Studijas
Montekarlo galvenās daļas ģeometriskās atlases metode. Montekarlo metodes izmantošana riska aprēķināšanai. Piemērs. Skaitļa π aprēķināšana, izmantojot Montekarlo metodi

Montekarlo galvenās daļas ģeometriskās atlases metode. Montekarlo metodes izmantošana riska aprēķināšanai. Piemērs. Skaitļa π aprēķināšana, izmantojot Montekarlo metodi

5. lekcija.

Montekarlo metode

3. tēma. Rindas procesi ekonomiskajās sistēmās

1. Ievada piezīmes. 1

2. Montekarlo metodes vispārīgā shēma. 2

3. Piemērs rindu sistēmas aprēķināšanai, izmantojot Montekarlo metodi. 4

Testa jautājumi... 5

1. Ievada piezīmes

Statistiskās modelēšanas metode datorā ir galvenā rezultātu iegūšanas metode, izmantojot stohastisko sistēmu simulācijas modeļus, kā teorētisko bāzi izmantojot varbūtību teorijas robežteorēmas. Pamatā ir Montekarlo statistiskā testa metode.

Montekarlo metodi var definēt kā gadījuma lielumu simulācijas metodi, lai aprēķinātu to sadalījuma raksturlielumus. Parasti tiek pieņemts, ka modelēšana tiek veikta, izmantojot elektroniskos datorus (datorus), lai gan dažos gadījumos panākumus var gūt, izmantojot tādas ierīces kā mērlente, zīmulis un papīrs.

Termins "Montekarlo metode" (izgudroja J. fon Neimans un 1940. gados) attiecas uz procesu simulāciju, izmantojot nejaušo skaitļu ģeneratoru. Termins Montekarlo (pilsēta, kas plaši pazīstama ar saviem kazino) cēlies no tā, ka "izredzes skaits" (Montekarlo simulācijas metodes) tika izmantots, lai atrastu sarežģītu vienādojumu integrāļus pirmo kodolbumbu izstrādē ( kvantu mehānikas integrāļi). Ģenerējot lielus nejaušu skaitļu paraugus, piemēram, no vairākiem sadalījumiem, šo (komplekso) sadalījumu integrāļus var tuvināt no (ģenerētajiem) datiem.

Ideja par nejaušu parādību izmantošanu aptuveno aprēķinu jomā parasti tiek attiecināta uz 1878. gadu, kad parādījās Hola darbs par skaitļu p noteikšanu, nejauši izmetot adatu uz papīra, kas atzīmēts ar paralēlām līnijām. Lietas būtība ir eksperimentāli reproducēt notikumu, kura iespējamību izsaka ar skaitli p, un aptuveni novērtēt šo varbūtību.

Sadzīves darbi par Montekarlo metodi parādījās gados. Divu gadu desmitu laikā ir uzkrāta plaša bibliogrāfija, izmantojot Montekarlo metodi, kas ietver vairāk nekā 2000 nosaukumu. Turklāt pat ātrs skatiens uz darbu nosaukumiem ļauj izdarīt secinājumu par Montekarlo metodes pielietojamību lietišķo problēmu risināšanā no ļoti daudzām zinātnes un tehnikas jomām.

Sākotnēji Montekarlo metodi izmantoja galvenokārt neitronu fizikas problēmu risināšanai, kur tradicionālās skaitliskās metodes izrādījās maz noderīgas. Turklāt viņa ietekme izplatījās plašā statistiskās fizikas problēmu klasē, kuras saturs bija ļoti atšķirīgs. Zinātnes nozares, kurās arvien vairāk tiek izmantota Montekarlo metode, ietver problēmas rindu teorijā, problēmas spēļu teorijā un matemātiskajā ekonomikā, problēmas ziņojumu pārraides teorijā traucējumu klātbūtnē un vairākas citas.

Montekarlo metodei ir bijusi un joprojām ir būtiska ietekme uz skaitļošanas matemātikas metodes attīstību (piemēram, skaitliskās integrācijas metožu izstrādi) un daudzu problēmu risināšanā veiksmīgi tiek kombinēta ar citām skaitļošanas metodēm un tās papildina. . Tās izmantošana ir attaisnojama galvenokārt tajās problēmās, kas ļauj veikt varbūtības teorētisko aprakstu. Tas tiek skaidrots gan ar atbildes iegūšanas dabiskumu ar noteiktu doto varbūtību iespējamā satura uzdevumos, gan ar būtisku risināšanas procedūras vienkāršošanu. Konkrētas problēmas risināšanas grūtības datorā lielā mērā nosaka grūtības to tulkot mašīnas “valodā”. Automātiskās programmēšanas valodu izveide ir ievērojami vienkāršojusi vienu no šī darba posmiem. Tāpēc šobrīd grūtākie posmi ir: pētāmās parādības matemātisks apraksts, nepieciešamie uzdevuma vienkāršojumi, piemērotas skaitliskās metodes izvēle, tās kļūdas izpēte un algoritma fiksēšana. Gadījumos, kad pastāv varbūtības-teorētisks problēmas apraksts, Montekarlo metodes izmantošana var būtiski vienkāršot minētos starpposmus. Tomēr, kā izriet no turpmākā, daudzos gadījumos ir lietderīgi arī stingri deterministiskām problēmām izveidot varbūtības modeli (sākotnējo problēmu nejaušināti), lai turpmāk izmantotu Montekarlo metodi.

2. Montekarlo metodes vispārīgā shēma

Pieņemsim, ka mums ir jāaprēķina kāds nezināms lielums m, un mēs to vēlamies izdarīt, ņemot vērā nejaušu mainīgo lielumu, lai tā matemātiskā cerība būtu M, = m. Lai šī nejaušā lieluma dispersija ir D = b.

Apskatīsim N nejaušus neatkarīgus lielumus,,..., kuru sadalījumi sakrīt ar aplūkojamā gadījuma lieluma sadalījumu ξ..gif" width="247" height="48">

Pēdējo attiecību var pārrakstīt kā

Iegūtā formula dod metodi m aprēķināšanai un šīs metodes kļūdas aplēsi.

Montekarlo metodes izmantošanas būtība ir rezultātu noteikšana, pamatojoties uz statistikas datiem, kas iegūti noteikta lēmuma pieņemšanas brīdī.

Piemēram. Lai E1 un E2 ir vienīgās divas iespējamās kāda nejauša procesa realizācijas, un p1 ir iznākuma E1 varbūtība, un p2 = 1 – p1 ir iznākuma E2 varbūtība. Lai noteiktu, kurš no diviem notikumiem, e1 vai E2, notiek šajā gadījumā, mēs ņemam nejaušu skaitli intervālā no 0 līdz 1, kas vienmērīgi sadalīts intervālā (0, 1), un veicam testu. Rezultāts E1 būs, ja , un rezultāts E2 būs pretējā gadījumā.

Tādējādi ar Montekarlo metodi iegūto rezultātu ticamību izšķiroši nosaka nejaušo skaitļu ģeneratora kvalitāte.

Lai datorā iegūtu nejaušus skaitļus, tiek izmantotas ģenerēšanas metodes, kuru pamatā parasti ir noteiktas darbības atkārtošana vairākas reizes. Šādā veidā iegūto secību pareizāk sauc par pseidogadījuma skaitļiem, jo ģenerētā secība ir periodiska un, sākot ar noteiktu brīdi, skaitļi sāks atkārtoties. Tas izriet no tā, ka datora kodā var ierakstīt tikai ierobežotu skaitu dažādu skaitļu. Līdz ar to beigās viens no ģenerētajiem skaitļiem γ1 sakritīs ar kādu no iepriekšējiem secības γL dalībniekiem. Un tā kā ģenerēšana tiek veikta saskaņā ar formas formulu

γк+1 = F(γk),

no šī brīža atlikušie secības dalībnieki tiks atkārtoti.

Vienmērīgi sadalītu nejaušu skaitļu izmantošana veido Montekarlo simulācijas pamatu. Var teikt, ka, ja konkrēts gadījuma lielums tika noteikts, izmantojot Montekarlo metodi, tad tā aprēķināšanai tika izmantota vienmērīgi sadalītu nejaušo skaitļu secība.

Vienmērīgi sadalīti nejaušie skaitļi svārstās no 0 līdz 1 un tiek atlasīti nejauši atbilstoši sadalījuma funkcijai

F(x) = Рr(Х< х} = х, .

Ar šo sadalījumu jebkuru nejaušā mainīgā lieluma vērtību rašanās intervālā (0, 1) ir vienlīdz ticama. Šeit Pr(X< х} - вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше х.

Galvenā nejaušo skaitļu iegūšanas metode ir to moduļu ģenerēšana. Lai m, a, c, x0 būtu veseli skaitļi, lai m > x0 un a, c, x0 > 0. Pseidogadījuma skaitlis xi no secības (xi) tiek iegūts, izmantojot atkārtošanās sakarību.

xi = a xi-1 + c (mod m).

Ģenerēto skaitļu stohastiskie raksturlielumi ir ļoti atkarīgi no m, a un c izvēles. Viņu sliktā izvēle noved pie kļūdainiem rezultātiem Montekarlo simulācijās.

Skaitliskām simulācijām bieži ir nepieciešams liels skaits nejaušu skaitļu. Tāpēc ģenerēto nejaušo skaitļu secības periodam, pēc kura secība sāk atkārtoties, jābūt diezgan lielam. Tam jābūt ievērojami lielākam par modelēšanai nepieciešamo nejaušo skaitļu skaitu, pretējā gadījumā iegūtie rezultāti tiks izkropļoti.

Lielākā daļa datoru un programmatūras pakotņu satur nejaušu skaitļu ģeneratoru. Tomēr lielākā daļa statistikas testu parāda korelāciju starp iegūtajiem nejaušajiem skaitļiem.

Ir ātrs tests, ko varat izmantot, lai pārbaudītu katru ģeneratoru. Nejaušo skaitļu ģeneratora kvalitāti var demonstrēt, aizpildot pilnīgi d-dimensiju režģi (piemēram, divdimensiju vai trīsdimensiju). Labam ģeneratoram ir jāaizpilda visa hiperkuba telpa.

Vēl viens aptuvens veids, kā pārbaudīt N nejaušo skaitļu xi sadalījuma vienmērīgumu, ir aprēķināt to matemātisko cerību un dispersiju. Saskaņā ar šo kritēriju vienmērīgai sadalei ir jāievēro šādi nosacījumi:

Ir daudz statistikas testu, ko var izmantot, lai pārbaudītu, vai secība būs nejauša. Spektrālais kritērijs tiek uzskatīts par visprecīzāko. Piemēram, ļoti izplatīts kritērijs, ko sauc par KS kritēriju vai Kolmogorova-Smirnova kritēriju. Pārbaude parāda, ka, piemēram, nejaušo skaitļu ģenerators Excel izklājlapās neatbilst šim kritērijam.

Praksē galvenā problēma ir izveidot vienkāršu un uzticamu nejaušo skaitļu ģeneratoru, ko varat izmantot savās programmās. Lai to izdarītu, tiek ieteikta šāda procedūra.

Programmas sākumā visam mainīgajam X tiek piešķirta noteikta vērtība X0. Pēc tam saskaņā ar noteikumu tiek ģenerēti nejauši skaitļi

X = (aX + c) mod m. (1)

Parametru izvēle jāveic, izmantojot šādus pamatprincipus.

1. Sākotnējo skaitli X0 var izvēlēties patvaļīgi. Ja programma tiek izmantota vairākas reizes un katru reizi ir nepieciešami dažādi nejaušo skaitļu avoti, varat, piemēram, piešķirt X0 iepriekšējā palaišanā pēdējo iegūto X vērtību.

2. Skaitlim m jābūt lielam, piemēram, 230 (jo tieši šis skaitlis nosaka ģenerētās pseidogadījuma secības periodu).

3. Ja m ir pakāpe divi, izvēlieties tādu, ka a mod8 = 5. Ja m ir desmit pakāpe, izvēlieties tādu, ka a mod10 = 21. Šī izvēle nodrošina, ka nejaušo skaitļu ģenerators radīs visas m iespējamās vērtības, pirms tās sāks atkārtot.

4.Reizinātājs A vēlamā izvēle ir no 0,01 m līdz 0,99 m, un tā binārajiem vai decimālskaitļiem nedrīkst būt vienkārša regulāra struktūra. Reizinātājam ir jāatbilst spektrālajam kritērijam un, vēlams, vairākiem citiem kritērijiem.

5.Ja a ir labs reizinātājs, c vērtība nav nozīmīga, izņemot to, ka c nedrīkst būt kopīgs reizinātājs ar m, ja m ir datora vārda lielums. Varat, piemēram, izvēlēties c = 1 vai c = a.

6. Varat ģenerēt ne vairāk kā m/1000 nejaušus skaitļus. Pēc tam ir jāizmanto jauna ķēde, piemēram, jauns reizinātājs A.

Uzskaitītie noteikumi galvenokārt attiecas uz mašīnu programmēšanas valodu. Augsta līmeņa programmēšanas valodai, piemēram, C++, bieži tiek izmantota cita opcija (1): tiek izvēlēts pirmskaitlis m, kas ir tuvu lielākajam viegli izskaitļojamam veselam skaitlim, a vērtība tiek iestatīta kā vienāda ar antiatvasinājuma sakni. no m, un c tiek uzskatīts par nulli. Piemēram, jūs varat ņemt a= 48271 un t =

3. Piemērs rindu sistēmas aprēķināšanai, izmantojot Montekarlo metodi

Apskatīsim vienkāršāko rindas sistēmu (QS), kas sastāv no n rindām (citādi sauktas par kanāliem vai apkalpošanas punktiem). Pieteikumi sistēmā tiek saņemti nejaušā laikā. Katrs pieteikums nonāk rindā Nr. 1. Ja izskata Tk saņemšanas brīdī šī līnija ir bezmaksas, pieteikums tiek apkalpots laikā t3 (līnijas aizņemtības laiks). Ja līnija ir aizņemta, pieprasījums tiek nekavējoties pārsūtīts uz līniju Nr. 2 utt. Ja visas n līnijas pašlaik ir aizņemtas, sistēma izdod atteikumu.

Dabisks uzdevums ir noteikt dotās sistēmas raksturlielumus, pēc kuriem var novērtēt tās efektivitāti: vidējais apkalpošanas gaidīšanas laiks, sistēmas dīkstāves procentuālais daudzums, vidējais rindas garums utt.

Šādām sistēmām praktiski vienīgā aprēķina metode ir Montekarlo metode.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image013_34.gif" width="373" height="257">

Lai iegūtu nejaušus skaitļus datorā, tiek izmantoti algoritmi, tāpēc šādas secības, kas būtībā ir determinētas, tiek sauktas par pseidogadījumu. Dators darbojas ar n-bitu skaitļiem, tāpēc nepārtrauktas intervāla (0,1) vienveidīgu nejaušu skaitļu kolekcijas vietā datorā tiek izmantota diskrēta tāda paša intervāla 2n nejaušu skaitļu secība - sadales likums šādu diskrētu secību sauc par gandrīz vienmērīgu sadalījumu.

Prasības ideālam nejaušo skaitļu ģeneratoram:

1. Secībai jāsastāv no gandrīz vienmērīgi sadalītiem skaitļiem.

2. Cipariem jābūt neatkarīgiem.

3. Gadījuma skaitļu sekvencēm jābūt reproducējamām.

4. Secībām jābūt cipariem, kas neatkārtojas.

5. Secības jāiegūst ar minimāliem skaitļošanas resursiem.

Vislielākais pielietojums datormodelēšanas praksē pseidogadījuma skaitļu secību ģenerēšanai ir atrodams formas algoritmos:

kas ir atkārtotas pirmās kārtas attiecības.

Piemēram. x0 = 0,2152, (x0)2 = 0, x1 = 0,6311, (x1)2 = 0, x2 = 0,8287 utt.

Šādu metožu trūkums ir korelācijas klātbūtne starp skaitļiem secībā, un dažreiz nejaušības vispār nav, piemēram:

x0 = 0,4500, (x0)2 = 0, x1 = 0,2500, (x1)2 = 0, x2 = 0,2500 utt.

Plaši tiek izmantotas kongruentas procedūras pseidogadījuma secību ģenerēšanai.

Divi veseli skaitļi a un b ir kongruenti (salīdzināmi) modulo m, kur m ir vesels skaitlis, tad un tikai tad, ja ir tāds vesels skaitlis k, ka a-b=km.

1984º4 (mod. 10), 5008º8 (mod 103).

Lielākā daļa kongruento nejaušo skaitļu ģenerēšanas procedūru ir balstītas uz šādu formulu:

kur ir nenegatīvi veseli skaitļi.

Izmantojot secības (Xi) veselos skaitļus, no vienību intervāla (0,1) varam izveidot racionālu skaitļu secību (xi)=(Xi/M).

Pirms modelēšanas izmantotajiem nejaušo skaitļu ģeneratoriem ir jāveic rūpīga iepriekšēja pārbaude iegūto nejaušo skaitļu secību viendabīgumam, stohastiskam un neatkarībai.

Metodes izlases skaitļu secību kvalitātes uzlabošanai:

1. Izmantojot atkārtotas secības r formulas:

Bet šīs metodes izmantošana palielina skaitļošanas resursu izmaksas, lai iegūtu skaitļus.

2. Perturbācijas metode:

5. Nejaušas ietekmes uz sistēmām modelēšana

1. Nepieciešams realizēt nejaušu notikumu A, kas notiek ar noteiktu varbūtību p. Definēsim A kā notikumu, kurā gadījuma lieluma izvēlētā vērtība xi, kas vienmērīgi sadalīta pa intervālu (0,1), apmierina nevienādību:

Tad notikuma A varbūtība būs https://pandia.ru/text/78/241/images/image019_31.gif" width="103" height="25">,

Testa simulācijas procedūra šajā gadījumā sastāv no nejaušu skaitļu xi secīgas salīdzināšanas ar lr vērtībām. Ja nosacījums ir izpildīts, testa rezultāts ir notikums Am.

3. Apsveriet neatkarīgus notikumus A un B ar rašanās varbūtību pA un pB. Kopīgo izmēģinājumu iespējamie rezultāti šajā gadījumā būs notikumi AB ar varbūtībām pArB, (1-pA)pB, pA(1-pB), (1-pA)(1-pB). Lai simulētu locītavu testus, var izmantot divus procedūras variantus:

1. punktā apspriestās procedūras konsekventa izpilde.

Viena no AB iznākuma noteikšana, izlozes kārtībā ar atbilstošām varbūtībām, t.i., 2.punktā aplūkotā procedūra.

Pirmajai opcijai būs nepieciešami divi skaitļi xi un divi salīdzinājumi. Izmantojot otro iespēju, jūs varat iztikt ar vienu skaitli xi, taču var būt nepieciešami vairāk salīdzinājumu. No modelēšanas algoritma konstruēšanas un operāciju skaita un datora atmiņas taupīšanas ērtuma viedokļa pirmā iespēja ir labāka.

4. Notikumi A un B ir atkarīgi un notiek ar varbūtību pA un pB. Apzīmēsim ar pA(B) notikuma B iestāšanās nosacīto varbūtību, ja ir noticis notikums A.

Kontroles jautājumi

1) Kā jūs varat definēt Montekarlo metodi?

2) Montekarlo metodes praktiskā nozīme.

3) Montekarlo metodes vispārīgā shēma.

4) Piemērs rindu sistēmas aprēķināšanai, izmantojot Montekarlo metodi.

5) Nejaušo skaitļu ģenerēšanas metodes.

6) Kādas ir prasības ideālam nejaušo skaitļu ģeneratoram?

7) Metodes izlases skaitļu secību kvalitātes uzlabošanai.

Vēl viena jutības novērtēšanas vai analīzes metode, kuras pamatā ir datorsimulācija, ir Montekarlo metode, kas tiek saprasta kā noteikta metode noteiktas klases ekonomisko vai matemātisko problēmu risināšanai, kurā noteikti parametri, mūsu gadījumā riska faktori, tiek modelēti formā. nejaušo mainīgo. Šī metode ir balstīta uz šo nejaušo lielumu sadalījumu datorsimulāciju un atbilstošu projektu aplēšu veidošanu, pamatojoties uz šiem sadalījumiem. Tā ir stabilitātes analīzes simulācijas metode, kas savu nosaukumu vēsturiski ieguvusi no tās pilsētas nosaukuma, kurā atrodas slavenās azartspēļu mājas un kazino. Terminu “Montekarlo simulācija” ierosināja amerikāņu zinātnieki S. Ulams un J. fon Neimans, strādājot slavenajā Manhetenas projektā. Pirmais raksts par šo jautājumu tika uzrakstīts 1949. gadā.

No vienas puses, Montekarlo metode ir zināma iepriekš aplūkotās diskrētās jutības analīzes modifikācija, jo runa ir par naudas plūsmas parametru izmaiņu ietekmes uz neto pašreizējo vērtību novērtēšanu un citiem investīciju projektu vērtēšanas kritērijiem. No otras puses, galvenā atšķirība no diskrētās metodes ir tā, ka Montekarlo metodes piemērošanas procesā tiek noteikts noteikts projekta pašreizējās neto vērtības, iekšējās procentu likmes, rentabilitātes indeksa un citu rādītāju vērtību sadalījums. veidojas, kas tiek noteikts atkarībā no izvēlēto riska faktoru simulētajiem nejaušajiem sadalījumiem . Tas ļauj iegūt noteiktus šī sadalījuma aprēķinus dispersijas, standartnovirzes vai variācijas koeficienta veidā neto pašreizējai vērtībai vai citam rezultētajam rādītājam, kura analīze ļauj izdarīt secinājumus par nākotnes apstākļu ilgtspējību. projekta izpildi, labvēlīgu vai nelabvēlīgu rezultātu iegūšanas iespējas. Apskatāmā metode ir balstīta uz izvēlēto naudas plūsmas parametru - riska faktoru nejaušo sadalījumu datorsimulāciju, uz kuras pamata tiek veidots apskatāmā projekta vērtēšanas rādītāju sadalījums.

Veicot aprēķinus, izmantojot Montekarlo metodi, tiek pieņemts, ka ir zināmas visu parametru vērtības, kas nosaka investīciju projekta naudas plūsmas atsevišķu komponentu vērtību. Tiem parametriem, kas tiek uzskatīti par riska faktoriem, modelējot šī faktora nejaušo sadalījumu datorā, tiek ņemta sākotnējā vērtība, kā paredzēts.

Organizatoriski Montekarlo metodi kā datorsimulācijas metodi var raksturot ar šādu galveno posmu secību.

Galveno rādītāju noteikšana investīciju projekta izvērtēšanai , saistībā ar kuru tiks mērīta riska faktoru ietekme. Šādi rādītāji var ietvert: projekta neto pašreizējo vērtību, iekšējo procentu likmi, rentabilitātes indeksu, atmaksāšanās periodu vai citus pēc tā investora pieprasījuma, kurš plāno īstenot attiecīgo projektu.

Parametru izcelšana , uzskatīti par riska faktoriem , kas tiks modelēti nejaušu lielumu veidā. To skaitliskai realizācijai paredzēts veikt datorsimulāciju, kas balstīta uz Microsoft Excel pakotnē iebūvētiem pseidogadījuma skaitļu ģeneratoriem, pamatojoties uz iepriekš izvēlētu izplatīšanas formu. Analīzei tiek identificētas tās naudas plūsmas sastāvdaļas, kuras pēc investora, vadītāja vai attiecīgās jomas eksperta domām visvairāk ietekmē izvēlētā projekta rādītāja izmaiņas, t.i. ir nozīmīgākie riska faktori. Principā visus naudas plūsmas komponentu parametrus var uzskatīt par nejaušiem, taču tas ir saistīts ar trim problēmām. Pirmkārt, atlasīto nejaušības parametru skaita palielināšanās var novest pie pretrunīgiem rezultātiem, ņemot vērā nejaušo mainīgo aplūkoto implementāciju korelācijas raksturu; otrkārt, var būt nepieciešams vairāk laika, lai analizētu iegūtos rezultātus un pamatotu atsevišķu faktoru ietekmi; treškārt, paliks neskaidrs, kādi faktori tieši ietekmēja rezultātus.

Nejaušo lielumu sadalījuma formas izvēle , uz kuras pamata tiks veikta to skaitliskās realizācijas datorsimulācija. Tas tiek veikts, pamatojoties uz dažām idejām par aplūkojamo rādītāju sadalījumu. Starp šādiem sadalījumiem var atzīmēt: normālo, lognormālo (biežāk izmanto, modelējot finanšu tirgu parametrus), trīsstūrveida, vienmērīgos utt. Normālie, trīsstūrveida un vienmērīgie sadalījumi ir simetriski, un to izmantošana balstās uz pieņēmumu par simetrisku sadalījumu. nākotnes rezultātiem, lai gan ar atšķirīgu pildījuma blīvumu. Lognormālais sadalījums nav simetrisks, un tā pielietojums ir balstīts uz pieņēmumu, ka lielākā daļa nejaušā lieluma vērtību tiek nobīdītas noteiktā virzienā attiecībā pret paredzamo vērtību.

Šajā grāmatā, veicot eksperimentālos aprēķinus, izmantojot Montekarlo metodi, modelējot nejaušos lielumus - izvēlētos naudas plūsmas parametrus, tiek izmantots normālais sadalījums.

Nejaušo lielumu simulācijas modelēšana - izvēlētie naudas plūsmas parametri. Lai simulētu atbilstošā nejaušā mainīgā skaitlisko ieviešanu, izmantojiet iebūvēto pseidogadījuma skaitļu ģeneratoru Microsoft Excel pakotnes izvēlnes “Rīki” opcijā “Datu analīze”. Šajā gadījumā iepriekš jāiestata aplūkojamā parametra paredzamā vērtība un tā standartnovirze, kā arī nejaušo mainīgo skaitlisko realizāciju skaits, kas jāiegūst viena simulācijas aprēķinu cikla laikā. Šādiem aprēķiniem varat izmantot arī īpašas lietojumprogrammatūras pakotnes.

Ja vienlaikus tiek simulētas vairākas nejaušas vērtības, ir jāpārbauda, vai nav korelācijas starp katru iegūto skaitlisko realizāciju pāri. Tālāk tiks skaidrotas statistisko hipotēžu pārbaudes kritēriju izmantošanas iespējas.

Ņemot vērā katru saņemto aplūkojamā nejaušā lieluma realizāciju, kā arī naudas plūsmu parametrus, kuri tiek pieņemti fiksēti, katrai saņemtajai norādīto nejaušo lielumu realizācijai tiek veikti naudas plūsmas aprēķini. Naudas plūsmu skaits sakrīt ar izvēlēto šo daudzumu realizāciju skaitu. Balstoties uz šīm naudas plūsmām, katrā simulācijas aprēķinu ciklā tiek veidots projekta pašreizējās neto vērtības sadalījums vai citi aplūkojamā projekta aprēķinātie rādītāji.

Projekta pašreizējās neto vērtības sadalījuma pazīmju noteikšana , kas iegūts viena simulācijas aprēķinu cikla rezultātā, iekļaujot projekta neto pašreizējās vērtības paredzamo vērtību, dispersiju un standartnovirzi un citus šī rādītāja iegūtā sadalījuma rādītājus. Tie ietver neto pašreizējās vērtības lielāko un mazāko vērtību, variācijas koeficientu kā sadalījuma papildu raksturlielumu, tīrās pašreizējās vērtības negatīvas vērtības realizācijas varbūtību, t.i. investoram nelabvēlīgs projekta iznākums. Pēdējā gadījumā norādītā varbūtība tiek definēta kā tīrās pašreizējās vērtības negatīvo vērtību skaita attiecība iegūtajā sadalījumā pret kopējo eksperimentu skaitu, kas veikti vienā simulācijas aprēķinu ciklā:

Kur k- tīrās pašreizējās vērtības negatīvo vērtību skaits paraugā, kas iegūts simulācijas procesā; T - veikto simulācijas eksperimentu skaits. Šāds nelabvēlīgu iznākumu iespējamības novērtējums ir balstīts uz pieņēmumu, ka katra iznākuma varbūtība viena simulācijas modelēšanas cikla laikā ir vienāda un ir vienāda. p = 1 /T. Līdzīgus aprēķinus var veikt attiecībā uz iekšējo procentu likmi, rentabilitātes indeksu un atmaksāšanās periodu.

Veicot aprēķinus, varat izmantot Microsoft Excel pakotnes iebūvētās statistikas funkcijas (5.12. tabula), kas ir iestatītas sadalījumā. NPV vai izmantojot citu aprēķināto rādītāju, kas iegūts viena simulācijas aprēķinu cikla rezultātā.

Tabula 5.12

Izmantotas Microsoft Excel pakotnes iebūvētās funkcijas

Simulācijas aprēķinu ciklu konsekventa vairākkārtēja atkārtošana veic 4. un 5. posmā, kas ietver secīgu neto pašreizējās vērtības sadalījumu veidošanu, kā arī atbilstošās 5. posmā uzrādīto aplēsto rādītāju vērtību kopas.

Lai pārbaudītu iegūto neto pašreizējās vērtības sadalījuma raksturlielumu stabilitāti un uzlabotu secinājumu pamatotības kvalitāti, simulācijas režīmā jāveic vairāki simti vai tūkstoši iteratīvo aprēķinu cikli.

Galveno rezultātu analīze. Montekarlo metodes izmantošanas rezultātus, lai analizētu un novērtētu projekta ilgtspēju attiecībā uz identificētajiem riska faktoriem, var attēlot divos veidos. Pirmkārt, mēs varam runāt par simulācijas aprēķinu rezultātā iegūto rādītāju kvantitatīvo vērtību analīzi, raksturojot projekta pašreizējās neto vērtības sadalījuma parametrus vai citus aprēķinātos rādītājus. Šie rādītāji ietver: neto pašreizējās vērtības paredzamo vērtību; dispersija, standartnovirze un variācijas koeficients kā riska mēri; iegūtā parauga lielākās un mazākās pašreizējās neto vērtības vērtības; iespējamība iegūt negatīvu projekta neto pašreizējo vērtību. Simulācijas aprēķinu cikla atkārtotas atkārtošanas procesā katram norādītajam rādītājam ir iespējams konstruēt vidējo vērtību konkrētai izlasei, uzskatot tos par noteiktiem sagaidāmajiem riska faktoru ietekmes uz aprēķinu izpildes nosacījumiem raksturojošiem rādītājiem. dotais investīciju projekts.

Šo rādītāju vērtību sadalījuma analīze, kas iegūta pietiekami liela iterāciju skaita rezultātā, ļauj izdarīt noteiktus secinājumus par projekta neto pašreizējās vērtības relatīvo stabilitāti, paredzamo vērtību un standartu. iegūtā sadalījuma novirze NPV negatīvas vērtības iegūšanas varbūtība NPV projekts, ievērojot izvēlēto gadījuma lielumu izmaiņas atbilstoši izvēlētajai to sadalījuma formai. Šo stabilitāti var novērtēt vizuāli, uzzīmējot norādīto rādītāju izlases vērtības vai izmantojot atbilstošus statistiskos aprēķinus, kas noteikti, pamatojoties uz iegūto atbilstošā rādītāja paraugu. Līdzīgu analīzi var veikt, ja tiek izmantoti citi projektu vērtēšanas kritēriji.

Rīsi. 5.4.

Cits datorsimulācijas vai Montekarlo pētījumu rezultātu veids var būt dažādi grafiki. Mēs runājam par neto pašreizējās vērtības vērtību frekvences histogrammām, kuras tiek veidotas atkarībā no simulēto neto pašreizējās vērtības vērtību biežuma, kas ietilpst izvēlētajos intervālos vai to vērtību grupās, kā arī negatīvās vērtības varbūtības sadalījuma grafikiem. neto pašreizējā vērtība vai citi aprēķinātie rādītāji.

Vispārējā aprēķinu secība, izmantojot Montekarlo metodi, ir parādīta attēlā. 5.4. Attiecīgos aprēķinus var veikt tikai datorā, izmantojot Microsoft Excel pakotnes vai citu lietojumprogrammu pakotņu iebūvētās iespējas.

Mēs parādīsim Montekarlo metodes ieviešanas iespējas un iegūto rezultātu analīzes iezīmes, pamatojoties uz sekojošo nosacīto piemēru. Visi sākotnējie dati par aplūkojamo projektu ir doti tabulā. 5.13.

Tabula 5.13

Projekta sākotnējie dati

Rādītājs
Rādītājs
Jaudas izmantošanas koeficients, %

Paredzamā pārdošanas cena, rub.
Pārdošanas cenas standarta novirze, rub.
Investīcijas, rub.
Nosacīti fiksētie izdevumi, rub/gadā
Nosacīti mainīgie izdevumi, rub/sd. Hērods.
Daļēji mainīgo izdevumu standarta novirze

Izcelsim parametrus un ģenerēsim šī investīciju projekta sākotnējo naudas plūsmu. Naudas plūsmas komponentes tiek aprēķinātas, izmantojot formulas

Kur k t - ražošanas jaudas izmantošanas līmenis gadā t, M t - uzņēmuma ražošanas jauda gadā t, p t - produkta cena periodā t; hf- daļēji mainīgo izdevumu likme gadā t; Hf- daļēji fiksētie izdevumi periodā t,t= 1, 2,..., T; T ir projekta izpildes periods.

Sākotnējās naudas plūsmas aprēķina rezultāti, izmantojot formulas (5.10.), sniegti tabulā. 5.14.

Šajā piemērā tiek pētīta divu riska faktoru datormodelēšana: produktu cenas otrajā gadā un daļēji mainīgās izmaksas trešajā gadā. Simulācijas modelēšana tiek veikta, pamatojoties uz pieņēmumu par abu faktoru normālo sadalījumu.

Tabula 5.14

Investīciju projekta parametri un naudas plūsma

Investīcijas	jaudas izmantošanas koeficients, %	Maksimālais izvades apjoms, vienības. ed.	Paredzams pealnzanmn.	pastāvīgs	Nosacīti mainīgie izdevumi, rub/vienība. Hērods.	Naudas
	-

Otrā gada cenai kā paredzamā vai vidējā vērtība tiek izvēlēti 30 rubļi. (sk. 5.13. tabulu), un standarta novirze tiek pieņemta vienāda ar 2. Trešā gada nosacīti mainīgajiem izdevumiem attiecīgi paredzamā vērtība ir vienāda ar 16 rubļiem. (skat. 5.13. tabulu), un standarta novirze tika izvēlēta vienāda ar 1. Standartnovirzes novērtējumu var iegūt, pamatojoties uz priekšstatiem par attiecīgā rādītāja iespējamajiem svārstību intervāliem. Tātad, ja paredzamās otrā gada pārdošanas cenas svārstības ir 6 rubļi. abos virzienos no paredzamās vērtības, tad, ņemot vērā, ka normālos sadalījuma apstākļos gandrīz viss intervāls ir ±3a, aptuvens standartnovirzes novērtējums šajā gadījumā ir 6/3 = 2 rubļi. Līdzīgi var iegūt arī citas tabulā norādītās standartnovirzes vērtības. 5.13.

Datormodelējot abu izvēlēto indikatoru nejaušu realizāciju, tika izmantotas Microsoft Excel pakotnes iebūvētās iespējas pseidogadījuma mainīgo ģenerēšanai, pamatojoties uz normālo sadalījumu. Katrs simulācijas aprēķinu cikls ietvēra 100 iterācijas. Abu nejaušo lielumu viena aprēķinu cikla rezultāti doti tabulā. 5.15.

Pirms turpmāko aprēķinu veikšanas nepieciešams pārbaudīt hipotēzi, ka nepastāv korelācija starp abiem nejaušajiem mainīgajiem, kuru sadalījumi ir doti tabulā. 5.15. Lai to izdarītu, izmantojot Microsoft Excel pakotnes iebūvēto funkciju “CORREL”, mēs aprēķinām parauga pāra korelācijas koeficientu, kura vērtība būs rph = -0,10906, t.i. gandrīz vienāds ar nulli. Lai formāli pārbaudītu hipotēzi

5.15. tabula

Nejaušo lielumu sadalījuma imitācija, rub.

І Iterācijas numurs	Otrā gada cena, rub.	Trešā gada nosacīti mainīgie izdevumi, rub./gb. turp.
	Vidējā vērtība - 30	Vidēji -16
	Standarta novirze - 2	Standarta novirze - 1

par korelācijas neesamību starp aplūkotajiem gadījuma mainīgajiem ir jāveido statistika

Kur P - izlases lielums, t.i. iterāciju skaitu vienā simulācijas aprēķinu ciklā un salīdziniet to ar statistiku t a (n - 2), kam ir Studentu sadalījums SP — 2 brīvības pakāpes un pārliecības līmenis a. Ņemot vērā norādīto izlases korelācijas koeficienta vērtību un izlases lielumu P = 100, šajā gadījumā mēs iegūstam:

kura absolūtā vērtībā ir mazāka par Stjudenta sadalījuma kvantiles atbilstošo tabulēto vērtību ar 98 brīvības pakāpēm un ticamības līmeni 0,95, kas ir 1,984. Tas ļauj pieņemt hipotēzi N() ar I tipa kļūdas iespējamību 0,05.

Izmantojot iegūtās otrā gada cenas un trešā gada nosacīti mainīgo izdevumu skaitliskās realizācijas (skat. 5.15. tabulu), kā arī atlikušo naudas plūsmas parametru dotās vērtības (skat. 5.14. tabulu), naudas plūsmas investīciju projekts tiek veidots atbilstoši iegūtajām cenu vērtībām katrai iterācijai. Aprēķini tika veikti, izmantojot formulas (5.10). Kopā tika radītas 100 naudas plūsmas. Aprēķinu rezultāti ir norādīti tabulā. 5.16.

5.16. tabula

iterācijas
iterācijas

Izmantojot iegūtās naudas plūsmas vērtības, mēs aprēķināsim projekta neto pašreizējo vērtību, izmantojot formulu

Tika izmantota norēķinu procentu likme 12% apmērā. Šie aprēķini tiek veikti programmā Microsoft Excel, izmantojot iebūvēto finanšu NPV funkciju, ko izmanto pašreizējās neto vērtības vērtību aprēķināšanai. Aprēķinu rezultāti ir norādīti tabulā. 5.17.

5.17. tabula

Naudas plūsmas iespējas izskatāmajam projektam viena simulācijas aprēķinu cikla ietvaros, rub.

Iterācijas numurs	Neto pašreizējā vērtība	Iterācijas numurs	Neto pašreizējā vērtība

Izmantojot iegūto projekta neto tagadnes vērtību sadalījumu, ir iespējams noteikt galvenos raksturlielumus, kas atspoguļo riska faktoru ietekmes pakāpi uz šī projekta neto pašreizējo vērtību. Izveidosim biežuma histogrammu neto pašreizējās vērtības vērtībām. Lai to izdarītu, mēs sadalām visas projekta pašreizējās neto vērtības vērtības, kas iegūtas 100 iterāciju laikā, grupās šādi. Pirmajā grupā mēs iekļausim tās pašreizējās neto vērtības vērtības, kas nepārsniedz -20 000 rubļu, un pēc tam ar soli 10 000 rubļu. mēs veidosim vēl septiņas neto pašreizējās vērtības grupas no 2. līdz 8., un pēdējā grupā iekļausim tās pašreizējās neto vērtības vērtības, kas pārsniedz 50 000 rubļu, un noteiksim vērtību skaitu neto pašreizējā vērtība, kas ietilpst katrā izvēlētajā grupā (5.18. tabula).

Iegūto neto pašreizējās vērtības sadalījums pa grupām, kas norādītas tabulā. 5.18 var attēlot sekojošā frekvences histogrammā (5.5. att.). Šī histogramma parāda, ka ir iegūts lielākais iegūto vērtību skaits NPV atrodas diapazonā no -10 000 līdz 30 000. Tas arī sniedz zināmu priekšstatu par iespējamām neto pašreizējās vērtības negatīvajām vērtībām, kas šajā piemērā ietilpa 1., 2. un 3. grupā. Tajā pašā laikā lielākā daļa

5.18. tabula

Aplēsto pašreizējo neto vērtību grupēšana

Rīsi. 55.

aprēķinātās vērtības NPV atrodas pozitīvo vērtību zonā. Konkrētās iekrišanas biežuma vērtības katrā intervālā ir atkarīgas no izvēlēto nejaušo lielumu iegūtā sadalījuma, mūsu piemērā otrā gada pārdošanas cenām un trešā nosacīti mainīgajiem izdevumiem, kas tiek uzskatīti par riska faktoriem. Iegūtais rezultāts būtiski ir atkarīgs no iepriekšminēto faktoru normālā sadalījuma pieņēmuma.

Montekarlo metode ļauj analizēt riska faktoru - izvēlēto projekta parametru - ietekmi uz pētītajiem tā novērtējuma rādītājiem. Mūsu piemērā par šādu rādītāju tiek uzskatīta neto pašreizējā vērtība. Sešu sadalījumu raksturojošo rādītāju aprēķinu rezultāti NPV secīgi veidoti katrā no 10 veikto simulācijas aprēķinu cikliem, ir doti tabulā. 5.19.

Tie visi tiek veikti, ievērojot vienu un to pašu aplūkojamo gadījuma lielumu normālo sadalījumu un to raksturlielumu - vidējās jeb paredzamās vērtības un standartnovirzes - saglabāšanu. Šajā piemērā veikto eksperimentālo aprēķinu procesā par riska faktoriem izvēlētas otrā gada cenas un trešā gada nosacīti mainīgie izdevumi; katram no šiem faktoriem sadalījuma parametri tika saglabāti vienādi visos 10 simulācijas aprēķinu ciklos. Principā ir iespējams veikt simulācijas aprēķinus, izmantojot Montekarlo metodi ar mainīgu standarta novirzi. Šajā gadījumā ir ļoti grūti analizēt iegūto rezultātu stabilitāti.

Ļaujiet mums sīkāk analizēt aprēķinu rezultātus, kas sniegti tabulā. 5.19. Vienlaikus, vadoties pēc sadalījuma, tika noteikti rādītāji simulācijas aprēķinu 1. ciklam NPV parādīts tabulā. 5.17.

5.19. tabula

Sadalījumu raksturojums NPV saņemts simulācijas režīmā, berzēt.

Rādītājs	Simulācijas aprēķinu cikls
Rādītājs
Paredzamā vērtība NPV
Standarta novirze NPV
Koeficients variācijas
Negatīvās vērtības varbūtība NPV
Augstākā vērtība NPV
Zemākā vērtība NPV

Pirmkārt, paredzamā vērtība NPV visos 10 simulācijas ciklos aprēķini izrādījās pozitīvi, lielākā daļa iegūto vērtību NPV katram sadalījumam tiek novirzīts uz pozitīvo reģionu.

Otrkārt, katra sadalījuma standarta novirze NPV simulācijas režīmā iegūtā vērtība ir lielāka par paredzamo vērtību NPV Norādītā sakarība atspoguļo arī variācijas koeficienta vērtību, kas ir lielāka par vienību visiem simulācijas aprēķinu cikliem un ļauj secināt, ka var realizēt negatīvu vērtību NPV šī projekta īstenošanas laikā.

Treškārt, šo secinājumu apstiprina iegūtie negatīvās vērtības varbūtības aprēķini NPV projektu, ko nosaka saskaņā ar formulu (5.9) kā noteiktā simulācijas aprēķinu ciklā iegūto neto pašreizējās vērtības negatīvo vērtību skaita attiecību pret kopējo iterāciju skaitu, kas ir vienāds ar 100. veiktajiem simulācijas aprēķinu cikliem, šī varbūtība ir aptuveni 30%.

Ceturtā, maksimālās un minimālās vērtības NPV projekts sniedz priekšstatu par iespējamo vērtību svārstību diapazonu vai izplatību NPV projektu. Šie dati vēlreiz apliecina, ka standartnovirze raksturo tikai daļu no simulācijas aprēķinu rezultātā noteiktās projekta pašreizējās neto vērtības svārstību diapazona.

Piektkārt, parādīts tabulā. 5.19. dati ļauj izdarīt secinājumus par katrā simulācijas aprēķinu ciklā iegūto sadalījuma raksturlielumu stabilitāti NPV kas faktiski dod iespēju interpretēt iegūtos vidējos empīrisko rezultātu novērtējumus kā atbilstošus projekta nosacījumiem. Šo stabilitāti var pārbaudīt dažādos veidos.

1. Varat izmantot tabulā parādīto rezultātu sadalījuma vizuālo novērtējumu. 5.19. Tātad, attēlā. 5.6. parāda negatīvas vērtības varbūtības sadalījumu NPV r iegūts 10 simulācijas aprēķinu ciklos.

Analizējot diagrammu, kas parādīta attēlā. 5.6, ir acīmredzams, ka iegūtais šīs varbūtības svārstību diapazons ir diezgan šaurs. Ja mēs izmantojam šīs varbūtības maksimālo un minimālo vērtību, mēs varam parādīt, ka novirze no šīs varbūtības vidējās vērtības šim paraugam, kas ir vienāda ar 0,31, ir aptuveni 13% abos virzienos.

Rīsi. 5.6. Negatīvās vērtības varbūtība NPV pēc simulācijas cikliem

Tāpat mēs varam izcelt projekta pašreizējās neto vērtības paredzamās vērtības svārstību intervālu. Kā liecina dati tabulā. 5.19, visos simulācijas aprēķinu ciklos sagaidāmais NPV bija pozitīva vērtība, lai gan tā bija pakļauta noteiktām svārstībām. Attēlā parādītais grafiks. 5.7. parāda gan iespējamās šī rādītāja izmaiņu tendences, gan tā vērtības svārstību diapazonu pabeigtajos simulācijas aprēķinu ciklos.

Rīsi. 5.7. Paredzamā vērtība NPV pēc simulācijas cikliem

Ja ņemam vērā, ka sagaidāmās neto pašreizējās vērtības izlases vidējā vērtība ir 6332,38 rubļi, tad varam parādīt, ka aprēķināto vērtību svārstību diapazons ir aptuveni 24% abās vidējās vērtības pusēs. Iegūtie aprēķini ir ļoti atkarīgi no veikto simulācijas aprēķinu ciklu skaita un, protams, mainīsies nākamo ciklu laikā. Šādu aprēķinu relatīvā ticamība palielinās, palielinoties simulācijas aprēķinu ciklu skaitam un palielinoties tabulā parādītajam izlases lielumam. 5.19. Līdzīgu analīzi var veikt arī citiem rādītājiem, kas noteikti katrā simulācijas aprēķinu ciklā (sk. 5.19. tabulu).

2. Ievērojami palielinoties simulācijas aprēķinu ciklu skaitam un paplašinot iegūto rezultātu izlasi, ir iespējams izmantot formālos kritērijus hipotēžu pārbaudei un uz to pamata izdarīt secinājumus par iegūto rezultātu stabilitāti un noteiktu aprēķināto parametru īpašās vērtības. Statistisko hipotēžu pārbaude balstās uz testa statistikas ģenerēšanu, kas noteikta, ņemot vērā aplūkojamā rādītāja izlasi, kā arī pieņēmumu, ka testa statistikai ir noteikts sadalījums. Iepriekš, pārbaudot hipotēzi, ka pāra korelācijas koeficients ir vienāds ar nulli, mēs izskatījām tā saukto vienkāršo hipotēzi, pieņemot, ka testa statistikai bija Studenta sadalījums ar n-2 brīvības pakāpes. Statistisko hipotēžu pārbaudes īpatnība ir tāda, ka tās tiek pieņemtas ar zināmu pārliecības līmeni. Atbilstošā testa rezultātos var būt pirmā tipa kļūdas, kad hipotēze tiek noraidīta, ja tā ir patiesa, un otrā tipa kļūdas, kad hipotēze tiek pieņemta, ja tā ir nepatiesa vai alternatīvā hipotēze ir patiesa, t.i. Šādas pārbaudes laikā iegūtā atbilde nav absolūta.

Lēmuma pieņemšana par investīciju projekta īstenošanu vai neizpildīšanu, pamatojoties uz datiem, kas iegūti, izmantojot Montekarlo metodi, pirmkārt, ietver iegūto projekta pašreizējās neto vērtības sadalījumu analīzi, ko var veikt attēlā parādītajai histogrammai līdzīgas histogrammas pamatā. 5.5. Līdzīgu histogrammu var izveidot arī vidējam rādītājam visās sadales implementācijās NPV

Ja visas sadalījuma vērtības NPV katrā simulācijas ciklā aprēķini izrādās pozitīvi, tad projektu var ieteikt izpildei, pretējā gadījumā, ja visas sadalījuma vērtības NPV no projekta ir negatīvi katrā simulācijas aprēķinu ciklā, projekts nav ieteicams izpildei. Visos citos gadījumos ir jāsalīdzina iespējas iegūt pozitīvas un negatīvas vērtības NPV Attēlā parādītajai histogrammai. 5.5, var atzīmēt, ka pozitīvas vērtības NPV tiek sasniegti grupām no 4 līdz 8. Ņemot vērā tabulā sniegtos datus. 5.18, var atzīmēt, ka šim paraugam 65% no vērtībām NPV pozitīvi un tikai 35% negatīvi. Līdzīgu analīzi var veikt, izmantojot sadalījuma vidējo vērtību visos simulācijas aprēķinu ciklos.

Literatūrā, kas veltīta investīciju projektu vērtēšanas problēmām, izmantojot Montekarlo metodi, tiek piedāvāts pēc izlases aprēķināt vēl dažus rādītājus. NPV pieņemot, ka rezultātiem katrā iterācijā viena simulācijas aprēķinu cikla laikā ir vienāda varbūtība p= 1 /P. Pamatojoties uz šo pieeju, tiek iegūtas sagaidāmās vērtības NPV tabulā 5.19. Tiek ierosināts izmantot to pašu shēmu, lai noteiktu “paredzamo pieaugumu”, izmantojot pozitīvas vērtības NPV iegūtajā paraugā un “paredzamie zaudējumi” - pamatojoties uz negatīvām vērtībām NPV šajā paraugā.

Ņemot vērā, ka NPV- Tas ir projekta izvēles kritērijs, nevis tā lietderīgo rezultātu jēgpilns novērtējums, ir nepieciešama papildus jēgpilna norādīto “uzvaru” un “zaudējumu” rādītāju interpretācija. Savukārt gadījumā, ja par galīgo modelēto rādītāju tiek uzskatīti ienākumi par noteiktu periodu, no simulācijas rezultātā iegūtās izlases var veikt vidējo pozitīvo ienākumu vai zaudējumu aplēses.

Tas, vai investīciju projekts tiek pieņemts izpildei, ir atkarīgs no simulācijas rezultātā radīto vērtību sadalījumiem NPV un šī sadalījuma izrietošās īpašības. Izplatīšanas īpašības NPV (sk. 5.19. tabulu) izmaiņas ar katru simulācijas aprēķinu ciklu. Tāpēc īpaši svarīga ir simulācijas aprēķinu rezultātā iegūto rezultātu stabilitātes analīze, kas ļauj iegūt papildu informāciju lēmumu pieņemšanai. Runa nav tik daudz par to, kādas ir iegūto rezultātu konkrētās vērtības, bet gan par to, cik tie ir stabili un vai tie būtiski mainīsies identificēto riska faktoru faktiskajā ietekmē. Šīs analīzes rezultāti ir relatīvi gan tad, ja šī analīze tiek veikta vizuāli, gan runājot par galveno statistisko hipotēžu pārbaudes kritēriju novērtēšanu. Līdz ar to lēmumu pieņēmējam ir svarīgi, vai iegūtie sadalījuma raksturlielumu svārstību intervāli atbilst viņa priekšstatiem par attiecīgā rādītāja turpmākajām svārstībām, vai arī viņa ticamības līmenis apmierina atbilstošo hipotēzi.

Vadītāja galīgo lēmumu par izskatāmā projekta īstenošanu vai neizpildīšanu pieņem, pamatojoties uz visu iepriekš minēto informāciju, ņemot vērā viņa tieksmi vai nepatiku pret risku, kas atspoguļojas tajā, vai šī persona uzskata par iespējamu īstenot projektu ar iegūtajiem sadalījuma raksturlielumiem NPV un vai viņam ir noteiktas iespējas pārvaldīt šī projekta riskus gadījumā, ja tā attīstība iet pa nelabvēlīgu ceļu. Formālie kritēriji risinājuma izvēlei, pamatojoties uz Montekarlo simulācijas procesā iegūto informāciju, šobrīd nav izstrādāti, kas tiek uzskatīts par vienu no galvenajiem trūkumiem šai investīciju projektu novērtēšanas un pamatojuma metodei riska apstākļos.

Izmantojot Montekarlo metodi, jāpatur prātā, ka tās ieviešanas procesā mēs runājam par projekta kopējās stabilitātes novērtēšanu attiecībā uz identificēto riska faktoru izmaiņām (mūsu piemērā cenas un daļēji mainīgās izmaksas). . Tas ir saistīts ar to, ka šī metode, tāpat kā diskrētā jutīguma analīze, nav balstīta uz iespējamo nākotnes izmaiņu izmantošanu identificētajā ārējā riska faktorā, piemēram, cenās, konkrētajā tirgū, bet balstās uz sadalījumu datorsimulāciju. no identificētajiem riska faktoriem. Rezultāti būtiski ir atkarīgi no iegūtās novērtēšanas rādītāju izlases lieluma, savukārt to specifiskās vērtības var būtiski atšķirties atkarībā no simulācijas aprēķinu cikla. Tas ir arī Montekarlo metodes trūkums kā simulācijas metode ilgtermiņa investīciju projektu riska analīzei.

Dažreiz tie nodala investīciju apjomu projektā un nākotnes biznesa izmaksas, kas rodas pirms būvniecības pabeigšanas un nodošanas ekspluatācijā, piemēram, apkures, apgaismojuma, apsaimniekošanas izmaksu veidā un ņem vērā parametru H₀ .

Papildinformāciju par hipotēžu pārbaudi skatiet: Magnuss Ja.R.. Katiševs P.K., Peresetskis A.A. Ekonometrija. Iesācēju kurss. M.: Delo, 1997. 219.-221.lpp.

Investīciju projekta risku vadība: mācību grāmata / red. M. V. Gračevojs, L. B. Sikerina. M.: VIENOTĪBA-DANA, 2009. 169.-170.lpp.

2. nodaļa. Montekarlo metodes izmantošanas piemēri 8

2.1 Vienkāršākais Montekarlo metodes izmantošanas piemērs 8

2.2. Pi aprēķins, izmantojot Montekarlo metodi 8

2.2.1. Problēmas formulējums Pi atrašanai, izmantojot Montekarlo metodi 10

2.2.2 Programmas uzskaitījums Pi atrašanai, izmantojot Montekarlo metodi 10

2.3 Problēmas risināšana analītiski un Montekarlo metodes izmantošana 12

3. nodaļa. Nejaušo skaitļu ģenerēšana 17

20. secinājums

Atsauces 21

Ievads

Montekarlo metodes ir vispārīgs nosaukums metožu grupai dažādu problēmu risināšanai, izmantojot nejaušas secības. Šīs metodes (tāpat kā visas varbūtības teorijas) izauga no cilvēku mēģinājumiem uzlabot savas izredzes spēlēt azartspēles. Tas izskaidro faktu, ka nosaukumu šai metožu grupai devusi Montekarlo pilsēta - Eiropas azartspēļu biznesa (kazino) galvaspilsēta, kur viņi spēlē ruleti - vienu no vienkāršākajām ierīcēm nejaušu skaitļu iegūšanai, uz kuras šī metode ir balstīta.

Datori ļauj viegli iegūt tā sauktos pseidogadījuma skaitļus (tos izmanto gadījuma skaitļu vietā, risinot uzdevumus); tas noveda pie šīs metodes plašas ieviešanas daudzās zinātnes un tehnikas jomās (statistikas fizikā, rindu teorijā, spēļu teorijā utt.).

1. nodaļa. Montekarlo metodes priekšvēsture un definīcija

Amerikāņu matemātiķi D. Noimans un S. Ulams tiek uzskatīti par statistiskās pārbaudes metodes (Montekarlo metodes) radītājiem. 1944. gadā saistībā ar darbu pie atombumbas izveides Neimans ierosināja plaši izmantot varbūtību teorijas aparātu, lai atrisinātu lietišķās problēmas, izmantojot datoru. Pirmais darbs, kurā šis jautājums tika sistemātiski prezentēts, pieder Metropolis un Ulam.

Analītiskās metodes nodrošina problēmas risinājumu vai nu formulas veidā, vai sērijas paplašināšanas vai integrāļu veidā pār visu kāda operatora īpašfunkciju kopu.

Klasiskās skaitliskās metodes nodrošina aptuvenu problēmas risināšanas shēmu, kas parasti ir saistīta ar telpas sadalīšanu stingri noteiktās šūnās un integrācijas aizstāšanu ar summēšanu un diferencēšanu ar ierobežotām atšķirībām.

Galvenie analītisko metožu trūkumi ir:

Galveno risinājumu metožu nepietiekama universālums. Piemēram, sērijas paplašināšanas metode īpašfunkciju izteiksmē praktiski nedarbojas tiem daļējiem diferenciālvienādojumiem, kur mainīgie nav atdalīti utt.

Ļoti ierobežots ģeometrisko nosacījumu kopums, kuriem var atrisināt problēmu. Pat vienkāršu, bet dažādu veidu virsmu kombinācija padara problēmu neatrisināmu.

Nav iespējams aprēķināt fizisku procesu, kura varbūtības apraksts ir zināms, bet izteiksme vienādojuma veidā ir ārkārtīgi sarežģīta.

Klasiskās skaitliskās metodes izlabo dažus no šiem trūkumiem, bet pievieno savus. Tomēr viņi nebaidās no sarežģītas problēmu ģeometrijas:

Tie ir ārkārtīgi apjomīgi. Starpposma informācijas apjomu ir grūti iekļaut pat mūsdienu datora atmiņā.

Lēmuma kļūdas novērtēšana ir daudz grūtāka procedūra nekā pats lēmuma pieņemšanas process. Bieži vien tas ir vienkārši neiespējami.

Statistiskā testa metode ir brīva no visiem šiem trūkumiem.

Montekarlo metodi var definēt kā gadījuma lielumu simulācijas metodi, lai aprēķinātu to sadalījuma raksturlielumus. Tā ir skaitliska metode matemātisko problēmu risināšanai, modelējot gadījuma lielumus.

Montekarlo metodes uzdevums, iegūstot vairākas mūs interesējošā gadījuma lieluma realizācijas, ir iegūt kādu informāciju par tā sadalījumu, t.i. ir tipiska problēma matemātiskajā statistikā.

Tātad, Montekarlo metodes būtība ir šāda: jāatrod vērtība A kāds pētīts daudzums. Lai to izdarītu, izvēlieties šādu nejaušo mainīgo X, kuru matemātiskā cerība ir vienāda ar A:

M(X)=A.

Praksē viņi to dara: ražo N testus, kuru rezultātā viņi iegūst N iespējamās vērtības X, aprēķināt to vidējo aritmētisko un ņemt to kā aptuveno vērtību A’ nepieciešamo numuru A.

Parasti tiek sastādīta programma, lai veiktu vienu izlases veida pārbaudi. Aprēķina kļūda parasti ir proporcionāla , kur D- daži nemainīgi.

Tas nozīmē, ka N jābūt lielam, tāpēc metode lielā mērā ir atkarīga no datora iespējām. Ir skaidrs, ka šādā veidā nav iespējams sasniegt augstu precizitāti. Tas ir viens no metodes trūkumiem. Daudzās problēmās ir iespējams ievērojami palielināt precizitāti, izvēloties aprēķina metodi, kas atbilst ievērojami mazāk D.

Tā kā Montekarlo metodei ir nepieciešams liels skaits testu, to bieži sauc par statistiskās pārbaudes metodi. Šīs metodes teorija norāda, kā vispiemērotāk izvēlēties nejaušo mainīgo X, kā atrast tās iespējamās vērtības.

Iespējamo nejaušā lieluma X vērtību atrašana (modelēšana) tiek saukta par “gadījuma lieluma atskaņošanu”.

Montekarlo metode ļauj simulēt jebkuru procesu, kura norisi ietekmē nejaušības faktori. Daudzām matemātiskām problēmām, kas nav saistītas ar nejaušību, ir iespējams mākslīgi izdomāt varbūtības modeli, kas dažos gadījumos ir izdevīgāks.

Montekarlo metodes galvenais trūkums ir tas, ka, galvenokārt būdama skaitliska metode, tā nevar aizstāt analītiskās metodes, aprēķinot būtiski jaunas parādības, kur, pirmkārt, ir nepieciešams atklāt kvalitatīvus modeļus.

Montekarlo metodes priekšrocība ir tā, ka tā var “darboties” tur, kur citas metodes neizdodas.

Analītiskās izpētes metodes var būtiski samazināt Montekarlo metodes kļūdu un paaugstināt to līdz kvalitatīvu modeļu iegūšanas līmenim. Analītisko un statistisko metožu sintēze var samazināties D līdz ļoti mazai vērtībai, tādējādi samazinot kļūdu.

Šeit ir ar Montekarlo metodi atrisināto problēmu piemēri:

rindu sistēmas aprēķins;

produktu kvalitātes un uzticamības aprēķins;

ziņojumu pārraides teorija;

noteikta integrāļa aprēķins;

skaitļošanas matemātikas problēmas;

neitronu fizikas problēmas un citas.

2. nodaļa. Montekarlo metodes izmantošanas piemēri

2.1 Vienkāršākais Montekarlo metodes izmantošanas piemērs

P Pieņemsim, ka mums ir jānosaka plakanas figūras laukums, kas atrodas vienības kvadrātā, t.i. kvadrāts, kura mala ir vienāda ar vienu (1. att.). Izvēlēsimies pēc nejaušības principa kvadrāta iekšpusē N punktus. Apzīmēsim ar M punktu skaits, kas ietilpst attēlā. Tad figūras laukums ir aptuveni vienāds ar attiecību . No šejienes, jo vairāk N, jo lielāka ir šādas aplēses precizitāte.

1. attēls. Figūras laukums ir aptuveni vienāds ar attēlā iekļauto punktu skaita attiecību pret visu punktu skaitu.

2.2. Pi aprēķins, izmantojot Montekarlo metodi

Mēģināsim izveidot Montekarlo metodi, lai atrisinātu skaitļa Pi aprēķināšanas problēmu. Lai to izdarītu, apsveriet ceturtdaļu no vienības rādiusa apļa (2. att.). Apļa laukums ir
, acīmredzot, ceturtdaļas apļa laukums ir:

Zinot, ka apļa rādiuss ir 1, mēs iegūstam:

X

2. attēls. Pi atrašana, izmantojot Montekarlo metodi.

Visa vienības kvadrāta platība OABC ir vienāds ar 1. Mēs nejauši atlasīsim punktus kvadrāta iekšpusē OABC. Punktu koordinātām jābūt
Un
. Tagad saskaitīsim punktu skaitu tā, ka
, t.i. tie punkti, kas atrodas apļa iekšpusē.

Lai viss tiek pārbaudīts N punktus, un no tiem M iekļuva aplī. Apsveriet aplī esošo punktu skaita attiecību pret kopējo punktu skaitu ( M/N). Acīmredzot, jo vairāk izlases punktu mēs pārbaudīsim, jo tuvāk šī attiecība būs ceturtdaļas apļa un kvadrāta laukumu attiecībai. Tādējādi mums tas ir pietiekami liels N, vienlīdzība ir patiesa:

No iegūtās vienlīdzības:

Tātad, mēs esam izveidojuši Montekarlo metodi Pi aprēķināšanai. Atkal mēs saskaramies ar jautājumu, cik tieši punktu N ir jāpārbauda, lai iegūtu Pi ar paredzamu precizitāti? Jautājums par aprēķinu precizitāti, izmantojot Montekarlo metodes, tiek apspriests tradicionālajos varbūtības teorijas kursos, un mēs pie tā sīkāk nepakavēsimies. Var tikai atzīmēt, ka aprēķinu precizitāte ļoti lielā mērā ir atkarīga no izmantotā pseidogadījuma skaitļu ģeneratora kvalitātes. Citiem vārdiem sakot, jo vienmērīgāk nejaušie punkti tiek sadalīti pa vienības kvadrātu, jo augstāka ir precizitāte.

2.2.1. Problēmas formulējums Pi atrašanai, izmantojot Montekarlo metodi

Lai pārbaudītu formulu, Turbo Pascal programmēšanas vidē tika uzrakstīta programma. Programmā jāievada numurs K– pārbaužu skaits un skaits N– pārbaudīto punktu skaits. Punktu koordinātām (X, Y) tiek izmantots nejaušo skaitļu ģenerators. Visu testu rezultāti tiek aprēķināti vidēji.

2.2.2. Programmu saraksts Pi atrašanai, izmantojot Montekarlo metodi

K, (pārbaužu skaits)

N, (punktu skaits)

i, j: vārds; (cikliem)

s, (visu Pi summa)

P: īsts; (Pi vidējā aritmētiskā vērtība)

(funkcija atgriež Pi)

FUNKCIJAS aprēķins: reāls;

x, y: vārds; (punkta koordinātes)

M: vārds; (aplī iekļauto punktu skaits)

i:=1 līdz N darīt

x:=nejaušs(2); (x, y ir nejauši skaitļi)

ja kvadrāts(x)+sqr(y)<=1 then inc(M); {точка с координатами x, y попала в круг}

raschet: = 4*M/N; (no formulas)

write("Ievadiet testu skaitu: ");

write("Ievadiet pārbaudāmo punktu skaitu: ");

j:=1 līdz K darīt s:=s+raschet;

writeln("Pi, kas aprēķināts pēc Montekarlo metodes, ir:");

writeln("Precīzs Pi skaits ir:");

writeln(Pi:1:6);

Tātad, izmantojot šo programmu, tika pārbaudīta formulas precizitāte. Rezultāts bija skaitlis Pi, kas vienāds ar: 3.000808 , ar testu skaitu 500 reizes ar punktu skaitu 5000. Precīzs skaitlis Pi ir: 3.141593 .

Kā minēts iepriekš, precīzāku atbildi var iegūt ar ļoti lielu eksperimentu skaitu, pārbaudot lielāku punktu skaitu un izmantojot augstas kvalitātes pseidogadījuma skaitļu ģeneratoru.

2.3. Problēmas risināšana analītiski un izmantojot Montekarlo metodi

Apskatīsim problēmu:

Produktu kvalitātes kontroles sistēma sastāv no trim ierīcēm. Katra no tām bezatteices darbības varbūtība laika gaitā T vienāds ar 5/6. Ierīces nedarbojas neatkarīgi viena no otras. Ja pat viena ierīce neizdodas, visa sistēma pārstāj darboties. Atrodi varbūtību
ka sistēma noteiktā laika periodā neizdosies T.

Analītisks risinājums.

Pasākums A– vismaz vienas no trim ierīcēm atteice laika T un notikuma laikā – neviena no trim ierīcēm nedarbosies pretējā laikā T. Varbūtība
– vēlamā varbūtība. No šejienes:

Tagad atrisināsim problēmu, izmantojot Montekarlo metodi.

Atgādināsim, ka, izmantojot šo metodi, ir iespējamas divas pieejas: vai nu tie veic tieši eksperimentus, vai atdarina tos ar citiem eksperimentiem, kuriem ir tāda pati varbūtības struktūra kā oriģinālajiem. Šīs problēmas apstākļos “dabisks” eksperiments ir sistēmas darbības novērošana laika gaitā T. Atkārtot šo eksperimentu vairākas reizes var būt grūti vai vienkārši neiespējami. Aizstāsim šo eksperimentu ar citu.

Lai noteiktu, vai tas laika gaitā neizdosies T atsevišķu ierīci, mēs metīsim kauliņu. Ja tiek ripināts viens punkts, pieņemsim, ka ierīce nav kārtībā; ja divi, trīs, četri, pieci, seši punkti, tad pieņemsim, ka ierīce darbojās nevainojami. Varbūtība, ka tiks izripināts viens punkts, kā arī ierīces atteices iespējamība ir 1/6, un varbūtība, ka tiks izmests jebkurš cits punktu skaits, kā arī iespējamība, ka ierīce darbosies bez atteices, ir 5/6.

Lai noteiktu, vai visa sistēma laika gaitā neizdosies T, Mēs metīsim trīs kauliņus. Ja vismaz viens no trim kauliņiem iegūst vienu punktu, tas nozīmēs, ka sistēma ir neizdevusies.

Atkārtosim trīs kauliņu mešanas testu daudzas reizes pēc kārtas un noskaidrosim skaitļa attiecību M– sistēmas kļūmes līdz kopējam skaitam N– veikti testi. Neveiksmes varbūtība būs vienāda ar:

Lai pārbaudītu formulu, kuras pamatā ir Monte Carlo metode, es nolēmu uzrakstīt programmu Turbo Pascal programmēšanas vidē. Fakts ir tāds, ka, ja ierīču darbības bez atteices varbūtība nebūtu , bet, piemēram, to būtu grūti atdarināt ar citiem eksperimentiem, kuriem ir tāda pati varbūtības struktūra ar oriģinālajiem, neizmantojot datoru.

Šī programma ir paredzēta visiem šādiem uzdevumiem. Aprēķinu beigās programma sagatavo divas atbildes. Pirmo iegūst ar Montekarlo metodi, izmantojot formulu. Otro iegūst ar analītisko metodi, izmantojot formulu.

Programmā jāievada: B– ierīču skaits; varbūtība kā daļa; N– veikto eksperimentu skaits.

B, (ierīču skaits)

S, D: baits; (varbūtība P(A)=S/D)

N, (eksperimentu skaits)

i, j, (cikliem)

summa: vārds; (kopējais kļūdu skaits)

P_M, P_A: reāls; (saņemtā varbūtība)

(funkcija atgriež kļūdu skaitu vienā pārbaudē)

FUNKCIJA otkaz: vārds;

i:=1 uz B darīt

R:=nejaušs(D+1)+1; (gadījuma skaitlis >=1 un<=D}

ja R<=D-S then inc(o); {выпал "отказ"}

write("Ievadiet ierīču skaitu: ");

writeln("Ievadiet bezatteices darbības varbūtību (kā daļu):");

write(" skaitītājs - ");

write(" saucējs - ");

readln(D); (t.i., P=S/D)

write("Ievadiet eksperimentu skaitu: ");

(aprēķins pēc Montekarlo metodes)

no j:=1 līdz N do summa:=summa+otkaz;

(aprēķins ar analītisko metodi)

ja i:=1 līdz B-1, veiciet P_A:=P_A*S/D; (pastiprināšana)

writeln("* * * Atbilde * * *");

writeln("Montekarlo metode: ", P_M:1:6);

writeln("Analītiskā metode: ", P_A:1:6);

Tātad, pārbaudot formulu, izmantojot savu programmu ar vērtībām: ierīču skaits – 3; bezatteices darbības varbūtība; eksperimentu skaits - 50 000, saņēmu divas atbildes. Problēmas risināšana, izmantojot Montekarlo metodi - 0.429420 . Problēmas risināšana, izmantojot analītisko metodi – 0.421296 . Tādējādi tiek secināts, ka ar dažādām metodēm iegūtā varbūtība ir līdzīga.

3. nodaļa. Nejaušo skaitļu ģenerēšana

Stingri deterministiskajā procesora kodu pasaulē nejaušības elementa ieviešana programmā nav tik vienkāršs uzdevums, kā varētu šķist no pirmā acu uzmetiena. Par to pārliecinājāmies, 2. nodaļā dotajā programmā iegūstot Pi vērtību. Visizplatītākās lietojumprogrammas, kurās nepieciešama nejaušo skaitļu izmantošana, ir skaitliskās simulācijas ar Montekarlo metodi un datorspēļu veidošana.

Tātad, definēsim šos skaitļus. Apzīmēsim ar R nepārtraukts gadījuma lielums, kas vienmērīgi sadalīts intervālā (0, 1).

Nejaušie skaitļi ir nepārtraukta gadījuma lieluma R iespējamās vērtības r j, kas vienmērīgi sadalītas intervālā (0, 1).

Patiesībā viņi izmanto nevienmērīgi sadalītu gadījuma lielumu R, kuras iespējamajām vērtībām ir bezgalīgs zīmju skaits aiz komata, un kvaziviendabīgais gadījuma mainīgais R’ , kuru iespējamajām vērtībām ir ierobežots rakstzīmju skaits. Nomaiņas rezultātā R ieslēgts R’ izspēlētajai vērtībai nav precīzs, bet aptuveni noteikts sadalījums.

Nejaušajam lielumam R’ piemīt īpašība: varbūtība, ka tas iekritīs jebkurā intervālam (0; 1) piederošajā intervālā, ir vienāda ar šī intervāla garumu.

Nejaušu skaitļu iegūšana ir svarīgs datoreksperimenta posms, kam ne vienmēr tiek pievērsta pienācīga uzmanība. Praksē izmantotie skaitliskie algoritmi rada pseidogadījuma skaitļus, kuru iezīmes ir secības ierobežotais raksturs un atkārtojamība.

Šīs secības izsmelšana ar lielu skaitu Montekarlo ciklu vai sistēmas lielumu samazina tās faktisko lielumu līdz:

N– sistēmas lielums (daļiņu skaits);

P – pseidogadījuma skaitļu virknes periods;

k– nejaušo skaitļu skaits, kas izmantots vienas daļiņas stāvokļa noteikšanai;

n– kopējais Montekarlo ciklu skaits, kas vajadzīgs, lai stabilizētu sistēmu un aprēķinātu tās raksturlielumus.

Piemēram, modelējot Ising sistēmu, kas sastāv no 2000 daļiņas nepieciešams, kā likums, ne mazāk 500 MC cikli, t.i. nevajag mazāk 10 5 nejauši skaitļi. Ja izmantotais ģenerators ir 16 pa bitiem un nevar izveidot secību, kas sastāv no vairāk nekā 2 16 (65536) pseidogadījuma skaitļi, tad faktiskais sistēmas lielums saskaņā ar formulu būs kārtībā 1000 daļiņas.

Ar spēlēm situācija ir vēl traģiskāka: piemēram, klāja 52 kartes var sakārtot 52! veidus. Tas ir aptuveni 8e67 vai 2 226 . Tas nozīmē, ka, lai spēles laikā varētu rasties kāds scenārijs, tādas pilnvērtīgas kāršu spēles kā “21” radītājam ir nepieciešams 256 bitu nejaušo skaitļu ģenerators. Ja klājs sastāv no 36 kartes, tad attiecīgie skaitļi ir vienādi 4e41 Un 2 138 , t.i. Jūs atkal nevarēsiet iztikt bez superdatora. Kāršu spēlē "priekšroka" sadales iespēju skaits ir vienāds ar 32!/10! vai 2 96 , kas arī nav mazs. Neskatoties uz šo skaitļu nesalīdzināmību ar 32 bitu procesora reālajām iespējām, tā iespējas, protams, ir jāizmanto maksimāli, jo tikai tā var pietuvoties realitātes daudzveidībai.

Secinājums

Atšķirībā no analītiskajām metodēm, kas meklē risinājumus īpašfunkciju sērijas veidā, Montekarlo metodes meklē risinājumus statistikas summu veidā. Lai tos izmantotu, pietiek ar varbūtības procesa aprakstu un tā formulēšana integrālvienādojuma veidā nav nepieciešama; kļūdu novērtējums ir ļoti vienkāršs, to precizitāte ir vāji atkarīga no telpas izmēra. Mēs par to pārliecinājāmies, veicot eksperimentus, lai atrisinātu divas vienkāršas problēmas. Eksperimentu rezultāti ir parādījuši savu precizitāti, tāpēc, izmantojot Montekarlo metodi, tiek atrisinātas daudzas sarežģītas problēmas, kuras ir ļoti grūti vai neiespējami atrisināt ar citām metodēm.

Ar Montekarlo metodi risinātās problēmas: rindu sistēmas aprēķins; produktu kvalitātes un uzticamības aprēķins; ziņojumu pārraides teorija; noteikta integrāļa aprēķins; skaitļošanas matemātikas problēmas; neitronu fizikas problēmas; diskrēto un nepārtraukto gadījuma lielumu modelēšana; nejaušu procesu un lauku modelēšana; daudzdimensiju integrāļu aprēķini un citi.

Bibliogrāfija

I. M. Sobols “Montekarlo metode”, M., 1985

Interneta resurss “Montekarlo metodes priekšvēsture un definīcija” /GIS/Learning/Monte-Carlo_2/Page01.htm

/~gene/probset/prob13.koi8.html

Interneta resurss “Monte Carlo Method” /Exponenta_Ru/educat/systemat/boziev/13.asp.htm

Interneta resurss "Wunderkind" /2001/leto/stend/Vynderkind.htm

Interneta resurss “Monte Carlo Method” /docs/TViMS/NP/lekziitv/lekziya17.htm

Dokuments

Iepriekšējais nodaļasīsts darbs. Šī modifikācija ļāva veikt metodiMonte-Karlo vairāk... 78 līdz 0,95. Piemērs viens no šiem savienojumiem... punkti (ar izmantotmetodiMonte-Karlo). Pirmais galvenais trūkums metodi ir nepietiekami...

Potapovs Viktors Nikolajevičs radiometrisko sistēmu un metožu izstrāde radioaktīvā piesārņojuma lauka un attālinātiem mērījumiem

Promocijas darba kopsavilkums

... izmantojotmetodiMonte-Karlo reālās spektrometriskās mērījumu ģeometrijas nosacījumiem. MetodeMonte-Karlo... aprēķini. nodaļa III. Spektrometriskais metodes definīcijas... ir dotas 4.2 piemēriizmantot ierīce mērīšanai...

11. nodaļa Ekonometriskās informācijas tehnoloģijas

Dokuments

Galīgo procedūru var aprēķināt (sk piemēri V nodaļā 13). Rezultātā galīgā procedūra nevar... izmantotmetodi scenāriji (sk nodaļā 12). Bieži izmanto simulācijas modelēšanā metodi statistiskie testi ( Monte-Karlo ...

Dažādas metodes un instrumentus nejaušu procesu parametru un raksturlielumu noteikšanai var apvienot divās grupās. Pirmo grupu veido instrumenti korelācijas funkciju (korelatoru), spektrālo blīvumu (spektrometri), matemātisko gaidu, dispersiju, sadalījuma likumu un citu nejaušu procesu un lielumu noteikšanai.

Visas pirmās grupas ierīces var iedalīt divās apakšgrupās. Daži nosaka ierakstīto nejaušo signālu raksturlielumus diezgan ilgā laikā, daudz ilgāk nekā paša nejaušā procesa īstenošanas laiks. Citi (par tiem pēdējā laikā ir piesaistījuši vislielāko interesi) ļauj ātri iegūt nejauša procesa raksturlielumus, savlaicīgi, saņemot informāciju pilna mēroga jaunu vadības sistēmu testēšanas laikā, jo, izmantojot to rādījumus, var tieši mainīt kontroles procesu un eksperimenta laikā novērojiet šo izmaiņu rezultātus.

Otrā grupa ietver metodes un instrumentus, kas paredzēti, lai pētītu nejaušus procesus un galvenokārt vadības sistēmas, kurās ir nejauši signāli, universālajos digitālajos un analogajos datoros. Dažreiz šādiem pētījumiem ir jāizveido specializēti digitālā, analogā vai visbiežāk analogā-digitālā (hibrīda) tipa datori, jo esošās standarta mašīnas nav piemērotas noteiktu problēmu risināšanai.

Praksē plaši tiek izmantota Montekarlo metode (statiskā testa metode). Tās galvenā ideja ir ārkārtīgi vienkārša un būtībā sastāv no to nejaušo procesu matemātiskas modelēšanas datorā un transformācijas ar tiem, kas notiek reālā vadības sistēmā. Šo metodi galvenokārt izmanto digitālajos un retāk analogajos datoros.

Var apgalvot, ka Montekarlo metode joprojām ir tīra nejaušu procesu modelēšanas metode, tīrs matemātisks eksperiments, kas zināmā mērā ir bez ierobežojumiem, kas raksturīgi citām metodēm. Apskatīsim šo metodi saistībā ar dažādu kontroles problēmu risināšanu.

Montekarlo metodes vispārīgie raksturojumi

Kā jau minēts, Montekarlo metodes (jeb statistiskās modelēšanas metodes) ideja ir ļoti vienkārša un sastāv no tā, ka datorā tiek izveidots reālajam procesam līdzīgs digitālo datu konvertēšanas process. Abu procesu (reālo un simulēto) varbūtības raksturlielumi sakrīt ar zināmu precizitāti.

Pieņemsim, ka ir jāaprēķina tāda gadījuma lieluma X matemātiskā cerība, kas pakļaujas noteiktam sadalījuma likumam F(x). Lai to izdarītu, iekārtā tiek ieviests nejaušo skaitļu sensors ar noteiktu sadalījumu F(x), un, izmantojot viegli programmējamu formulu, tiek noteikts matemātiskās cerības novērtējums:

Katra nejaušā lieluma x i vērtība mašīnā tiek attēlota ar bināru skaitli, kas nāk no nejaušā skaitļa sensora izejas uz summētāju. Apskatāmās problēmas statistiskā modelēšana prasa risinājuma atkārtojumu N-kārtīgi.

Apskatīsim citu piemēru. Mērķī tiek raidīti desmit neatkarīgi šāvieni. Sitiena varbūtība vienam šāvienam ir dota un vienāda ar p. Nepieciešams noteikt varbūtību, ka sitienu skaits būs vienmērīgs, t.i. 0, 2, 4, 6, 8, 10. Varbūtība, ka trāpījumu skaits būs 2k, ir:

no kurienes rodas vajadzīgā varbūtība?

Ja šī formula ir zināma, tad fizisku eksperimentu var veikt, izšaujot vairākas šāvienu partijas (katrā desmit) pa īstu mērķi. Bet matemātisko eksperimentu datorā ir vieglāk veikt šādi. Nejaušo skaitļu sensors digitāli izvadīs nejaušā lieluma vērtību?, kas ievēro vienotu sadalījuma likumu intervālā. Nevienlīdzības varbūtība?

Skaidrības labad ieteicams skatīt att. 1, uz kura visa nejaušo skaitļu kopa ir attēlota kā segmenta punkti. Varbūtība, ka gadījuma lielums?, kuram ir vienmērīgs sadalījums intervālā, iekrist intervālā (kur) ir vienāda ar šī segmenta garumu, t.i. lpp. Tāpēc katrā simulācijas ciklā iegūtais skaitlis? salīdzinot ar doto varbūtību p. Ja?

Ir divas Montekarlo metodes pielietošanas jomas. Pirmkārt, datoros pētīt tādas nejaušas parādības un procesus kā elementāru kodoldaļiņu (neitronu, protonu u.c.) pārvietošanās caur vielu, masu pakalpojumu sistēmām (telefona tīkls, frizētavas sistēma, pretgaisa aizsardzības sistēma utt.), uzticamība. sarežģītu sistēmu, kurās elementu atteices un problēmu novēršana ir nejauši procesi, statistiskā modeļa atpazīšana. Tas ir statistiskās modelēšanas pielietojums tā saukto varbūtības kontroles sistēmu izpētē.

Šo metodi plaši izmanto diskrētu vadības sistēmu pētīšanai, kad kibernētiskos modeļus izmanto varbūtības grafika (piemēram, tīkla plānošana ar?-laika sadalījumu darba veikšanai) vai varbūtības automāta veidā.

Ja vadības sistēmas dinamiku apraksta ar diferenciālvienādojumiem vai diferenciālvienādojumiem (deterministisko vadības sistēmu gadījumā) un sistēmu, piemēram, radara stacijas leņķiskās izsekošanas sistēmu ietekmē nejauši signāli, tad statiskā modelēšana to arī padara. iespējams iegūt nepieciešamos precizitātes raksturlielumus. Šajā gadījumā veiksmīgi tiek izmantoti gan analogie, gan digitālie datori. Tomēr, ņemot vērā digitālo mašīnu plašāku izmantošanu statistiskajā modelēšanā, šajā sadaļā mēs apskatīsim jautājumus, kas saistīti tikai ar šāda veida mašīnām.

Montekarlo metodes otrā pielietojuma joma aptver tīri deterministiskas, dabiskas problēmas, piemēram, noteiktu viendimensiju un daudzdimensiju integrāļu vērtību atrašanu. Šīs metodes priekšrocība salīdzinājumā ar citām skaitliskām metodēm ir īpaši acīmredzama vairāku integrāļu gadījumā.

Atrisinot algebriskos vienādojumus pēc Montekarlo metodes, darbību skaits ir proporcionāls vienādojumu skaitam, un, risinot tos ar deterministiskām skaitliskām metodēm, šis skaitlis ir proporcionāls vienādojumu skaita kubam. Tāda pati aptuveni priekšrocība saglabājas kopumā veicot dažādus aprēķinus ar matricām un īpaši matricas inversijas operācijā. Jāpiebilst, ka universālie datori nav piemēroti matricu aprēķiniem un šajās mašīnās izmantotā Montekarlo metode tikai nedaudz uzlabo risināšanas procesu, bet varbūtības aprēķina priekšrocības īpaši izpaužas, izmantojot specializētas varbūtības mašīnas. Galvenā ideja, kas tiek izmantota deterministisko problēmu risināšanā, izmantojot Montekarlo metodi, ir aizstāt deterministisko problēmu ar līdzvērtīgu statistikas problēmu, kurai var piemērot metodi. Protams, ar šādu nomaiņu precīza problēmas risinājuma vietā tiek iegūts aptuvens risinājums, kura kļūda samazinās, palielinoties testu skaitam.

Šī ideja tiek izmantota diskrētās optimizācijas problēmās, kas rodas kontrolē. Bieži vien šīs problēmas rodas, meklējot lielu skaitu opciju, kas tiek skaitīti ar kombinatoriskajiem skaitļiem formā N=. Tādējādi problēmu par n veidu resursu sadali starp nozarēm n>3 nevar precīzi atrisināt esošajos digitālajos datoros (DC) un tuvākās nākotnes digitālajos datoros, jo ir liels iespēju uzskaitījums. Taču daudz šādu problēmu rodas kibernētikā, piemēram, galīgo stāvokļu mašīnu sintēze. Ja mākslīgi ieviešam varbūtības analogo modeli, problēma ievērojami vienkāršosies, tomēr risinājums būs aptuvens, taču to var iegūt, izmantojot mūsdienu datorus pieņemamā aprēķina laikā.

Apstrādājot lielus informācijas apjomus un pārvaldot īpaši lielas sistēmas, kurās ir virs 100 tūkstošiem komponentu (piemēram, darba veidi, industriālie izstrādājumi u.c.), rodas paplašināšanas vai standartizācijas uzdevums, t.i. īpaši liela masīva samazināšana līdz 100-1000 reižu mazākam standartu masīvam. To var izdarīt, izmantojot varbūtības modeli. Tiek uzskatīts, ka katru standartu var realizēt vai materializēt konkrēta pārstāvja formā nejauši ar varbūtības likumu, ko nosaka šī pārstāvja relatīvais sastopamības biežums. Sākotnējās deterministiskās sistēmas vietā tiek ieviests līdzvērtīgs varbūtības modelis, kuru ir vieglāk aprēķināt. Ir iespējams izveidot vairākus līmeņus, veidojot atsauces modeļus. Visi šie varbūtības modeļi veiksmīgi izmanto Montekarlo metodi. Ir skaidrs, ka statistiskās modelēšanas panākumi un precizitāte galvenokārt ir atkarīga no nejaušo skaitļu secības kvalitātes un optimālā modelēšanas algoritma izvēles.

Uzdevums iegūt nejaušus skaitļus parasti tiek sadalīts divos. Pirmkārt, tiek iegūta nejaušu skaitļu secība, kuriem ir vienmērīgs sadalījums intervālā. Tad no tā iegūst nejaušu skaitļu secību ar patvaļīgu sadalījuma likumu. Viens veids, kā to izdarīt, ir izmantot nelineāras transformācijas. Lai ir gadījuma lielums X, kura varbūtības sadalījuma funkcija

Ja y ir x funkcija, t.i. y=F(x), tad tā. Tādējādi, lai iegūtu nejaušu skaitļu secību ar noteiktu sadalījuma funkciju F(x), ir jāiesniedz katrs skaitlis y no nejaušo skaitļu sensora izejas, kas ģenerē skaitļus ar vienādu sadalījuma likumu intervālā , nelineāra ierīce (analogā vai digitālā), kurā tiek realizēta F(x) apgrieztā funkcija, t.i.

Šādā veidā iegūtajam nejaušajam lielumam X būs sadalījuma funkcija F(x). Iepriekš aprakstīto procedūru var izmantot grafiskai metodei nejaušu skaitļu iegūšanai, kuriem ir noteikts sadalījuma likums. Lai to izdarītu, uz grafiskā papīra tiek konstruēta funkcija F(x) un ņemts vērā cits gadījuma lielums Y, kas ar gadījuma lielumu X ir saistīts ar sakarību (2) (2. att.).

Tā kā jebkura sadalījuma funkcija monotoni nesamazinās, tad

No tā izriet, ka vērtībai Y ir vienāds sadalījuma likums intervālā, jo tās sadalījuma funkcija ir vienāda ar pašu vērtību

Varbūtības blīvuma funkcija Y

Lai iegūtu X vērtību, no nejaušu skaitļu tabulām, kurām ir vienmērīgs sadalījums, tiek ņemts skaitlis, kas tiek attēlots uz ordinātu ass (2. att.), un uz abscisu ass tiek nolasīts atbilstošs skaitlis X. Atkārtojot šo procedūru vairākas reizes iegūstam nejaušu skaitļu kopu ar sadalījuma likumu F(x). Tādējādi galvenā problēma ir iegūt nejaušus skaitļus, kas vienmērīgi sadalīti intervālā. Viena no metodēm, ko izmanto datora nejaušo skaitļu iegūšanas fiziskajā metodē, ir izveidot diskrētu gadījuma lielumu, kuram var būt tikai divas vērtības: 0 vai 1 ar varbūtībām.

Vai varat pierādīt, ka tas ir nejaušs mainīgais? * , kas ietverts intervālā, ir vienots sadalījuma likums

Digitālajam datoram ir ierobežots bitu skaits k. Tāpēc maksimālais skaitļu skaits, kas neatbilst viens otram, ir 2k. Šajā sakarā ir iespējams iekārtā ieviest diskrētu nejaušu skaitļu kopu, t.i. ierobežota skaitļu kopa, kurai ir vienots sadalījuma likums. Šo sadalījumu sauc par gandrīz vienmērīgu. Iespējamajām vērtībām diskrēta pseidogadījuma skaitļa ieviešanai datorā ar k bitiem būs šāda forma:

Katras vērtības (3) varbūtība ir 2 -k. Šīs vērtības var iegūt šādi

Nejaušajam mainīgajam ir matemātiskas cerības

Ņemot vērā, ka

un ģeometriskās progresijas galīgās summas izteiksme

mēs iegūstam:

Līdzīgi jūs varat noteikt daudzuma izkliedi:

vai, izmantojot formulu (4), mēs iegūstam:

Pēc formulas (5) daudzuma?* novērtējums izrādās neobjektīvs ierobežotam k. Šī nobīde ir īpaši pamanāma pie mazā k. Tāpēc tā vietā, lai ieviestu tāmi

Acīmredzot nejaušs mainīgais? saskaņā ar attiecību (3) var ņemt vērtības

I=0,1,2,…, 2 k -1

ar varbūtību p=1/2 k.

Matemātiskās cerības un daudzuma dispersija? var iegūt no (5) un (6) attiecībām, ņemot vērā (7). Tiešām,

No šejienes mēs iegūstam izteiksmi vidējās kvadrātiskās vērtības formā

Atgādiniet, ka vērtībai x, kas vienmērīgi sadalīta intervālā, mums ir

No formulas (8) izriet, ka kad standartnovirze? kvazi-vienmērīga populācija. Zemāk ir divu lielumu vidējo kvadrātisko vērtību attiecības vērtības? Un? atkarībā no ciparu skaita un lieluma? ir vienmērīgs sadalījums intervālā (1. tabula).

1. tabula

No galda 1 parāda, ka k>10 dispersiju atšķirība ir nenozīmīga.

Pamatojoties uz iepriekš minēto, uzdevums iegūt kvazi-vienmērīgu skaitļu kopu tiek reducēts uz neatkarīgu gadījuma lielumu z i (i=1,2,…, k) secības iegūšanu, katrs no kuriem ar varbūtību iegūst vērtību 0 vai 1. 1/2. Ir divi veidi, kā iegūt šo daudzumu kopumu: fizikālā ģenerēšanas metode un tā saukto pseidogadījuma skaitļu algoritmiskā ģenerēšana. Pirmajā gadījumā ir nepieciešams īpašs elektronisks pielikums digitālajam datoram, otrajā gadījumā tiek ielādēti iekārtas bloki.

Fiziskā ģenerēšana visbiežāk izmanto radioaktīvus avotus vai trokšņainas elektroniskas ierīces. Pirmajā gadījumā avota izstarotās radioaktīvās daļiņas nonāk daļiņu skaitītājā. Ja skaitītāja rādījums ir pāra, tad z i =1, ja nepāra, tad z i =0. Noteiksim varbūtību, ka z i =1. Daļiņu skaits k, kas izdalās laikā?t, atbilst Puasona likumam:

Pāra daļiņu skaita varbūtība

Tādējādi lielam t varbūtība P(Z i =1) ir tuvu 1/2.

Otrā nejaušo skaitļu z i iegūšanas metode ir ērtāka un saistīta ar elektronu lampu iekšējo troksni. Kad šis troksnis tiek pastiprināts, tiek iegūts spriegums u(t), kas ir nejaušs process. Ja mēs ņemam tās vērtības, kas ir pietiekami attālinātas viena no otras, lai tās nebūtu korelētas, tad vērtības u(t i) veido neatkarīgu gadījuma lielumu secību. Parasti tiek izvēlēts un pieņemts robežlīmenis a

un līmenis a jāizvēlas tā, lai

Tiek izmantota arī sarežģītāka skaitļu z i ģenerēšanas loģika. Pirmajā variantā tiek izmantotas divas blakus esošās vērtības u(t i) un u(t i+1), un vērtība Z i tiek konstruēta saskaņā ar šādu noteikumu:

Ja pāris u(t i) - a un u(t i+1) - a ir vienas zīmes, tad tiek ņemts nākamais pāris. Ir nepieciešams noteikt varbūtību, ņemot vērā doto loģiku. Pieņemsim, ka P (u(t i)>a)=W un konstante visiem t i . Tad notikuma varbūtība ir vienāda pēc notikuma formulas A 1 H v . Šeit H v ir varbūtība, ka vienas zīmes pāris parādās v reizes

u(t i) — a; u(t i+1) — a. (9)

Tāpēc notikuma varbūtība A 1 H v

P(A 1H v )=W (1-W) v .

Šī ir varbūtība, ka pēc formas (9) v pāriem parādījās notikums A 1. Tas var parādīties uzreiz ar varbūtību W (1-W), var parādīties arī pēc viena formas (9) pāra ar varbūtību

W (1-W)

utt. Rezultātā

No tā izriet, ka, ja W=const, tad loģika nodrošina labu nejaušu skaitļu secību. Otrs veids, kā ģenerēt zi skaitļus, ir šāds:

W=P (u(t i)>a)=1/2+?.

P(Zi =1)=2W (1-W)=1/2-2? 2.

Jo mazāks?, jo varbūtība P(Z i =1) tuvāka vērtībai 1/2.

Ir izstrādāts liels skaits metožu nejaušu skaitļu iegūšanai algoritmiski, izmantojot īpašas programmas datorā. Tā kā ciparu datorā nav iespējams iegūt ideālu nejaušu skaitļu secību, kaut vai tāpēc, ka ir iespējams ierakstīt ierobežotu skaitļu kopu, šādas secības sauc par pseidogadījumu. Faktiski atkārtojamība vai periodiskums pseidogadījuma skaitļu secībā notiek daudz agrāk, un to nosaka nejaušo skaitļu iegūšanas algoritma specifika. Precīzu analītisko metožu periodiskuma noteikšanai parasti nav, un pseidogadījuma skaitļu secības periods tiek eksperimentāli noteikts digitālā datorā. Lielākā daļa algoritmu tiek iegūti heiristiski un pilnveidoti eksperimentālās testēšanas laikā. Sāksim savu apsvērumu ar tā saukto saīsināšanas metodi. Dots patvaļīgs gadījuma lielums u, kas mainās intervālā, t.i. . No tā veidosim vēl vienu gadījuma lielumu

u n = u , (10)

kur u izmanto, lai definētu operāciju atlikuma iegūšanai, ja skaitli u dala ar 2 -n. Var pierādīt, ka u n vērtībām robežā pie ir vienmērīgs sadalījums intervālā .

Būtībā, izmantojot formulu (10), sākotnējais skaitlis tiek saīsināts no nozīmīgākajiem cipariem. Atstājot attālus zemas kārtas ciparus, skaitļu raksts dabiski tiek novērsts un tie ir tuvāk nejaušībai. Apskatīsim to ar piemēru.

1. piemērs. Pieņemsim u = 0,10011101… = 1?1/2 + 0?1/2 2 + 0?1/2 3 + 1?1/2 4 + 1?1/2 5 + 1?1/2 6 + 0?1/2 7 + 1?1/2 8 + …

Vienkāršības labad izvēlēsimies n=4. Tad (u mod 2 -4) = 0,1101...

No aplūkotās īpašības ir skaidrs, ka ir liels skaits algoritmu pseidogadījuma skaitļu iegūšanai. Šajā gadījumā pēc saīsināšanas operācijas no apakšējo ciparu puses tiek piemērota standarta procedūra skaitļa normalizēšanai digitālajā datorā. Tātad, ja kreisajā pusē saīsinātais numurs neietilpst mašīnas garumā, tad labajā pusē numurs tiek saīsināts.

Pārbaudot pseidogadījuma skaitļu kvalitāti, primāri interesē aperioditātes segmenta garums un perioda garums (3. att.). Ar aperiodiskuma segmenta L garumu tiek saprasta secīgi iegūto nejaušo skaitļu kopa? 1, …, ? Man tā patīk? es? j at, bet? L+1 ir vienāds ar vienu no? k().

Pseidogadījuma skaitļu virknes perioda garums tiek saprasts kā T=L-i+1. Sākot no kāda skaitļa i, skaitļi periodiski atkārtosies ar šo periodu (3. att.).

Parasti šos divus parametrus (periodiskums un perioda garumi) nosaka eksperimentāli. Saskaņas kvalitāte starp nejaušo skaitļu sadalījuma likumu un vienoto likumu tiek pārbaudīta, izmantojot piemērotības kritērijus.

Montekarlo metodes precizitāte

Montekarlo metodi izmanto tur, kur nav nepieciešama augsta precizitāte. Piemēram, ja ir noteikta varbūtība trāpīt mērķī šaušanas laikā, tad starpība starp p 1 =0,8 un p 2 =0,805 ir nenozīmīga. Parasti tiek uzskatīts, ka Montekarlo metode ļauj iegūt precizitāti aptuveni 0,01-0,05 no noteiktās vērtības maksimālās vērtības.

Iegūsim dažas darba formulas. Izmantojot Montekarlo metodi, mēs nosakām varbūtību, ka sistēma atrodas noteiktā stāvoklī. Šo varbūtību aprēķina pēc attiecības

kur M ir reižu skaits, kad sistēma ir šādā stāvoklī N simulāciju rezultātā. Ņemot vērā izteiksmi vērtības M/N izkliedei

un Čebiševa nevienlīdzība

Lielums

ir nekas vairāk kā Montekarlo simulācijas kļūda. Izmantojot formulu (11), daudzumam (12) varat uzrakstīt šādu formulu:

kur p 0 ir varbūtība, ka šis novērtējums netiks izpildīts. Izmantojot frekvenci M/N, var iegūt kāda gadījuma lieluma X matemātiskās cerības aplēsi m x. Šī novērtējuma kļūda

tiek atrasts, izmantojot attiecību

No tā var redzēt, ka modelēšanas kļūda ir kvadrātiski atkarīga no implementāciju skaita, t.i.

2. piemērs. Pieņemsim, ka ir noteikta kļūdas x matemātiskā cerība, trāpot mērķim. Šaušanas un sitiena process tiek simulēts digitālā datorā, izmantojot Montekarlo metodi. Nepieciešama precīza modelēšana? = 0,1 m ar varbūtību p = 1-p 0 = 0,9 noteiktai dispersijai? x = 1 m. Nepieciešams noteikt simulāciju skaitu N. Izmantojot formulu (13) iegūstam:

Ar šādu realizāciju skaitu tiek nodrošināts?=0,1 m ar varbūtību p=0,9.