Ďalší spôsob, ako nájsť stred (napríklad sústružené výrobky) – pomocou špeciálneho nástroja, „vyhľadávača stredov“ – je založený na vlastnostiach tzv. dotyčnice. Dotyčnica ku kružnici je akákoľvek priamka, ktorá je v bode stretnutia s kružnicou kolmá na polomer nakreslený do tohto bodu. Ako peklo. 174 rovno A B C D a EF- dotyčnice ku kružnici ACE. bodov A, C, E sa nazývajú „kontaktné miesta“. Zvláštnosťou dotyčnice je, že má kružnicu iba jedného všeobecného bodu. Vskutku, ak dotyčnica AB(obr. 175) bol s kružnicou, okrem tohto ešte jedného spoločného bodu, napr. S, potom by sme spojením so stredom dostali rovnoramenný trojuholník SOA s dvoma pravými uhlami SA, a to, ako vieme, je nemožné (prečo?).

S priamkami dotýkajúcimi sa kruhu sa v praktickom živote stretávame veľmi často. Lano prehodené cez blok zaujme polohu dotyčníc ku kruhu bloku v jeho natiahnutých častiach. Zdvíhacie pásy (kombinácie viacerých blokov, obr. 176) sú umiestnené pozdĺž línie spoločných dotyčníc k obvodu kolies. Prevodové remene kladiek tiež zaujímajú polohu spoločných dotyčníc ku kružniciam kladiek „vonkajších“ dotyčníc v tzv. otvorený prenos a "vnútorný" - v uzavretom.

Ako cez daný bod mimo kruhu nakresliť k nemu dotyčnicu? Inými slovami: ako cez bodku A(dev. 177) nakreslite priamku AB uhlovať AVO bolo to rovné? Toto sa robí nasledovne. pripojiť A vycentrovaný O(kresba 178). Rovná čiara je rozdelená na polovicu a okolo jej stredu V, ako stred opíšte kružnicu s polomerom IN. Inými slovami, na OA postavte kruh, ako v priemere. Priesečníky S a D oba kruhy sú spojené s A priamky: toto budú dotyčnice.

Aby sme si to overili, kreslíme od stredu k bodom S a D pomocné linky OS a OD. rohy WASP a ODA sú rovné, pretože sú vpísané do polkruhu. A to znamená, že OS a OD sa dotýkajú kruhu.

Ak vezmeme do úvahy našu konštrukciu, okrem iného vidíme, že z každého bodu mimo kružnice sa k nej dajú nakresliť dve dotyčnice. Je ľahké overiť, že obe tieto dotyčnice majú rovnakú dĺžku, t.j AC= AD. Skutočne, pointa O v rovnakej vzdialenosti od strán rohu A; znamená OA- je rovnaké delenie, a teda trojuholníky SLA a OAD sú si rovní ( SUS).

Počas cesty sme zistili, že čiara, ktorá rozpolí uhol medzi oboma dotyčnicami, prechádza stredom kruhu. To je základ pre prístroj prístroj na vyhľadávanie stredu sústružených výrobkov - hľadač stredov (obr. 179). Skladá sa z dvoch línií AB a AC, zosilnená pod uhlom, a tretí riadok BD, ktorého okraj BD rozpolí uhol medzi okrajmi

prvé dva riadky. Zariadenie sa aplikuje na okrúhly výrobok tak, aby okraje pravítok susedili s ním AB a slnko v kontakte s obvodom výrobku. V tomto prípade budú mať hrany s kružnicou len jeden spoločný bod, takže hrana pravítka musí podľa teraz naznačenej vlastnosti dotyčníc prechádzať stredom kružnice. Po nakreslení priemeru kruhu na produkt pozdĺž pravítka priložte stredový hľadáčik na produkt v inej polohe a nakreslite iný priemer. Požadovaný stred bude v priesečníku oboch priemerov.

Ak potrebujete nakresliť spoločnú dotyčnicu k dvom kruhom, to znamená nakresliť priamku, ktorá by sa dotýkala dvoch kruhov súčasne, postupujte nasledovne. Blízko stredu jedného kruhu, napr V(obr. 180), opíšte pomocnú kružnicu s polomerom rovným rozdielu polomerov oboch kružníc. Potom z pointy A vykonávať dotyčnice AC a AD do tohto pomocného kruhu. Z bodov A a V nakreslite rovné čiary kolmé na AC a AD, kým sa v bodoch nepretína s danými kružnicami E, F, H a G. priame spojovacie čiary E S F, G S H, budú k daným kružniciam spoločné dotyčnice, keďže sú kolmé na polomery AE, CF, AG a D.H..

Okrem tých dvoch dotyčníc, ktoré boli práve nakreslené a ktoré sa nazývajú vonkajšie, je možné nakresliť aj ďalšie dve dotyčnice, ktoré sa nachádzajú ako v diablovi. 181 (vnútorné tangenty). Ak chcete vykonať túto konštrukciu, opíšte okolo stredu jedného z týchto kruhov - napríklad okolo V- pomocná kružnica s polomerom rovným súčtu polomerov oboch kružníc. Z jedného bodu A nakreslite dotyčnice k tejto pomocnej kružnici. Ďalší priebeh výstavby si čitatelia budú môcť nájsť sami.

Opakujte otázky

Čo je tangens? Koľko bodov má dotyčnica a kružnica spoločných? Ako nakresliť dotyčnicu ku kružnici cez bod mimo kružnice? – Koľko takýchto dotyčníc možno nakresliť? – Čo je to odstredivka? Na čom je jeho zariadenie založené? Ako nakresliť spoločnú dotyčnicu k dvom kruhom? – Koľko takých dotyčníc?

Lekcie o programe KOMPAS.

Lekcia číslo 12. Konštrukcia kruhov v Compass 3D.
Kružnice dotyčnice ku krivkám, kružnica o dva body.

Kompas 3D má niekoľko spôsobov, ako kresliť tangenciálne kruhy:

• kruh dotyčnica k 1. krivke;
• kruh dotýkajúci sa 2 kriviek;
• kruh dotýkajúci sa 3 kriviek;

Ak chcete nakresliť kruh dotýkajúci sa krivky, stlačte tlačidlo "Kružnica dotyčnica ku krivke 1" na kompaktnom paneli alebo v hornom menu postupne stláčajte príkazy "Nástroje" - "Geometria" - "Kruhy" - "Kružnica dotýkajúca sa 1 krivky".

Kurzorom najskôr naznačíme krivku, ktorou bude kružnica prechádzať, následne nastavíme 1. a 2. bod tejto kružnice (súradnice bodov je možné zadať na paneli vlastností).

Na obrazovke sa zobrazia fantómy všetkých možných kruhov. Pomocou kurzora vyberte tie, ktoré potrebujeme, a opravte ich stlačením tlačidla "Vytvoriť objekt". Konštrukciu dokončíme stlačením tlačidla „Prerušiť príkaz“.

Pred určením druhého bodu môžete zadať hodnotu polomeru alebo priemeru do príslušného poľa na paneli vlastností. Nie vždy sa takýto kruh postaví. Závisí to od daného polomeru alebo priemeru. Nemožnosť stavby sa prejaví zmiznutím fantóma po zadaní hodnoty rádiusu.

Ak je známy stred kruhu, dá sa nastaviť aj na paneli vlastností.

Ak chcete vytvoriť kruh dotýkajúci sa dvoch kriviek, stlačte tlačidlo "Kruh dotyčnica k 2 krivkám" v kompaktnom paneli. Alebo v hornom menu postupne stláčajte príkazy "Nástroje" - "Geometria" - "Kruhy" - "Kruh dotýkajúci sa 2 kriviek".

Pomocou kurzora označujeme predmety, ktorých sa má kruh dotýkať. Na obrazovke sa zobrazia fantómy všetkých možných konštrukčných možností.

Ak je známa poloha bodu prislúchajúceho kružnici, treba ju nastaviť pomocou kurzora alebo zadať súradnice na paneli vlastností. Na paneli vlastností môžete zadať aj hodnoty polomeru alebo priemeru. Na dokončenie konštrukcie vyberte požadovaný fantóm a postupne stlačte tlačidlá "Vytvoriť objekt" a "Zrušiť príkaz".

Ak chcete vytvoriť kruh dotýkajúci sa troch kriviek, stlačte tlačidlo "Kruh dotyčnica k 3 krivkám" v kompaktnom paneli. Alebo v hornom menu postupne stláčajte príkazy "Nástroje" - "Geometria" - "Kruhy" - "Kruh dotýkajúci sa 3 kriviek".

Konštrukcie sú podobné predchádzajúcim, takže ich urobte sami, výsledok je znázornený na obrázku nižšie.

Priamy ( MN), ktorý má iba jeden spoločný bod s kružnicou ( A), sa nazýva dotyčnica do kruhu.

Spoločný bod sa v tomto prípade nazýva bod dotyku.

Možnosť existencie dotyčnica, a navyše pretiahnutý cez akýkoľvek bod kruhy, ako styčný bod, dokazuje nasledovné teorém.

Nech sa to vyžaduje kruhy vycentrovaný O dotyčnica cez bod A. Z tohto dôvodu A, ako z centra, popíš oblúk polomer AO a od veci O, ako stred pretíname tento oblúk v bodoch B a S riešenie kompasu rovnajúce sa priemeru daného kruhu.

Po strávení potom akordy OB a OS, spojte bodku A s bodkami D a E kde tieto tetivy pretínajú daný kruh. Priamy AD a AE - dotyčnica ku kružnici O. Z konštrukcie je totiž zrejmé, že trojuholníky AOB a AOC rovnoramenné(AO = AB = AC) so základňami OB a OS, ktorý sa rovná priemeru kruhu O.

Pretože OD a OE sú teda polomery D - stredná OB, a E- stredný OS, znamená AD a AE - mediányťahané k základniam rovnoramenných trojuholníkov, a teda kolmé na tieto základne. Ak priamo DA a EA kolmo na polomery OD a OE, potom sú dotyčnice.

Dôsledok.

Dve dotyčnice nakreslené z toho istého bodu ku kružnici sú rovnaké a zvierajú rovnaké uhly s čiarou spájajúcou tento bod so stredom.

Takže AD=AE a ∠ OAD = ∠OAE pretože pravouhlé trojuholníky AOD a AOE majúci spoločný hypotenzia AO a rovní nohy OD a OE(ako polomery) sú rovnaké. Všimnite si, že slovo „tangens“ tu znamená skutočný „ dotyčnicový segment“ z daného bodu do bodu kontaktu.

V tejto kapitole sa vrátime k jednej z hlavných geometrické tvary- do kruhu. Budú dokázané rôzne vety týkajúce sa kružníc, vrátane viet o kružniciach vpísaných do trojuholníka, štvoruholníka a kružníc opísaných týmto obrazcom. Okrem toho sa preukážu tri tvrdenia o pozoruhodných bodoch trojuholníka - priesečník osi trojuholníka, priesečník jeho výšok a priesečník odvesničiek so stranami trojuholníka. Prvé dve tvrdenia boli sformulované ešte v 7. ročníku a teraz ich budeme vedieť dokázať.

Poďme zistiť, koľko spoločných bodov môže mať priamka a kružnica v závislosti od ich vzájomnej polohy. Je jasné, že ak úsečka prechádza stredom kružnice, tak kružnicu pretína v dvoch bodoch – koncoch priemeru ležiacich na tejto priamke.

Priamka p nech neprechádza stredom O kružnice s polomerom r. Nakreslíme kolmicu OH na priamku p a označme písmenom d dĺžku tejto kolmice, teda vzdialenosť od stredu tejto kružnice. k čiare (obr. 211).

Ryža. 211

Skúmame vzájomnú polohu priamky a kružnice v závislosti od pomeru medzi d a r. Možné sú tri prípady.

1) d< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

Body A a B teda ležia na kružnici a sú teda spoločnými bodmi priamky p a danej kružnice.

Dokážme, že priamka p a daná kružnica nemajú žiadne ďalšie spoločné body. Predpokladajme, že majú ešte jeden spoločný bod C. Potom je stredná OD rovnoramenný trojuholník O AC, nakreslený k základni AC, je výška tohto trojuholníka, teda OD ⊥ p. Segmenty OD a OH sa nezhodujú, pretože stred D segmentu AC sa nezhoduje s bodom H - stredom segmentu AB. Dosiahli sme, že dve kolmice (úsečky OH a OD) vedú z bodu O k priamke p, čo nie je možné.

takze ak je vzdialenosť od stredu kruhu k priamke menšia ako polomer kruhu (d< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . V tomto prípade sa čiara nazýva sečnica vzhľadom na kružnicu.

2) d = r. V tomto prípade OH \u003d r, t.j. bod H leží na kružnici, a preto je spoločným bodom priamky a kružnice (obr. 211.6). Priamka p a kružnica nemajú žiadne ďalšie spoločné body, pretože pre ľubovoľný bod M priamky p, ktorý je odlišný od bodu H, platí OM > OH = r (šikmá OM je väčšia ako kolmica OH), a preto , bod M neleží na kružnici.

Ak sa teda vzdialenosť od stredu kruhu k priamke rovná polomeru kruhu, potom majú priamka a kruh iba jeden spoločný bod.

3) d > r. V tomto prípade OH > r teda pre ľubovoľný bod M platí priamka p OM ≥ OH > r (obr. 211, c). Preto bod M neleží na kružnici.

Ak je teda vzdialenosť od stredu kruhu k priamke väčšia ako polomer kruhu, potom priamka a kruh nemajú spoločné body.

Tangenta ku kruhu

Dokázali sme, že priamka a kružnica môžu mať jeden alebo dva spoločné body a nemusia mať žiadny spoločný bod.

Priamka, ktorá má iba jeden spoločný bod s kružnicou, sa nazýva dotyčnica kružnice a ich spoločný bod sa nazýva dotykový bod priamky a kružnice. Na obrázku 212 je priamka p dotyčnica ku kružnici so stredom O, A je bod dotyku.

Dokážme vetu o vlastnosti dotyčnice ku kružnici.

Veta

Dôkaz

Nech p je dotyčnica kružnice so stredom O a A je bod dotyku (pozri obr. 212). Dokážme, že dotyčnica p je kolmá na polomer OA.

Ryža. 212

Predpokladajme, že nie. Potom je polomer OA šikmý k priamke p. Pretože kolmica vedená z bodu O k priamke p je menšia ako šikmá OA, vzdialenosť od stredu kružnice O k priamke p je menšia ako polomer. Preto priamka p a kružnica majú dva spoločné body. To je však v rozpore s podmienkou: priamka p je dotyčnica.

Čiara p je teda kolmá na polomer OA. Veta bola dokázaná.

Uvažujme dve dotyčnice ku kružnici so stredom O, ktoré prechádzajú bodom A a dotýkajú sa kružnice v bodoch B a C (obr. 213). Budú sa volať segmenty AB a AC segmenty dotyčníc ťahané z bodu A. Majú nasledujúce vlastnosti:

Ryža. 213

Aby sme toto tvrdenie dokázali, obráťme sa na obrázok 213. Podľa vety o vlastnosti dotyčnice sú uhly 1 a 2 pravé, takže trojuholníky ABO a ACO sú pravouhlé. Sú si rovní, keďže majú spoločnú preponu OA a rovnaké nohy OB a OS. Preto AB = AC a ∠3 = ∠4, čo sa malo dokázať.

Dokážme teraz vetu konvertujúcu na vetu o vlastnosti dotyčnice (kritérium dotyčnice).

Veta

Dôkaz

Z podmienok vety vyplýva, že daný polomer je kolmica vedená od stredu kružnice k danej priamke. Preto sa vzdialenosť od stredu kruhu k priamke rovná polomeru, a preto majú priamka a kruh iba jeden spoločný bod. Ale to tiež znamená, že daná čiara je dotyčnicou kruhu. Veta bola dokázaná.

Táto veta je založená na riešení úloh o konštrukcii dotyčnice. Poďme vyriešiť jeden z týchto problémov.

Úloha

Cez daný bod A kružnice so stredom O nakreslite dotyčnicu k tejto kružnici.

Riešenie

Narysujme priamku O A a potom zostrojme priamku p prechádzajúcu bodom A kolmým na priamku O A. Podľa kritéria dotyčnice je priamka p požadovanou dotyčnicou.

Úlohy

631. Nech d je vzdialenosť od stredu kružnice s polomerom r k priamke p. Aká je vzájomná poloha priamky p a kružnice, ak: a) r = 16 cm, d = 12 cm; b) r = 5 cm, d = 4,2 cm; c) r = 7,2 dm, (2 = 3,7 dm; d) r = 8 cm, d = 1,2 dm; e) r = 5 cm, d = 50 mm?

632. Vzdialenosť od bodu A do stredu kružnice je menšia ako polomer kružnice. Dokážte, že každá priamka prechádzajúca bodom A je sečnicou vzhľadom na daný kruh.

633. Je daný štvorec O ABC, ktorého strana je 6 cm a kružnica so stredom v bode O s polomerom 5 cm. Ktoré z priamok OA, AB, BC a AC sú sečné vzhľadom na túto kružnicu?

634. Polomer OM kružnice so stredom O rozdeľuje tetivu AB na polovicu. Dokážte, že dotyčnica cez bod M je rovnobežná s tetivou AB.

635. Bodom A kružnice sa tiahne dotyčnica a tetiva rovnajúca sa polomeru kružnice. Nájdite uhol medzi nimi.

636. Cez konce tetivy AB, rovné polomeru kružnice, vedú dve dotyčnice, ktoré sa pretínajú v bode C. Nájdite uhol AC B.

637. Uhol medzi priemerom AB a tetivou AC je 30°. Bodom C vedie dotyčnica a pretína priamku AB v bode D. Dokážte, že trojuholník ACD je rovnoramenný.

638. Priamka AB sa v bode B dotýka kružnice so stredom O s polomerom r. Nájdite AB, ak OA = 2 cm a r = 1,5 cm.

639. Priamka AB sa dotýka kružnice so stredom O s polomerom r v bode B. Nájdite AB, ak ∠AOB = 60° a r = 12 cm.

640. Je daná kružnica so stredom O s polomerom 4,5 cm a bodom A. Cez bod A sú vedené dve dotyčnice kružnice. Nájdite uhol medzi nimi, ak OA = 9 cm.

641. Úsečky AB a AC sú úsečky dotyčníc ku kružnici so stredom O vedenej z bodu A. Nájdite uhol BAC, ak stred úsečky AO leží na kružnici.

642. Na obrázku 213 OB = 3 cm, CM. = 6 cm Nájdite AB, AC, ∠3 a ∠4.

643. Priamky AB a AC sa dotýkajú kružnice so stredom O v bodoch B a C. Nájdite BC, ak ∠OAB = 30°, AB = 5 cm.

644. Priamky MA a MB sa dotýkajú kružnice so stredom O v bodoch A a B. Bod C je symetrický s bodom O vzhľadom na bod B. Dokážte, že ∠AMC = 3∠BMC.

645. Z koncov priemeru AB danej kružnice sa vedú kolmice AA 1 a BB 1 k dotyčnici, ktorá nie je kolmá na priemer AB. Dokážte, že bod dotyku je stredom úsečky A 1 B 1 .

646. V trojuholníku ABC je uhol B pravý. Dokážte, že: a) priamka BC sa dotýka kružnice so stredom A s polomerom AB; b) priamka AB je dotyčnicou kružnice so stredom C s polomerom CB; c) priamka AC sa nedotýka kružníc so stredom B a polomermi B A a BC.

647. Úsečka AN je kolmica vedená z bodu A k priamke prechádzajúcej stredom kružnice s polomerom 3 cm O. Je priamka AN dotyčnicou kružnice, ak: a) CM? = 5 cm, AN = 4 cm; b) ∠HAO = 45°, CM = 4 cm; c) ∠HAO = 30°, O A = 6 cm?

648. Zostrojte dotyčnicu ku kružnici so stredom O: a) rovnobežnú s danou priamkou; b) kolmo na danú priamku.

Odpovede na úlohy