Proprietà di base di un trapezio isoscele. Proprietà utili di un trapezio. Triangoli di area uguale di un trapezio

In questo articolo, cercheremo di riflettere il più completamente possibile le proprietà del trapezio. In particolare, parleremo dei segni e delle proprietà generali di un trapezio, nonché delle proprietà di un trapezio inscritto e di un cerchio inscritto in un trapezio. Toccheremo anche le proprietà di un isoscele e di un trapezio rettangolare.

Un esempio di risoluzione di un problema utilizzando le proprietà considerate ti aiuterà a sistemare le cose nella tua testa e ricordare meglio il materiale.

Trapezio e tutto-tutto-tutto

Per cominciare, ricordiamo brevemente cos'è un trapezio e quali altri concetti sono associati ad esso.

Quindi, un trapezio è una figura quadrilatera, di cui due dei lati sono paralleli tra loro (queste sono le basi). E due non sono paralleli: questi sono i lati.

In un trapezio, l'altezza può essere omessa, perpendicolare alle basi. Vengono tracciate la linea mediana e le diagonali. E anche da qualsiasi angolo del trapezio è possibile disegnare una bisettrice.

Parleremo ora delle varie proprietà associate a tutti questi elementi e alle loro combinazioni.

Proprietà delle diagonali di un trapezio

Per renderlo più chiaro, durante la lettura, disegna il trapezio ACME su un pezzo di carta e disegna delle diagonali al suo interno.

  1. Se trovi i punti medi di ciascuna delle diagonali (chiamiamo questi punti X e T) e li colleghi, ottieni un segmento. Una delle proprietà delle diagonali di un trapezio è che il segmento XT giace sulla linea mediana. E la sua lunghezza si ottiene dividendo per due la differenza delle basi: XT \u003d (a - b) / 2.
  2. Davanti a noi c'è lo stesso trapezio ACME. Le diagonali si intersecano nel punto O. Consideriamo i triangoli AOE e IOC formati dai segmenti delle diagonali insieme alle basi del trapezio. Questi triangoli sono simili. Il coefficiente di somiglianza di k triangoli è espresso in termini di rapporto tra le basi del trapezio: k = AE/KM.
    Il rapporto tra le aree dei triangoli AOE e IOC è descritto dal coefficiente k 2 .
  3. Tutto lo stesso trapezio, le stesse diagonali che si intersecano nel punto O. Solo questa volta considereremo triangoli che i segmenti diagonali formavano insieme ai lati del trapezio. Le aree dei triangoli AKO ed EMO sono uguali - le loro aree sono le stesse.
  4. Un'altra proprietà di un trapezio include la costruzione di diagonali. Quindi, se continuiamo i lati di AK e ME nella direzione della base più piccola, prima o poi si intersecheranno in un punto. Quindi, traccia una linea retta attraverso i punti medi delle basi del trapezio. Interseca le basi nei punti X e T.
    Se ora estendiamo la linea XT, essa unirà il punto di intersezione delle diagonali del trapezio O, il punto in cui si intersecano le estensioni dei lati e i punti medi delle basi di X e T.
  5. Attraverso il punto di intersezione delle diagonali, disegniamo un segmento che collegherà le basi del trapezio (T giace sulla base più piccola di KM, X - sulla più grande AE). Il punto di intersezione delle diagonali divide questo segmento nel seguente rapporto: A/OH = KM/AE.
  6. E ora attraverso il punto di intersezione delle diagonali tracciamo un segmento parallelo alle basi del trapezio (aeb). Il punto di intersezione lo dividerà in due parti uguali. Puoi trovare la lunghezza di un segmento usando la formula 2ab/(a + b).

Proprietà della linea mediana di un trapezio

Disegna la linea mediana nel trapezio parallela alle sue basi.

  1. La lunghezza della linea mediana di un trapezio può essere calcolata sommando le lunghezze delle basi e dividendole a metà: m = (a + b)/2.
  2. Se disegna un segmento (altezza, ad esempio) attraverso entrambe le basi del trapezio, la linea mediana lo dividerà in due parti uguali.

Proprietà della bisettrice di un trapezio

Scegli un angolo qualsiasi del trapezio e disegna una bisettrice. Prendi, ad esempio, l'angolo KAE del nostro trapezio ACME. Dopo aver completato la costruzione da solo, puoi facilmente vedere che la bisettrice taglia dalla base (o dalla sua continuazione su una linea retta al di fuori della figura stessa) un segmento della stessa lunghezza del lato.

Proprietà dell'angolo trapezoidale

  1. Qualunque delle due coppie di angoli adiacenti al lato scelto, la somma degli angoli in una coppia è sempre 180 0: α + β = 180 0 e γ + δ = 180 0 .
  2. Collegare i punti medi delle basi del trapezio con un segmento TX. Ora diamo un'occhiata agli angoli alla base del trapezio. Se la somma degli angoli per uno qualsiasi di essi è 90 0, la lunghezza del segmento TX è facilmente calcolabile in base alla differenza delle lunghezze delle basi, divisa a metà: TX \u003d (AE - KM) / 2.
  3. Se le linee parallele vengono tracciate attraverso i lati dell'angolo di un trapezio, divideranno i lati dell'angolo in segmenti proporzionali.

Proprietà di un trapezio isoscele (isoscele).

  1. In un trapezio isoscele, gli angoli a qualsiasi base sono uguali.
  2. Ora costruisci di nuovo un trapezio per rendere più facile immaginare di cosa si tratta. Osserva attentamente la base di AE: il vertice della base opposta di M è proiettato in un certo punto della linea che contiene AE. La distanza dal vertice A al punto di proiezione del vertice M e la linea mediana di un trapezio isoscele sono uguali.
  3. Qualche parola sulla proprietà delle diagonali di un trapezio isoscele: le loro lunghezze sono uguali. E anche gli angoli di inclinazione di queste diagonali alla base del trapezio sono gli stessi.
  4. Solo vicino a un trapezio isoscele si può descrivere un cerchio, poiché la somma degli angoli opposti di un quadrilatero 180 0 è un prerequisito per questo.
  5. La proprietà di un trapezio isoscele segue dal paragrafo precedente: se un cerchio può essere descritto vicino a un trapezio, è isoscele.
  6. Dalle caratteristiche di un trapezio isoscele segue la proprietà dell'altezza di un trapezio: se le sue diagonali si intersecano ad angolo retto, la lunghezza dell'altezza è uguale alla metà della somma delle basi: h = (a + b)/2.
  7. Disegna di nuovo la linea TX attraverso i punti medi delle basi del trapezio - in un trapezio isoscele è perpendicolare alle basi. E allo stesso tempo, TX è l'asse di simmetria di un trapezio isoscele.
  8. Questa volta abbassa alla base più grande (chiamiamola a) l'altezza dal vertice opposto del trapezio. Otterrai due tagli. La lunghezza di uno si trova sommando le lunghezze delle basi e divise a metà: (a+b)/2. Otteniamo il secondo sottraendo quello più piccolo dalla base più grande e dividiamo per due la differenza risultante: (a – b)/2.

Proprietà di un trapezio inscritto in una circonferenza

Poiché stiamo già parlando di un trapezio inscritto in un cerchio, soffermiamoci su questo problema in modo più dettagliato. In particolare, dov'è il centro del cerchio rispetto al trapezio. Anche qui si raccomanda di non essere troppo pigri per prendere una matita e disegnare ciò che verrà discusso di seguito. Così capirai più velocemente e ricorderai meglio.

  1. La posizione del centro del cerchio è determinata dall'angolo di inclinazione della diagonale del trapezio al suo lato. Ad esempio, una diagonale può emergere dalla sommità di un trapezio ad angolo retto rispetto al lato. In questo caso, la base maggiore interseca il centro della circonferenza circoscritta esattamente nel mezzo (R = ½AE).
  2. La diagonale e il lato possono anche incontrarsi ad angolo acuto, quindi il centro del cerchio è all'interno del trapezio.
  3. Il centro del cerchio circoscritto può essere esterno al trapezio, oltre la sua base larga, se c'è un angolo ottuso tra la diagonale del trapezio e il lato laterale.
  4. L'angolo formato dalla diagonale e dalla base grande del trapezio ACME (angolo inscritto) è la metà dell'angolo centrale che gli corrisponde: MAE = ½ MIO.
  5. Brevemente su due modi per trovare il raggio del cerchio circoscritto. Metodo uno: guarda attentamente il tuo disegno - cosa vedi? Noterai facilmente che la diagonale divide il trapezio in due triangoli. Il raggio può essere trovato attraverso il rapporto tra il lato del triangolo e il seno dell'angolo opposto, moltiplicato per due. Per esempio, R \u003d AE / 2 * siNAME. Allo stesso modo, la formula può essere scritta per uno qualsiasi dei lati di entrambi i triangoli.
  6. Metodo due: troviamo il raggio del cerchio circoscritto attraverso l'area del triangolo formato dalla diagonale, lato e base del trapezio: R \u003d AM * ME * AE / 4 * SAME.

Proprietà di un trapezio circoscritto ad una circonferenza

Puoi inscrivere un cerchio in un trapezio se una condizione è soddisfatta. Maggiori informazioni di seguito. E insieme questa combinazione di cifre ha una serie di proprietà interessanti.

  1. Se un cerchio è inscritto in un trapezio, la lunghezza della sua linea mediana può essere facilmente trovata sommando le lunghezze dei lati e dividendo la somma risultante a metà: m = (c + d)/2.
  2. Per un ACME trapezoidale, circoscritto ad una circonferenza, la somma delle lunghezze delle basi è uguale alla somma delle lunghezze dei lati: AK + ME = KM + AE.
  3. Da questa proprietà delle basi di un trapezio segue l'affermazione inversa: in quel trapezio si può inscrivere un cerchio, la cui somma delle basi è uguale alla somma dei lati.
  4. Il punto tangente di una circonferenza di raggio r inscritto in un trapezio divide il lato laterale in due segmenti, chiamiamola aeb. Il raggio di una circonferenza può essere calcolato utilizzando la formula: r = √ab.
  5. E un'altra proprietà. Per non confonderti, disegna tu stesso questo esempio. Abbiamo il buon vecchio trapezio ACME, circoscritto ad un cerchio. In esso sono disegnate le diagonali, che si intersecano nel punto O. I triangoli AOK ed EOM formati dai segmenti delle diagonali e dai lati sono rettangolari.
    Le altezze di questi triangoli, ribassate alle ipotenuse (cioè ai lati del trapezio), coincidono con i raggi del cerchio inscritto. E l'altezza del trapezio è la stessa del diametro del cerchio inscritto.

Proprietà di un trapezio rettangolare

Un trapezio è detto rettangolare, uno degli angoli del quale è retto. E le sue proprietà derivano da questa circostanza.

  1. Un trapezio rettangolare ha uno dei lati perpendicolare alle basi.
  2. L'altezza e il lato del trapezio adiacente all'angolo retto sono uguali. Ciò consente di calcolare l'area di un trapezio rettangolare (formula generale S = (a + b) * h/2) non solo per l'altezza, ma anche per il lato adiacente all'angolo retto.
  3. Per un trapezio rettangolare, sono rilevanti le proprietà generali delle diagonali trapezoidali già descritte sopra.

Dimostrazioni di alcune proprietà di un trapezio

Uguaglianza degli angoli alla base di un trapezio isoscele:

  • Probabilmente hai già intuito che qui abbiamo di nuovo bisogno del trapezio ACME: disegna un trapezio isoscele. Traccia una linea MT dal vertice M parallela al lato di AK (MT || AK).

Il quadrilatero risultante AKMT è un parallelogramma (AK || MT, KM || AT). Poiché ME = KA = MT, ∆ MTE è isoscele e MET = MTE.

AK || MT, quindi MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Dove AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

QED

Ora, sulla base della proprietà di un trapezio isoscele (uguaglianza delle diagonali), lo dimostriamo il trapezio ACME è isoscele:

  • Per cominciare, tracciamo una linea retta МХ – МХ || KE. Otteniamo un parallelogramma KMHE (base - MX || KE e KM || EX).

∆AMH è isoscele, poiché AM = KE = MX e MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, quindi MAE = MXE.

Si è scoperto che i triangoli AKE ed EMA sono uguali tra loro, perché AM \u003d KE e AE è il lato comune dei due triangoli. E anche MAE \u003d MXE. Possiamo concludere che AK = ME, e quindi ne consegue che il trapezio AKME è isoscele.

Compito da ripetere

Le basi del trapezio ACME sono 9 cm e 21 cm, il lato del KA, pari a 8 cm, forma un angolo di 150 0 con una base più piccola. Devi trovare l'area del trapezio.

Soluzione: Dal vertice K abbassiamo l'altezza alla base più grande del trapezio. E iniziamo a guardare gli angoli del trapezio.

Gli angoli AEM e KAN sono unilaterali. Ciò significa che si sommano fino a 1800. Pertanto, KAN = 30 0 (basato sulla proprietà degli angoli del trapezio).

Consideriamo ora il rettangolare ∆ANK (penso che questo punto sia ovvio per i lettori senza ulteriori prove). Da esso troviamo l'altezza del trapezio KH - in un triangolo è una gamba, che si trova di fronte all'angolo di 30 0. Pertanto, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

L'area del trapezio si trova con la formula: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Epilogo

Se hai studiato attentamente e attentamente questo articolo, non sei stato troppo pigro per disegnare trapezi per tutte le proprietà di cui sopra con una matita in mano e analizzarli in pratica, dovresti aver padroneggiato bene il materiale.

Naturalmente, qui ci sono molte informazioni, varie e talvolta persino confuse: non è così difficile confondere le proprietà del trapezio descritto con le proprietà di quello inscritto. Ma tu stesso hai visto che la differenza è enorme.

Ora hai un riepilogo dettagliato di tutte le proprietà generali di un trapezio. Oltre a proprietà e caratteristiche specifiche di isoscele e trapezi rettangolari. È molto comodo da usare per prepararsi a test ed esami. Provalo tu stesso e condividi il link con i tuoi amici!

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Con una forma come un trapezio, ci incontriamo abbastanza spesso nella vita. Ad esempio, qualsiasi ponte fatto di blocchi di cemento ne è un ottimo esempio. Un'opzione più visiva può essere considerata lo sterzo di ciascun veicolo e così via. Le proprietà della figura erano note nell'antica Grecia., che è stato descritto più dettagliatamente da Aristotele nella sua opera scientifica "Principi". E la conoscenza che è stata sviluppata migliaia di anni fa è ancora attuale. Pertanto, li conosceremo in modo più dettagliato.

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Concetti basilari

Figura 1. La classica forma di un trapezio.

Un trapezio è essenzialmente un quadrilatero, costituito da due segmenti paralleli e altri due non paralleli. Parlando di questa figura, è sempre necessario ricordare concetti come: basi, altezza e linea mediana. Due segmenti di un quadrilatero che si dicono basi tra loro (segmenti AD e BC). L'altezza è chiamata segmento perpendicolare a ciascuna delle basi (EH), cioè si intersecano con un angolo di 90° (come mostrato in Fig. 1).


Se sommiamo tutte le misure dei gradi dell'interno, la somma degli angoli del trapezio sarà uguale a 2π (360°), come ogni quadrilatero. Un segmento le cui estremità sono i punti medi delle pareti laterali (IF) chiamata linea di mezzo. La lunghezza di questo segmento è la somma delle basi BC e AD divisa per 2.

Esistono tre tipi di forme geometriche: diritte, regolari e isoscele. Se almeno un angolo ai vertici della base è retto (ad esempio, se ABD = 90 °), allora tale quadrilatero è chiamato trapezio retto. Se i segmenti laterali sono uguali (AB e CD), allora si parla di isoscele (rispettivamente, gli angoli alle basi sono uguali).

Come trovare la zona

Per, per trovare l'area di un quadrilatero ABCD usa la seguente formula:

Figura 2. Risolvere il problema di trovare l'area

Per un esempio più illustrativo, risolviamo un problema facile. Ad esempio, le basi superiore e inferiore siano rispettivamente di 16 e 44 cm e i lati siano rispettivamente di 17 e 25 cm Costruiamo un segmento perpendicolare dal vertice D in modo che DE II BC (come mostrato in Figura 2). Quindi lo otteniamo

Lascia che DF - sarà. Da ΔADE (che sarà equilatero), otteniamo quanto segue:

Cioè, in termini semplici, abbiamo prima trovato l'altezza ΔADE, che è anche l'altezza del trapezio. Da qui calcoliamo l'area del quadrilatero ABCD, con il valore già noto dell'altezza DF, utilizzando la formula già nota.

Quindi, l'area desiderata ABCD è 450 cm³. Cioè, si può dire con certezza che Per calcolare l'area di un trapezio, è necessaria solo la somma delle basi e la lunghezza dell'altezza.

Importante! Quando si risolve il problema, non è necessario trovare separatamente il valore delle lunghezze, è del tutto possibile se si applicano altri parametri della figura, che, con opportuna dimostrazione, saranno uguali alla somma delle basi.

Tipi di trapezio

A seconda di quali lati ha la figura, quali angoli si formano alle basi, ci sono tre tipi di quadrilatero: rettangolare, laterale ed equilatero.

Versatile

Ci sono due forme: acuto e ottuso. ABCD è acuto solo se gli angoli alla base (AD) sono acuti e le lunghezze laterali sono diverse. Se il valore di un angolo è il numero Pi / 2 in più (la misura dei gradi è maggiore di 90°), allora otteniamo un angolo ottuso.

Se i lati sono uguali in lunghezza

Figura 3. Vista di un trapezio isoscele

Se i lati non paralleli hanno la stessa lunghezza, allora ABCD è chiamato isoscele (corretto). Inoltre, per tale quadrilatero, la misura in gradi degli angoli alla base è la stessa, il loro angolo sarà sempre minore di quello retto. È per questo motivo che l'isoscele non è mai diviso in acuto e ottuso. Un quadrilatero di questa forma ha le sue differenze specifiche, che includono:

  1. I segmenti che collegano i vertici opposti sono uguali.
  2. Gli angoli acuti con una base più grande sono 45° (un esempio illustrativo nella Figura 3).
  3. Se aggiungi i gradi degli angoli opposti, in totale daranno 180 °.
  4. Intorno a qualsiasi trapezio regolare può essere costruito.
  5. Se aggiungi la misura dei gradi degli angoli opposti, allora è uguale a π.

Inoltre, a causa della loro disposizione geometrica dei punti, ci sono proprietà di base di un trapezio isoscele:

Valore dell'angolo alla base 90°

La perpendicolarità del lato laterale della base è una caratteristica capiente del concetto di "trapezio rettangolare". Non possono esserci due lati con angoli alla base, perché altrimenti sarà già un rettangolo. Nei quadrilateri di questo tipo, il secondo lato formerà sempre un angolo acuto con una base grande e con una più piccola - ottuso. In questo caso, il lato perpendicolare sarà anche l'altezza.

Segmento tra il centro dei fianchi

Se colleghiamo i punti medi dei lati e il segmento risultante sarà parallelo alle basi e uguale in lunghezza alla metà della loro somma, allora la retta formata sarà la linea di mezzo. Il valore di questa distanza si calcola con la formula:

Per un esempio più illustrativo, considera un problema utilizzando la linea di mezzo.

Un compito. La linea mediana del trapezio è di 7 cm, è noto che uno dei lati è più grande dell'altro di 4 cm (Fig. 4). Trova le lunghezze delle basi.

Figura 4. Risolvere il problema di trovare lunghezze di base

Soluzione. Lascia che la base più piccola di DC sia uguale a x cm, quindi la base più grande sarà rispettivamente pari a (x + 4) cm Da qui, usando la formula per la linea mediana del trapezio, otteniamo:

Si scopre che la base più piccola di DC è 5 cm e quella più grande è 9 cm.

Importante! Il concetto di linea mediana è la chiave per risolvere molti problemi in geometria. Sulla base della sua definizione, vengono costruite molte prove per altre figure. Utilizzando il concetto in pratica, è possibile una soluzione più razionale e la ricerca del valore richiesto.

Determinazione dell'altezza e come trovarla

Come notato in precedenza, l'altezza è un segmento che interseca le basi con un angolo di 2Pi / 4 ed è la distanza più breve tra loro. Prima di trovare l'altezza del trapezio,è necessario determinare quali valori di input vengono forniti. Per una migliore comprensione, considera il problema. Trova l'altezza del trapezio, a patto che le basi siano 8 e 28 cm, i lati siano rispettivamente 12 e 16 cm.

Figura 5. Risolvere il problema di trovare l'altezza di un trapezio

Disegniamo i segmenti DF e CH ad angolo retto rispetto alla base AD. Secondo la definizione, ciascuno di essi sarà l'altezza di un dato trapezio (Fig. 5). In questo caso, conoscendo la lunghezza di ciascuna parete laterale, utilizzando il teorema di Pitagora, troviamo qual è l'altezza nei triangoli AFD e BHC.

La somma dei segmenti AF e HB è uguale alla differenza delle basi, ovvero:

Sia la lunghezza di AF uguale a x cm, quindi la lunghezza del segmento HB = (20 - x) cm. Come è stato stabilito, DF=CH , quindi .

Quindi otteniamo la seguente equazione:

Si scopre che il segmento AF nel triangolo AFD è 7,2 cm, da qui calcoliamo l'altezza del trapezio DF usando lo stesso teorema di Pitagora:

Quelli. l'altezza del trapezio ADCB sarà di 9,6 cm Come puoi vedere, il calcolo dell'altezza è un processo più meccanico e si basa sul calcolo dei lati e degli angoli dei triangoli. Ma, in una serie di problemi di geometria, si possono conoscere solo i gradi degli angoli, nel qual caso i calcoli verranno effettuati attraverso il rapporto tra i lati dei triangoli interni.

Importante! In sostanza, un trapezio è spesso pensato come due triangoli o come una combinazione di un rettangolo e un triangolo. Per risolvere il 90% di tutti i problemi che si trovano nei libri di testo scolastici, le proprietà e le caratteristiche di queste figure. La maggior parte delle formule per questo GMT sono derivate basandosi sui "meccanismi" per questi due tipi di cifre.

Come calcolare velocemente la lunghezza della base

Prima di trovare la base del trapezio, devi determinare quali parametri sono già stati forniti e come usarli razionalmente. Un approccio pratico consiste nell'estrarre la lunghezza della base sconosciuta dalla formula della linea mediana. Per una percezione più chiara dell'immagine, mostreremo come farlo utilizzando un esempio di un'attività. Si noti che la linea mediana del trapezio è di 7 cm e una delle basi è di 10 cm Trova la lunghezza della seconda base.

Soluzione: sapendo che la linea mediana è uguale alla metà della somma delle basi, si può sostenere che la loro somma sia 14 cm.

(14 cm = 7 cm × 2). Dalla condizione del problema sappiamo che uno di è uguale a 10 cm, quindi il lato minore del trapezio sarà pari a 4 cm (4 cm = 14 - 10).

Inoltre, per una più comoda soluzione di problemi di questo tipo, ti consigliamo di imparare bene tali formule dall'area trapezoidale come:

  • linea mediana;
  • quadrato;
  • altezza;
  • diagonali.

Conoscendo l'essenza (precisamente l'essenza) di questi calcoli, puoi facilmente scoprire il valore desiderato.

Video: trapezio e sue proprietà

Video: caratteristiche trapezoidali

Conclusione

Dagli esempi di problemi considerati, possiamo trarre una semplice conclusione che il trapezio, in termini di calcolo dei problemi, è una delle figure più semplici della geometria. Per risolvere con successo i problemi, prima di tutto, non è necessario decidere quali informazioni si conoscono sull'oggetto descritto, in quali formule possono essere applicate e decidere cosa deve essere trovato. Eseguendo questo semplice algoritmo, nessun compito che utilizza questa figura geometrica sarà semplice.

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Un trapezio è un caso speciale di un quadrilatero in cui una coppia di lati è parallela. Il termine "trapezoidale" deriva dalla parola greca τράπεζα, che significa "tavola", "tavola". In questo articolo considereremo i tipi di trapezio e le sue proprietà. Inoltre, scopriremo come calcolare i singoli elementi di questo esempio, la diagonale di un trapezio isoscele, la linea mediana, l'area, ecc. Il materiale è presentato nello stile della geometria popolare elementare, cioè in una forma facilmente accessibile modulo.

Informazione Generale

Per prima cosa, capiamo cos'è un quadrilatero. Questa figura è un caso speciale di un poligono contenente quattro lati e quattro vertici. Due vertici di un quadrilatero non adiacenti si dicono opposti. Lo stesso si può dire di due lati non adiacenti. I principali tipi di quadrilateri sono parallelogramma, rettangolo, rombo, quadrato, trapezio e deltoide.

Quindi, torniamo al trapezio. Come abbiamo già detto, questa figura ha due lati paralleli. Si chiamano basi. Gli altri due (non paralleli) sono i lati. Nei materiali degli esami e delle varie prove si trovano spesso compiti relativi ai trapezi, la cui soluzione spesso richiede allo studente una conoscenza che non è prevista dal programma. Il corso di geometria della scuola introduce gli studenti alle proprietà degli angoli e delle diagonali, nonché alla linea mediana di un trapezio isoscele. Ma in fondo, oltre a questo, la figura geometrica menzionata ha altre caratteristiche. Ma ne parleremo più avanti...

Tipi di trapezio

Ci sono molti tipi di questa figura. Tuttavia, molto spesso è consuetudine considerarne due: isoscele e rettangolare.

1. Un trapezio rettangolare è una figura in cui uno dei lati è perpendicolare alle basi. Ha due angoli che sono sempre di novanta gradi.

2. Un trapezio isoscele è una figura geometrica i cui lati sono uguali tra loro. Ciò significa che anche gli angoli alle basi sono uguali a coppie.

I principi fondamentali della metodologia per lo studio delle proprietà di un trapezio

Il principio principale è l'uso del cosiddetto approccio del compito. In effetti, non è necessario introdurre nuove proprietà di questa figura nel corso teorico della geometria. Possono essere scoperti e formulati nel processo di risoluzione di vari problemi (meglio di quelli sistemici). Allo stesso tempo, è molto importante che l'insegnante sappia quali compiti devono essere impostati per gli studenti prima o poi nel processo educativo. Inoltre, ogni proprietà del trapezio può essere rappresentata come un'attività chiave nel sistema delle attività.

Il secondo principio è la cosiddetta organizzazione a spirale dello studio delle proprietà "notevoli" del trapezio. Ciò implica un ritorno nel processo di apprendimento alle caratteristiche individuali di una data figura geometrica. Pertanto, è più facile per gli studenti memorizzarli. Ad esempio, la proprietà di quattro punti. Può essere dimostrato sia nello studio della somiglianza che successivamente con l'aiuto di vettori. E l'area uguale dei triangoli adiacenti ai lati della figura può essere dimostrata applicando non solo le proprietà dei triangoli di uguale altezza disegnati ai lati che giacciono sulla stessa retta, ma anche usando la formula S= 1/ 2(ab*sinα). Inoltre, puoi lavorare su un trapezio inscritto o un triangolo rettangolo su un trapezio circoscritto, ecc.

L'uso di caratteristiche "extra-curriculari" di una figura geometrica nel contenuto di un corso scolastico è una tecnologia di compito per insegnarle. Il costante ricorso alle proprietà studiate quando si passa attraverso altri argomenti consente agli studenti di acquisire una conoscenza più approfondita del trapezio e garantisce il successo nella risoluzione dei compiti. Quindi, iniziamo a studiare questa meravigliosa figura.

Elementi e proprietà di un trapezio isoscele

Come abbiamo già notato, i lati di questa figura geometrica sono uguali. È anche conosciuto come il trapezio destro. Perché è così straordinario e perché ha ottenuto un tale nome? Le caratteristiche di questa figura includono il fatto che non solo i lati e gli angoli alle basi sono uguali, ma anche le diagonali. Inoltre, la somma degli angoli di un trapezio isoscele è di 360 gradi. Ma non è tutto! Di tutti i trapezi conosciuti, solo attorno a un isoscele si può descrivere un cerchio. Ciò è dovuto al fatto che la somma degli angoli opposti di questa figura è di 180 gradi e solo in questa condizione è possibile descrivere un cerchio attorno al quadrilatero. La successiva proprietà della figura geometrica in esame è che la distanza dal vertice di base alla proiezione del vertice opposto sulla retta che contiene questa base sarà uguale alla linea mediana.

Ora scopriamo come trovare gli angoli di un trapezio isoscele. Considerare una soluzione a questo problema, a condizione che siano note le dimensioni dei lati della figura.

Soluzione

Di solito, un quadrilatero è solitamente indicato dalle lettere A, B, C, D, dove BS e AD sono le basi. In un trapezio isoscele i lati sono uguali. Assumiamo che la loro dimensione sia X e che le dimensioni delle basi siano Y e Z (rispettivamente più piccole e più grandi). Per eseguire il calcolo, è necessario disegnare un'altezza H dall'angolo B. Il risultato è un triangolo rettangolo ABN, dove AB è l'ipotenusa e BN e AN sono le gambe. Calcoliamo la dimensione della gamba AN: sottraiamo quella più piccola dalla base più grande e dividiamo il risultato per 2. Lo scriviamo sotto forma di formula: (Z-Y) / 2 \u003d F. Ora, per calcolare il angolo acuto del triangolo, usiamo la funzione cos. Otteniamo il seguente record: cos(β) = Х/F. Ora calcoliamo l'angolo: β=arcos (Х/F). Inoltre, conoscendo un angolo, possiamo determinare il secondo, per questo eseguiamo un'operazione aritmetica elementare: 180 - β. Tutti gli angoli sono definiti.

C'è anche una seconda soluzione a questo problema. All'inizio, abbassiamo l'altezza H dall'angolo B. Calcoliamo il valore della gamba BN. Sappiamo che il quadrato dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati delle gambe. Otteniamo: BN \u003d √ (X2-F2). Successivamente, utilizziamo la funzione trigonometrica tg. Di conseguenza, abbiamo: β = arctg (BN / F). Angolo acuto trovato. Successivamente, determiniamo allo stesso modo del primo metodo.

Proprietà delle diagonali di un trapezio isoscele

Scriviamo prima quattro regole. Se le diagonali di un trapezio isoscele sono perpendicolari, allora:

L'altezza della figura sarà uguale alla somma delle basi divisa per due;

La sua altezza e la linea mediana sono uguali;

Il centro del cerchio è il punto in cui il ;

Se il lato laterale è diviso per il punto di contatto nei segmenti H e M, allora è uguale alla radice quadrata del prodotto di questi segmenti;

Il quadrilatero, che era formato dai punti tangenti, dal vertice del trapezio e dal centro del cerchio inscritto, è un quadrato il cui lato è uguale al raggio;

L'area di una figura è uguale al prodotto delle basi e al prodotto della metà della somma delle basi e della sua altezza.

Trapezi simili

Questo argomento è molto conveniente per studiare le proprietà di questo: ad esempio, le diagonali dividono il trapezio in quattro triangoli e quelli adiacenti alle basi sono simili e quelli adiacenti ai lati sono uguali. Questa affermazione può essere definita una proprietà dei triangoli in cui il trapezio è diviso per le sue diagonali. La prima parte di questa affermazione è dimostrata attraverso il criterio della somiglianza in due angoli. Per provare la seconda parte, è meglio utilizzare il metodo indicato di seguito.

Dimostrazione del teorema

Accettiamo che la figura ABSD (AD e BS - le basi del trapezio) sia divisa per le diagonali VD e AC. Il loro punto di intersezione è O. Otteniamo quattro triangoli: AOS - alla base inferiore, BOS - alla base superiore, ABO e SOD ai lati. I triangoli SOD e BOS hanno un'altezza comune se i segmenti BO e OD sono le loro basi. Otteniamo che la differenza tra le loro aree (P) è uguale alla differenza tra questi segmenti: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Pertanto, PSOD = PBOS / K. Allo stesso modo, i triangoli BOS e AOB hanno un'altezza comune. Prendiamo come basi i segmenti CO e OA. Otteniamo PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K e PAOB \u003d PBOS / K. Ne consegue che PSOD = PAOB.

Per consolidare il materiale, si consiglia agli studenti di trovare una relazione tra le aree dei triangoli ottenuti, in cui il trapezio è diviso per le sue diagonali, risolvendo il seguente problema. È noto che le aree dei triangoli BOS e AOD sono uguali, è necessario trovare l'area del trapezio. Poiché PSOD \u003d PAOB, significa che PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Dalla somiglianza dei triangoli BOS e AOD segue che BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Pertanto, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Otteniamo PSOD = √ (PBOS * PAOD). Quindi PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

proprietà di somiglianza

Continuando a sviluppare questo argomento, possiamo provare altre caratteristiche interessanti dei trapezi. Quindi, usando la somiglianza, puoi provare la proprietà di un segmento che passa per un punto formato dall'intersezione delle diagonali di questa figura geometrica, parallela alle basi. Per fare ciò risolviamo il seguente problema: occorre trovare la lunghezza del segmento RK, che passa per il punto O. Dalla somiglianza dei triangoli AOD e BOS, segue che AO/OS=AD/BS. Dalla somiglianza dei triangoli AOP e ASB, ne consegue che AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Da qui otteniamo quel RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Allo stesso modo, dalla somiglianza dei triangoli DOK e DBS, ne consegue che OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Da qui otteniamo RO=OK e RK=2*BS*AD/(BS+AD). Il tratto passante per il punto di intersezione delle diagonali, parallelo alle basi e di collegamento dei due lati, è diviso a metà per il punto di intersezione. La sua lunghezza è la media armonica delle basi della figura.

Considera la seguente proprietà di un trapezio, che è chiamata proprietà dei quattro punti. I punti di intersezione delle diagonali (O), le intersezioni della continuazione dei lati (E), così come i punti medi delle basi (T e W) giacciono sempre sulla stessa linea. Questo è facilmente dimostrabile con il metodo della somiglianza. I triangoli risultanti BES e AED sono simili e in ciascuno di essi le mediane ET ed EZH dividono l'angolo al vertice E in parti uguali. Pertanto, i punti E, T e W giacciono sulla stessa retta. Allo stesso modo, i punti T, O e G si trovano sulla stessa retta Tutto ciò deriva dalla somiglianza dei triangoli BOS e AOD. Da ciò concludiamo che tutti e quattro i punti - E, T, O e W - giaceranno su una linea retta.

Utilizzando trapezi simili, agli studenti può essere chiesto di trovare la lunghezza del segmento (LF) che divide la figura in due simili. Questo segmento dovrebbe essere parallelo alle basi. Poiché i trapezi risultanti ALFD e LBSF sono simili, allora BS/LF=LF/AD. Ne consegue che LF=√(BS*BP). Otteniamo che il segmento che divide il trapezio in due simili ha una lunghezza pari alla media geometrica delle lunghezze delle basi della figura.

Considera la seguente proprietà di somiglianza. Si basa su un segmento che divide il trapezio in due figure di uguali dimensioni. Accettiamo che il trapezio ABSD sia diviso per il segmento EN in due simili. Dal vertice B viene omessa l'altezza, che è divisa dal segmento EH in due parti: B1 e B2. Otteniamo: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 e PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Successivamente, componiamo un sistema la cui prima equazione è (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 e la seconda (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Ne consegue che B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) e BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Otteniamo che la lunghezza del segmento che divide il trapezio in due uguali è uguale al quadrato medio delle lunghezze delle basi: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Inferenze di somiglianza

Abbiamo quindi dimostrato che:

1. Il segmento che collega i punti medi dei lati del trapezio è parallelo ad AD e BS ed è uguale alla media aritmetica di BS e AD (la lunghezza della base del trapezio).

2. La retta passante per il punto O dell'intersezione delle diagonali parallele ad AD e BS sarà uguale alla media armonica dei numeri AD e BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Il segmento che divide il trapezio in simili ha la lunghezza della media geometrica delle basi BS e AD.

4. Un elemento che divide una figura in due uguali ha la lunghezza dei quadrati medi AD e BS.

Per consolidare il materiale e comprendere la connessione tra i segmenti considerati, lo studente deve costruirli per un trapezio specifico. Può facilmente visualizzare la linea mediana e il segmento che passa per il punto O - l'intersezione delle diagonali della figura - parallelo alle basi. Ma dove saranno il terzo e il quarto? Questa risposta porterà lo studente alla scoperta della relazione desiderata tra le medie.

Un segmento di linea che unisce i punti medi delle diagonali di un trapezio

Considera la seguente proprietà di questa figura. Accettiamo che il segmento MH sia parallelo alle basi e bisechi le diagonali. Chiamiamo i punti di intersezione W e W. Questo segmento sarà uguale alla semidifferenza delle basi. Analizziamo questo in modo più dettagliato. MSH - la linea mediana del triangolo ABS, è uguale a BS / 2. MS - la linea mediana del triangolo ABD, è uguale a AD / 2. Quindi otteniamo ShShch = MShch-MSh, quindi Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Centro di gravità

Diamo un'occhiata a come viene determinato questo elemento per una data figura geometrica. Per fare ciò, è necessario estendere le basi in direzioni opposte. Cosa significa? È necessario aggiungere la base inferiore alla base superiore, ad esempio su uno qualsiasi dei lati, a destra. E la parte inferiore è estesa della lunghezza della parte superiore a sinistra. Successivamente, li colleghiamo con una diagonale. Il punto di intersezione di questo segmento con la linea mediana della figura è il baricentro del trapezio.

Trapezi inscritti e circoscritti

Elenchiamo le caratteristiche di tali figure:

1. Un trapezio può essere inscritto in un cerchio solo se è isoscele.

2. Si può descrivere un trapezio attorno ad un cerchio, purché la somma delle lunghezze delle loro basi sia uguale alla somma delle lunghezze dei lati.

Conseguenze del cerchio inscritto:

1. L'altezza del trapezio descritto è sempre uguale a due raggi.

2. Il lato laterale del trapezio descritto è osservato dal centro del cerchio ad angolo retto.

Il primo corollario è ovvio, e per dimostrare il secondo è necessario stabilire che l'angolo SOD è giusto, il che, infatti, non sarà nemmeno difficile. Ma la conoscenza di questa proprietà ci consentirà di utilizzare un triangolo rettangolo per risolvere i problemi.

Ora specifichiamo queste conseguenze per un trapezio isoscele, che è inscritto in un cerchio. Otteniamo che l'altezza è la media geometrica delle basi della figura: H=2R=√(BS*AD). Praticando la tecnica principale per risolvere i problemi per i trapezi (il principio di disegnare due altezze), lo studente deve risolvere il seguente compito. Accettiamo che BT sia l'altezza della figura isoscele ABSD. È necessario trovare i segmenti AT e TD. Utilizzando la formula sopra descritta, questo non sarà difficile da fare.

Ora scopriamo come determinare il raggio di un cerchio utilizzando l'area del trapezio circoscritto. Abbassiamo l'altezza dalla parte superiore B alla base AD. Poiché il cerchio è inscritto in un trapezio, quindi BS + AD \u003d 2AB o AB \u003d (BS + AD) / 2. Dal triangolo ABN troviamo sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Otteniamo PABSD \u003d (BS + HELL) * R, ne consegue che R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Tutte le formule della linea mediana di un trapezio

Ora è il momento di passare all'ultimo elemento di questa figura geometrica. Scopriamo a cosa è uguale la linea mediana del trapezio (M):

1. Attraverso le basi: M \u003d (A + B) / 2.

2. Attraverso altezza, base e angoli:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Attraverso l'altezza, le diagonali e l'angolo tra di loro. Ad esempio, D1 e D2 sono le diagonali di un trapezio; α, β - angoli tra loro:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. Attraverso l'area e l'altezza: M = P / N.

  1. Il segmento che collega i punti medi delle diagonali di un trapezio è uguale alla metà della differenza delle basi
  2. I triangoli formati dalle basi del trapezio e dai segmenti delle diagonali fino al punto della loro intersezione sono simili
  3. Triangoli formati da segmenti delle diagonali di un trapezio, i cui lati giacciono sui lati del trapezio - area uguale (hanno la stessa area)
  4. Se estendiamo i lati del trapezio verso la base più piccola, allora si intersecheranno in un punto con la retta che collega i punti medi delle basi
  5. Il segmento che collega le basi del trapezio, e passante per il punto di intersezione delle diagonali del trapezio, è diviso da questo punto in una proporzione uguale al rapporto tra le lunghezze delle basi del trapezio
  6. Un segmento parallelo alle basi del trapezio e disegnato attraverso il punto di intersezione delle diagonali è diviso in due da questo punto e la sua lunghezza è 2ab / (a ​​​​+ b), dove a e b sono le basi del trapezio

Proprietà di un segmento che collega i punti medi delle diagonali di un trapezio

Collega i punti medi delle diagonali del trapezio ABCD, per cui avremo un segmento LM.
Un segmento di linea che unisce i punti medi delle diagonali di un trapezio giace sulla linea mediana del trapezio.

Questo segmento parallela alla base del trapezio.

La lunghezza del segmento che collega i punti medi delle diagonali di un trapezio è uguale alla semidifferenza delle sue basi.

LM = (AD - BC)/2
o
LM = (a-b)/2

Proprietà dei triangoli formati dalle diagonali di un trapezio


I triangoli che sono formati dalle basi del trapezio e dal punto di intersezione delle diagonali del trapezio - sono simili.
I triangoli BOC e AOD sono simili. Poiché gli angoli BOC e AOD sono verticali, sono uguali.
Gli angoli OCB e OAD sono interni trasversalmente giacenti alle rette parallele AD e BC (le basi del trapezio sono parallele tra loro) e la retta secante AC, quindi, sono uguali.
Gli angoli OBC e ODA sono uguali per lo stesso motivo (incrocio interno).

Poiché tutti e tre gli angoli di un triangolo sono uguali agli angoli corrispondenti di un altro triangolo, questi triangoli sono simili.

Cosa ne consegue?

Per risolvere problemi di geometria, la somiglianza dei triangoli viene utilizzata come segue. Se conosciamo le lunghezze dei due elementi corrispondenti di triangoli simili, troviamo il coefficiente di somiglianza (dividiamo l'uno per l'altro). Da dove le lunghezze di tutti gli altri elementi sono correlate tra loro esattamente dello stesso valore.

Proprietà dei triangoli giacenti sul lato laterale e diagonali di un trapezio


Considera due triangoli che giacciono ai lati del trapezio AB e CD. Questi sono i triangoli AOB e COD. Nonostante il fatto che le dimensioni dei singoli lati di questi triangoli possano essere completamente diverse, ma le aree dei triangoli formati dai lati e il punto di intersezione delle diagonali del trapezio sono, cioè i triangoli sono uguali.


Se i lati del trapezio sono estesi verso la base più piccola, allora sarà il punto di intersezione dei lati coincidono con una retta passante per i punti medi delle basi.

Pertanto, qualsiasi trapezio può essere esteso a un triangolo. in cui:

  • I triangoli formati dalle basi di un trapezio con un vertice comune nel punto di intersezione dei lati estesi sono simili
  • La retta che collega i punti medi delle basi del trapezio è, allo stesso tempo, la mediana del triangolo costruito

Proprietà di un segmento che collega le basi di un trapezio


Se disegni un segmento le cui estremità giacciono sulle basi del trapezio, che si trova nel punto di intersezione delle diagonali del trapezio (KN), allora il rapporto dei suoi segmenti costitutivi dal lato della base al punto di intersezione del diagonali (KO / ON) sarà uguale al rapporto tra le basi del trapezio(BC/AD).

KO/ON=BC/AD

Questa proprietà deriva dalla somiglianza dei triangoli corrispondenti (vedi sopra).

Proprietà di un segmento parallelo alle basi di un trapezio


Se disegni un segmento parallelo alle basi del trapezio e passante per il punto di intersezione delle diagonali del trapezio, avrà le seguenti proprietà:

  • Distanza preimpostata (KM) taglia in due il punto di intersezione delle diagonali del trapezio
  • Taglia la lunghezza, passante per il punto di intersezione delle diagonali del trapezio e parallele alle basi, è uguale a KM = 2ab/(a + b)

Formule per trovare le diagonali di un trapezio


a, b- basi di un trapezio

CD- lati del trapezio

d1 d2- diagonali di un trapezio

α β - angoli con base maggiore del trapezio

Formule per trovare le diagonali di un trapezio attraverso le basi, i lati e gli angoli alla base

Il primo gruppo di formule (1-3) riflette una delle principali proprietà delle diagonali trapezoidali:

1. La somma dei quadrati delle diagonali di un trapezio è uguale alla somma dei quadrati dei lati più il doppio del prodotto delle sue basi. Questa proprietà delle diagonali di un trapezio può essere dimostrata come un teorema separato

2 . Questa formula si ottiene trasformando la formula precedente. Il quadrato della seconda diagonale viene lanciato sopra il segno di uguale, dopodiché la radice quadrata viene estratta dai lati sinistro e destro dell'espressione.

3 . Questa formula per trovare la lunghezza della diagonale di un trapezio è simile alla precedente, con la differenza che un'altra diagonale viene lasciata sul lato sinistro dell'espressione

Il prossimo gruppo di formule (4-5) ha un significato simile ed esprime una relazione simile.

Il gruppo di formule (6-7) ti permette di trovare la diagonale di un trapezio se conosci la base più grande del trapezio, un lato e l'angolo alla base.

Formule per trovare le diagonali di un trapezio in termini di altezza

Nota. In questa lezione viene data la soluzione dei problemi di geometria sui trapezi. Se non hai trovato una soluzione al problema della geometria del tipo che ti interessa, fai una domanda sul forum.

Un compito.
Le diagonali del trapezio ABCD (AD | | BC) si intersecano nel punto O. Trova la lunghezza della base BC del trapezio se la base AD = 24 cm, lunghezza AO = 9 cm, lunghezza OS = 6 cm.

Soluzione.
La soluzione di questo compito è assolutamente identica ai precedenti compiti in termini di ideologia.

I triangoli AOD e BOC sono simili in tre angoli: AOD e BOC sono verticali e gli angoli rimanenti sono uguali a coppie, poiché sono formati dall'intersezione di una linea e due linee parallele.

Poiché i triangoli sono simili, tutte le loro dimensioni geometriche sono correlate tra loro, come le dimensioni geometriche dei segmenti AO e OC a noi noti a seconda della condizione del problema. Questo è

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / a.C.
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Risposta: 16 cm

Un compito .
Nel trapezio ABCD è noto che AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Trova l'area del trapezio.

Soluzione.
Per trovare l'altezza di un trapezio dai vertici della base più piccola B e C, abbassiamo due altezze sulla base più grande. Poiché il trapezio è disuguale, indichiamo la lunghezza AM = a, la lunghezza KD = b ( da non confondere con i simboli nella formula trovare l'area di un trapezio). Poiché le basi del trapezio sono parallele e abbiamo omesso due altezze perpendicolari alla base più grande, MBCK è un rettangolo.

Significa
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

I triangoli DBM e ACK sono ad angolo retto, quindi i loro angoli retti sono formati dalle altezze del trapezio. Indichiamo l'altezza del trapezio con h. Poi per il teorema di Pitagora

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
e
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Considera che a \u003d 16 - b, quindi nella prima equazione
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Sostituisci il valore del quadrato dell'altezza nella seconda equazione, ottenuta dal teorema di Pitagora. Noi abbiamo:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Quindi, KD = 12
Dove
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Trova l'area di un trapezio usando la sua altezza e metà della somma delle basi
, dove a b - le basi del trapezio, h - l'altezza del trapezio
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2

Risposta: l'area di un trapezio è di 80 cm2.