Grafico della funzione y x 1 2. Grafico della funzione. Lezione sull'argomento: "Grafico e proprietà della funzione $y=x3$. Esempi di plottaggio"
Costruisci una funzione
Portiamo alla vostra attenzione un servizio per la tracciatura di grafici di funzione online, tutti i diritti sui quali appartengono all'azienda Desmo. Utilizzare la colonna di sinistra per inserire le funzioni. Puoi entrare manualmente o usando la tastiera virtuale nella parte inferiore della finestra. Per ingrandire la finestra del grafico, puoi nascondere sia la colonna di sinistra che la tastiera virtuale.
Vantaggi della creazione di grafici online
- Visualizzazione visiva delle funzioni introdotte
- Costruire grafici molto complessi
- Tracciare grafici definiti implicitamente (ad es. ellisse x^2/9+y^2/16=1)
- La possibilità di salvare i grafici e ottenere un collegamento ad essi, che diventa disponibile per tutti su Internet
- Controllo della scala, colore della linea
- La capacità di tracciare grafici per punti, l'uso di costanti
- Costruzione di più grafici di funzioni contemporaneamente
- Tracciare in coordinate polari (usa r e θ(\theta))
Con noi è facile costruire online grafici di varia complessità. La costruzione avviene all'istante. Il servizio è richiesto per trovare punti di intersezione di funzioni, per visualizzare grafici per il loro ulteriore trasferimento in un documento Word come illustrazioni per la risoluzione di problemi, per analizzare le caratteristiche comportamentali dei grafici di funzioni. Il miglior browser per lavorare con i grafici in questa pagina del sito è Google Chrome. Quando si utilizzano altri browser, non è garantito il corretto funzionamento.
Costruisci una curva data da equazioni parametriche \
Studiamo prima i grafici delle funzioni \(x\left(t \right)\) e \(x\left(t \right)\). Entrambe le funzioni sono polinomi cubici definiti per tutti \(x \in \mathbb(R).\) Trova la derivata \(x"\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \ destra) = (\left(((t^3) + (t^2) - t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 2t - 1.) \] Risolvere l'equazione \ ( x"\left(t \right) = 0,\) definisce i punti stazionari della funzione \(x\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \right) = 0, )\;\ ; (\Freccia destra 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Freccia destra (t_(1,2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] (t = 1\) la funzione \(x\left(t \right)\) raggiunge un massimo pari a \ e nel punto \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) ha un minimo uguale a \[ (x\left((\frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\left( (\ frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \frac( 1) (9) - \frac(1)(3) = - \frac(5)((27)).) \] Considera la derivata \(y"\left(t \right):\) \[ ( y"\ left(t \right) = (\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4 .) \ ] Trova i punti stazionari della funzione \(y\left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3(t ^2) + 4t - 4 = 0,)\;\;(\Freccia destra (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2;\ ;\frac(2) (3).) \] Qui, analogamente, la funzione \(y\left(t \right)\) raggiunge il suo massimo nel punto \(t = -2:\) \ e il suo minimo nel punto \(t = \large\frac (2)(3)\normalsize:\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left(( \frac(2)(3)) \right t)^3) + 2(\left((\frac(2)(3)) \right)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27 )) + \frac(8)(9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] Grafici di funzioni \(x\left(t \right)\), \(y\left(t \right)\) sono schematicamente mostrati nella figura \(15a.\)
Fig.15a |
Fig.15b |
Fig.15c |
Nota che poiché \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] quindi la curva \(y\left(x \right)\) non ha nessuna verticale, nessun asintoto orizzontale. Inoltre, poiché \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ color (blu)(t^3)) + \color(red)(2(t^2)) - \color(green)(4t) - \cancel(\color(blue)(t^3)) - \ color (rosso)(t^2) + \color(verde)(t)) \right) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\color(red)(t^ 2 ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] quindi anche la curva \(y\left(x \right)\) non ha asintoti obliqui.
Determiniamo i punti di intersezione del grafico \(y\left(x \right)\) con gli assi delle coordinate. L'intersezione con l'asse x avviene nei seguenti punti: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Freccia destra t\sinistra(((t^2) + 2t - 4) \destra) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\Freccia destra D = 4 - 4 \cpunto \left(( - 4) \right) = 20,)\;\; (\ Freccia destra (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\Freccia destra D = 1 - 4 \cpunto \left(( - 1) \right) = 5,)\;\; (\ Freccia destra (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalsize.) \)
Sul secondo intervallo \(\left(( - 2, - 1) \right)\) la variabile \(x\) aumenta da \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) a \ (x \left(( - 1) \right) = 1,\) e la variabile \(y\) diminuisce da \(y\left(( - 2) \right) = 8\) a \(y\left (( - 1) \right) = 5.\) Qui abbiamo una sezione della curva decrescente \(y\left(x \right).\) Interseca l'asse y nel punto \(\left((( 0,3 + 2\sqrt 5 ) \destra).\)
Sul terzo intervallo \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) entrambe le variabili diminuiscono. \(x\) cambia da \(x\left(( - 1) \right) = 1\) a \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) Di conseguenza, \(y\) diminuisce da \(y\left(( - 1) \right) = 5\) a \(y\ left( (\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Curve \(y\left(x \right)\ ) interseca l'origine delle coordinate.
Sul quarto intervallo \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) la variabile \(x\) aumenta da \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) a \(x\left((\ large\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) e la variabile \(y\) diminuisce da \(y\left((( \large\ frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) a \(y\left((\large\frac(2)( 3)\ normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) In questa sezione, la curva \(y\left(x \right)\) interseca l'asse y nel punto \(\left( (0.3 - 2\sqrt 5 ) \right).\)
Infine, sull'ultimo intervallo \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) entrambe le funzioni \(x\left(t \right)\), \ ( y\sinistra(t \destra)\) aumenta. La curva \(y\left(x \right)\) interseca l'asse x nel punto \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \circa 2,18.\)
Per rifinire la forma della curva \(y\left(x \right)\), calcoliamo i punti massimo e minimo. La derivata \(y"\left(x \right)\) è espressa come \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) ( ((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right))^\prime )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \ destra)))((\cancel(3)\left((t + 1) \right)\left((t - \frac(1)(3)) \right))) ) = (\frac(( \ left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \right)))((\left((t + 1) \right)\left((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] Il cambiamento nel segno della derivata \(y"\left(x \right)\) è mostrato nella figura \(15c.\) Si può vedere che nel punto \(t = - 2,\) cioè al limite degli intervalli \(I\)esimo e \(II\)esimo, la curva ha un massimo, e per \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (al limite \(IV\) esimo e \(V\)esimo intervallo) c'è un minimo. Quando si passa per il punto \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) anche la derivata cambia segno da più a meno, ma in questa regione la curva \(y\left(x \right)\ ) non è una funzione univoca. Pertanto, il punto indicato non è un estremo.
Indaghiamo anche la convessità di questa curva. Seconda derivata\(y""\left(x \right)\) ha la forma: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left( ( (y"_x)) \right))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2)) + 4t - 4 ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \right))^\prime )))((((\left(((t^3) + (t^2) - t) \ destra ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3( t ^2) + 4t - 4) \right)\left((6t + 2) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^ 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \destra)))((((\sinistra((3(t^2) + 2t - 1) \destra))^3))) = \ frac((\cancel(\color(blue)(18(t^3))) + \color(red)(24(t^2)) + \color(green)(2t) - \color(marrone) ( 4) - \cancel(\color(blue)(18(t^3))) - \color(red)(30(t^2)) + \color(green)(16t) + \color(marrone) ( 8)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - \color(red)(6(t^2 ) ) + \color(green)(18t) + \color(maroon)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \ frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right)))((((\left((t + 1) \right))^3)((\left((3t - 1) \destra))^3))). \] Di conseguenza, la derivata seconda cambia il suo segno in contrario quando passa per i seguenti punti (Fig.\(15c\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1 ) \destra ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \approssimativamente 0,24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \approssimativamente 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt(105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \approssimativamente 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \approssimativamente 40,8.) \] Pertanto, questi punti sono punti di flesso della curva \(y\left (x \destra).\)
Un diagramma schematico della curva \(y\left(x \right)\) è mostrato sopra nella figura \(15b.\)
Lezione sull'argomento: "Grafico e proprietà della funzione $y=x^3$. Esempi di plottaggio"
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Proprietà della funzione $y=x^3$
Descriviamo le proprietà di questa funzione:
1. x è la variabile indipendente, y è la variabile dipendente.
2. Dominio di definizione: è ovvio che per qualsiasi valore dell'argomento (x) è possibile calcolare il valore della funzione (y). Di conseguenza, il dominio di definizione di questa funzione è l'intera linea dei numeri.
3. Intervallo di valori: y può essere qualsiasi cosa. Di conseguenza, l'intervallo è anche l'intera linea dei numeri.
4. Se x= 0, allora y= 0.
Grafico della funzione $y=x^3$
1. Facciamo una tabella di valori:
2. Per valori positivi di x, il grafico della funzione $y=x^3$ è molto simile a una parabola, i cui rami sono più "pressati" rispetto all'asse OY.
3. Poiché la funzione $y=x^3$ ha valori opposti per valori negativi di x, il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'origine.
Ora segniamo i punti sul piano delle coordinate e costruiamo un grafico (vedi Fig. 1).
Questa curva è chiamata parabola cubica.
Esempi
I. La piccola nave rimase senza acqua dolce. È necessario portare abbastanza acqua dalla città. L'acqua viene ordinata in anticipo e pagata per un cubo intero, anche se lo riempi un po' meno. Quanti cubi dovrebbero essere ordinati per non pagare più del dovuto per un cubo in più e riempire completamente il serbatoio? È noto che il serbatoio ha la stessa lunghezza, larghezza e altezza, che sono pari a 1,5 m Risolviamo questo problema senza eseguire calcoli.
Soluzione:
1. Tracciamo la funzione $y=x^3$.
2. Trova il punto A, coordinata x, che è uguale a 1,5. Vediamo che la coordinata della funzione è compresa tra i valori 3 e 4 (vedi Fig. 2). Quindi è necessario ordinare 4 cubetti.
Un grafico di funzione è una rappresentazione visiva del comportamento di alcune funzioni sul piano delle coordinate. I grafici aiutano a comprendere vari aspetti di una funzione che non possono essere determinati dalla funzione stessa. Puoi costruire grafici di molte funzioni e ognuna di esse sarà data da una formula specifica. Il grafico di qualsiasi funzione è costruito secondo un certo algoritmo (se hai dimenticato il processo esatto di tracciare un grafico di una particolare funzione).
Passi
Tracciare una funzione lineare
- Se la pendenza è negativa, la funzione è decrescente.
-
Dal punto in cui la linea si interseca con l'asse Y, traccia un secondo punto utilizzando le distanze verticale e orizzontale. Una funzione lineare può essere tracciata utilizzando due punti. Nel nostro esempio, il punto di intersezione con l'asse Y ha coordinate (0,5); da questo punto spostati di 2 caselle in alto e poi di 1 spazio a destra. Segna un punto; avrà le coordinate (1,7). Ora puoi disegnare una linea retta.
Usa un righello per disegnare una linea retta attraverso due punti. Per evitare errori, trova il terzo punto, ma nella maggior parte dei casi il grafico può essere costruito utilizzando due punti. Quindi, hai tracciato una funzione lineare.
Disegnare punti sul piano delle coordinate
-
Definisci una funzione. La funzione è indicata come f(x). Tutti i possibili valori della variabile "y" sono chiamati l'intervallo della funzione e tutti i possibili valori della variabile "x" sono chiamati il dominio della funzione. Si consideri ad esempio la funzione y = x+2, ovvero f(x) = x+2.
Disegna due linee perpendicolari che si intersecano. La linea orizzontale è l'asse X. La linea verticale è l'asse Y.
Etichetta gli assi delle coordinate. Rompi ogni asse in segmenti uguali e numerali. Il punto di intersezione degli assi è 0. Per l'asse X: i numeri positivi vengono tracciati a destra (da 0) e i numeri negativi a sinistra. Per l'asse Y: i numeri positivi vengono tracciati in alto (da 0) e i numeri negativi in basso.
Trova i valori "y" dai valori "x". Nel nostro esempio f(x) = x+2. Sostituisci determinati valori "x" in questa formula per calcolare i valori "y" corrispondenti. Se viene data una funzione complessa, semplificala isolando la "y" su un lato dell'equazione.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Disegna punti sul piano delle coordinate. Per ogni coppia di coordinate, procedi come segue: trova il valore corrispondente sull'asse x e traccia una linea verticale (linea tratteggiata); trova il valore corrispondente sull'asse y e traccia una linea orizzontale (linea tratteggiata). Segna il punto di intersezione delle due linee tratteggiate; quindi, hai tracciato un punto grafico.
Cancella le linee tratteggiate. Fallo dopo aver tracciato tutti i punti del grafico sul piano delle coordinate. Nota: il grafico della funzione f(x) = x è una retta passante per il centro di coordinate [punto con coordinate (0,0)]; il grafico f(x) = x + 2 è una retta parallela alla retta f(x) = x, ma spostata verso l'alto di due unità e quindi passante per il punto di coordinate (0,2) (perché la costante è 2) .
Tracciare una funzione complessa
Trova gli zeri della funzione. Gli zeri di una funzione sono i valori della variabile "x" a cui y = 0, cioè questi sono i punti di intersezione del grafico con l'asse X. Tieni presente che non tutte le funzioni hanno zeri, ma questo è il primo passo nel processo di tracciatura di qualsiasi funzione. Per trovare gli zeri di una funzione, impostala uguale a zero. Per esempio:
Trova ed etichetta gli asintoti orizzontali. Un asintoto è una linea che il grafico di una funzione si avvicina ma non attraversa mai (ovvero, la funzione non è definita in quest'area, ad esempio, quando si divide per 0). Segna l'asintoto con una linea tratteggiata. Se la variabile "x" è al denominatore di una frazione (ad esempio, y = 1 4 - x 2 (\ displaystyle y = (\ frac (1) (4-x ^ (2))))), imposta il denominatore a zero e trova "x". Nei valori ottenuti della variabile "x", la funzione non è definita (nel nostro esempio, disegna linee tratteggiate attraverso x = 2 e x = -2), perché non puoi dividere per 0. Ma gli asintoti esistono non solo nei casi in cui la funzione contiene un'espressione frazionaria. Pertanto, si raccomanda di usare il buon senso:
-
Determina se la funzione è lineare. Una funzione lineare è data da una formula della forma F (x) = k x + b (\ displaystyle F (x) = kx + b) o y = k x + b (\ displaystyle y = kx + b)(ad esempio, ), e il suo grafico è una linea retta. Pertanto, la formula include una variabile e una costante (costante) senza esponenti, segni di radice e simili. Data una funzione di forma simile, tracciare tale funzione è abbastanza semplice. Ecco altri esempi di funzioni lineari:
Utilizzare una costante per contrassegnare un punto sull'asse y. La costante (b) è la coordinata "y" del punto di intersezione del grafico con l'asse Y. Cioè, è un punto la cui coordinata "x" è 0. Quindi, se x = 0 viene sostituito nella formula , allora y = b (costante). Nel nostro esempio y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) la costante è 5, cioè il punto di intersezione con l'asse Y ha coordinate (0,5). Traccia questo punto sul piano delle coordinate.
Trovare la pendenza della linea.È uguale al moltiplicatore della variabile. Nel nostro esempio y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) con la variabile "x" è un fattore 2; quindi, la pendenza è 2. La pendenza determina l'angolo di inclinazione della retta rispetto all'asse X, ovvero, maggiore è la pendenza, più velocemente aumenta o diminuisce la funzione.
Scrivi la pendenza come frazione. La pendenza è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione, cioè il rapporto tra la distanza verticale (tra due punti su una retta) e la distanza orizzontale (tra gli stessi punti). Nel nostro esempio, la pendenza è 2, quindi possiamo dire che la distanza verticale è 2 e la distanza orizzontale è 1. Scrivi questo come una frazione: 2 1 (\ displaystyle (\ frac (2) (1))).
1. Funzione frazionaria lineare e suo grafico
Una funzione della forma y = P(x) / Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi, è chiamata funzione razionale frazionaria.
Probabilmente hai già familiarità con il concetto di numeri razionali. Allo stesso modo funzioni razionali sono funzioni che possono essere rappresentate come quoziente di due polinomi.
Se una funzione razionale frazionaria è un quoziente di due funzioni lineari - polinomi di primo grado, cioè funzione di visualizzazione
y = (ax + b) / (cx + d), allora si dice lineare frazionario.
Si noti che nella funzione y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (altrimenti la funzione diventa lineare y = ax/d + b/d) e che a/c ≠ b/d (altrimenti il funzione è una costante). La funzione lineare-frazionaria è definita per tutti i numeri reali, ad eccezione di x = -d/c. I grafici delle funzioni lineari-frazionarie non differiscono nella forma dal grafico che conosci y = 1/x. Viene chiamata la curva che è il grafico della funzione y = 1/x iperbole. Con un aumento illimitato di x in valore assoluto, la funzione y = 1/x diminuisce indefinitamente in valore assoluto ed entrambi i rami del grafico si avvicinano all'asse delle ascisse: quello di destra si avvicina dall'alto e quello di sinistra si avvicina dal basso. Le linee avvicinate dai rami di un'iperbole sono dette sue asintoti.
Esempio 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
Soluzione.
Selezioniamo la parte intera: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Ora è facile vedere che il grafico di questa funzione è ottenuto dal grafico della funzione y = 1/x mediante le seguenti trasformazioni: spostamento di 3 segmenti unitari verso destra, allungamento lungo l'asse Oy di 7 volte e spostamento di 2 segmenti di unità in alto.
Qualsiasi frazione y = (ax + b) / (cx + d) può essere scritta allo stesso modo, evidenziando la “parte intera”. Di conseguenza, i grafici di tutte le funzioni lineari-frazionarie sono iperboli spostate lungo gli assi delle coordinate in vari modi e allungate lungo l'asse Oy.
Per tracciare un grafico di qualche funzione lineare-frazionaria arbitraria, non è affatto necessario trasformare la frazione che definisce questa funzione. Poiché sappiamo che il grafico è un'iperbole, basterà trovare le linee a cui si avvicinano i suoi rami - l'iperbole asintota x = -d/c e y = a/c.
Esempio 2
Trova gli asintoti del grafico della funzione y = (3x + 5)/(2x + 2).
Soluzione.
La funzione non è definita, quando x = -1. Quindi, la linea x = -1 funge da asintoto verticale. Per trovare l'asintoto orizzontale, scopriamo a cosa si avvicinano i valori della funzione y(x) quando l'argomento x aumenta in valore assoluto.
Per fare ciò, dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione per x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Poiché x → ∞ la frazione tende a 3/2. Quindi, l'asintoto orizzontale è la retta y = 3/2.
Esempio 3
Traccia la funzione y = (2x + 1)/(x + 1).
Soluzione.
Selezioniamo la “parte intera” della frazione:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Ora è facile vedere che il grafico di questa funzione è ottenuto dal grafico della funzione y = 1/x mediante le seguenti trasformazioni: uno spostamento di 1 unità a sinistra, una visualizzazione simmetrica rispetto a Ox, e uno spostamento di 2 unità di intervallo lungo l'asse Oy.
Dominio di definizione D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Intervallo di valori E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Punti di intersezione con assi: c Oy: (0; 1); c Bue: (-1/2; 0). La funzione aumenta su ciascuno degli intervalli del dominio di definizione.
Risposta: figura 1.
2. Funzione frazionario-razionale
Si consideri una funzione razionale frazionaria della forma y = P(x) / Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi di grado maggiore del primo.
Esempi di tali funzioni razionali:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) o y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Se la funzione y = P(x) / Q(x) è un quoziente di due polinomi di grado maggiore del primo, il suo grafico sarà, di regola, più complicato e talvolta può essere difficile costruirlo esattamente , con tutti i dettagli. Tuttavia, spesso è sufficiente applicare tecniche simili a quelle con cui ci siamo già incontrati sopra.
Sia propria la frazione (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Ovviamente, il grafico di una funzione razionale frazionaria può essere ottenuto come somma di grafici di frazioni elementari.
Tracciare funzioni razionali frazionarie
Considera diversi modi per tracciare una funzione frazionaria-razionale.
Esempio 4
Traccia la funzione y = 1/x 2 .
Soluzione.
Usiamo il grafico della funzione y \u003d x 2 per tracciare il grafico y \u003d 1 / x 2 e utilizziamo il metodo di "divisione" dei grafici.
Dominio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Intervallo di valori E(y) = (0; +∞).
Non ci sono punti di intersezione con gli assi. La funzione è pari. Aumenta per ogni x dell'intervallo (-∞; 0), diminuisce per x da 0 a +∞.
Risposta: figura 2.
Esempio 5
Traccia la funzione y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Soluzione.
Dominio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Qui abbiamo utilizzato la tecnica della fattorizzazione, riduzione e riduzione a una funzione lineare.
Risposta: figura 3.
Esempio 6
Traccia la funzione y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Soluzione.
Il dominio di definizione è D(y) = R. Poiché la funzione è pari, il grafico è simmetrico rispetto all'asse y. Prima di tracciare, trasformiamo nuovamente l'espressione evidenziando la parte intera:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Si noti che la selezione della parte intera nella formula di una funzione razionale frazionaria è una delle principali quando si tracciano grafici.
Se x → ±∞, allora y → 1, cioè, la linea y = 1 è un asintoto orizzontale.
Risposta: figura 4.
Esempio 7
Considera la funzione y = x/(x 2 + 1) e prova a trovare esattamente il suo valore più grande, ad es. il punto più alto nella metà destra del grafico. Per costruire accuratamente questo grafico, le conoscenze odierne non sono sufficienti. È ovvio che la nostra curva non può "salire" molto in alto, poiché il denominatore inizia rapidamente a “sorpassare” il numeratore. Vediamo se il valore della funzione può essere uguale a 1. Per fare ciò, è necessario risolvere l'equazione x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Questa equazione non ha radici reali. Quindi la nostra ipotesi è sbagliata. Per trovare il valore più grande della funzione, è necessario scoprire per quale A più grande l'equazione A \u003d x / (x 2 + 1) avrà una soluzione. Sostituiamo l'equazione originale con una quadratica: Ax 2 - x + A \u003d 0. Questa equazione ha una soluzione quando 1 - 4A 2 ≥ 0. Da qui troviamo il valore più grande A \u003d 1/2. 
Risposta: Figura 5, max y(x) = ½.
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