Confronto di numeri misti. Confronto tra frazioni: regole, esempi, soluzioni Regole per confrontare frazioni e numeri misti
Le regole per confrontare le frazioni ordinarie dipendono dal tipo di frazione (frazione propria, impropria, mista) e dai denominatori (uguali o diversi) delle frazioni confrontate.
Questa sezione discute le opzioni per confrontare le frazioni che hanno gli stessi numeratori o denominatori.
Regola. Per confrontare due frazioni con gli stessi denominatori, devi confrontare i loro numeratori. Maggiore (minore) è una frazione il cui numeratore è maggiore (minore).
Ad esempio, confronta le frazioni:
Regola. Per confrontare le frazioni proprie con numeratori simili, devi confrontare i loro denominatori. Maggiore (minore) è una frazione il cui denominatore è minore (maggiore).
Ad esempio, confronta le frazioni: 
Confronto tra frazioni proprie, improprie e miste
Regola. Le frazioni improprie e miste sono sempre maggiori di qualsiasi frazione propria.
Una frazione propria è per definizione minore di 1, quindi le frazioni improprie e miste (quelle contenenti un numero uguale o maggiore di 1) sono maggiori di una frazione propria.
Regola. Di due frazioni miste, quella la cui intera parte della frazione è maggiore (minore) è maggiore (minore). Quando le parti intere delle frazioni miste sono uguali, la frazione con la parte frazionaria più grande (minore) è maggiore (minore).
Le regole per confrontare le frazioni ordinarie dipendono dal tipo di frazione (frazione propria, impropria, mista) e dai denominatori (uguali o diversi) delle frazioni confrontate. Regola. Per confrontare due frazioni con gli stessi denominatori, devi confrontare i loro numeratori. Maggiore (minore) è una frazione il cui numeratore è maggiore (minore). Per esempio, confronta le frazioni:
Confronto tra frazioni proprie, improprie e miste.
Regola. Le frazioni improprie e miste sono sempre maggiori di qualsiasi frazione propria. Una frazione propria è per definizione minore di 1, quindi le frazioni improprie e miste (quelle contenenti un numero uguale o maggiore di 1) sono maggiori di una frazione propria.
Regola. Di due frazioni miste, quella la cui intera parte della frazione è maggiore (minore) è maggiore (minore). Quando le parti intere delle frazioni miste sono uguali, la frazione con la parte frazionaria più grande (minore) è maggiore (minore).
Per esempio, confronta le frazioni:
Similmente al confronto dei numeri naturali sulla linea numerica, la frazione più grande si trova a destra della frazione più piccola.
Questo articolo esamina il confronto delle frazioni. Qui scopriremo quale frazione è maggiore o minore, applicheremo la regola e vedremo esempi di soluzioni. Confrontiamo le frazioni sia con uguale che denominatori diversi. Confrontiamo una frazione ordinaria con un numero naturale.
Confronto tra frazioni con gli stessi denominatori
Quando confrontiamo frazioni con gli stessi denominatori, lavoriamo solo con il numeratore, il che significa che confrontiamo le frazioni del numero. Se esiste una frazione 3 7, allora ha 3 parti 1 7, quindi la frazione 8 7 ha 8 parti di questo tipo. In altre parole, se il denominatore è lo stesso, si confrontano i numeratori di queste frazioni, cioè 3 7 e 8 7 vengono confrontati con i numeri 3 e 8.
Ciò segue la regola per confrontare le frazioni con gli stessi denominatori: delle frazioni esistenti con gli stessi esponenti, la frazione con il numeratore più grande è considerata maggiore e viceversa.
Ciò suggerisce che dovresti prestare attenzione ai numeratori. Per fare ciò, diamo un'occhiata a un esempio.
Esempio 1
Confronta le frazioni indicate 65 126 e 87 126.
Soluzione
Poiché i denominatori delle frazioni sono gli stessi, passiamo ai numeratori. Dai numeri 87 e 65 è ovvio che 65 è meno. In base alla regola per confrontare le frazioni con gli stessi denominatori, abbiamo che 87.126 è maggiore di 65.126.
Risposta: 87 126 > 65 126 .
Confronto tra frazioni con denominatori diversi
Il confronto di tali frazioni può essere correlato al confronto di frazioni con gli stessi esponenti, ma c'è una differenza. Ora devi ridurre le frazioni a un denominatore comune.
Se esistono frazioni con denominatori diversi, per confrontarle è necessario:
- trovare un denominatore comune;
- confrontare le frazioni.
Diamo un'occhiata a queste azioni utilizzando un esempio.
Esempio 2
Confronta le frazioni 5 12 e 9 16.
Soluzione
Innanzitutto è necessario ridurre le frazioni ad un denominatore comune. Questo viene fatto in questo modo: trova l'LCM, cioè il più piccolo divisore comune, 12 e 16 . Questo numero è 48. È necessario aggiungere ulteriori fattori alla prima frazione 5 12, questo numero si trova dal quoziente 48: 12 = 4, per la seconda frazione 9 16 – 48: 16 = 3. Scriviamo il risultato in questo modo: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 e 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.
Dopo aver confrontato le frazioni otteniamo 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .
Risposta: 5 12 < 9 16 .
C'è un altro modo per confrontare frazioni con denominatori diversi. Viene eseguito senza riduzione a un denominatore comune. Diamo un'occhiata a un esempio. Per confrontare le frazioni a b e c d, le riduciamo a un denominatore comune, quindi b · d, cioè il prodotto di questi denominatori. Quindi i fattori aggiuntivi per le frazioni saranno i denominatori della frazione vicina. Questo verrà scritto come a · d b · d ec · b d · b . Utilizzando la regola dei denominatori identici, abbiamo che il confronto delle frazioni si è ridotto al confronto dei prodotti a · d e c · b. Da qui ricaviamo la regola per confrontare frazioni con denominatori diversi: se a · d > b · c, allora a b > c d, ma se a · d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.
Esempio 3
Confronta le frazioni 5 18 e 23 86.
Soluzione
Questo esempio ha a = 5, b = 18, c = 23 e d = 86. Quindi è necessario calcolare a·d e b·c. Ne consegue che a · d = 5 · 86 = 430 e b · c = 18 · 23 = 414. Ma 430 > 414, allora la frazione data 5 18 è maggiore di 23 86.
Risposta: 5 18 > 23 86 .
Confronto tra frazioni con gli stessi numeratori
Se le frazioni hanno gli stessi numeratori e denominatori diversi, allora il confronto può essere effettuato secondo il punto precedente. Il risultato del confronto è possibile confrontando i loro denominatori.
Esiste una regola per confrontare le frazioni con gli stessi numeratori : Di due frazioni con gli stessi numeratori, quella che ha il denominatore minore è maggiore e viceversa.
Diamo un'occhiata a un esempio.
Esempio 4
Confronta le frazioni 54 19 e 54 31.
Soluzione
Abbiamo che i numeratori sono gli stessi, il che significa che una frazione con denominatore 19 è maggiore di una frazione con denominatore 31. Ciò è comprensibile in base alla norma.
Risposta: 54 19 > 54 31 .
Altrimenti possiamo guardare un esempio. Ci sono due piatti su cui ci sono 1 2 torte e un'altra 1 16 anna. Se mangi 1 2 torte, ti sazierai più velocemente di 1 16. Quindi la conclusione è che il denominatore più grande con numeratori uguali è il più piccolo quando si confrontano le frazioni.
Confronto di una frazione con un numero naturale
Confrontare una frazione ordinaria con un numero naturale equivale a confrontare due frazioni con i denominatori scritti nella forma 1. Per uno sguardo dettagliato, di seguito è riportato un esempio.
Esempio 4
È necessario fare un confronto tra 63 8 e 9 .
Soluzione
È necessario rappresentare il numero 9 come una frazione 9 1. Quindi dobbiamo confrontare le frazioni 63 8 e 9 1. Segue la riduzione a un denominatore comune trovando fattori aggiuntivi. Successivamente vediamo che dobbiamo confrontare le frazioni con gli stessi denominatori 63 8 e 72 8. Sulla base della regola del confronto, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .
Risposta: 63 8 < 9 .
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È possibile confrontare non solo i numeri primi, ma anche le frazioni. Dopotutto, una frazione è lo stesso numero di, ad esempio, numeri interi. Hai solo bisogno di conoscere le regole con cui vengono confrontate le frazioni.
Confronto tra frazioni con gli stessi denominatori.
Se due frazioni hanno gli stessi denominatori, è facile confrontare tali frazioni.
Per confrontare frazioni con gli stessi denominatori, devi confrontare i loro numeratori. La frazione che ha un numeratore più grande è più grande.
Diamo un'occhiata ad un esempio:
Confronta le frazioni \(\frac(7)(26)\) e \(\frac(13)(26)\).
I denominatori di entrambe le frazioni sono uguali e uguali a 26, quindi confrontiamo i numeratori. Il numero 13 è maggiore di 7. Otteniamo:
\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)
Confronto tra frazioni con numeratori uguali.
Se una frazione ha gli stessi numeratori, allora sarà maggiore quella con il denominatore più piccolo.
Questa regola può essere compresa dando un esempio tratto dalla vita. Abbiamo una torta. Possono venire a trovarci 5 o 11 ospiti. Se arrivano 5 ospiti, taglieremo la torta in 5 pezzi uguali e se arrivano 11 ospiti, la divideremo in 11 pezzi uguali. Ora pensa: in che caso ci sarebbe una fetta di torta più grande per ospite? Naturalmente quando arriveranno 5 invitati la fetta di torta sarà più grande.
O un altro esempio. Abbiamo 20 caramelle. Possiamo regalare le caramelle equamente a 4 amici oppure dividerle equamente tra 10 amici. In quale caso ogni amico avrà più caramelle? Naturalmente, quando ci divideremo tra soli 4 amici, il numero di caramelle per ogni amico sarà maggiore. Controlliamo matematicamente questo problema.
\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)
Se risolviamo prima queste frazioni, otteniamo i numeri \(\frac(20)(4) = 5\) e \(\frac(20)(10) = 2\). Otteniamo che 5 > 2
Questa è la regola per confrontare le frazioni con gli stessi numeratori.
Diamo un'occhiata a un altro esempio.
Confronta le frazioni con lo stesso numeratore \(\frac(1)(17)\) e \(\frac(1)(15)\) .
Poiché i numeratori sono gli stessi, la frazione con il denominatore più piccolo è più grande.
\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)
Confronto tra frazioni con denominatori e numeratori diversi.
Per confrontare frazioni con denominatori diversi, è necessario ridurre le frazioni a , quindi confrontare i numeratori.
Confronta le frazioni \(\frac(2)(3)\) e \(\frac(5)(7)\).
Per prima cosa troviamo il denominatore comune delle frazioni. Sarà uguale al numero 21.
\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \times 3)(7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(align)\)
Passiamo quindi al confronto dei numeratori. Regola per confrontare frazioni con gli stessi denominatori.
\(\begin(align)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)
Confronto.
Una frazione impropria è sempre maggiore di una frazione propria. Perché una frazione impropria è maggiore di 1 e una frazione propria è minore di 1.
Esempio:
Confronta le frazioni \(\frac(11)(13)\) e \(\frac(8)(7)\).
La frazione \(\frac(8)(7)\) è impropria ed è maggiore di 1.
\(1 < \frac{8}{7}\)
La frazione \(\frac(11)(13)\) è corretta ed è inferiore a 1. Confrontiamo:
\(1 > \frac(11)(13)\)
Otteniamo \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)
Domande correlate:
Come confrontare frazioni con denominatori diversi?
Risposta: devi portare le frazioni a un denominatore comune e poi confrontare i loro numeratori.
Come confrontare le frazioni?
Risposta: Per prima cosa devi decidere a quale categoria appartengono le frazioni: hanno un denominatore comune, hanno un numeratore comune, non hanno un denominatore e un numeratore comuni, oppure hai una frazione propria e una impropria. Dopo aver classificato le frazioni, applica la regola di confronto appropriata.
Cosa significa confrontare frazioni con gli stessi numeratori?
Risposta: Se le frazioni hanno gli stessi numeratori, la frazione con il denominatore più piccolo è più grande.
Esempio 1:
Confronta le frazioni \(\frac(11)(12)\) e \(\frac(13)(16)\).
Soluzione:
Poiché non esistono numeratori o denominatori identici, applichiamo la regola del confronto con denominatori diversi. Dobbiamo trovare un denominatore comune. Il denominatore comune sarà 96. Riduciamo le frazioni a un denominatore comune. Moltiplica la prima frazione \(\frac(11)(12)\) per un ulteriore fattore di 8 e moltiplica la seconda frazione \(\frac(13)(16)\) per 6.
\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(align)\)
Confrontiamo le frazioni con i numeratori, la frazione con il numeratore più grande è più grande.
\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \\end(allinea)\)
Esempio n.2:
Confrontare una frazione propria con una?
Soluzione:
Qualsiasi frazione propria è sempre inferiore a 1.
Compito n. 1:
Il figlio e il padre stavano giocando a calcio. Il figlio ha centrato l'obiettivo 5 volte su 10 approcci. E papà ha centrato l'obiettivo 3 volte su 5 approcci. Quale risultato è migliore?
Soluzione:
Il figlio ha colpito 5 volte su 10 possibili approcci. Scriviamolo come una frazione \(\frac(5)(10)\).
Papà ha colpito 3 volte su 5 possibili approcci. Scriviamolo come una frazione \(\frac(3)(5)\).
Confrontiamo le frazioni. Abbiamo numeratori e denominatori diversi, riduciamoli a un denominatore. Il denominatore comune sarà 10.
\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)
Risposta: papà ha un risultato migliore.
Continuiamo a studiare le frazioni. Oggi parleremo del loro confronto. L'argomento è interessante e utile. Permetterà a un principiante di sentirsi uno scienziato in camice bianco.
L'essenza del confronto tra frazioni è scoprire quale tra due frazioni è maggiore o minore.
Per rispondere alla domanda quale tra due frazioni è maggiore o minore, utilizzare più (>) o meno (<).
I matematici si sono già occupati di regole già pronte che consentono loro di rispondere immediatamente alla domanda su quale frazione è maggiore e quale è minore. Queste regole possono essere applicate in tutta sicurezza.
Esamineremo tutte queste regole e proveremo a capire perché ciò accade.
Contenuto della lezioneConfronto tra frazioni con gli stessi denominatori
Le frazioni da confrontare sono diverse. Il caso migliore è quando le frazioni hanno gli stessi denominatori, ma numeratori diversi. In questo caso vale la seguente regola:
Di due frazioni con lo stesso denominatore è maggiore quella con numeratore maggiore. E di conseguenza, la frazione con il numeratore più piccolo sarà più piccola.
Ad esempio, confrontiamo le frazioni e rispondiamo quale di queste frazioni è più grande. Qui i denominatori sono gli stessi, ma i numeratori sono diversi. La frazione ha un numeratore maggiore della frazione. Ciò significa che la frazione è maggiore di . Ecco come rispondiamo. Devi rispondere utilizzando l'icona Altro (>)
Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo le pizze, che sono divise in quattro parti. Ci sono più pizze che pizze:
Confronto tra frazioni con gli stessi numeratori
Il prossimo caso in cui possiamo entrare è quando i numeratori delle frazioni sono gli stessi, ma i denominatori sono diversi. Per tali casi è prevista la seguente regola:
Di due frazioni con gli stessi numeratori, quella con il denominatore più piccolo è maggiore. E di conseguenza, la frazione il cui denominatore è maggiore è minore.
Ad esempio, confrontiamo le frazioni e . Queste frazioni hanno gli stessi numeratori. Una frazione ha un denominatore più piccolo di una frazione. Ciò significa che la frazione è maggiore della frazione. Quindi rispondiamo:
Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo le pizze, che sono divise in tre e quattro parti. Ci sono più pizze che pizze:
Tutti concorderanno nel dire che la prima pizza è più grande della seconda.
Confronto tra frazioni con numeratori diversi e denominatori diversi
Capita spesso di dover confrontare frazioni con numeratori diversi e denominatori diversi.
Ad esempio, confronta le frazioni e . Per rispondere alla domanda quale di queste frazioni è maggiore o minore, è necessario portarle allo stesso denominatore (comune). Quindi puoi facilmente determinare quale frazione è maggiore o minore.
Portiamo le frazioni allo stesso denominatore (comune). Troviamo il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. MCM dei denominatori delle frazioni e questo è il numero 6.
Ora troviamo fattori aggiuntivi per ciascuna frazione. Dividiamo il LCM per il denominatore della prima frazione. MCM è il numero 6 e il denominatore della prima frazione è il numero 2. Dividi 6 per 2, otteniamo un fattore aggiuntivo di 3. Lo scriviamo sopra la prima frazione:
Ora troviamo il secondo fattore aggiuntivo. Dividiamo il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 6 e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividi 6 per 3, otteniamo un fattore aggiuntivo di 2. Lo scriviamo sopra la seconda frazione:
Moltiplichiamo le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:
Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come confrontare tali frazioni. Di due frazioni con lo stesso denominatore è maggiore quella con numeratore maggiore:
La regola è la regola e cercheremo di capire perché è più di . Per fare ciò, seleziona l'intera parte nella frazione. Non è necessario evidenziare nulla nella frazione, poiché la frazione è già propria.
Dopo aver isolato la parte intera della frazione, otteniamo la seguente espressione:
Ora puoi facilmente capire perché più di . Disegniamo queste frazioni come pizze:
2 pizze intere e pizze, più di pizze.
Sottrazione di numeri misti. Casi difficili.
Quando sottrai numeri misti, a volte puoi scoprire che le cose non stanno andando bene come vorresti. Accade spesso che quando si risolve un esempio, la risposta non sia quella che dovrebbe essere.
Quando si sottraggono numeri, il minuendo deve essere maggiore del sottraendo. Solo in questo caso si riceverà una risposta normale.
Ad esempio, 10−8=2
10 - decrementabile
8 - sottraendo
2 - differenza
Il minuendo 10 è maggiore del sottraendo 8, quindi otteniamo la risposta normale 2.
Vediamo ora cosa succede se il minuendo è minore del sottraendo. Esempio 5−7=−2
5: decrescente
7 - sottraendo
−2 — differenza
In questo caso, andiamo oltre i limiti dei numeri a cui siamo abituati e ci troviamo nel mondo dei numeri negativi, dove è troppo presto per camminare ed è persino pericoloso. Per lavorare con i numeri negativi, è necessario un file appropriato formazione matematica, che non abbiamo ancora ricevuto.
Se, quando risolvi esempi di sottrazione, scopri che il minuendo è minore del sottraendo, per ora puoi saltare questo esempio. È consentito lavorare con numeri negativi solo dopo averli studiati.
La situazione è la stessa con le frazioni. Il minuendo deve essere maggiore del sottraendo. Solo in questo caso sarà possibile ottenere una risposta normale. E per capire se la frazione da ridurre è maggiore della frazione da sottrarre, bisogna essere in grado di confrontare queste frazioni.
Ad esempio, risolviamo l'esempio.
Questo è un esempio di sottrazione. Per risolverlo è necessario verificare se la frazione da ridurre è maggiore della frazione da sottrarre. più di
quindi possiamo tranquillamente tornare all'esempio e risolverlo:
Ora risolviamo questo esempio
Controlliamo se la frazione da ridurre è maggiore della frazione da sottrarre. Troviamo che è inferiore:
In questo caso è più saggio fermarsi e non continuare ulteriori calcoli. Ritorniamo a questo esempio quando studiamo i numeri negativi.
Si consiglia inoltre di controllare i numeri misti prima della sottrazione. Ad esempio, troviamo il valore dell'espressione .
Per prima cosa controlliamo se il numero misto da ridurre è maggiore del numero misto da sottrarre. Per fare ciò, convertiamo i numeri misti in frazioni improprie:
Abbiamo ricevuto frazioni con numeratori diversi e denominatori diversi. Per confrontare tali frazioni, è necessario portarle allo stesso denominatore (comune). Non descriveremo in dettaglio come farlo. Se hai difficoltà, assicurati di ripetere.
Dopo aver ridotto le frazioni allo stesso denominatore, otteniamo la seguente espressione:
Ora devi confrontare le frazioni e . Queste sono frazioni con gli stessi denominatori. Di due frazioni con lo stesso denominatore è maggiore quella con numeratore maggiore.
La frazione ha un numeratore maggiore della frazione. Ciò significa che la frazione è maggiore della frazione.
Ciò significa che il minuendo è maggiore del sottraendo
Ciò significa che possiamo tornare al nostro esempio e risolverlo in sicurezza:
Esempio 3. Trova il valore di un'espressione
Controlliamo se il minuendo è maggiore del sottraendo.
Convertiamo i numeri misti in frazioni improprie:
Abbiamo ricevuto frazioni con numeratori diversi e denominatori diversi. Riduciamo queste frazioni allo stesso denominatore (comune):
Ora confrontiamo le frazioni e . Una frazione ha un numeratore inferiore a una frazione, il che significa che la frazione è inferiore a una frazione