Nájdite klepanie troch čísel online s riešením. Najväčší spoločný deliteľ (GCD): Definícia, príklady a vlastnosti. Čo je NOC

Čísla, ktoré sú deliteľné 10, sa nazývajú násobky 10. Napríklad 30 alebo 50 sú násobky 10. 28 je násobok 14. Čísla, ktoré sú deliteľné 10 aj 14, sa prirodzene nazývajú spoločné násobky 10 a 14.

Môžeme nájsť ľubovoľný počet spoločných násobkov. Napríklad 140, 280 atď.

Prirodzená otázka znie: ako nájsť najmenší spoločný násobok, najmenší spoločný násobok?

Z násobkov nájdených pre 10 a 14 je zatiaľ najmenší 140. Je to však najmenší spoločný násobok?

Vypočítajme naše čísla:

Zostrojme číslo, ktoré je deliteľné 10 a 14. Aby bolo deliteľné 10, musíte mať faktory 2 a 5. Aby ste boli deliteľné 14, musíte mať faktory 2 a 7. Ale 2 tam už je, zostáva pridať 7. Výsledné číslo 70 je spoločným násobkom 10 a 14. V tomto prípade nebude možné zostrojiť číslo menšie ako toto, aby bolo aj spoločným násobkom.

Takže toto je ono najmenší spoločný násobok. Používame na to označenie LCM.

Nájdime GCD a LCM pre čísla 182 a 70.

Spočítajte si sami:

3.

Kontrolujeme:

Aby sme pochopili, čo sú GCD a LCM, bez faktoringu sa nezaobídeme. Ale keď sme už pochopili, čo to je, už to nie je potrebné zakaždým brať do úvahy.

Napríklad:

Ľahko zistíte, že pre dve čísla, kde je jedno deliteľné druhým, menšie je ich GCD a väčšie je ich LCM. Skúste vysvetliť, prečo je to tak.

Otcov krok je 70 cm a krok malej dcérky 15 cm.Začínajú chodiť s nohami na rovnakej značke. Ako ďaleko prejdú, kým budú ich nohy opäť vyrovnané?

Otec a dcéra sa začínajú hýbať. Po prvé, nohy sú na rovnakej značke. Po prejdení niekoľkých krokov sa ich nohy opäť postavili na rovnakú značku. To znamená, že otec aj dcéra dosiahli k tejto značke celý rad krokov. To znamená, že vzdialenosť k nej by mala byť rozdelená dĺžkou kroku otca aj dcéry.

To znamená, že musíme nájsť:

To znamená, že sa to stane v 210 cm = 2 m 10 cm.

Je ľahké pochopiť, že otec urobí 3 kroky a dcéra - 14 (obr. 1).

Ryža. 1. Ilustrácia problému

Úloha 1

Peťa má na VKontakte 100 priateľov a Váňa 200. Koľko priateľov má Peťa a Váňa spolu, ak je ich 30 spoločných?

Odpoveď 300 je nesprávna, pretože môžu mať spoločných priateľov.

Vyriešme tento problém takto. Poďme si znázorniť súbor všetkých Peťiných priateľov okolo. Zobrazme veľa Vanyových priateľov v inom kruhu, viac.

Tieto kruhy majú spoločnú časť. Sú tam spoloční priatelia. Táto spoločná časť sa nazýva „priesečník“ dvoch množín. To znamená, že množina spoločných priateľov je priesečníkom množín priateľov každého z nich.

Ryža. 2. Kruhy mnohých priateľov

Ak je 30 spoločných priateľov, tak naľavo je 70 len Petininých priateľov a 170 len Vaninových (pozri obr. 2).

Koľko?

Celá veľká množina pozostávajúca z dvoch kruhov sa nazýva spojenie dvoch množín.

Samotný VK pre nás v skutočnosti rieši problém kríženia dvoch súborov, okamžite to naznačuje veľa spoločných priateľov, keď prejdete na stránku inej osoby.

Situácia s GCD a LCM dvoch čísel je veľmi podobná.

Úloha 2

Zvážte dve čísla: 126 a 132.

Ich prvotné faktory znázorníme v kruhoch (pozri obr. 3).

Ryža. 3. Kruhy s prvočiniteľmi

Priesečníkom množín sú spoločné deliče. Z nich pozostáva NOD.

Spojenie dvoch množín nám dáva LCM.

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. ročník. - Gymnázium. 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. - M.: Osveta, 1989.

4. Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úlohy pre kurz matematiky 5.-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Príručka pre žiakov 6. ročníka korešpondenčnej školy MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Rozhovorová učebnica pre ročníky 5-6 stredná škola. - M .: Vzdelávanie, Knižnica pre učiteľov matematiky, 1989.

3. Webová stránka „Školský asistent“ ()

Domáca úloha

1. V prístavnom meste začínajú tri turistické výlety loďou, z ktorých prvý trvá 15 dní, druhý - 20 a tretí - 12 dní. Po návrate do prístavu sa lode v ten istý deň opäť vydajú na plavbu. Motorové lode dnes opustili prístav na všetkých troch trasách. O koľko dní sa prvýkrát spolu plavia? Koľko ciest vykoná každá loď?

2. Nájdite LCM čísel:

3. Nájdite prvočísla najmenšieho spoločného násobku čísel:

A keď: , , .

Zvážte dva spôsoby, ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa.

Hľadanie faktoringom

Prvým spôsobom je nájsť najväčšieho spoločného deliteľa rozdelením daných čísel na prvočiniteľa.

Ak chcete nájsť GCD niekoľkých čísel, stačí ich rozložiť na prvočísla a vynásobiť medzi sebou tie, ktoré sú spoločné pre všetky dané čísla.

Príklad 1 Nájdeme GCD (84, 90).

Čísla 84 a 90 rozložíme na prvočísla:

Takže sme podčiarkli všetky spoločné prvočísla, zostáva ich medzi sebou vynásobiť: 1 2 3 = 6.

Takže gcd(84, 90) = 6.

Príklad 2 Nájdeme GCD (15, 28).

15 a 28 rozložíme na hlavné faktory:

Čísla 15 a 28 sú coprime, pretože sú najväčšie spoločný deliteľ- jednotka.

gcd (15, 28) = 1.

Euklidov algoritmus

Druhá metóda (inak nazývaná Euklidova metóda) je nájsť GCD postupným delením.

Najprv sa pozrieme na túto metódu ako aplikovanú iba na dve dané čísla a potom prídeme na to, ako ju aplikovať na tri alebo viac čísel.

Ak je väčšie z dvoch daných čísel deliteľné menším, potom číslo, ktoré je menšie, bude ich najväčším spoločným deliteľom.

Príklad 1 Vezmite dve čísla 27 a 9. Keďže 27 je deliteľné 9 a 9 je deliteľné 9, potom 9 je spoločným deliteľom čísel 27 a 9. Tento deliteľ je zároveň najväčší, pretože 9 nemôže byť deliteľné žiadnym číslom, väčší ako 9. Preto gcd (27, 9) = 9.

V iných prípadoch sa na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel použije nasledujúci postup:

1. Z dvoch daných čísel sa väčšie číslo delí menším.
2. Potom sa menšie číslo vydelí zvyškom, ktorý vznikne delením väčšieho čísla menším.
3. Ďalej sa prvý zvyšok delí druhým zvyškom, ktorý sa získa vydelením menšieho čísla prvým zvyškom.
4. Druhý zvyšok sa delí tretím, ktorý sa získa vydelením prvého zvyšku druhým atď.
5. Delenie teda pokračuje, kým zvyšok nie je nula. Posledný deliteľ bude najväčší spoločný deliteľ.

Príklad 2 Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 140 a 96:

1) 140 : 96 = 1 (zvyšok 44)

2) 96:44 = 2 (zvyšok 8)

3) 44: 8 = 5 (zvyšok 4)

Posledný deliteľ je 4, čo znamená gcd(140, 96) = 4.

Sekvenčné delenie možno zapísať aj do stĺpca:

Ak chcete nájsť najväčšieho spoločného deliteľa troch alebo viacerých daných čísel, použite nasledujúci postup:

1. Najprv nájdite najväčšieho spoločného deliteľa akýchkoľvek dvoch čísel z viacerých množín údajov.
2. Potom nájdeme GCD nájdeného deliteľa a nejakú tretinu dané číslo.
3. Potom nájdeme GCD posledného nájdeného deliteľa a štvrtého daného čísla atď.

Príklad 3 Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 140, 96 a 48. GCD čísel 140 a 96 sme už našli v predchádzajúcom príklade (ide o číslo 4). Zostáva nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísla 4 a tretieho daného čísla - 48:

48 je deliteľné 4 bezo zvyšku. Takže gcd(140, 96, 48) = 4.

LCM je najmenší spoločný násobok. Číslo, ktorým budú všetky dané čísla bezo zvyšku deliteľné.

Napríklad, ak sú dané čísla 2, 3, 5, potom LCM=2*3*5=30

A ak sú dané čísla 2,4,8, potom LCM \u003d 8

čo je NOD?

GCD je najväčší spoločný deliteľ. Číslo, ktorým možno rozdeliť každé z daných čísel bezo zvyšku.

Je logické, že ak sú dané čísla prvočísla, potom sa GCD rovná jednej.

A ak sú uvedené čísla 2, 4, 8, potom GCD je 2.

Naplánujte si to všeobecný pohľad Nebudeme, ale jednoducho ukážeme riešenie na príklade.

Sú dané dve čísla 126 a 44. Nájdite GCD.

Potom, ak dostaneme dve čísla formulára

Potom sa GCD vypočíta ako

kde min je minimálna hodnota všetkých hodnôt mocnín pn

a NOC as

kde max je maximálna hodnota všetkých hodnôt mocnín čísla pn

Pri pohľade na vyššie uvedené vzorce je možné ľahko dokázať, že GCD dvoch alebo viacerých čísel sa bude rovnať jednému, potom, keď medzi aspoň jedným párom daných hodnôt sú prvočísla.

Preto je ľahké odpovedať na otázku, aká je GCD takýchto čísel 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 bez toho, aby ste čokoľvek vypočítali.

čísla 3 a 7 sú spoluprvé, a preto gcd=1

Zvážte príklad.

Dané tri čísla 24654, 25473 a 954

Každé číslo sa rozloží na nasledujúce faktory

Alebo, ak píšeme v alternatívnej forme

To znamená, že GCD týchto troch čísel sa rovná trom

No, LCM môžeme vypočítať podobným spôsobom a rovná sa

Náš robot vám pomôže vypočítať GCD a LCM akýchkoľvek celých čísel, dvoch, troch alebo desiatich.

Prehľad kľúčových slov:Celé čísla. Aritmetické operácie s prirodzenými číslami. Deliteľnosť prirodzené čísla. Prvočísla a zložené čísla. Rozklad prirodzeného čísla na prvočiniteľa. Znaky deliteľnosti 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Najväčší spoločný deliteľ (GCD), ako aj najmenší spoločný násobok (LCM). Delenie so zvyškom.

Celé čísla sú čísla, ktoré sa používajú na počítanie predmetov - 1, 2, 3, 4 , ... Ale číslo 0 nie je prirodzené!

Množina prirodzených čísel je N. Nahrávanie "3 ∈ N" znamená, že číslo tri patrí do množiny prirodzených čísel a zápisu "0 ∉ N" znamená, že číslo nula do tejto množiny nepatrí.

Desatinná číselná sústava- pozičná číselná sústava založená na 10 .

Aritmetické operácie s prirodzenými číslami

Pre prirodzené čísla sú definované tieto akcie: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocňovanie, extrakcia koreňov. Prvé štyri kroky sú aritmetika.

Nech a, b a c sú prirodzené čísla

1. DOPLNENIE. Obdobie + Obdobie = Suma

Vlastnosti sčítania
1. Komutatívne a + b = b + a.
2. Kombinácia a + (b + c) \u003d (a + b) + c.
3. a + 0 = 0 + a = a.

2. ODČÍTAŤ. Znížené - odpočítané = rozdiel

vlastnosti odčítania
1. Odčítanie súčtu od čísla a - (b + c) \u003d a - b - c.
2. Odčítanie čísla od súčtu (a + b) - c \u003d a + (b - c); (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a \u003d 0.

3. NÁSOBENIE. Násobiteľ * Násobiteľ = produkt

Vlastnosti násobenia
1. Komutatívne a * b \u003d b * a.
2. Kombinácia a * (b * c) \u003d (a * b) * c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Distribúcia (a + b) * c \u003d ac + bc; (a - b) * c \u003d ac - bc.

4. DIVÍZIA. Dividenda: Deliteľ = Podiel

vlastnosti delenia
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. Nemôžete deliť nulou!
3,0: ​​a=0.

Postup

1. Najprv akcie v zátvorkách.
2. Potom násobenie, delenie.
3. A až na konci sčítanie, odčítanie.

Deliteľnosť prirodzených čísel. Prvočísla a zložené čísla.

Deliteľ prirodzeného čísla a sa nazýva prirodzené číslo, ktorým a rozdelené bezo zvyšku. číslo 1 je deliteľ ľubovoľného prirodzeného čísla.

Prirodzené číslo sa volá jednoduché iba ak má dva deliteľ: jedna a samotné číslo. Napríklad čísla 2, 3, 11, 23 sú prvočísla.

Volá sa číslo s viac ako dvoma deliteľmi zložený. Napríklad čísla 4, 8, 15, 27 sú zložené čísla.

znak deliteľnosti Tvorba niekoľko čísel: ak je aspoň jeden z faktorov deliteľný nejakým číslom, potom je týmto číslom deliteľný aj súčin. Práca 24 15 77 deleno 12 , pretože faktor tohto čísla 24 deleno 12 .

Znamienko deliteľnosti súčtu (rozdielu)čísla: ak je každý člen deliteľný nejakým číslom, tak celý súčet je deliteľný týmto číslom. Ak a:b a c:b, potom (a + c): b. Čo ak a:b, a c nedeliteľné b, potom a+c nedeliteľné číslom b.

Ak a:c a c:b, potom a:b. Na základe skutočnosti, že 72:24 a 24:12 usudzujeme, že 72:12.

Reprezentácia čísla ako súčinu mocnín prvočísel sa nazýva rozklad čísla na prvočísla.

Základná veta aritmetiky: akékoľvek prirodzené číslo (okrem 1 ) alebo je jednoduché alebo sa dá rozložiť na prvočiniteľa iba jedným spôsobom.

Pri rozklade čísla na prvočísla sa používajú znamienka deliteľnosti a používa sa označenie „stĺpec.“ V tomto prípade je deliteľ umiestnený napravo od zvislej čiary a podiel sa zapisuje pod delenec.

Napríklad úloha: rozložte číslo na prvočísla 330 . Riešenie:

Známky deliteľnosti podľa 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 a 11.

Existujú znaky deliteľnosti na 6, 15, 45 atď., teda do čísiel, ktorých súčin môže byť faktorizovaný 2, 3, 5, 9 a 10 .

Najväčší spoločný deliteľ

Najväčšie prirodzené číslo, ktorým je každé z dvoch daných prirodzených čísel deliteľné, sa nazýva najväčší spoločný deliteľ tieto čísla ( GCD). Napríklad gcd (10; 25) = 5; a GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.

Ak je najväčší spoločný deliteľ dvoch prirodzených čísel 1 , potom sa volajú tieto čísla nesúdeliteľné.

Algoritmus na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa(GCD)

GCD sa často používa pri problémoch. Napríklad 155 zošitov a 62 pier bolo rozdelených rovnomerne medzi študentov tej istej triedy. Koľko žiakov je v tejto triede?

Riešenie: Zistenie počtu žiakov v tejto triede je zredukované na hľadanie najväčšieho spoločného deliteľa čísel 155 a 62, keďže zošity a perá boli rozdelené rovnakým dielom. 155 = 531; 62 = 231. GCD (155; 62) = 31.

odpoveď: 31 žiakov v triede.

Najmenší spoločný násobok

Násobok prirodzeného čísla a je prirodzené číslo, ktoré je deliteľné a bez stopy. Napríklad číslo 8 má násobky: 8, 16, 24, 32 , … Akékoľvek prirodzené číslo má nekonečne veľa násobkov.

Najmenší spoločný násobok(LCM) je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom týchto čísel.

Algoritmus na nájdenie najmenšieho spoločného násobku ( NOC):

LCM sa často používa aj pri problémoch. Napríklad dvaja cyklisti vyštartovali súčasne na cyklotrasu v rovnakom smere. Jeden urobí kruh za 1 minútu a druhý za 45 s. Za koľko minút po začiatku pohybu sa stretnú na štarte?

Riešenie: Počet minút, po ktorých sa opäť stretnú na štarte, musí byť deliteľný 1 minúta, ako aj na 45 s. Za 1 min = 60 s. To znamená, že je potrebné nájsť LCM (45; 60).
45 = 3 2 5;
60 = 2 2 3 5.
NOC (45; 60)= 2 2 3 2 5 = 4 9 5 = 180 .
Výsledkom je, že cyklisti sa stretnú na štarte po 180 s = 3 min.

odpoveď: 3 min.

Delenie so zvyškom

Ak je prirodzené číslo a nie je deliteľné prirodzeným číslom b, potom môžete urobiť rozdelenie so zvyškom. V tomto prípade sa nazýva výsledný kvocient neúplné. Správna rovnosť je:

a = b n + r,

kde a- deliteľný b- delič, n- neúplný kvocient, r- zvyšok. Nech je napríklad dividenda 243 , delič - 4 , potom 243: 4 = 60 (zvyšok 3). To znamená, a \u003d 243, b \u003d 4, n \u003d 60, r \u003d 3, potom 243 = 60 4 + 3 .

Čísla, ktoré sú deliteľné 2 bez stopy, sú tzv dokonca: a = 2n,n ∈ N.

Zvyšné čísla sú volané zvláštny: b = 2n + 1,n ∈ N.

Toto je súhrn k téme. „Celé čísla. Známky deliteľnosti ». Ak chcete pokračovať, vyberte nasledujúce kroky:

• Prejdite na nasledujúci abstrakt:

Najväčší spoločný deliteľ

Definícia 2

Ak je prirodzené číslo a deliteľné prirodzeným číslom $b$, potom $b$ sa nazýva deliteľ $a$ a číslo $a$ sa nazýva násobok $b$.

Nech $a$ a $b$ sú prirodzené čísla. Číslo $c$ sa nazýva spoločný deliteľ pre $a$ aj $b$.

Množina spoločných deliteľov čísel $a$ a $b$ je konečná, pretože žiadny z týchto deliteľov nemôže byť väčší ako $a$. To znamená, že medzi týmito deliteľmi je ten najväčší, ktorý sa nazýva najväčší spoločný deliteľ čísel $a$ a $b$ a na jeho označenie sa používa zápis:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​alebo \ D \ (a;b)$

Ak chcete nájsť najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel:

1. Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

Príklad 1

Nájdite gcd čísel $ 121 $ a $ 132, $

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Vyberte čísla, ktoré sú zahrnuté v rozšírení týchto čísel

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

$gcd=2\cdot 11=22$

Príklad 2

Nájdite GCD monomiálov 63 $ a 81 $.

Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to:

Rozložme čísla na prvočísla

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Vyberáme čísla, ktoré sú zahrnuté do rozšírenia týchto čísel

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

$gcd=3\cdot 3=9$

GCD dvoch čísel môžete nájsť iným spôsobom, pomocou množiny deliteľov čísel.

Príklad 3

Nájdite gcd čísel $ 48 $ a $ 60 $.

Riešenie:

Nájdite množinu deliteľov $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Teraz nájdime množinu deliteľov $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Nájdeme priesečník týchto množín: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - táto množina určí množinu spoločných deliteľov čísel $48$ a $60 $. Najväčší prvok v tejto sade bude číslo $12$. Takže najväčší spoločný deliteľ 48 $ a 60 $ je 12 $.

Definícia NOC

Definícia 3

spoločný násobok prirodzených čísel$a$ a $b$ je prirodzené číslo, ktoré je násobkom $a$ aj $b$.

Spoločné násobky čísel sú čísla, ktoré sú bezo zvyšku deliteľné originálom. Napríklad pre čísla $25$ a $50$ budú spoločnými násobkami čísla $50,100,150,200 $ atď.

Najmenší spoločný násobok sa bude nazývať najmenší spoločný násobok a označí sa LCM$(a;b)$ alebo K$(a;b).$

Ak chcete nájsť LCM dvoch čísel, potrebujete:

1. Rozložte čísla na prvočísla
2. Vypíšte faktory, ktoré sú súčasťou prvého čísla, a pridajte k nim faktory, ktoré sú súčasťou druhého čísla a nepokračujte k prvému

Príklad 4

Nájdite LCM čísel 99 $ a 77 $.

Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to

Rozložte čísla na prvočísla

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Zapíšte si faktory zahrnuté v prvom

pridajte k nim faktory, ktoré sú súčasťou druhého a nejdú do prvého

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najmenší spoločný násobok

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Zostavovanie zoznamov deliteľov čísel je často časovo veľmi náročné. Existuje spôsob, ako nájsť GCD nazývaný Euklidov algoritmus.

Vyhlásenia, na ktorých je založený Euklidov algoritmus:

Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla a $a\vbodky b$, potom $D(a;b)=b$

Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla také, že $b

Pomocou $D(a;b)= D(a-b;b)$ môžeme postupne znižovať uvažované čísla, až kým nedosiahneme dvojicu čísel tak, že jedno z nich je deliteľné druhým. Potom menšie z týchto čísel bude požadovaným najväčším spoločným deliteľom pre čísla $a$ a $b$.

Vlastnosti GCD a LCM

1. Každý spoločný násobok $a$ a $b$ je deliteľný K$(a;b)$
2. Ak $a\vdots b$ , potom K$(a;b)=a$

Ak K$(a;b)=k$ a $m$-prirodzené číslo, potom K$(am;bm)=km$

Ak $d$ je spoločný deliteľ pre $a$ a $b$, potom K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ak $a\vdots c$ a $b\vdots c$ , potom $\frac(ab)(c)$ je spoločný násobok $a$ a $b$

Pre všetky prirodzené čísla $a$ a $b$ je rovnosť

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Akýkoľvek spoločný deliteľ $a$ a $b$ je deliteľ $D(a;b)$