram O ar spēku, kas ir apgriezti proporcionāls attāluma piektajai pakāpei. Šis spēks ir vienāds ar 8 N 1 m attālumā. Sākotnējā brīdī daļiņa atrodas attālumā OM0 = 2 m, un tās ātrums ir perpendikulārs OM0 un vienāds ar 0,5 m/s. Nosakiet daļiņas trajektoriju.
RISINĀJUMS
28,20 Punkts ar masu 0,2 kg, kas pievilcīgā spēka ietekmē virzās uz stacionāru centru saskaņā ar Ņūtona gravitācijas likumu, apraksta pilnīgu elipsi ar pusasīm 0,1 m un 0,08 m 50 s. Šīs kustības laikā nosakiet pievilcības spēka F lielāko un mazāko vērtību.
RISINĀJUMS
28.21 Matemātiskais svārsts, kura katrs šūpošanās ilgst vienu sekundi, tiek saukts par sekunžu svārstu un tiek izmantots laika skaitīšanai. Atrodiet šī svārsta garumu l, pieņemot, ka gravitācijas paātrinājums ir 981 cm/s2. Kādu laiku šis svārsts rādīs uz Mēness, kur gravitācijas paātrinājums ir 6 reizes mazāks nekā uz Zemes? Kādam garumam l1 jābūt otrajam Mēness svārstam?
RISINĀJUMS
28.22 Kādā Zemes punktā sekunžu svārsts pareizi skaita laiku. Pārceļot uz citu vietu, tas atpaliek par T sekundēm dienā. Nosakiet gravitācijas radīto paātrinājumu sekunžu svārsta jaunajā pozīcijā.