Homogēns

Šajā nodarbībā aplūkosim t.s pirmās kārtas homogēnie diferenciālvienādojumi. Kopā ar atdalāmi vienādojumi Un lineāri nehomogēni vienādojumišāda veida tālvadības pults ir atrodama gandrīz jebkurā testa darbā par difuzoru tēmu. Ja atnācāt uz lapu no meklētājprogrammas vai neesat ļoti pārliecināts, ka saprotat diferenciālvienādojumus, vispirms es ļoti iesaku veikt ievadnodarbību par tēmu - Pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Fakts ir tāds, ka daudzi no viendabīgu vienādojumu risināšanas principiem un izmantotajām metodēm būs tieši tādi paši kā vienkāršākajiem vienādojumiem ar atdalāmiem mainīgajiem.

Kāda ir atšķirība starp homogēniem diferenciālvienādojumiem un cita veida diferenciālvienādojumiem? Vienkāršākais veids, kā to uzreiz izskaidrot, ir ar konkrētu piemēru.

1. piemērs

Risinājums:
Kas Pirmkārt ir jāanalizē, pieņemot lēmumu jebkura diferenciālvienādojums pirmais pasūtījums? Pirmkārt, ir jāpārbauda, ​​vai ir iespējams nekavējoties atdalīt mainīgos lielumus, izmantojot “skolas” darbības? Parasti šī analīze tiek veikta garīgi vai mēģinot atdalīt mainīgos lielumus melnrakstā.

Šajā piemērā mainīgos nevar atdalīt(var mēģināt mest terminus no daļas uz daļu, izcelt faktorus iekavās utt.). Starp citu, šajā piemērā fakts, ka mainīgos lielumus nevar sadalīt, ir diezgan acīmredzams reizinātāja klātbūtnes dēļ.

Rodas jautājums: kā atrisināt šo difūzo problēmu?

Nepieciešams pārbaudīt un Vai šis vienādojums nav viendabīgs?? Pārbaude ir vienkārša, un pašu verifikācijas algoritmu var formulēt šādi:

Sākotnējam vienādojumam:

tā vietā mēs aizstājam, tā vietā mēs aizstājam, mēs nepieskaramies atvasinājumam:

Burts lambda ir nosacīts parametrs, un šeit tam ir šāda loma: ja transformāciju rezultātā ir iespējams “iznīcināt” VISAS lambdas un iegūt sākotnējo vienādojumu, tad šis diferenciālvienādojums. ir viendabīgs.

Ir skaidrs, ka lambdas nekavējoties samazina ar eksponentu:

Tagad labajā pusē mēs izņemam lambda no iekavām:

un sadaliet abas daļas ar šo pašu lambda:

Rezultātā Visi Lambdas pazuda kā sapnis, kā rīta migla, un mēs saņēmām sākotnējo vienādojumu.

Secinājums:Šis vienādojums ir viendabīgs

Kā atrisināt homogēnu diferenciālvienādojumu?

Man ir ļoti labas ziņas. Pilnīgi visus viendabīgos vienādojumus var atrisināt, izmantojot vienu (!) standarta aizstāšanu.

Funkcijai “spēle” jābūt aizvietot strādāt kādu funkciju (atkarīgs arī no “x”) un "x":

Viņi gandrīz vienmēr raksta īsi:

Mēs noskaidrojam, par ko atvasinājums pārvērtīsies ar šādu nomaiņu, mēs izmantojam produkta diferenciācijas noteikumu. Ja tad:

Mēs aizstājam ar sākotnējo vienādojumu:

Ko dos šāda nomaiņa? Pēc šīs nomaiņas un vienkāršošanas mēs garantēta iegūstam vienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem. ATCERIETIES kā pirmā mīlestība :) un attiecīgi .

Pēc aizstāšanas mēs veicam maksimālos vienkāršojumus:

Tā kā funkcija ir atkarīga no “x”, tās atvasinājumu var uzrakstīt kā standarta daļskaitli: .
Tādējādi:

Mēs atdalām mainīgos, savukārt kreisajā pusē ir jāsavāc tikai “te”, bet labajā pusē - tikai “x”:

Mainīgie ir atdalīti, integrēsim:


Saskaņā ar manu pirmo tehnisko padomu no raksta Pirmās kārtas diferenciālvienādojumi, daudzos gadījumos konstanti ieteicams “formulēt” logaritma veidā.

Kad vienādojums ir integrēts, mums ir jāveic apgrieztā nomaiņa, tas ir arī standarta un unikāls:
Ja tad
Šajā gadījumā:

18-19 gadījumos no 20 viendabīga vienādojuma atrisinājums tiek uzrakstīts kā vispārējs integrālis.

Atbilde: vispārējais integrālis:

Kāpēc atbilde uz viendabīgu vienādojumu gandrīz vienmēr tiek sniegta vispārējā integrāļa veidā?
Vairumā gadījumu nav iespējams skaidri izteikt “spēli” (lai iegūtu vispārīgu risinājumu), un, ja tas ir iespējams, tad visbiežāk vispārējais risinājums izrādās apgrūtinošs un neveikls.

Tātad, piemēram, aplūkotajā piemērā vispārīgu risinājumu var iegūt, nosverot logaritmus abās vispārējā integrāļa pusēs:

- Nu, viss kārtībā. Lai gan, jums jāatzīst, tas joprojām ir nedaudz greizs.

Starp citu, šajā piemērā es ne visai “pieklājīgi” pierakstīju vispārējo integrāli. Tā nav kļūda, bet “labā” stilā atgādinu, ka vispārīgo integrāli parasti raksta formā . Lai to izdarītu, tūlīt pēc vienādojuma integrēšanas konstante jāuzraksta bez logaritma (šeit ir noteikuma izņēmums!):

Un pēc apgrieztās aizstāšanas iegūstiet vispārējo integrāli “klasiskā” formā:

Saņemto atbildi var pārbaudīt. Lai to izdarītu, jums ir jānošķir vispārējais integrālis, tas ir, jāatrod netieši norādītas funkcijas atvasinājums:

Mēs atbrīvojamies no daļām, reizinot katru vienādojuma pusi ar:

Ir iegūts sākotnējais diferenciālvienādojums, kas nozīmē, ka risinājums ir atrasts pareizi.

Ieteicams vienmēr pārbaudīt. Bet viendabīgi vienādojumi ir nepatīkami ar to, ka parasti ir grūti pārbaudīt to vispārējos integrāļus - tas prasa ļoti, ļoti pieklājīgu diferenciācijas paņēmienu. Aplūkotajā piemērā verifikācijas laikā jau bija jāatrod ne tie vienkāršākie atvasinājumi (lai gan pats piemērs ir diezgan vienkāršs). Ja varat pārbaudīt, pārbaudiet!

Šis piemērs ir paredzēts, lai jūs atrisinātu patstāvīgi, lai jūs justos apmierināti ar darbību algoritmu:

2. piemērs

Pārbaudiet vienādojuma viendabīgumu un atrodiet tā vispārējo integrāli.

Ierakstiet atbildi veidlapā, veiciet pārbaudi.

Arī šeit tā izrādījās diezgan vienkārša pārbaude.

Un tagad apsolītais svarīgais punkts, kas minēts tēmas pašā sākumā,
Es izcelšu trekniem melniem burtiem:

Ja transformāciju laikā mēs “atiestatām” reizinātāju (nav konstante)saucējā, tad RISKA pazaudēt risinājumus!

Un patiesībā mēs ar to saskārāmies pirmajā piemērā ievadstunda par diferenciālvienādojumiem. Vienādojuma risināšanas procesā "y" izrādījās saucējā: , bet, acīmredzot, ir DE atrisinājums un nevienlīdzīgas transformācijas (dalīšanas) rezultātā ir visas iespējas to zaudēt! Vēl viena lieta ir tā, ka tas tika iekļauts vispārējā risinājumā konstantes nulles vērtībā. Var ignorēt arī “X” atiestatīšanu saucējā, jo neatbilst oriģinālajam difuzoram.

Līdzīgs stāsts ar tās pašas nodarbības trešo vienādojumu, kura risināšanas laikā “iekritām” saucējā. Stingri sakot, šeit bija jāpārbauda, ​​vai šis difuzors ir risinājums? Galu galā tā ir! Bet pat šeit “viss izrādījās labi”, jo šī funkcija tika iekļauta vispārējā integrālī plkst.

Un, ja tas bieži darbojas ar “atdalāmiem” vienādojumiem, tad ar viendabīgiem un dažiem citiem difuzoriem tas var nedarboties. Ļoti iespējams.

Analizēsim šajā nodarbībā jau atrisinātās problēmas: in Piemēri 1-2 Arī X “atiestatīšana” izrādījās droša, jo ir un , un tāpēc uzreiz skaidrs, ka tas nevar būt risinājums. Turklāt iekšā 2. piemērs izrādījās saucējā, un šeit mēs riskējām zaudēt funkciju, kas acīmredzami apmierina vienādojumu . Tomēr arī šeit tas “pagāja garām”, jo... tas ienāca vispārējā integrālī pie konstantes nulles vērtības.

Bet, protams, es ar nolūku radīju “laimīgus gadījumus”, un tas nav fakts, ka praksē nāksies saskarties ar šādiem gadījumiem:

3. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu

Vai tas nav vienkāršs piemērs? ;-)

Risinājums:šī vienādojuma viendabīgums ir acīmredzams, bet tomēr - uz pirmā soļa Mēs VIENMĒR pārbaudām, vai ir iespējams atdalīt mainīgos. Jo arī vienādojums ir viendabīgs, taču tajā esošie mainīgie ir viegli atdalāmi. Jā, tādi ir!

Pēc “atdalāmības” pārbaudes mēs veicam nomaiņu un pēc iespējas vienkāršojam vienādojumu:

Mēs atdalām mainīgos, savācam “te” kreisajā pusē un “x” labajā pusē:

Un šeit STOP. Dalot ar, mēs riskējam uzreiz zaudēt divas funkcijas. Kopš , šīs ir funkcijas:

Pirmā funkcija acīmredzami ir vienādojuma risinājums . Mēs pārbaudām otro - mēs arī aizstājam tā atvasinājumu mūsu difuzorā:

– tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka funkcija ir arī risinājums.

UN mēs riskējam zaudēt šos lēmumus.

Turklāt saucējs izrādījās “X”, un tāpēc noteikti pārbaudiet, nav sākotnējā diferenciālvienādojuma risinājums. Nē nav.

Ņemsim to visu vērā un turpināsim:

Jāsaka, man paveicās ar kreisās puses integrāli, var būt daudz sliktāk.

Labajā pusē savācam vienu logaritmu un noņemam važas:

Un tagad tikai apgrieztā aizstāšana:

Reizināsim visus vārdus ar:

Tagad jums vajadzētu pārbaudīt - vai “bīstamie” risinājumi tika iekļauti vispārējā integrālī. Jā, abi risinājumi tika iekļauti vispārējā integrālī pie konstantes nulles vērtības: , tāpēc tie nav papildus jānorāda atbildi:

vispārējais integrālis:

Pārbaude. Pat ne pārbaudījums, bet tīrs prieks :)

Ir iegūts sākotnējais diferenciālvienādojums, kas nozīmē, ka risinājums ir atrasts pareizi.

Lai to atrisinātu pats:

4. piemērs

Veikt homogenitātes pārbaudi un atrisināt diferenciālvienādojumu

Pārbaudiet vispārējo integrāli, diferencējot.

Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Apskatīsim vēl pāris tipiskus piemērus:

5. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu

Risinājums Pieradīsim to veidot kompaktāk. Pirmkārt, garīgi vai uz melnraksta, mēs pārliecināmies, ka šeit nevar atdalīt mainīgos, pēc tam mēs veicam viendabīguma pārbaudi - parasti tas netiek veikts galīgajam uzmetumam. (ja vien tas nav īpaši pieprasīts). Tādējādi risinājums gandrīz vienmēr sākas ar ierakstu: “ Šis vienādojums ir viendabīgs, aizstāsim: ...».

Nomaiņa, un mēs ejam pa ceļu:

“X” šeit ir piemērots, bet kā ar kvadrātisko trinomu? Tā kā tas nav sadalāms faktoros: , tad risinājumus noteikti nezaudējam. Tas vienmēr būtu šādi! Kreisajā pusē atlasiet visu kvadrātu un integrējiet:

Šeit nekas nav jāvienkāršo, un tāpēc ir apgrieztā aizstāšana:

Atbilde: vispārējais integrālis:

Šis neatkarīga risinājuma piemērs:

6. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu

Šķiet, ka vienādojumi ir līdzīgi, bet nē - liela atšķirība;)

Un tagad jautrība sākas! Vispirms izdomāsim, ko darīt, ja viendabīgs vienādojums ir dots ar gataviem diferenciāļiem:

7. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu

Šis ir ļoti interesants piemērs, vesels trilleris!

Risinājums: ja viendabīgs vienādojums satur gatavus diferenciāļus, tad to var atrisināt ar modificētu aizstāšanu:

Bet es neiesaku izmantot šādu aizstāšanu, jo tas izrādīsies Lielais Ķīnas diferenciāļu mūris, kur jums ir vajadzīga acs un acs. No tehniskā viedokļa izdevīgāk ir pāriet uz atvasinājuma apzīmējumu “pārtraukts”, lai to izdarītu, abas vienādojuma puses sadalām ar:

Un šeit mēs jau esam veikuši "bīstamu" pārvērtību! Nulles diferenciālis atbilst taisnu līniju saimei, kas ir paralēla asij. Vai tās ir mūsu DU saknes? Aizstāsim ar sākotnējo vienādojumu:

Šī vienlīdzība ir spēkā, ja, tas ir, dalot ar mēs riskējām zaudēt risinājumu, un mēs viņu pazaudējām- kopš tā laika vairs neapmierina iegūtais vienādojums .

Jāpiebilst, ja mēs sākotnēji vienādojums tika dots , tad par sakni nerunātu. Bet mums tas ir, un mēs to noķērām laikus.

Mēs turpinām risinājumu ar standarta nomaiņu:
:

Pēc aizstāšanas mēs pēc iespējas vienkāršojam vienādojumu:

Mēs atdalām mainīgos:

Un šeit atkal STOP: dalot ar mēs riskējam zaudēt divas funkcijas. Kopš , šīs ir funkcijas:

Acīmredzot pirmā funkcija ir vienādojuma risinājums . Mēs pārbaudām otro - mēs arī aizstājam tā atvasinājumu:

– saņemts patiesa vienlīdzība, kas nozīmē, ka funkcija ir arī diferenciālvienādojuma risinājums.

Un, dalot ar, mēs riskējam zaudēt šos risinājumus. Tomēr tie var iekļūt vispārējā integrālī. Bet viņi var neienākt

Ņemsim to vērā un integrēsim abas daļas:

Kreisās puses integrālis tiek atrisināts standarta veidā, izmantojot izceļot pilnīgu kvadrātu, taču to ir daudz ērtāk izmantot difuzoros nenoteikto koeficientu metode:

Izmantojot nenoteikto koeficientu metodi, integrandu izvēršam elementāro daļu summā:


Tādējādi:

Integrāļu atrašana:

– tā kā esam zīmējuši tikai logaritmus, tad arī konstanti nospiežam zem logaritma.

Pirms nomaiņas atkal vienkāršojot visu, ko var vienkāršot:

Ķēžu atiestatīšana:

Un apgrieztā aizstāšana:

Tagad atcerēsimies par "pazaudētajām lietām": risinājums tika iekļauts vispārējā integrālī plkst, bet tas "lidoja garām kasei", jo izrādījās saucējs. Tāpēc atbildē tai tiek piešķirta atsevišķa frāze, un jā - neaizmirstiet par zaudēto risinājumu, kas, starp citu, arī izrādījās zemāk.

Atbilde: vispārējais integrālis: . Vairāk risinājumu:

Šeit nav tik grūti izteikt vispārējo risinājumu:
, bet šī jau ir izrādīšanās.

Ērts tomēr pārbaudei. Atradīsim atvasinājumu:

un aizstājējs vienādojuma kreisajā pusē:

– rezultātā tika iegūta vienādojuma labā puse, kas bija jāpārbauda.

Tagad meklējumi ar saknēm, tas ir arī izplatīts un ļoti mānīgs gadījums:

8. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu

Risinājums: mutiski pārliecinieties, ka vienādojums ir viendabīgs, un aizstājiet pirmo mīlestību sākotnējā vienādojumā:

Un briesmas mūs sagaida jau šeit. Lieta ir tāda, un šo faktu ir ļoti viegli aizmirst:

Laimīgu paaugstinājumu!

Risinājumi un atbildes:

2. piemērs: Risinājums: Pārbaudīsim vienādojuma viendabīgumu šim nolūkam sākotnējā vienādojumā tā vietā aizstāsim , un tā vietā aizstāsim:

Rezultātā tiek iegūts sākotnējais vienādojums, kas nozīmē, ka šis DE ir viendabīgs.

Gatavās atbildes uz homogēnu diferenciālvienādojumu piemēriem Daudzi studenti meklē pirmo secību (mācībā visizplatītākie ir 1. kārtas kontrolieri), tad jūs varat tos detalizēti analizēt. Bet pirms pāriet pie piemēru apsvēršanas, iesakām rūpīgi izlasīt īso teorētisko materiālu.
Tiek izsaukti vienādojumi formā P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, kur funkcijas P(x,y) un Q(x,y) ir vienādas kārtas viendabīgas funkcijas. homogēns diferenciālvienādojums(ODR).

Shēma homogēna diferenciālvienādojuma risināšanai

1. Vispirms jāpielieto aizstāšana y=z*x, kur z=z(x) ir jauna nezināma funkcija (tādējādi sākotnējais vienādojums tiek reducēts uz diferenciālvienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem).
2. Produkta atvasinājums ir vienāds ar y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z vai diferenciāļos dy=d(zx)=z*dx+ x*dz.
3. Tālāk mēs aizstājam jauno funkciju y un tās atvasinājumu y" (vai dy) ar DE ar atdalāmiem mainīgajiem attiecībā pret x un z.
4. Atrisinot diferenciālvienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem, veicam apgrieztās izmaiņas y=z*x, tātad z= y/x, un iegūstam diferenciālvienādojuma vispārīgais risinājums (vispārējais integrālis)..
5. Ja ir dots sākotnējais nosacījums y(x 0)=y 0, tad mēs atrodam konkrētu Košī problēmas risinājumu. Teorētiski tas izklausās vienkārši, taču praksē ne visiem ir tik jautri risināt diferenciālvienādojumus. Tāpēc, lai padziļinātu savas zināšanas, apskatīsim izplatītākos piemērus. Nav daudz ko mācīt par viegliem uzdevumiem, tāpēc pāriesim pie sarežģītākiem.

Pirmās kārtas homogēno diferenciālvienādojumu aprēķini

1. piemērs.

Risinājums: Sadaliet vienādojuma labo pusi ar mainīgo, kas ir faktors blakus atvasinājumam. Rezultātā mēs nonākam pie homogēns 0. kārtas diferenciālvienādojums

Un šeit, iespējams, daudzi cilvēki sāka interesēties, kā noteikt viendabīga vienādojuma funkcijas secību?
Jautājums ir diezgan būtisks, un atbilde uz to ir šāda:
labajā pusē funkcijas un argumenta vietā aizstājam vērtību t*x, t*y. Vienkāršojot, parametrs “t” tiek iegūts līdz noteiktai pakāpei k, ko sauc par vienādojuma secību. Mūsu gadījumā tiks samazināts "t", kas ir līdzvērtīgs 0. pakāpei vai homogēna vienādojuma nulles kārta.
Tālāk labajā pusē varam pāriet uz jauno mainīgo y=zx; z=y/x.
Tajā pašā laikā neaizmirstiet izteikt “y” atvasinājumu, izmantojot jaunā mainīgā atvasinājumu. Pēc detaļu noteikuma mēs atrodam

Vienādojumi diferenciāļos pieņems formu

Mēs atceļam vispārīgos noteikumus labajā un kreisajā pusē un pārejam pie diferenciālvienādojums ar atdalītiem mainīgajiem.

Integrēsim abas DE puses

Turpmāko pārveidojumu ērtībai mēs nekavējoties ievadām konstanti zem logaritma

Saskaņā ar logaritmu īpašībām iegūtais logaritmiskais vienādojums ir līdzvērtīgs sekojošajam

Šis ieraksts vēl nav risinājums (atbilde), ir jāatgriežas pie veiktās mainīgo aizstāšanas

Tādā veidā viņi atrod diferenciālvienādojumu vispārējs risinājums. Ja uzmanīgi izlasījāt iepriekšējās nodarbības, tad teicām, ka vienādojumu aprēķināšanas shēmu ar atdalītiem mainīgajiem var izmantot brīvi un šāda veida vienādojumi būs jāaprēķina sarežģītākiem tālvadības pults veidiem.

2. piemērs. Atrodiet diferenciālvienādojuma integrāli

Risinājums: Homogēno un kombinēto vadības sistēmu aprēķināšanas shēma tagad jums ir pazīstama. Mēs pārvietojam mainīgo uz vienādojuma labo pusi, kā arī izņemam x 2 skaitītājā un saucējā kā kopējo faktoru

Tādējādi mēs iegūstam homogēnu nulles kārtas diferenciālvienādojumu.
Nākamais solis ir ieviest mainīgo z=y/x, y=z*x aizstāšanu, ko mēs jums pastāvīgi atgādināsim, lai jūs to iegaumētu.

Pēc tam mēs ierakstām tālvadības pulti diferenciāļos

Tālāk mēs pārveidojam atkarību uz diferenciālvienādojums ar atdalītiem mainīgajiem

un mēs to risinām ar integrāciju.

Integrāļi ir vienkārši, pārējās transformācijas tiek veiktas, pamatojoties uz logaritma īpašībām. Pēdējais solis ietver logaritma atklāšanu. Visbeidzot mēs atgriežamies pie sākotnējās nomaiņas un ierakstām to veidlapā

Konstante "C" var iegūt jebkuru vērtību. Ikvienam, kurš mācās neklātienē, ir problēmas ar šāda veida vienādojumiem eksāmenos, tāpēc, lūdzu, uzmanīgi ieskatieties un atcerieties aprēķinu diagrammu.

3. piemērs. Atrisiniet diferenciālvienādojumu

Risinājums: Kā izriet no iepriekš minētās metodoloģijas, tiek atrisināti šāda veida diferenciālvienādojumi ieviešot jaunu mainīgo. Pārrakstīsim atkarību tā, lai atvasinājums būtu bez mainīgā

Tālāk, analizējot labo pusi, redzam, ka fragments -ee ir sastopams visur un apzīmē to kā jaunu nezināmo
z=y/x, y=z*x .
y atvasinājuma atrašana

Ņemot vērā aizstāšanu, formā pārrakstām sākotnējo DE

Mēs vienkāršojam identiskos terminus un visus iegūtos reducējam uz DE ar atdalītiem mainīgajiem

Integrējot abas vienlīdzības puses

mēs nonākam pie risinājuma logaritmu veidā

Atklājot atrastās atkarības diferenciālvienādojuma vispārīgs risinājums

kas pēc sākotnējās mainīgo maiņas aizvietošanas tajā iegūst formu

Šeit C ir konstante, ko var sīkāk noteikt no Košī nosacījuma. Ja Košī problēma nav norādīta, tā iegūst patvaļīgu reālo vērtību.
Tā ir visa gudrība homogēno diferenciālvienādojumu aprēķināšanā.

Šajā rakstā aplūkosim viendabīgu trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodi.

Homogēniem trigonometriskajiem vienādojumiem ir tāda pati struktūra kā jebkura cita veida viendabīgiem vienādojumiem. Atgādināšu otrās pakāpes viendabīgu vienādojumu risināšanas metodi:

Apskatīsim homogēnus formas vienādojumus

Homogēnu vienādojumu atšķirīgās iezīmes:

a) visiem monomiem ir vienāda pakāpe,

b) brīvais termiņš ir nulle,

c) vienādojumā ir pakāpes ar divām dažādām bāzēm.

Homogēni vienādojumi tiek atrisināti, izmantojot līdzīgu algoritmu.

Lai atrisinātu šāda veida vienādojumu, mēs sadalām abas vienādojuma puses ar (var dalīt ar vai ar)

Uzmanību! Sadalot vienādojuma labo un kreiso pusi ar izteiksmi, kas satur nezināmu, jūs varat zaudēt saknes. Tāpēc ir jāpārbauda, ​​vai izteiksmes saknes, ar kurām mēs sadalām abas vienādojuma puses, ir sākotnējā vienādojuma saknes.

Ja tā ir, tad mēs pierakstām šo sakni, lai neaizmirstam par to vēlāk, un pēc tam sadalām izteiksmi ar šo.

Kopumā pirmā lieta, kas jādara, risinot jebkuru vienādojumu, kura labajā pusē ir nulle, ir mēģināt faktorēt vienādojuma kreiso pusi jebkurā pieejamā veidā. Un tad pielīdziniet katru koeficientu nullei. Šajā gadījumā mēs noteikti nezaudēsim saknes.

Tātad, uzmanīgi sadaliet vienādojuma kreiso pusi izteiksmes terminā pēc termina. Mēs iegūstam:

Samazināsim otrās un trešās daļas skaitītāju un saucēju:

Iepazīstinām ar nomaiņu:

Mēs iegūstam kvadrātvienādojumu:

Atrisināsim kvadrātvienādojumu, atradīsim vērtības un pēc tam atgriezīsimies pie sākotnējā nezināmā.

Risinot viendabīgus trigonometriskos vienādojumus, ir jāatceras vairākas svarīgas lietas:

1. Manekena terminu var pārvērst sinusa un kosinusa kvadrātā, izmantojot pamata trigonometrisko identitāti:

2. Dubulta argumenta sinuss un kosinuss ir otrās pakāpes monomi - dubultargumenta sinusu var viegli pārvērst sinusa un kosinusa reizinājumā, bet dubultargumenta kosinusu – sinusa vai kosinusa kvadrātā:

Apskatīsim vairākus homogēnu trigonometrisko vienādojumu risināšanas piemērus.

1 . Atrisināsim vienādojumu:

Šis ir klasisks pirmās pakāpes viendabīga trigonometriskā vienādojuma piemērs: katra monoma pakāpe ir vienāda ar vienu, pārtveršanas termins ir vienāds ar nulli.

Pirms abas vienādojuma puses dalāt ar , jums jāpārbauda, ​​vai vienādojuma saknes nav sākotnējā vienādojuma saknes. Pārbaudām: if , then title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Sadalīsim abas vienādojuma puses ar .

Mēs iegūstam:

, Kur

, Kur

Atbilde: , Kur

2. Atrisināsim vienādojumu:

Šis ir homogēna otrās pakāpes trigonometriskā vienādojuma piemērs. Mēs atceramies, ka, ja mēs varam faktorēt vienādojuma kreiso pusi, tad ir ieteicams to darīt. Šajā vienādojumā mēs varam ievietot . Darīsim to:

Pirmā vienādojuma atrisinājums: , kur

Otrais vienādojums ir homogēns pirmās pakāpes trigonometriskais vienādojums. Lai to atrisinātu, sadaliet abas vienādojuma puses ar . Mēs iegūstam:

Atbilde: , kur ,

3. Atrisināsim vienādojumu:

Lai šis vienādojums “kļūtu” viendabīgs, mēs to pārveidojam par reizinājumu un uzrāda skaitli 3 kā sinusa un kosinusa kvadrātu summu:

Pārvietosim visus terminus pa kreisi, atveram iekavas un parādīsim līdzīgus terminus. Mēs iegūstam:

Faktorizēsim kreiso pusi un iestatīsim katru koeficientu vienādu ar nulli:

Atbilde: , kur ,

4 . Atrisināsim vienādojumu:

Mēs redzam, ko mēs varam izņemt no iekavām. Darīsim to:

Pielīdzināsim katru koeficientu nullei:

Pirmā vienādojuma risinājums:

Otrais populācijas vienādojums ir klasisks homogēns otrās pakāpes vienādojums. Vienādojuma saknes nav sākotnējā vienādojuma saknes, tāpēc mēs sadalām abas vienādojuma puses ar:

Pirmā vienādojuma risinājums:

Otrā vienādojuma atrisinājums.

Es domāju, ka mums vajadzētu sākt ar tāda krāšņa matemātiskā instrumenta kā diferenciālvienādojumi vēsturi. Tāpat kā visus diferenciālos un integrālos aprēķinus, arī šos vienādojumus 17. gadsimta beigās izgudroja Ņūtons. Viņš uzskatīja, ka šis konkrētais viņa atklājums ir tik svarīgs, ka viņš pat šifrēja ziņojumu, ko mūsdienās var tulkot apmēram šādi: "Visi dabas likumi ir aprakstīti ar diferenciālvienādojumiem." Tas var šķist pārspīlēts, bet tā ir. Jebkuru fizikas, ķīmijas, bioloģijas likumu var aprakstīt ar šiem vienādojumiem.

Matemātiķi Eilers un Lagranžs sniedza milzīgu ieguldījumu diferenciālvienādojumu teorijas izstrādē un izveidē. Jau 18. gadsimtā viņi atklāja un attīstīja to, ko tagad studē vecāko augstskolu kursos.

Pateicoties Anrī Puankarē, sākās jauns pavērsiens diferenciālvienādojumu izpētē. Viņš izveidoja “diferenciālvienādojumu kvalitatīvo teoriju”, kas apvienojumā ar kompleksa mainīgā funkciju teoriju sniedza būtisku ieguldījumu topoloģijas - zinātnes par telpu un tās īpašībām - dibināšanā.

Kas ir diferenciālvienādojumi?

Daudzi cilvēki baidās no vienas frāzes, tomēr šajā rakstā mēs detalizēti izklāstīsim šī ļoti noderīgā matemātiskā aparāta būtību, kas patiesībā nav tik sarežģīta, kā šķiet pēc nosaukuma. Lai sāktu runāt par pirmās kārtas diferenciālvienādojumiem, vispirms jāiepazīstas ar pamatjēdzieniem, kas pēc būtības ir saistīti ar šo definīciju. Un mēs sāksim ar diferenciāli.

Diferenciāls

Daudzi cilvēki šo jēdzienu zina kopš skolas laikiem. Tomēr apskatīsim to tuvāk. Iedomājieties funkcijas grafiku. Mēs varam to palielināt līdz tādam līmenim, ka jebkurš tā segments ieņems taisnas līnijas formu. Ņemsim divus punktus, kas atrodas bezgalīgi tuvu viens otram. Atšķirība starp to koordinātām (x vai y) būs bezgalīgi maza. To sauc par diferenciāli un apzīmē ar zīmēm dy (y diferenciālis) un dx (x diferenciālis). Ir ļoti svarīgi saprast, ka diferenciālis nav galīgs lielums, un tā ir tā nozīme un galvenā funkcija.

Tagad mums jāapsver nākamais elements, kas mums noderēs, izskaidrojot diferenciālvienādojuma jēdzienu. Šis ir atvasinājums.

Atvasinājums

Mēs visi droši vien dzirdējām šo jēdzienu skolā. Tiek uzskatīts, ka atvasinājums ir ātrums, ar kādu funkcija palielinās vai samazinās. Tomēr no šīs definīcijas daudz kas kļūst neskaidrs. Mēģināsim izskaidrot atvasinājumu caur diferenciāļiem. Atgriezīsimies pie bezgalīgi maza funkcijas segmenta ar diviem punktiem, kas atrodas minimālā attālumā viens no otra. Bet pat šajā attālumā funkcijai izdodas mainīties. Un, lai aprakstītu šīs izmaiņas, viņi nāca klajā ar atvasinājumu, ko citādi var uzrakstīt kā diferenciāļu attiecību: f(x)"=df/dx.

Tagad ir vērts apsvērt atvasinājuma pamatīpašības. Ir tikai trīs no tiem:

1. Summas vai starpības atvasinājumu var attēlot kā atvasinājumu summu vai starpību: (a+b)"=a"+b" un (a-b)"=a"-b".
2. Otrais īpašums ir saistīts ar reizināšanu. Produkta atvasinājums ir vienas funkcijas reizinājumu summa un citas funkcijas atvasinājums: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Starpības atvasinājumu var uzrakstīt kā šādu vienādību: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Visas šīs īpašības mums noderēs, lai atrastu risinājumus pirmās kārtas diferenciālvienādojumiem.

Ir arī daļēji atvasinājumi. Pieņemsim, ka mums ir funkcija z, kas ir atkarīga no mainīgajiem x un y. Lai aprēķinātu šīs funkcijas daļējo atvasinājumu, piemēram, attiecībā uz x, mums ir jāņem mainīgais y kā konstante un vienkārši jādiferencē.

Integrāls

Vēl viens svarīgs jēdziens ir neatņemams. Faktiski tas ir tieši pretējs atvasinājumam. Ir vairāki integrāļu veidi, bet, lai atrisinātu vienkāršākos diferenciālvienādojumus, mums ir nepieciešami vistriviālākie

Tātad, pieņemsim, ka mums ir zināma f atkarība no x. Mēs ņemam no tā integrāli un iegūstam funkciju F(x) (bieži saukta par antiatvasinājumu), kuras atvasinājums ir vienāds ar sākotnējo funkciju. Tādējādi F(x)"=f(x). No tā arī izriet, ka atvasinājuma integrālis ir vienāds ar sākotnējo funkciju.

Risinot diferenciālvienādojumus, ir ļoti svarīgi saprast integrāļa nozīmi un funkciju, jo, lai atrastu risinājumu, tie būs jāizmanto ļoti bieži.

Vienādojumi atšķiras atkarībā no to rakstura. Nākamajā sadaļā mēs apskatīsim pirmās kārtas diferenciālvienādojumu veidus un pēc tam uzzināsim, kā tos atrisināt.

Diferenciālvienādojumu klases

"Difūras" iedala pēc tajos iesaistīto atvasinājumu secības. Tādējādi ir pirmā, otrā, trešā un vairāk kārtība. Tos var arī iedalīt vairākās klasēs: parastie un daļējie atvasinājumi.

Šajā rakstā mēs aplūkosim pirmās kārtas parastos diferenciālvienādojumus. Mēs arī apspriedīsim piemērus un veidus, kā tos atrisināt nākamajās sadaļās. Mēs apsvērsim tikai ODE, jo tie ir visizplatītākie vienādojumu veidi. Parastās iedala pasugās: ar atdalāmiem mainīgajiem, viendabīgās un neviendabīgās. Tālāk jūs uzzināsit, kā tie atšķiras viens no otra, un uzzināsiet, kā tos atrisināt.

Turklāt šos vienādojumus var apvienot tā, lai mēs iegūtu pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu. Mēs arī apsvērsim šādas sistēmas un uzzināsim, kā tās atrisināt.

Kāpēc mēs apsveram tikai pirmo pasūtījumu? Jo jāsāk ar kaut ko vienkāršu, un visu, kas saistīts ar diferenciālvienādojumiem, vienā rakstā vienkārši nav iespējams aprakstīt.

Atdalāmi vienādojumi

Šie, iespējams, ir vienkāršākie pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Tie ietver piemērus, kurus var uzrakstīt šādi: y"=f(x)*f(y). Lai atrisinātu šo vienādojumu, mums ir nepieciešama formula atvasinājuma attēlošanai kā diferenciāļu attiecība: y"=dy/dx. Izmantojot to, mēs iegūstam šādu vienādojumu: dy/dx=f(x)*f(y). Tagad varam pievērsties standarta piemēru risināšanas metodei: sadalīsim mainīgos daļās, tas ir, visu ar mainīgo y pārvietosim uz daļu, kurā atrodas dy, un darīsim to pašu ar mainīgo x. Iegūstam vienādojumu formā: dy/f(y)=f(x)dx, kuru atrisina, ņemot abu pušu integrāļus. Neaizmirstiet par konstanti, kas jāiestata pēc integrāļa uzņemšanas.

Jebkuras “diffures” risinājums ir x atkarības funkcija no y (mūsu gadījumā) vai, ja ir skaitlisks nosacījums, tad atbilde skaitļa formā. Apskatīsim visu risinājuma procesu, izmantojot konkrētu piemēru:

Pārvietosim mainīgos dažādos virzienos:

Tagad ņemsim integrāļus. Tos visus var atrast īpašā integrāļu tabulā. Un mēs iegūstam:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Ja nepieciešams, mēs varam izteikt "y" kā funkciju no "x". Tagad mēs varam teikt, ka mūsu diferenciālvienādojums ir atrisināts, ja nosacījums nav norādīts. Var norādīt nosacījumu, piemēram, y(n/2)=e. Tad mēs vienkārši aizstājam šo mainīgo vērtības risinājumā un atrodam konstantes vērtību. Mūsu piemērā tas ir 1.

Pirmās kārtas homogēnie diferenciālvienādojumi

Tagad pāriesim pie grūtākās daļas. Pirmās kārtas homogēnos diferenciālvienādojumus vispārīgā formā var uzrakstīt šādi: y"=z(x,y). Jāņem vērā, ka divu mainīgo labās puses funkcija ir viendabīga, un to nevar sadalīt divās atkarībās : z uz x un z uz y. Pārbaudīt , vai vienādojums ir vai nav viendabīgs, ir pavisam vienkārši: aizstājam x=k*x un y=k*y. Tagad atceļam visus k. Ja visi šie burti ir atcelti , tad vienādojums ir viendabīgs un var droši sākt to risināt.Raugoties uz priekšu , teiksim: arī šo piemēru risināšanas princips ir ļoti vienkāršs.

Mums ir jāveic aizstāšana: y=t(x)*x, kur t ir noteikta funkcija, kas arī ir atkarīga no x. Tad varam izteikt atvasinājumu: y"=t"(x)*x+t. To visu aizstājot mūsu sākotnējā vienādojumā un vienkāršojot, mēs iegūstam piemēru ar atdalāmiem mainīgajiem t un x. Mēs to atrisinām un iegūstam atkarību t(x). Kad mēs to saņēmām, mēs vienkārši aizstājam y=t(x)*x ar savu iepriekšējo aizstājēju. Tad mēs iegūstam y atkarību no x.

Lai padarītu to skaidrāku, apskatīsim piemēru: x*y"=y-x*e y/x .

Pārbaudot ar nomaiņu, viss tiek samazināts. Tas nozīmē, ka vienādojums ir patiesi viendabīgs. Tagad mēs veicam vēl vienu aizstāšanu, par kuru mēs runājām: y=t(x)*x un y"=t"(x)*x+t(x). Pēc vienkāršošanas iegūstam šādu vienādojumu: t"(x)*x=-e t. Atrisinām iegūto piemēru ar atdalītiem mainīgajiem un iegūstam: e -t =ln(C*x). Viss, kas mums jādara, ir jāaizstāj t ar y/x (galu galā, ja y =t*x, tad t=y/x), un iegūstam atbildi: e -y/x =ln(x*C).

Pirmās kārtas lineārie diferenciālvienādojumi

Ir pienācis laiks apskatīt citu plašu tēmu. Mēs analizēsim pirmās kārtas nehomogēnus diferenciālvienādojumus. Kā viņi atšķiras no iepriekšējiem diviem? Izdomāsim. Pirmās kārtas lineāros diferenciālvienādojumus vispārīgā formā var uzrakstīt šādi: y" + g(x)*y=z(x). Ir vērts precizēt, ka z(x) un g(x) var būt nemainīgi lielumi.

Un tagad piemērs: y" - y*x=x 2 .

Ir divi risinājumi, un mēs abus apskatīsim secībā. Pirmā ir patvaļīgu konstantu mainīšanas metode.

Lai vienādojumu atrisinātu šādā veidā, vispirms labā puse ir jāpielīdzina nullei un jāatrisina iegūtais vienādojums, kas pēc detaļu pārvietošanas iegūs šādu formu:

ln|y|=x 2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Tagad mums ir jāaizstāj konstante C 1 ar funkciju v(x), kas mums jāatrod.

Aizstāsim atvasinājumu:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Un aizstājiet šīs izteiksmes sākotnējā vienādojumā:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Jūs varat redzēt, ka kreisajā pusē tiek atcelti divi termini. Ja kādā piemērā tas nenotika, tad jūs kaut ko izdarījāt nepareizi. Turpināsim:

v"*e x2/2 = x 2 .

Tagad mēs atrisinām parasto vienādojumu, kurā mums ir jāatdala mainīgie:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Lai iegūtu integrāli, mums šeit būs jāpiemēro integrācija pa daļām. Tomēr šī nav mūsu raksta tēma. Ja jūs interesē, varat uzzināt, kā šādas darbības veikt pats. Tas nav grūti, un ar pietiekamu prasmi un rūpību tas neaizņem daudz laika.

Pievērsīsimies otrai nehomogēnu vienādojumu risināšanas metodei: Bernulli metodei. Kura pieeja ir ātrāka un vieglāka, ir jāizlemj jums.

Tātad, risinot vienādojumu, izmantojot šo metodi, mums ir jāveic aizstāšana: y=k*n. Šeit k un n ir dažas no x atkarīgas funkcijas. Tad atvasinājums izskatīsies šādi: y"=k"*n+k*n. Mēs aizvietojam abus aizvietojumus vienādojumā:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Grupēšana:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Tagad mums ir jāpielīdzina nullei tas, kas ir iekavās. Tagad, ja mēs apvienojam divus iegūtos vienādojumus, mēs iegūstam pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu, kas ir jāatrisina:

Mēs atrisinām pirmo vienādojumu kā parastu vienādojumu. Lai to izdarītu, ir jāatdala mainīgie:

Mēs ņemam integrāli un iegūstam: ln(n)=x 2 /2. Tad, ja mēs izsakām n:

Tagad iegūto vienādību aizstājam ar sistēmas otro vienādojumu:

k"*e x2/2 =x 2 .

Un pārveidojot, mēs iegūstam tādu pašu vienlīdzību kā pirmajā metodē:

dk=x 2 /e x2/2 .

Mēs arī neapspriedīsim turpmāko rīcību. Ir vērts teikt, ka sākotnēji pirmās kārtas diferenciālvienādojumu risināšana rada ievērojamas grūtības. Taču, iedziļinoties tēmā, tā sāk izdoties arvien labāk.

Kur tiek izmantoti diferenciālvienādojumi?

Diferenciālvienādojumi fizikā tiek izmantoti ļoti aktīvi, jo gandrīz visi pamatlikumi ir uzrakstīti diferenciālā formā, un redzamās formulas ir šo vienādojumu risinājumi. Ķīmijā tos izmanto tā paša iemesla dēļ: ar viņu palīdzību tiek iegūti pamatlikumi. Bioloģijā diferenciālvienādojumus izmanto, lai modelētu sistēmu, piemēram, plēsoņu un laupījumu, uzvedību. Tos var izmantot arī, lai izveidotu, piemēram, mikroorganismu kolonijas reprodukcijas modeļus.

Kā diferenciālvienādojumi var jums palīdzēt dzīvē?

Atbilde uz šo jautājumu ir vienkārša: nemaz. Ja jūs neesat zinātnieks vai inženieris, tad diez vai tie jums būs noderīgi. Tomēr vispārējai attīstībai nenāks par ļaunu zināt, kas ir diferenciālvienādojums un kā tas tiek atrisināts. Un tad dēla vai meitas jautājums ir "kas ir diferenciālvienādojums?" tevi nemulsinās. Nu, ja esat zinātnieks vai inženieris, tad jūs pats saprotat šīs tēmas nozīmi jebkurā zinātnē. Bet vissvarīgākais ir tas, ka tagad jautājums "kā atrisināt pirmās kārtas diferenciālvienādojumu?" jūs vienmēr varat sniegt atbildi. Piekrītu, vienmēr ir patīkami, ja tu saproti kaut ko tādu, ko cilvēki pat baidās saprast.

Galvenās problēmas mācībās

Galvenā problēma šīs tēmas izpratnē ir vājās prasmes integrēt un diferencēt funkcijas. Ja jums nav labi atvasinājumi un integrāļi, tad, iespējams, ir vērts vairāk pētīt, apgūt dažādas integrācijas un diferenciācijas metodes un tikai tad sākt pētīt materiālu, kas tika aprakstīts rakstā.

Daži cilvēki ir pārsteigti, uzzinot, ka dx var pārnest, jo iepriekš (skolā) tika teikts, ka daļa dy/dx ir nedalāma. Šeit jums ir jāizlasa literatūra par atvasinājumu un jāsaprot, ka tā ir bezgalīgi mazu lielumu attiecība, ar kuru var manipulēt, risinot vienādojumus.

Daudzi cilvēki uzreiz neapzinās, ka pirmās kārtas diferenciālvienādojumu risināšana bieži vien ir funkcija vai integrālis, ko nevar ņemt, un šis nepareizs priekšstats viņiem sagādā daudz nepatikšanas.

Ko vēl jūs varat izpētīt, lai labāk saprastu?

Vislabāk ir sākt tālāku iedziļināšanos diferenciālrēķinu pasaulē ar specializētām mācību grāmatām, piemēram, par matemātisko analīzi nematemātisko specialitāšu studentiem. Pēc tam jūs varat pāriet uz specializētāku literatūru.

Ir vērts teikt, ka papildus diferenciālvienādojumiem ir arī integrālvienādojumi, tāpēc jums vienmēr būs, uz ko tiekties un ko pētīt.

Secinājums

Mēs ceram, ka pēc šī raksta izlasīšanas jums ir priekšstats par to, kas ir diferenciālvienādojumi un kā tos pareizi atrisināt.

Katrā ziņā matemātika mums dzīvē kaut kādā veidā noderēs. Tas attīsta loģiku un uzmanību, bez kā katrs cilvēks ir bez rokām.

Šobrīd matemātikas apguvei vidusskolā atbilstoši matemātikas apguves pamatlīmenim ir paredzētas tikai 4 stundas (2 stundas algebra, 2 stundas ģeometrija). Lauku mazajās skolās stundu skaitu cenšas palielināt skolas komponentes dēļ. Bet, ja klase ir humanitārā, tad humanitāro priekšmetu apguvei tiek pievienota skolas sastāvdaļa. Mazā ciematā skolēnam bieži nav izvēles, viņš mācās tajā klasē; kas ir pieejams skolā. Viņš negrasās kļūt par juristu, vēsturnieku vai žurnālistu (tādi gadījumi ir), bet vēlas kļūt par inženieri vai ekonomistu, tāpēc vienotais valsts eksāmens matemātikā jānokārto ar augstu punktu skaitu. Šādos apstākļos matemātikas skolotājam pašam jāmeklē izeja no esošās situācijas, turklāt saskaņā ar Kolmogorova mācību grāmatu tēmas “viendabīgie vienādojumi” izpēte nav paredzēta. Iepriekšējos gados man bija vajadzīgas divas dubultstundas, lai iepazīstinātu ar šo tēmu un to nostiprinātu. Diemžēl mūsu izglītības uzraudzības inspekcija aizliedza dubultstundas skolā, tāpēc vingrinājumu skaits bija jāsamazina līdz 45 minūtēm, un attiecīgi vingrinājumu grūtības pakāpe tika samazināta līdz vidējai. Jūsu uzmanībai piedāvāju stundu plānu par šo tēmu 10. klasē ar matemātikas apguves pamatlīmeni lauku mazajā skolā.

Nodarbības veids: tradicionāls.

Mērķis: iemācīties atrisināt tipiskus viendabīgus vienādojumus.

Uzdevumi:

Kognitīvs:

Attīstošs:

Izglītojoši:

• Veicināt smagu darbu, pacietīgi izpildot uzdevumus, draudzības sajūtu, strādājot pāros un grupās.

Nodarbību laikā

es Organizatoriskā posms(3 min.)

II. Jauna materiāla apguvei nepieciešamo zināšanu pārbaude (10 min.)

Nosakiet galvenās grūtības, veicot paveikto uzdevumu turpmāku analīzi. Puiši izvēlas 3 variantus. Uzdevumi, kas diferencēti pēc grūtības pakāpes un bērnu sagatavotības līmeņa, kam seko skaidrojums pie tāfeles.

1. līmenis. Atrisiniet vienādojumus:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Atbildes: 7;3

2. līmenis. Atrisiniet vienkāršus trigonometriskos vienādojumus un bikvadrātiskos vienādojumus:

atbildes:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Atbildes: -2; 2; -3; 3

3. līmenis. Vienādojumu atrisināšana, mainot mainīgos:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Atbildes:

III. Tēmas komunikācija, mērķu un uzdevumu izvirzīšana.

Temats: Homogēni vienādojumi

Mērķis: iemācīties atrisināt tipiskus viendabīgus vienādojumus

Uzdevumi:

Kognitīvs:

• iepazīties ar viendabīgiem vienādojumiem, iemācīties atrisināt izplatītākos šādu vienādojumu veidus.

Attīstošs:

• Analītiskās domāšanas attīstība.
• Matemātisko prasmju attīstība: iemācīties identificēt galvenās pazīmes, ar kurām viendabīgie vienādojumi atšķiras no citiem vienādojumiem, prast konstatēt viendabīgo vienādojumu līdzību to dažādajās izpausmēs.

IV. Jaunu zināšanu apguve (15 min.)

1. Lekcijas moments.

1. definīcija(Pierakstiet to piezīmju grāmatiņā). Vienādojumu formā P(x;y)=0 sauc par homogēnu, ja P(x;y) ir viendabīgs polinoms.

Polinomu divos mainīgajos x un y sauc par viendabīgu, ja katra tā vārda pakāpe ir vienāda ar vienu un to pašu skaitli k.

2. definīcija(Tikai ievads). Formas vienādojumi

sauc par homogēnu n pakāpes vienādojumu attiecībā pret u(x) un v(x). Sadalot abas vienādojuma puses ar (v(x))n, mēs varam izmantot aizstāšanu, lai iegūtu vienādojumu

Tas ļauj vienkāršot sākotnējo vienādojumu. Gadījums v(x)=0 jāskata atsevišķi, jo nav iespējams dalīt ar 0.

2. Homogēnu vienādojumu piemēri:

Paskaidrojiet: kāpēc tie ir viendabīgi, sniedziet savus šādu vienādojumu piemērus.

3. Uzdevums noteikt viendabīgus vienādojumus:

No dotajiem vienādojumiem identificējiet viendabīgus vienādojumus un izskaidrojiet savu izvēli:

Kad esat izskaidrojis savu izvēli, izmantojiet vienu no piemēriem, lai parādītu, kā atrisināt viendabīgu vienādojumu:

4. Izlemiet pats:

Atbilde:

b) 2sin x – 3 cos x =0

Sadalot abas vienādojuma puses ar cos x, iegūstam 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Parādiet risinājumu brošūras piemērā“P.V. Čuļkovs. Vienādojumi un nevienādības skolas matemātikas kursā. Maskavas Pedagoģiskā universitāte “Pirmais septembris” 2006 22.lpp.” Kā viens no iespējamiem vienotā valsts eksāmena C līmeņa piemēriem.

V. Atrisiniet konsolidāciju, izmantojot Bašmakova mācību grāmatu

183.lpp. Nr.59 (1.5) vai pēc Kolmogorova rediģētās mācību grāmatas: 81.lpp. Nr.169 (a, c)

atbildes:

VI. Ieskaite, patstāvīgais darbs (7 min.)

1 variants	2. iespēja
Atrisiniet vienādojumus:
a) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0	a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
b) cos 2 -3sin 2 =0	b)

Atbildes uz uzdevumiem:

1. variants a) Atbilde: arctan2+πn,n € Z; b) Atbilde: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

2. variants a) Atbilde: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Atbilde: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; c) (-5;-2); (5;2)

VII. Mājasdarbs

Nr.169 pēc Kolmogorova, Nr.59 pēc Bašmakova.

Turklāt atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Atbilde: arctan(-1±√3) +πn,

Atsauces:

1. P.V. Čuļkovs. Vienādojumi un nevienādības skolas matemātikas kursā. – M.: Pedagoģiskā universitāte “Pirmais septembris”, 2006. 22.lpp
2. A. Merzļaks, V. Polonskis, E. Rabinovičs, M. Jakirs. Trigonometrija. – M.: “AST-PRESS”, 1998, 389. lpp
3. Algebra 8. klasei, rediģēja N.Ya. Viļenkina. – M.: “Apgaismība”, 1997. gads.
4. Algebra 9. klasei, rediģēja N.Ya. Viļenkina. Maskavas "Apgaismība", 2001.
5. M.I. Bašmakovs. Algebra un analīzes sākums. 10.-11.klasei - M.: “Apgaismība” 1993.g
6. Kolmogorovs, Abramovs, Dudņicins. Algebra un analīzes sākums. 10-11 klasēm. – M.: “Apgaismība”, 1990. gads.
7. A.G. Mordkovičs. Algebra un analīzes sākums. 1.daļa Mācību grāmata 10.-11.klasei. – M.: “Mnemosyne”, 2004. gads.