In questa lezione, esamineremo altre due operazioni con i vettori: prodotto incrociato di vettori e prodotto misto di vettori (link immediato per chi ne avesse bisogno). Va bene, a volte capita che per la completa felicità, oltre a prodotto scalare dei vettori, è necessario sempre di più. Tale è la dipendenza da vettori. Si può avere l'impressione di entrare nella giungla della geometria analitica. Questo non è vero. In questa sezione di matematica superiore, c'è generalmente poca legna da ardere, tranne forse abbastanza per Pinocchio. In effetti, il materiale è molto comune e semplice, difficilmente più difficile dello stesso prodotto scalare, anche ci saranno meno attività tipiche. La cosa principale nella geometria analitica, come molti vedranno o avranno già visto, è NON SBAGLIARE I CALCOLI. Ripeti come un incantesimo e sarai felice =)

Se i vettori brillano da qualche parte lontano, come un fulmine all'orizzonte, non importa, inizia con la lezione Vettori per manichini per ripristinare o riacquisire conoscenze di base sui vettori. I lettori più preparati possono conoscere le informazioni in modo selettivo, ho cercato di raccogliere la raccolta più completa di esempi che si trovano spesso nel lavoro pratico

Cosa ti renderà felice? Quando ero piccolo, potevo destreggiarmi tra due e anche tre palle. Ha funzionato bene. Ora non c'è bisogno di destreggiarsi affatto, poiché considereremo solo vettori spaziali, e i vettori piatti con due coordinate verranno tralasciati. Come mai? È così che sono nate queste azioni: il vettore e il prodotto misto di vettori sono definiti e funzionano nello spazio tridimensionale. Già più facile!

In questa operazione, allo stesso modo del prodotto scalare, due vettori. Che siano lettere imperiture.

L'azione stessa indicato nel seguente modo: . Ci sono altre opzioni, ma sono abituato a designare il prodotto incrociato dei vettori in questo modo, tra parentesi quadre con una croce.

E immediatamente domanda: se dentro prodotto scalare dei vettori sono coinvolti due vettori, e anche qui vengono moltiplicati due vettori, quindi qual è la differenza? Una netta differenza, prima di tutto, nel RISULTATO:

Il risultato del prodotto scalare dei vettori è un NUMERO:

Il risultato del prodotto incrociato dei vettori è un VETTORE: , cioè moltiplichiamo i vettori e otteniamo di nuovo un vettore. Circolo chiuso. In realtà, da qui il nome dell'operazione. In varie pubblicazioni educative, anche le designazioni possono variare, userò la lettera .

Definizione di prodotto incrociato

Prima ci sarà una definizione con un'immagine, poi commenti.

Definizione: prodotto incrociato non collinare vettori, preso in questo ordine, si chiama VETTORE, lunghezza che è numericamente uguale all'area del parallelogramma, costruito su questi vettori; vettore ortogonale ai vettori, ed è diretto in modo che la base abbia un giusto orientamento:

Analizziamo la definizione per ossa, ci sono molte cose interessanti!

Possiamo quindi evidenziare i seguenti punti significativi:

1) Vettori sorgente, indicati da frecce rosse, per definizione non collineare. Sarà opportuno considerare il caso dei vettori collineari un po' più avanti.

2) Vettori presi in un ordine rigoroso: – "a" è moltiplicato per "essere", non "essere" in "a". Il risultato della moltiplicazione del vettoreè VECTOR , che è indicato in blu. Se i vettori vengono moltiplicati in ordine inverso, otteniamo un vettore uguale in lunghezza e opposto nella direzione (colore cremisi). Cioè, l'uguaglianza .

3) Ora conosciamo il significato geometrico del prodotto vettoriale. Questo è un punto molto importante! La LUNGHEZZA del vettore blu (e, quindi, del vettore cremisi) è numericamente uguale all'AREA del parallelogramma costruito sui vettori. Nella figura, questo parallelogramma è ombreggiato in nero.

Nota : il disegno è schematico e, ovviamente, la lunghezza nominale del prodotto incrociato non è uguale all'area del parallelogramma.

Ricordiamo una delle formule geometriche: l'area di un parallelogramma è uguale al prodotto dei lati adiacenti e il seno dell'angolo tra di loro. Pertanto, in base a quanto sopra, vale la formula per il calcolo della LUNGHEZZA di un prodotto vettoriale:

Sottolineo che nella formula si parla della LUNGHEZZA del vettore e non del vettore stesso. Qual è il significato pratico? E il significato è tale che nei problemi di geometria analitica, l'area di un parallelogramma si trova spesso attraverso il concetto di prodotto vettoriale:

Otteniamo la seconda formula importante. La diagonale del parallelogramma (linea tratteggiata rossa) lo divide in due triangoli uguali. Pertanto, l'area di un triangolo costruito su vettori (ombreggiatura rossa) può essere trovata dalla formula:

4) Un fatto altrettanto importante è che il vettore è ortogonale ai vettori , cioè . Naturalmente, anche il vettore con direzione opposta (freccia cremisi) è ortogonale ai vettori originali.

5) Il vettore è diretto in modo tale base Esso ha Giusto orientamento. In una lezione su passaggio a una nuova base Ne ho parlato in dettaglio orientamento piano, e ora scopriremo qual è l'orientamento dello spazio. Ti spiegherò con le dita mano destra. Combina mentalmente indice con vettore e dito medio con vettore. Anulare e mignolo premi sul palmo della mano. Di conseguenza pollice- il prodotto vettoriale cercherà in alto. Questa è la base orientata a destra (è nella figura). Ora scambia i vettori ( indice e medio) in alcuni punti, di conseguenza, il pollice si girerà e il prodotto vettoriale guarderà già in basso. Anche questa è una base orientata a destra. Forse hai una domanda: quale base ha un orientamento a sinistra? "Assegna" le stesse dita mano sinistra vettori e ottieni la base sinistra e l'orientamento dello spazio sinistro (in questo caso, il pollice si troverà nella direzione del vettore inferiore). In senso figurato, queste basi “torcono” o orientano lo spazio in direzioni diverse. E questo concetto non dovrebbe essere considerato qualcosa di inverosimile o astratto: ad esempio, lo specchio più ordinario cambia l'orientamento dello spazio e se "estrai l'oggetto riflesso dallo specchio", in generale non sarà possibile abbinalo all'"originale". A proposito, avvicina tre dita allo specchio e analizza il riflesso ;-)

... quanto è bello che ora sai orientato a destra e a sinistra basi, perché le affermazioni di alcuni docenti sul cambio di orientamento sono terribili =)

Prodotto vettoriale di vettori collineari

La definizione è stata elaborata in dettaglio, resta da scoprire cosa succede quando i vettori sono collineari. Se i vettori sono collineari, possono essere posizionati su una retta e anche il nostro parallelogramma si "piega" in una retta. L'area di tale, come dicono i matematici, degenerare parallelogramma è zero. Lo stesso segue dalla formula: il seno di zero o 180 gradi è uguale a zero, il che significa che l'area è zero

Quindi, se , allora e . Si noti che il prodotto incrociato stesso è uguale al vettore zero, ma in pratica questo viene spesso trascurato e scritto che è anche uguale a zero.

Un caso speciale è il prodotto vettoriale di un vettore e se stesso:

Usando il prodotto incrociato, puoi controllare la collinearità dei vettori tridimensionali e analizzeremo anche questo problema, tra gli altri.

Per risolvere esempi pratici, potrebbe essere necessario tavola trigonometrica per trovare i valori dei seni da esso.

Bene, accendiamo un fuoco:

Esempio 1

a) Trova la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori se

b) Trova l'area di un parallelogramma costruito su vettori se

Soluzione: No, questo non è un errore di battitura, ho intenzionalmente reso uguali i dati iniziali negli elementi delle condizioni. Perché il design delle soluzioni sarà diverso!

a) Secondo la condizione, è necessario trovare lunghezza vettore (prodotto vettoriale). Secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Poiché è stata chiesta la lunghezza, nella risposta indichiamo la dimensione - unità.

b) Secondo la condizione, è tenuto a trovare quadrato parallelogramma costruito su vettori. L'area di questo parallelogramma è numericamente uguale alla lunghezza del prodotto incrociato:

Risposta:

Si noti che nella risposta sul prodotto vettoriale non si parla affatto, ci è stato chiesto area della figura, rispettivamente, la dimensione è di unità quadrate.

Guardiamo sempre COSA deve essere trovato dalla condizione e, sulla base di questo, formuliamo chiaro Rispondere. Può sembrare letteralismo, ma ci sono abbastanza letteralisti tra gli insegnanti e il compito con buone probabilità verrà restituito per la revisione. Sebbene questo non sia un nitpick particolarmente teso, se la risposta non è corretta, si ha l'impressione che la persona non capisca cose semplici e / o non abbia approfondito l'essenza del compito. Questo momento dovrebbe essere sempre tenuto sotto controllo, risolvendo qualsiasi problema in matematica superiore, e anche in altre materie.

Dov'è finita la grande lettera "en"? In linea di principio, potrebbe essere ulteriormente bloccato sulla soluzione, ma per abbreviare il record, non l'ho fatto. Spero che tutti lo capiscano ed è la designazione della stessa cosa.

Un esempio popolare per una soluzione fai-da-te:

Esempio 2

Trova l'area di un triangolo costruito su vettori se

La formula per trovare l'area di un triangolo attraverso il prodotto vettoriale è riportata nei commenti alla definizione. Soluzione e risposta alla fine della lezione.

In pratica il compito è davvero molto comune, i triangoli in genere possono essere torturati.

Per risolvere altri problemi abbiamo bisogno di:

Proprietà del prodotto incrociato dei vettori

Abbiamo già considerato alcune proprietà del prodotto vettoriale, tuttavia le includerò in questo elenco.

Per vettori arbitrari e un numero arbitrario, sono vere le seguenti proprietà:

1) In altre fonti di informazione, questo elemento non è solitamente distinto nelle proprietà, ma è molto importante in termini pratici. Quindi lascia che sia.

2) - la proprietà è anche discussa sopra, a volte viene chiamata anticommutatività. In altre parole, l'ordine dei vettori è importante.

3) - combinazione o associativo leggi sui prodotti vettoriali. Le costanti sono facilmente escluse dai limiti del prodotto vettoriale. Davvero, cosa ci fanno lì?

4) - distribuzione o distribuzione leggi sui prodotti vettoriali. Non ci sono problemi nemmeno con l'apertura delle parentesi.

A titolo dimostrativo, consideriamo un breve esempio:

Esempio 3

Trova se

Soluzione: Per condizione, è nuovamente necessario trovare la lunghezza del prodotto vettoriale. Dipingiamo la nostra miniatura:

(1) Secondo le leggi associative, si estraggono le costanti oltre i limiti del prodotto vettoriale.

(2) Togliamo la costante dal modulo, mentre il modulo “mangia” il segno meno. La lunghezza non può essere negativa.

(3) Quanto segue è chiaro.

Risposta:

È ora di gettare legna sul fuoco:

Esempio 4

Calcola l'area di un triangolo costruito su vettori se

Soluzione: Trova l'area di un triangolo usando la formula . L'inconveniente è che i vettori "ce" e "te" sono essi stessi rappresentati come somme di vettori. L'algoritmo qui è standard e ricorda in qualche modo gli esempi n. 3 e 4 della lezione. Prodotto scalare di vettori. Analizziamolo in tre passaggi per chiarezza:

1) Nella prima fase, esprimiamo il prodotto vettoriale attraverso il prodotto vettoriale, infatti, esprimere il vettore in termini di vettore. Nessuna parola sulla lunghezza ancora!

(1) Sostituiamo espressioni di vettori.

(2) Usando le leggi distributive, apriamo le parentesi secondo la regola della moltiplicazione dei polinomi.

(3) Usando le leggi associative, eliminiamo tutte le costanti oltre i prodotti vettoriali. Con poca esperienza, le azioni 2 e 3 possono essere eseguite contemporaneamente.

(4) Il primo e l'ultimo termine sono uguali a zero (vettore zero) per la proprietà gradevole . Nel secondo termine, utilizziamo la proprietà di anticommutatività del prodotto vettoriale:

(5) Presentiamo termini simili.

Di conseguenza, il vettore è risultato essere espresso attraverso un vettore, che era ciò che doveva essere ottenuto:

2) Nella seconda fase, troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale di cui abbiamo bisogno. Questa azione è simile all'Esempio 3:

3) Trova l'area del triangolo richiesto:

I passaggi 2-3 della soluzione potrebbero essere disposti su una riga.

Risposta:

Il problema considerato è abbastanza comune nei test, ecco un esempio per una soluzione indipendente:

Esempio 5

Trova se

Breve soluzione e risposta alla fine della lezione. Vediamo quanto sei stato attento quando hai studiato gli esempi precedenti ;-)

Prodotto incrociato di vettori in coordinate

, dato in base ortonormale , è espresso dalla formula:

La formula è davvero semplice: scriviamo i vettori di coordinate nella riga superiore del determinante, "impacchettamo" le coordinate dei vettori nella seconda e terza riga e inseriamo in ordine rigoroso- prima le coordinate del vettore "ve", poi le coordinate del vettore "doppia-ve". Se i vettori devono essere moltiplicati in un ordine diverso, è necessario scambiare anche le linee:

Esempio 10

Controlla se i seguenti vettori spaziali sono collineari:
un)
b)

Soluzione: Il test si basa su una delle affermazioni di questa lezione: se i vettori sono collineari, il loro prodotto incrociato è zero (vettore zero): .

a) Trova il prodotto vettoriale:

Quindi i vettori non sono collineari.

b) Trova il prodotto vettoriale:

Risposta: a) non collineare, b)

Ecco, forse, tutte le informazioni di base sul prodotto vettoriale dei vettori.

Questa sezione non sarà molto ampia, poiché ci sono pochi problemi in cui viene utilizzato il prodotto misto di vettori. Tutto infatti riposerà sulla definizione, sul significato geometrico e su un paio di formule di lavoro.

Il prodotto misto dei vettori è il prodotto di tre vettori:

È così che si sono messi in fila come un treno e aspettano, non vedono l'ora di essere calcolati.

Prima ancora la definizione e l'immagine:

Definizione: Prodotto misto non complanare vettori, preso in questo ordine, è chiamato volume del parallelepipedo, costruito su questi vettori, dotato di un segno "+" se la base è destra, e un segno "-" se la base è sinistra.

Facciamo il disegno. Le linee a noi invisibili sono disegnate da una linea tratteggiata:

Entriamo nella definizione:

2) Vettori presi in un certo ordine, cioè la permutazione dei vettori nel prodotto, come puoi immaginare, non va senza conseguenze.

3) Prima di commentare il significato geometrico, prendo atto del fatto ovvio: il prodotto misto dei vettori è un NUMERO: . Nella letteratura educativa, il design può essere leggermente diverso, ero solito designare un prodotto misto e il risultato di calcoli con la lettera "pe".

Per definizione il prodotto miscelato è il volume del parallelepipedo, costruito su vettori (la figura è disegnata con vettori rossi e linee nere). Cioè, il numero è uguale al volume del dato parallelepipedo.

Nota : Il disegno è schematico.

4) Non occupiamoci di nuovo del concetto dell'orientamento della base e dello spazio. Il significato della parte finale è che un segno meno può essere aggiunto al volume. In parole povere, il prodotto misto può essere negativo: .

La formula per calcolare il volume di un parallelepipedo costruito su vettori segue direttamente dalla definizione.

L'area di un parallelogramma costruito su vettori è uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori e dell'angolo dell'angolo che si trova tra di loro.

È bene quando le lunghezze di questi stessi vettori sono date secondo le condizioni. Capita però anche che sia possibile applicare la formula per l'area di un parallelogramma costruito su vettori solo dopo calcoli sulle coordinate.
Se sei fortunato e le lunghezze dei vettori sono fornite in base alle condizioni, devi solo applicare la formula, che abbiamo già analizzato in dettaglio nell'articolo. L'area sarà uguale al prodotto dei moduli e il seno dell'angolo tra di loro:

Considera un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma costruito su vettori.

Un compito: Il parallelogramma è costruito sui vettori e . Trova l'area se , e l'angolo tra di loro è 30°.
Esprimiamo i vettori in base ai loro valori:

Forse hai una domanda: da dove vengono gli zeri? Vale la pena ricordare che stiamo lavorando con i vettori e per loro . si noti inoltre che se otteniamo un'espressione come risultato, verrà convertita in. Ora facciamo i calcoli finali:

Torniamo al problema quando le lunghezze dei vettori non sono specificate nelle condizioni. Se il tuo parallelogramma si trova nel sistema di coordinate cartesiane, devi fare quanto segue.

Calcolo delle lunghezze dei lati di una figura data da coordinate

Per cominciare, troviamo le coordinate dei vettori e sottraiamo le corrispondenti coordinate iniziali dalle coordinate finali. Assumiamo le coordinate del vettore a (x1;y1;z1) e del vettore b (x3;y3;z3).
Ora troviamo la lunghezza di ogni vettore. Per fare ciò, ogni coordinata deve essere al quadrato, quindi sommare i risultati ed estrarre la radice da un numero finito. Secondo i nostri vettori, verranno effettuati i seguenti calcoli:


Ora dobbiamo trovare il prodotto scalare dei nostri vettori. Per fare ciò, le rispettive coordinate vengono moltiplicate e sommate.

Date le lunghezze dei vettori e il loro prodotto scalare, possiamo trovare il coseno dell'angolo compreso tra di loro .
Ora possiamo trovare il seno dello stesso angolo:
Ora abbiamo tutte le quantità necessarie e possiamo facilmente trovare l'area di un parallelogramma costruito su vettori usando la formula già nota.

Innanzitutto, ricordiamo cos'è un prodotto vettoriale.

Nota 1

arte vettoriale per $\vec(a)$ e $\vec(b)$ è $\vec(c)$, che è un terzo vettore $\vec(c)= ||$, e questo vettore ha proprietà speciali:

• Lo scalare del vettore risultante è il prodotto di $|\vec(a)|$ e $|\vec(b)|$ per il seno dell'angolo $\vec(c)= ||= |\vec(a )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Tutti $\vec(a), \vec(b)$ e $\vec(c)$ formano una terna destra;
• Il vettore risultante è ortogonale a $\vec(a)$ e $\vec(b)$.

Se ci sono delle coordinate per i vettori ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ e $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), allora il loro prodotto vettoriale in il sistema di coordinate cartesiane può essere determinato dalla formula:

$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$

Il modo più semplice per ricordare questa formula è scriverla sotto forma di determinante:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(array)$.

Questa formula è abbastanza comoda da usare, ma per capire come usarla, devi prima familiarizzare con l'argomento delle matrici e dei loro determinanti.

Area del parallelogramma, i cui lati sono definiti da due vettori $\vec(a)$ e $vec(b)$ è uguale a allo scalare del prodotto incrociato dei due vettori dati.

Questo rapporto è abbastanza facile da ricavare.

Richiama la formula per trovare l'area di un parallelogramma ordinario, che può essere caratterizzato dai suoi segmenti $a$ e $b$:

$S = a \cpunto b \cpunto \peccato α$

In questo caso, le lunghezze dei lati sono uguali ai valori scalari dei vettori $\vec(a)$ e $\vec(b)$, il che è abbastanza adatto per noi, cioè lo scalare del prodotto vettoriale di questi vettori sarà l'area della figura in esame.

Esempio 1

Dati i vettori $\vec(c)$ con coordinate $\(5;3; 7\)$ e un vettore $\vec(g)$ con coordinate $\(3; 7;10 \)$ in coordinate cartesiane. Trova l'area del parallelogramma formata da $\vec(c)$ e $\vec(g)$.

Soluzione:

Trova il prodotto vettoriale per questi vettori:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(array) (|cc |) 3 e 7 \\ 7 e 10 \\ \end(array) - j \cdot \begin(array) (|cc|) 5 e 7 \\ 3 e 10 \\ \end(array) + k \cdot \begin(array) (|cc|) 5 e 3 \\ 3 e 7 \\ \end(array) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

Ora troviamo il valore modulare per il segmento direzionale risultante, è il valore dell'area del parallelogramma costruito:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34$.

Questo ragionamento vale non solo per trovare l'area in uno spazio tridimensionale, ma anche per uno spazio bidimensionale. Dai un'occhiata alla prossima domanda su questo argomento.

Esempio 2

Calcola l'area di un parallelogramma se i suoi segmenti generatori sono dati dai vettori $\vec(m)$ con coordinate $\(2; 3\)$ e $\vec(d)$ con coordinate $\(-5; 6\)$.

Soluzione:

Questo problema è un esempio particolare del problema 1, risolto sopra, ma entrambi i vettori giacciono sullo stesso piano, il che significa che la terza coordinata, $z$, può essere considerata zero.

Per riassumere quanto sopra, l'area del parallelogramma sarà:

$S = \begin(array) (||cc||) 2 e 3\\ -5 e 6 \\ \end(array) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

Esempio 3

Dati i vettori $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)=5i$. Trova l'area del parallelogramma che formano.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i - j + k) \times 5i = 15 - 5 + $

Semplifichiamo secondo la tabella data per i vettori unitari:

Figura 1. Decomposizione di un vettore in termini di base. Author24 - scambio online di documenti degli studenti

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Tempo di calcolo:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

I problemi precedenti riguardavano i vettori le cui coordinate sono date nel sistema di coordinate cartesiane, ma si consideri anche il caso in cui l'angolo tra i vettori di base differisca da $90°$:

Esempio 4

Il vettore $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, le lunghezze di $\vec(a)$ e $\vec(b)$ sono uguali tra loro e uguale a uno, e l'angolo tra $\vec(a)$ e $\vec(b)$ è 45°.

Soluzione:

Calcoliamo il prodotto vettoriale $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

Per i prodotti vettoriali, in base alle loro proprietà, vale quanto segue: $$ e $$ sono uguali a zero, $ = - $.

Usiamo questo per semplificare:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11$.

Ora usiamo la formula $(1)$ :

$[\vec(d) \times \vec(f)] = |-11 | = 11 \cpunto |a| \cpunto |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5,5$.