Aká je najväčšia hodnota funkcie. Nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie na segmente. Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie - definície, ilustrácie

Nech je funkcia $z=f(x,y)$ definovaná a spojitá v nejakej ohraničenej uzavretej doméne $D$. Nech má daná funkcia v tejto oblasti konečné parciálne derivácie prvého rádu (možno s výnimkou konečného počtu bodov). Na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie dvoch premenných v danej uzavretej oblasti sú potrebné tri kroky jednoduchého algoritmu.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie $z=f(x,y)$ v uzavretej doméne $D$.

  1. Nájdite kritické body funkcie $z=f(x,y)$, ktoré patria do oblasti $D$. Vypočítajte funkčné hodnoty v kritických bodoch.
  2. Preskúmajte správanie funkcie $z=f(x,y)$ na hranici oblasti $D$ nájdením bodov možných maximálnych a minimálnych hodnôt. Vypočítajte funkčné hodnoty v získaných bodoch.
  3. Z funkčných hodnôt získaných v predchádzajúcich dvoch odsekoch vyberte najväčšiu a najmenšiu.

Čo sú kritické body? ukázať skryť

Pod kritických bodov implikujú body, kde sa obe parciálne derivácie prvého rádu rovnajú nule (t. j. $\frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=0$ a $\frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=0 $) alebo aspoň jedna parciálna derivácia neexistuje.

Často sa nazývajú body, v ktorých sú parciálne derivácie prvého rádu rovné nule stacionárne body. Stacionárne body sú teda podmnožinou kritických bodov.

Príklad č. 1

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie $z=x^2+2xy-y^2-4x$ v uzavretej oblasti, ohraničené čiarami$x=3$, $y=0$ a $y=x+1$.

Budeme postupovať podľa vyššie uvedeného, ​​ale najskôr sa budeme zaoberať kresbou danej oblasti, ktorú označíme písmenom $D$. Sú nám dané rovnice troch priamok, ktoré ohraničujú túto oblasť. Priamka $x=3$ prechádza bodom $(3;0)$ rovnobežne s osou y (os Oy). Priamka $y=0$ je rovnica osi x (os Ox). Aby sme zostrojili priamku $y=x+1$, nájdime dva body, cez ktoré túto priamku nakreslíme. Namiesto $ x $ môžete, samozrejme, nahradiť niekoľko ľubovoľných hodnôt. Napríklad dosadením $x=10$ dostaneme: $y=x+1=10+1=11$. Našli sme bod $(10;11)$ ležiaci na priamke $y=x+1$. Je však lepšie nájsť tie body, kde sa priamka $y=x+1$ pretína s priamkami $x=3$ a $y=0$. prečo je to lepšie? Pretože jedným kameňom položíme pár vtákov: za zostrojenie priamky $y=x+1$ dostaneme dva body a zároveň zistíme, v ktorých bodoch táto priamka pretína ďalšie priamky, ktoré dané oblasť. Priamka $y=x+1$ pretína priamku $x=3$ v bode $(3;4)$ a priamka $y=0$ - v bode $(-1;0)$. Aby som priebeh riešenia nezahlcoval pomocnými vysvetlivkami, otázku získania týchto dvoch bodov uvediem do poznámky.

Ako boli získané body $(3;4)$ a $(-1;0)$? ukázať skryť

Začnime od priesečníka priamok $y=x+1$ a $x=3$. Súradnice požadovaného bodu patria do prvého aj druhého riadku, takže ak chcete nájsť neznáme súradnice, musíte vyriešiť systém rovníc:

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & y=x+1;\\ & x=3. \koniec(zarovnané) \vpravo. $$

Riešenie takéhoto systému je triviálne: dosadením $x=3$ do prvej rovnice dostaneme: $y=3+1=4$. Bod $(3;4)$ je požadovaný priesečník priamok $y=x+1$ a $x=3$.

Teraz nájdime priesečník priamok $y=x+1$ a $y=0$. Opäť skladáme a riešime sústavu rovníc:

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & y=x+1;\\ & y=0. \koniec(zarovnané) \vpravo. $$

Dosadením $y=0$ do prvej rovnice dostaneme: $0=x+1$, $x=-1$. Bod $(-1;0)$ je požadovaný priesečník priamok $y=x+1$ a $y=0$ (os x).

Všetko je pripravené na vytvorenie výkresu, ktorý bude vyzerať takto:

Otázka poznámky sa zdá byť zrejmá, pretože z obrázku je vidieť všetko. Je však potrebné pripomenúť, že kresba nemôže slúžiť ako dôkaz. Obrázok je len ilustráciou pre názornosť.

Naša oblasť bola stanovená pomocou rovníc priamok, ktoré ju obmedzujú. Je zrejmé, že tieto čiary definujú trojuholník, však? Alebo nie celkom zrejmé? Alebo možno máme inú oblasť ohraničenú rovnakými čiarami:

Samozrejme, podmienka hovorí, že oblasť je uzavretá, takže zobrazený obrázok je nesprávny. Aby sa však predišlo takýmto nejasnostiam, je lepšie definovať regióny podľa nerovností. Zaujíma nás časť roviny nachádzajúca sa pod čiarou $y=x+1$? Dobre, takže $y ≤ x+1 $. Naša oblasť by sa mala nachádzať nad čiarou $y=0$? Skvelé, takže $y ≥ 0 $. Mimochodom, posledné dve nerovnosti sa dajú ľahko spojiť do jednej: $0 ≤ y ≤ x+1 $.

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(zarovnané) \vpravo. $$

Tieto nerovnosti definujú doménu $D$ a definujú ju jednoznačne, bez akýchkoľvek nejasností. Ako nám to však pomôže v otázke na začiatku poznámky pod čiarou? Aj to pomôže :) Musíme skontrolovať, či bod $M_1(1;1)$ patrí do regiónu $D$. Dosaďte $x=1$ a $y=1$ do systému nerovností, ktoré definujú túto oblasť. Ak sú obe nerovnosti splnené, potom bod leží vo vnútri regiónu. Ak nie je splnená aspoň jedna z nerovností, bod kraju nepatrí. Takže:

$$ \left \( \begin(zarovnané) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(zarovnané) \right. \;\; \left \( \begin(zarovnané) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(zarovnané) \right.$$

Obe nerovnosti sú pravdivé. Bod $M_1(1;1)$ patrí do oblasti $D$.

Teraz je rad na skúmaní správania sa funkcie na hranici definičného oboru, t.j. ísť do. Začnime s priamkou $y=0$.

Priama čiara $y=0$ (os x) obmedzuje oblasť $D$ za podmienky $-1 ≤ x ≤ 3$. Dosaďte $y=0$ do danej funkcie $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Výsledná substitučná funkcia jednej premennej $x$ bude označená ako $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Teraz pre funkciu $f_1(x)$ musíme nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu na intervale $-1 ≤ x ≤ 3$. Nájdite deriváciu tejto funkcie a prirovnajte ju k nule:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Hodnota $x=2$ patrí segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, preto do zoznamu bodov pridáme aj $M_2(2;0)$. Okrem toho vypočítame hodnoty funkcie $z$ na koncoch segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, t.j. v bodoch $M_3(-1;0)$ a $M_4(3;0)$. Mimochodom, ak by bod $M_2$ nepatril do uvažovaného segmentu, potom by v ňom samozrejme nebolo potrebné počítať hodnotu funkcie $z$.

Vypočítajme teda hodnoty funkcie $z$ v bodoch $M_2$, $M_3$, $M_4$. Súradnice týchto bodov môžete samozrejme dosadiť do pôvodného výrazu $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Napríklad pre bod $M_2$ dostaneme:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4,$$

Výpočty sa však dajú trochu zjednodušiť. Aby sme to dosiahli, je potrebné pripomenúť, že na segmente $M_3M_4$ máme $z(x,y)=f_1(x)$. Rozpíšem to podrobne:

\začiatok(zarovnané) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end (zarovnané)

Samozrejme, zvyčajne nie sú potrebné takéto podrobné záznamy a v budúcnosti začneme všetky výpočty zapisovať kratšie:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3,$$

Teraz sa obráťme na priamku $x=3$. Táto čiara ohraničuje doménu $D$ pod podmienkou $0 ≤ y ≤ 4$. Dosaďte $x=3$ do danej funkcie $z$. V dôsledku takejto substitúcie dostaneme funkciu $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Pre funkciu $f_2(y)$ musíte nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu na intervale $0 ≤ y ≤ 4$. Nájdite deriváciu tejto funkcie a prirovnajte ju k nule:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Hodnota $y=3$ patrí segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, takže k bodom zisteným skôr pripočítame $M_5(3;3)$. Okrem toho je potrebné vypočítať hodnotu funkcie $z$ v bodoch na koncoch segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, t.j. v bodoch $M_4(3;0)$ a $M_6(3;4)$. V bode $M_4(3;0)$ sme už vypočítali hodnotu $z$. Vypočítajme hodnotu funkcie $z$ v bodoch $M_5$ a $M_6$. Dovoľte mi pripomenúť, že na segmente $M_4M_6$ máme $z(x,y)=f_2(y)$, teda:

\začiatok(zarovnané) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end (zarovnané)

A nakoniec zvážte poslednú hranicu $D$, t.j. riadok $y=x+1$. Táto čiara ohraničuje oblasť $D$ pod podmienkou $-1 ≤ x ≤ 3$. Nahradením $y=x+1$ do funkcie $z$ dostaneme:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Opäť tu máme funkciu jednej premennej $x$. A opäť musíte nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty tejto funkcie na segmente $-1 ≤ x ≤ 3$. Nájdite deriváciu funkcie $f_(3)(x)$ a prirovnajte ju k nule:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Hodnota $x=1$ patrí do intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Ak $x=1$, potom $y=x+1=2$. Do zoznamu bodov pridajme $M_7(1;2)$ a zistíme, aká je v tomto bode hodnota funkcie $z$. Body na koncoch segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, t.j. body $M_3(-1;0)$ a $M_6(3;4)$ sme uvažovali skôr, už sme v nich našli hodnotu funkcie.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3,$$

Druhý krok riešenia je dokončený. Máme sedem hodnôt:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3,$$

Obráťme sa na. Výberom najväčších a najmenších hodnôt z čísel získaných v treťom odseku budeme mať:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6,$$

Problém je vyriešený, zostáva len zapísať odpoveď.

Odpoveď: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Príklad č. 2

Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie $z=x^2+y^2-12x+16y$ v oblasti $x^2+y^2 ≤ 25 $.

Najprv zostavíme výkres. Rovnica $x^2+y^2=25$ (toto je hraničná čiara danej oblasti) definuje kružnicu so stredom v počiatku (teda v bode $(0;0)$) a polomerom 5. Nerovnosť $x^2 +y^2 ≤ 25$ vyhovie všetkým bodom vo vnútri a na uvedenom kruhu.

Budeme konať. Poďme nájsť parciálne derivácie a zistiť kritické body.

$$ \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=2x-12; \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=2y+16. $$

Neexistujú žiadne body, v ktorých by neexistovali nájdené parciálne derivácie. Zistime, v ktorých bodoch sú obe parciálne derivácie súčasne rovné nule, t.j. nájsť stacionárne body.

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \koniec(zarovnané) \vpravo. \;\; \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & x =6;\\ & y=-8.\end(zarovnané) \vpravo.$$

Dostali sme stacionárny bod $(6;-8)$. Nájdený bod však nepatrí do oblasti $D$. Je ľahké to ukázať bez toho, aby ste sa museli uchýliť k kresleniu. Skontrolujme, či platí nerovnosť $x^2+y^2 ≤ 25$, ktorá definuje našu doménu $D$. Ak $x=6$, $y=-8$, potom $x^2+y^2=36+64=100$, t.j. nerovnosť $x^2+y^2 ≤ 25$ nie je splnená. Záver: bod $(6;-8)$ nepatrí do oblasti $D$.

Vo vnútri $D$ teda nie sú žiadne kritické body. Poďme ďalej, do. Potrebujeme vyšetriť správanie sa funkcie na hranici danej oblasti, t.j. na kruhu $x^2+y^2=25$. Môžete, samozrejme, vyjadriť $y$ ako $x$ a výsledný výraz potom dosadiť do našej funkcie $z$. Z kruhovej rovnice dostaneme: $y=\sqrt(25-x^2)$ alebo $y=-\sqrt(25-x^2)$. Nahradením napríklad $y=\sqrt(25-x^2)$ do danej funkcie dostaneme:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Ďalšie riešenie bude úplne totožné so štúdiom správania sa funkcie na hranici regiónu v predchádzajúcom príklade č.1. Zdá sa mi však rozumnejšie v tejto situácii použiť Lagrangeovu metódu. Nás zaujíma iba prvá časť tejto metódy. Po aplikácii prvej časti Lagrangeovej metódy dostaneme body, v ktorých skúmame funkciu $z$ na minimálne a maximálne hodnoty.

Zostavíme Lagrangeovu funkciu:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Nájdeme parciálne derivácie Lagrangeovej funkcie a zostavíme zodpovedajúci systém rovníc:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \vľavo \( \začiatok (zarovnané) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end (zarovnané) \ vpravo. \;\; \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( zarovnané)\vpravo.$$

Aby sme tento systém vyriešili, okamžite označme $\lambda\neq -1$. Prečo $\lambda\neq -1$? Skúsme nahradiť $\lambda=-1$ do prvej rovnice:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0 = 6. $$

Výsledný rozpor $0=6$ hovorí, že hodnota $\lambda=-1$ je neplatná. Výstup: $\lambda\neq -1$. Vyjadrime $x$ a $y$ v podmienkach $\lambda$:

\begin(zarovnané) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end (zarovnané)

Verím, že tu je zrejmé, prečo sme konkrétne stanovili podmienku $\lambda\neq -1$. Toto bolo urobené, aby sa výraz $1+\lambda$ zmestil do menovateľov bez rušenia. To znamená, aby ste mali istotu, že menovateľ je $1+\lambda\neq 0$.

Získané výrazy pre $x$ a $y$ dosadíme do tretej rovnice sústavy, t.j. v $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Z výslednej rovnosti vyplýva, že $1+\lambda=2$ alebo $1+\lambda=-2$. Máme teda dve hodnoty parametra $\lambda$, a to: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. V súlade s tým dostaneme dva páry hodnôt $ x $ a $ y $:

\begin(zarovnané) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (zarovnané)

Získali sme teda dva body možného podmieneného extrému, t.j. $M_1(3;-4)$ a $M_2(-3;4)$. Nájdite hodnoty funkcie $z$ v bodoch $M_1$ a $M_2$:

\začiatok(zarovnané) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (zarovnané)

Mali by sme vybrať najväčšie a najmenšie hodnoty z tých, ktoré sme získali v prvom a druhom kroku. Ale v tomto prípade je výber malý :) Máme:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Odpoveď: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.

Často je potrebné riešiť problémy, v ktorých je potrebné nájsť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu z množiny týchto hodnôt, ktoré funkcia naberá na segmente.

Obráťme sa napríklad na graf funkcie f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4 na segmente [-1; 2]. Aby sme mohli pracovať s funkciou, musíme nakresliť jej graf.

Z nakresleného grafu je to vidieť najvyššia hodnota na tomto segmente, ktorý sa rovná 2, funkcia nadobúda body: x = -1 a x = 1; najmenšia hodnota rovná -7, funkcia nadobúda hodnotu x = 2.

Bod x \u003d 0 je minimálny bod funkcie f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4. To znamená, že existuje okolie bodu x \u003d 0, napríklad interval (-1/2; 1/2) - tak, že v tomto okolí má funkcia najmenšiu hodnotu pri x \u003d 0. na väčšom intervale, napríklad na segmente [ -one; 2], funkcia nadobúda najmenšiu hodnotu na konci segmentu a nie v minimálnom bode.

Aby sme teda našli najmenšiu hodnotu funkcie na určitom segmente, je potrebné porovnať jej hodnoty na koncoch segmentu a v minimálnych bodoch.

Vo všeobecnosti predpokladajme, že funkcia f(x) je spojitá na segmente a že funkcia má deriváciu v každom vnútornom bode tohto segmentu.

Na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie v segmente je potrebné:

1) nájdite hodnoty funkcie na koncoch segmentu, t.j. čísla f(a) a f(b);

2) nájdite hodnoty funkcie v stacionárnych bodoch, ktoré patria do intervalu (a; b);

3) z zistených hodnôt vyberte najväčšiu a najmenšiu.

Aplikujme nadobudnuté poznatky v praxi a pouvažujme nad problémom.

Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie f (x) \u003d x 3 + x / 3 na segmente.

Riešenie.

1) f(1/2) = 6 1/8, f(2) = 9 1/2.

2) f´(x) \u003d 3x 2 - 3 / x 2 \u003d (3x 4 - 3) / x 2, 3x 4 - 3 \u003d 0; x 1 = 1, x 2 = -1.

Interval (1/2; 2) obsahuje jeden stacionárny bod x 1 = 1, f(1) = 4.

3) Z čísel 6 1/8, 9 ½ a 4 je najväčšie 9 ½, najmenšie je 4.

Odpoveď. Najväčšia hodnota funkcie je 9 ½, najmenšia hodnota vlastnosti je 4.

Často je pri riešení úloh potrebné nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie nie na segmente, ale na intervale.

V praktických úlohách má funkcia f(x) zvyčajne iba jeden stacionárny bod na danom intervale: buď maximálny bod, alebo minimálny bod. V týchto prípadoch má funkcia f(x) najväčšiu hodnotu v danom intervale v maximálnom bode a v minimálnom bode najmenšiu hodnotu v tomto intervale. Prejdime k problému.

Číslo 36 sa zapíše ako súčin dvoch kladných čísel, ktorých súčet je najmenší.

Riešenie.

1) Nech je prvý faktor x, potom druhý faktor je 36/x.

2) Súčet týchto čísel je x + 36/x.

3) Podľa podmienok úlohy je x kladné číslo. Problém sa teda redukuje na nájdenie hodnoty x - tak, že funkcia f (x) \u003d x + 36 / x má najmenšiu hodnotu na intervale x > 0.

4) Nájdite deriváciu: f´(x) \u003d 1 - 36 / x 2 \u003d ((x + 6) (x - 6)) / x 2.

5) Stacionárne body x 1 = 6, x 2 = -6. Na intervale x > 0 je len jeden stacionárny bod x = 6. Pri prechode bodom x = 6 derivácia zmení znamienko „–“ na znamienko „+“, a preto x = 6 je minimálny bod. V dôsledku toho funkcia f(x) = x + 36/x nadobúda najmenšiu hodnotu na intervale x > 0 v bode x = 6 (toto je hodnota f(6) = 12).

Odpoveď. 36 = 6 ∙ 6.

Pri riešení niektorých problémov, kde je potrebné nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie, je užitočné použiť nasledujúce vyhlásenie:

ak sú hodnoty funkcie f(x) nezáporné na nejakom intervale, potom táto funkcia a funkcia (f(x)) n , kde n je prirodzené číslo, vezmite najväčšiu (najmenšiu) hodnotu v rovnakom bode.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

V júli 2020 NASA spúšťa expedíciu na Mars. Kozmická loď doručí na Mars elektronický nosič s menami všetkých registrovaných členov expedície.


Ak tento príspevok vyriešil váš problém alebo sa vám len páčil, zdieľajte odkaz naň so svojimi priateľmi na sociálnych sieťach.

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu webovej stránky, najlepšie medzi značky A alebo hneď za značkou . Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak prilepíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu načítacieho kódu uvedeného vyššie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do svojich webových stránok.

Ďalší Silvester... mrazivé počasie a snehové vločky na okennej tabuli... Toto všetko ma podnietilo opäť písať o... fraktáloch a o tom, čo o tom Wolfram Alpha vie. Pri tejto príležitosti je zaujímavý článok, v ktorom sú príklady dvojrozmerných fraktálových štruktúr. Tu sa pozrieme na viac komplexné príklady trojrozmerné fraktály.

Fraktál možno vizuálne znázorniť (opísať) ako geometrický útvar alebo teleso (čo znamená, že oba sú súborom, v tomto prípade súborom bodov), ktorých detaily majú rovnaký tvar ako samotný pôvodný útvar. To znamená, že ide o samopodobnú štruktúru, ktorej detaily po zväčšení uvidíme rovnaký tvar ako bez zväčšenia. Zatiaľ čo v prípade obvyklého geometrický obrazec(nie fraktál), pri priblížení uvidíme detaily, ktoré majú jednoduchší tvar ako samotná pôvodná figúrka. Napríklad pri dostatočne veľkom zväčšení vyzerá časť elipsy ako priamka. To sa pri fraktáloch nedeje: pri akomkoľvek ich náraste opäť uvidíme rovnaký zložitý tvar, ktorý sa pri každom zvýšení bude znova a znova opakovať.

Benoit Mandelbrot, zakladateľ vedy o fraktáloch, vo svojom článku Fraktály a umenie pre vedu napísal: „Fraktály sú geometrické tvary, ktoré sú rovnako zložité vo svojich detailoch ako vo svojich všeobecná forma. To znamená, že ak sa časť fraktálu zväčší na veľkosť celku, bude vyzerať ako celok, buď presne, alebo možno s miernou deformáciou.

Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie

pojmov matematická analýza. Hodnota získaná funkciou v niektorom bode množiny, na ktorej je táto funkcia definovaná, sa nazýva najväčšia (najmenšia) hodnota v tejto množine, ak funkcia nemá väčšiu (menšiu) hodnotu v žiadnom inom bode množiny. N. a n. h. f. v porovnaní s jej hodnotami vo všetkých dostatočne blízkych bodoch sa nazývajú extrémy (resp. maximá a minimá) funkcie. N. a n. h. f., daný na segmente, možno dosiahnuť buď v bodoch, kde sa derivácia rovná nule, alebo v bodoch, kde neexistuje, alebo na koncoch segmentu. Spojitá funkcia uvedená na segmente nevyhnutne dosiahne svoje maximálne a minimálne hodnoty; ak sa na intervale (to znamená segment s vylúčenými koncami) zvažuje spojitá funkcia, potom medzi jej hodnotami na tomto intervale nemusí byť maximum ani minimum. Napríklad funkcia pri = X, uvedený na intervale , dosahuje najväčšie a najmenšie hodnoty, v tomto poradí, at X= 1 a X= 0 (t.j. na koncoch segmentu); ak vezmeme do úvahy túto funkciu na intervale (0; 1), potom medzi jej hodnotami na tomto intervale nie je ani najväčšia, ani najmenšia, pretože pre každú x0 vždy je bod tohto intervalu ležiaci vpravo (vľavo) x0 a také, že hodnota funkcie v tomto bode bude väčšia (resp. menšia) ako v bode x0. Podobné výroky platia pre funkcie viacerých premenných. Pozri tiež Extrémne.


Veľký sovietska encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. 1969-1978 .

Pozrite sa, čo sú „Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie“ v iných slovníkoch:

    Veľký encyklopedický slovník

    Pojmy matematickej analýzy. Hodnota získaná funkciou v niektorom bode množiny, na ktorej je táto funkcia definovaná, sa nazýva najväčšia (najmenšia) na tejto množine, ak v žiadnom inom bode funkcia nemá väčšie (menšie) ... ... encyklopedický slovník

    Pojmy z matematiky. analýza. Hodnota získaná funkciou v určitom bode množiny, pričom táto funkcia je daná, sa nazýva. najväčšia (najmenšia) na tejto množine, ak v žiadnom inom bode funkcia nemá väčšiu (menšiu) hodnotu ... Prírodná veda. encyklopedický slovník

    MAXIMÁLNA A MINIMÁLNA FUNKCIA- najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v porovnaní s jej hodnotami vo všetkých dostatočne blízkych bodoch. Vysoké a nízke body sa nazývajú extrémne body... Veľká polytechnická encyklopédia

    Najväčšie a teda najmenšie hodnoty funkcie, ktorá nadobúda skutočné hodnoty. Zavolá sa bod definičného oboru funkcie, v ktorom zaberá maximum alebo minimum. respektíve maximálny bod alebo minimálny bod ... ... Matematická encyklopédia

    Ternárna funkcia v teórii funkčných systémov a ternárnej logike je funkcia typu, kde je ternárna množina a je nezáporné celé číslo, ktoré sa nazýva arita alebo lokalita funkcie. Prvky súpravy sú digitálne ... ... Wikipedia

    Reprezentácia booleovských funkcií normálnymi formami (pozri Normálne formy booleovských funkcií). najjednoduchšie vzhľadom na určitú mieru zložitosti. Zvyčajne sa zložitosť normálnej formy chápe ako počet písmen v nej. V tomto prípade sa najjednoduchšia forma nazýva ... ... Matematická encyklopédia

    Funkcia, ktorá dostáva nekonečne malé prírastky, pretože argument sa zvyšuje nekonečne. Jednohodnotová funkcia f (x) sa nazýva spojitá pre hodnotu argumentu x0, ak sa pre všetky hodnoty argumentu x líšia dostatočne málo od x0 ... Veľká sovietska encyklopédia

    - (Latinské maximum a minimum, doslova najväčšie a najmenšie) (Matematika), najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v porovnaní s jej hodnotami v dostatočne blízkych bodoch. Na obrázku má funkcia y \u003d f (x) maximum v bodoch x1 a x3 a v bode x2 ... ... encyklopedický slovník

    - (z latinského maxima a minima, najväčšieho a najmenšieho) (matematické), najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v porovnaní s jej hodnotami v dostatočne blízkych bodoch. Vysoké a nízke body sa nazývajú extrémne body... Moderná encyklopédia

\(\blacktriangleright\) Aby sme našli najväčšiu/najmenšiu hodnotu funkcie na segmente \(\) , je potrebné schematicky znázorniť graf funkcie na tomto segmente.
V úlohách z tejto podtémy to možno urobiť pomocou derivácie: nájdite intervaly nárastu (\(f">0\) ) a poklesu (\(f"<0\) ) функции, критические точки (где \(f"=0\) или \(f"\) не существует).

\(\blacktriangleright\) Nezabudnite, že funkcia môže nadobudnúť maximálnu/najmenšiu hodnotu nielen vo vnútorných bodoch segmentu \(\) , ale aj na jeho koncoch.

\(\blacktriangleright\) Najväčšia/najmenšia hodnota funkcie je hodnota súradnice \(y=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Derivácia komplexnej funkcie \(f(t(x))\) sa hľadá podľa pravidla: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(pole)(|r|c|c|) \hline & \text(Funkcia) f(x) & \text(Derivácia) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(pole) \quad \quad \quad \quad \begin(pole)(|r|c|c|) \hline & \text(Funkcia) f(x) & \text(Derivácia) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(pole)\]

Úloha 1 #2357

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie \(y = e^(x^2 - 4)\) na intervale \([-10; -2]\) .

ODZ: \(x\) - ľubovoľné.

1) \

\ Takže \(y" = 0\), keď \(x = 0\) .

3) Nájdite intervaly konštantného znamienka \(y"\) na uvažovanom segmente \([-10; -2]\) :


4) Náčrt grafu na segmente \([-10; -2]\) :


Funkcia teda dosiahne svoju najmenšiu hodnotu na \([-10; -2]\) pri \(x = -2\) .

\ Celkom: \(1\) je najmenšia hodnota funkcie \(y\) na \([-10; -2]\) .

odpoveď: 1

Úloha 2 #2355

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) na segmente \([-1; 1]\) .

ODZ: \(x\) - ľubovoľné.

1) \

Nájdite kritické body (t. j. vnútorné body definičného oboru funkcie, v ktorom je jej derivácia rovná \(0\) alebo neexistuje): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Derivát existuje pre ľubovoľné \(x\) .

2) Nájdite intervaly konštantného znamienka \(y"\) :


3) Nájdite intervaly konštantného znamienka \(y"\) na uvažovanom segmente \([-1; 1]\) :


4) Náčrt grafu na segmente \([-1; 1]\) :


Funkcia teda dosiahne svoju maximálnu hodnotu na \([-1; 1]\) v \(x = -1\) alebo v \(x = 1\) . Porovnajme hodnoty funkcie v týchto bodoch.

\ Celkom: \(2\) je najväčšia hodnota funkcie \(y\) na \([-1; 1]\) .

odpoveď: 2

Úloha 3 #2356

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie \(y = \cos 2x\) na intervale \(\) .

ODZ: \(x\) - ľubovoľné.

1) \

Nájdite kritické body (t. j. vnútorné body definičného oboru funkcie, v ktorom je jej derivácia rovná \(0\) alebo neexistuje): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] Derivát existuje pre ľubovoľné \(x\) .

2) Nájdite intervaly konštantného znamienka \(y"\) :


(tu je nekonečný počet intervalov, v ktorých sa striedajú znamienka derivácie).

3) Nájdite intervaly stálosti \(y"\) na uvažovanom segmente \(\) :


4) Náčrt grafu na segmente \(\) :


Funkcia teda dosiahne svoju najmenšiu hodnotu na \(\) pri \(x = \dfrac(\pi)(2)\) .

\ Celkom: \(-1\) je najmenšia hodnota funkcie \(y\) na \(\) .

odpoveď: -1

Úloha 4 #915

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie

\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).

ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Rozhodnime sa pre ODZ:

1) Označte \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , potom \(y(t)=-\log_(17)t\) .

Nájdite kritické body (t. j. vnútorné body definičného oboru funkcie, v ktorom je jej derivácia rovná \(0\) alebo neexistuje): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– na ODZ, odkiaľ nájdeme koreň \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . Derivácia funkcie \(y\) neexistuje pre \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) , ale daná rovnica negatívny diskriminant, preto nemá žiadne riešenia. Aby ste našli najväčšiu / najmenšiu hodnotu funkcie, musíte pochopiť, ako jej graf vyzerá schematicky.

2) Nájdite intervaly konštantného znamienka \(y"\) :

3) Grafický náčrt:

Funkcia teda dosiahne svoju maximálnu hodnotu pri \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) :

\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0\),

Celkom: \(0\) je najväčšia hodnota funkcie \(y\) .

odpoveď: 0

Úloha 5 #2344

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie

\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).

ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Rozhodnime sa pre ODZ:

1) Označte \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , potom \(y(t)=\log_(3)t\) .

Nájdite kritické body (t. j. vnútorné body definičného oboru funkcie, v ktorom je jej derivácia rovná \(0\) alebo neexistuje): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]- na ODZ, odkiaľ nájdeme koreň \ (x \u003d -4 \) . Derivácia funkcie \(y\) pre \(x^2 + 8x + 19 = 0\) neexistuje, ale táto rovnica má záporný diskriminant, preto nemá riešenia. Aby ste našli najväčšiu / najmenšiu hodnotu funkcie, musíte pochopiť, ako jej graf vyzerá schematicky.

2) Nájdite intervaly konštantného znamienka \(y"\) :

3) Grafický náčrt:

Teda \(x = -4\) je minimálny bod funkcie \(y\) a dosiahne sa v ňom najmenšia hodnota:

\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .

Celkom: \(1\) je najmenšia hodnota funkcie \(y\) .

odpoveď: 1

Úloha 6 #917

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako skúška

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie

\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).