Теория пуанкаре перельмана простыми словами. В чём суть теоремы Пуанкаре. Многомерная музыка сфер

Гипотеза Пуанкаре и особенности русского менталитета.

Если кратко: Безработный профессор, которому всего 40 лет, решил одну из 7 самых сложных задач человечества, живёт в панельке на окраине города с мамой и вместо того чтоб получить премию о которой мечтают все математики мира, ну и в придачу миллион долларов, он ушёл собирать грибы и просил его не беспокоить.

А теперь более подробно:

http://lenta.ru/news/2006/08/16/perelman/

Григорий Перельман, доказавший гипотезу Пуанкаре, отказывается от многочисленных наград, и денежных премий, которые присуждают ему за это достижение, сообщает газета Guardian. После широкомасштабной проверки доказательства, которая продолжалась почти четыре года, научное сообщество пришло к выводу, что решение Перельмана верно.

Гипотеза Пуанкаре относится к числу семи важнейших математических "задач тысячелетия”, за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) назначил премию в один миллион долларов. Таким образом, Перельман должен получить вознаграждение. Ученый не общается с прессой, но газете стало известно, что Перельман не хочет брать эти деньги. По словам математика, комитет, присуждавший награду, недостаточно квалифицирован, чтобы оценить его работу.

Владеть миллионом долларов в Питере небезопасно, – в шутку предполагает другую причину необычного поведения Перельмана профессиональное сообщество. Об этом рассказал газете Найджел Хитчин (Nigel Hitchin), профессор математики Оксфордского университета.

На следующей неделе, по слухам, будет объявлено, что Перельману присуждена самая престижная в данной сфере международная Филдсовская премия, состоящая из драгоценой медали и и денежного вознаграждения. Филдсовская премия считается математическим аналогом Нобелевской. Ее вручают раз в четыре года на международном математическом конгрессе, причем лауреаты премии не должны быть старше 40 лет. Перельман, который в 2006 году перешагнет сорокалетний рубеж и лишится шанса когда-либо получить этот приз, не хочет принимать и эту награду.

О Перельмане давно известно, что он избегает торжественных мероприятий и не любит, когда им восхищаются. Но в сложившейся ситуации поведение ученого выходит за рамки эксцентричности кабинетного теоретика. Перельман уже оставил учебную работу и отказывается от выполнения профессорских функций. Теперь он хочет спрятаться и от признания его заслуг перед математикой – делом всей его жизни.

Григорий Перельман работал над доказательством теоремы Пуанкаре восемь лет. В 2002 году он разместил решение задачи на сайте препринтов Лос-Аламосской научной лаборатории. До сих пор он так и не опубликовал своего труда в рецензируемом журнале, что является обязательным условием присуждения большинства премий.

Перельмана можно считать эталонным образцом продукции советского образования. Он родился в 1966 году в Ленинграде. В этом городе живет и сейчас. Перельман учился в специализированной школе № 239 с углубленным изучением математики. Побеждал на бессчетных олимпиадах. Был без экзаменов зачислен на матмех ЛГУ. Получал Ленинскую стипендию. После университета поступил в аспирантуру при Ленинградском отделении Математического института им.В.А.Стеклова, где и остался работать. В конце восьмидесятых Перельман переехал в США, профессорствовал в нескольких университетах, а затем вернулся на старое место.

Состояние питерского особняка графа Муравьева на Фонтанке, в котором располагается Математический институт, делает бессеребреничество Перельмана особенно неадекватным. Здание, как сообщает газета "Известия” может в любой момент разрушиться и упасть в реку. Закупки компьютерной техники (единственного оборудования, необходимого математикам) еще удается финансировать при помощи различных грантов, но реставрацию исторического сооружения благотворительные организации оплачивать не готовы.

==========================

http://www.newsinfo.ru/news/2006/08/news1325575.php

Математик-отшельник, доказавший одну из самых сложных научных гипотез – теорему Пуанкаре, не менее загадочный, чем сама проблема.

О нем известно немного. Поступил в институт по результатам школьных олимпиад, получал ленинскую стипендию. В питерской 239-й спецшколе его помнят - сын Якова Перельмана, автора знаменитого учебника "Занимательная физика". Фото Гриши Перельмана - на доске великих вместе с Лобаческим и Лейбницем.

"Он был такой отличник, только по физкультуре... А так была бы медаль", - вспоминает его преподаватель Тамара Ефимова, директор физмат-лицея 239 в интервью Первому каналу.

Он всегда был за чистую науку, против формальностей - это слова его бывшего школьного учителя, одного из немногих, с кем Перельман поддерживал связь все восемь лет поиска. Как он говорит, математику с работы пришлось уйти, потому что там надо было писать статьи-отчеты, а Пуанкаре поглощал все его время. Математика превыше всего.

Решению одной из семи нерешаемых математических задач Перельман положил восемь лет жизни. Он работал в одиночку, где-то на чердаке, тайком. Читал лекции в Америке, чтобы прокормиться дома. Ушел с работ, которая отвлекала от главной цели, не отвечает на звонки и не общается с прессой.

За решение одной из семи нерешаемых математических задач положен миллион долларов, это премия Филдса, нобелевка для математиков. Григорий Перельман стал основным кандидатом на ее получение.

Ученый это знает, но, судя по всему, в денежном признании явно не заинтересован. Как уверяют коллеги, даже документы на премию не представил.

"Как я понимаю, самого Григория Яковлевича миллион совершенно не волнует. – говорит Ильдар Ибрагимов, академик РАН. - На самом деле люди, которые в состоянии решить эти задачи, это в основном люди, которые будут работать не из-за этих денег. Их будет волновать нечто совсем другое".

Перельман опубликовал работу по гипотезе Пуанкаре единственный раз три года назад в Интернете. Скорее даже не работу, а набросок в 39 страниц. Написать более подробный отчет- с развернутыми доказательствами он не соглашается. Даже вице-президент Всемирного математического общества, который специально приехал в Петербург, чтобы найти Перельмана, не удалось этого сделать.

За прошедшие три года никому не удалось найти ошибку в расчетах Перельмана, как того требует регламент премии Филдса. Что и требовалось доказать.

==============================

http://elementy.ru/news/430288

Процесс доказательства гипотезы Пуанкаре сейчас, по-видимому, вступает в заключительную стадию. Три группы математиков окончательно разобрались в идеях Григория Перельмана и за последние пару месяцев представили свои версии полного доказательства этой гипотезы.

Гипотеза, сформулированная Пуанкаре в 1904 году, утверждает, что все трехмерные поверхности в четырехмерном пространстве, гомотопически эквивалентные сфере, гомеоморфны ей. Говоря простыми словами, если трехмерная поверхность кое в чем похожа на сферу, то, если ее расправить, она может стать только сферой и ничем иным. Подробности об этой гипотезе и об истории ее доказательства читайте в популярной заметке Проблемы 2000 года: гипотеза Пуанкаре в журнале «Компьютерра».

За доказательство гипотезы Пуанкаре Математический институт им. Клэя присудил премию в миллион долларов, что может показаться удивительным: ведь речь идет об очень частном, малоинтересном факте. На самом деле, для математиков важны не столько свойства трехмерной поверхности, сколько факт трудности самого доказательства. В этой задаче в концентрированном виде сформулировано то, что не удавалось доказать с помощью имевшихся ранее идей и методов геометрии и топологии. Она позволяет как бы заглянуть на уровень глубже, в тот пласт задач, который можно будет решить только с помощью идей «нового поколения».

Как и в ситуации с теоремой Ферма, выяснилось, что гипотеза Пуанкаре есть частный случай гораздо более общего утверждения о геометрических свойствах произвольных трехмерных поверхностей - гипотезы геометризации Тёрстона (Thurston"s Geometrization Conjecture). Поэтому усилия математиков были направлены не на решение этого частного случая, а на построение нового математического подхода, который способен справляться с такими задачами.

Прорыв в 2002-2003 годах совершил российский математик Григорий Перельман. В своих трех статьях math.DG/0211159, math.DG/0303109, math.DG/0307245, предложив ряд новых идей, он развил и довел до конца метод, предложенный в 1980-е годы Ричардом Гамильтоном. В своих работах Перельман утверждает, что построенная им теория позволяет доказать не только гипотезу Пуанкаре, но и гипотезу геометризации.

Суть метода состоит в том, что для геометрических объектов можно определить некоторое уравнение «плавной эволюции», похожее на уравнение ренормализационной группы в теорфизике. Исходная поверхность в ходе этой эволюции будет деформироваться и, как показал Перельман, в конце концов плавно перейдет именно в сферу. Сила этого подхода состоит в том, что, минуя все промежуточные моменты, можно сразу заглянуть «в бесконечность», в самый конец эволюции, и обнаружить там сферу.

Работы Перельмана положили начало интриге. В своих статьях он развил общую теорию и набросал ключевые моменты доказательства не только гипотезы Пуанкаре, но и гипотезы геометризации. Полного доказательства во всех деталях Перельман не представил, хотя утверждал, что обе гипотезы он доказал. В том же 2003 году Перельман совершил турне по США с серией лекций, на которых четко и подробно отвечал на любые технические вопросы слушателей.

Сразу же после опубликования препринтов Перельмана специалисты приступили к проверке ключевых моментов его теории, и ни одной ошибки до сих пор не найдено. Более того, за прошедшие годы несколько коллективов математиков смогли впитать предложенные Перельманом идеи до такой степени, чтобы приступить к записыванию полного доказательства «набело».

В мае 2006 года появилась работа B. Kleiner, J. Lott, math.DG/0605667, в которой был дан подробный вывод опущенных моментов в доказательстве Перельмана. (Кстати, эти авторы поддерживают веб-страничку, посвященную статьям Перельмана и связанным с ними работам.)

Затем в июне 2006 года в журнале Asian Journal of Mathematics была опубликована 327-страничная статья китайских математиков Huai-Dong Cao и Xi-Ping Zhu, озаглавленная «Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации - приложение теории Гамильтона-Перельмана о потоках Риччи». Сами авторы не претендуют на абсолютно новое доказательство, а лишь утверждают, что подход Перельмана действительно работает.

Наконец, на днях появился 473-страничная статья (или уже книга?) J. W. Morgan, G. Tian, math.DG/0607607, в которой авторы, по следам Перельмана, приводят свое доказательство гипотезы Пуанкаре (а не более общей гипотезы геометризации). Джон Морган (John Morgan) считается одним из главных специалистов по этой проблеме, и после выхода его работы можно, по-видимому считать, что гипотеза Пуанкаре окончательно доказана.

Интересно, кстати, что вначале статья китайских математиков распространялась только в бумажной версии по цене 69 долларов, так что далеко не все желающие имели возможность взглянуть на нее. Но уже на следующий день после появления в архиве препринтов статьи Моргана-Тяна на сайте Asian Journal of Mathematics появилась и электронная версия статьи.

Чья доводка доказательства Перельмана точнее и прозрачнее - покажет время. Не исключено, что в ближайшие годы оно упростится, как это случилось с теоремой Ферма. Пока что видно лишь увеличение объема публикаций: от 30-страничных статей Перельмана до толстой книжицы у Моргана и Тяна, но связано это не с усложнением доказательства, а с более подробным выводом всех промежуточных шагов.

А тем временем ожидается, что на Международном конгрессе математиков, который пройдет в августе этого года в Мадриде, будет «официально» объявлено об окончательном доказательстве гипотезы и, возможно, о том, кому будет присуждена премия Института Клэя. Кроме этого, ходят слухи, что Григорий Перельман станет одним из четырех филдсовских медалистов, что является высшим знаком отличия для молодых математиков.

Три независимых группы математиков утверждают, что полностью доказали гипотезу Пуанкаре — одну из самых сложных задач XX века. Окончательный вердикт, возможно, будет вскоре объявлен на Международном конгрессе математиков.

Процесс доказательства гипотезы Пуанкаре сейчас, по-видимому, вступает в заключительную стадию. Три группы математиков окончательно разобрались в идеях Григория Перельмана и за последние пару месяцев представили свои версии полного доказательства этой гипотезы.

За доказательство гипотезы Пуанкаре присудил премию в миллион долларов, что может показаться удивительным: ведь речь идет об очень частном, малоинтересном факте. На самом деле, для математиков важны не столько свойства трехмерной поверхности, сколько факт трудности самого доказательства. В этой задаче в концентрированном виде сформулировано то, что не удавалось доказать с помощью имевшихся ранее идей и методов геометрии и топологии. Она позволяет как бы заглянуть на уровень глубже, в тот пласт задач, который можно будет решить только с помощью идей «нового поколения».

Гениальный математик, парижский профессор Анри Пуанкаре занимался самыми разными областями этой науки. Самостоятельно и независимо от работ Эйнштейна в 1905 году он выдвинул основные положения Специальной теории относительности. А свою знаменитую гипотезу он сформулировал еще в 1904 году, так что на ее решение потребовалось около столетия.

Пуанкаре был одним из родоначальников топологии — науке о свойствах геометрических фигур, которые не изменяются при деформациях, происходящих без разрывов. К примеру, воздушный шарик можно с легкостью деформировать в самые разные фигуры — как это делают для детей в парке. Но потребуется разрезать шарик, чтобы скрутить из него бублик (или, говоря геометрическим языком, тор) — другого способа не существует. И наоборот: возьмите резиновый бублик и попробуйте «превратить» его в сферу. Впрочем, все равно не выйдет. По своим топологическим свойствам поверхности сферы и тора несовместимы, или негомеоморфны. Зато любые поверхности без «дырок» (замкнутые поверхности), наоборот, гомеоморфны и способны, деформируясь, переходить в сферу.

Если насчет двумерных поверхностей сферы и тора все было решено еще в XIX веке, для более многомерных случаев потребовалось гораздо больше времени. В этом, собственно, и состоит суть гипотезы Пуанкаре, которая расширяет закономерность на многомерные случаи. Немного упрощая, гипотеза Пуанкаре гласит: «Всякое односвязное замкнутое n-мерное многообразие гомеоморфно n-мерной сфере». Забавно, что вариант с трехмерными поверхностями оказался самым непростым. В 1960 году гипотеза была доказана для размерностей 5 и выше, в 1981 — для n=4. Камнем преткновения стала именно трехмерность.

Развивая идеи Вильяма Тёрстена и Ричарда Гамильтона, предложенные ими в 1980-х годах, Григорий Перельман применил к трехмерным поверхностям особое уравнение «плавной эволюции». И сумел показать, что исходная трехмерная поверхность (если в ней нет разрывов) обязательно будет эволюционировать в трехмерную сферу (это поверхность четырехмерного шара, и существует она в 4-мерном пространстве). По словам ряда специалистов, это была идея «нового поколения», решение которой открывает новые горизонты для математической науки.

Интересно, что сам Перельман отчего-то не потрудился довести свое решение до окончательного блеска. Описав решение «в целом» в препринте The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications в ноябре 2002 года, он в марте 2003 года дополнил доказательство и изложил его в препринте Ricci flow with surgery on three-manifolds , а также сообщил о методе в серии лекций, которые прочел в 2003 году по приглашениям ряда университетов. Ни один из рецензентов не смог обнаружить в предложенном им варианте ошибок, но и публикации в реферируемом научном издании Перельман не выпустил (а именно таковым, в частности было необходимое условие получения премии ). Зато в 2006 году на основе его метода вышел целый набор доказательств, в которых американские и китайские математики подробно и полностью рассматривают проблему, дополняют моменты, опущенные Перельманом, и выдают «окончательное доказательство» гипотезы Пуанкаре.

Гипотеза Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре́ (точнее Теорема Пуанкаре́ - поскольку это доказанная гипотеза ) является одной из наиболее известных задач топологии. Она даёт достаточное условие того, что пространство является трёхмерной сферой с точностью до деформации.

Формулировка

Гипотеза Пуанкаре

В исходной форме гипотеза Пуанкаре утверждает. Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре утверждает: Для любого натурального числа n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Исходная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n = 3.

История

В 1900 годуПуанкаресделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В1904 годуон же нашёл контрпример, называемый теперьсферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала интереса. В 1930-х годах Джон Уайтхедвозродил интерес к гипотезе объявив о доказательстве, но затем отказался от него.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для n ≥ 5 получены в начале 1960-1970-х почти одновременноСмейлом, независимо и другими методамиСтоллингсом(англ. ) (дляn ≥ 7, его доказательство было распространено на случаиn = 5 и 6Зееманом(англ. )). Доказательство значительно более трудного случаяn = 4 было получено только в1982 годуФридманом. Из теоремыНовиковао топологической инвариантности характеристическихклассов Понтрягинаследует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено только в2002 годуГригорием Перельманом. Впоследствии доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных. Доказательство использует модификациюпотока Риччи(так называемыйпоток Риччи с хирургией ) и во многом следует плану, намеченномуГамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

Схема доказательства

Поток Риччи - это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» - точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» - выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть, открытую областьдиффеоморфную прямому произведению ), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой - после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие можно представить как набор сферических пространственных форм , соединённых друг с другом трубками . Подсчёт фундаментальной группы показывает, что диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм и более того все тривиальны. Таким образом, является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

В чём суть теоремы Пуанкаре

1. Е доказала РАЖАЯ Софья вот а тоже РЫЖАЯ....
2. Суть в том, что Вселенная имеет не форму сферы, а бублика
3. Cмысл гипотезы Пуанкаре в ее изначальной формулировке состоит в том, что для любого трехмерного тела без отверстий найдется такое преобразование, которое позволит его без разрезания и склеивания превратить в шар. Если это кажется очевидным, то что, если пространство не трехмерное, а содержит десять или одиннадцать измерений (то есть речь идет об обобщенной формулировке гипотезы Пуанкаре, которую и доказал Перельман)
4. в 2-х словах не расскажешь
5. В 1900 году Пуанкаре сделал предположение, что трхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашл контр-пример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

   Доказательства обобщнной гипотезы Пуанкаре для n #10878; 5 получены в начале 19601970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (англ.) (для n #10878; 7, его доказательство было распространено на случаи n = 5 и 6 Зееманом (англ.)) . Доказательство значительно более трудного случая n = 4 было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

   Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Трстона) было найдено только в 2002 году Григорием Перельманом. Впоследствии доказательство Перельмана было проверено и представлено в разврнутом виде как минимум тремя группами учных. 1 Доказательство использует поток Риччи с хирургией и во многом следует плану, намеченному Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

6. хто это такой
7. Теорема Пуанкаре:
   Теорема Пуанкаре о векторном поле
   Теорема Пуанкаре Бендиксона
   Теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности
   Гипотеза Пуанкаре о гомотопической сфере
   Теорема Пуанкаре о возвращении

   Вы о какой спрашиваете?

8. В теории динамических систем, теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности описывает возможные типы обратимой динамики на окружности, в зависимости от числа вращения p(f) итерируемого отображения f. Грубо говоря, оказывается, что динамика итераций отображения в определнной степени похожа на динамику поворота на соответствующий угол.
   А именно, пусть задан гомеоморфизм окружности f. Тогда:
   1) Число вращения рационально тогда и только тогда, когда у f есть периодические точки. При этом знаменатель числа вращения это период любой периодической точки, а циклический порядок на окружности точек любой периодической орбиты такой же, как и у точек орбиты поворота на p(f). Далее, любая траектория стремится к некоторой периодической как в прямом, так и в обратном времени (a- и -w предельные траектории при этом могут быть разными) .
   2) Если число вращения f иррационально, то возможны два варианта:
   i) либо у f есть плотная орбита, и тогда гомеоморфизм f сопряжн повороту на p(f). В этом случае все орбиты f плотны (поскольку это верно для иррационального поворота) ;
   ii) либо у f есть канторово инвариантное множество C, являющееся единственным минимальным множеством системы. В этом случае все траектории стремятся к C как в прямом, так и в обратном времени. Кроме того, отображение f полусопряжено повороту на p(f): для некоторого отображения h степени 1, p o f =R p (f) o h

   При этом множество C в точности является множеством точек роста h иными словами, с топологической точки зрения, h схлопывает интервалы дополнения до C.

9. суть вопроса - 1 млн долларов
10. В том что ее не кто не понимает кроме 1 человека
11. Во внешней политике Франции..
12. Вот здесь Лка лучше всех ответила http://otvet.mail.ru/question/24963208/
13. Гениальный математик, парижский профессор Анри Пуанкаре занимался самыми разными областями этой науки. Самостоятельно и независимо от работ Эйнштейна в 1905 году он выдвинул основные положения Специальной теории относительности. А свою знаменитую гипотезу он сформулировал еще в 1904 году, так что на ее решение потребовалось около столетия.

    Пуанкаре был одним из родоначальников топологии науке о свойствах геометрических фигур, которые не изменяются при деформациях, происходящих без разрывов. К примеру, воздушный шарик можно с легкостью деформировать в самые разные фигуры как это делают для детей в парке. Но потребуется разрезать шарик, чтобы скрутить из него бублик (или, говоря геометрическим языком, тор) другого способа не существует. И наоборот: возьмите резиновый бублик и попробуйте превратить его в сферу. Впрочем, все равно не выйдет. По своим топологическим свойствам поверхности сферы и тора несовместимы, или негомеоморфны. Зато любые поверхности без дырок (замкнутые поверхности) , наоборот, гомеоморфны и способны, деформируясь, переходить в сферу.

    Если насчет двумерных поверхностей сферы и тора все было решено еще в XIX веке, для более многомерных случаев потребовалось гораздо больше времени. В этом, собственно, и состоит суть гипотезы Пуанкаре, которая расширяет закономерность на многомерные случаи. Немного упрощая, гипотеза Пуанкаре гласит: Всякое односвязное замкнутое n-мерное многообразие гомеоморфно n-мерной сфере. Забавно, что вариант с трехмерными поверхностями оказался самым непростым. В 1960 году гипотеза была доказана для размерностей 5 и выше, в 1981 для n=4. Камнем преткновения стала именно трехмерность.

    Развивая идеи Вильяма Трстена и Ричарда Гамильтона, предложенные ими в 1980-х годах, Григорий Перельман применил к трехмерным поверхностям особое уравнение плавной эволюции. И сумел показать, что исходная трехмерная поверхность (если в ней нет разрывов) обязательно будет эволюционировать в трехмерную сферу (это поверхность четырехмерного шара, и существует она в 4-мерном пространстве) . По словам ряда специалистов, это была идея нового поколения, решение которой открывает новые горизонты для математической науки.

    Интересно, что сам Перельман отчего-то не потрудился довести свое решение до окончательного блеска. Описав решение в целом в препринте The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications в ноябре 2002 года, он в марте 2003 года дополнил доказательство и изложил его в препринте Ricci flow with surgery on three-manifolds, а также сообщил о методе в серии лекций, которые прочел в 2003 году по приглашениям ряда университетов. Ни один из рецензентов не смог обнаружить в предложенном им варианте ошибок, но и публикации в реферируемом научном издании Перельман не выпустил (а именно таковым, в частности было необходимое условие получения премии Математического института Клэя) . Зато в 2006 году на основе его метода вышел целый набор доказательств, в которых американские и китайские математики подробно и полностью рассматривают проблему, дополняют моменты, опущенные Перельманом, и выдают окончательное доказательство гипотезы Пуанкаре.

14. Обобщнная гипотеза Пуанкаре утверждает, что:
    Для любого n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.
    Исходная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщнной гипотезы при n = 3.
    За расъяснениями - в лес по грибы, там ходит Григорий Перельман)
15. Теорема Пуанкаре о возвращении одна из базовых теорем эргодической теории. Ее суть в том, что при сохраняющем меру отображении пространства на себя почти каждая точка вернется в свою начальную окрестность. Полная формулировка теоремы следующая 1:
    Пусть сохраняющее меру преобразование пространства с конечной мерой и пусть измеримое множество. Тогда для любого натурального
    .
    У данной теоремы есть неожиданное следствие: оказывается, если в сосуде, разделенном перегородкой на два отсека, один из которых заполнен газом, а другой пуст, удалить перегородку, то через некоторое время все молекулы газа вновь соберутся в исходной части сосуда. Разгадка этого парадокса в том, что некоторое время имеет порядок миллиардов лет.
16. у него теорем как собак в корее резанных.. .

    вселенная имеет сферическую форму.. . http://ru.wikipedia.org/wiki/Пуанкаре, _Анри

    вот вчера учные объявили - что вселенная замороженная субстанция... и попросили много денег для доказательства этого... опять мерикосы станок включат печатный... для утехи яйцеголовых...

17. Попробуй доказать, где верх и низ в невесомости.
18. Вчера был прекрасный фильм по КУЛЬТУРе, в котором на пальцах объяснялась эта проблема. Может, он у них еще есть?

    http://video.yandex.ru/#search?text=РРР СР Р РРСРР СРРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
    Входите в Яндекс и пишете Фильм о Перельмане и выходите на фильм