Fraktāļu piemēri dabā. Kas ir fraktālis? Fraktāļi dabā. Projekta rezultāti
Nosūtiet savu labo darbu zināšanu bāzē ir vienkārši. Izmantojiet zemāk esošo veidlapu
Studenti, maģistranti, jaunie zinātnieki, kuri izmanto zināšanu bāzi savās studijās un darbā, būs jums ļoti pateicīgi.
Publicēts http://www.allbest.ru/
Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija
Priekšmets: Fraktāļi- īpašsobjektusdzīvsUnnedzīvojošsmiers
Habarovskas TOGU 2015
- Satura rādītājs
- fraktāļu ģeometriskā fraktāļu grafika
- Fraktāļu vēsture
- Fraktāļu klasifikācija
- Ģeometriskie fraktāļi
- Algebriskie fraktāļi
- Fraktāļu pielietojums
- Fraktāļi un pasaule mums apkārt
- Fraktāļu grafika
- Fraktāļu pielietojums
- Dabas zinātnes
- Radiotehnika
- Datorzinātne
- Ekonomika un finanses
Fraktāļu vēsture
Ļoti bieži mēs sastopamies ar īpašiem objektiem, bet tikai daži cilvēki zina, ka tie ir fraktāļi. Fraktāļi ir unikāli objekti, ko rada haotiskās pasaules neparedzamās kustības. Tie ir atrodami gan mazos objektos, piemēram, šūnu membrānā, gan lielos objektos, piemēram, Saules sistēmā un Galaktikā. Ikdienā fraktāļus varam redzēt tapetēs, uz auduma, datora darbvirsmas ekrānsaudzētājā un dabā - tie ir augi, jūras dzīvnieki un dabas parādības.
Zinātniekus kopš seniem laikiem aizrauj fraktāļi, un arī programmētāji un datorgrafikas speciālisti mīl šos objektus. Fraktāļu atklāšana bija revolūcija cilvēka pasaules uztverē un jaunas mākslas un zinātnes estētikas atklāšana.
Tātad, kas ir fraktāļi? Fraktāls- ģeometriska figūra, kurai ir pašlīdzības īpašība, tas ir, sastāv no vairākām daļām, no kurām katra ir līdzīga visai figūrai kopumā.
Termins fraktāls tika ierosināts 1975. gadā. Benuā Mandelbrots, lai norādītu neregulārās, sev līdzīgās struktūras, par kurām viņš bija norūpējies. Fraktāļu ģeometrijas dzimšana ir viņa grāmatas “Dabas fraktāļu ģeometrija” izdošana 1977. gadā. Viņa darbs bija balstīts uz zinātnieku Puankarē, Fatū, Džūlijas, Kantora un Hausdorfa darbiem, kuri strādāja 1875. gadā? 1925. gadā tajā pašā rajonā. Bet tikai mūsu laikā viņi spēja apvienot savu darbu vienotā sistēmā.
Jēdziens “fraktāls” ir atvasināts no latīņu vārda “fractus”? kas sastāv no fragmentiem. Viena no definīcijām ir: "Fraktālis ir struktūra, kas sastāv no daļām, kas savā ziņā ir līdzīgas veselumam."
Benuā Mandelbrots savos darbos sniedza spilgtus piemērus par fraktāļu izmantošanu, lai izskaidrotu dažas dabas parādības. Viņš pievērsa lielu uzmanību interesantam īpašumam, kas piemīt daudziem fraktāliem. Fakts ir tāds, ka bieži vien fraktāli var sadalīt patvaļīgi mazās daļās, lai katra daļa izrādītos vienkārši samazināta veseluma kopija. Citiem vārdiem sakot, ja mēs skatāmies uz fraktāli caur mikroskopu, mēs būsim pārsteigti, redzot tādu pašu attēlu kā bez mikroskopa. Šī pašlīdzības īpašība krasi atšķir fraktāļus no klasiskās ģeometrijas objektiem.
Mūsdienu zinātniekiem, pētot fraktāļus? ne tikai jauna zināšanu joma. Šis ir jauna veida ģeometrijas atklājums, kas apraksta apkārtējo pasauli un ko var redzēt ne tikai mācību grāmatās, bet arī dabā un neierobežotajā Visumā. Tagad Mandelbrots un citi zinātnieki ir paplašinājuši fraktāļu ģeometrijas jomu, lai to varētu pielietot gandrīz visam pasaulē, sākot no akciju tirgus cenu prognozēšanas līdz jaunu atklājumu veikšanai teorētiskajā fizikā.
Fraktāļu klasifikācija
Ir dažādas fraktāļu klasifikācijas.
Galvenā fraktāļu klasifikācija ir iedalījums ģeometriskajā un algebriskajā.
Ģeometriskajiem fraktāļiem ir precīza pašlīdzība, un algebriskajiem fraktāļiem ir aptuvena pašlīdzība.
Ir arī iedalījums dabiskajos un cilvēka radītajos fraktāļos.
Cilvēka radītie fraktāļi ietver zinātnieku izgudrotos fraktāļus; tiem ir fraktāļu īpašības jebkurā mērogā. Dabiskajiem fraktāļiem ir noteikts eksistences apgabala ierobežojums - tas ir, maksimālais un minimālais izmērs, kādā objektam piemīt fraktāļu īpašības.
Vienkāršākie fraktāļi ir ģeometriskie fraktāļi.
Ģeometriskie fraktāļi
Ģeometriskos fraktāļus sauc arī par klasiskajiem, deterministiskajiem vai lineārajiem. Tie ir vizuālākie, jo tiem ir tā sauktā stingrā pašlīdzība, kas nemainās, mainoties mērogam. Tas nozīmē, ka neatkarīgi no tā, cik tuvu jūs tuvināt fraktāli, jūs joprojām redzat to pašu modeli.
Divdimensiju gadījumā šādus fraktāļus var iegūt, norādot kādu lauztu līniju, ko sauc par ģeneratoru. Vienā algoritma solī katrs no dotās polilīnijas (iniciatora) segmentiem tiek aizstāts ar ģeneratora polilīniju atbilstošā mērogā. Šīs procedūras bezgalīgas atkārtošanas rezultātā tiek iegūta fraktāļu līkne. Neskatoties uz šīs līknes šķietamo sarežģītību, tās formu nosaka tikai ģeneratora forma.
Slavenākie ģeometriskie fraktāļi: Koha līkne, Minkovska līkne, Levija līkne, pūķa līkne, Sierpinski salvete un paklājs, Durera piecstūris.
Dažu ģeometrisko fraktāļu uzbūve
1). Koha līkne.
To 1904. gadā izgudroja vācu matemātiķis Helge fon Kohs. Lai to izveidotu, tiek ņemts viens segments, kas sadalīts trīs vienādās daļās, un vidējā saite tiek aizstāta ar vienādmalu trīsstūri bez šīs saites. Nākamajā darbībā mēs atkārtojam darbību katram no četriem iegūtajiem segmentiem. Šīs procedūras bezgalīgas atkārtošanas rezultātā tiek iegūta fraktāļu līkne.
2). Sierpinska salvete.
1915. gadā poļu matemātiķis Vaklāvs Sierpinskis nāca klajā ar interesantu objektu. Lai to izveidotu, ņemiet cietu vienādmalu trīsstūri. Pirmajā solī no centra tiek noņemts apgriezts vienādmalu trīsstūris. Otrajā darbībā no atlikušajiem trīs trīsstūriem tiek noņemti trīs apgriezti trīsstūri utt. Saskaņā ar teoriju šim procesam gala nebūs, un trijstūrī nepaliks arī dzīvojamās platības, taču tas arī nesadalīsies - rezultātā būs objekts, kas sastāv tikai no caurumiem.
3). Hartera-Hatveja pūķis.
Hartera pūķi, kas pazīstams arī kā Harter-Haithaway pūķis, vispirms pētīja NASA fiziķi? Džons Heitevejs, Viljams Hārters un Brūss Benkss. To 1967. gadā aprakstīja Martins Gārdners Scientific American slejā "Mathematical Games".
Nākamajā solī katrs no līnijas segmentiem tiek aizstāts ar diviem segmentiem, kas veido vienādsānu taisnstūra trīsstūra sānu malas, kurām sākotnējais segments būtu hipotenūza. Rezultātā segments, šķiet, saliecas taisnā leņķī. Izlieces virziens mainās. Pirmais segments noliecas pa labi (virzoties no kreisās puses uz labo), otrais - pa kreisi, trešais - atkal pa labi utt.
Ģeometrisko fraktāļu piemēri
LīkneKochSalveteSierpinskis
PūķisHarters-Hethavejs
Otra lielā fraktāļu grupa ir algebriskie. Viņi ieguva savu nosaukumu, jo tie ir veidoti, pamatojoties uz algebriskām formulām.
Algebriskie fraktāļi
Sarežģītus (algebriskos) fraktāļus nevar izveidot bez datora palīdzības. Lai iegūtu krāsainus rezultātus, šim datoram ir jābūt jaudīgam matemātiskajam kopprocesoram un augstas izšķirtspējas monitoram. Viņi ieguva savu nosaukumu, jo tie ir veidoti, pamatojoties uz algebriskām formulām. Šīs formulas matemātiskās apstrādes rezultātā ekrānā tiek parādīts noteiktas krāsas punkts. Rezultāts ir dīvaina figūra, kurā taisnas līnijas pārvēršas līknēs, un pašlīdzības efekti parādās dažādos mēroga līmeņos, lai gan ne bez deformācijām. Gandrīz katrs datora ekrāna punkts ir kā atsevišķs fraktālis.
Slavenākie algebriskie fraktāļi: Mandelbrota un Jūlijas kopas, Ņūtona baseini.
Algebriskajiem fraktāļiem ir aptuvena līdzība. Faktiski, ja palielināsit nelielu jebkura sarežģīta fraktāļa laukumu un pēc tam darāt to pašu ar nelielu šī laukuma daļu, abi palielinājumi ievērojami atšķirsies viens no otra. Abi attēli būs ļoti līdzīgi detaļās, taču tie nebūs pilnīgi identiski.
ALGEBRIKA FRAKTAĻI
Mandelbrota kopas aproksimācijas
Fraktāļi arvien vairāk atrod pielietojumu zinātnē. Galvenais iemesls ir tas, ka tie apraksta reālo pasauli labāk nekā tradicionālā fizika un matemātika.
Fraktāļu pielietojums
1). Haosa teorija: Fraktāļi vienmēr ir saistīti ar vārdu haoss. Haosa teorija ir definēta kā sarežģītu nelineāru dinamisku sistēmu izpēte. Haoss ir paredzamības trūkums. Tas notiek dinamiskās sistēmās, kad divām ļoti tuvām sākotnējām vērtībām sistēma darbojas pilnīgi atšķirīgi. Haotiskas dinamiskas sistēmas piemērs ir laikapstākļi. Šādu sistēmu piemēri ir nemierīgās plūsmas, bioloģiskās populācijas, sabiedrība un tās apakšsistēmas: ekonomiskās, politiskās un citas sociālās sistēmas. Viens no šīs teorijas centrālajiem jēdzieniem ir neiespējamība precīzi paredzēt sistēmas stāvokli. Haosa teorija koncentrējas nevis uz sistēmas nekārtību (sistēmas iedzimta neparedzamība), bet gan uz kārtību, ko tā pārmanto (līdzīgu sistēmu parastā uzvedība). Tādējādi haosa zinātne ir ideju sistēma par dažādām kārtības formām, kur nejaušība kļūst par organizējošo principu.
2). Ekonomika: vērtspapīru tirgus analīze.
3). Astrofizika: galaktiku klasterizācijas procesu apraksts Visumā.
4). Ģeoloģija: minerālu raupjuma izpēte;
5). Kartogrāfija: krasta līniju formu izpēte; plaša upju kanālu tīkla izpēte.
6). Šķidrumu un gāzu mehānika, virsmu fizika:
- sarežģītu plūsmu dinamika un turbulence.
- liesmu modelēšana;
7). Bioloģija un medicīna:
- dzīvnieku populāciju un putnu migrācijas modelēšana;
- epidēmiju modelēšana;
- asinsrites sistēmas struktūras analīze;
- šūnu membrānu sarežģītu virsmu izskatīšana;
- ķermeņa iekšējo procesu apraksts, piemēram, sirdsdarbība.
8). Fraktāļu antenas: Fraktāļu ģeometrijas izmantošanu antenu ierīču projektēšanā pirmo reizi izmantoja amerikāņu inženieris Neitans Koens, kurš pēc tam dzīvoja Bostonas centrā, kur ārējo antenu uzstādīšana uz ēkām bija aizliegta. Viņš no alumīnija folijas izgrieza Koha līknes formu un ielīmēja to uz papīra, pēc tam pievienoja uztvērējam. Izrādījās, ka šāda antena darbojas ne sliktāk par parasto. Un, lai gan šādas antenas fiziskie darbības principi vēl nav izpētīti, tas netraucēja Koenam dibināt savu uzņēmumu un uzsākt to sērijveida ražošanu.
9). Attēlu saspiešana: fraktāļu attēlu saspiešanas algoritmu priekšrocības ir ļoti mazs faila izmērs un īss attēla atkopšanas laiks. Vēl viena fraktāļu saspiešanas priekšrocība ir tā, ka, palielinot attēlu, nav pikseļu efekta (punktu lieluma palielināšana līdz izmēriem, kas izkropļo attēlu). Izmantojot fraktāļu kompresiju, pēc palielināšanas attēls bieži izskatās pat labāks nekā iepriekš.
10). Datorgrafika. Mūsdienās datorgrafika piedzīvo intensīvas attīstības periodu. Viņa varēja monitora ekrānā radīt bezgalīgu dažādu fraktāļu formu un ainavu klāstu, iegremdējot skatītāju pārsteidzošā virtuālajā telpā. Mūsdienās ar salīdzinoši vienkāršu algoritmu palīdzību ir kļuvis iespējams izveidot fantastisku ainavu un formu trīsdimensiju attēlus, kurus laika gaitā var pārveidot vēl aizraujošākos attēlos. Fraktāļu tendenci līdzināties kalniem, ziediem un kokiem izmanto daži grafiskie redaktori (piemēram, fraktāļu mākoņi no 3D studijas MAX, fraktāļu kalni programmā World Builder). Fraktāļu modeļi mūsdienās tiek plaši izmantoti datorspēlēs, radot tajās no realitātes grūti atšķiramu vidi.
Divdesmitā gadsimta beigas iezīmējās ne tikai ar pārsteidzoši skaistu un bezgala daudzveidīgu struktūru, ko sauc par fraktāliem, atklāšanu, bet arī ar dabas fraktāļu dabas apzināšanos. Apkārtējā pasaule ir ļoti daudzveidīga, un tās objekti neietilpst stingrajā Eiklīda līniju un virsmu ietvarā.
Fraktāļi un pasaule mums apkārt
« Skaistums vienmēr ir relatīvs... Mums nevajadzētu pieņemt, ka okeāna krasti ir patiesi bezveidīgi tikai tāpēc, ka to forma atšķiras no mūsu uzbūvēto molu regulārās formas; kalnu formu nevar uzskatīt par neregulāru, pamatojoties uz to, ka tie nav regulāri konusi vai piramīdas; tikai tāpēc, ka attālumi starp zvaigznēm ir nevienlīdzīgi, tas nenozīmē, ka tās būtu izkaisītas pa debesīm ar neveiklu roku. Šīs kļūdas pastāv tikai mūsu iztēlē , patiesībā tie nav tādi un nekādi netraucē patiesajām dzīvības izpausmēm uz Zemes ne augu un dzīvnieku valstībā, ne cilvēku vidū. Šie angļu zinātnieka vārdi 17. gs. Ričards Bentlijs norāda, ka ideja apvienot krastu, kalnu un debess objektu formas un pretstatīt tos eiklīda konstrukcijām cilvēku prātos radās ļoti ilgu laiku.
Galileo Galilejs teica, ka "lielā dabas grāmata ir uzrakstīta ģeometrijas valodā". Tagad mēs varam droši teikt, ka tas ir uzrakstīts fraktāļu ģeometrijas valodā.
Tas, ko mēs novērojam dabā, mūs bieži vien aizrauj ar viena un tā paša modeļa bezgalīgu atkārtošanos, palielinot vai samazinot tik reižu, cik vēlamies. Dīvainas piekrastes formas un sarežģīti upju līkumi, kalnu grēdu šķeltas virsmas un mākoņu kontūras, izplatīti koku zari un koraļļu rifi, kautrīgā sveces mirgošana un putojošās kalnu upju straumes - tie visi ir fraktāļi. Daži no tiem, piemēram, mākoņi vai vētrainas straumes, pastāvīgi maina savu formu, citi, piemēram, koki vai kalnu grēdas, saglabā savu struktūru nemainīgu. Visiem fraktāļu struktūru veidiem kopīga ir to pašlīdzība - galvenā īpašība, kas nodrošina pamatlikuma izpildi fraktāļos - vienotības likuma Visuma daudzveidībā.
Cilvēka sistēmas un orgāni arī ir fraktāļu struktūras. Piemēram, asinsvadi atzarojas vairākas reizes, t.i. ir fraktāļu raksturs. Sirds elektriskā aktivitāte ir fraktāļu process. Kardiologi ir atklājuši, ka sirdspukstu spektrālās īpašības atbilst fraktāļu likumiem, tāpat kā zemestrīcēm un ekonomiskajām parādībām. Gremošanas trakta audos viena viļņota virsma ir iestrādāta citā. Plaušas ir arī piemērs tam, ka liela platība tiek saspiesta mazā telpā. Faktiski visa cilvēka ķermeņa struktūra pēc būtības ir fraktālas; to jau ir atzinuši zinātnieki. Cilvēka genomā ir iestrādāts viena vienkārša, daudzveidīga kompleksa definēšanas princips, kad viena dzīva organisma šūna satur informāciju par visu organismu kopumā.
Fraktāļu struktūras dabā
Šeit ir daži fotoattēlu paraugi:
Kā teica biologs Džons Haldane: "Pasaule ir ne tikai dīvaināka, nekā mēs domājam, bet arī dīvaināka, nekā mēs varam iedomāties." Fraktāļi nav Mandelbrota izgudrojumi. Tie pastāv objektīvi. Dabiskās formās un procesos, zinātnē un mākslā, kas atspoguļo un saprot šo pasauli. Tieši “par mūsu pasaules uzskatu maiņu, pateicoties fraktāļu ģeometrijas idejām”, Benuā Mandelbrotam 1993. gadā tika piešķirta goda Vilka balva fizikā.
Pašlaik fraktāļu gleznas ir ļoti populāras. Tie rada absolūti fantastisku iespaidu. Daudzas plānas līnijas, kas veido vienu veselumu, vai neparasti elementi, kas savīti vienā attēlā. Spilgtas gaismas mirgo un mēreni gludas līnijas. Fraktāls šķiet dzīvs. Tas deg, tas spīd, tas piesaista, un jūs nevarat atraut no tā skatienu, pētot pat vissīkākās un nenozīmīgākās detaļas.
Fraktāļu grafika
Fraktāļu gleznas interjerā
Fraktāļu pielietojums
Dabas zinātnes
Fizikā fraktāļi dabiski rodas, modelējot nelineārus procesus, piemēram, turbulentu šķidruma plūsmu, sarežģītus difūzijas-adsorbcijas procesus, liesmas, mākoņus un tamlīdzīgus. Fraktāļi tiek izmantoti porainu materiālu modelēšanā, piemēram, naftas ķīmijas produktos. Bioloģijā tos izmanto, lai modelētu populācijas un aprakstītu iekšējo orgānu sistēmas (asinsvadu sistēmu). Pēc Koha līknes izveidošanas tika ierosināts to izmantot, aprēķinot krasta līnijas garumu.
Radiotehnika
Fraktāļu ģeometrijas izmantošanu antenu ierīču projektēšanā pirmais izmantoja amerikāņu inženieris Neitans Koens, kurš toreiz dzīvoja Bostonas centrā, kur ārējo antenu uzstādīšana uz ēkām bija aizliegta. Neitans no alumīnija folijas izgrieza Koha līknes formu un ielīmēja to uz papīra lapas, pēc tam pievienoja uztvērējam. Koens nodibināja savu uzņēmumu un sāka to sērijveida ražošanu.
Datorzinātne
Attēlu saspiešana
Fraktāļu koks
Ir attēlu saspiešanas algoritmi, izmantojot fraktāļus. To pamatā ir ideja, ka paša attēla vietā var saglabāt saspiešanas karti, kurai šis attēls (vai kāds tuvs) ir fiksēts punkts. Vienu no šī algoritma variantiem izmantoja Microsoft, publicējot savu enciklopēdiju, taču šie algoritmi netika plaši izmantoti.
Datorgrafika
Fraktāļi tiek plaši izmantoti datorgrafikā, lai izveidotu attēlus no dabas objektiem, piemēram, koki, krūmi, kalnu ainavas, jūras virsmas utt. Ir pieejamas daudzas programmas, lai ģenerētu fraktāļu attēlus.
Decentralizēts tīkliem
IP adreses piešķiršanas sistēma Netsukuku tīklā (šis tīkls ir projekts, lai izveidotu sadalītu pašorganizējošu peer-to-peer tīklu, kas spēj nodrošināt milzīga skaita mezglu mijiedarbību ar minimālu centrālā procesora un atmiņas slodzi) fraktālās informācijas saspiešanas princips, lai kompakti uzglabātu informāciju par tīkla mezgliem. Katrs Netsukuku tīkla mezgls glabā tikai 4 KB informācijas par blakus esošo mezglu stāvokli, savukārt jebkurš jauns mezgls pieslēdzas kopējam tīklam bez nepieciešamības centralizēti regulēt IP adrešu sadali, kas, piemēram, ir raksturīga Internets. Tādējādi fraktāļu informācijas saspiešanas princips garantē pilnībā decentralizētu un līdz ar to arī visstabilāko visa tīkla darbību.
Ekonomika un finanses
A. A. Almazovs savā grāmatā “Fraktāļu teorija. Kā mainīt savu skatījumu uz tirgiem” ieteica veidu, kā izmantot fraktāļus, analizējot akciju kotācijas, jo īpaši Forex tirgū.
Katru reizi, kad skatāties uz fraktāliem, jūs domājat par to, cik skaista ir reālā pasaule un matemātikas pasaule, un ka matemātika patiešām ir valoda, kas var aprakstīt gandrīz visu, kas pastāv Visumā.
Bibliogrāfija
1. Mandelbrots B. Dabas fraktāļu ģeometrija. M.: “Datorpētniecības institūts”, 2002. 656 lpp.
2. Morozovs A.D. Ievads fraktāļu teorijā. N. Novgorod: Izdevniecība Nizhny Novgorod. Universitāte, 1999, 140 lpp.
3. Peitgen H.-O., Rihters P. H. Fraktāļu skaistums. M.: “Mir”, 1993. - 176 lpp.
4. Tikhoplavs V.Yu., Tihoplav T.S. Haosa harmonija jeb fraktāļu realitāte. Sanktpēterburga: Izdevniecība “Ves”, 2003. 340 lpp.
5. Feders E. Fraktāļi. M: “Mir”, 1991. 254 lpp.
6. Šrēders M. Fraktāļi, haoss, varas likumi. Miniatūras no bezgalīgas paradīzes. Iževska: “RKhD”, 2001. 528 lpp.
Vietņu saraksts par fraktāļiem
1. http://www.fractals.nsu.ru.
2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.
3. http://www.multifractal.narod.ru.
4. http://algolist.manual.ru.
Ievietots vietnē Allbest.ru
Līdzīgi dokumenti
Fraktāļu dimensijas uzskatīšana par vienu no inženierijas virsmas raksturlielumiem. Dabisko fraktāļu apraksts. Negludas (pārlauztas) līnijas garuma mērīšana. Līdzība un mērogošana, pašlīdzība un pašpiederība. Perimetra un laukuma attiecības.
tests, pievienots 23.12.2015
Fraktāļu teorijas rašanās vēsture. Fraktāls ir sev līdzīga struktūra, kuras attēls nav atkarīgs no mēroga. Šis ir rekursīvs modelis, kura katra daļa savā attīstībā atkārto visa modeļa attīstību kopumā. Fraktāļu teorijas praktiskais pielietojums.
zinātniskais darbs, pievienots 12.05.2010
Klasiskie fraktāļi. Pašlīdzība. Sniegpārsla Koha. Sierpinski paklājs. L-sistēmas. Haotiska dinamika. Lorenca atraktors. Mandelbrota un Jūlijas komplekti. Fraktāļu pielietojums datortehnoloģijā.
kursa darbs, pievienots 26.05.2006
Dažu četrstūru iezīmes. Ģeometrisko situāciju modeļu realizācija dinamiskās ģeometrijas vidēs. Dinamiskās vides "Dzīvā ģeometrija" iezīmes, paralelograma, romba, taisnstūra un kvadrātveida modeļu uzbūves iezīmes tajā.
kursa darbs, pievienots 28.05.2013
Pasaules ģeometriskais attēls un fraktāļu teorijas rašanās priekšnoteikumi. Deterministiskās L-sistēmas elementi: alfabēts, inicializācijas vārds un ģenerēšanas noteikumu kopa. Sociālo procesu fraktālās īpašības: sinerģētika un haotiskā dinamika.
kursa darbs, pievienots 22.03.2014
Ģeometrisko likumu izpausmju izpēte dzīvajā dabā un to izmantošana izglītojošā praktiskajā darbībā. Ģeometrisko likumu apraksts un ģeometrisko konstrukciju būtība. Grafiskā izglītība un tās vieta mūsdienu pasaulē.
diplomdarbs, pievienots 24.06.2010
Modeļa jēdziena definīcija, to pielietojuma nepieciešamība zinātnē un sadzīvē. Materiāla raksturojums un ideālās modelēšanas metodes. Matemātisko modeļu klasifikācija (deterministiskie, stohastiskie), to veidošanas procesa posmi.
abstrakts, pievienots 20.08.2015
Simetrijas, proporcionalitātes, proporcionalitātes un viendabīguma jēdzienu izpēte detaļu izkārtojumā. Ģeometrisko figūru simetrisko īpašību raksturojums. Simetrijas lomas apraksti arhitektūrā, dabā un tehnoloģijā, loģisko uzdevumu risināšanā.
prezentācija, pievienota 06.12.2011
Zinātnes matematizācijas vēsture. Matematizācijas pamatmetodes. Matematizācijas robežas un problēmas. Matemātisko metožu pielietošanas problēmas dažādās zinātnēs ir saistītas ar pašu matemātiku (modeļu matemātisko izpēti), ar modelēšanas jomu.
abstrakts, pievienots 24.05.2005
Zelta griezuma izpētes jēdziens un vēsture. Tās atspoguļojuma iezīmes matemātikā, dabā, arhitektūrā un glezniecībā. Zelta griezuma uzbūves kārtība un principi, uzbūve un praktiskā pielietojuma jomas, matemātiskais pamatojums un nozīme.
Daba ir ideāls radījums, ir pārliecināti zinātnieki, kuri atklāj zelta griezuma proporcijas cilvēka ķermeņa struktūrā un fraktāļu figūras ziedkāposta galvā.
"Dabas izpēte un novērošana radīja zinātni," rakstīja Cicerons pirmajā gadsimtā pirms mūsu ēras. Vēlākos laikos, attīstoties zinātnei un attālinoties no dabas izpētes, zinātnieki ir pārsteigti, atklājot to, kas bija zināms mūsu senčiem, bet netika apstiprināts ar zinātniskām metodēm.
Interesanti ir atrast līdzīgus veidojumus mikro- un makrokosmosā, iedvesmojoši var būt arī tas, ka zinātne spēj aprakstīt šo veidojumu ģeometriju. Asinsrites sistēma, upe, zibens, koku zari... tās visas ir līdzīgas sistēmas, kas sastāv no dažādām daļiņām un dažāda mēroga.
“Zelta griezuma” proporcijas
Pat senie grieķi un, iespējams, ēģiptieši zināja "zelta griezuma" proporciju. Renesanses matemātiķis Luka Pacioli šo attiecību sauca par “dievišķo proporciju”. Vēlāk zinātnieki atklāja, ka cilvēka acij tik tīkamā zelta griezuma, kas bieži sastopama klasiskajā arhitektūrā, mākslā un pat dzejā, ir sastopama visur dabā.
Zelta griezums ir segmenta sadalīšana divās nevienlīdzīgās daļās, kurās īsā daļa ir saistīta ar garo, bet garā daļa ir saistīta ar visu segmentu. Garās daļas attiecība pret visu segmentu ir bezgalīgs skaitlis, iracionālā daļa 0,618..., īsās daļas attiecība ir 0,382...
Ja jūs izveidojat taisnstūri ar malām, kuru attiecība ir vienāda ar “zelta griezuma” proporciju, un tajā ievieto citu “zelta taisnstūri”, tajā vēl vienu un tā tālāk bezgalīgi uz iekšu un uz āru, tad var izveidot spirāli. jāvelk gar taisnstūru stūra punktiem. Interesanti, ka šāda spirāle sakritīs ar nautilusa čaumalas griezumu, kā arī citām dabā sastopamām spirālēm.
Ilustrācija: Homk/wikipedia.org
Nautilus fosilija.
Foto: Studio-Annika/Photos.com
Nautilus apvalks.
Foto: Chris 73/en.wikipedia.org
Zelta griezuma proporciju cilvēka acs uztver kā skaistu un harmonisku. Un proporcija 0,618... ir vienāda ar Fibonači sērijas iepriekšējā un nākamā skaitļa attiecību. Fibonači skaitļi parādās visur dabā: tā ir spirāle, pa kuru auga zari piekļaujas stumbram, spirāle, pa kuru aug zvīņas uz priedes čiekuriem vai graudi uz saulespuķes. Interesanti, ka rindu skaits, kas griežas pretēji pulksteņrādītāja virzienam un pulksteņrādītāja virzienā, ir blakus esošie skaitļi Fibonači sērijā.
Brokoļa kāposta galva un auna rags vijas pa spirāli... Un pašā cilvēka organismā, protams, veselīgi un normālām proporcijām ir atrodamas zelta griezuma attiecības.
Vitruvija cilvēks. Leonardo da Vinči zīmējums.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... ir skaitļi Fibonači rindā, kurā katrs nākamais loceklis tiek iegūts no iepriekšējo divu summas. Tālas spirālveida galaktikas, kuras fotografē satelīti, arī griežas Fibonači spirālēs.
Spirālveida galaktika.
Foto: NASA
Trīs tropiskie cikloni.
Foto: NASA
DNS molekula ir savīti dubultā spirālē.
Savērpta cilvēka DNS.
Ilustrācija: Zephyris/en.wikipedia.org
Viesuļvētra griežas pa spirāli, zirneklis pin savu tīklu spirālē.
Krusta zirnekļa tīkls.
Foto: Vincent de Groot/videgro.net
“Zelta proporciju” var redzēt arī tauriņa ķermeņa uzbūvē, attiecībā pret tā ķermeņa krūšu un vēdera daļām, kā arī spārei. Un lielākā daļa olu iederas ja ne zelta griezuma taisnstūrī, tad tās atvasinājumā.
Ilustrācija: Ādolfs Milots
Fraktāļi
Citas interesantas formas, kuras mēs varam redzēt visur dabā, ir fraktāļi. Fraktāļi ir figūras, kas veidotas no daļām, no kurām katra ir līdzīga visai figūrai – vai tas neatgādina zelta griezuma principu?
Kokiem, zibenim, bronhiem un cilvēka asinsrites sistēmai ir fraktāļu forma, papardes un brokoļi tiek saukti arī par ideāliem fraktāļu dabiskajiem ilustrācijām. “Viss ir tik sarežģīti, viss ir tik vienkārši” – tā darbojas daba, ko cilvēki pamana, ieklausoties tajā ar cieņu.
“Daba ir apveltījusi cilvēku ar vēlmi atklāt patiesību,” rakstīja Cicerons, ar kura vārdiem es vēlētos beigt raksta pirmo daļu par ģeometriju dabā.
Brokoļi ir ideāls dabisks fraktāļa ilustrācija.
Foto: pdphoto.org
Papardes lapām ir fraktāļu figūras forma – tās ir sev līdzīgas.
Foto: Stockbyte/Photos.com
Zaļie fraktāļi: papardes lapas.
Foto: Džons Fokss/Photos.com
Vēnas uz dzeltenīgas lapas, veidotas kā fraktāls.
Foto: Diego Barucco/Photos.com
Plaisas uz akmens: fraktālis makro.
Foto: Bobs Bīls/Photos.com
Asinsrites sistēmas zari uz truša ausīm.
Foto: Lusoimages/Photos.com
Zibens spēriens - fraktāļu zars.
Foto: John R. Southern/flickr.com
Artēriju atzars cilvēka ķermenī.
Līkumaina upe un tās atzari.
Foto: Jupiterimages/Photos.com
Uz stikla sasalušajam ledusm ir sev līdzīgs raksts.
Foto: Schnobby/en.wikipedia.org
Efejas lapa ar zarojošām vēnām - fraktālas formas.
Foto: Wojciech Plonka/Photos.com
Matemātiskās formas, kas pazīstamas kā fraktāļi, ir radušās no izcilā zinātnieka Benuā Mandelbrota ģēnija. Lielāko dzīves daļu viņš pavadīja Amerikas Savienotajās Valstīs, kur Jēlas universitātē mācīja matemātiku. 1977. un 1982. gadā Mandelbrots publicēja zinātniskus darbus, kas bija veltīti "fraktāļu ģeometrijas" vai "dabas ģeometrijas" izpētei, kuros viņš šķietami nejaušas matemātiskās formas sadalīja veidojošos elementos, kas, rūpīgāk aplūkojot, izrādījās atkārtojas. pierāda sava veida kopēšanas parauga esamību . Mandelbrota atklājumam bija ievērojamas pozitīvas sekas fizikas, astronomijas un bioloģijas attīstībā.
Kā darbojas fraktālis?
Fraktāls (no latīņu valodas “fractus” - salauzts, sasmalcināts, salauzts) ir sarežģīta ģeometriska figūra, kas sastāv no vairākām bezgalīgām detaļu secībām, no kurām katra ir līdzīga visai figūrai, un atkārtojas, kad skala samazinās.
Fraktāļu struktūra visos mērogos nav triviāla. Šeit mums ir jāprecizē, kas ir domāts. Tātad regulāras figūras, piemēram, aplis, elipse vai gludas funkcijas grafiks, ir sakārtotas tā, ka, aplūkojot nelielu regulāras figūras fragmentu pietiekami lielā mērogā, tas būs līdzīgs taisna līnija. Fraktāļiem mēroga palielināšana neizraisa figūras struktūras vienkāršošanu, un visos mērogos mēs redzam vienmērīgi sarežģītu ainu.
Dabā daudziem objektiem piemīt fraktāļu īpašības, piemēram: koku vainagi, ziedkāposti, mākoņi, cilvēku un dzīvnieku asinsrites un alveolārā sistēma, kristāli, sniegpārslas, kuru elementi ir sakārtoti vienā sarežģītā struktūrā, krasta līnijas (fraktāļu koncepcija ir atļauta zinātniekiem, lai izmērītu Britu salu krasta līniju un citus iepriekš neizmērāmus objektus).
Apskatīsim ziedkāpostu struktūru. Ja nogriež kādu no ziediem, redzams, ka rokās paliek tas pats puķkāposti, tikai mazākā izmērā. Mēs varam turpināt griezt atkal un atkal, pat zem mikroskopa, taču mēs iegūstam tikai sīkas ziedkāpostu kopijas. Šajā vienkāršākajā gadījumā pat neliela fraktāļa daļa satur informāciju par visu galīgo struktūru.
Spilgts fraktāļu piemērs dabā ir “Romanescu”, kas pazīstams arī kā “Romanescu brokoļi” vai “koraļļu ziedkāposti”. Pirmā šī eksotiskā dārzeņa pieminēšana datēta ar Itāliju 16. gadsimtā. Šo kāpostu pumpuri aug logaritmiskā spirālē. 3D mākslinieki, dizaineri un pavāri nebeidz viņu apbrīnot. Pēdējie turklāt īpaši novērtē dārzeņu par izsmalcinātāko garšu (saldu un riekstu, nevis sērainu), kāda var būt kāpostiem, un par to, ka tas ir mazāk drupans nekā parastie ziedkāposti. Turklāt romiešu brokoļi ir bagāti ar C vitamīnu, antioksidantiem un karotinoīdiem.
Fraktāļi digitālajā tehnoloģijā
Fraktāļu ģeometrija ir devusi nenovērtējamu ieguldījumu jaunu tehnoloģiju attīstībā digitālās mūzikas jomā, kā arī ļāvusi saspiest digitālos attēlus. Esošie fraktāļu attēlu saspiešanas algoritmi ir balstīti uz saspiesta attēla glabāšanas principu, nevis pašu digitālo attēlu. Saspiestam attēlam galvenais attēls paliek fiksēts punkts. Microsoft, publicējot savu enciklopēdiju, izmantoja vienu no šī algoritma variantiem, taču tā vai cita iemesla dēļ šī ideja netika plaši izmantota.
IP adrešu piešķiršanas sistēma izmanto informācijas fraktālās saspiešanas principu kompaktai informācijas glabāšanai par tīkla mezgliem “Netsukuku”. Katrs mezgls glabā 4 kilobaitus informācijas par blakus esošo mezglu stāvokli. Jebkurš jauns mezgls pieslēdzas vispārējam internetam, nepieprasot centralizētu IP adrešu izplatīšanas regulēšanu. Varam secināt, ka informācijas fraktālās saspiešanas princips nodrošina visa tīkla decentralizētu darbību, līdz ar to darbs tajā norit maksimāli stabili.
Fraktāļi tiek plaši izmantoti datorgrafikā - veidojot koku, krūmu, jūras virsmu, kalnu ainavu un citu dabas objektu attēlus. Pateicoties fraktāļu grafikai, tika izgudrots efektīvs veids, kā realizēt sarežģītus ne-eiklīda objektus, kuru attēli ir līdzīgi dabiskajiem: tie ir fraktāļu koeficientu sintezēšanas algoritmi, kas ļauj reproducēt jebkura attēla kopiju pēc iespējas tuvāk attēlam. oriģināls. Interesanti, ka bez fraktāļu “gleznošanas” ir arī fraktāļu mūzika un fraktāļu animācija. Tēlotājmākslā ir virziens, kas nodarbojas ar nejauša fraktāļa attēla iegūšanu - “fraktāļu monotipis” vai “stohatipija”.
Fraktāļu grafikas matemātiskais pamats ir fraktāļu ģeometrija, kur mantojuma princips no sākotnējiem “vecākiem objektiem” ir “mantinieku attēlu” konstruēšanas metožu pamatā. Pati fraktāļu ģeometrijas un fraktāļu grafikas jēdzieni parādījās tikai pirms aptuveni 30 gadiem, bet jau ir stingri nostiprinājušies datoru dizaineru un matemātiķu ikdienas dzīvē.
Fraktāļu datorgrafikas pamatjēdzieni ir:
- Fraktāļu trīsstūris - fraktāļu figūra - fraktāļu objekts (hierarhija dilstošā secībā)
- Fraktāļu līnija
- Fraktāļu sastāvs
- “Vecāks objekts” un “Pēcteces objekts”
Kā izveidot fraktāli?
Fraktāļu radītājs vienlaikus pilda mākslinieka, fotogrāfa, tēlnieka un zinātnieka-izgudrotāja lomu. Kādi ir gaidāmie posmi, veidojot zīmējumu no nulles?
- iestatiet zīmējuma formu, izmantojot matemātisko formulu
- izpētīt procesa konverģenci un mainīt tā parametrus
- izvēlieties attēla veidu
- izvēlēties krāsu paleti
Starp fraktāļu grafiskajiem redaktoriem un citām grafiskajām programmām mēs varam izcelt:
"Mākslas dabbler"
"Gleznotājs" (bez datora neviens mākslinieks nekad nesasniegs programmētāju noteiktās iespējas tikai ar zīmuli un otas pildspalvu)
“Adobe Photoshop” (bet šeit attēls netiek izveidots “no nulles”, bet, kā likums, tikai apstrādāts)
Nosūtiet savu labo darbu zināšanu bāzē ir vienkārši. Izmantojiet zemāk esošo veidlapu
Studenti, maģistranti, jaunie zinātnieki, kuri izmanto zināšanu bāzi savās studijās un darbā, būs jums ļoti pateicīgi.
Ievietots vietnē http://www.allbest.ru
- Ievads
- 1. Fraktāļa jēdziens
- 2. Fraktāļu klasifikācija
- 4. Fraktāļu pielietojums
- Secinājums
- Izmantotās literatūras saraksts
Ievads
Sev līdzīgu matemātisko objektu parādīšanās pirms simts un vairāk gadiem gandrīz nevienu neinteresēja, tie interesēja tikai šo objektu autorus. Turklāt daži zinātnieki tos nodēvēja par “monstriem” un neticēja, ka tiem ir kāds sakars ar reālo pasauli un zinātni.
Attieksme pret sev līdzīgiem matemātiskiem objektiem mainījās līdz ar datoru parādīšanos, kad parādījās pirmie algebrisko un stohastisko fraktāļu attēli. Uzreiz pēc tam viņi ieinteresēja ne tikai matemātiķus, bet arī fiziķus, biologus, akustiķus un visus, kas savā darbā saskārās ar dabas objektiem. Matemātiķus pie fraktāļiem piesaistīja vienkāršība formulās, kas apraksta tik sarežģītas struktūras, fiziķus – iespēja pārdomāt fiziku no jaunas pozīcijas, biologus – fraktāļu attēlu atbilstība dažādiem bioloģiskiem objektiem.
Fraktāļi vēl nav sevi izsmēluši, fraktāļu objekti joprojām tiek atrasti jaunās zinātnes jomās. Tos izmanto fiziķi, biologi, sociologi, ekonomisti un daudzi citi. Fraktāļi nav pilnībā izpētīti, tiem tiek atrasts jauns pielietojums, mainot mūsu attieksmi gan pret pašiem fraktāļiem, gan pret dabu.
Darba objekts ir fraktāļu fenomens.
Darba tēma ir fraktāļu vieta mūsdienu zinātnē.
Darba mērķis ir aplūkot fraktāļus gan kā vienkāršu, gan sarežģītu parādību.
Darba mērķi: aplūkot fraktāļu jēdzienu, fraktāļu veidus, fraktāļu rašanās un izpētes vēsturi, fraktāļu pielietojumu praksē.
1. Fraktāļa jēdziens
Fraktāļu un fraktāļu ģeometrijas jēdzieni, kas parādījās 70. gadu beigās, ir kļuvuši stingri nostiprinājušies matemātiķu un programmētāju vidū kopš 20. gadsimta 80. gadu vidus. Vārds fraktāls ir cēlies no latīņu vārda fractus un tulkojumā nozīmē, kas sastāv no fragmentiem Mandelbrots B. Dabas fraktāļu ģeometrija, 5. lpp. - M.: Datorpētniecības institūts, 2002. . 1975. gadā Benuā Mandelbrots ierosināja apzīmēt neregulāras, bet sev līdzīgas struktūras, kuras viņš pētīja Mandelbrots B. Dabas fraktāļu ģeometrija, 5. lpp. - M.: Datorpētniecības institūts, 2002. . Fraktāļu ģeometrijas dzimšana parasti tiek saistīta ar Mandelbrota grāmatas “Dabas fraktāļu ģeometrija” izdošanu 1977. gadā. Viņa darbos izmantoti citu zinātnieku zinātniskie rezultāti, kuri strādāja tajā pašā jomā laika posmā no 1875. līdz 1925. gadam (Puankarē, Fatū, Julia, Cantor, Hausdorff Bet tikai mūsu laikos ir bijis iespējams apvienot viņu darbu vienotā sistēmā.
Fraktāļu loma datorgrafikā mūsdienās ir diezgan liela. Tie nāk palīgā, piemēram, kad nepieciešams, izmantojot vairākus koeficientus, definēt ļoti sarežģītu formu līnijas un virsmas. No datorgrafikas viedokļa fraktāļu ģeometrija ir neaizstājama, veidojot mākslīgos mākoņus, kalnus un jūras virsmas. Faktiski ir atrasts veids, kā viegli attēlot sarežģītus ne-eiklīda objektus, kuru attēli ir ļoti līdzīgi dabiskajiem.
Viena no galvenajām fraktāļu īpašībām ir pašlīdzība. Vienkāršākajā gadījumā neliela fraktāļa daļa satur informāciju par visu fraktāli.
Mandelbrota sniegtā fraktāļa definīcija ir šāda: “Fraktāls ir struktūra, kas sastāv no daļām, kas kaut kādā ziņā ir līdzīgas veselumam.” Feders E. Fractals: World 1991, 67. lpp.
Jāatzīmē, ka vārds “fraktālis” nav matemātisks termins un tam nav vispārpieņemtas stingras matemātiskas definīcijas. To var izmantot, ja attiecīgajam skaitlim ir kāda no šīm īpašībām:
1. Tai ir netriviāla struktūra visos mērogos. Tas ir pretstatā regulārām figūrām (piemēram, aplis, elipse, gludas funkcijas grafiks): ja mēs uzskatām nelielu regulāras figūras fragmentu ļoti lielā mērogā, tas izskatīsies kā taisnas līnijas fragments. Fraktālim mēroga palielināšana neizraisa struktūras vienkāršošanu, visos mērogos mēs redzēsim vienlīdz sarežģītu ainu.
2. Ir sev līdzīgs vai aptuveni sev līdzīgs.
3. Tam ir daļēja metrikas dimensija vai metrikas dimensija, kas pārsniedz topoloģisko.
4. Var konstruēt, izmantojot rekursīvu procedūru Feder E. Fractals: World 1991, 133. lpp.
Daudziem dabas objektiem ir fraktāļu īpašības, piemēram, krastiem, mākoņiem, koku vainagiem, cilvēku vai dzīvnieku asinsrites sistēmai un alveolārajai sistēmai.
Fraktāļi, īpaši lidmašīnā, ir populāri, pateicoties skaistuma apvienojumam ar vieglu konstruēšanu, izmantojot datoru.
Fraktāļi galvenokārt ir ģeometrijas valoda. Tomēr to galvenie elementi nav tieši novērojami. Šajā ziņā tie būtiski atšķiras no parastajiem Eiklīda ģeometrijas objektiem, piemēram, taisnes vai apļa. Fraktāļi tiek izteikti nevis primārās ģeometriskās formās, bet gan algoritmos, matemātisko procedūru kopās.
Šie algoritmi tiek pārveidoti ģeometriskās formās, izmantojot datoru. Algoritmisko elementu repertuārs ir neizsmeļams. Kad esat apguvis fraktāļu valodu, varat aprakstīt mākoņa formu tikpat skaidri un vienkārši, kā arhitekts apraksta ēku, izmantojot zīmējumus, kuros izmantota tradicionālās ģeometrijas valoda.
2. Fraktāļu klasifikācija
Ģeometriskie fraktāļi. Šīs klases fraktāļi ir visredzamākie. Divdimensiju gadījumā tos iegūst, izmantojot kādu lauztu līniju (vai virsmu trīsdimensiju gadījumā), ko sauc par ģeneratoru. Vienā algoritma darbībā katrs no segmentiem, kas veido polilīniju, tiek aizstāts ar ģeneratora polilīniju atbilstošā mērogā. Šīs procedūras bezgalīgas atkārtošanas rezultātā tiek iegūts ģeometriskais fraktālis.
Algebriskie fraktāļi. Šī ir lielākā fraktāļu grupa. Tos iegūst, izmantojot nelineārus procesus n-dimensiju telpās. Divdimensiju procesi ir visvairāk pētīti. Interpretējot nelineāru iteratīvu procesu kā diskrētu dinamisku sistēmu, var izmantot šo sistēmu teorijas terminoloģiju: fāzes portrets, līdzsvara stāvokļa process, atraktors u.c.
Ir zināms, ka nelineārām dinamiskām sistēmām ir vairāki stabili stāvokļi. Stāvoklis, kurā dinamiskā sistēma atrodas pēc noteikta iterāciju skaita, ir atkarīgs no tās sākotnējā stāvokļa. Tāpēc katram stabilam stāvoklim (vai, kā saka, atraktoram) ir noteikts sākotnējo stāvokļu reģions, no kura sistēma noteikti nonāks apskatāmajos gala stāvokļos. Tādējādi sistēmas fāzu telpa tiek sadalīta atraktoru pievilkšanas zonās. Ja fāzu telpa ir divdimensiju telpa, tad, izkrāsojot pievilkšanās zonas ar dažādām krāsām, var iegūt šīs sistēmas krāsainu fāzes portretu (iteratīvais process). Mainot krāsu atlases algoritmu, jūs varat iegūt sarežģītus fraktāļu rakstus ar dīvainiem daudzkrāsu rakstiem. Matemātiķu pārsteigums bija spēja ģenerēt ļoti sarežģītas netriviālas struktūras, izmantojot primitīvus algoritmus.
Skolastiskie fraktāļi. Dabas objektiem, kas rodas sarežģītu nejaušu procesu rezultātā, bieži ir fraktāļu forma. To modelēšanai var izmantot stohastiskos (gadījuma) fraktāļus. Stohastisko fraktāļu piemēri:
1. Brauna kustības trajektorija plaknē un telpā;
2. Brauna kustības trajektorijas robeža plaknē. 2001. gadā Lawler, Schramm un Verner pierādīja Mandelborta minējumu, ka tā dimensija ir 4/3.
3. Schramm-Löwner evolūcijas - konformāli invariantu fraktāļu līknes, kas rodas statistiskās mehānikas kritiskos divdimensiju modeļos, piemēram, Ising modelī un perkolācijā.
4. dažāda veida randomizēti fraktāļi, tas ir, fraktāļi, kas iegūti, izmantojot rekursīvu procedūru, kurā katrā solī tiek ievadīts nejaušs parametrs. Plazma ir piemērs šāda fraktāļa izmantošanai datorgrafikā.
Fraktāļu monotipija jeb stohatipija ir vizuālās mākslas tendences, kas sastāv no nejauša fraktāļa tēla iegūšanas Šrēders M. Fraktāļi, haoss, spēka likumi. Miniatūras no bezgalīgas paradīzes. - Iževska: RHD, 2001, 26. lpp.
3. Fraktāļu vēsture
Zīmīgi, ka fraktāļu (vēl nav dots šis nosaukums) parādīšanās matemātiskajā literatūrā apmēram pirms simts gadiem tika uztverta ar nožēlojamu naidīgumu, kā tas ir noticis daudzu citu matemātisko ideju attīstības vēsturē. Viens slavens matemātiķis Čārlzs Hermīts tos pat nodēvēja par briesmoņiem. Vismaz vispārējā vienprātība tos atzina par patoloģiju, kas interesē tikai pētniekus, kuri ļaunprātīgi izmanto matemātikas iedomas, nevis īstus zinātniekus.
Benuā Mandelbrota pūliņu rezultātā šī attieksme mainījās, un fraktāļu ģeometrija kļuva par cienījamu lietišķo zinātni. Mandelbrots izdomāja terminu fraktāls, pamatojoties uz Hausdorfa teoriju par fraktāļu (frakcionētu) dimensiju, ko ierosināja 1919. gadā. Daudzus gadus pirms savas pirmās grāmatas par fraktāļu ģeometriju parādīšanās Mandelbrots sāka pētīt monstru un citu patoloģiju parādīšanos dabā. Viņš atrada nišu sliktajiem Cantor komplektiem, Peano līknēm, Weierstrass funkcijām un to daudzajām variācijām, kas tika uzskatītas par muļķībām. Viņš un viņa skolēni atklāja daudz jaunu fraktāļu, piemēram, fraktālisko Brauna kustību, lai modelētu meža un kalnu ainavas, upju līmeņa svārstības un sirdspukstus. Līdz ar viņa grāmatu izdošanu fraktāļu ģeometrijas pielietojumi sāka parādīties kā sēnes pēc lietus. Tas skāra gan daudzas lietišķās zinātnes, gan tīro matemātiku. Pat filmu industrija netika atstāta malā. Miljoniem cilvēku apbrīnoja kalnu ainavu filmā “Zvaigžņu migrācija II: Khana dusmas”, kas tika veidota, izmantojot Peitgen H.-O., Richter P. H. The beauty of fractals. - M.: Mir 1993, 45. lpp.
Franču matemātiķis Anrī Puankarē ap 1890. gadu uzsāka nelineārās dinamikas izpēti, kas noveda pie mūsdienu haosa teorijas. Interese par šo tēmu ievērojami pieauga, kad Edvards Lorencs, nelineāro laikapstākļu modelētājs, 1963. gadā atklāja, ka ilgtermiņa laika prognozes nav iespējamas. Lorencs atzīmēja, ka pat nelielas kļūdas, mērot pašreizējo laika apstākļu stāvokli, var radīt pilnīgi nepareizas prognozes par turpmākajiem laikapstākļiem. Šī būtiskā atkarība no sākotnējiem apstākļiem ir haosa matemātiskās teorijas pamatā.
Brauna kustības daļiņu trajektorijas, kuras Roberts Brauns pētīja jau 1828. gadā un Alberts Einšteins 1905. gadā, ir fraktāļu līkņu piemērs, lai gan to matemātisko aprakstu sniedza tikai 1923. gadā Norberts Vīners. 1890. gadā Peano izveidoja savu slaveno līkni - nepārtrauktu kartēšanu, kas pārveido segmentu kvadrātā un tādējādi palielina tā izmēru no viena līdz diviem. Koha sniegpārslas robeža (1904), kuras izmērs d » 1,2618, ir vēl viena labi zināma dimensijas palielināšanas līkne.
Fraktāls, kas nekādā ziņā neatgādina līkni, ko Mandelbrots sauca par putekļiem, ir klasiskais Kantora komplekts (1875. gadā vai agrāk). Šī kopa ir tik reta, ka tajā nav intervālu, taču tajā ir vienāds punktu skaits ar intervālu. Mandelbrots izmantoja šādus "putekļus", lai modelētu stacionāru troksni telefonijā. Tāda vai cita veida fraktāļu putekļi parādās daudzās situācijās. Faktiski tas ir universāls fraktālis tādā nozīmē, ka jebkurš fraktālis - iterētu funkciju sistēmas pievilcējs - ir vai nu fraktāļu putekļi, vai tā projekcija telpā ar zemāku dimensiju Peitgen H.-O., Richter P., p. . 22.
Dažādi kokiem līdzīgie fraktāļi tika izmantoti ne tikai koku augu modelēšanai, bet arī bronhu koka (gaisu nesošie zari plaušās), nieru darbībai, asinsrites sistēmai utt. Interesanti atzīmēt Leonardo da Vinči darbu. pieņēmums, ka visi koka zari noteiktā augstumā, saskaitot kopā, ir vienādi ar stumbra biezumu (zem to līmeņa). Tas nozīmē koka vainaga fraktāļu modeli fraktāļu virsmas formā.
Daudzas ievērojamas fraktāļu un haosa īpašības atklājas, pētot iterētu kartēšanu. Šajā gadījumā tie sākas ar kādu funkciju y = f(x) un ņem vērā secības f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),... In Sarežģītā plakne, šāda veida darbs, acīmredzot, ir saistīts ar Keilija vārdu, kurš pētīja Ņūtona metodi saknes atrašanai, ko piemēro sarežģītām, nevis tikai reālām funkcijām (1879). Ievērojamu progresu iterētu sarežģītu kartējumu izpētē panāca Gastons Džūlija un Pjērs Fatū (1919). Dabiski, ka viss tika darīts bez datorgrafikas palīdzības. Mūsdienās daudzi jau ir redzējuši krāsainus plakātus, kuros attēlotas *Jūlijas komplekti un ar tiem cieši saistīta Mandelbrota komplekts. Ir dabiski sākt apgūt haosa matemātisko teoriju ar iterētu kartēšanu.
Fraktāļu un haosa izpēte paver brīnišķīgas iespējas gan bezgalīgi daudzu pielietojumu izpētē, gan tīrās matemātikas jomā. Bet tajā pašā laikā, kā tas bieži notiek tā sauktajā jaunajā matemātikā, atklājumi ir balstīti uz pagātnes lielo matemātiķu novatorisko darbu. Sers Īzaks Ņūtons to saprata, sakot: "Ja esmu redzējis tālāk par citiem, tas ir tāpēc, ka esmu stāvējis uz milžu pleciem."
4. Fraktāļu pielietojums
Datorgrafika
Fraktāļi tiek plaši izmantoti datorgrafikā, lai konstruētu dabas objektu attēlus, piemēram, kokus, krūmus, kalnu ainavas, jūras virsmas utt.
Fizika un citas dabaszinātnes
Fizikā fraktāļi dabiski rodas, modelējot nelineārus procesus, piemēram, turbulentu šķidruma plūsmu, sarežģītus nejaušas difūzijas-adsorbcijas procesus, liesmas, mākoņus utt. Fraktāļi tiek izmantoti arī porainu materiālu modelēšanā, piemēram, naftas ķīmijā. Bioloģijā tos izmanto, lai modelētu populācijas un aprakstītu iekšējo orgānu sistēmas (asinsvadu sistēmu).
Literatūra
Starp literārajiem darbiem ir tādi, kuriem ir tekstuāls, strukturāls vai semantisks fraktāļu raksturs. Teksta fraktāļos teksta elementi tiek potenciāli bezgalīgi atkārtoti:
1. Nezarojošs bezgalīgs koks, identiski sev no jebkuras iterācijas (“Priesterim bija suns...”, “Līdzība par filozofu, kurš sapņo, ka viņš ir tauriņš, kurš sapņo, ka viņa ir filozofs, kurš sapņo. ..”, “Tas ir nepatiess apgalvojums, ka apgalvojums ir patiess, apgalvojums ir nepatiess...”).
2. Nezarojoši bezgalīgi teksti ar variācijām (“Pegijai bija smieklīga zoss…”) un teksti ar paplašinājumiem (“Māja, kuru uzcēla Džeks”).
3. Strukturālajos fraktāļos teksta izkārtojums ir potenciāli fraktālisks
4. Sonetu vainags (15 dzejoļi), sonetu vainags (211 dzejoļi), sonetu vainags (2455 dzejoļi).
5. “Stāsti stāstā” (“Tūkstoš un vienas nakts grāmata”, J. Potockis “Saragosā atrasts rokraksts”).
6. Priekšvārdi, kas slēpj autorību (U. Eco “The Name of the Rose”).
Semantiskos un naratīvos fraktālos autors runā par daļas bezgalīgo līdzību veselumam
H. L. Borgess “Drupušu lokā”
Dž. Kortazars “Dzeltenais zieds”
J. Pereks “Kunstkamera”
Fraktāļu antenas.
Fraktāļu ģeometrijas izmantošanu antenu ierīču projektēšanā pirmais izmantoja amerikāņu inženieris Neitans Koens, kurš toreiz dzīvoja Bostonas centrā, kur ārējo antenu uzstādīšana uz ēkām bija aizliegta. Neitans no alumīnija folijas izgrieza Koha līknes formu un pielīmēja to uz papīra lapas, pēc tam pievienoja uztvērējam. Izrādījās, ka šāda antena darbojas ne sliktāk par parasto. Un, lai gan šādas antenas fiziskie darbības principi vēl nav izpētīti, tas netraucēja Koenam dibināt savu uzņēmumu un uzsākt to sērijveida ražošanu.
Attēlu saspiešana.
Ir algoritmi attēlu saspiešanai, izmantojot fraktāļus. To pamatā ir ideja, ka attēla vietā var saglabāt saspiešanas kartējumu, kuram attēls ir fiksēts punkts.
Decentralizēti tīkli.
IP adreses piešķiršanas sistēma Netsukuku tīklā izmanto fraktāļu informācijas saspiešanas principu, lai kompakti uzglabātu informāciju par tīkla mezgliem. Katrs Netsukuku tīkla mezgls glabā tikai 4 KB informācijas par blakus esošo mezglu stāvokli, savukārt jebkurš jauns mezgls pieslēdzas kopējam tīklam bez nepieciešamības centralizēti regulēt IP adrešu sadali, kas, piemēram, ir raksturīga Internets. Tādējādi fraktāļu informācijas saspiešanas princips garantē pilnībā decentralizētu un līdz ar to arī visstabilāko visa tīkla darbību.
Secinājums
Lielākā daļa cilvēku uzskata, ka fraktāļi ir tikai skaistas bildes, kas priecē aci. Par laimi, tas tā nav, un fraktāļus izmanto daudzās cilvēka darbības jomās. Jau ir teorētisks pamats jaunu to pielietojuma jomu radīšanai, piemēram, slimību diagnosticēšanai, bojājumu prognozēšanai dinamiskas ietekmes laikā un daudzām citām. Bet, neskatoties uz teorētisko fraktāļu izmantošanas neizsmeļamību, var pieņemt, ka laika gaitā parādīsies galvenie to pielietošanas virzieni.
Ir pagājušas tikai dažas desmitgades, kopš Benuā Mandelbrots paziņoja: “Dabas ģeometrija ir fraktāliska!” Šodien mēs jau varam pieņemt daudz vairāk, proti, ka fraktalitāte ir visu bez izņēmuma dabas objektu uzbūves primārais princips.
Secinājumi:
1. Fraktāļu dabu rūpīgi pēta zinātnieki
2. Nākotnē daudzas problēmas medicīnā, datorindustrijā, zinātnē u.c. tiks risinātas ar fraktāļu palīdzību.
Izmantotās literatūras saraksts
fraktāļu dabiskā grafika
1. Mandelbrots B. Dabas fraktāļu ģeometrija. - M.: Datorpētniecības institūts, 2002.g.
2. Peitgen H.-O., Rihters P. H. Fraktāļu skaistums. - M.: Mir, 1993.
3. Feders E. Fractals-M.: Mir, 1991. gads.
4. Šrēders M. Fraktāļi, haoss, varas likumi. Miniatūras no bezgalīgas paradīzes. - Iževska: RHD, 2001.
Ievietots vietnē Allbest.ru
Līdzīgi dokumenti
Fraktāls ir kopa, kuras izmērs atšķiras no parastās dimensijas, ko sauc par topoloģisko. Principi un nosacījumi atbilstošas sistēmas veidošanai pēc Mandelbrota pētījuma. Fraktāļu veidi un nozīme, to evolūcijas galvenie posmi.
tests, pievienots 19.02.2015
Mūsdienu telpas un laika relativitātes koncepciju būtība ir speciālajās un vispārīgajās teorijās. Hiperhronoloģiskā vēsturiskā telpa, vēsturiskā laika paātrinājums. Bifurkāciju, fraktāļu, atraktoru, nejaušības faktoru jēdzienu skaidrojums.
tests, pievienots 10.12.2009
Humanitārie, tehniskie, matemātiskie zināšanu veidi un dabaszinātne mūsdienu zināšanu sistēmā. Matemātikas un fizikas loma un nozīme pasaules izpratnē. Attieksme pret dabu dabaszinātnēs un humanitārajās zinātnēs. Zinātnes un reliģijas konfrontācijas problēma.
abstrakts, pievienots 26.11.2011
Dabaszinātņu attīstība viduslaikos, baznīcas vieta un loma valstī. Atomu uzbūves teorijas konstruēšana, pamatojoties uz planētu modeli. Astronomijas attīstība, galaktiku raksturojums. Teorijas par dzīvības izcelsmi uz Zemes. Hipotēzes par rasu izcelsmi.
tests, pievienots 14.09.2009
Hipokrāts kā mūsdienu klīniskās medicīnas pamatlicējs. Seno zinātnieku nopelns dabaszinātņu attīstībā. Dialektikas pamatlikumu saturs, dialektiskās izpētes metožu pielietojums. Likums par kvantitātes pāreju uz kvalitāti.
tests, pievienots 03.04.2011
Sinerģētika kā pašorganizējošu sistēmu teorija mūsdienu zinātnes pasaulē. Sinerģiskās pieejas rašanās vēsture un loģika dabaszinātnēs. Šīs pieejas ietekme uz zinātnes attīstību. Sinerģētikas metodiskā nozīme mūsdienu zinātnē.
abstrakts, pievienots 27.12.2016
Baktēriju vispārīgās īpašības. To uzbūve, vairošanās un uzturs. Dabas resursu jēdziens un to raksturojums. Gremošanas sistēmas uzbūve un nozīme. Dabas resursu ekonomiskā klasifikācija. Gremošanas kanāla sienas struktūra.
tests, pievienots 09.10.2012
Pašreizējās tendences rūpniecības, enerģētikas un tautsaimniecības attīstībā. Pārvērtības zinātnes jomā. Biotehnoloģijas attīstības un dabaszinātņu attīstības sekas. Ķīmiskie procesi un enerģija. Ozona slāņa saglabāšana.
abstrakts, pievienots 18.11.2009
Empīrisko datu absolūtās objektivitātes un noteiktības principa pielietošana kvantu fizikā. Kompasu un lineāla izmantošana Eiklīda ģeometrijā. Ķīmisko elementu periodiskās sistēmas analīze D.I. Mendeļejevs. Bifurkācijas punktu īpašības.
tests, pievienots 12.06.2015
Bioelektrisko parādību jēdziens. Mūsdienu membrānas ierosmes teorijas rašanās. Galvenie bioelektrisko potenciālu veidi, to rašanās mehānisms un pielietojums medicīnas un bioloģiskajās laboratorijās, klīniskajā praksē diagnostikā.
Bieži vien izcili zinātnes atklājumi var radikāli mainīt mūsu dzīvi. Piemēram, vakcīnas izgudrošana var izglābt daudzus cilvēkus, bet jaunu ieroču radīšana noved pie slepkavībām. Burtiski vakar (vēstures mērogā) cilvēks “pieradināja” elektrību, un šodien viņš vairs nevar iedomāties savu dzīvi bez tās. Taču ir arī atklājumi, kas, kā saka, paliek ēnā, neskatoties uz to, ka arī tiem ir tāda vai cita ietekme uz mūsu dzīvi. Viens no šiem atklājumiem bija fraktālis. Lielākā daļa cilvēku nekad nav pat dzirdējuši par šo jēdzienu un nevarēs izskaidrot tā nozīmi. Šajā rakstā mēs centīsimies izprast jautājumu par to, kas ir fraktālis, un apsvērsim šī termina nozīmi no zinātnes un dabas viedokļa.
Kārtība haosā
Lai saprastu, kas ir fraktālis, apskati jāsāk no matemātikas pozīcijas, bet pirms iedziļināties tajā, nedaudz pafilozofēsim. Katram cilvēkam piemīt dabiska zinātkāre, pateicoties kurai viņš uzzina par apkārtējo pasauli. Bieži vien, tiecoties pēc zināšanām, viņš savos spriedumos cenšas izmantot loģiku. Tādējādi, analizējot procesus, kas notiek ap viņu, viņš mēģina aprēķināt attiecības un iegūt noteiktus modeļus. Lielākie prāti uz planētas ir aizņemti ar šo problēmu risināšanu. Aptuveni runājot, mūsu zinātnieki meklē modeļus, kur tādu nav, un tādiem nevajadzētu būt. Un tomēr pat haosā starp noteiktiem notikumiem pastāv saikne. Šis savienojums ir fraktālis. Piemēram, apsveriet nolauztu zaru, kas atrodas uz ceļa. Ja mēs to uzmanīgi aplūkosim, mēs redzēsim, ka ar visiem zariem un zariem tas pats izskatās pēc koka. Šī atsevišķas daļas līdzība ar vienotu veselumu norāda uz tā saukto rekursīvās pašlīdzības principu. Fraktāļi dabā sastopami visur, jo daudzas neorganiskās un organiskās formas veidojas līdzīgi. Tie ir mākoņi, jūras gliemežvāki, gliemežvāki, koku vainagi un pat asinsrites sistēma. Šo sarakstu var turpināt bezgalīgi. Visas šīs nejaušās formas ir viegli aprakstītas ar fraktāļu algoritmu. Tagad mēs esam sākuši apsvērt, kas ir fraktālis no eksakto zinātņu viedokļa.
Daži sausi fakti
Pats vārds “fraktālis” no latīņu valodas ir tulkots kā “daļējs”, “sadalīts”, “sadrumstalots”, un attiecībā uz šī termina saturu nav formulējuma kā tāda. To parasti interpretē kā sev līdzīgu kopumu, daļu no veseluma, kas atkārto savu struktūru mikrolīmenī. Šo terminu divdesmitā gadsimta septiņdesmitajos gados ieviesa par tēvu atzītais Benuā Mandelbrots.Mūsdienās fraktāļa jēdziens nozīmē noteiktas struktūras grafisku attēlu, kas, palielinoties, būs līdzīgs pats sev. Tomēr matemātiskais pamats šīs teorijas radīšanai tika likts jau pirms paša Mandelbrota dzimšanas, taču tas nevarēja attīstīties, kamēr parādījās elektroniskie datori.
Vēsturiskais fons jeb Kā tas viss sākās
19. un 20. gadsimta mijā fraktāļu būtības izpēte bija sporādiska. Tas izskaidrojams ar to, ka matemātiķi labprātāk pētīja objektus, kurus varēja pētīt, pamatojoties uz vispārīgām teorijām un metodēm. Vācu matemātiķis K. Veierštrāss 1872. gadā izveidoja nepārtrauktas funkcijas piemēru, kas nekur nav diferencējama. Tomēr šī konstrukcija izrādījās pilnīgi abstrakta un grūti uztverama. Tālāk sekoja zviedrs Helge fon Kohs, kurš 1904. gadā izveidoja nepārtrauktu līkni, kurai nekur nebija pieskares. To ir diezgan viegli uzzīmēt, un izrādās, ka tam ir fraktāļu īpašības. Viens no šīs līknes variantiem tika nosaukts tā autora vārdā - “Koch snowflake”. Tālāk ideju par figūru līdzību attīstīja topošais B. Mandelbrota mentors francūzis Pols Levī. 1938. gadā viņš publicēja rakstu "Plaknes un telpiskās līknes un virsmas, kas sastāv no veselumam līdzīgām daļām". Tajā viņš aprakstīja jaunu tipu - Lewy C līkni. Visi iepriekš minētie skaitļi parasti tiek klasificēti kā ģeometriskie fraktāļi.
Dinamiskie vai algebriskie fraktāļi
Mandelbrota komplekts pieder šai klasei. Pirmie pētnieki šajā virzienā bija franču matemātiķi Pjērs Fatū un Gastons Džūlija. 1918. gadā Jūlija publicēja rakstu, kura pamatā bija racionālu sarežģītu funkciju iterāciju izpēte. Šeit viņš aprakstīja fraktāļu ģimeni, kas ir cieši saistīta ar Mandelbrota kopu. Neskatoties uz to, ka šis darbs slavināja autoru matemātiķu vidū, tas ātri tika aizmirsts. Un tikai pusgadsimtu vēlāk, pateicoties datoriem, Jūlijas darbs ieguva otro dzīvi. Datori ļāva ikvienam cilvēkam padarīt redzamu fraktāļu pasaules skaistumu un bagātību, ko matemātiķi varēja “redzēt”, attēlojot tos ar funkciju palīdzību. Mandelbrots bija pirmais, kurš izmantoja datoru, lai veiktu aprēķinus (šādu apjomu nevar izdarīt manuāli), kas ļāva izveidot šo figūru attēlu.
Cilvēks ar telpisku iztēli
Mandelbrots sāka savu zinātnisko karjeru IBM pētniecības centrā. Pētot datu pārraides iespējas lielos attālumos, zinātnieki saskārās ar lieliem zaudējumiem, kas radās trokšņa traucējumu dēļ. Benuā meklēja veidus, kā atrisināt šo problēmu. Pārlūkojot mērījumu rezultātus, viņš pamanīja dīvainu modeli, proti: trokšņu grafiki dažādās laika skalās izskatījās vienādi.
Līdzīga aina tika novērota gan vienas dienas, gan septiņu dienu vai stundu garumā. Pats Benuā Mandelbrots bieži atkārtoja, ka viņš nestrādā ar formulām, bet spēlējas ar attēliem. Šis zinātnieks izcēlās ar tēlainu domāšanu, viņš pārtulkoja jebkuru algebrisku problēmu ģeometriskajā apgabalā, kur ir acīmredzama pareizā atbilde. Tāpēc nav pārsteidzoši, ka viņš izceļas ar savu bagātību un kļuva par fraktāļu ģeometrijas tēvu. Galu galā šīs figūras apzināšanās var rasties tikai tad, kad jūs izpētāt zīmējumus un domājat par šo dīvaino virpuļu nozīmi, kas veido rakstu. Fraktāļu modeļiem nav identisku elementu, taču tie ir līdzīgi jebkurā mērogā.
Jūlija - Mandelbrots
Viens no pirmajiem šīs figūras zīmējumiem bija komplekta grafiskā interpretācija, kas radās no Gastona Džūlijas darba un kuru tālāk attīstīja Mandelbrots. Gastons mēģināja iedomāties, kā izskatītos komplekts, pamatojoties uz vienkāršu formulu, kas tika atkārtota, izmantojot atgriezeniskās saites cilpu. Mēģināsim izskaidrot cilvēku valodā teikto, tā teikt, uz pirkstiem. Konkrētai skaitliskai vērtībai mēs atrodam jaunu vērtību, izmantojot formulu. Mēs to aizstājam formulā un atrodam sekojošo. Rezultāts ir liels.Lai attēlotu šādu kopu, šī darbība ir jāveic ļoti daudz reižu: simtiem, tūkstošiem, miljonu. To izdarīja Benuā. Viņš apstrādāja secību un pārnesa rezultātus grafiskā formā. Pēc tam viņš iekrāsoja iegūto figūru (katra krāsa atbilst noteiktam atkārtojumu skaitam). Šis grafiskais attēls tika nosaukts par “Mandelbrota fraktāli”.
L. Kārpenters: dabas radīta māksla
Fraktāļu teorija ātri atrada praktisku pielietojumu. Tā kā tas ir ļoti cieši saistīts ar sev līdzīgu attēlu vizualizāciju, mākslinieki bija pirmie, kas pieņēma šo neparasto formu konstruēšanas principus un algoritmus. Pirmā no tām bija topošā Pixar dibinātāja Laurena Kārpentere. Strādājot pie lidmašīnu prototipu prezentācijas, viņam radās ideja par fonu izmantot kalnu attēlu. Mūsdienās ar šādu uzdevumu var tikt galā teju katrs datorlietotājs, taču pagājušā gadsimta septiņdesmitajos gados datori nespēja veikt šādus procesus, jo tolaik nebija ne grafisko redaktoru, ne aplikāciju trīsdimensiju grafikai. Un tad Lorēna nonāca pie Mandelbrota grāmatas “Fractals: Form, Randomness and Dimension”. Tajā Benuā minēja daudzus piemērus, parādot, ka dabā eksistē fraktāļi (fyva), viņš aprakstīja to daudzveidīgās formas un pierādīja, ka tos ir viegli aprakstīt ar matemātiskām izteiksmēm. Matemātiķis minēja šo analoģiju kā argumentu teorijas lietderībai, ko viņš izstrādāja, reaģējot uz viņa kolēģu kritikas straumi. Viņi apgalvoja, ka fraktālis ir tikai skaists attēls, tam nav nekādas vērtības un tas ir elektronisko mašīnu darba blakusprodukts. Galdnieks nolēma izmēģināt šo metodi praksē. Rūpīgi izpētījis grāmatu, topošais animators sāka meklēt veidu, kā datorgrafikā ieviest fraktāļu ģeometriju. Viņam vajadzēja tikai trīs dienas, lai datorā atveidotu pilnīgi reālistisku kalnu ainavas attēlu. Un šodien šis princips tiek plaši izmantots. Kā izrādās, fraktāļu veidošana neaizņem daudz laika un pūļu.
Galdnieka risinājums
Laurena izmantotais princips bija vienkāršs. Tas sastāv no lielāku elementu sadalīšanas mazos elementos, bet tos līdzīgos mazākos un tā tālāk. Galdnieks, izmantojot lielus trīsstūrus, sadalīja tos 4 mazos un tā tālāk, līdz viņam izveidojās reālistiska kalnu ainava. Tādējādi viņš kļuva par pirmo mākslinieku, kurš izmantoja fraktāļu algoritmu datorgrafikā, lai izveidotu vajadzīgo attēlu. Mūsdienās šis princips tiek izmantots dažādu reālistisku dabas formu atdarināšanai.
Pirmā 3D vizualizācija, izmantojot fraktāļu algoritmu
Dažus gadus vēlāk Lorēns izmantoja savus sasniegumus liela mēroga projektā - animācijas video Vol Libre, kas tika parādīts vietnē Siggraph 1980. Šis video šokēja daudzus, un tā veidotājs tika uzaicināts strādāt Lucasfilm. Šeit animators varēja pilnībā realizēt savu potenciālu, viņš radīja trīsdimensiju ainavas (visu planētu) spēlfilmai "Star Trek". Jebkura moderna programma (“Fractals”) vai lietojumprogramma 3D grafikas veidošanai (Terragen, Vue, Bryce) izmanto vienu un to pašu algoritmu faktūru un virsmu modelēšanai.
Toms Beddards
Bijušais lāzerfiziķis un tagad digitālais mākslinieks un mākslinieks Beddards radīja vairākas ļoti intriģējošas ģeometriskas formas, kuras viņš sauca par Faberžē fraktāļiem. Ārēji tās atgādina krievu juveliera dekoratīvās olas, tām ir tāds pats izcils, sarežģīts raksts. Beddard izmantoja veidņu metodi, lai izveidotu modeļu digitālos atveidojumus. Iegūtie produkti pārsteidz ar savu skaistumu. Lai gan daudzi atsakās salīdzināt ar rokām darinātu izstrādājumu ar datorprogrammu, jāatzīst, ka iegūtās formas ir ārkārtīgi skaistas. Galvenais ir tas, ka ikviens var izveidot šādu fraktāli, izmantojot WebGL programmatūras bibliotēku. Tas ļauj reāllaikā izpētīt dažādas fraktāļu struktūras.
Fraktāļi dabā
Tikai daži cilvēki pievērš uzmanību, taču šīs apbrīnojamās figūras ir visur. Daba ir radīta no sev līdzīgām figūrām, mēs to vienkārši nepamanām. Pietiek paskatīties caur palielināmo stiklu uz mūsu ādu vai koka lapu, un mēs redzēsim fraktāļus. Vai arī ņemiet, piemēram, ananāsu vai pat pāva asti - tie sastāv no līdzīgām figūrām. Un Romanescu brokoļu šķirne kopumā ir pārsteidzoša ar savu izskatu, jo to patiesi var saukt par dabas brīnumu.
Muzikāla pauze
Izrādās, ka fraktāļi nav tikai ģeometriskas formas, tās var būt arī skaņas. Tādējādi mūziķis Džonatans Koltons raksta mūziku, izmantojot fraktāļu algoritmus. Tas apgalvo, ka tas atbilst dabiskajai harmonijai. Komponists visus savus darbus publicē saskaņā ar CreativeCommons Attribution-Noncommercial licenci, kas paredz darbu bezmaksas izplatīšanu, kopēšanu un nodošanu citiem.
Fraktāļu indikators
Šis paņēmiens ir atradis ļoti negaidītu pielietojumu. Uz tā pamata tika izveidots rīks biržas tirgus analīzei, kā rezultātā to sāka izmantot Forex tirgū. Mūsdienās fraktāļu indikators ir atrodams visās tirdzniecības platformās un tiek izmantots tirdzniecības tehnikā, ko sauc par cenu izlaušanos. Šo paņēmienu izstrādāja Bils Viljamss. Kā autors komentē savu izgudrojumu, šis algoritms ir vairāku “sveču” kombinācija, kurā centrālā atspoguļo maksimālo vai, tieši otrādi, minimālo galējo punktu.
Beidzot
Tāpēc mēs apskatījām, kas ir fraktālis. Izrādās, ka haosā, kas mūs ieskauj, patiesībā eksistē ideālās formas. Daba ir labākais arhitekts, ideāls celtnieks un inženieris. Tas ir sakārtots ļoti loģiski, un, ja mēs nevaram atrast modeli, tas nenozīmē, ka tas neeksistē. Varbūt mums jāskatās citā mērogā. Mēs varam ar pārliecību teikt, ka fraktāļiem joprojām ir daudz noslēpumu, kas mums vēl jāatklāj.