Funkcijas y x 1 grafiks 2. Funkcijas grafiks. Nodarbība par tēmu: "Funkcijas $y=x3$ grafiks un īpašības. Grafika piemēri"
Izveidojiet funkciju
Mēs piedāvājam jūsu uzmanību funkciju grafiku zīmēšanas pakalpojumam tiešsaistē, uz kuru visas tiesības pieder uzņēmumam Desmos. Izmantojiet kreiso kolonnu, lai ievadītu funkcijas. Varat ievadīt manuāli vai izmantojot virtuālo tastatūru loga apakšā. Lai palielinātu diagrammas logu, varat paslēpt gan kreiso kolonnu, gan virtuālo tastatūru.
Tiešsaistes diagrammu veidošanas priekšrocības
- Ieviesto funkciju vizuālais attēlojums
- Ļoti sarežģītu grafiku veidošana
- Netieši definētu grafiku attēlošana (piemēram, elipse x^2/9+y^2/16=1)
- Iespēja saglabāt diagrammas un iegūt saiti uz tām, kas kļūst pieejama ikvienam internetā
- Mēroga kontrole, līniju krāsa
- Spēja attēlot grafikus pa punktiem, konstantu izmantošana
- Vairāku funkciju grafiku konstruēšana vienlaikus
- Uzzīmējiet polāros koordinātos (izmantojiet r un θ(\theta))
Pie mums tiešsaistē ir viegli izveidot dažādas sarežģītības grafikus. Būvniecība tiek veikta uzreiz. Pakalpojums ir pieprasīts funkciju krustošanās punktu atrašanai, grafiku attēlošanai to tālākai pārnešanai Word dokumentā kā ilustrācijas problēmu risināšanai, funkciju grafiku uzvedības pazīmju analīzei. Labākā pārlūkprogramma darbam ar diagrammām šajā vietnes lapā ir Google Chrome. Izmantojot citas pārlūkprogrammas, pareiza darbība netiek garantēta.
Izveidojiet līkni, kas dota ar parametru vienādojumu \
Vispirms izpētīsim funkciju \(x\left(t \right)\) un \(x\left(t \right)\) grafikus. Abas funkcijas ir kubveida polinomi, kas ir definēti visiem \(x \in \mathbb(R).\) Atrodiet atvasinājumu \(x"\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \) pa labi) = (\left(((t^3) + (t^2) - t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 2t - 1.) \] Vienādojuma atrisināšana \ ( x"\left(t \right) = 0,\) definē funkcijas \(x\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \right) = 0, stacionāros punktus, )\;\ ; (\Labā bultiņa 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Labā bultiņa (t_(1,2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] (t = 1\) funkcija \(x\left(t \right)\) sasniedz maksimumu, kas vienāds ar \, un punktā \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) tai ir minimums vienāds ar \[ (x\left((\frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\left( (\ frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \frac( 1) (9) - \frac(1) (3) = - \frac(5)((27)).) \] Apsveriet atvasinājumu \(y"\left(t \right):\) \[ ( y"\ kreisais(t \labais) = (\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4 .) \ ] Atrodiet funkcijas \(y\left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Rightbult 3(t) stacionāros punktus ^2) + 4t - 4 = 0,)\;\;(\bultiņa pa labi (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2;\ ;\frac(2) (3).) \] Līdzīgi šeit funkcija \(y\left(t \right)\) sasniedz maksimumu punktā \(t = -2:\) \ un savu minimumu punktā \(t = \large\frac (2)(3)\normalsize:\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left(() \frac(2)(3)) \right t)^3) + 2(\left((\frac(2)(3)) \right)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27) )) + \frac(8)(9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] Funkciju grafiki \(x\left(t) \ right)\), \(y\left(t \right)\) ir shematiski parādīti attēlā \(15a.\)
Zīm.15a |
15.b att |
15.c att |
Ņemiet vērā, ka kopš \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] tad līknei \(y\left(x \right)\) nav nevienas vertikālas, nav horizontālu asimptotu. Turklāt, tā kā \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t)) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ color) (zils)(t^3)) + \krāsa(sarkans)(2(t^2)) - \krāsa(zaļa)(4t) - \atcelt(\krāsa(zils)(t^3)) - \ krāsa (sarkans)(t^2) + \color(green)(t)) \right) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\color(sarkans)(t^ 2) ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] tad arī līknei \(y\left(x \right)\) nav slīpu asimptotu.
Noteiksim grafika \(y\left(x \right)\) krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Krustošanās ar x asi notiek šādos punktos: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Labā bultiņa t\left(((t^2) + 2t - 4) \right) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\Labā bultiņa D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \right) = 20,)\;\; (\ Labā bultiņa (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\Labā bultiņa D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \right) = 5,)\;\; (\ Labā bultiņa (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalsize.) \)
Otrajā intervālā \(\left(( - 2, - 1) \right)\) mainīgais \(x\) palielinās no \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) līdz \ (x \left(( - 1) \right) = 1,\) un mainīgais \(y\) samazinās no \(y\left(( - 2) \right) = 8\) uz \(y\left (( - 1) \right) = 5.\) Šeit mums ir dilstošās līknes segments \(y\left(x \right).\) Tas krustojas ar y asi punktā \(\left(() 0,3 + 2\sqrt 5 ) \right).\)
Trešajā intervālā \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) abi mainīgie samazinās. \(x\) mainās no \(x\left(( - 1) \right) = 1\) uz \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) Attiecīgi \(y\) samazinās no \(y\left(( - 1) \right) = 5\) uz \(y\ left( (\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Līkne \(y\left(x \right)\ ) krustojas koordinātu izcelsme.
Ceturtajā intervālā \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) mainīgais \(x\) palielinās no \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) uz \(x\left((\) liels\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) un mainīgais \(y\) samazinās no \(y\left(( \large\ frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) uz \(y\left((\large\frac(2)) 3)\ normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) Šajā sadaļā līkne \(y\left(x \right)\) krustojas ar y asi punktā \(\left( (0,3 - 2\sqrt 5 ) \right).\)
Visbeidzot, pēdējā intervālā \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) abas funkcijas \(x\left(t \right)\), \ ( y\left(t \right)\) palielināt. Līkne \(y\left(x \right)\) krustojas ar x asi punktā \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \aptuveni 2,18.\)
Lai precizētu līknes formu \(y\left(x \right)\), mēs aprēķinām maksimālo un minimālo punktu. Atvasinājums \(y"\left(x \right)\) ir izteikts kā \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) ( ((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right))^\prime )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\atcelt(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \ right)))((\atcelt(3)\left((t + 1) \right)\left((t - \frac(1)(3)) \right))) ) = (\frac(() \ kreisais((t + 2) \labais)\left((t - \frac(2)(3)) \right)))((\left((t + 1) \right)\left((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] Atvasinājuma zīmes \(y"\left(x \right)\) izmaiņas parādītas attēlā \(15c.\) Redzams, ka punktā \(t = - 2,\) t.i. uz \(I\) un \(II\) intervāla robežas līknei ir maksimums, un \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (uz robežas \(IV\) th un \(V\)th intervāls) ir minimums. Izejot caur punktu \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\), atvasinājums maina arī zīmi no plusa uz mīnusu, bet šajā reģionā līkne \(y\left(x \right)\ ) nav viennozīmīga funkcija. Tāpēc norādītais punkts nav galējība.
Mēs arī pētām šīs līknes izliekumu. Otrais atvasinājums\(y""\left(x \right)\) ir šāda forma: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left( ( (y"_x)) \right))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4) ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \labais))^\prime )))(((\left(((t^3) + (t^2) - t) \ pa labi ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3( t ^2) + 4t - 4) \labais)\kreisais((6t + 2) \labais)))(((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^) 2) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right)))^3))) = \ frac((\cancel(\color(zils)(18(t^3))) + \color(sarkans)(24(t^2)) + \color(zaļš)(2t) - \color(maroon) (4) - \cancel(\color(zils)(18(t^3))) - \color(sarkans)(30(t^2)) + \color(zaļa)(16t) + \color(maroon) ( 8)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right)))^3))) = \frac(( - \color(sarkans)(6(t^2) ) ) + \color(zaļa)(18t) + \color(maroon)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right)))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \ frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right)))((((\left((t + 1) \right)))^3)((\left((3t - 1) \pa labi))^3))). \] Līdz ar to otrais atvasinājums maina savu zīmi uz pretējo, ejot cauri šādiem punktiem (att.\(15с\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1) ) \labais ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \aptuveni 0,24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \aptuveni 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \) sqrt(105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \apmēram 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \apmēram 40,8.) \] Tāpēc šie punkti ir līknes locījuma punkti \(y\left (x \pa labi).\)
Līknes \(y\left(x \right)\) shematisks grafiks ir parādīts iepriekš attēlā \(15b.\)
Nodarbība par tēmu: "Funkcijas $y=x^3$ grafiks un īpašības. Grafika piemēri"
Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus. Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.
Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 7. klasei
Elektroniskā mācību grāmata 7. klasei "Algebra 10 minūtēs"
Izglītības komplekss 1C "Algebra, 7.-9.klase"
Funkcijas $y=x^3$ īpašības
Aprakstīsim šīs funkcijas īpašības:
1. x ir neatkarīgais mainīgais, y ir atkarīgais mainīgais.
2. Definīcijas joma: ir skaidrs, ka jebkurai argumenta (x) vērtībai ir iespējams aprēķināt funkcijas (y) vērtību. Attiecīgi šīs funkcijas definīcijas domēns ir visa skaitļa līnija.
3. Vērtību diapazons: y var būt jebkas. Attiecīgi diapazons ir arī visa skaitļu līnija.
4. Ja x= 0, tad y= 0.
Funkcijas $y=x^3$ grafiks
1. Izveidosim vērtību tabulu:
2. Pozitīvām x vērtībām funkcijas $y=x^3$ grafiks ir ļoti līdzīgs parabolai, kuras zari ir vairāk "piespiesti" uz OY asi.
3. Tā kā funkcijai $y=x^3$ ir pretējas vērtības x negatīvajām vērtībām, funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.
Tagad atzīmēsim punktus koordinātu plaknē un izveidosim grafiku (skat. 1. att.).
Šo līkni sauc par kubisko parabolu.
Piemēri
I. Mazajam kuģim beidzās saldūdens. Nepieciešams no pilsētas atvest pietiekami daudz ūdens. Ūdens tiek pasūtīts iepriekš un samaksāts par pilnu kubu, pat ja jūs to iepilda nedaudz mazāk. Cik kubu vajadzētu pasūtīt, lai nepārmaksātu par papildu kubu un pilnībā piepildītu tvertni? Ir zināms, ka tvertnei ir vienāds garums, platums un augstums, kas ir vienādi ar 1,5 m Atrisināsim šo problēmu, neveicot aprēķinus.
Risinājums:
1. Atzīmēsim funkciju $y=x^3$.
2. Atrodiet punktu A, koordinātu x, kas ir vienāda ar 1,5. Redzam, ka funkcijas koordināte atrodas starp vērtībām 3 un 4 (skat. 2. att.). Tātad jums ir jāpasūta 4 kubi.
Funkciju grafiks ir vizuāls attēlojums kādas funkcijas darbībai koordinātu plaknē. Grafiki palīdz izprast dažādus funkcijas aspektus, kurus nevar noteikt pēc pašas funkcijas. Varat izveidot daudzu funkciju grafikus, un katra no tām tiks dota ar noteiktu formulu. Jebkuras funkcijas grafiks tiek veidots pēc noteikta algoritma (ja esat aizmirsis precīzu konkrētas funkcijas grafika uzzīmēšanas procesu).
Soļi
Lineāras funkcijas uzzīmēšana
- Ja slīpums ir negatīvs, funkcija samazinās.
-
No punkta, kur līnija krustojas ar Y asi, uzzīmējiet otru punktu, izmantojot vertikālo un horizontālo attālumu. Lineāru funkciju var attēlot, izmantojot divus punktus. Mūsu piemērā krustošanās punktam ar Y asi ir koordinātas (0,5); no šī punkta pārvietojiet 2 atstarpes uz augšu un pēc tam 1 atstarpi pa labi. Atzīmējiet punktu; tai būs koordinātes (1,7). Tagad jūs varat novilkt taisnu līniju.
Izmantojiet lineālu, lai novilktu taisnu līniju caur diviem punktiem. Lai izvairītos no kļūdām, atrodiet trešo punktu, taču vairumā gadījumu grafiku var veidot, izmantojot divus punktus. Tādējādi jūs esat uzzīmējis lineāru funkciju.
Punktu zīmēšana koordinātu plaknē
-
Definējiet funkciju. Funkcija tiek apzīmēta kā f(x). Visas iespējamās mainīgā "y" vērtības sauc par funkcijas diapazonu, un visas iespējamās mainīgā "x" vērtības sauc par funkcijas domēnu. Piemēram, apsveriet funkciju y = x+2, proti, f(x) = x+2.
Uzzīmējiet divas krustojošas perpendikulāras līnijas. Horizontālā līnija ir X ass, vertikālā līnija ir Y ass.
Atzīmējiet koordinātu asis. Sadaliet katru asi vienādos segmentos un numurējiet tos. Asu krustpunkts ir 0. X asij: pozitīvie skaitļi ir attēloti labajā pusē (no 0), bet negatīvie skaitļi - kreisajā pusē. Y asij: pozitīvie skaitļi tiek attēloti augšpusē (no 0), bet negatīvie skaitļi - apakšā.
Atrodiet "y" vērtības no "x" vērtībām. Mūsu piemērā f(x) = x+2. Šajā formulā aizstājiet noteiktas "x" vērtības, lai aprēķinātu atbilstošās "y" vērtības. Ja tiek dota sarežģīta funkcija, vienkāršojiet to, vienādojuma vienā pusē izolējot "y".
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Uzzīmējiet punktus koordinātu plaknē. Katram koordinātu pārim rīkojieties šādi: atrodiet atbilstošo vērtību uz x ass un novelciet vertikālu līniju (punktētu līniju); atrodiet atbilstošo vērtību uz y ass un novelciet horizontālu līniju (punktētu līniju). Atzīmējiet divu punktētu līniju krustošanās punktu; tādējādi jūs esat uzzīmējis grafika punktu.
Izdzēsiet punktētās līnijas. Dariet to pēc visu grafika punktu uzzīmēšanas koordinātu plaknē. Piezīme: funkcijas f(x) = x grafiks ir taisne, kas iet caur koordinātu centru [punkts ar koordinātām (0,0)]; grafiks f(x) = x + 2 ir taisne, kas ir paralēla taisnei f(x) = x, bet nobīdīta uz augšu par divām vienībām un tāpēc iet caur punktu ar koordinātām (0,2) (jo konstante ir 2) .
Sarežģītas funkcijas uzzīmēšana
Atrodiet funkcijas nulles. Funkcijas nulles ir mainīgā "x" vērtības, pie kurām y = 0, tas ir, tie ir diagrammas krustošanās punkti ar x asi. Ņemiet vērā, ka ne visām funkcijām ir nulles, bet tas ir pirmais solis jebkuras funkcijas zīmēšanas procesā. Lai atrastu funkcijas nulles, iestatiet to vienādu ar nulli. Piemēram:
Atrodiet un marķējiet horizontālās asimptotes. Asimptote ir līnija, kurai funkcijas grafiks tuvojas, bet nekad nešķērso (tas ir, funkcija šajā apgabalā nav definēta, piemēram, dalot ar 0). Atzīmējiet asimptotu ar punktētu līniju. Ja mainīgais "x" atrodas daļdaļas saucējā (piemēram, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), iestatiet saucēju uz nulli un atrodiet "x". Iegūtajās mainīgā "x" vērtībās funkcija nav definēta (mūsu piemērā velciet punktētas līnijas caur x = 2 un x = -2), jo nevar dalīt ar 0. Bet asimptoti pastāv ne tikai gadījumos, kad funkcija satur daļēju izteiksmi. Tāpēc ieteicams izmantot veselo saprātu:
-
Nosakiet, vai funkcija ir lineāra. Lineāru funkciju nosaka formas formula F (x) = k x + b (\displeja stils F(x)=kx+b) vai y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(piemēram, ), un tā grafiks ir taisna līnija. Tādējādi formula ietver vienu mainīgo un vienu konstanti (konstanti) bez eksponentiem, saknes zīmēm un tamlīdzīgi. Ņemot vērā līdzīgas formas funkciju, šādas funkcijas attēlošana ir diezgan vienkārša. Šeit ir citi lineāro funkciju piemēri:
Izmantojiet konstanti, lai atzīmētu punktu uz y ass. Konstante (b) ir grafika krustošanās punkta "y" koordināte ar Y asi, tas ir, tas ir punkts, kura "x" koordināte ir 0. Tātad, ja x = 0 tiek aizvietots formulā , tad y = b (konstante). Mūsu piemērā y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstante ir 5, tas ir, krustošanās punktam ar Y asi ir koordinātas (0,5). Atzīmējiet šo punktu koordinātu plaknē.
Atrodiet līnijas slīpumu. Tas ir vienāds ar mainīgā reizinātāju. Mūsu piemērā y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) ar mainīgo "x" ir koeficients 2; tātad slīpums ir 2. Slīpums nosaka taisnes slīpuma leņķi pret X asi, tas ir, jo lielāks slīpums, jo ātrāk funkcija palielinās vai samazinās.
Uzrakstiet slīpumu kā daļu. Slīpums ir vienāds ar slīpuma leņķa tangensu, tas ir, vertikālā attāluma (starp diviem punktiem uz taisnas līnijas) attiecību pret horizontālo attālumu (starp tiem pašiem punktiem). Mūsu piemērā slīpums ir 2, tāpēc varam teikt, ka vertikālais attālums ir 2 un horizontālais attālums ir 1. Uzrakstiet to kā daļskaitli: 2 1 (\displaystyle (\frac (2) (1))).
1. Lineāra daļfunkcija un tās grafiks
Funkciju formā y = P(x) / Q(x), kur P(x) un Q(x) ir polinomi, sauc par daļēju racionālu funkciju.
Jūs droši vien jau esat iepazinies ar racionālo skaitļu jēdzienu. Līdzīgi racionālas funkcijas ir funkcijas, kuras var attēlot kā divu polinomu koeficientu.
Ja daļēja racionāla funkcija ir divu lineāru funkciju - pirmās pakāpes polinomu - koeficients, t.i. skatīšanas funkcija
y = (ax + b) / (cx + d), tad to sauc par daļēju lineāru.
Ņemiet vērā, ka funkcijā y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (pretējā gadījumā funkcija kļūst lineāra y = ax/d + b/d) un ka a/c ≠ b/d (pretējā gadījumā funkcija ir konstante). Lineāri daļskaitļu funkcija ir definēta visiem reālajiem skaitļiem, izņemot x = -d/c. Lineāri daļskaitļu funkciju grafiki pēc formas neatšķiras no diagrammas, kuru jūs zināt, y = 1/x. Tiek izsaukta līkne, kas ir funkcijas y = 1/x grafiks hiperbola. Ar neierobežotu x absolūtās vērtības pieaugumu funkcija y = 1/x absolūtā vērtībā bezgalīgi samazinās un abi grafika zari tuvojas abscisu asij: labais tuvojas no augšas, bet kreisais tuvojas no apakšas. Līnijas, kurām tuvojas hiperbolas zari, sauc par tās asimptoti.
1. piemērs
y = (2x + 1) / (x - 3).
Risinājums.
Atlasīsim vesela skaitļa daļu: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Tagad ir viegli redzēt, ka šīs funkcijas grafiks ir iegūts no funkcijas y = 1/x grafika ar sekojošām transformācijām: pārbīdīt par 3 vienības segmentiem pa labi, izstiept pa Oy asi 7 reizes un nobīdīt par 2 vienības segmenti uz augšu.
Jebkuru daļu y = (ax + b) / (cx + d) var uzrakstīt tādā pašā veidā, izceļot “visu daļu”. Līdz ar to visu lineāri frakcionētu funkciju grafiki ir hiperbolas, kas dažādos veidos nobīdītas pa koordinātu asīm un izstieptas pa Oy asi.
Lai uzzīmētu kādas patvaļīgas lineāri daļskaitļu funkcijas grafiku, nemaz nav nepieciešams pārveidot daļu, kas nosaka šo funkciju. Tā kā mēs zinām, ka grafiks ir hiperbola, tad pietiks, lai atrastu taisnes, kurām tuvojas tā zari - hiperbolas asimptotes x = -d/c un y = a/c.
2. piemērs
Atrodiet funkcijas y = (3x + 5)/(2x + 2) grafika asimptotus.
Risinājums.
Funkcija nav definēta, ja x = -1. Tādējādi līnija x = -1 kalpo kā vertikāla asimptote. Lai atrastu horizontālo asimptotu, noskaidrojiet, kam tuvojas funkcijas y(x) vērtības, kad argumentam x palielinās absolūtā vērtība.
Lai to izdarītu, mēs dalām frakcijas skaitītāju un saucēju ar x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Kā x → ∞ daļai ir tendence uz 3/2. Tādējādi horizontālā asimptote ir taisna līnija y = 3/2.
3. piemērs
Uzzīmējiet funkciju y = (2x + 1)/(x + 1).
Risinājums.
Mēs izvēlamies frakcijas “visu daļu”:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Tagad ir viegli redzēt, ka šīs funkcijas grafiks ir iegūts no funkcijas y = 1/x grafika ar šādām transformācijām: nobīde par 1 vienību pa kreisi, simetrisks attēlojums attiecībā pret Ox un nobīde. 2 vienību intervāli uz augšu pa Oy asi.
Definīcijas apgabals D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Vērtību diapazons E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Krustošanās punkti ar asīm: c Oy: (0; 1); c Vērsis: (-1/2; 0). Funkcija palielinās katrā definīcijas domēna intervālā.
Atbilde: 1. attēls.
2. Frakcionāli-racionālā funkcija
Aplūkosim daļēju racionālu funkciju formā y = P(x) / Q(x), kur P(x) un Q(x) ir polinomi, kuru pakāpe ir augstāka par pirmo.
Šādu racionālu funkciju piemēri:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) vai y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Ja funkcija y = P(x) / Q(x) ir divu polinomu, kuru pakāpe ir augstāka par pirmo, koeficients, tad tās grafiks, kā likums, būs sarežģītāks, un dažreiz var būt grūti to precīzi izveidot , ar visām detaļām. Tomēr bieži vien pietiek ar paņēmieniem, kas ir līdzīgi tiem, ar kuriem mēs jau tikāmies iepriekš.
Lai daļa ir pareiza (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Acīmredzot daļskaitļu racionālās funkcijas grafiku var iegūt kā elementāro daļu grafiku summu.
Daļējo racionālo funkciju uzzīmēšana
Apsveriet vairākus veidus, kā attēlot daļēju-racionālu funkciju.
4. piemērs
Uzzīmējiet funkciju y = 1/x 2 .
Risinājums.
Mēs izmantojam funkcijas y \u003d x 2 grafiku, lai attēlotu grafiku y \u003d 1 / x 2, un izmantojam grafiku "dalīšanas" metodi.
Domēns D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Vērtību diapazons E(y) = (0; +∞).
Nav krustošanās punktu ar asīm. Funkcija ir vienmērīga. Palielinās visiem x no intervāla (-∞; 0), samazinās x no 0 līdz +∞.
Atbilde: 2. attēls.
5. piemērs
Atzīmējiet funkciju y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Risinājums.
Domēns D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Šeit mēs izmantojām faktoringa, samazināšanas un samazināšanas paņēmienu līdz lineārai funkcijai.
Atbilde: 3. attēls.
6. piemērs
Uzzīmējiet funkciju y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Risinājums.
Definīcijas apgabals ir D(y) = R. Tā kā funkcija ir pāra, grafiks ir simetrisks pret y asi. Pirms grafika veidošanas mēs vēlreiz pārveidojam izteiksmi, izceļot veselo skaitļu daļu:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Ņemiet vērā, ka, veidojot grafikus, veselā skaitļa daļas izvēle daļējas racionālās funkcijas formulā ir viena no galvenajām.
Ja x → ±∞, tad y → 1, t.i., līnija y = 1 ir horizontāla asimptote.
Atbilde: 4. attēls.
7. piemērs
Aplūkosim funkciju y = x/(x 2 + 1) un mēģiniet atrast tieši tās lielāko vērtību, t.i. augstākais punkts diagrammas labajā pusē. Lai precīzi izveidotu šo grafiku, ar mūsdienu zināšanām nepietiek. Ir skaidrs, ka mūsu līkne nevar "uzkāpt" ļoti augstu, jo saucējs ātri sāk “apdzīt” skaitītāju. Apskatīsim, vai funkcijas vērtība var būt vienāda ar 1. Lai to izdarītu, jums jāatrisina vienādojums x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Šim vienādojumam nav reālu sakņu. Tātad mūsu pieņēmums ir nepareizs. Lai atrastu funkcijas lielāko vērtību, jums jānoskaidro, kuram lielākajam A vienādojumam A \u003d x / (x 2 + 1) būs risinājums. Aizstāsim sākotnējo vienādojumu ar kvadrātvienādojumu: Ax 2 - x + A \u003d 0. Šim vienādojumam ir risinājums, ja 1 - 4A 2 ≥ 0. No šejienes mēs atrodam lielāko vērtību A \u003d 1/2. 
Atbilde: 5. attēls, max y(x) = ½.
Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā izveidot funkciju grafikus?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!
vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.