Na obrázku av je priemer. Kruh. Typické úlohy. Konštrukcia kolmých čiar
Volá sa veta, ktorá vysvetľuje význam konkrétneho výrazu alebo názvu definícia. Stretli sme sa už s definíciami, napríklad s definíciou uhla, susedných uhlov, rovnoramenný trojuholník a pod.. Uveďme definíciu ďalšieho geometrického útvaru – kruhu.
Definícia
Tento bod sa nazýva stred kruhu a segment spájajúci stred s ktorýmkoľvek bodom kruhu je polomer kruhu(obr. 77). Z definície kružnice vyplýva, že všetky polomery majú rovnakú dĺžku.
Ryža. 77
Úsečka spájajúca dva body na kružnici sa nazýva jej tetiva. Tetiva prechádzajúca stredom kruhu sa nazýva jeho priemer.
Na obrázku 78 sú segmenty AB a EF tetivami kruhu, segment CD je priemer kruhu. Je zrejmé, že priemer kruhu je dvojnásobkom jeho polomeru. Stred kruhu je stredom akéhokoľvek priemeru.
Ryža. 78
Akékoľvek dva body na kruhu ho rozdeľujú na dve časti. Každá z týchto častí sa nazýva oblúk kruhu. Na obrázku 79 sú ALB a AMB oblúky ohraničené bodmi A a B.
Ryža. 79
Ak chcete na výkrese zobraziť kruh, použite kompas(obr. 80).
Ryža. 80
Na nakreslenie kruhu na zemi môžete použiť lano (obr. 81).
Ryža. 81
Časť roviny ohraničená kružnicou sa nazýva kružnica (obr. 82).
Ryža. 82
Konštrukcie s kružidlom a pravítkom
Už sme sa zaoberali geometrické konštrukcie: nakreslite rovné čiary, odložte segmenty rovné údajom, nakreslite uhly, trojuholníky a iné obrazce. Zároveň sme použili mierkové pravítko, kružidlo, uhlomer, rysovací štvorec.
Ukazuje sa, že veľa konštrukcií sa dá robiť iba pomocou kružidla a pravítka bez delenia mierky. Preto sú v geometrii špeciálne rozlíšené tie úlohy pre konštrukciu, ktoré sa riešia len pomocou týchto dvoch nástrojov.
Čo sa s nimi dá robiť? Je jasné, že pravítko umožňuje nakresliť ľubovoľnú priamku, ako aj zostrojiť priamku prechádzajúcu dvoma danými bodmi. Pomocou kompasu môžete nakresliť kružnicu s ľubovoľným polomerom, ako aj kružnicu so stredom v danom bode a polomerom rovným danému segmentu. Vykonaním týchto jednoduchých operácií môžeme vyriešiť veľa zaujímavé úlohy na stavbu:
zostrojte uhol rovný danému uhlu;
cez daný bod nakreslite priamku kolmú na danú priamku;
rozdeliť tento segment na polovicu a ďalšie úlohy.
Začnime jednoduchou úlohou.
Úloha
Na danom lúči od jeho začiatku vyčleňte segment rovný danému.
Riešenie
Ukážme si čísla uvedené v stave problému: lúč OS a segment AB (obr. 83, a). Potom pomocou kružidla zostrojíme kružnicu s polomerom AB so stredom O (obr. 83, b). Tento kruh pretína lúč OS v určitom bode D. Segment OD je požadovaný.
Ryža. 83
Príklady stavebných úloh
Zostrojenie uhla rovného danému uhlu
Úloha
Oddeľte od daného lúča uhol rovný danému.
Riešenie
Tento uhol s vrcholom A a lúčom OM je znázornený na obrázku 84. Je potrebné zostrojiť uhol rovný uhlu A tak, aby sa jedna z jeho strán zhodovala s lúčom OM.
Ryža. 84
Narysujme kružnicu s ľubovoľným polomerom so stredom vo vrchole A daného uhla. Tento kruh pretína strany rohu v bodoch B a C (obr. 85, a). Potom nakreslíme kružnicu s rovnakým polomerom so stredom na začiatku daného lúča OM. Pretína lúč v bode D (obr. 85, b). Potom zostrojíme kružnicu so stredom D, ktorej polomer sa rovná BC. Kruhy so stredmi O a D sa pretínajú v dvoch bodoch. Označme jeden z týchto bodov písmenom E. Dokážme, že uhol MOE je požadovaný.
Ryža. 85
Uvažujme trojuholníky ABC a ODE. Segmenty AB a AC sú polomery kruhu so stredom A a segmenty OD a OE sú polomery kruhu so stredom O (pozri obr. 85, b). Keďže podľa konštrukcie majú tieto kružnice rovnaké polomery, potom AB = OD, AC = OE. Tiež podľa konštrukcie BC = DE.
Preto Δ ABC = Δ ODE na troch stranách. Preto ∠DOE = ∠BAC, t.j. zostrojený uhol MOE sa rovná danému uhlu A.
Rovnakú konštrukciu je možné vykonať aj na zemi, ak namiesto kompasu použijeme lano.
Zostrojenie osi uhla
Úloha
Zostrojte osičku daného uhla.
Riešenie
Tento uhol BAC je znázornený na obrázku 86. Narysujme kružnicu s ľubovoľným polomerom so stredom vo vrchole A. Bude pretínať strany uhla v bodoch B a C.
Ryža. 86
Potom nakreslíme dve kružnice s rovnakým polomerom BC so stredmi v bodoch B a C (na obrázku sú znázornené iba časti týchto kružníc). Pretínajú sa v dvoch bodoch, z ktorých aspoň jeden leží vo vnútri rohu. Označíme ho písmenom E. Dokážme, že lúč AE je osou daného uhla BAC.
Zvážte trojuholníky ACE a ABE. Na troch stranách sú si rovní. V skutočnosti je AE spoločnou stránkou; AC a AB sú rovnaké ako polomery toho istého kruhu; CE = BE podľa konštrukcie.
Z rovnosti trojuholníkov ACE a ABE vyplýva, že ∠CAE = ∠BAE, teda lúč AE je osou daného uhla BAC.
Komentujte
Je možné rozdeliť daný uhol na dva pomocou kružidla a pravítka? rovnaké uhly? Je jasné, že je to možné - na to musíte nakresliť os tohto uhla.
Tento uhol možno tiež rozdeliť na štyri rovnaké uhly. Aby ste to dosiahli, musíte ho rozdeliť na polovicu a potom znova rozdeliť každú polovicu na polovicu.
Je možné rozdeliť daný uhol na tri rovnaké uhly pomocou kružidla a pravítka? Táto úloha, tzv problémy s trisekciou uhla, priťahuje pozornosť matematikov už mnoho storočí. Až v 19. storočí sa dokázalo, že takáto konštrukcia je nemožná pre ľubovoľný uhol.
Konštrukcia kolmých čiar
Úloha
Daná čiara a bod na nej. Zostrojte priamku prechádzajúcu daným bodom a kolmú na danú priamku.
Riešenie
Tento riadok a a daný bod M patriace do tejto línie je znázornené na obrázku 87.
Ryža. 87
Na lúčoch priamky a, vychádzajúcich z bodu M, vyčleníme rovnaké úsečky MA a MB. Potom zostrojíme dve kružnice so stredmi A a B s polomerom AB. Pretínajú sa v dvoch bodoch: P a Q.
Vedieme priamku cez bod M a jeden z týchto bodov, napríklad priamku MP (pozri obr. 87), a dokážme, že táto priamka je želaná, teda že je kolmá na danú priamku a .
Pretože medián PM rovnoramenného trojuholníka PAB je tiež nadmorská výška, potom PM ⊥ a.
Konštrukcia stredu segmentu
Úloha
Zostrojte stred tohto segmentu.
Riešenie
Nech AB je daný segment. Zostrojíme dve kružnice so stredmi A a B s polomerom AB. Pretínajú sa v bodoch P a Q. Nakreslite priamku PQ. Bod O priesečníka tejto priamky s úsečkou AB je požadovaný stred úsečky AB.
Trojuholníky APQ a BPQ sú v troch stranách rovnaké, takže ∠1 = ∠2 (obr. 89).
Ryža. 89
V dôsledku toho je úsečka RO priesečníkom rovnoramenného trojuholníka ARV, a teda stredom, t.j. bodom O je stredom úsečky AB.
Úlohy
143. Ktoré z úsekov znázornených na obrázku 90 sú: a) tetivy kružnice; b) priemery kruhu; c) polomery kružnice?
Ryža. 90
144. Segmenty AB a CD sú priemery kružnice. Dokážte, že: a) akordy BD a AC sú rovnaké; b) akordy AD a BC sú rovnaké; c) ∠BAD = ∠BCD.
145. Úsečka MK je priemer kružnice so stredom O a MR a RK sú rovnaké tetivy tejto kružnice. Nájdite ∠POM.
146. Úsečky AB a CD sú priemery kružnice so stredom O. Nájdite obvod trojuholníka AOD, ak je známe, že CB = 13 cm, AB = 16 cm.
147. Body A a B sú vyznačené na kruhu so stredom O tak, aby uhol AOB bol pravý. Segment BC je priemer kruhu. Dokážte, že akordy AB a AC sú rovnaké.
148. Na priamke sú uvedené dva body A a B. Na pokračovaní lúča BA odložte úsečku BC tak, aby BC \u003d 2AB.
149. Je daná priamka a, bod B, ktorý na nej neleží, a úsečka PQ. Zostrojte bod M na priamke a tak, aby BM = PQ. Má problém vždy riešenie?
150. Je daný kruh, bod A, ktorý na ňom neleží, a úsečka PQ. Zostrojte bod M na kružnici tak, aby AM = PQ. Má problém vždy riešenie?
151. Je daný akútny uhol BAC a lúč XY. Zostrojte uhol YXZ tak, aby ∠YXZ = 2∠BAC.
152. Je daný tupý uhol AOB. Zostrojte lúč OX tak, aby uhly XOA a XOB boli rovnaké tupé uhly.
153. Je daná priamka a a bod M, ktorý na nej neleží. Zostrojte priamku prechádzajúcu bodom M a kolmú na priamku a.
Riešenie
Zostrojme kružnicu so stredom v danom bode M, pretínajúc danú priamku a v dvoch bodoch, ktoré označíme písmenami A a B (obr. 91). Potom zostrojíme dve kružnice so stredmi A a B prechádzajúcich bodom M. Tieto kružnice sa pretínajú v bode M a ešte v jednom bode, ktorý označíme písmenom N. Narysujme priamku MN a dokážme, že táto priamka je želaná. jedna, tj je kolmá na priamku a.
Ryža. 91
Trojuholníky AMN a BMN sú v troch stranách rovnaké, takže ∠1 = ∠2. Z toho vyplýva, že úsečka MC (C je priesečník priamok a a MN) je priesečník rovnoramenného trojuholníka AMB, a teda výška. Teda MN ⊥ AB, t.j. MN ⊥ a.
154. Je daný trojuholník ABC. Zostrojte: a) stred AK; b) medián VM; c) výška CH trojuholníka. 155. Pomocou kružidla a pravítka zostrojte uhol rovný: a) 45°; b) 22°30".
Odpovede na úlohy
152. Poučenie. Najprv zostrojte osičku uhla AOB.
"Počítačová kresba" - Počítačová grafika. Poklop. tu je umelcova zbraň. Úlohy: Výsledok lekcie krížovky „Mlyn“. Gravírovanie. Hlavná vec vyjadrovacie prostriedky kresba- čiara. Študoval na Moskovskej maliarskej škole, potom na Stroganovovej škole. Ceruzka. Ilustrácia ku knihe. Integrovaná hodina: výtvarné umenie + informatika.
"Ukladanie výkresov" - Ktorý príkaz si vybrať? Všetky vaše súbory sa navrhujú na uloženie do špeciálneho priečinka „Moje dokumenty“. Pohyb myšou, kopírovanie (CTRL), mazanie (DELETE). Praktická práca "Uloženie obrázka na pevný disk." Na ukladanie informácií v počítači sa používa dlhodobá pamäť - pevný disk.
"Úprava obrázkov" - 1. Vyberte požadovanú oblasť výberu ľubovoľnej oblasti 2. Kopírujte. Kreslenie kruhu, štvorca, priamky. Obrázok jasný Vyberte oblasť na odstránenie Odstrániť. Kruh Štvorec Rovná čiara. Kopírovať. Nastavte možnosti kreslenia. Vytvorenie a úprava výkresu. Vytvorenie výkresu.
"3D kresby na asfalte" - Philip Kozlov - prvý ruský madonnari. Ako mladý muž pracoval Kurt Wenner ako ilustrátor pre NASA, kde vytváral prvotné obrazy budúcnosti vesmírne lode. 3D kresby na asfalte. Kurt Wenner je jedným z najznámejších pouličných umelcov, ktorý kreslí 3D kresby na asfalt obyčajnými pastelkami.
"Segment priamky lúča" - Bod O - začiatok lúča. Body C a D sú konce segmentu SD. S. Dot. Priamka, segment, lúč. Bod, segment. Rovno. Čísla - súradnice bodov: Beam PM. Koordinovať. Pomenujte segmenty, čiary a lúče zobrazené na obrázku. Segment OE - jeden segment, OE=1. Lúč FR.
"Obvod" - Priemer. Nájdite obvod tohto disku. Nájdite oblasť číselníka. Obvod. Aký je priemer mesiaca. Číslo „pi“ sa nazýva Archimedovo číslo. Nájdite priemer kolesa. Nájdite priemer a plochu arény. Nájdite priemer kolesa lokomotívy. Moskva. Veľký starogrécky matematik Archimedes.
Tento video návod bol vytvorený špeciálne pre samoštúdium téma "Obvod". Študenti sa budú môcť naučiť striktnú geometrickú definíciu kruhu. Učiteľ podrobne rozoberie riešenie niekoľkých typických úloh pre zostavenie kruhu.
Kruh- to geometrický obrazec, pozostávajúci z množiny bodov, ktoré sú od daného bodu rovnako vzdialené.
Obrázok 1 znázorňuje kruh.
Ryža. 1. Kruh
Skrátený zápis pre daný kruh je Okr (O, r), ktorý znie: "Kružnica so stredom v bode O a polomerom r." Bod, od ktorého sú všetky ostatné body rovnako vzdialené, sa nazýva stred kruhy. Úsečka spájajúca stred a bod na kružnici sa nazýva polomer. Ak spojíte dva body na kružnici, môžete nakresliť úsečku tzv akord. Tetiva prechádzajúca stredom kruhu sa nazýva priemer.
Existujú teda nasledujúce zápisy:
O - stred kruhu;
OM = r - polomer kruhu;
OM = ON = r - polomery kruhu;
MN - akord;
AM - priemer;
AM = 2r - vzťah medzi polomerom a priemerom.
Ľubovoľné dva body rozrežú kružnicu na dva oblúky, napríklad: oblúky NLM a NAM pre dané body N a M.
Príklad 1: Obrázok 2 znázorňuje kruh. Určite stred, polomer, tetivy, priemer a možné oblúky.
Riešenie:
Ryža. 2. Kreslenie napríklad 1
Definujme hlavné prvky tohto kruhu:
O - stred kruhu;
OE = OD = OA = OC - polomery kruhu;
EF, BA - akordy;
DC - priemer.
Nateraz si pripomeňme definíciu kruhu. Kružnica je časť roviny ohraničená kružnicou. Je celkom jasné, že rozdiel medzi kruhom a kruhom je nasledovný: kruh je priamka a kruh je časť roviny, ktorú táto priamka ohraničuje. Napríklad na obrázku 3 je znázornený kruh.
Ryža. 3. Kruh
Príklad 2: Na obrázku je kruh s priemermi AB a CD. Dokážte, že akordy AC a BD sú rovnaké. Dokážte, že akordy BC a AD sú rovnaké. Dokážte, že uhly BAD a BCD sú rovnaké.
Ryža. 4. Kreslenie napríklad 2
Riešenie:
Najprv zistíme, že CO \u003d OD \u003d OB \u003d OA, pretože uvedené segmenty sú polomery toho istého kruhu. Tieto tvrdenia dokážeme reťazami trojuholníkov. Napríklad podľa prvého znaku, keďže OB = OA ako polomery, CO = OD podobne, 
ako vertikálne. Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že AC \u003d BD.
Ďalej dokážeme, že je to podobné v prvom kritériu. OD = OA, CO = OB ako polomery a 
ako vertikálne. Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že AD = BC.
Ďalej to dokážeme 
na treťom znamení. BD je spoločná strana trojuholníkov, AD = CB podľa osvedčeného tvrdenia v odseku 2, AB = CD ako priemery kruhu. Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že 
.
Q.E.D.
Príklad 3: segment MK je priemer kruhu a PM a RK sú rovnaké tetivy. Nájdite uhol ROM.
Ryža. 5. Kreslenie napríklad 3
Riešenie:
Podľa definície rovnoramenné, keďže RK = RM. Keďže OK - OM sú polomery kružníc, potom RO je medián nakreslený k základni. Vlastnosťou rovnoramenného trojuholníka je medián ťahaný k základni výška, resp.
- Referenčný portál calc.ru ().
- Číslo 99. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolová, vyd. Sadovnichy V.A. - M.: Vzdelávanie, 2010.
- Z bodu tejto kružnice sú nakreslené dve tetivy rovné polomeru. Nájdite uhol medzi nimi.
- Dokážte, že akýkoľvek lúč vychádzajúci zo stredu kruhu pretína kruh v jednom bode.
- Dokážte, že priemer kružnice prechádzajúcej stredom tetivy je na ňu kolmý.